Хипотеза за континуум. Хипотеза за средна непрекъснатост

Механиката на флуидите се занимава с макроскопичните движения на течности и газове, както и със силовото взаимодействие на тези среди с твърди тела. В този случай, като правило, размерите на разглежданите обеми течности, газове и твърди вещества се оказват несравнимо големи в сравнение с размерите на молекулите и междумолекулните разстояния. Това е естествено, тъй като междумолекулните разстояния в течностите са само cm.

Тези обстоятелства ни позволяват да влезем хипотеза за непрекъснатостизследваната среда и замени реални дискретни обекти с опростени модели, представляващи материален континуум, т.е. материална среда, чиято маса е непрекъснато разпределена в нейния обем.Тази идеализация опростява реална дискретна система и прави възможно използването на добре развития математически апарат на безкрайно малкото смятане и теорията на непрекъснатите функции за нейното описание.

Параметри, характеризиращи термодинамично състояние, покой или. движението на средата се счита за непрекъснато променящо се в целия обем, зает от средата, с изключение може би на отделни точки, линии или повърхности, където могат да съществуват прекъсвания.

Теоретичните резултати, получени за хипотетичен континуум, ще съвпадат по-добре с резултатитенаблюдения, толкова по-пълно и точно се отчитат свойствата на реалните течности и газове. За съжаление, в много случаи идеализирането на средата не може да бъде ограничено само от предположението за нейната непрекъснатост. Сложността на изучаваните явления налага да се откаже да се вземе предвид и някои други свойства на реалните среди.В зависимост от свойствата, които се приписват на хипотетичния континуум, се получават различни модели.

Хипотезата за непрекъснатост на средата означава, че всеки малък елемент от обема на течността се счита за толкова голям, че съдържа много голям брой молекули. Съответно, когато говорим за елементи с безкрайно малък обем, винаги ще имаме предвид „физически“ безкрайно малък обем, т.е. обем, доста малък в сравнение с обема на течност, но голям в сравнение с молекулните разстояния.

Според хипотезата за непрекъснатост масата на средата е разпределена непрекъснато и като цяло неравномерно в обема. Основната динамична характеристика на средата е плътността на разпределението на масата върху обема или просто плътността на средата.

Плътност на средата в произволна точка Асе определя от отношението

където е масата, съдържаща се в малък обем, който включва точка А; границата се взема, когато обемът се свие до тази точка.

Заедно с плътността се въвежда понятието специфичен обем, което е обемът, съдържащ единица маса:

Плътността на средата може да се променя от точка на точка и в дадена точка с течение на времето, т.е.

(11)

По същия начин за натиска, който имаме . Както е известно, всички термодинамични величини могат да бъдат определени от две термодинамични величини с помощта на уравнението на състоянието на материята. По този начин, определяйки пет количества: три компонента на скоростта , налягането и плътността напълно определят състоянието на движещата се течност. Нека подчертаем това е скоростта на течността във всяка дадена точка x, y, zпространство в даден момент T.

Тази функционална връзка обаче не е пряка, тъй като плътността на течностите и газовете всъщност се определя от стойностите на термодинамичните параметри на състоянието (РИ T),които при движение на средата зависят от координатите (x, y, z) и време ( T).

Математическото описание на движението на течна среда чрез общи диференциални уравнения, като се вземат предвид всички физични свойства, присъщи на тази среда, се оказва много трудна задача. Дори ако се ограничим да вземем предвид само течливостта, вискозитета и свиваемостта, тогава дори и тогава уравненията на движението, изразяващи основните закони на механиката, се оказват толкова сложни, че все още не е възможно да се разработят общи аналитични методи за тяхното решаване . Използването на числени методи за интегриране на такива уравнения на базата на съвременни компютри също е свързано със значителни трудности. Следователно в механиката на флуидите се използват широко различни опростени модели на околната среда и отделни явления.

Под модел на реална среда се разбира хипотетична среда, в която се вземат предвид само някои от физическите свойства, които са от съществено значение за определен набор от явления и технически проблеми. Други маловажни свойства на средата се игнорират в модела.

Един от основните в механиката на флуидите е моделът несвиваем идеален (или невисциден) флуид.Това е името на хипотетична непрекъсната среда, с течливост, без вискозитет и напълнонесвиваем. Този модел е обект на изследване в раздела на механиката на течностите „Теория на идеалната несвиваема течност“. Пренебрегването на свойствата на вискозитета и свиваемостта значително опростява математическото описание на движението на течността и позволява да се получат много решения в крайна затворена форма. Въпреки значителната степен на идеализация на средата, теорията за несвиваемата невисцидна течност дава редица резултати не само качествено, но и количествено потвърдени от опита, полезни за практически приложения. Но не по-малко важно е значението на тази теория в това, че е основа за други модели, които по-пълно отчитат свойствата на реалната среда.Трябва обаче да се подчертае, че пренебрегването на вискозитета е много силна степен на идеализация, следователно теорията за идеалната несвиваема течност може да доведе до резултати, които рязко се различават от опита.

Свойствата на реалната течност са по-пълно взети предвид в модела на вискозна несвиваема течност, която е среда, която има течливост и вискозитет, но е абсолютно несвиваема.Теорията на вискозната несвиваема течност позволява да се получат точни решения на пълните уравнения на движение само в ограничен брой случаи с най-простите гранични условия. Приближените уравнения и техните решения са от най-голямо значение в тази теория. Такива уравнения се получават чрез изхвърляне в пълните уравнения на движението на тези членове, които имат малък ефект върху съответствието на теоретичните решения с опита. Решенията на приблизителните уравнения могат да бъдат или точни, или приблизителни.

За да стане възможно теоретично да се изследва насоченото движение на течност с помощта на математическия апарат на безкрайно малкото смятане (диференциално смятане) и теорията на непрекъснатите функции (интегрално смятане), е необходимо да се извърши определена идеализиране на течността и се абстрахира от неговата дискретна молекулярна структура.

Всички тела (включително газообразни и капковидни течности) се състоят от отделни елементарни частици. Освен това обемите, заети от телата, са значително по-големи от обемите, в които е концентрирано самото вещество. По същество всички тела се „състоят от празнота“, но в същото време във всеки малък обем пространство, заемано от тяло, което е значимо за практическите задачи, се съдържа достатъчно голям брой частици. По правило размерите на разглежданите обеми течни и твърди тела, обтичащи тази течност, се оказват несравнимо по-големи в сравнение с размерите на молекулите и междумолекулните разстояния. Тези обстоятелства дават основание приблизително да разглеждаме течността като материална среда, която запълва пространството непрекъснато – по непрекъснат начин и въведете хипотеза за континуум , въз основа на които реалните дискретни обекти се заменят с опростени модели на материалния континуум . Тези спекулативни заключения са формулирани в постулат на д'Аламбер-Ойлер , който гласи, че когато се изучава насоченото движение на течности и силите на тяхното взаимодействие с твърди тела, течностите могат да се разглеждат като непрекъсната среда - континуум, лишен от молекули и междумолекулни пространства .

Приемайки хипотезата за непрекъснатост, ние по този начин приемаме, че макроскопичното поведение на течностите е същото, сякаш тяхната структура е идеално непрекъсната, и считаме физическите величини, като маса и импулс, свързани с веществото, съдържащо се в разглеждания обем, за да бъдат равномерно разпределени в този обем, като се абстрахираме от факта, че в действителност те са концентрирани в малките му части.

Хипотезата за континуума (или хипотезата за непрекъснатост) е първата стъпка към формирането на флуидни модели, разглеждани в различни раздели на механиката на флуидите и газовете, включително газовата динамика. Тази идеализация значително опростява реалната дискретна среда и позволява, по-специално, при изучаване на движението на течност да се използва добре разработеният математически апарат на безкрайно малкото смятане (диференциално и интегрално смятане) и теорията на непрекъснатите функции.

Хипотезата за континуума позволява да се придаде определен смисъл на понятието "стойност в точка" , приложени към различни параметри на течност, например плътност, скорост, температура, и като цяло считат тези величини за непрекъснати функции на координати и време. На тази основа е възможно да се създадат уравнения, които описват движението на течност (уравнения на движение), чиято форма не зависи от микроскопичната структура на частиците на тази течност. В този смисъл движенията на течности и газове се изучават по същия начин - уравненията не зависят от това дали съществува някаква структура на частиците . Подобна хипотеза се въвежда в механиката на деформируемите твърди тела и затова тези два предмета заедно често се наричат механика на континуума .

Въпреки естествеността на хипотезата за континуума, определяне на свойствата на това хипотетично непрекъсната среда , който се движи по същия начин като реална течност с дадена структура на частиците, се оказва трудно. Използвайки методите на кинетичната теория на газовете, с помощта на опростяване на предположенията за сблъсък на молекули, може да се покаже, че уравненията, определящи локалната скорост на газ, имат същата форма, както в случая на движение на някакво непрекъснато течност (въпреки че стойностите на коефициентите на молекулен трансфер не са строго определени). Математическата обосновка за разглеждане на движението на газовете като движение на непрекъсната среда обикновено надхвърля обхвата на традиционните курсове по механика на флуидите и газовете и още повече приложната хидро- или газова динамика. Освен това тази обосновка е непълна за капкови течности и затова е обичайно да се ограничаваме до въвеждането на такава хипотеза.

Критерият за приемливост на всяка физическа хипотеза е степента на съответствие на получените въз основа на нея резултати с резултатите от наблюденията и измерванията. За капчици течности и газове, валидността на използването на хипотезата за континуум в широк обхват промените в параметрите са напълно потвърдени. Обширните експериментални данни показват, че обикновените реални течности при нормални условия и често при значителни отклонения от тях се движат така, сякаш са непрекъснати.

Количествени ограниченияприложимостта на законите на газовата динамика въз основа на модела на континуума се определят от количеството Тест на Кнудсен .

„В хидродинамиката и в проблемите на обикновената газова динамика течността се представя като непрекъсната среда. Това също е вид течен модел. Тази идея позволява обемът на течността да бъде смачкан на всякакви малки части, до безкрайно малки, но нейните свойства остават същите. С други думи, тук не се взема предвид молекулярната структура на веществото. Идеята за течност като непрекъсната среда е причинена от необходимостта да се използват методи за математически анализ за изчисления, при които трябва да се работи с безкрайно малки маси и обеми. Континуумният модел е приложим за несвиваеми течности, както и за газове с не много ниска плътност. Ако плътността на газа стане много ниска, както например на голяма надморска височина, тогава разстоянието между молекулите (средният свободен път) става съизмеримо с размерите на обтекаемите тела и моделът на непрекъснатата среда вече не съответства на реалната картина на потока.“

& (Виноградов) стр.11

Структурата на атмосферата

Атмосферата е средата за полет на различни самолети. Той има сложна структура, но условно е разделен на слоеве, показващи техните характеристики. Най-характерните и интересни слоеве за производителите на самолети са тропосферата, стратосферата, йоносферата и екзосферата.

Тропосферата е частта от атмосферата, граничеща със Земята (H = 10 – 17 km), където се забелязва топлинно излъчване от земната повърхност, където температурата забележимо намалява с отдалечаване от Земята. В тропосферата се образуват облаци, духат ветрове, цялата изпарена влага се намира тук, влажността, температурата и посоката на вятъра се променят.

На горната граница на тропосферата температурата остава постоянна. Следваща по височина е стратосферата. В стратосферата температурата е почти постоянна (~ до 30 km). Ветровете там имат постоянни посоки и са насочени срещу въртенето на Земята (настъпва стратификация на долните и горните слоеве на въздуха поради слабото сцепление на въздушните частици).

Йоносферата се характеризира с наличието на свободни йони и електрони и непрекъснато повишаване на температурата. Границите на йоносферата са променливи (H ≈ до 200 km).

Екзосферата изобщо няма граници. Това е преходната зона от земната атмосфера към междупланетното пространство (H = ~500 до 1000 km). Известно е, че:

50% от атмосферната маса се намира на височини 0 – 5,5 km;

75% от атмосферната маса се намира на височини 0 – 10 km;

94% от масата на атмосферата се намира на височина от 0 до 20 km над морското равнище.

Масата на атмосферата е 1/1000000 от масата на Земята.

Свойствата на земната атмосфера и протичащите в нея явления се изучават от наука, наречена метеорология. Ние използваме атмосферните свойства за измерване на надморска височина и скорост на полета. От тях зависят условията на работа на пилотите на самолети, тягата на двигателя и подемната сила на самолета. За да се елиминират усложненията по време на полет (или дори бедствия), е необходимо да се изучават аномални явления в атмосферата.

Аномалните явления включват гръмотевични бури, хоризонтални и вертикални пориви на вятъра и турбулентни движения на въздуха. Струйните въздушни течения могат да се движат със скорости от 100 до 700 км/ч.

Атмосферният въздух е смес от газове: 78% азот (N 2), 21% кислород (O 2), 0,94% аргон (A 2), 0,03 въглероден диоксид (CO 2), 0,01% водород (H 2 ) 0,01% неон (Ne 2) 0,01% хелий (He 2), 1,2% пара. На височини 30 – 50 km има озон (O 3). Максималното му количество е на височина ~ 35 km и възлиза на 0,00075%, докато на Земята има само 0,00001%. Всъщност въздухът се състои от отделни газови молекули и не е непрекъсната среда (особено на голяма надморска височина).

За практически цели авиационните науки трябва да установят закона за промяна с надморска височина на основните параметри: плътност, налягане, температура на въздуха, скорост на звука, вискозитет. Но тези параметри зависят и от времето на годината и деня, от случайни явления в природата. При тестване на устройства, системи и самолети е необходимо да се сравняват резултатите при еднакви условия. По този начин възникна необходимостта от създаване на условна стандартна атмосфера (SA), която представлява диаграма на действителната атмосфера, в която няма колебания, причинени от метеорологични или астрономически фактори.

За параметрите на стандартната атмосфера се прилагат следните държавни стандарти: GOST 4401-81 (Стандартна атмосфера. Параметри), GOST 3295-73 (Хипсометрични таблици за геопотенциални височини до 50 000 m. Параметри), GOST 5212-74 (Аеродинамична таблица. Динамични налягания и стагнационни температури на въздуха за скорости на полета от 10 до 4000 км / ч. Параметри) и др. За разлика от стандартната атмосфера има референтни атмосфери, които отчитат географската ширина на района и времето от годината.

В стандартна атмосфера първоначалните параметри се приемат за стандартни: ускорение на свободно падане ж s = 9.80665 m/s 2 ; скорост на звука а s = 340,294 m/s; среден свободен път на въздушните частици л c = 66,328∙10 -9 m; налягане П c = 101325.0 Pa (760 mm Hg), температура на Келвин Tс = 288.15 К; кинематичен вискозитет ν s = 14,607∙10 -6 m 2 /s; динамичен вискозитет μ s = 17.894∙10 -6 Pa∙s; плътност на теглото γ c = 1,2250 kg/m3; плътност на масата

Законът за промяна на температурата на въздуха на надморска височина от нула до 11 000 метра над морското равнище е следният:

Където T n – абсолютна температура на въздуха на височина н; А– температурен градиент, равен на 0,0065 °C/m; н- височина над морското равнище; T 0 = 288 °K. За н> 11000 м T n = 216,5 °K = конст. Промяна на барометричното налягане за надморска височина н< 11000 м:

, (2.2)

Където П n – налягане на височина н; П o = 760 mm Hg. Изкуство.; ν o – тегловна плътност (1,2255 kg/m3); А– температурен градиент (0,0065 °C/m).

Най-важната характеристика на въздуха е неговата влажност. Относителната влажност може да се определи по формулата

Където Р- относителна влажност; р– абсолютна влажност – количеството пара в грамове, съдържащо се в 1 m3; Q– количеството насищаща пара при дадена температура в g/m3.

Границата на насищане на въздуха с водни пари в зависимост от температурата е дадена в таблица 2.1.

Таблица 2.1

Важно е да се обърне внимание на факта, че когато температурата на въздуха спадне, настъпва пренасищане и парата се превръща във водни капчици. Производителите на самолети и разработчиците на устройства и системи трябва да вземат предвид това в своята практика. Поради това явление в самолета се натрупва голямо количество вода, което се отразява неблагоприятно на работата на оборудването.

Хипотеза за непрекъснатост на газовата среда

Теорията е въведена в изследователската практика от д'Аламбер през 1744 г., а след това от Ойлер през 1753 г., за разлика от корпускулярната теория на Нютон.

Атмосферният въздух е смес от различни газове. Преди приемането на хипотезата за непрекъснатост експериментите се основаваха на факта, че има смес от газови молекули, несвързани една с друга, между които има дупки (сито).

Хипотезата за непрекъснатост в аеродинамиката се основава на факта, че разстоянието между молекулите на въздуха и свободният път на молекулите са малки в сравнение с тяло, прелетяно от въздух. В тази връзка се приема, че въздухът (и водата) е хомогенна, непрекъсната маса без прекъсвания.

Свободният път на молекулите зависи от броя на молекулите в единица обем, т.е. върху плътността на средата. Вече знаем, че цялата въздушна маса се намира в тропосферата (вис н≤ 10…17 km) и тази плътност намалява значително с увеличаване на надморската височина. Близо до Земята ( н= 0) един кубичен милиметър съдържа 2,7∙10 +16 въздушни молекули при плътност на масата ρ o ≈ 0,125 kg∙s 2 /m 4. На високо н= 160 km в същия обем, съдържащ

1 молекула въздух живее. А плътността на въздуха например е на височина н= 20 км, ρ 20 = 0,008965 kg∙s 2 /m 4.

Средната дължина на свободния път по височина се разпределя както следва (Таблица 2.2).

Таблица 2.2

н, км
Лсв, см	8,6∙10 -6	2,1∙10 -5	4,8∙10 -5	4,9∙10 -2	0,5		1,3∙10 2	2,0∙10 3	5,5∙10 4

Някои учени смятат, че границата на приложимост на хипотезата за непрекъснатост е съотношението на средния свободен път на въздушна молекула към хордата на крилото, равно на 1/10 +5.

В допълнение към плътността на въздуха, средният свободен път зависи от температурата (т.е. от скоростта на хаотичното движение) и от размера на молекулите. Средната дължина на пътя на молекулите на въздуха се изчислява по формулата

, (2.4)

Където ДА СЕ– отношение на топлинния капацитет на въздуха при постоянно налягане с p към неговия топлинен капацитет при постоянен обем с v, т.е.

;

ν – кинематичен коефициент на вискозитет, m 2 /s; а– скорост на звука във въздуха в m/s.

Тъй като параметрите ν И азависят от надморската височина, а след това от параметъра Л St зависи от същата височина (виж таблица 2.2).

Критерият за приложимостта на хипотезата за непрекъснатост е числото на Кнудсен

Или, (2.5)

Където b– акорд на крилото, δ – дебелина на граничния слой.

И накрая, друго значение на коефициента на Кнудсен е:

, (2.6)

Където М– число на Мах, Re – коефициент на Рейнолдс, равен на

където v е скоростта на движение в m/s, b– средна хорда на крилото в метри, ν – коефициент на кинематичен вискозитет в m 2 /s (фиг. 2.1).

Практическото значение на хипотезата за непрекъснатост за специалисти в областта на приборостроенето и самолетостроенето се състои във възможността за определяне на границите на приложение на методите за измерване на параметрите на въздуха, например манометричния метод при определяне на скоростта, броя М, подемна сила.

Ориз. 2.1. Въздушен поток около крилото

Според Нютон в неговата корпускулярна теория съпротивлението на движение е резултат от ударите на частици върху тялото и е равно на:

Където ρ ∞ – плътност на въздуха; v – скорост на движение; S – площ на крилото.

Сега ще разберем, че формулата е неправилна, тя надценява съпротивителната сила два пъти.

Областта на аеродинамиката, която се занимава с движението на твърди тела в силно разреден газ, се нарича супераеродинамика.

Изводи от хипотезата за непрекъснатост:

Хипотезата опростява изследването на процесите на движение.

Тя ви позволява да разгледате всички механични характеристики на течна среда - скорост, плътност, налягане, брой Ми т.н., като функция на координатите на точката и времето. Приема се, че тези функции са непрекъснати и диференцируеми.

Хипотезата за непрекъснатост предполага ограничения върху приложимостта на методите за измерване на параметрите на скоростта. Например, манометричният метод може надеждно да се използва, когато н≈ 30 000 метра над морското равнище, при скорости, съответстващи на числото Re = 10 2 ... 10 7.

Ако налягането на въздуха е високо и критерият на Knudsen не е изпълнен, въздушната среда не може да се счита за непрекъсната. При тези условия принципът на непрекъснатост на въздушния поток не може да се счита за приложим. При тези условия законите за формиране на силата на съпротивление на движението и повдигащата сила се различават. При свободномолекулен газов поток единствените сили на въздействие на газовата среда върху движещо се тяло са силите на ударите на газовите молекули върху повърхността на тялото. Големината на аеродинамичните сили може да се оцени с помощта на шоковата теория на Нютон.

1. Хипотеза за непрекъснатост на средата.

Плътност на средата в произволна точка Асе определя от отношението

Заедно с плътността се въвежда понятието специфичен обем, което е обемът, съдържащ единица маса:

Плътността на средата може да се променя от точка на точка и в дадена точка с течение на времето, т.е.

(11)

Както е известно, капковите течности са слабо свиваеми среди, следователно, за широк кръг от теоретични и приложни проблеми, пренебрегването на свиваемостта е напълно приемлива идеализация и има малък ефект върху вида на получените решения и степента на съгласие между теоретичните резултати и данни от измерванията. Но все още има случаи на движение на течности, които не могат да бъдат описани надеждно, освен ако не се вземе предвид свиваемостта.