- осигуряват повторение, обобщение, систематизиране на материала по темата;
- създава условия за контрол и самоконтрол на придобитите знания и умения;
- насърчаване на формирането на умения за прилагане на техники: сравнение, обобщение, подчертаване на основното, прехвърляне на знания в нова ситуация, развитие на математически възглед;
- създават условия за развитие на познавателния интерес на учениците;
- да се култивира отговорност за качеството и резултата от извършената работа в урока, математическа дейност, способност за работа в групи и обща култура.
- Преглед на теоретичния материал. Обърнете специално внимание на ODZ на логаритмичната функция.
- Систематизира методите за решаване на логаритмични уравнения.
- Извършете диагностика на знанията.
Тип на урока: урок за обобщаване и систематизиране на знанията.
Формат на урока: работилница
Оборудване: учебник, учебни материали, индивидуални карти за самостоятелна работа, листове за запис на знания, медиен проектор.
По време на часовете
1. Организационен момент
Учениците се информират за темата на урока и целите и се подчертава уместността на повторението на тази тема за подготовка за Единния държавен изпит.
2. Проверка на домашните
3. Актуализиране на предишни знания
Студентите работят устно върху упражнения, представени на екрана с помощта на проектор.
Изчисли
1 вариант 2)
Вариант 2 2)
3)
5)
4. Формиране на умения и способности.
Работа по групи, последвана от тестване.
1) Решаване на логаритмични уравнения чрез определяне на логаритъма.
Отговор:Отговор: 256
2) Уравнения, решени чрез потенциране.
Първо, трябва да решите уравнението на системата и въз основа на неравенството на системата се избират корените.
Отговор: 3
Отговор: 3,5Уравнения, решени чрез заместване.
Отговор:
Това уравнение е еквивалентно на уравнението
Нека бъде тогава
Отговор:
Уравнения, решени чрез логаритъм.
=И така Отговор: 0,1; 10..
.
ОДЗ: х. Нека вземем логаритми от двете страни при основа 10.
Където
Отговор: 1; 4.
Уравнения на формата
Това уравнение е еквивалентно на уравнението за
.
ДЗ се определя от системата
ДЗ се определя от системата
Отговор: ( (0;)
Уравнения, решени с помощта на различни свойства на логаритмите.
Прилагайки формулата, получаваме
Замествайки тези стойности на x в оригиналното уравнение, виждаме, че това е коренът на уравнението, а 0,1 не е коренът на уравнението.
Отговор:
Уравненията, които са затруднили учениците, се решават на дъската от учениците, които са ги попълнили.
5. Физкултурна минутка
Те стиснаха ръцете си в „ключалка“, протегнаха ги пред себе си, вдигнаха ги и се протегнаха добре. Лекарите казват, че в този момент се освобождава „ензимът на щастието“.
6. Самостоятелна работа
(Плъзнете екрана и картите за всеки ученик). Студентите са помолени да оценят своите способности и да изберат ниво на задача A, B или C.
След завършване на работата студентите я предават за проверка. На екрана се показват отговорите и кратко решение. Студентите се насърчават да проверяват и оценяват работата си, като поставят оценка за самостоятелна работа.
6. Домашна работа
Повторете P.6.2, 6.3. Д.М. В – 21 № 2 (б, в), № 3 (г, д) варианти 3 и 4.
7. Обобщение на урока
И така, днес решихме логаритмични уравнения. Сега нека обобщим какви методи сме използвали за решаване на уравнения:
- използвайки определението за логаритъм,
- използвайки основната логаритмична идентичност,
- използвайки метода на потенциране,
- въвеждане на нова променлива,
- преход от уравнение с различни бази към една база,
- използвайки свойствата на логаритъма.
Оценяване с броя на „+” в тетрадката, за решението на дъската и на картите. Определяне на представянето на учениците.
Нашият урок приключи. Постигнахме ли целите си?
Времето лети незабелязано, днес сте десетокласници, а утре вече сте абитуриенти. Когато се подготвяте за изпит, никога не мислете, че няма да се справите със задачата, а напротив, мислено си нарисувайте картина на успех и тогава определено ще успеете!
Литература:
- Николски С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.. Алгебра и началото на математическия анализ. 10 клас. Урок за образователни институции: основни и нива на профил. – М., 2009
- Потапов М.К., Шевкин А.В.. Алгебра и началото на математическия анализ. Дидактически материали за 10 клас. – М., 2009.
- Шепелева Ю.В.. Алгебра и началото на математическия анализ. Тематични и финални тестове за 10 клас. – М., 2009.
- Лисенко F.F.. Единен държавен изпит по математика-2009. Легион. – М., 2009.
- Клово А.Г.. Единен държавен изпит по математика-2010 - М., 2010.
- Ерина Т.М. Алгебра. Логаритмични уравнения и неравенства – М, 2004г.
1 от 22
Описание на презентацията по отделни слайдове:
Слайд №1
Научно ръководство по алгебра Тема: „Логаритмични и експоненциални уравненияи неравенства" Изпълни: Мануилова Л.Н. - учител по математика, МБОУ СОУ № 76, Ижевск, Удмуртия
Слайд № 2
Съдържание: Глава 1. 1.1. Понятието логаритъм 1.2. Свойства на логаритъма 1.3. Логаритмични уравнения А. Теоретична част Б. Примери 1.4. Логаритмични неравенства А. Теоретична част Б. Примери Глава 2. 2.1. Степента на положително число е 2,2. Експоненциална функция 2.3. Експоненциални уравнения А. Теоретична част Б. Примери 2.4. Експоненциални неравенства A. Теоретична част B. Примери Глава 3. 3.1. Тест по темата “Логаритмични уравнения и неравенства” I степен на сложност II степен на сложност III степен на сложност 3.2. Тест по темата “Показателни уравнения и неравенства” I ниво на сложност II ниво на сложност III ниво на сложност
Слайд №3
1.1 Концепцията за логаритъм y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) е число n, такова че b = an. Логаритъмът на положително число b при основа a (a > 0,a ≠ 1) се означава по следния начин: n = loga b От дефиницията на логаритъм очевидно е следва, че за a > 0, a ≠ 1, b > 0: a loga b = b
Слайд № 4
Логаритмична функция y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Функцията y = log x се нарича логаритмична функция. Свойства на функцията y = loga x, за a > 0: Непрекъсната и нарастваща на интервала (0;+∞); Ако x→+∞, тогава y→+∞; ако x→0, тогава y→ -∞. Тъй като loga1=0, то от свойство 1 следва: ако x > 1, то y > 0; ако 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, след това y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.
Слайд № 5
Нека a, M и N са положителни числа, като a ≠ 1, а k е реално число. Тогава са валидни равенствата: 1. loga (M N) = loga M + loga N - логаритъм на произведението положителни числае равно на сумата от логаритмите на тези числа. 2. loga M = loga M – loga N - Логаритъмът на частното на положителните числа N е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя. 3. loga Mk = k · loga M - Логаритъмът на степента на положително число е равен на произведението на степента и логаритъма на това число. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Формула за преобразуване на логаритми от една logb a logb a основа в друга. Индивидуални случаи: 1. log10 b = log b - Логаритъмът на положително число b при основа 10 се нарича десетичен логаритъмчисла б. 2. log b = ln b - Логаритъмът на положително число b при основа e се нарича натурален логаритъм на b 1.2 Свойства на логаритмите
Слайд № 6
1. Нека a е дадено положително число, което не е равно на 1, b е дадено реално число. Тогава уравнението loga x = b се нарича най-простото логаритмично уравнение. Например уравнения a) log3 x = 3 ; (1) b) log⅓ x = -2; (2) в) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) са най-простите логаритмични уравнения. По дефиницията на логаритъм, ако число x0 удовлетворява численото равенство loga x = b, тогава числото x0 е ab и това число x0 = ab е единственото. Така за всяко реално число b уравнението loga x = b има уникален корен x0 = ab. 2. Уравнения, които след замяна на неизвестното се превръщат в най-прости логаритмични уравнения: а) log5 (4x – 3) = 2; (4) б) 2 + 1 = -1; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Уравнения (Теоретична част)
Слайд № 7
1.3 Примери log3 x = 3 Нека пренапишем уравнението във формата: log3 x = log3 27 Тогава е очевидно, че това уравнение има един корен x0 = 27. Отговор: 27. б) log1/3 x = -2 Това уравнение има един корен x0 = ( ⅓)-2 =9 Отговор: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Намалявайки всички логаритми до една и съща основа, пренаписваме уравнение като: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Тъй като всеки член на сбора, ограден в скоби, е положителен, сборът не е равен на нула. Следователно уравнение (1) и следователно уравнение (2) са еквивалентни на уравнението log25 x = 0, което има един корен x0 = 1. Следователно уравнение (1) има един корен x0 = 1. Отговор: 1 . a, b – най-простите уравнения; c е уравнение, което след трансформации се превръща в най-простия логаритъм. уравнението
Слайд № 8
1.3 Примери a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Въвеждайки новото известно t = 4x – 3, пренаписваме уравнението във формата: log5 t = 2. Това уравнение има един корен t1 = 52 =25. За да намерите корена на уравнение (1), трябва да решите уравнението: 4x – 3 = 25. (2) То има един корен x1 =7. Следователно уравнение (1) също има един корен x1=7. Отговор: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0,01 log(3x + 1) Въвеждане на ново неизвестно t = log (3x + 1) и вземане под внимание, че log 0,01 = -2, пренаписваме уравнение (1) във формата: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t След като решихме рационалното уравнение (2), откриваме, че то има два корена t1 = -2 и t2 = 1. За да намерите всички корени на уравнение (1), е необходимо да комбинирате корените на двете уравнения log(3x + 1) = -2 и log(3x + 1) = 1. Първото уравнение е еквивалентно на уравнението 3x + 1 = 10-2, което има единичен корен x1 = -0,33. Второто уравнение е еквивалентно на уравнението 3x + 1 = 10, което също има един корен x2 = 3. Отговор: -0,33 ; 3. a, b – уравнения, сведени до най-прости чрез заместване на неизвестното
Слайд № 9
1.4 Неравенства (Теоретична част) Нека a е дадено положително число, различно от 1, b е дадено реално число. Тогава неравенствата: logа x > b (1) logа x< b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x >log x0 (3) log x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, тогава функцията y = loga x нараства в цялата си област на дефиниция, т.е. на интервала (0;+∞). Следователно за всяко число x > x0 числовото неравенство loga x > loga x0 е вярно, а за всяко число x от интервала 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 и всяко реално число b, множеството от всички решения на неравенство (3) е интервалът (x0 ;+ ∞), а множеството от всички решения на неравенство (4) е интервалът (0; x0). Ако 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 численото неравенство loga x е вярно< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >логаритъм x0. Освен това равенството loga x = loga x0 е валидно само за x = x0. Така при 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).
Слайд №10
1.4 Неравенства (Теоретична част) На координатна равнина xOy разгледайте графиките на функцията y = loga x и y = b. Правата y = b пресича графиката на функцията y = loga x в една точка x0 = ab. Ако a > 1, то за всяко x > x0 съответната точка от графиката на функцията y = loga x се намира над правата y = b, т.е. за всяко x > x0 съответната ордината y = ax е по-голяма от ординатата ax0 и за всяко x от интервала 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 съответната точка на графиката на функцията y = loga x е под правата линия y = b и за всеки x от интервалите 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = log x (0< a < 1) х0
Слайд №11
1.4 Примери Нека решим неравенството log1/3 x > -2. (1) Тъй като -2 = log⅓ 9, тогава неравенството (1) може да бъде пренаписано като log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Тъй като ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Тъй като ½ = log4 2, тогава неравенство (3) може да се пренапише като log4 x > log4 2 (4) Тъй като 4 > 1, тогава функцията y = log4 x нараства. Следователно множеството от всички решения на неравенство (4), а следователно и на неравенство (3), е интервалът (2;+∞). Отговор: (2;+∞). (виж Фиг. 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 Фиг. 1 y = ½ y = log4 x
Слайд №12
1.4 Примери Нека решим неравенството log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5. (5) Тъй като log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), тогава неравенство (5) може да бъде пренаписано като: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 или като log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, тогава функцията y = log3 x нараства. Следователно множеството от всички решения на неравенство (6), а оттам и неравенство (5), е интервалът 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9
Слайд №13
2.1 Степен на положително число Степен на c рационален показателНека a е положително число и p/q е рационално число(q ≥ 2). По дефиниция числото a на степен p/q е аритметичен корен от степен q на a на степен p, т.е. a p/q = q√ap. ТЕОРЕМА. Нека a е положително число, p е цяло число, k и q са естествени числа, q ≥ 2, k ≥ 2. Тогава са верни следните равенства: a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk ; c) ap = a pq /q; Свойства на степен с рационален показател ТЕОРЕМА 1. Положително число a на степен с произволен рационален показател r е положително: ar > 0 ТЕОРЕМА 2. Нека a е положително число и r1, r2 и r са рационални числа. Тогава са верни следните свойства: 1. При умножаване на степени с рационални показатели на едно и също положително число показателите се събират: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2. 2. При деление на степени с рационални показатели на едно и също положително число степените се изваждат: аr1: аr2 = аr1 – r2. 3. При повдигане на степен с рационален показател на положително число на рационална степен степените се умножават: (a r1) r2 = a r1∙ r2. ТЕОРЕМА 3. Нека a и b са положителни числа и r е рационално число. Тогава са валидни следните свойства на степен с рационален показател: Степен с рационален показател на произведението на положителни числа е равно на произведението на същите степени на множителите: (ab)r = ar ∙ br . Степента с рационален показател на частното на положителните числа е равна на частното на същите степени на делителя и делителя: (a / b)r = ar / br. ТЕОРЕМА 4. Нека числото a > 1 и r е рационално число. Тогава ar > 1 за r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, а рационалните числа r1 и r2 удовлетворяват неравенството r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .
Слайд №14
2.2 Експоненциална функция Да разгледаме функцията y = a (1) , където a > 0 и a ≠ 0, върху множеството от рационални числа. За всяко рационално число r е определено число ar. Ето как функцията (1) е дефинирана засега върху множеството от рационални числа. Графиката на тази функция в координатната система x0y е колекция от точки (x; ax), където x е всяко рационално число. За a > 1 тази графика е показана схематично на фигура (1), а за 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют експоненциална функцияс основа а.
Слайд №15
2.3 Експоненциални уравнения (Теоретична част) 1. Нека a е дадено положително число, различно от 1, b е дадено реално число. Тогава уравнението ax = b (1) се нарича най-простото експоненциално уравнение. Например уравненията 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 са най-простите експоненциални уравнения. Коренът (или решението) на уравнение с неизвестно x е числото x0, при заместването му в уравнението вместо x се получава правилното числово равенство. Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или показване, че няма такива. Тъй като ax0 > 0 за всяко реално число x0, за което численото равенство ax0 = b би било вярно, удовлетворява единствено число x0 = log b. Така уравнение (1): За b ≤ 0 няма корени; За b > 0 той има един корен x0 = loga b. 2. Уравнения, които след замяна на неизвестното се превръщат в най-простите експоненциални уравнения.
Слайд №16
2.3 Примери Нека решим уравнението (1/2)x = 2 (2) Тъй като 2 > 1, това уравнение има един корен x0 = log½ 2 = -1. Отговор: -1. Нека решим уравнението 3x = 5 (3) Тъй като 5 > 0, това уравнение има един корен x0 = log3 5. Отговор: log3 5. Решете уравнението 25x = -25 Тъй като -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 това уравнение често се записва като ax = aα, където α = loga b. Тогава е очевидно, че единственият корен на това уравнение и следователно на уравнение (1) е числото α. Тъй като уравнение (2) може да бъде написано във формата (1/2)x = (1/2)-1, тогава неговият единствен корен е x0 = -1. Тъй като уравнение (3) може да бъде записано като 3x = 3log 35, единственият му корен е x0 = log3 5.
Слайд №17
2.3 Примери Сега нека разгледаме уравнения, които след прости трансформации се превръщат в прости експоненциални уравнения. Нека решим уравнението 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Тъй като 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, тогава уравнение (4) може да бъде пренаписано като 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 или във формата 5x = 52 (5) Очевидно е, че уравнение (5) и следователно уравнение (4) имат един корен x0 = 2. Отговор: 2. Решете уравнението 4 3x - 9 2x = 0 (6) Тъй като 2x ≠ 0 за всяко реално число, тогава разделяйки уравнение (6) на 2x, получаваме уравнението 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) еквивалентно на уравнението(6). Уравнение (7) може да бъде пренаписано като (3/2)x = (3/2)2. (8) Тъй като уравнение (8) има единичен корен x0 = 2, тогава еквивалентното уравнение (6) има единичен корен x0 = 2. Отговор: 2.
Слайд №18
2.3 Примери Нека решим уравнението 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) След като пренаписахме уравнение (9) във формата 34x2 – 8x + 3 = 1, въвеждаме ново неизвестно t = 4x2 – 8x + 3. Тогава уравнение (9) може да бъде пренаписано във формата 3t = 1. (10 ) Тъй като уравнение (10) има един корен t1 = 0, тогава, за да се намерят корените на уравнение (9), е необходимо да се реши уравнението 4x2 – 8x + 3 = 0. Това уравнение има два корена x1 = 1 /2, x2 = 3/2, така че уравнението (9) има същите корени. Отговор: 1/2 ; 3/2. Сега помислете за решаване на уравнения, които след въвеждане на ново неизвестно t се превръщат в квадратно или рационални уравненияс неизвестен t. Нека решим уравнението 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Тъй като 4x = (2x)2, тогава уравнение (11) може да бъде пренаписано като (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Чрез въвеждане на ново неизвестно t = 2x, получаваме квадратно уравнение t2 - 3t + 2 = 0, което има два корена t1 = 1, t2 = 2. Следователно, за да намерим всички корени на уравнение (11), трябва да комбинираме всички корени на двете уравнения 2x = 1 и 2x = 2. След като решихме тези прости експоненциални уравнения, откриваме, че всички корени на уравнение (11) са x1 = 0; x2 = 1. Отговор: 0; 1 .
Слайд №19
2.4 Експоненциални неравенства (Теоретична част) Нека a е дадено положително число, различно от 1, b е дадено реално число. Тогава неравенствата ax > b (1) и ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 за всяко реално число x0, тогава за b ≤ 0 неравенството a x0 > b е вярно за всяко реално число x0, но няма нито едно реално число x0, за което численото неравенство a x0 да е вярно< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, тогава неравенството (1) и (2) може да се пренапише като ax > ax0 (1) и ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Тъй като за такова a функцията y = ax е нарастваща, тогава за всяко число x > > ax0 и за всяко число x > x0 численото неравенство ax е вярно< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .
Слайд № 20
2.4 Експоненциални неравенства (Теоретична част) Така, за b > 0 и a > 1, множеството от всички решения на неравенство (3) е интервалът (x0 ;+∞), а множеството от всички решения на неравенство (4) е интервалът (-∞; x0) , където x0 = loga b. Нека сега 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 численото неравенство ax е вярно< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 и 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b и няма x, за които неравенството ax< b . При b >0 права y = b пресича графиката на функцията y = aх в една точка x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)
Слайд № 22
2.4 Примери Решете неравенството 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, тогава неравенство (1) може да се пренапише като 2x< 23. (2) Так как 2 >1, тогава функцията y = 2x е нарастваща. Следователно всички решения на неравенство (2) и следователно на неравенство (1) са x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, тогава това неравенство (3) може да бъде пренаписано като (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >лог⅓5. Отговор: (log⅓ 5; +∞). Нека разгледаме неравенство, което след замяна на неизвестното се превръща в най-простото експоненциално неравенство. Нека решим неравенството 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, тогава всички решения на това неравенство са t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратно неравенство(6), намираме всички негови решения: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).
При решаване на логаритмични уравнения и неравенства използвайте свойствата на логаритмите, както и свойствата на логаритмичната функция
y=log a x, a > 0, a 1:
1) Област на дефиниция: x > 0;
2) Обхват: y Р ;
3) log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2 ;
4) За a>1 функцията y=log a x нараства, за 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, т.е.
a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;
При преход от логаритмични уравнения (неравенства) към уравнения (неравенства), които не съдържат знака за логаритъм, трябва да се вземе предвид обхватът на допустимите стойности (APV) на първоначалното уравнение (неравенство).
Задачи и тестове по темата "Логаритмични уравнения"
- Логаритмични уравнения
Уроци: 4 Задачи: 25 Тестове: 1
- Системи експоненциални и логаритмични уравнения - демонстративни и логаритмични функции 11 клас
Уроци: 1 Задачи: 15 Тестове: 1
- §5.1. Решаване на логаритмични уравнения
Уроци: 1 Задачи: 38
- §7 Показателни и логаритмични уравнения и неравенства - Раздел 5. Показателни и логаритмични функции, 10 клас
Уроци: 1 Задачи: 17
- Еквивалентност на уравненията - Уравнения и неравенства 11 клас
Уроци: 2 Задачи: 9 Тестове: 1
При решаването на логаритмични уравнения в много случаи е необходимо да се използват свойствата на логаритъма на произведение, частно или степен. В случаите, когато едно логаритмично уравнение съдържа логаритми с различни основи, прилагането на тези свойства е възможно само след прехода към логаритми с равни основи.
В допълнение, решаването на логаритмично уравнение трябва да започне с намирането на обхвата на допустимите стойности (O.D.V.) на дадено уравнение, т.к. по време на процеса на решаване е възможно това външни корени. Когато попълвате решението, не забравяйте да проверите намерените корени за принадлежност към O.D.Z.
Можете да решавате логаритмични уравнения, без да използвате O.D.Z. В този случай проверката е задължителен елементрешения.
Примери.
Решете уравнения:
а) log 3 (5x – 1) = 2.
Решение:
ODZ: 5x – 1 > 0; х > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9,
х = 2.
