Общинска бюджетна образователна институция на град Иркутск средно училище № 23
Урокът е разработен от: .
Тип урок: урок за откриване на нови знания.
Технология на изграждане на урок: технология за развитие на критичното мислене. Системно-деятелен подход, здравеопазващи технологии.
Тема на урока: Верни и грешни равенства и неравенства.
Цели на урока: научете да намирате (разпознавате) верни и неверни равенства и неравенства.
Затвърдете способността да записвате равенства и неравенства с помощта на символи. Развийте способността за сравняване, анализиране, обобщаване на различни основания, моделиране на избора на методи на дейност и групиране.
Развийте способността да питате, да се интересувате от мненията на другите хора и да изразявате собствените си; влизат в диалог.
Основни термини, понятия: равенства, неравенства, вярно, невярно, сравнение., „по-голямо от“, „по-малко от“, знаци за „равно“.
Планирани резултати:
- учениците трябва да имат представа за верни и грешни неравенства;
- учениците трябва да имат общо разбиране за истински и неверни равенства;
- учениците трябва да разпознават верни и грешни равенства и верни и грешни неравенства;
- учениците трябва да могат да анализират предложената ситуация;
- учениците трябва да могат да възпроизвеждат придобитите знания.
Личен UUD:
- определят общи правила на поведение за всички;
- определят правилата за работа по двойки;
- оценяват усвоеното съдържание на учебния материал (въз основа на лични ценности);
- установяват връзка между целта на дадена дейност и нейния резултат.
Регулаторен UUD:
- определят и формулират целта на дейността в урока;
- формулирайте образователни цели, правете изводи;
- работа по предложения план, инструкции;
- изразете своите предположения въз основа на учебния материал;
- различават правилно изпълнена задача от неправилно.
Когнитивно UUD:
- навигация в учебник, тетрадка;
- ориентирайте се във вашата система от знания (дефинирайте границите на знание/невежество);
- намерете отговори на въпроси, използвайки знанията си;
- анализират учебен материал;
- правят сравнения, като обясняват критериите за сравнение.
UUD за комуникация:
- слушайте и разбирайте речта на другите;
- научете се да изразявате мислите си с достатъчна пълнота и точност, за да доказвате мнението си.
Организация на пространството
Форми на работа: фронтална, работа по двойки, индивидуална.
ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА
Организиране на времето.
Измислено от някого
Просто и мъдро
При среща поздравете:
"Добро утро!"
Добро утро, скъпи мои ученици! Добро утро на всички присъстващи!
Радваме се, че гостите присъстват на нашия урок. Не без основание народната мъдрост казва: „Гостите в къщата са радост за стопаните!“ Нека се обърнем към нашите уважавани учители, да ги поздравим и да кимнем с глава. Браво, показахте се като учтиви, възпитани ученици.
Ученик:
Днес очаквахме гости
И те ни поздравиха с вълнение:
Добри ли сме
И пиша и отговарям?
Не съдете твърде строго
Все пак учихме малко.
Учител: Започваме урок по математика, което означава, че ни очакват важни открития. Какви качества ще ви бъдат полезни в урок по математика? (Н внимателност, находчивост, предпазливост, точност, спретнатост и др.).
Етап 1. "Обадете се".
Учителят: Да започнем с упражнения за ума. (Един отговаря, а децата клаксон).
2. Сборът на числата 3 и 3?
3. Умалено 7, изместено 4, стойност на разликата?
4. 1 член е 1, вторият член е 6, стойността на сумата?
5. Разлика между числата 6 и 4?
6. увеличете 5 с 1?
7. Намалете 6 с 6?
8. 4, това 2 и ли е?
9. Числото преди 7 ли е?
10. Числото следва ли 9?
11. 7 свещи горяха, 2 свещи бяха угасени. Колко свещи са останали? (Две свещи.)
12. Куфарчето на Коля се побира в куфарчето на Вася, а куфарчето на Вася може да бъде скрито в куфарчето на Сева. Кое от тези портфолио е най-голямото?
13. (Диаграма на дъската). В Китай живеят повече хора, отколкото в Индия, и повече хора живеят в Индия, отколкото в Русия. Коя от тези страни има най-голямо население?
2 UZ. Погледнете внимателно дъската.
5…9 8 … 8 7-1 … 4 8 – 4 … 3 + 1
На какви групи може да се раздели всичко, което е изобразено и написано на дъската?
Отговори на децата: - Обекти от живата природа, математически записи, геометрични фигури; - Равенства и неравенства и др.
Децата формулират темата на урока: Равенства и неравенства.
|
|
(На бюрото)
В работната си тетрадка напишете уравненията в 1 колона. (1 дете на дъската). Запишете неравенствата във втората колона. (1 дете на дъската, децата не виждат записа).
Преглед. Заключение.
Упражнение за очите.
Методически похват: плюс - минус - въпрос.Учител: - момчета, всеки има маса № 1 на бюрото си. Каква задача мислиш, че мога да ти предложа? (Варианти за деца). В колона 3 трябва да маркирате всяко твърдение със знак: “+” поставяте, ако твърдението е правилно, “-” ако е неправилно и “?” - ако се затруднявате да отговорите. Винаги поставяме икони с молив. Ако всичко е ясно, можете да започнете работа. (Пауза). А с момчетата, които се съмняват, предлагам да започнем да работим заедно.
Таблица №1.
*Равенство? | ||
*Неравенство? | 3 + 4 = 7 | |
** Равенство? | 6 = 4 + 2 | |
** Равенство? | 6 < 7 | |
Равенство? | ||
Равенство? | 2 + 3 + 1 = 2 + 4 | |
Неравенство? | 9 > 7 | |
Неравенство? | 6 <3 | |
Равенство? | ||
Равенство? | ||
Неравенство? | 2 - 1 < 8 | |
Неравенство? | 8 > 4 + 4 | |
Равенство? | 5 – 3 = 2 | |
Равенство? | 8 – 3 = 2 + 3 | |
Неравенство? | 9 > 9 |
Беше ли лесно да изпълните задачата? Какви трудности срещнахте?
Физминутка
1. Колко точки има в този кръг?
Нека вдигнем ръце толкова пъти.
2. Колко зелени елхи има?
ще направим толкова много завои
3. Колко са кръговете?
Ще направим толкова много скокове.
4. Броим звездите заедно
толкова много клякаме заедно.
Рецепция: З-Х-У.
И така, какво знам аз?! Попълнете 1 колона от таблицата.
Таблица № 2.
- Какво бихте искали да научите в клас днес? (Отговорите на децата). Попълнете колона 2 на таблицата. (Децата самостоятелно формулират темата на урока).
Етап 2. разбиране.
Рецепция. Поставете(система за маркиране на текст (математически записи)).
Момчета, как мислите, че можем да разберем дали сме разсъждавали правилно или не? (Възможни отговори от деца: Намерете отговора в Интернет, попитайте възрастните, попитайте учителя, в учебника).
Моля, отворете учебника на стр. 38 (3, 8), № 96 (9, 6). И намерете момче и момиче, които са се справили със задачата точно като вас. „Катя и Саша изпълняваха едни и същи задачи. Вижте какво направиха." С помощта на кои икони можем да коментираме отговора. В учебника поставяме “+”, ако е правилно, “-” ако е грешно. Работим по двойки.
Много добре! Вдигнете ръце тези, които са научили нещо ново в урока по математика (Отговорите на децата: равенствата и неравенствата могат да бъдат верни (правилно въведено) и неправилно (въведено с грешки). Можем ли да попълним колона 3 от таблицата? (Децата попълват).
Методът на „фините въпроси“.
(1 ученик на дъската, останалите деца работят по двойки).
Раздавателен материал: „равенства“, „неравенства“, „вярно“, „вярно“, „неправилно“, „неправилно“, „9>3“, „5 + 1“< 8», «6 < 4», «7 >5 + 4", "5 - 1 = 4", "9 = 4 + 2", "6 = 6", "3 = 8".
|
|
|
|
 |
 |
Етап 3. Отражение.
Момчета, продължете изречението:
“Днес в час по математика научих...”;
„Беше ми интересно…“;
"Сега мога..."
Благодаря ти за урока! По време на урока се опитахте да мислите, да отговорите правилно, доказвайки мнението си, което означава, че ще постигнете голям успех в математиката! Много добре!
Два числови математически израза, свързани със знака „=“, се наричат равенство.
Например: 3 + 7 = 10 - равенство.
Равенството може да бъде вярно или невярно.
Смисълът на решаването на всеки пример е да се намери стойност на израза, която го превръща в истинско равенство.
За формиране на представи за верни и неверни равенства се използват примери с прозорец в учебника за 1. клас.
Например:
Чрез метода на подбор детето намира подходящи числа и проверява точността на равенството чрез изчисление.
Процесът на сравняване на числа и посочване на връзките между тях с помощта на знаци за сравнение води до неравенства.
Например: 5< 7; б >4 - числени неравенства
Неравенствата също могат да бъдат верни или неверни.
Например:
Използвайки метода за подбор, детето намира подходящи числа и проверява точността на неравенството.
Числените неравенства се получават чрез сравняване на числови изрази и числа.
Например:
При избора на знак за сравнение детето изчислява стойността на израза и го сравнява с дадено число, което се отразява в избора на съответния знак:
10-2>7 5+K7 7 + 3>9 6-3 = 3
Възможен е и друг начин за избор на знак за сравнение - без препратка към изчисляване на стойността на израза.
Напимеп:
Сумата от числата 7 и 2 очевидно ще бъде по-голяма от числото 7, което означава 7 + 2 > 7.
Разликата между числата 10 и 3 очевидно ще бъде по-малка от числото 10, което означава 10 - 3< 10.
Числените неравенства се получават чрез сравняване на два числови израза.
Да сравниш два израза означава да сравниш техните значения. Например:
При избора на знак за сравнение детето изчислява значенията на изразите и ги сравнява, което се отразява в избора на съответния знак:
Възможен е и друг начин за избор на знак за сравнение - без препратка към изчисляване на стойността на израза. Например:
За да зададете знаци за сравнение, можете да извършите следното разсъждение:
Сборът на числата 6 и 4 е по-голям от сбора на числата 6 и 3, тъй като 4 > 3, което означава 6 + 4 > 6 + 3.
Разликата между числата 7 и 5 е по-малка от разликата между числата 7 и 3, тъй като 5 > 3, което означава 7 - 5< 7 - 3.
Частното на 90 и 5 е по-голямо от частното на 90 и 10, защото при разделянето на същото число на по-голямо число, частното е по-малко, което означава 90: 5 > 90:10.
За формиране на представи за верни и неверни равенства и неравенства в новото издание на учебника (2001) се използват задачи от вида:
За проверка се използва методът за изчисляване на значението на изразите и сравняване на получените числа.
Неравенствата с променлива практически не се използват в последните издания на стабилния учебник по математика, въпреки че присъстваха в по-ранните издания. Неравенствата с променливи се използват активно в алтернативните учебници по математика. Това са неравенства от вида:
+ 7 < 10; 5 - >2; > 0; > О
След въвеждането на буква за означаване на неизвестно число, такива неравенства приемат познатата форма на неравенства с променлива:
а + 7>10; 12-г<7.
Стойностите на неизвестните числа в такива неравенства се намират чрез селекция и след това всяко избрано число се проверява чрез заместване. Особеността на тези неравенства е, че могат да бъдат избрани няколко числа, които им пасват (давайки правилното неравенство).
Например: a + 7 > 10; a = 4, a = 5, a = 6 и т.н. - броят на стойностите за буквата a е безкраен, всяко число a> 3 е подходящо за това неравенство; 12 - d< 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.
В случай на безкраен брой решения или голям брой решения на неравенство, детето е ограничено до избор на няколко стойности на променливата, за която неравенството е вярно.
Първо, нека да разгледаме какво е неравенство и да въведем понятията не е равно, по-голямо от, по-малко. След това ще говорим за записване на неравенства с помощта на знаците не е равно, по-малко от, по-голямо от, по-малко от или равно на, по-голямо от или равно на. След това ще се докоснем до основните видове неравенства, ще дадем дефиниции на строги и нестроги, верни и грешни неравенства. След това нека накратко изброим основните свойства на неравенствата. И накрая, нека да разгледаме двойките, тройките и т.н. неравенства и нека да разгледаме значението, което носят.
Понятие за неравенство, подобно на концепцията за равенство, се свързва със сравнението на два обекта. И ако равенството се характеризира с думата „идентичен“, тогава неравенството, напротив, говори за разликата между сравняваните обекти. Например обектите и са еднакви, за тях можем да кажем, че са равни. Но двата обекта са различни, т.е не е равноили неравен.
В математиката общото значение на неравенството остава същото. Но в неговия контекст говорим за неравенството на математическите обекти: числа, стойности на изрази, стойности на всякакви количества (дължини, тегла, площи, температури и т.н.), фигури, вектори и т.н.
Нека също да отбележим, че алгебричните обозначения със знаци неравно, по-малко, по-голямо, по-малко или равно, по-голямо или равно, подобни на тези, разгледани по-горе, се наричат неравенства. Освен това има дефиниция на неравенствата в смисъла на начина, по който са написани:
Неравенстваса смислени алгебрични изрази, съставени с помощта на знаците ≠, ≤, ≥.
www.cleverstudents.ru
Другата страна на равенството е неравенство. В тази статия ще въведем понятието неравенства и ще дадем основна информация за тях в контекста на математиката.
Навигация в страницата.
Научаваме значението на думите „повече” и „по-малко” почти от първите дни на живота си. На интуитивно ниво възприемаме концепцията за повече и по-малко по отношение на размер, количество и т.н. И тогава постепенно започваме да осъзнаваме за какво всъщност говорим сравнение на числата, съответстващи на броя на определени обекти или стойностите на определени количества. Тоест в тези случаи откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.
Да дадем пример. Да разгледаме две отсечки AB и CD и да сравним дължините им 
. Очевидно те не са равни и също така е очевидно, че отсечката AB е по-дълга от отсечката CD. Така, според значението на думата „по-дълъг“, дължината на сегмента AB е по-голяма от дължината на сегмента CD и в същото време дължината на сегмента CD е по-малка от дължината на сегмента AB.
Друг пример. Сутринта температурата на въздуха беше 11 градуса по Целзий, а следобед – 24 градуса. Според правилата за сравняване на естествени числа 11 е по-малко от 24, следователно стойността на температурата сутрин е била по-малка от стойността й по време на обяд (температурата по време на обяд стана по-висока от температурата сутрин).
Буквата има няколко символа за запис на неравенства. Първият е не знак за равенство, представлява зачеркнат знак за равенство: ≠. Знакът за неравенство се поставя между неравни обекти. Например записът |AB|≠|CD| означава, че дължината на отсечката AB не е равна на дължината на отсечката CD. По същия начин 3≠5 – три не е равно на пет.
Знакът за по-голямо от > и знакът за по-малко от ≤ се използват по подобен начин. Между по-големи и по-малки обекти се записва знакът за по-голямо, а между по-малки и по-големи обекти - знакът за по-малко. Нека дадем примери за използването на тези знаци. Записът 7>1 се чете като седем върху едно и можете да напишете, че площта на триъгълник ABC е по-малка от площта на триъгълник DEF, като използвате знака ≤ като SABC≤SDEF.
Какво е неравенство?
Неравенството на сравняваните обекти се разпознава заедно със значението на думи като по-висок, по-нисък (неравенство във височина), по-дебел, по-тънък (неравенство в дебелина), по-нататък, по-близо (неравенство в разстоянието от нещо), по-дълъг, по-къс (неравенство в дължина), по-тежък, по-лек (неравенство на теглото), по-ярък, по-слаб (неравенство на яркостта), по-топъл, по-студен и т.н.
Както вече отбелязахме при запознаването с равенствата, можем да говорим както за равенство на два обекта като цяло, така и за равенство на някои техни характеристики. Същото важи и за неравенствата. Като пример даваме два обекта и . Очевидно те не са еднакви, тоест като цяло са неравностойни. Нито са равни по размер, нито са равни по цвят, но можем да говорим за еднаквост на формите им - и двете са кръгове.
Не равно, по-голямо, по-малко
Понякога ценността е самият факт, че два обекта са неравни. И когато се сравняват стойностите на каквито и да е количества, след като открият неравенството им, те обикновено отиват по-далеч и откриват какво количество Повече ▼, а кой - по-малко.
Записване на неравенства със знаци
Също така широко се използва знакът по-голямо или равно на формата ≥, както и знакът по-малко или равно на ≤. Ще говорим повече за тяхното значение и цел в следващия параграф.
Урок по математика в 1. клас на тема „Равенство. неравенство"
Цели:
- въведе понятията „равенство”, „неравенство”;
- продължи работата по развиване на способността за сравняване на числа и числови изрази;
- практикувайте ментална аритметика, развивайки изчислителни умения;
- консолидират пространствени концепции;
- развиват двигателната активност;
- извършват работа по развитието на съгласувана реч.
По време на часовете
I. Организационен момент.
II. Подготвителна работа.
Устно броене.
Работа с вентилатор.
– В къщата живее числото 5. Трябва да откриете кое число липсва на всеки етаж, така че резултатът да е 5. ( Децата показват отговора с помощта на математическо ветрило.)
Броене във „верига“ от 1 до 10, напред и назад от 10 до (с топка).
– Редувайте се да броите от 1 до 10.
– Сега в обратен ред от 10 към 1.
Работа с математически тип.
– Отворени математически набори.
– Поставете 4 червени кръга до 1 кръг с различен цвят.
- Колко са кръговете? (5)
– Съставете пример, като използвате числа от математически набор. (4+1=5)
– Как да го запиша? (Пиша на дъската)
– Оставете числата 4 и 5.
– Кое число е по-малко? (4)
– Кой запис трябва да запиша? (4 4)
- Прочетете записа. (Пет е повече от четири.)
– Премахнете математическия набор.
Физически упражнения.
Вдигаме рамене, скачаме скакалци.
Скок-скок, скок-скок.
Сядаме, хапваме и слушаме тишината.
Тихо, тихо, скачаме високо, лесно, лесно.
III. Главна част.
Работа на дъската.
– Поставете 3 моркова отгоре.
– Поставете 3 ряпи на дъното.
– Какво можете да кажете за броя на морковите и ряпата? (Има еднакъв брой от тях. Еднакъв брой.)
– Какъв знак да поставим между числата? (Равно на.)
Учителят пише 3=3 на дъската.
– Това равенство – тема на урока.
– Кой обича да дъвче моркови? (Зайче.)
Учителят поставя зайчето до морковите.
– Коя приказка разпознахте от картинките? ("Ряпа")
Предлага се драматизация на приказката „Ряпа“, раздават се приказни герои:
– Застанете в ред, както са стояли приказните герои в приказката.
Децата произнасят последователността на героите в приказката (кой зад кого стои).
– Колко ряпа са извадили героите от приказките? (1)
– Какво трябва да се направи с репите, които са разположени на дъската? (Премахнете 1.)
- Колко ряпа? (2)
Напишете 3 2 на дъската
– Какъв знак трябва да поставим между числата? (>)
- Колко моркови? (3)
– Какъв знак да поставим между числата? (
Едва, едва
Въртележката започна да се върти.
И после наоколо, наоколо
И бягай, бягай.
Тихо, тихо, не бързай
Спрете въртележката.
Едно-две, едно-две
Така че играта свърши.
IV. Затвърдяване на изучения материал.
Работа в учебника.
– Прочетете заглавието на темата в учебника. (Равенство. Неравенство.)
– Вижте от коя страна са написани равенствата? (Вляво.) Прочетете.
– От коя страна са написани неравенствата в учебника? (Вдясно.) Прочети.
V. Отражение.
– Каква тема от урока научихте днес?
– С какъв математически знак се записва равенството?
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Интернет проект BeginnerSchool.ru
Сайт за деца и техните родители
Числени равенства и неравенства
Числени равенства
За да получите нотация, наречена числово равенство, трябва да свържете два числови израза със знак за равенство (=).
Показаният пример е валидно числово равенство, но численото равенство може да не е вярно:
Нека разгледаме свойствата на числовите равенства.
(12 + 3) = (9 + 6)
12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15
Равенството е вярно, сега нека проверим свойството
(12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)
15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)
И в двата случая равенствата са верни
Същото ще се случи, ако ние извадетеедин и същи числов израз от двете части истинско числено равенство .
Нека проверим това свойство в предишния пример, като заменим действието събиране с изваждане:
(12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)
Както виждаме равенството е вярно.
Нека проверим това свойство:
(75 – 3) = (15 + 57)
75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 това равенство е вярно
(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)
72 (10 – 2) = 72 8 = 576
Два числови математически израза, свързани със знака „=“, се наричат равенство.
Например: 3 + 7 = 10 - равенство.
Равенството може да бъде вярно или невярно.
Смисълът на решаването на всеки пример е да се намери стойност на израза, която го превръща в истинско равенство.
За формиране на представи за верни и неверни равенства се използват примери с прозорец в учебника за 1. клас.
Например:
Чрез метода на подбор детето намира подходящи числа и проверява точността на равенството чрез изчисление.
Процесът на сравняване на числа и посочване на връзките между тях с помощта на знаци за сравнение води до неравенства.
Например: 5< 7; б >4 - числени неравенства
Неравенствата също могат да бъдат верни или неверни.
Например:
Използвайки метода за подбор, детето намира подходящи числа и проверява точността на неравенството.
Числените неравенства се получават чрез сравняване на числови изрази и числа.
Например:
При избора на знак за сравнение детето изчислява стойността на израза и го сравнява с дадено число, което се отразява в избора на съответния знак:
10-2>7 5+K7 7 + 3>9 6-3 = 3
Възможен е и друг начин за избор на знак за сравнение - без препратка към изчисляване на стойността на израза.
Напимеп:
Сумата от числата 7 и 2 очевидно ще бъде по-голяма от числото 7, което означава 7 + 2 > 7.
Разликата между числата 10 и 3 очевидно ще бъде по-малка от числото 10, което означава 10 - 3< 10.
Числените неравенства се получават чрез сравняване на два числови израза.
Да сравниш два израза означава да сравниш техните значения. Например:
При избора на знак за сравнение детето изчислява значенията на изразите и ги сравнява, което се отразява в избора на съответния знак:
Възможен е и друг начин за избор на знак за сравнение - без препратка към изчисляване на стойността на израза. Например:
За да зададете знаци за сравнение, можете да извършите следното разсъждение:
Сборът на числата 6 и 4 е по-голям от сбора на числата 6 и 3, тъй като 4 > 3, което означава 6 + 4 > 6 + 3.
Разликата между числата 7 и 5 е по-малка от разликата между числата 7 и 3, тъй като 5 > 3, което означава 7 - 5< 7 - 3.
Частното на 90 и 5 е по-голямо от частното на 90 и 10, защото при разделянето на същото число на по-голямо число, частното е по-малко, което означава 90: 5 > 90:10.
За формиране на представи за верни и неверни равенства и неравенства в новото издание на учебника (2001) се използват задачи от вида:
За проверка се използва методът за изчисляване на значението на изразите и сравняване на получените числа.
Неравенствата с променлива практически не се използват в последните издания на стабилния учебник по математика, въпреки че присъстваха в по-ранните издания. Неравенствата с променливи се използват активно в алтернативните учебници по математика. Това са неравенства от вида:
+ 7 < 10; 5 - >2; > 0; > О
След въвеждането на буква за означаване на неизвестно число, такива неравенства приемат познатата форма на неравенства с променлива:
а + 7>10; 12-г<7.
Стойностите на неизвестните числа в такива неравенства се намират чрез селекция и след това всяко избрано число се проверява чрез заместване. Особеността на тези неравенства е, че могат да бъдат избрани няколко числа, които им пасват (давайки правилното неравенство).
Например: a + 7 > 10; a = 4, a = 5, a = 6 и т.н. - броят на стойностите за буквата a е безкраен, всяко число a> 3 е подходящо за това неравенство; 12 - d< 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.
В случай на безкраен брой решения или голям брой решения на неравенство, детето е ограничено до избор на няколко стойности на променливата, за която неравенството е вярно.
Другата страна на равенството е неравенство. В тази статия ще въведем понятието неравенства и ще дадем основна информация за тях в контекста на математиката.
Първо, нека да разгледаме какво е неравенство и да въведем понятията не е равно, по-голямо от, по-малко. След това ще говорим за записване на неравенства с помощта на знаците не е равно, по-малко от, по-голямо от, по-малко от или равно на, по-голямо от или равно на. След това ще се докоснем до основните видове неравенства, ще дадем дефиниции на строги и нестроги, верни и грешни неравенства. След това нека накратко изброим основните свойства на неравенствата. И накрая, нека да разгледаме двойките, тройките и т.н. неравенства и нека да разгледаме значението, което носят.
Навигация в страницата.
Какво е неравенство?
Понятие за неравенство, подобно на , се свързва със сравнението на два обекта. И ако равенството се характеризира с думата „идентичен“, тогава неравенството, напротив, говори за разликата между сравняваните обекти. Например обектите и са еднакви, за тях можем да кажем, че са равни. Но двата обекта са различни, т.е не е равноили неравен.
Неравенството на сравняваните обекти се разпознава заедно със значението на думи като по-висок, по-нисък (неравенство във височина), по-дебел, по-тънък (неравенство в дебелина), по-нататък, по-близо (неравенство в разстоянието от нещо), по-дълъг, по-къс (неравенство в дължина), по-тежък, по-лек (неравенство на теглото), по-ярък, по-слаб (неравенство на яркостта), по-топъл, по-студен и т.н.
Както вече отбелязахме при запознаването с равенствата, можем да говорим както за равенство на два обекта като цяло, така и за равенство на някои техни характеристики. Същото важи и за неравенствата. Като пример даваме два обекта и . Очевидно те не са еднакви, тоест като цяло са неравностойни. Нито са равни по размер, нито са равни по цвят, но можем да говорим за еднаквост на формите им - и двете са кръгове.
В математиката общото значение на неравенството остава същото. Но в неговия контекст говорим за неравенството на математическите обекти: числа, стойности на изрази, стойности на всякакви количества (дължини, тегла, площи, температури и т.н.), фигури, вектори и т.н.
Не равно, по-голямо, по-малко
Понякога ценността е самият факт, че два обекта са неравни. И когато се сравняват стойностите на каквито и да е количества, след като открият неравенството им, те обикновено отиват по-далеч и откриват какво количество Повече ▼, а кой - по-малко.
Научаваме значението на думите „повече” и „по-малко” почти от първите дни на живота си. На интуитивно ниво възприемаме концепцията за повече и по-малко по отношение на размер, количество и т.н. И тогава постепенно започваме да осъзнаваме за какво всъщност говорим сравнение на числата, съответстващи на броя на определени обекти или стойностите на определени количества. Тоест в тези случаи откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.
Да дадем пример. Да разгледаме две отсечки AB и CD и да сравним дължините им 
. Очевидно те не са равни и също така е очевидно, че отсечката AB е по-дълга от отсечката CD. Така, според значението на думата „по-дълъг“, дължината на сегмента AB е по-голяма от дължината на сегмента CD и в същото време дължината на сегмента CD е по-малка от дължината на сегмента AB.
Друг пример. Сутринта температурата на въздуха беше 11 градуса по Целзий, а следобед – 24 градуса. Според 11 е по-малко от 24, следователно стойността на температурата сутрин е била по-малка от стойността й на обяд (температурата на обяд стана по-висока от температурата сутрин).
Записване на неравенства със знаци
Буквата има няколко символа за запис на неравенства. Първият е не знак за равенство, представлява зачеркнат знак за равенство: ≠. Знакът за неравенство се поставя между неравни обекти. Например записът |AB|≠|CD| означава, че дължината на отсечката AB не е равна на дължината на отсечката CD. По същия начин 3≠5 – три не е равно на пет.
Знакът за по-голямо от > и знакът за по-малко от ≤ се използват по подобен начин. Между по-големи и по-малки обекти се записва знакът за по-голямо, а между по-малки и по-големи обекти - знакът за по-малко. Нека дадем примери за използването на тези знаци. Записът 7>1 се чете като седем върху едно и можете да напишете, че площта на триъгълник ABC е по-малка от площта на триъгълник DEF, като използвате знака ≤ като SABC≤SDEF.
Също така широко се използва знакът по-голямо или равно на формата ≥, както и знакът по-малко или равно на ≤. Ще говорим повече за тяхното значение и цел в следващия параграф.
Нека също да отбележим, че алгебричните обозначения със знаци неравно, по-малко, по-голямо, по-малко или равно, по-голямо или равно, подобни на тези, разгледани по-горе, се наричат неравенства. Освен това има дефиниция на неравенствата в смисъла на начина, по който са написани:
Определение.
Неравенстваса смислени алгебрични изрази, съставени с помощта на знаците ≠,<, >, ≤, ≥.
Строги и нестроги неравенства
Определение.
Знаците се наричат по-малко признаци на строги неравенства, а записаните с тяхна помощ неравенства са строги неравенства.
На свой ред
Определение.
Наричат се знаците по-малко или равно на ≤ и по-голямо или равно на ≥ признаци на слаби неравенства, а неравенствата, компилирани с тях, са нестроги неравенства.
Обхватът на приложение на строгите неравенства е ясен от информацията по-горе. Защо са необходими слаби неравенства? На практика с тяхна помощ е удобно да се моделират ситуации, които могат да бъдат описани с фразите „не повече“ и „не по-малко“. Фразата „не повече“ по същество означава по-малко или същото; отговаря се със знак за по-малко от или равен на формата ≤. По същия начин „не по-малко“ означава същото или повече и е свързано със знака за по-голямо или равно ≥.
От тук става ясно защо знаците< и >се наричат признаци на строги неравенства, а ≤ и ≥ – нестроги. Първите изключват възможността за равенство на обектите, а вторите я допускат.
За да завършим този раздел, ще покажем няколко примера за използване на нестроги неравенства. Например, като използвате знака за по-голямо или равно, можете да запишете факта, че a е неотрицателно число като |a|≥0. Друг пример: известно е, че средното геометрично на две положителни числа a и b е по-малко или равно на тяхното средно аритметично, т.е. 
.
Верни и грешни неравенства
Неравенствата могат да бъдат верни или неверни.
Определение.
Неравенството е верен, ако отговаря на смисъла на въведеното по-горе неравенство, в противен случай е така неверен.
Нека дадем примери за верни и грешни неравенства. Например 3≠3 е неправилно неравенство, тъй като числата 3 и 3 са равни. Друг пример: нека S е площта на някаква фигура, тогава S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . Но неравенствата са −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает неравенство на триъгълник, а третият е в съответствие с дефиницията на модула на число.
Обърнете внимание, че заедно с фразата „истинско неравенство“ се използват следните фрази: „справедливо неравенство“, „има неравенство“ и т.н., което означава едно и също нещо.
Свойства на неравенствата
Според начина, по който въведохме понятието неравенство, можем да опишем основното свойства на неравенствата. Ясно е, че обектът не може да бъде равен на себе си. Това е първото свойство на неравенствата. Второто свойство е не по-малко очевидно: ако първият обект не е равен на втория, то вторият не е равен на първия.
Понятията „по-малко“ и „повече“, въведени на определено множество, определят така наречените отношения „по-малко“ и „повече“ на оригиналното множество. Същото важи и за отношенията „по-малко или равно на“ и „по-голямо или равно на“. Те също имат характерни свойства.
Да започнем със свойствата на отношенията, на които съответстват знаците< и >. Нека ги изброим, след което ще дадем необходимите коментари за пояснение:
- антирефлексивност;
- антисиметрия;
- преходност.
Свойството антирефлексивност може да бъде написано с помощта на букви, както следва: за всеки обект a неравенствата a>a и a b , след това b а. И накрая, свойството на транзитивност е това от a b и b>c следва, че a>c . Това свойство също се възприема съвсем естествено: ако първият обект е по-малък (по-голям) от втория, а вторият е по-малък (по-голям) от третия, тогава е ясно, че първият обект е дори по-малък (по-голям) от третия .
От своя страна отношенията „по-малко или равно на“ и „по-голямо или равно на“ имат следните свойства:
- рефлексивност: важат неравенствата a≤a и a≥a (тъй като включват случая a=a);
- антисиметрия: ако a≤b, тогава b≥a, и ако a≥b, тогава b≤a;
- транзитивност: от a≤b и b≤c следва, че a≤c, а от a≥b и b≥c следва, че a≥c.
Двойни, тройни неравенства и др.
Свойството на транзитивност, което засегнахме в предишния параграф, ни позволява да съставим така наречените двойни, тройни и т.н. неравенства, които са вериги от неравенства. Като пример нека дадем двойното неравенство a Сега нека да разгледаме как да разбираме такива записи. Те трябва да се тълкуват в съответствие със значението на знаците, които съдържат. Например двойно неравенство a В заключение отбелязваме, че понякога е удобно да се използват обозначения под формата на вериги, съдържащи както равни, така и неравни знаци, както и строги и нестроги неравенства. Например x=2 Библиография.
