Тази статия е за десетични знаци. Тук ще разберем десетичния запис на дробните числа, ще въведем концепцията за десетична дроб и ще дадем примери за десетични дроби. След това ще говорим за цифрите на десетичните дроби и ще дадем имената на цифрите. След това ще се съсредоточим върху безкрайни десетични дроби, нека поговорим за периодични и непериодични дроби. След това изброяваме основните операции с десетични дроби. В заключение, нека установим позицията на десетичните дроби върху координатния лъч.
Навигация в страницата.
Десетичен запис на дробно число
Четене на десетични числа
Нека кажем няколко думи за правилата за четене на десетични дроби.
Десетичните дроби, които съответстват на правилните обикновени дроби, се четат по същия начин като тези обикновени дроби, само че първо се добавя „нулево цяло число“. Например десетичната дроб 0,12 съответства на обикновената дроб 12/100 (да се чете „дванадесет стотни“), следователно 0,12 се чете като „нула точка и дванадесет стотни“.
Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат точно по същия начин като тези смесени числа. Например десетичната дроб 56.002 съответства на смесено число, така че десетичната дроб 56.002 се чете като „петдесет и шест цяло и две хилядни“.
Места в десетични знаци
При записване на десетични дроби, както и при записване на естествени числа, значението на всяка цифра зависи от нейната позиция. Наистина числото 3 в десетичната дроб 0,3 означава три десети, в десетичната дроб 0,0003 - три десетхилядни, а в десетичната дроб 30 000,152 - три десетки хиляди. Така че можем да говорим за десетични знаци, както и за цифрите в естествените числа.
Имената на цифрите в десетичната дроб до десетичната запетая напълно съвпадат с имената на цифрите в естествените числа. А имената на десетичните знаци след десетичната запетая могат да се видят от следващата таблица.
Например в десетичната дроб 37.051 цифрата 3 е на мястото на десетиците, 7 е на мястото на единиците, 0 е на мястото на десетите, 5 е на мястото на стотните и 1 е на мястото на хилядните.
Местата в десетичните дроби също се различават по приоритет. Ако при писане на десетична дроб се движим от цифра на цифра отляво надясно, тогава ще се движим от възрастни хораДа се младши чинове. Например мястото на стотните е по-старо от мястото на десетите, а мястото на милионите е по-ниско от мястото на стотните. В дадена последна десетична дроб можем да говорим за големи и второстепенни цифри. Например в десетична дроб 604.9387 старши (най-висок)мястото е мястото на стотиците и младши (най-нисък)- десетхилядна цифра.
За десетични дроби се извършва разгъване в цифри. Подобно е на разлагането на естествени числа в цифри. Например, разширяването в десетични знаци на 45.6072 е както следва: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. И свойствата на добавяне от разлагането на десетична дроб в цифри ви позволяват да преминете към други представяния на тази десетична дроб, например 45,6072=45+0,6072, или 45,6072=40,6+5,007+0,0002, или 45,6072= 45,0072+ 0,6.
Крайни десетични знаци
До тук говорихме само за десетични дроби, в записа на които има краен брой цифри след десетичната запетая. Такива дроби се наричат крайни десетични дроби.
Определение.
Крайни десетични знаци- Това са десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).
Ето няколко примера за крайни десетични дроби: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Въпреки това, не всяка дроб може да бъде представена като краен десетичен знак. Например дробта 5/13 не може да бъде заменена с равна дроб с един от знаменателите 10, 100, ..., следователно не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб. Ще говорим повече за това в теоретичния раздел, превръщайки обикновените дроби в десетични.
Безкрайни десетични дроби: периодични дроби и непериодични дроби
При записването на десетична дроб след десетичната запетая може да се предположи възможността за безкраен брой цифри. В този случай ще разгледаме така наречените безкрайни десетични дроби.
Определение.
Безкрайни десетични знаци- Това са десетични дроби, които съдържат безкраен брой цифри.
Ясно е, че не можем да запишем безкрайни десетични дроби в пълна форма, така че при записването им се ограничаваме само до определен краен брой цифри след десетичната запетая и поставяме многоточие, което означава безкрайно продължаваща последователност от цифри. Ето няколко примера за безкрайни десетични дроби: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
Ако се вгледате внимателно в последните две безкрайни десетични дроби, тогава в дробта 2.111111111... ясно се вижда безкрайно повтарящото се число 1, а в дробта 69.74152152152..., започвайки от третия десетичен знак, повтаряща се група числа 1, 5 и 2 се вижда ясно. Такива безкрайни десетични дроби се наричат периодични.
Определение.
Периодични десетични знаци(или просто периодични дроби) са безкрайни десетични дроби, при записването на които, започвайки от определен знак след десетичната запетая, се повтаря безкрайно някакво число или група числа, което се т.нар. период на фракцията.
Например периодът на периодичната дроб 2.111111111... е цифрата 1, а периодът на дробта 69.74152152152... е група от цифри от вида 152.
За безкрайни периодични десетични дроби се приема специална форма на запис. За краткост се съгласихме да запишем точката веднъж, като я поставим в скоби. Например, периодичната дроб 2.111111111... се записва като 2,(1) , а периодичната дроб 69.74152152152... се записва като 69.74(152) .
Струва си да се отбележи, че за една и съща периодична десетична дроб можете да посочите различни периоди. Например, периодичната десетична дроб 0,73333... може да се разглежда като дроб 0,7(3) с период 3, а също и като дроб 0,7(33) с период 33 и така нататък 0,7(333), 0,7 (3333), ... Можете също така да разгледате периодичната дроб 0,73333 ... така: 0,733(3) или така 0,73(333) и т.н. Тук, за да избегнем двусмислие и несъответствия, ние се съгласяваме да считаме за период на десетична дроб най-кратката от всички възможни последователности от повтарящи се цифри и започвайки от най-близката позиция до десетичната запетая. Тоест периодът на десетичната дроб 0,73333... ще се счита за последователност от една цифра 3, а периодичността започва от втората позиция след десетичната запетая, тоест 0,73333...=0,7(3). Друг пример: периодичната дроб 4.7412121212... има период 12, периодичността започва от третата цифра след десетичната запетая, тоест 4.7412121212...=4.74(12).
Безкрайните десетични периодични дроби се получават чрез преобразуване в десетични дроби на обикновени дроби, чиито знаменатели съдържат прости множители, различни от 2 и 5.
Тук си струва да споменем периодични дроби с период 9. Нека дадем примери за такива дроби: 6.43(9) , 27,(9) . Тези дроби са друга нотация за периодични дроби с период 0 и обикновено се заменят с периодични дроби с период 0. За да направите това, период 9 се заменя с период 0 и стойността на следващата най-висока цифра се увеличава с единица. Например, дроб с период 9 от формата 7,24(9) се заменя с периодична дроб с период 0 от формата 7,25(0) или равна крайна десетична дроб 7,25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5. Равенството на дроб с период 9 и съответстващата й дроб с период 0 се установява лесно след замяна на тези десетични дроби с равни обикновени дроби.
И накрая, нека разгледаме по-отблизо безкрайните десетични дроби, които не съдържат безкрайно повтаряща се поредица от цифри. Те се наричат непериодични.
Определение.
Неповтарящи се десетични знаци(или просто непериодични дроби) са безкрайни десетични дроби, които нямат период.
Понякога непериодичните дроби имат форма, подобна на тази на периодичните дроби, например 8,02002000200002... е непериодична дроб. В тези случаи трябва да сте особено внимателни, за да забележите разликата.
Имайте предвид, че непериодичните дроби не се преобразуват в обикновени дроби; безкрайните непериодични десетични дроби представляват ирационални числа.
Операции с десетични знаци
Една от операциите с десетични дроби е сравнението, като са дефинирани и четирите основни аритметични функции операции с десетични знаци: събиране, изваждане, умножение и деление. Нека разгледаме отделно всяко от действията с десетични дроби.
Сравнение на десетични дробипо същество се основава на сравнение на обикновени дроби, съответстващи на сравняваните десетични дроби. Преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби обаче е доста трудоемък процес и безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат представени като обикновени дроби, така че е удобно да се използва поместно сравнение на десетични дроби. Поместното сравнение на десетични дроби е подобно на сравнението на естествени числа. За по-подробна информация препоръчваме да изучите статията: сравнение на десетични дроби, правила, примери, решения.
Да преминем към следващата стъпка - умножение на десетични знаци. Умножението на крайни десетични дроби се извършва подобно на изваждането на десетични дроби, правила, примери, решения за умножение по колона от естествени числа. При периодичните дроби умножението може да се сведе до умножение на обикновени дроби. От своя страна умножението на безкрайни непериодични десетични дроби след тяхното закръгляне се свежда до умножаване на крайни десетични дроби. Препоръчваме за по-нататъшно изучаване на материала в статията: умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.
Десетични знаци върху координатен лъч
Има едно към едно съответствие между точки и десетични знаци.
Нека да разберем как се конструират точки от координатния лъч, които съответстват на дадена десетична дроб.
Можем да заменим крайните десетични дроби и безкрайните периодични десетични дроби с равни обикновени дроби и след това да конструираме съответните обикновени дроби върху координатния лъч. Например десетичната дроб 1.4 съответства на обикновената дроб 14/10, така че точката с координата 1.4 се отдалечава от началото в положителна посока с 14 сегмента, равни на една десета от единичен сегмент.
Десетичните дроби могат да бъдат отбелязани върху координатен лъч, като се започне от разлагането на дадена десетична дроб на цифри. Например, нека трябва да изградим точка с координата 16.3007, тъй като 16.3007=16+0.3+0.0007, тогава можем да стигнем до тази точка чрез последователно полагане на 16 единични сегмента от началото на координатите, 3 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единица и 7 сегмента, чиято дължина е равна на десет хилядна от единичен сегмент.
Този метод за конструиране на десетични числа върху координатен лъч ви позволява да се приближите колкото искате до точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб.
Понякога е възможно да се начертае точно точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб. Например, 
, тогава тази безкрайна десетична дроб 1,41421... съответства на точка от координатния лъч, отдалечена от началото на координатите с дължината на диагонала на квадрат със страна 1 единичен сегмент.
Обратният процес на получаване на десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатен лъч, е т.нар. десетично измерване на сегмент. Нека да разберем как се прави.
Нека нашата задача е да стигнем от началото до дадена точка на координатната линия (или да я приближим безкрайно, ако не можем да стигнем до нея). С десетичното измерване на сегмент можем последователно да отделим от началото произволен брой единични сегменти, след това сегменти, чиято дължина е равна на една десета от единицата, след това сегменти, чиято дължина е равна на стотна от единицата и т.н. Като записваме броя на сегментите от всяка дължина, оставени настрана, получаваме десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч.
Например, за да стигнете до точка М на горната фигура, трябва да отделите 1 единичен сегмент и 4 сегмента, чиято дължина е равна на една десета от единицата. Така точка М съответства на десетичната дроб 1,4.
Ясно е, че точките на координатния лъч, които не могат да бъдат достигнати в процеса на десетично измерване, съответстват на безкрайни десетични дроби.
Библиография.
- Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро издание, рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
От многото дроби, които се срещат в аритметиката, тези, които имат 10, 100, 1000 в знаменателя - като цяло, всяка степен на десет - заслужават специално внимание. Тези дроби имат специално наименование и означение.
Десетична дроб е всяка числова дроб, чийто знаменател е степен на десет.
Примери за десетични дроби:
Защо изобщо беше необходимо да се отделят такива фракции? Защо им е необходим собствен формуляр за запис? Има поне три причини за това:
- Десетичните знаци се сравняват много по-лесно. Запомнете: за да сравните обикновените дроби, трябва да ги извадите един от друг и по-специално да намалите дробите до общ знаменател. В десетичните числа не се изисква нищо подобно;
- Намалете изчисленията. Десетичните числа събират и умножават според собствените си правила и с малко практика ще можете да работите с тях много по-бързо, отколкото с обикновените дроби;
- Лесно записване. За разлика от обикновените дроби, десетичните знаци се записват на един ред без загуба на яснота.
Повечето калкулатори също дават отговори в десетични знаци. В някои случаи различен формат на запис може да причини проблеми. Например, какво ще стане, ако поискате ресто в магазина в размер на 2/3 от рублата :)
Правила за писане на десетични дроби
Основното предимство на десетичните дроби е удобното и визуално записване. а именно:
Десетичната нотация е форма на запис на десетични дроби, където целочислената част е разделена от дробната част с правилна точка или запетая. В този случай самият разделител (точка или запетая) се нарича десетична точка.
Например 0,3 (прочетете: „нула точка, 3 десети“); 7,25 (7 цяло, 25 стотни); 3,049 (3 цели, 49 хилядни). Всички примери са взети от предишната дефиниция.
В писмен вид запетая обикновено се използва като десетична точка. Тук и по-нататък в сайта също ще се използва запетаята.
За да напишете произволна десетична дроб в тази форма, трябва да следвате три прости стъпки:
- Изпишете отделно числителя;
- Преместете десетичната запетая наляво с толкова места, колкото нули има в знаменателя. Да приемем, че първоначално десетичната запетая е отдясно на всички цифри;
- Ако десетичната точка се е преместила и след нея има нули в края на записа, те трябва да бъдат задраскани.
Случва се във втората стъпка числителят да няма достатъчно цифри, за да завърши смяната. В този случай липсващите позиции се запълват с нули. И като цяло, вляво от всяко число можете да зададете произволен брой нули без вреда за вашето здраве. Грозно е, но понякога полезно.
На пръв поглед този алгоритъм може да изглежда доста сложен. Всъщност всичко е много, много просто - просто трябва да тренирате малко. Разгледайте примерите:
Задача. За всяка дроб посочете нейния десетичен запис:
Числителят на първата дроб е: 73. Изместваме десетичната запетая с една позиция (тъй като знаменателят е 10) - получаваме 7,3.
Числител на втората дроб: 9. Преместваме десетичната запетая с две позиции (тъй като знаменателят е 100) - получаваме 0,09. Трябваше да добавя една нула след десетичната запетая и още една преди нея, за да не оставя странен запис като „.09“.
Числителят на третата дроб е: 10029. Изместваме десетичната запетая с три позиции (тъй като знаменателят е 1000) - получаваме 10,029.
Числителят на последната дроб: 10500. Отново изместваме точката с три цифри - получаваме 10 500. В края на числото има допълнителни нули. Задраскайте ги и получаваме 10,5.
Обърнете внимание на последните два примера: числата 10.029 и 10.5. Според правилата нулите отдясно трябва да бъдат задраскани, както беше направено в последния пример. Никога обаче не трябва да правите това с нули в число (които са заобиколени от други числа). Ето защо получихме 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.
И така, разбрахме определението и формата на писане на десетични дроби. Сега нека разберем как да преобразуваме обикновени дроби в десетични - и обратно.
Преобразуване от дроби в десетични знаци
Помислете за проста числова дроб от формата a /b. Можете да използвате основното свойство на дроб и да умножите числителя и знаменателя по такова число, че дъното да се окаже степен на десет. Но преди да го направите, прочетете следното:
Има знаменатели, които не могат да бъдат сведени до степени на десет. Научете се да разпознавате такива дроби, защото с тях не може да се работи с алгоритъма, описан по-долу.
Това е. Е, как разбирате дали знаменателят е намален на степен десет или не?
Отговорът е прост: разложете знаменателя на прости множители. Ако разширението съдържа само фактори 2 и 5, това число може да бъде намалено до степен десет. Ако има други числа (3, 7, 11 - каквито и да е), можете да забравите за степента на десет.
Задача. Проверете дали посочените дроби могат да бъдат представени като десетични числа:
Нека напишем и разложим знаменателите на тези дроби:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присъстват само числата 2 и 5. Следователно дробта може да бъде представена като десетична дроб.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - има „забранен“ множител 3. Дробта не може да бъде представена като десетична.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Всичко е наред: няма нищо освен числата 2 и 5. Една дроб може да бъде представена като десетична дроб.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Отново „изплува“ множителят 3. Той не може да бъде представен като десетична дроб.
И така, подредихме знаменателя - сега нека да разгледаме целия алгоритъм за преминаване към десетични дроби:
- Разложете на множители знаменателя на оригиналната дроб и се уверете, че тя обикновено може да бъде представена като десетична дроб. Тези. проверете дали в разширението присъстват само фактори 2 и 5. В противен случай алгоритъмът не работи;
- Пребройте колко двойки и петици присъстват в разширението (там няма да има други числа, помните ли?). Изберете допълнителен фактор, така че броят на двойките и петиците да е равен.
- Всъщност, умножете числителя и знаменателя на оригиналната дроб по този фактор - получаваме желаното представяне, т.е. знаменателят ще бъде степен на десет.
Разбира се, допълнителният фактор също ще бъде разложен само на двойки и петици. В същото време, за да не усложнявате живота си, трябва да изберете най-малкия множител от всички възможни.
И още нещо: ако първоначалната дроб съдържа цяло число, не забравяйте да преобразувате тази дроб в неправилна дроб - и едва тогава приложете описания алгоритъм.
Задача. Преобразувайте тези числови дроби в десетични:
Нека разложим на множители знаменателя на първата дроб: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Следователно дробта може да бъде представена като десетична дроб. Разширението съдържа две двойки и нито една петица, така че допълнителният фактор е 5 2 = 25. С него броят на двойките и петиците ще бъде равен. Ние имаме:
Сега нека разгледаме втората дроб. За да направите това, имайте предвид, че 24 = 3 8 = 3 2 3 - има тройка в разширението, така че дробта не може да бъде представена като десетична.
Последните две дроби имат знаменатели съответно 5 (просто число) и 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - навсякъде има само двойки и петици. Освен това в първия случай „за пълно щастие“ коефициент 2 не е достатъчен, а във втория - 5. Получаваме:
Преобразуване от десетични в обикновени дроби
Обратното преобразуване - от десетична към нормална нотация - е много по-просто. Тук няма ограничения или специални проверки, така че винаги можете да конвертирате десетична дроб в класическата „двуетажна“ дроб.
Алгоритъмът за превод е както следва:
- Задраскайте всички нули от лявата страна на десетичната запетая, както и десетичната точка. Това ще бъде числителят на желаната дроб. Основното нещо е да не прекалявате и да не зачертавате вътрешните нули, заобиколени от други числа;
- Пребройте колко знака след десетичната запетая има. Вземете числото 1 и добавете толкова нули вдясно, колкото символа преброите. Това ще бъде знаменателят;
- Всъщност, запишете дробта, чийто числител и знаменател току-що намерихме. Ако е възможно, намалете го. Ако първоначалната дроб съдържаше цяло число, сега ще получим неправилна дроб, което е много удобно за по-нататъшни изчисления.
Задача. Преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Задраскайте нулите отляво и запетаите - получаваме следните числа (това ще бъдат числителите): 8; 3107; 225; 72008.
В първата и втората дроби има 3 знака след десетичната запетая, във втората - 2, а в третата - цели 4 знака след десетичната запетая. Получаваме знаменателите: 1000; 1000; 100; 10 000.
И накрая, нека комбинираме числителите и знаменателите в обикновени дроби:
Както може да се види от примерите, получената фракция много често може да бъде намалена. Позволете ми да отбележа още веднъж, че всяка десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Обратното преобразуване не винаги е възможно.
Състои се от три части, всяка от които съдържа 48 карти с примери за комбиниране на събиране и изваждане, умножение и деление, както и четирите аритметични операции с десетични знаци. Всички карти са от един и същи тип и включват примери с различна трудност, като се вземат предвид характеристиките, характерни за отделните действия. Всяка карта се състои от осем примера, съдържащи от четири до шест действия, а примерите с еднакви номера са подобни един на друг. Така че първите два примера на всички карти в петата и шестата част не съдържат скоби, в третия и четвъртия пример винаги има една двойка скоби, в петата и шестата - две двойки скоби, в седмата - три двойки , а осмите примери съдържат скоби в скоби. Примерите от седмата част са подобни един на друг. За висококачествено изучаване на всички аритметични операции картите са съставени по такъв начин, че: - във всеки пример за събиране и изваждане (част 5) трябва да има цяло число, а един от междинните отговори е цяло число; - във всеки пример за умножение и деление (част 6) винаги има множител, който е цяло число (положителна или отрицателна) степен на десет, и във всеки вариант се срещат и четирите случая (умножение и деление на положителни и отрицателни степени на десет ). В допълнение, ВСЕКИ НЕЧЕТЕН ПРИМЕР ЗА ВСЯКА ОПЦИЯ съдържа поне едно действие за деление, чието частно има НУЛЕВО СРЕДНО. В други примери няма такива коефициенти; - във всеки пример от седма част присъстват и четирите аритметични операции и по възможност са реализирани характеристиките на примерите от пета и шеста част. За да направите това, във всеки пример една от операциите за събиране или изваждане се извършва върху цяло число или дава резултат като цяло число. Всички примери от тази част, в които при разделяне се получава КОЛИЧЕСТВО СЪС СРЕДНА НУЛЕВА цифра, се отбелязват в отговорите със знак (!) след номера им, като ТАКИВА КОЛИЧЕСТВА СА ЗАДЪЛЖИТЕЛНИ ВЪВ ВТОРИЯ И ЧЕТВЪРТИЯ ПРИМЕР НА ВСЕКИ ОПЦИЯ. Освен това във всеки вариант има както умножение, така и деление на положителни и отрицателни степени на десет. ВСИЧКИ ЗАДАЧИ ОТ ВСИЧКИ ВАРИАНТИ СА ПРЕДОСТАВЕНИ С ОТГОВОРИ ЗА ВСЯКО ДЕЙСТВИЕ, КАТО КРАЙНИЯТ ОТГОВОР НА ВСЕКИ ПРИМЕР Е СВЪРЗАН ПО определен начин С НЕГОВИЯ ПОРЕДЕН НОМЕР И НОМЕР НА ВАРИАНТА, тоест второто число след номера на частта. А именно: - крайният отговор на всеки пример от петата част е число, чиято цяла част е номерът на опцията, а дробната част е поредният номер на примера. Така че отговорът на четвъртия пример от опция 5.20 (т.е. двадесетата опция от петата част) е числото 20.4; - крайният отговор на всеки пример от шестата част е число, чиято цяла част е и номерът на опцията, а дробната част се състои от две цифри - нула и числото на примера. Така че седмият пример от опция 6.12 има краен отговор 12.07; - крайният отговор на всеки пример от седмата част е число, чиято цяла част е равна на сбора от номера на опцията и номера на примера, а дробната част се формира по същия начин, както в шестата част. Така третият пример от вариант 7.28 има краен отговор 31.03. Голям брой различни опции за всяка тема позволява на учителя лесно да организира индивидуална работа за всички ученици в класа. Тези карти могат да се използват многократно в уроци при упражняване на компютърните умения на учениците, при самостоятелна работа и контролни, в допълнителни часове, като домашна работа и др. В допълнение, този дидактически материал може да се използва за изучаване на правилата за отваряне на скоби и промяна на реда на действията, за да се улеснят изчисленията. Разбира се, тези карти също ще бъдат полезни, когато обучавате учениците как да използват микрокалкулатори. Оформянето и решаването на всички задачи е извършено на компютър с оригинални програми.Фракция- число, което се състои от цяло число дроби от единица и е представено във формата: a/b
Числител на дроб (а)- числото, което се намира над дробната черта и показва броя на акциите, на които е разделен дялът.
Знаменател на дроб (b)- число, разположено под дробната черта и показващо на колко части е разделена единицата.
2. Привеждане на дроби към общ знаменател
3. Аритметични действия с обикновени дроби
3.1. Събиране на обикновени дроби
3.2. Изваждане на дроби
3.3. Умножение на обикновени дроби
3.4. Деление на дроби
4. Реципрочни числа
5. Десетични знаци
6. Аритметични операции с десетични дроби
6.1. Добавяне на десетични знаци
6.2. Изваждане на десетични числа
6.3. Умножаване на десетични числа
6.4. Десетично деление
#1. Основното свойство на дробта
Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, се получава дроб, равна на дадената.
3/7=3*3/7*3=9/21, тоест 3/7=9/21
a/b=a*m/b*m - така изглежда основното свойство на една дроб.
С други думи, получаваме дроб, равна на дадената, като умножим или разделим числителя и знаменателя на първоначалната дроб на едно и също естествено число.
Ако реклама=bc, тогава две дроби a/b =c /d се считат за равни.
Например, дробите 3/5 и 9/15 ще бъдат равни, тъй като 3*15=5*9, тоест 45=45
Намаляване на дробе процес на замяна на дроб, при който новата дроб е равна на първоначалната, но с по-малък числител и знаменател.
Обичайно е дробите да се редуцират въз основа на основното свойство на дробта.
Например, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (числителят и знаменателят се делят на числото 3, на 5 и на 15).
Несъкратима дробе част от формата 3/4 , където числителят и знаменателят са взаимно прости числа. Основната цел на намаляването на дроб е да направи дробта несъкратима.
2. Привеждане на дроби към общ знаменател
За да приведете две дроби към общ знаменател, трябва:
1) разложете знаменателя на всяка дроб на прости множители;
2) умножете числителя и знаменателя на първата дроб по липсващите
фактори от разширяването на втория знаменател;
3) умножете числителя и знаменателя на втората дроб по липсващите множители от първото разгъване.
Примери: Намаляване на дроби до общ знаменател.
Нека разложим знаменателите на прости множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
Умножете числителя и знаменателя на дробта по липсващия фактор 5 от второто разширение.
числител и знаменател на дробта в липсващите множители 3 и 2 от първото разгъване.
= , 90 – общ знаменател на дроби.
3. Аритметични действия върху обикновени дроби
3.1. Събиране на обикновени дроби
а) Ако знаменателите са еднакви, числителят на първата дроб се добавя към числителя на втората дроб, като знаменателят остава същият. Както можете да видите в примера:
a/b+c/b=(a+c)/b ;
б) За различните знаменатели дробите първо се свеждат до общ знаменател, а след това числителите се събират съгласно правило а):
7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12
3.2. Изваждане на дроби
а) Ако знаменателите са еднакви, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, оставяйки знаменателя същия:
a/b-c/b=(a-c)/b ;
б) Ако знаменателите на дробите са различни, то първо дробите се привеждат към общ знаменател и след това действията се повтарят както в точка а).
3.3. Умножение на обикновени дроби
Умножението на дроби се подчинява на следното правило:
a/b*c/d=a*c/b*d,
тоест те умножават отделно числителите и знаменателите.
Например:
3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.
3.4. Деление на дроби
Фракциите се разделят по следния начин:
a/b:c/d=a*d/b*c,
т.е. дробта a/b се умножава по обратната дроб на дадената, т.е. умножава се по d/c.
Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28
4. Реципрочни числа
Ако a*b=1,тогава числото b е реципрочно числоза числото а.
Пример: за числото 9 реципрочната е 1/9 , тъй като 9*1/9 = 1 , за числото 5 - обратното число 1/5 , защото 5* 1/5 = 1 .
5. Десетични знаци
десетичнае правилна дроб, чийто знаменател е равен на 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 н .
Например: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 .
Неправилните със знаменател се пишат по същия начин 10^nили смесени числа.
Например: 51/10= 5,1; 763/100=7,63
Всяка обикновена дроб със знаменател, който е делител на определена степен на 10, се представя като десетична дроб.
чейнджър, който е делител на определена степен на числото 10.
Пример: 5 е делител на 100, така че е дроб 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .
6. Аритметични действия върху десетични дроби
6.1. Добавяне на десетични знаци
За да съберете две десетични дроби, трябва да ги подредите така, че да има еднакви цифри една под друга и запетая под запетаята, след което да съберете дробите като обикновени числа.
6.2. Изваждане на десетични числа
Извършва се по същия начин като събирането.
6.3. Умножаване на десетични числа
При умножаване на десетични числа е достатъчно да се умножат дадените числа, без да се обръща внимание на запетаите (като естествените числа), и в получения отговор запетая вдясно разделя толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в двата фактора общо.
Нека умножим 2,7 по 1,3. Ние имаме 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Разделяме две цифри отдясно със запетая (първото и второто число имат по една цифра след десетичната запетая; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В резултат на това получаваме 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .
Ако полученият резултат съдържа по-малко цифри, отколкото трябва да бъдат разделени със запетая, тогава липсващите нули се записват отпред, например:
За да умножите по 10, 100, 1000, трябва да преместите десетичната запетая с 1, 2, 3 цифри вдясно (ако е необходимо, вдясно се присвояват определен брой нули).
Например: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .
6.4. Десетично деление
Деленето на десетична дроб на естествено число се извършва по същия начин като деленето на естествено число на естествено число. Запетаята в частното се поставя след приключване на делението на цялата част.
Ако цялата част от дивидента е по-малка от делителя, тогава отговорът е нула цели числа, например:
.png)
Нека разгледаме разделянето на десетичен знак на десетичен знак. Да кажем, че трябва да разделим 2,576 на 1,12. Първо, нека умножим делителя и делителя на дробта по 100, тоест преместете десетичната запетая надясно в делителя и делителя с толкова цифри, колкото има в делителя след десетичната точка (в този пример, две). След това трябва да разделите фракцията 257.6 на естественото число 112, т.е. проблемът се свежда до вече разгледания случай:
.png)
Случва се крайната десетична дроб не винаги да се получава при разделяне на едно число на друго. Резултатът е безкрайна десетична дроб. В такива случаи преминаваме към обикновени дроби.
Например 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= 31 1/9 .
Десетичната запетая се използва, когато трябва да извършвате операции с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този тип числа значително опростяват математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато писането им стане познато и четенето им не създава затруднения и правилата за десетичните дроби са усвоени. Освен това всички действия повтарят вече познати, които са научени с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.
Десетично определение
Десетичният дроб е специално представяне на нецяло число със знаменател, който се дели на 10, давайки отговор като едно и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и т.н., тогава е по-удобно числото да се пренапише със запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди него, а след това дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да бъде равен на цифрата на знаменателя.
Горното може да се илюстрира със следните числа:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причини за използване на десетични знаци
Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:
Опростяване на записа. Такава фракция е разположена на една линия без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.
Простота в сравнение. Достатъчно е просто да съпоставите числа, които са на еднакви позиции, докато с обикновените дроби ще трябва да ги сведете до общ знаменател.
Опростете изчисленията.
Калкулаторите не са проектирани да приемат дроби; те използват десетичен запис за всички операции.
Как да четем правилно такива числа?
Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, който е кратен на 10. Единственото изключение са дроби без цяло число, тогава при четене трябва да произнесете „нула цели числа“.
Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хиляди, в същото време 0,045 ще звучи като нула точка четиридесет и пет хилядни.
Смесено число с цяла част от 7 и дроб от 17/100, което би било записано като 7,17, и в двата случая ще се чете като седем точка седемнадесет.
Ролята на цифрите при записване на дроби
Правилното отбелязване на ранга е това, което математиката изисква. Десетичните знаци и тяхното значение могат да се променят значително, ако напишете цифрата на грешното място. Това обаче беше вярно преди.
За да прочетете цифрите на цялата част от десетична дроб, просто трябва да използвате правилата, известни за естествените числа. А от дясната страна са огледални и се четат различно. Ако цялата част звучи "десетки", тогава след десетичната запетая ще бъде "десети".
Това може ясно да се види в тази таблица.
| Клас | хиляди | единици | , | фракция | |||||||
| освобождаване от отговорност | клетка | дек. | единици | клетка | дек. | единици | десети | стотна | хилядна | десетхиляден | |
Как правилно да напишете смесено число като десетична запетая?
Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът как да преобразувате дроб в десетична не е труден. За да направите това, достатъчно е да пренапишете всички негови компоненти по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:
напишете числителя на дроба малко встрани, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;
преместете запетаята наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да я преместите с толкова позиции, колкото нули има в знаменателя;
ако няма достатъчно от тях, тогава трябва да има нули в празните позиции;
нулите, които бяха в края на числителя, сега не са необходими и могат да бъдат задраскани;
Преди запетаята добавете цялата част; ако не е била там, тогава тук също ще има нула.
внимание. Не можете да задраскате нули, които са заобиколени от други числа.
Можете да прочетете по-долу какво да направите в ситуация, в която знаменателят има число, състоящо се не само от единици и нули, и как да преобразувате дроб в десетичен знак. Това е важна информация, която определено трябва да прочетете.
Как да преобразувам дроб в десетична, ако знаменателят е произволно число?
Тук има два варианта:
Когато знаменателят може да бъде представен като число, равно на десет на произволна степен.
Ако такава операция не може да бъде извършена.
Как мога да проверя това? Трябва да разложите знаменателя на множители. Ако в продукта присъстват само 2 и 5, тогава всичко е наред и дробта лесно се преобразува в краен десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Обичайно е такава десетична дроб да се закръгля за по-лесно използване при математически операции. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.
Изследва как се правят десетични знаци, 5. клас. Примерите тук ще бъдат много полезни.
Нека знаменателите съдържат числата: 40, 24 и 75. Разлагането на прости множители за тях ще бъде както следва:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
В тези примери само първата фракция може да бъде представена като крайна фракция.
Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в крайна десетична дроб
Проверете разлагането на знаменателя на прости множители и се уверете, че ще се състои от 2 и 5.
Добавете толкова 2s и 5s към тези числа, така че да има равен брой от тях. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.
Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под чертата на която има 10 до някаква степен.
Ако в задачата тези действия се извършват със смесено число, то първо трябва да се представи като неправилна дроб. И едва тогава действайте според описания сценарий.
Представяне на дроб като заоблен десетичен знак
Този метод за преобразуване на дроб в десетичен знак може да изглежда дори по-лесен за някои. Защото няма много действие. Просто трябва да разделите числителя на знаменателя.
Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Този имот е това, от което трябва да се възползвате.
Първо запишете цялата част и поставете запетая след нея. Ако дробта е правилна, напишете нула.
След това трябва да разделите числителя на знаменателя. Така че да имат еднакъв брой цифри. Тоест добавете необходимия брой нули отдясно на числителя.
Извършете дълго деление, докато се достигне необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава отговорът трябва да бъде 3. Като цяло трябва да има едно число повече, отколкото трябва да получите накрая.
Запишете междинния отговор след десетичната запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра е от 0 до 4, тогава просто трябва да я изхвърлите. И когато е равно на 5-9, тогава този пред него трябва да се увеличи с единица, като се изхвърли последният.
Връщане от десетична към обикновена дроб
В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени дроби, в които има числител със знаменател. Можете да въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.
За тази процедура трябва да направите следното:
запишете цялата част, ако е равна на нула, тогава няма нужда да пишете нищо;
начертайте дробна линия;
над него запишете числата от дясната страна, ако нулите са на първо място, те трябва да бъдат задраскани;
Под чертата напишете единица с толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая в оригиналната дроб.
Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетичен знак в дроб.
Какво можете да правите с десетичните знаци?
В математиката това ще бъдат определени операции с десетични знаци, които преди са били извършвани за други числа.
Те са:
сравнение;
събиране и изваждане;
умножение и деление.
Първото действие, сравнението, е подобно на начина, по който е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на цялата част. Ако се окажат равни, тогава преминават към дробните и също ги сравняват по цифри. Числото с най-голямата цифра в най-значимата цифра ще бъде отговорът.
Събиране и изваждане на десетични знаци
Това са може би най-простите стъпки. Защото се извършват по правилата за естествените числа.
И така, за да добавите десетични дроби, те трябва да бъдат записани една под друга, като се поставят запетаи в колона. При тази нотация цели части се появяват отляво на запетаите, а дробни части отдясно. И сега трябва да събирате числата малко по малко, както се прави с естествените числа, като местите запетаята надолу. Трябва да започнете да добавяте от най-малката цифра на дробната част на числото. Ако в дясната половина няма достатъчно числа, тогава се добавят нули.
Същото важи и за изваждането. И тук има правило, което описва възможността за вземане на единица от най-висок ранг. Ако фракцията, която се редуцира, има по-малко цифри след десетичната запетая, отколкото дробта, която се изважда, тогава към нея просто се добавят нули.
Ситуацията е малко по-сложна със задачи, в които трябва да умножавате и разделяте десетични дроби.
Как да умножим десетична дроб в различни примери?
Правилото за умножаване на десетични дроби с естествено число е:
запишете ги в колона, без да обръщате внимание на запетаята;
размножават се, сякаш са естествени;
Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробната част на оригиналното число.
Специален случай е примерът, в който естествено число е равно на 10 на произволна степен. След това, за да получите отговора, просто трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова позиции, колкото нули има в другия фактор. С други думи, когато се умножи по 10, десетичната точка се премества с една цифра, със 100 - вече ще има две от тях и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно числа, тогава трябва да напишете нули в празните позиции.
Правилото, което се използва, когато дадена задача изисква умножаване на десетични дроби с друго същото число:
запишете ги един след друг, без да обръщате внимание на запетаите;
размножават се като естествени;
Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробните части на двете първоначални дроби заедно.
Специален случай са примерите, при които един от множителите е равен на 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на цифрите в представените фактори. Тоест, ако се умножи по 0,1, тогава десетичната точка се измества с една позиция.
Как се дели десетична дроб в различни задачи?
Разделянето на десетични дроби на естествено число се извършва по следното правило:
запишете ги за разделяне в колона като натурални;
разделете според обичайното правило, докато цялата част свърши;
поставете запетая в отговора;
продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът стане нула;
ако е необходимо, можете да добавите необходимия брой нули.
Ако цялата част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.
Отделно има разделяне на числа, равни на десет, сто и т.н. При такива задачи трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на нулите в делителя. Случва се в цяла част да няма достатъчно числа, тогава вместо тях се използват нули. Можете да видите, че тази операция е подобна на умножение по 0,1 и подобни числа.
За да разделите десетични числа, трябва да използвате това правило:
превърнете делителя в естествено число и за целта преместете запетаята в него надясно до края;
преместете десетичната запетая в дивидента със същия брой цифри;
действайте според предишния сценарий.
Делението на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В такива примери десетичната точка се измества надясно с броя на цифрите в дробната част. Ако те свършат, тогава трябва да добавите липсващия брой нули. Струва си да се отбележи, че това действие повтаря делене на 10 и подобни числа.
Заключение: Всичко е въпрос на практика
Нищо в ученето не идва лесно или без усилия. Надеждното овладяване на нов материал изисква време и практика. Математиката не прави изключение.
За да сте сигурни, че темата за десетичните дроби не създава затруднения, трябва да решите възможно най-много примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше задънена улица. И сега всичко е наред.
Затова, ако перифразираме една добре позната фраза: решавайте, решавайте и пак решавайте. Тогава задачите с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като поредния пъзел.
Между другото, пъзелите са трудни за решаване в началото, а след това трябва да правите обичайните движения. Същото е и в математическите примери: след като сте вървели по една и съща пътека няколко пъти, тогава вече няма да мислите къде да завиете.
