план:

1. Понятието като форма на мислене. Съдържание и обхват на понятието.

2. Дефиниране на понятието, видове дефиниции. Класификация на понятията.

3. Методика за изучаване на понятия в гимназиален курс (пропедевтика, въведение, усвояване, консолидация, предотвратяване на грешки).

1. Познанието на околния свят се осъществява в диалектическото единство на сетивни и рационални форми на мислене. Сетивните форми на мислене включват: усещане, възприятие, представяне. Рационалните форми на мислене включват: понятия, съждения, заключения. Усещането и възприятието са първите сигнали за реалността. Въз основа на тях те се формират общи идеи, а от тях в резултат на сложна мисловна дейност се преминава към понятия.

Концепцията е форма на мислене, която отразява съществени характеристики(свойства) на обекти от реалния свят.

Едно свойство е съществено, ако е присъщо на този обект и без него той не може да съществува. Например формалната концепция за куб (различни кубове, размери, цветове, материали). Когато ги наблюдавате, възниква възприемането на обект, следователно идеята за тези обекти възниква в съзнанието. След това, откроявайки съществените признаци, се формира концепция.

И така, понятието се абстрахира от индивидуалните черти и характеристики на индивидуалните възприятия и идеи и е резултат от обобщаване на възприятията и идеите на много голям брой еднородни явления и обекти.

Всяко понятие има две логически характеристики: съдържание и обем.

Обхватът на понятието е съвкупност от обекти, обозначени с един и същи термин (име).

Например терминът (име) - трапец

1) четириъгълник,

2) една двойка противоположни страни са успоредни,

3) другата двойка противоположни страни не е успоредна,

4) сумата от ъглите, прилежащи към страничната страна, е равна на .

Обхватът на концепцията е всички възможни трапеци.

Съществува следната връзка между съдържанието на едно понятие и неговия обем: колкото по-голям е обемът на едно понятие, толкова по-малко е неговото съдържание и обратно. Така например обхватът на понятието „равнобедрен триъгълник“ е по-малък от обхвата на понятието „триъгълник“. И съдържанието на първото понятие е по-голямо от съдържанието на второто, тъй като равнобедреният триъгълник има не само всички свойства на триъгълник, но и специални свойстваприсъщи само равнобедрени триъгълници(страните са равни, ъглите при основата са равни). Така че, ако увеличите съдържанието, обемът на концепцията ще намалее.

Ако обхватът на едно понятие е включен като част от обхвата на друго понятие, тогава първото понятие се нарича специфично, а второто родово.

Например, Ромбът е успоредник, в който всички страни са равни (Погорелов, 8 клас). Ромбът е специфичен, успоредникът е общ.

Квадратът е правоъгълник с равни страни (Погорелов, 8 клас). Квадратът е специфичен, правоъгълникът е общ.

Но, Квадратът е ромб, чийто ъгъл е прав.

Тоест понятията род и вид са относителни.

Всяко понятие е свързано с дума-термин, която съответства на това понятие. В математиката едно понятие често се представя със символ (‌‌‌‌║). Термините и символите са средства, които служат за изразяване и записване математически понятия, за предаване и обработка на информация за тях.

2. В съдържанието на понятието всяка математически обектвключва много различни основни свойства на този обект. Въпреки това, за да разпознаем даден обект и да установим дали той принадлежи към дадено понятие или не, е достатъчно да проверим дали той притежава някои съществени свойства.

Дефиницията на понятие е формулирането на изречение, което изброява необходимите и достатъчни характеристики на понятието. Така чрез дефиницията се разкрива съдържанието на понятието.

Видове дефиниции на понятията.

1.Определяне чрез най-близката родова и видова разлика .

Нека подчертаем, че като специфична разлика винаги приемаме несъществен признак на родово понятие, който вече е съществен за дефинираното понятие.

Свойствата на даден обект в такова определение се разкриват чрез показване на операциите по неговото изграждане.

пример,триъгълниците се наричат ​​равни, ако съответните им страни и съответните ъгли са равни (Погорелов, 7 клас). Това определение казва на учениците как да построят триъгълник, равен на дадения.

3.Дефиниции - условни споразумения . Същите конструктивни определения, но базирани на някакво съгласие. Такива определения се използват в училищен курсматематика при разширяване на понятието число.

Например, .

4. Индуктивен (рекурсивен). Посочени са някои основни обекти от определен клас и правила, които позволяват получаването на нови обекти от същия клас.

Например . Числова последователноствсеки член, който, започвайки от втория, е равен на предходния член, добавен с едно и също число се нарича аритметична прогресия.

5. Отрицателни определения. Те не задават свойствата на обекта. Те изпълняват нещо като класификационна функция. Например, косите линии са прави, които не принадлежат на равнината и не се пресичат.

6. Аксиоматично определение . Дефиниране чрез система от аксиоми. Например определяне на площ и обем.

Видове грешки при дефиниране на понятия.

1) Дефиницията трябва да е пропорционална - да посочва най-близкото родово понятие до дефинираното понятие (успоредник е четириъгълник, успоредник е многоъгълник).

2) Дефиницията не трябва да съдържа „порочен кръг“ - първият се определя през втория, а вторият през първия (прав ъгъл е деветдесет градуса, един градус е една деветдесета прав ъгъл).

3) Определението трябва да е достатъчно. Дефиницията трябва да посочи всички характеристики, които позволяват недвусмисленото идентифициране на обектите на дефинираното понятие (съседните ъгли се наричат ​​ъгли, които се събират до ).

4) Дефиницията не трябва да бъде излишна, т.е. дефиницията не трябва да посочва ненужни характеристики на дефинираното понятие. Например, ромбът е успоредник, в който всички страни са равни (Погорелов, 8 клас). Това определение е излишно, тъй като е достатъчно равенството на две съседни страни.

5) Дефиницията не трябва да бъде тавтология, тоест повтаряне в произволна словесна форма на казаното по-рано. Например, равни триъгълнициТриъгълници, които са равни един на друг, се наричат.

Логическа структура на видовите различия.

1. Видовите различия могат да бъдат свързани чрез връзката "и" - конюнктивната структура на определението.

2. Видовите различия са свързани чрез връзката „или“ - разделителната структура на определението.

3. Видовите различия се свързват с думите “ако...., то...” - импликативна структура.

Класификацията е разпределението на обекти от всяка концепция във взаимосвързани класове (видове, типове) според най-съществените характеристики (свойства). Характеристиката (свойството), по която едно понятие се класифицира (разделя) на типове (класове), се нарича основа на класификацията.

При извършване на класификация трябва да се спазват следните правила:

1) Като основа за класификация можете да вземете само една обща характеристика на всички обекти на дадено понятие, тя трябва да остане непроменена в процеса на класификация.

2) Всеки обект на понятието трябва да попадне в един и само един клас в резултат на класификация.

3) Класификацията трябва да бъде пропорционална, т.е. комбинацията от класове обекти съставлява обхвата на понятието (няма обект, който да не попада в нито един клас).

4) Класификацията трябва да бъде непрекъсната, т.е. в процеса на класификация е необходимо да се премине към най-близкото (до дадено) родово понятие (тип).

В момента терминът класификация не се използва в училищните учебници и изискванията не са посочени. Но това не означава, че учителят не класифицира понятията. Можете да класифицирате числа, функции, алгебрични изрази, геометрични трансформации, многоъгълници, полиедри. Може да се представи под формата на диаграма или таблица.

Студентите трябва да бъдат подготвени да създават класификации на текуща основа. На първия етап на учениците трябва да бъдат предложени готови диаграми и таблици. Втората стъпка е попълването на тези диаграми и таблици. Третият е независим дизайн.

Видове класификации:

1. Класификация по модифицирана характеристика. Например триъгълник. Основа на класификацията: размер вътрешни ъгли, членове: правоъгълни, остроъгълни, тъпоъгълни.

2. Дихотомична класификация (dicha и tome (гръцки) - „разделение на две части“). Представлява разделяне на обхвата на класифицираното понятие на две противоречиви видови понятия, едното от които има дадена характеристика, а другото не я притежава.

Например,

3. При формирането на концепция трябва да се следват три етапа: въведение, усвояване, затвърдяване.

I. Администрирането може да се извърши по два начина:

а) конкретно-индуктивен - всички характеристики на понятието се разглеждат чрез примери или задачи, след което се въвежда терминът и определението.

б) абстрактно-дедуктивен - веднага се дава дефиниция, а след това характеристиките се обработват с примери.

II. Асимилация.

Тук има две цели:

1) научете определението.

2) Научете учениците да определят дали даден обект отговаря на разглежданите концепции или не. Този етап се извършва с помощта на специално разработени упражнения.

За постигане на втората цел е необходимо:

1) посочват система от необходими и достатъчни свойства на обекти от даден клас.

2) установете дали даден обект има избраните свойства или не.

3) заключете, че обектът принадлежи към това понятие.

III. Консолидация – решаване на по-сложни задачи, които включват разглежданите понятия.

Бележка 1. Когато формулирате определение на понятие, трябва да обърнете внимание дали учениците разбират значението на всяка дума, използвана в определението. На първо място, трябва да обърнете внимание на следните думи: „всеки“, „не повече“ и т.н.

Бележка 2. На етапа на консолидиране на концепцията трябва да се предлагат задачи не само за разпознаване на обект, но и за намиране на последствия. Например, известно е, че четириъгълникът е трапец (и неговите основи). Назовете последствията, произтичащи от тези условия поради дефиницията на трапец.

Методи за изучаване на математически понятия

1. Същност на понятието. Съдържание и обхват на понятието.

2. Дефиниране на математически понятия.

3. Класификация на математическите понятия.

4. Методика за въвеждане на нови математически понятия.

Всяка наука е система от понятия, следователно в математиката, както и в други учебни предмети, значителен акцент се поставя върху концепциите за преподаване. Понятието се отнася до форми на теоретично мислене, което е рационален етап на познанието.

1. Същност на понятието. Съдържание и обхват на понятието.С помощта на понятията ние изразяваме общи, съществени характеристики на нещата и явленията от обективната действителност.

Възприятиесе нарича прякото сетивно отражение на действителността в човешкото съзнание.

Подчинениенарича образ на обект или явление, запечатан в нашето съзнание, в този моментне се възприема от нас.

Възприятието изчезва веднага щом престане въздействието на обекта върху сетивата на човека. Това, което остава, е шоуто. Например показваме куб и след това го премахваме. Познаваме различни кубчета, различни цветове и т.н., но се абстрахираме от това, запазвайки общото и същественото.

Концепцияабстрахира се от индивидуалните черти и характеристики на индивидуалните възприятия и представи и е резултат от обобщаване на възприятия и представи за много голям брой еднородни обекти и явления, например: число, пирамида, кръг, права линия. Понятията се формират чрез такива логически техники като анализ и синтез, абстракция и обобщение. Концепцияще наречем мисълта за обект, която откроява неговите съществени характеристики.

Съществени характеристикипонятията са такива характеристики, всяка от които е необходима и всички заедно са достатъчни за разграничаване на обекти от даден вид от други обекти (например успоредник).

Във всяко понятие се разграничава неговото съдържание и обем.

Обхват на понятиетое съвкупността от обекти, към които се прилага тази концепция.

Например понятието „човек“. Съдържание: Живо същество, създава оръдия за производство, притежава способността абстрактно мислене. Обем: всички хора.

Концепцията за "тетраедър". Съдържание: многостен, ограничен от четири лица с форма на триъгълник. Обем: множеството от всички тетраедри.

Съществува връзка между обема и съдържанието на понятието: колкото по-голямо е съдържанието на понятието, толкова по-малък е неговият обем. Намаляването на съдържанието на едно понятие води до разширяване на неговия обхват. Тази операция се нарича обобщениеконцепции. Например, ако свойството „равенство на всички страни“ бъде премахнато от съдържанието на понятието „равностранен триъгълник“, тогава наборът от триъгълници, които удовлетворяват новото съдържание, ще стане „по-широк“ - ще съдържа набора равностранни триъгълницикато подмножество. Разширяването на съдържанието на едно понятие води до стесняване на неговия обхват и се нарича ограничение(специализация) концепции. Пример за такава операция е преходът от концепцията за идентични трансформации към концепцията за намаляване на дроби.

Ако обхватът на едно понятие е включен като част от обхвата на друго понятие, тогава се извиква първото понятие видове, а второто – родовия.

Понятията род и вид са роднинахарактер. Например понятието „призма“ е родово по отношение на понятието „права призма“, но специфично понятие по отношение на понятието „многостен“.

кръгове на Ойлер.

2. Дефиниране на математически понятия.Съдържанието на понятието се разкрива с помощта на определение.

Определение(дефиниция) концепции- това е такова логическа операция, с помощта на които се разкрива основното съдържание на понятието или значението на термина.

Дефинирайте понятието- това означава изброяване на основните характеристики на обектите, показани в тази концепция.

Задачата за изброяване на характеристики може да бъде трудна, но е опростена, ако разчитаме на концепции, които вече са били установени. Концепцията е фиксирана в речта с помощта на дума или фраза, наречена имеили срокконцепции. В математиката едно понятие често се обозначава не само с име, но и символ. Например др.

Така дефиницията първо посочва рода, в който дефинираното понятие е включено като вид, а след това посочва тези характеристики, които отличават този вид от други видове от най-близкия род. Този метод за дефиниране на понятие се нарича дефиниране на понятие чрез най-близката родова и видова разлика.

Понятие = род + видова разлика.

Видове дефиниции

Изрично имплицитно

Чрез род и вид

различия Аксиоматичен Описателен

(описано от системата

Изричнодефиниции се наричат, при които значението на дефинирания термин е напълно предадено чрез значението на дефиниращите термини, т.е. изричните дефиниции съдържат пряка индикация за съществените характеристики на дефинираното понятие. Определянето чрез най-близката родова и видова разлика се отнася до очевидните.

IN имплицитноВ дефинициите значението на дефинирания термин не се предава напълно от дефиниращите термини. Пример за имплицитна дефиниция е дефинирането на първоначални понятия с помощта на система от аксиоми. Такива определения се наричат аксиоматичен. Примери за аксиоматични дефиниции са дефинициите на група, пръстен и поле и др. (аксиоматиката на Хилберт, Вейл, аксиомната система на Пеано за естествените числа).

Генетиченсе нарича дефиниране на обект чрез посочване на метода на неговото изграждане, формиране, произход. Например, „пресечен конус е тяло, получено в резултат на въртене правоъгълен трапецоколо страната, перпендикулярна на основите на трапеца." Или дефиницията на понятието „линеен двустенен ъгъл“.

IN индуктивен(повтаряща се) дефиниция, обектът е посочен като функция на естествено число..gif" width="56" height="21"> и. Например чрез индукция в математиката се въвежда определението за естествено число.

Остензивенопределения и описателенописват обекти с помощта на модели, разглеждане на специални случаи, подчертаване на отделни съществени свойства, въведени чрез пряка демонстрация, демонстрация на обекти. Често се използва в началните класове и частично в 5-6 клас. Учителят, изобразявайки триъгълници на дъската, запознава учениците с понятието триъгълник. В гимназията преобладават словесните определения.

За да се даде логически правилно определение, трябва да се наблюдава правила за дефиниране:

1. Дефиницията трябва да бъде пропорционален, тоест дефинираните и дефиниращите понятия трябва да са еднакви по обем. За да проверите пропорционалността, трябва да се уверите, че дефинираното понятие отговаря на характеристиките на дефиниращото понятие и обратно.

Например, дадена е дефиницията: „Успоредник е многоъгълник с противоположни странипаралелно." Нека проверим: „Всеки многоъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни, е успоредник“ – това е невярно. Или: „успоредните прави са прави, които не се пресичат“ (грешно, това също могат да бъдат пресичащи се прави).

2. Дефиницията не трябва да съдържа " порочен кръг" Това означава, че е невъзможно да се конструира дефиниция по такъв начин, че дефиниращото понятие да е такова, което само по себе си е дефинирано от дефинираното понятие.

Например "прав ъгъл е ъгъл, съдържащ , а градус е 1/90 от прав ъгъл." Понякога "омагьосаният кръг" приема формата на тавтология (едно и също чрез същото) - използване на дума, която има същото значение.

3. Определение, ако е възможно не трябва да е отрицателен. Дефиницията трябва да посочва съществените признаци на предмета, а не какво не е предметът.

Например „ромбът не е триъгълник“, „елипсата не е кръг“. В математиката в някои случаи отрицателните определения са приемливи, например „всяка неалгебрична функция се нарича трансцендентална функция“.

4. Дефиницията трябва да бъде ясноИ ясно, като не позволява двусмислени или метаморфични изрази.

Например „аритметиката е кралицата на математиката“ е образно сравнение, а не определение; твърдението „мързелът е майка на всички пороци“ е поучително, но не дефинира понятието мързел.

3. Класификация на математическите понятия.Обхватът на едно понятие се разкрива чрез класификация. Класификацияе систематично разпределение на определен набор в класове, произтичащо от последователно разделяне въз основа на сходството на обекти от един тип и тяхната разлика от обекти от други типове.

Операцията за разделяне е логическа операция, която разкрива обхвата на понятието, като подчертава възможните типове обект в него. Например всички ученици педагогически университетмогат да бъдат разделени на тези, които планират да ходят на работа в училище, и тези, които не планират да ходят на училище. Основата на разделението е свойството, според което се разграничават видовете. В нашия пример основата е свойството: „да имаш намерение да работиш в училище“.

При извършване на класификация изборът на основа е важен: дават различни причини различни класификации. Класификацията може да се извърши според съществени свойства (естествени) и несъществени (спомагателни). С естествената класификация, знаейки към коя група принадлежи даден елемент, можем да преценим неговите свойства.

Два вида разделение:

1. разделяне чрез модификация на характеристика е разделение, при което свойството - основата на разделението - е присъщо на обекти от избраните типове в различна степен

2. дихотомно деление е деление, при което дадено понятие се разделя на два вида според наличието или отсъствието на определено свойство.

Операцията за разделяне се подчинява на следните правила:

1. Разделението трябва да бъде пропорционално, т.е. обединението на избраните класове трябва да образува оригиналния набор (сумата от обемите на специфичните понятия е равна на обема на родовото понятие).

2. Разделянето трябва да се извърши само с една основа.

3. Пресечната точка на класовете трябва да е празна.

4. делението трябва да бъде непрекъснато.

4. Методика за въвеждане на нови математически понятия.В методиката на обучението по математика има два метода за въвеждане на понятия: бетон-индуктивенИ абстрактно-дедуктивен(термините са въведени от руски методист).

Диаграма на приложение бетон-индуктивенметод.

1. Примерите се преглеждат и анализират (анализ, сравнение, абстракция, обобщение,...).

2. Разберете общи признаципонятия, които го характеризират.

3. Формулирано е определение.

4. Дефиницията се подсилва чрез даване на примери и контрапримери.

Диаграма на приложение абстрактно-дедуктивенметод.

Формулирана е дефиницията на понятието. Дадени са примери и контрапримери. Концепцията се затвърждава чрез изпълнение на различни упражнения.

Например въведение квадратно уравнение, концепции Декартови координатии така нататък.

При формирането на концепции е препоръчително да се прилагат препоръките на психологическите и педагогическите науки, например теорията за постепенното формиране на умствени действия.

Етап 1. Те обясняват целта на въведеното понятие и дават ориентация.

Етап 2. Учениците формулират определение по картината.

Етап 3. Учениците формулират определение с помощта на висок (външен) говор, без да разчитат на рисунка.

Етап 4. Определението се произнася под формата на външна реч към себе си.

Етап 5. Определението се изговаря под формата на вътрешна реч.

При изучаване на понятия е необходимо да се променят несъществени характеристики (принципи на вариация) - това е разнообразно подреждане на картини и рисунки на дъската, например триъгълник, неговата височина, перпендикуляр на линия и т.н. ( не само хоризонталното разположение на линия, основата на триъгълник и т.н.)

Разбирането на дефинициите се подпомага чрез анализиране на логическата структура на дефиницията. За целта се съставят алгоритми за разпознаване на концепции, математически диктовки и тестове.

Курсът по математика за 5-6 клас е органична част от цялата училищна математика. Ето защо основното изискване за изграждането му е структурирането на съдържанието на единна идейна основа, която, от една страна, е продължение и развитие на идеите, реализирани в обучението по математика в начално училище, а от друга страна обслужва последващото изучаване на математика в гимназията.

Продължава развитието на всички съдържателни и методически направления на началния курс по математика: числени, алгебрични, функционални, геометрични, логически, анализ на данни. Реализират се върху числен, алгебричен, геометричен материал.

IN напоследъкизучаването на геометрията е значително преработено. Целта на изследването геометрия в 5-6 клас е познаването на света около нас чрез езика и средствата на математиката. С помощта на построения и измервания учениците идентифицират различни геометрични модели, които формулират като предложение, хипотеза. Демонстративният аспект на геометрията се разглежда от проблемна гледна точка - на учениците се внушава идеята, че много геометрични факти могат да бъдат открити експериментално, но тези факти стават математически истини само когато са установени с приетите в математиката средства.

Така геометричният материал в този курс може да се характеризира като визуално-дейностна геометрия. Обучението е организирано като процес на интелектуална и практическа дейност, насочена към развитие пространствени представи, изобразително изкуство, разширяване на геометричните хоризонти, по време на което най-важните свойства геометрични формиполучени чрез опит и здрав разум.

Съвсем ново в курса за 5-6 клас е съдържателната линия „ Анализ на данни “, който съчетава три направления: елементи математическа статистика, комбинаторика, теория на вероятностите. Въвеждането на този материал беше продиктувано от самия живот. Неговото изучаване има за цел да развие у учениците както обща вероятностна интуиция, така и специфични начини за оценка на данните. Основната задача в тази връзка е формирането на подходящ речник, преподаване на най-простите техники за събиране, представяне и анализ на информация, научаване за решаване на комбинаторни проблеми чрез изброяване на възможни варианти, създаване на елементарни идеи за честота и вероятност случайни събития.

Този ред обаче не присъства във всички съвременни училищни учебници за 5-6 клас. Тази линия е представена особено подробно и ясно в учебниците.

Алгебрични Материалът, включен в курса по математика за 5-6 клас, е основата за системното изучаване на алгебрата в гимназията. Могат да се отбележат следните характеристики на изучаването на този алгебричен материал:

1. Изучаването на алгебричен материал се основава на научна основа, като се вземе предвид възрастови характеристикии способностите на ученика.

2. Формирането на алгебрични понятия и развитието на съответните умения представляват единен процес, изграден върху подробна система от упражнения.

3. Системата от упражнения служи като надеждно средство за овладяване на съвременния математически език, тъй като този език се използва широко при формулирането на различни задачи. Например „Докажете, че това неравенство е вярно: 29 2<1000».

4. Подобряването на изчислителните умения е органично свързано с изучаването на алгебричен материал.

В 5-6 клас акцентът е върху развитието на компютърната култура, по-специално върху преподаването на евристични техники за оценка и оценка на резултатите от действията, проверката им за правдоподобност. Обръща се повишено внимание на аритметичните техники за решаване на текстови задачи като средство за преподаване на разсъждения, избор на стратегия за решение, анализиране на ситуация, сравняване на данни и в крайна сметка развиване на мисленето на учениците.

Трансформациите на идентичност на алгебрични изрази с променливи, изучавани по това време, се използват широко за функционална пропедевтика. Значително място в курса по математика в средното училище се отделя на материала с функционален характер. Дефиницията на функция се въвежда в 7. клас, а функционалната пропедевтика започва в 5. клас, където се разглежда понятието променлива, израз с променлива, формула, която задава зависимости между определени величини.

Използването на буквена нотация ни позволява да повдигнем въпроса за конструирането на формули. Взаимоотношенията между количествата също се посочват таблично и графично и децата се обучават в прехода от една форма на посочване на връзка към друга. Системната работа със специфични зависимости гарантира, че децата са готови да изучават функции в гимназията.

Методи . Курсът по математика за 5-6 клас е изграден индуктивно. Съдържанието на учебния материал налага използването на методи, които допринасят за формирането както на продуктивни, така и на репродуктивни дейности.

В 5-6 клас най-често се използват следните методи на обучение:

· Обяснително и илюстративно. Чрез този метод могат да се въведат цял ​​набор от математически концепции за 5-6 клас. С негова помощ може да се изучава материал, който служи като логично продължение и разширяване на основния материал. Същият метод може да се използва за изследване на конкретни алгоритми. Информацията се изучава и с помощта на обяснително-илюстративния метод, който може да се използва като готови (формирани в началното училище) знания, но получаващи нови приложения. Целта на изучаването на материала с помощта на обяснителния и илюстративен метод е да се развият знания за правила, закони, алгоритми и др. до ниво на умения.

· Частично търсене и проблемни методи. Основните понятия на курса трябва да се изучават с помощта на методи, които биха осигурили творческия (продуктивен) характер на дейността на студентите. Сред тези методи, доста приложими в 5-6 клас, е частичното търсене. Този метод може да се използва за изучаване на следните понятия: променлива, истинско и грешно неравенство и др.

Урок . Особеностите на предмета математика в 5-6 клас (почти всеки урок изисква научаване на нови факти по темата), изискванията на програмата и темпото на изучаване на материала доведоха до факта, че най-често срещаният тип урок в тези класове е комбиниран.

Нека изброим още някои функции обучение по математика в 5-6 клас:

· В първите етапи от изучаването на математика в 5. клас учениците повтарят понятия, познати им от 1-4 клас, но това повторение се извършва на ново ниво, използвайки математическа терминология и символи. Това се прави с цел да се положат основите на един математически език, основите на една математическа култура.

· В хода на 5-6 клас, когато се представят аритметиката и началото на алгебрата, често се прибягва до геометрични дефиниции с помощта на координатна линия или лъч, което прави обучението по-нагледно и следователно по-достъпно и разбираемо за учениците. По подобен начин например се изучава сравнението на обикновени и десетични дроби.

· Една от характеристиките на този курс е линейно-концентричното представяне на материала, според което студентите многократно се връщат към всички основни въпроси, издигайки се на ново ниво във всеки следващ пасаж.

Например, при изучаване на темата „Десетични числа и проценти“ има преход от набора от неотрицателни цели числа към набора от рационални неотрицателни числа; В същото време обучението се основава на известните на учениците алгоритми на действия с естествени числа и постоянно се използват знанията и уменията, придобити по-рано.

· Първата трудност, която срещат петокласниците, е работата с обяснителния текст на учебника. Причината за това е недостатъчната техника на четене на някои деца, малкият речников запас, както и фактът, че толкова обемни текстове не се срещат в учебниците за начално училище.

През целия период на обучение в 5-ти и 6-ти клас учителят по математика трябва систематично да развива у децата способността да четат, разбират текст и да работят с него. Тази работа служи като необходимата основа за успешното изучаване на систематичните курсове по алгебра и геометрия в следващите класове.

· Ученето на математика изисква активни умствени усилия. Много е трудно да се поддържа произволното внимание на учениците през целия урок. Интензивната умствена дейност, голям брой подобни и като цяло рутинни изчисления или алгебрични трансформации бързо уморяват учениците. Има универсален начин за поддържане на работния тонус на учениците: преминаване от един вид учебна дейност към друг. Но можете също да приемете съвета на Блез Паскал: „Темата математика е толкова сериозна, че е полезно да се използва всяка възможност, за да я направим малко забавна.“ Този съвет е особено подходящ при преподаването на математика в 5-6 клас. Това обаче също е един от видовете превключване.

2.4 Характеристики на формирането на математически концепции в 5-6 клас

Всяко понятие, включително математическото, е абстракция от набора от конкретни обекти, които се описват от него. Понятието отразява устойчивите свойства на обектите и явленията, които се изучават. Тези свойства се повтарят във всички обекти, които са обединени от понятие. Но всеки реален обект има някои други свойства, които са уникални за него. Разликата в несъществените свойства само подчертава и подчертава съществените.

Ако в начално училищеДокато обучението се провежда предимно на визуално, образно ниво на мислене, в 5-6 клас словесно-логическото мислене се развива по-дълбоко. Съдържанието на такова мислене са понятия, чиято същност „вече не са външните, конкретни, визуални признаци на обектите и техните взаимоотношения, а вътрешните, най-съществените свойства на обектите и явленията и отношенията между тях“.

дипломна работа

1.1 Математически понятия, тяхното съдържание и обхват, класификация на понятията

Концепцията е форма на мислене за холистичен набор от съществени и несъществени свойства на даден обект.

Математическите концепции имат свои собствени характеристики: те често възникват от нуждите на науката и нямат аналози в реалния свят; имат висока степен на абстракция. Поради това е желателно да се покаже на учениците възникването на изучаваното понятие (от нуждите на практиката или от нуждите на науката).

Всяко понятие се характеризира с обем и съдържание. Съдържание- много съществени характеристики на понятието. Сила на звука- набор от обекти, към които е приложимо това понятие. Нека разгледаме връзката между обема и съдържанието на едно понятие. Ако съдържанието съответства на реалността и не включва противоречиви характеристики, тогава обемът не е празен набор, което е важно да се покаже на учениците при въвеждането на концепцията. Съдържанието изцяло определя обема и обратно. Това означава, че промяната в едното води до промяна в другото: ако съдържанието се увеличи, тогава обемът намалява.

o трябва да се извършва по един критерий;

o класовете трябва да са несвързани;

o обединението на всички класове трябва да даде цялото множество;

o класифицирането трябва да бъде непрекъснато (класовете трябва да са най-близките видови понятия по отношение на понятието, което подлежи на класификация).

Разграничават се следните видове класификация:

1. По модифицирана характеристика. Обектите, които трябва да бъдат класифицирани, могат да имат няколко характеристики, така че могат да бъдат класифицирани по различни начини.

Пример. Концепцията за "триъгълник".

2. Дихотомични. Разделяне на обхвата на едно понятие на две специфични понятия, едното от които има даден признак, а другото не.

Нека подчертаем целите на обучението по класификация:

1) развитие на логическото мислене;

2) чрез изучаване на видовите различия, ние получаваме по-ясна представа за родовата концепция.

И двата вида класификация се използват в училище. По правило първо дихотомно, а след това на модифицирана основа.

Повишаване на чувството за гражданство в предучилищна възраст

Думата "патриот" се появява за първи път по време на Френската революция от 1789 - 1793 г. Тогава борците за народната кауза, защитниците на републиката, за разлика от предателите, предателите на родината от монархическия лагер, се наричаха патриоти...

Деление на понятията

За да оперираме смислено с понятия и да ги използваме правилно при решаване на теоретични и практически проблеми, е необходимо да можем да идентифицираме две основни логически характеристики: обхвата и съдържанието на понятието...

Деление на понятията

Класификацията е разпределението на обектите в групи (класове), в които всеки клас има свое постоянно място. Класификацията е вид разделяне на понятието...

Изследване на ефективността на използването на домашните в процеса на физическо възпитание

Самостоятелната дейност се разбира като набор от действия, обединени от обща цел и изпълняващи определена социална функция (V.N. Shaulin, 1986). В нашия случай се занимаваме с дейности по физическо възпитание, тоест дейности...

Междупредметни връзки в обучението

Междупредметните връзки могат да помогнат на учениците да разберат света около тях, неговите свойства, основните явления и процеси, протичащи в него, и моделите, на които се подчиняват. По този начин...

Методи и техники за обучение по чужд език в старши етап

Напоследък много актуален стана призивът на местни и чуждестранни изследователи, като А.А. Шчукин, И.П. Podlasy, M.A. Данилов, И.П. Пидкасисти, И.Я. Lerner и др.

Организиране на проектни дейности на ученици, използващи телекомуникации

Думата „проект“ е използвана за първи път през 1908 г. от ръководителя на учебния отдел на селскостопанските училища Д. Снежден в селскостопанското образование. С помощта на проекти беше предложено да се обвърже работата на училищата с нуждите на земеделското производство...

Характеристики на логопедичната работа за преодоляване на аграматична дисграфия при ученици от средното училище

За първи път A. Kussmaul посочи нарушенията на четенето и писането като независима патология на речевата дейност през 1877 г. Тогава се появиха много произведения, в които бяха дадени описания на деца с различни нарушения на четенето и писането...

Характеристики на формирането на математически понятия в 5-6 клас

Да се ​​дефинира обект означава да се изберат от основните му свойства такива и толкова много, че всяко от тях е необходимо и всички заедно са достатъчни, за да разграничат този обект от другите. Резултатът от това действие е записан в дефиницията...

В съвременните педагогически изследвания, свързани с проблемите на подобряването на функционирането на педагогическите системи, повишаването на ефективността на образователния процес, един от аспектите на най-голям интерес...

Психологически и педагогически аспекти на решаването на проблемите на междуличностните отношения сред подрастващите

Всяка възраст е добра по свой начин. И в същото време всяка възраст има свои собствени характеристики и трудности. Юношеството не е изключение. Юношеството е определен период от живота между детството и зрелостта...

Работа с надарени деца

28. Геометрични фигури триъгълник - петоъгълник Двойките понятия могат да бъдат изречени на глас или представени под формата на карти или отпечатани на отделен лист. Децата могат да отговарят устно или писмено. Задача 4...

Съвременни проблеми на отглеждането на деца в семейството и начини за тяхното решаване

В Малкия енциклопедичен речник понятието семейство се тълкува като „малка група, основана на брак или кръвно родство, членовете на която са свързани чрез общ живот, взаимопомощ, морална и правна отговорност“. М. И. Демков отбелязва...

Формиране на когнитивни универсални образователни дейности, основани на индивидуализация и диференциация на обучението по химия в основното средно училище

Като всяка социална институция, общообразователното училище подлежи на постоянна модернизация. В момента обществено-политическата заявка към средните училища е да структурират учебния процес по такъв начин...

Експериментално изследване на чувството за гражданство при деца в предучилищна възраст

Учител, който започва да се занимава с проблема за развитие на гражданска компетентност, се нуждае преди всичко от познаване на терминологията, ключовите понятия на гражданското и патриотичното възпитание...

Лекция 7. Математически понятия

1. Групи понятия, изучавани в началния курс по математика. Характеристики на математическите понятия.

2. Обхват и съдържание на понятието.

3. Връзки между понятията.

4. Операции с понятия: обобщение, ограничаване, дефиниране и разделяне на понятието.

5. Правила, необходими при формулирането на дефиницията на понятията чрез род и видова разлика.

6. Контекстуални и остенсивни определения. Описание, сравнение.

Групи понятия, изучавани в началния курс по математика. Характеристики на математическите понятия.

Концепциите, преподавани във въвеждащия курс по математика, обикновено се представят в четири групи. Първовключени са понятия, свързани с числата и операциите с тях: число, събиране, събираемо, по-голямо и др. Във вториявключва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнение и др. третисъставят геометрични понятия: права, отсечка, триъгълник и др. ЧетвъртоГрупата се формира от понятия, свързани с величини и тяхното измерване.

Как да изучаваме такова изобилие от различни концепции?

На първо място, трябва да имате представа за понятието като логическа категория и характеристиките на математическите понятия.

В логиката на понятиятаобмислят като форма на мислене, отразяващи предмети(обекти или явления) в техните съществени и общи свойства. Езиковата форма на понятието е думаили група от думи.

Създайте концепция за обект- това означава да можете да го различавате от други обекти, подобни на него.

Математическите понятия имат редица характеристики. Основното е, че математическите обекти, за които е необходимо да се формулира концепция, не съществуват в действителност. Математическите обекти са създадени от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални обекти или явления. Например в геометрията те изучават формата и размера на обектите, без да вземат предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и др. Те са разсеяни от всичко това, абстрахирани. Затова в геометрията вместо думата „обект” казват „геометрична фигура”.

Резултатът от абстракцията са математически понятия като "число" и "величина".

Изобщо математическите обекти съществуват само в човешкото мисленеи в онези знаци и символи, които образуват математическия език.

Към казаното можем да добавим, че изучаване на пространствени форми и количествени отношенияматериалния свят, математиката не само използва различни техники за абстракция, но самата абстракция действа като многоетапен процес. В математиката те разглеждат не само понятия, възникнали по време на изучаването на реални обекти, но и понятия, възникнали въз основа на първите. Например, общото понятие за функция като съответствие е обобщение на понятията за конкретни функции, т.е. абстракция от абстракциите.

За да овладее общите подходи към изучаването на понятията в началния курс по математика, учителят се нуждае от знания за обхвата и съдържанието на понятието, връзките между понятията и видовете определения на понятията.

2. Обхват и съдържание на понятието

Всеки математически обект има определени свойства. Например квадратът има четири страни, четири прави ъгъла и равни диагонали. Можете да посочите другите му свойства.

Между свойства на обектадиференцират значителноИ незначителен.

Разгледан имот значителноза обект, ако е присъщо на този обект и без него той не може да съществува. Например, за един квадрат всички свойства, споменати по-горе, са съществени. Свойството „страната AD е хоризонтална“ не е от съществено значение за квадрат ABCD. Ако квадратът се завърти, тогава страната AD ще бъде разположена по различен начин (фиг. 26). Следователно, за да разберете какво представлява даден математически обект, трябва да знаете неговите основни свойства.

Когато хората говорят за математическа концепция, те обикновено имат предвид набор от обекти, обозначени с един термин (дума или група от думи). И така, като говорим за квадрат, имаме предвид всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че наборът от всички квадрати съставлява обхвата на понятието "квадрат".

Всяко понятие се характеризира с дума, обем и съдържание.

Обхват на понятието А - това е наборът от всички обекти, които могат да бъдат наречени с дадена дума (термин)

Пример. Нека подчертаем обема и съдържанието на понятието „правоъгълник“.

Обхват на понятиетое набор от различни правоъгълници и в него съдържаниевключва такива свойства на правоъгълниците като „имат четири прави ъгъла“, „имат равни срещуположни страни“, „имат равни диагонали“ и т.н.

Съществува връзка между обхвата на понятието и неговото съдържание: Ако обемът на едно понятие се увеличава, то съдържанието му намалява и обратно.Така например обхватът на понятието „квадрат“ е част от обхвата на понятието „правоъгълник“, а съдържанието на понятието „квадрат“ съдържа повече свойства от съдържанието на понятието „правоъгълник“ („всички страни са равни”, „диагоналите са взаимно перпендикулярни” и др.).

Всяко понятие не може да бъде научено, без да се осъзнае връзката му с други понятия.Ето защо е важно да се знае в какви отношения могат да бъдат открити понятията и да се умеят да се установяват тези връзки.