В предишния номер въведохме серията на разпределение като изчерпателна характеристика (закон на разпределение) на прекъсната случайна променлива. Тази характеристика обаче не е универсална; съществува само за прекъснати случайни променливи. Лесно е да се види, че такава характеристика не може да бъде конструирана за непрекъсната случайна променлива. Наистина непрекъснато произволна стойностима безкраен брой възможни стойности, запълващи изцяло определен интервал (т. нар. “изброимо множество”). Невъзможно е да се създаде таблица, изброяваща всички възможни стойности на такава случайна променлива. Освен това, както ще видим по-късно, всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива обикновено няма различна от нула вероятност. Следователно за непрекъсната случайна променлива няма ред на разпределение в смисъла, в който съществува за прекъсната променлива. Въпреки това, различните области на възможните стойности на случайна променлива все още не са еднакво вероятни и за непрекъсната променлива има „вероятностно разпределение“, макар и не в същия смисъл като за прекъсната.
За количествено характеризиране на това разпределение на вероятностите е удобно да се използва не вероятността на събитието, а вероятността на събитието, където е някаква текуща променлива. Вероятността за това събитие очевидно зависи от , има някаква функция на . Тази функция се нарича функция на разпределение на случайна променлива и се означава с:
. (5.2.1)
Функцията на разпределение понякога се нарича също кумулативна функция на разпределение или кумулативен закон на разпределение.
Функцията на разпределение е най-универсалната характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както прекъснати, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, т.е. е една от формите на закона за разпределение.
Нека формулираме някои общи свойстваразпределителни функции.
1. Функцията на разпределение е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. при .
2. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула:.
3. При плюс безкрайност функцията на разпределение е равна на единица: .
Без да даваме строго доказателство за тези свойства, ние ще ги илюстрираме с помощта на визуална геометрична интерпретация. За да направим това, ще разгледаме случайна променлива като произволна точка на оста Ox (фиг. 5.2.1), която в резултат на експеримент може да заеме една или друга позиция. Тогава функцията на разпределение е вероятността произволна точка в резултат на експеримента да падне вляво от точката.
Ще увеличим, тоест ще преместим точката надясно по абсцисната ос. Очевидно в този случай вероятността произволна точка да падне отляво не може да намалее; следователно функцията на разпределение не може да намалява с нарастване.
За да сме сигурни, че , ще преместим точката наляво по абсцисата за неопределено време. В този случай уцелването на произволна точка вляво от лимита става невъзможно събитие; Естествено е да се вярва, че вероятността от това събитие клони към нула, т.е. .
По подобен начин, премествайки точката надясно без ограничение, ние се уверяваме, че , тъй като събитието става надеждно в ограничението.
Графиката на функцията на разпределение в общия случай е графика на ненамаляваща функция (фиг. 5.2.2), чиито стойности започват от 0 и достигат 1, като в определени точки функцията може да има скокове ( прекъсвания).
Познавайки серията на разпределение на прекъсната случайна променлива, може лесно да се конструира функцията на разпределение на тази променлива. Наистина ли,
,
където неравенството под знака за сумата показва, че сумирането се прилага за всички онези стойности, които са по-малки от .
Когато текущата променлива преминава през някоя от възможните стойности на прекъснатата стойност, функцията на разпределение се променя рязко и големината на скока е равна на вероятността от тази стойност.
Пример 1. Провежда се един експеримент, в който събитието може или не може да се появи. Вероятността за събитието е 0,3. Случайна променлива – броят на появяванията на събитие в експеримент (характерна случайна променлива на събитие). Конструирайте неговата функция на разпределение.
Решение. Серията на разпределението на стойността има формата:
Нека изградим функцията на разпределение на стойността:
Графиката на функцията на разпределението е показана на фиг. 5.2.3. В точките на прекъсване функцията приема стойностите, отбелязани с точки на чертежа (функцията е непрекъсната отляво).
Пример 2. При условията на предходния пример са проведени 4 независими експеримента. Конструирайте функция на разпределение за броя на случванията на дадено събитие.
Решение. Нека обозначим броя на случванията на събитието в четири експеримента. Това количество има серия за разпределение
Нека изградим функцията на разпределение на случайна променлива:
3) при ;
На практика обикновено функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е функция, която е непрекъсната във всички точки, както е показано на фиг. 5.2.6. Въпреки това е възможно да се конструират примери за случайни променливи, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал, но за които функцията на разпределение не е непрекъсната навсякъде, но претърпява прекъсване в определени точки (фиг. 5.2.7) .
Такива случайни променливи се наричат смесени. Пример за смесена стойност е зоната на унищожаване, причинена на цел от бомба, чийто радиус на разрушително действие е равен на R (фиг. 5.2.8).
Стойностите на тази случайна променлива непрекъснато запълват интервала от 0 до , появяващи се на бомбени позиции от тип I и II, имат определена крайна вероятност и тези стойности съответстват на скокове във функцията на разпределение, докато в междинните стойности (позиция от тип III) функцията на разпределение е непрекъсната. Друг пример за смесена случайна променлива е времето за безотказна работа T на устройство, тествано за време t. Функцията на разпределение на тази случайна променлива е непрекъсната навсякъде с изключение на точка t.
За да се намерят функциите на разпределение на случайни променливи и техните променливи, е необходимо да се проучат всички характеристики на тази област на знанието. Има няколко различни метода за намиране на въпросните стойности, включително промяна на променливата и генериране на въртящ момент. Разпределението е концепция, базирана на елементи като дисперсия и вариации. Те обаче характеризират само степента на обхвата на разсейване.
| Повече ▼ важни функциислучайни променливи са тези, които са свързани и независими и равномерно разпределени. Например, ако X1 е теглото на произволно избран индивид от мъжката популация, X2 е теглото на друг, ... и Xn е теглото на друг индивид от мъжката популация, тогава трябва да знаем как произволна функция X се разпределя. В този случай се прилага класическа теорема, наречена централна гранична теорема. Това ни позволява да покажем, че за големи n функцията следва стандартни разпределения.
Функции на една случайна променлива
Централната гранична теорема е предназначена за приближаване на дискретни стойности от интерес, като бином и Поасон. Функциите на разпределение на случайни променливи се разглеждат на първо място прости ценностиедна променлива. Например, ако X е непрекъсната случайна променлива, която има собствено разпределение на вероятностите. IN в такъв случайизследва как да намерим функцията на плътност Y с помощта на две различни подходи, а именно методът на функцията на разпределение и промяната на променливата. Първо, разглеждат се само стойности едно към едно. След това техниката на промяна на променливата трябва да бъде модифицирана, за да се намери нейната вероятност. И накрая, трябва да научите как кумулативното разпределение може да помогне за моделиране на случайни числа, които следват определени последователни модели.
Начин на разпределение на разглежданите стойности
Методът на функцията на вероятностното разпределение на случайна променлива се използва за намиране на нейната плътност. Този метод изчислява кумулативната стойност. След това чрез диференцирането му може да се получи плътността на вероятността. Сега, след като имаме метода на разпределителната функция, можем да разгледаме още няколко примера. Нека X е непрекъсната случайна променлива с определена плътност на вероятността.
Каква е функцията на вероятностната плътност на x2? Ако погледнете или начертаете графиката на функцията (горе и вдясно) y = x2, можете да забележите, че тя увеличава X и 0 В последния пример беше положено голямо внимание за индексиране на кумулативните функции и плътности на вероятността с X или Y, за да се посочи към коя случайна променлива принадлежат. Например, когато намираме кумулативната функция на разпределение на Y, получаваме X. Ако трябва да намерите случайната променлива X и нейната плътност, тогава просто трябва да я диференцирате. Нека X е непрекъсната случайна променлива, определена от функция на разпределение с общ знаменател f (x). В този случай, ако поставите стойността на y в X = v(Y), ще получите стойността на x, например v(y). Сега трябва да получим функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Y. Където първото и второто равенство произтичат от дефиницията на кумулативното Y. Третото равенство е изпълнено, защото частта от функцията, за която u (X) ≤ y вярно е също, че X ≤ v (Y ). И последното се прави, за да се определи вероятността в непрекъсната случайна променлива X. Сега трябва да вземем производната на FY(y), кумулативната функция на разпределение на Y, за да получим плътността на вероятността на Y. Нека X е непрекъсната случайна променлива с обща f(x), дефинирана върху c1 За да се реши този проблем, могат да се събират количествени данни и да се използва емпирична кумулативна функция на разпределение. Притежаването на тази информация и привличането към нея изисква комбинация от примерни средни стойности, стандартни отклонения, медийни данни и т.н. По същия начин, дори един доста прост вероятностен модел може да има огромен брой резултати. Например, ако хвърлите монета 332 пъти. Тогава броят на получените резултати от обороти е по-голям от този на google (10100) - число, но не по-малко от 100 квинтилиона пъти по-високо от елементарните частици в познатата ни Вселена. Не се интересувам от анализ, който дава отговор на всеки възможен изход. Ще е необходима по-проста концепция, като например броя на главите или най-дългия удар на опашките. За да се съсредоточи върху въпроси от интерес, се приема конкретен резултат. Дефиницията в този случай е следната: случайна променлива е реална функция с вероятностно пространство. Диапазонът S на случайна променлива понякога се нарича пространство на състоянието. Така, ако X е въпросната стойност, тогава N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и така нататък. Последната от тях, закръгляваща X до най-близкото цяло число, се нарича подова функция. След като функцията на разпределение, която представлява интерес за случайната променлива x, е определена, въпросът обикновено става: „Какви са шансовете X да попадне в някакво подмножество от стойностите на B?“ Например B = (нечетни числа), B = (по-големи от 1) или B = (между 2 и 7), за да посочите тези резултати, които имат X, стойността на случайната променлива, в подмножество A. Така че в горното Например, можете да опишете събитията по следния начин. (X е нечетно число), (X е по-голямо от 1) = (X> 1), (X е между 2 и 7) = (2 По този начин можем да изчислим вероятността функцията на разпределение на случайна променлива x да приеме стойности в интервала чрез изваждане. Трябва да помислите за включване или изключване на крайни точки. Ще наречем случайна променлива дискретна, ако има крайно или изброимо безкрайно пространство на състояния. По този начин X е броят на главите при три независими хвърляния на монета с отклонение, която нараства с вероятност p. Трябва да намерим кумулативната функция на разпределение на дискретна случайна променлива FX за X. Нека X е броят на пиковете в колекция от три карти. Тогава Y = X3 чрез FX. FX започва от 0, завършва при 1 и не намалява с увеличаване на стойностите на x. Кумулативната функция на разпределение на FX на дискретна случайна променлива X е постоянна, с изключение на скокове. При скачане ефектът е непрекъснат. Можете да докажете твърдението за правилната непрекъснатост на функцията на разпределение от свойството вероятност, като използвате дефиницията. Става така: постоянна случайна променлива има кумулативен FX, който е диференцируем. За да покажем как може да се случи това, може да се даде пример: цел с единичен радиус. Предполага се. стрелата се разпределя равномерно върху определената площ. За някои λ> 0. По този начин функциите на разпределение на непрекъснати случайни променливи нарастват плавно. FX има свойствата на функция на разпределение. Мъж чака на автобусна спирка, докато пристигне. Като реши за себе си, че ще откаже, когато чакането достигне 20 минути. Тук трябва да намерите кумулативната функция на разпределение за T. Времето, когато лицето все още ще бъде на автогарата или няма да тръгне. Въпреки че кумулативната функция на разпределение е дефинирана за всяка случайна променлива. Все пак доста често ще се използват други характеристики: маса за дискретна променлива и функцията на плътност на разпределение на случайна променлива. Обикновено стойността се извежда с помощта на една от тези две стойности. Тези стойности се разглеждат от следните свойства, които са от общ (масов) характер. Първият се основава на факта, че вероятностите не са отрицателни. Второто следва от наблюдението, че множеството за всички x=2S, пространството на състоянията за X, образува дял на вероятностната свобода на X. Пример: хвърляния на монета с отклонение, чиито резултати са независими. Можете да продължите да изпълнявате определени действия, докато не получите удар с голове. Нека X означава случайната променлива, която дава броя на опашките преди първата глава. И p означава вероятността за всяко дадено действие. И така, масовата вероятностна функция има следните характерни черти. Тъй като термините образуват числова последователност, X се нарича геометрична случайна променлива. Геометрична схема c, cr, cr2,. , crn има сума. И следователно sn има граница, когато n е 1. В този случай безкрайната сума е границата. Масовата функция по-горе образува геометрична последователност със съотношението. Следователно съществуват естествени числа a и b. Разликата в стойностите във функцията на разпределение е равна на стойността на масовата функция. Стойностите на разглежданата плътност имат следната дефиниция: X е случайна променлива, чието разпределение FX има производна. FX, удовлетворяващ Z xFX (x) = fX (t) dt-1, се нарича функция на плътност на вероятността. И X се нарича непрекъсната случайна променлива. В основната теорема на смятането функцията на плътността е производна на разпределението. Можете да изчислите вероятности чрез изчисляване на определени интеграли. Тъй като данните се събират от множество наблюдения, повече от една случайна променлива трябва да се разглежда наведнъж, за да се моделират експериментални процедури. Следователно наборът от тези стойности и тяхното съвместно разпределение за две променливи X1 и X2 означава гледане на събития. За дискретни случайни променливи се определят съвместни вероятностни масови функции. За непрекъснатите се разглеждат fX1, X2, където общата плътност на вероятността е изпълнена. Две случайни променливи X1 и X2 са независими, ако две събития, свързани с тях, са еднакви. Казано с думи, вероятността две събития (X1 2 B1) и (X2 2 B2) да се случат едновременно, y, е равна на произведението на променливите по-горе, че всяко от тях се случва поотделно. За независими дискретни случайни променливи има съвместна вероятностна масова функция, която е произведение на ограничаващия йонен обем. За непрекъснати случайни променливи, които са независими, съвместната функция на плътност на вероятността е произведението на пределните стойности на плътност. Накрая се разглеждат n независими наблюдения x1, x2. , xn, произтичащи от неизвестна функция на плътност или маса f. Например неизвестен параметър във функциите за експоненциална случайна променлива, описваща времето за изчакване на автобус. Основната цел на тази теоретична област е да предостави инструментите, необходими за разработване на процедури за изводи, базирани на здрави принципи на статистическата наука. По този начин едно много важно приложение на софтуера е възможността за генериране на псевдо данни за симулиране на действителна информация. Това дава възможност да се тестват и подобряват методите за анализ, преди да се използват в реални бази данни. Това е необходимо, за да се изследват свойствата на данните чрез моделиране. За много често използвани семейства от случайни променливи R предоставя команди за създаването им. При други обстоятелства ще са необходими методи за моделиране на последователност от независими случайни променливи, които имат общо разпределение. Дискретни случайни променливи и команден модел. Командата sample се използва за създаване на прости и стратифицирани произволни проби. В резултат на това, дадена последователност x, sample(x, 40) избира 40 записа от x, така че всички опции с размер 40 да имат еднаква вероятност. Това използва командата R по подразбиране за избор без заместване. Може да се използва и за моделиране на дискретни случайни променливи. За да направите това, трябва да предоставите пространство на състоянията във вектора x и масовата функция f. Извикването на replace = TRUE показва, че вземането на проби става със замяна. След това, за да се даде извадка от n независими случайни променливи, които имат обща масова функция f, се използва извадка (x, n, replace = TRUE, prob = f). Установено е, че 1 е най-малката представена стойност, а 4 е най-голямата от всички. Ако командата prob = f е пропусната, тогава пробата ще бъде взета равномерно от стойностите във вектора x. Можете да проверите симулацията спрямо масовата функция, която е генерирала данните, като забележите двойния знак за равенство, ==. И чрез преброяване на наблюдения, които приемат всяка възможна стойност за х. Можете да направите маса. Повторете това за 1000 и сравнете симулацията със съответната масова функция. Първо, симулирайте хомогенни функции на разпределение на случайни променливи u1, u2,. , un на интервала . Около 10% от числата трябва да са в рамките на . Това съответства на 10% от симулациите на интервал за случайната променлива с показаната функция на разпределение на FX. По същия начин около 10% от произволните числа трябва да са в диапазона. Това съответства на 10% от симулациите на интервала на случайната променлива с функцията на разпределение FX. Тези стойности на оста x могат да бъдат получени чрез вземане на обратното на FX. Ако X е непрекъсната случайна променлива с плътност fX, която е положителна навсякъде в своята област, тогава функцията на разпределение е строго нарастваща. В този случай FX има обратната функция на FX-1, известна като квантилна функция. FX (x) u само ако x FX-1 (u). Трансформацията на вероятността следва от анализа на случайната променлива U = FX (X). FX има диапазон от 0 до 1. Не може да приема стойности по-ниски от 0 или по-високи от 1. За стойности на u между 0 и 1. Ако U може да се моделира, тогава е необходимо да се симулира случайна променлива с разпределението на FX чрез квантилна функция. Вземете производната, за да видите, че плътността u варира в рамките на 1. Тъй като случайната променлива U има постоянна плътност в интервала от нейните възможни стойности, тя се нарича равномерна в интервала. Той е моделиран в R с помощта на командата runif. Идентичността се нарича вероятностна трансформация. Можете да видите как работи в примера с дъската за дартс. X между 0 и 1, функцията на разпределение е u = FX (x) = x2 и следователно квантилната функция е x = FX-1 (u). Възможно е да се симулират независими наблюдения на разстоянието от центъра на панела за дартс, като същевременно се генерират еднакви случайни променливи U1, U2,. ,Un. Функцията на разпределение и емпиричната функция се основават на 100 симулации на разпределението на дъската за дартс. За експоненциална случайна променлива, вероятно u = FX(x) = 1 - exp(- x), и следователно x = - 1 ln(1 - u). Понякога логиката се състои от еквивалентни твърдения. В този случай трябва да комбинирате двете части на аргумента. Идентичността с пресичане е подобна за всички 2 (S i i) S, вместо някаква стойност. Обединението Ci е равно на пространството на състоянията S и всяка двойка е взаимно изключваща се. Тъй като Bi е разделена на три аксиоми. Всеки тест се основава на съответната вероятност P. За всяко подмножество. Използване на идентичност, за да се гарантира, че отговорът не зависи от това дали са включени крайните точки на интервала. За всеки резултат във всички събития в крайна сметка се използва второто свойство за непрекъснатост на вероятностите, което се счита за аксиоматично. Законът за разпределение на функция на случайна променлива тук показва, че всяка има свое собствено решение и отговор. Определение на функцията на разпределение Нека $X$ е случайна променлива и $x$ е вероятността за разпределение на тази случайна променлива. Определение 1 Функция на разпределение е функция $F(x)$, удовлетворяваща условието $F\left(x\right)=P(X Освен това понякога се извиква функцията за разпределение кумулативна функция на разпределение
или интегрален закон за разпределение.
Като цяло графиката на функцията на разпределение е графика на ненамаляваща функция с диапазон от стойности, принадлежащи към сегмента $\left$ (и 0 и 1 задължително са включени в диапазона от стойности). В този случай функцията може или не може да има функционални скокове (фиг. 1) Фигура 1. Пример за графика на функция на разпределение Нека случайната променлива $X$ е дискретна. И нека за него се даде поредица от разпространението му. За такава стойност функцията на разпределение на вероятността може да бъде записана в следната форма: Нека сега случайната променлива $X$ е непрекъсната. Графиката на функцията на разпределение на такава случайна променлива винаги представлява ненамаляваща непрекъсната функция (фиг. 3). Нека сега разгледаме случая, когато случайната променлива $X$ е смесена. Графиката на функцията на разпределение на такава случайна променлива винаги е ненамаляваща функция, която има минимална стойност 0 и максимална стойност 1, но която не е непрекъсната функция в цялата област на дефиниция (т.е. има скокове в отделни точки) (фиг. 4). Фигура 4. Функция на разпределение на смесена случайна променлива Пример 1 Дадени са редица разпределения на появата на събитие $A$ в три експеримента. Фигура 5. Намерете функцията на разпределението на вероятностите и я начертайте. Решение. Тъй като случайната променлива е дискретна, можем да използваме формулата $\F\left(x\right)=\sum\limits_(x_i За $x>3$, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$; От тук получаваме следната функция на разпределение на вероятностите: Фигура 6. Нека изградим неговата графика: Фигура 7. Пример 2 Провежда се един експеримент, при който събитие $A$ може или не може да се случи. Вероятността това събитие да се случи е $0,6$. Намерете и конструирайте функцията на разпределение на случайна променлива. Решение. Тъй като вероятността събитие $A$ да се случи е равна на $0,6$, тогава вероятността това събитие да не се случи е равна на $1-0,6=0,4$. Нека първо изградим серия на разпределение за тази случайна променлива: Фигура 8. Тъй като случайната променлива е дискретна, намираме функцията на разпределение по аналогия със задача 1: Когато $x\le 0$, $F\left(x\right)=0$; За $x>1$, $F\left(x\right)=0,4+0,6=1$; Така получаваме следната функция на разпределение: Фигура 9. Нека изградим неговата графика: Фигура 10. Функцията на разпределение е функцията F(x), която определя вероятността случайната променлива X в резултат на теста да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x). Геометрично: F(x) е вероятността една случайна променлива да приеме стойността, която е представена на числовата ос от точка, лежаща вляво от точка x. Понякога вместо термина "Функция на разпределение" се използва терминът "Интегрална функция". Случайна променлива се нарича непрекъсната, ако нейната функция на разпределение е непрекъсната, частично диференцируема функция с непрекъсната производна. P(a ? X< b) = F(b) - F(a). F(x) = 0, за x? а; F(x) = 1, за x b. 6) Ако възможната стойност на непрекъсната случайна променлива е разположена върху цялата ос, тогава Графиката на функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива, чиито възможни стойности принадлежат към интервала (a, b), е показана на фиг. 1. Графиката на функцията на разпределение на дискретна случайна променлива X, чиито възможни стойности са дадени в таблицата, е показана на фиг. 2. Пример. Графика на функцията Намерете вероятността в резултат на теста случайната променлива X да приеме стойност, съдържаща се в интервала (2; 3). Решение. Функционалната графика е показана на фиг. 3. Вероятността случайната променлива X да приеме стойност, съдържаща се в интервала (2, 3), е равна на нарастването на функцията на разпределение на този интервал: P(2 ? X< 3) = F(3) - F(2) = 1/2. Пример. Постройте графика на функцията на разпределение на дискретна случайна променлива X с дадената таблица: Дадени са дефинициите на функцията на разпределение на случайна променлива и плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Тези концепции се използват активно в статии за статистика на уебсайтове. Разглеждат се примери за изчисляване на функцията на разпределение и плътността на вероятността с помощта на функциите на MS EXCEL..
Нека въведем основните понятия на статистиката, без които е невъзможно да се обяснят по-сложни понятия. Нека имаме население(популация) от N обекта, всеки от които има определена стойност на някаква числена характеристика X. Пример за обща съвкупност (GS) е набор от тегла на подобни части, които са произведени от машина. Тъй като в математическата статистика всяко заключение се прави само въз основа на характеристиките на X (абстрахирайки се от самите обекти), тогава от тази гледна точка населениепредставлява N числа, сред които в общия случай може да има еднакви. В нашия пример GS е просто числов масив от стойности на частично тегло. X е теглото на една от частите. Ако от даден GS произволно изберем един обект с характеристика X, тогава стойността на X е случайна величина. По дефиниция всяка произволна стойностТо има разпределителна функция, което обикновено се означава с F(x). Разпределителна функциявероятности случайна величина X е функция F(x), чиято стойност в точка x е равна на вероятността за събитие X F(x) = P(X Нека обясним, използвайки нашата машина като пример. Въпреки че нашата машина трябва да произвежда само един вид част, очевидно е, че теглото на произведените части ще бъде малко по-различно една от друга. Това е възможно поради факта, че в производството могат да се използват различни материали, а условията на обработка също могат да варират леко и т.н. Нека най-тежката част, произведена от машината, тежи 200 g, а най-леката - 190 g. вероятността избраната част X да тежи по-малко от 200 g е равна на 1. Вероятността тя да тежи по-малко от 190 g е равна на 0. Междинните стойности се определят от формата на функцията на разпределение. Например, ако процесът е настроен да произвежда части с тегло 195 g, тогава е разумно да се предположи, че вероятността за избор на част, по-лека от 195 g, е 0,5. Типична графика Функции на разпределениеза непрекъсната случайна променлива е показано на снимката по-долу (лилава крива, вижте примерния файл): В помощ на MS EXCEL Разпределителна функцияНаречен Интеграл разпределителна функция (КумулативенРазпределениефункция,
CDF). Ето някои имоти Функции на разпределение: Нека ви го напомним плътност на разпространениесе извлича от разпределителни функции, т.е. „скоростта“ на неговата промяна: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx с Dx клоняща към 0, където Dx=x2-x1. Тези. фактът че плътност на разпространение>1 означава само, че функцията на разпределение нараства доста бързо (това е очевидно в примера). Забележка: Площта, която се съдържа изцяло под цялата представляваща крива плътност на разпространение, е равно на 1. Забележка: Спомнете си, че функцията на разпределение F(x) се извиква във функциите на MS EXCEL кумулативна функция на разпределение. Този термин присъства в параметрите на функцията, например NORM.DIST (x; средно; стандартно_отклонение; интегрална). Ако функцията MS EXCEL трябва да се върне разпределителна функция,тогава параметърът интегрална, д.б. зададено на TRUE. Ако трябва да изчислите плътност на вероятността, след това параметъра интегрална, д.б. ЛЪЖА. Забележка: За дискретно разпределениеВероятността случайна променлива да приеме определена стойност също често се нарича плътност на вероятността (функция на вероятностната маса (pmf)). В помощ на MS EXCEL плътност на вероятносттадори може да се нарече „функция за измерване на вероятността“ (вижте функцията BINOM.DIST(). Ясно е, че за да се изчисли плътност на вероятносттаза определена стойност на случайна променлива трябва да знаете нейното разпределение. Ще намерим плътност на вероятносттаза N(0;1) при x=2. За да направите това, трябва да напишете формулата =NORMAL.ST.DIST(2,FALSE)=0,054 или =NORMAL.DIST(2;0;1;FALSE). Нека ви го напомним вероятностче непрекъсната случайна променливаще приеме конкретна стойност x е 0. За непрекъсната случайна променлива X може да се изчисли само чрез вероятността от събитието, че X ще приеме стойността, съдържаща се в интервала (a; b). 1) Нека намерим вероятността случайна променлива, разпределена от (вижте снимката по-горе), да приеме положителна стойност. Според собствеността Функции на разпределениевероятността е F(+∞)-F(0)=1-0.5=0.5. NORM.ST.DIST(9,999E+307,TRUE) -NORM.ST.DIST(0,TRUE) =1-0,5. 2) Намерете вероятността една случайна променлива да бъде разпределена върху , взе отрицателна стойност. Според дефиницията Функции на разпределениевероятността е F(0)=0,5. В MS EXCEL, за да намерите тази вероятност, използвайте формулата =NORMAL.ST.DIST(0,TRUE) =0,5. 3) Намерете вероятността една случайна променлива да бъде разпределена върху стандартно нормално разпределение, ще приеме стойността, съдържаща се в интервала (0; 1). Вероятността е равна на F(1)-F(0), т.е. от вероятността да изберете X от интервала (-∞;1), трябва да извадите вероятността да изберете X от интервала (-∞;0). В MS EXCEL използвайте формулата =NORM.ST.DIST(1,TRUE) - NORM.ST.DIST(0,TRUE). Всички изчисления, дадени по-горе, се отнасят за случайна променлива, разпределена върху стандартен нормален закон N(0;1). Ясно е, че стойностите на вероятността зависят от конкретното разпределение. В статията за функцията на разпределението намерете точката, за която F(x) = 0,5, и след това намерете абсцисата на тази точка. Абсцисата на точка =0, т.е. вероятността случайната променлива X да приеме стойността<0, равна 0,5. В MS EXCEL използвайте формулата =NORM.ST.REV(0,5) =0. Недвусмислено изчислете стойността случайна величинапозволява свойството монотонност разпределителни функции. Обратна функция на разпределениеизчислява , които се използват например, когато . Тези. в нашия случай числото 0 е 0,5 квантил нормална дистрибуция. В примерния файл можете да изчислите друг квантилтова разпределение. Например квантилът 0,8 е 0,84. В английската литература обратна функция на разпределениечесто наричана функция на процентната точка (PPF). Забележка: При изчисляване квантилив MS EXCEL се използват следните функции: NORM.ST.INV(), LOGNORM.INV(), CHI2.INR(), GAMMA.INR() и др. Можете да прочетете повече за дистрибуциите, представени в MS EXCEL в статията.Техника за промяна на променливи
Обобщение за редукционната функция
Функции на разпределение
Случайни променливи и функции на разпределение
Масови функции
Независими случайни променливи
Симулиране на случайни променливи
Илюстриране на вероятностна трансформация
Експоненциална функция и нейните променливи
Функция на разпределение на дискретна случайна променлива
Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива
Примери за задачи за намиране на функцията на разпределение
Свойства на функцията на разпределение
Графика на функцията на разпределение
Популация и случайна променлива
Разпределителна функция
Изчисляване на плътността на вероятността с помощта на функции на MS EXCEL
Изчисляване на вероятности с помощта на функции на MS EXCEL
Вместо +∞, стойността, въведена във формулата, е 9,999E+307= 9,999*10^307, което е максималното число, което може да бъде въведено в клетка на MS EXCEL (най-близко до +∞, така да се каже).
