1 основен закон на динамиката на движението напред. Динамика на материална точка и постъпателно движение на твърдо тяло

Чрез диференциране на ъгловия импулс по отношение на времето, получаваме основното уравнение за динамиката на въртеливото движение, известно като втория закон на Нютон за въртеливото движение, формулирано по следния начин: скорост на промяна на ъгловия импулс Л на тяло, въртящо се около фиксирана точка, е равно на резултантния момент на всички външни сили М , приложен към тялото, спрямо тази точка:

дЛ /дт = М (14)

Тъй като ъгловият импулс на въртящо се тяло е право пропорционален на ъгловата скорост  въртене и производната д/ дтима ъглово ускорение  , тогава това уравнение може да бъде представено като

Дж = М (15)

Където Дж– инерционен момент на тялото.

Уравнения (14) и (15), които описват въртеливото движение на тялото, са подобни по съдържание на втория закон на Нютон за транслационното движение на телата ( ма = Е ). Както се вижда, кога въртеливо движениекато сила Е използва се момент на сила М , като ускорение а – ъглово ускорение  , и ролята на масата мхарактеризиращ инерционните свойства на тялото, играе моментът на инерция Дж.

Момент на инерция

Момент на инерция твърдоопределя пространственото разпределение на телесната маса и е мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение. За материална точка или елементарна маса  м аз, въртящи се около ос, беше въведена концепцията за инерционния момент, който е скаларна величина, числено равна на произведението на масата на квадрата на разстоянието r азкъм ос:

Дж аз = r аз 2 м аз (16)

Инерционният момент на обемно твърдо тяло е сумата от инерционните моменти на съставните му елементарни маси:

За еднородно тяло с равномерно разпределена плътност =  м аз /V аз (V аз– елементарен обем) може да се запише:

или в интегрална форма (интегралът се взема върху целия обем):

Дж =  ∫ r 2 dV (19)

Използването на уравнение (19) ви позволява да изчислите инерционните моменти на хомогенни тела с различни форми спрямо всякакви оси. Най-простият резултат обаче се получава чрез изчисляване на инерционните моменти на еднородни симетрични тела спрямо техния геометричен център, който в този случай е центърът на масата. Изчислените по този начин инерционни моменти на някои тела с правилна геометрична форма спрямо осите, минаващи през центровете на масата, са дадени в таблица 1.

Инерционният момент на тялото спрямо която и да е ос може да се намери, като се знае собственият инерционен момент на тялото, т.е. инерционен момент около ос, минаваща през нейния център на масата, използвайки теоремата на Щайнер. Според него инерционният момент Джспрямо произволна ос е равна на сумата от инерционния момент Дж 0 спрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на разглежданата ос, и произведението на масата на тялото м на квадрат разстояние rмежду осите:

Дж = Дж 0 +мr 2 (20)

Ос, когато тялото се върти, около която няма момент на сила, стремящ се да промени положението на оста в пространството, се нарича свободна ос на дадено тяло. Тяло с произволна форма има три взаимно перпендикулярни свободни оси, минаващи през неговия център на масата, които се наричат ​​главни инерционни оси на тялото. Собствените инерционни моменти на тялото спрямо главните инерционни оси се наричат ​​главни инерционни моменти.

Маса 1.

Инерционните моменти на някои еднородни тела (с маса м) с правилна геометрична форма спрямо осите, минаващи през центровете на масата

Описание на монтажа и принципа на измерване:

Устройството, използвано в тази работа за изследване на основните закони на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло около фиксирана ос, се нарича махалото на Обербек. Обща формаинсталацията е показана на фигура 4.

ОТНОСНО Основният елемент на инсталацията, който извършва въртеливо движение около ос, перпендикулярна на равнината на чертежа, е кръстът 1 , състоящ се от четири, завинтени в макара 2 пръти (спици) под прав ъгъл един спрямо друг, всеки от които носи цилиндрична тежест, свободно движеща се по пръта 3 маса , закрепени на място с винт 4 . По цялата дължина на спиците са нанесени напречни бразди на интервали от сантиметър, с помощта на които можете лесно да преброите разстоянията от центъра на тежестите до оста на въртене. Чрез преместване на товари се постига промяна на инерционния момент Джцелият кръст.

Въртенето на кръста става под действието на силата на опън (еластична сила) на нишката 5 , фиксиран в единия край във всяка една от двете макари ( 6 , или 7 ), на който при въртене на кръста се навива. Другият край на конеца с тежест, прикрепена към него П 0 8 променлива маса м 0 се хвърля върху неподвижен блок 9 , което променя посоката на въртящата се сила на опън, съвпадаща с допирателната към съответната макара. Използването на една от двете макари с различни радиуси ви позволява да промените рамото на въртящата се сила и, следователно, нейния момент М.

Проверката на различни модели на въртеливо движение в тази работа се свежда до измерване на времето Tспускане на товар от високо ч.

За определяне на височината на спускане на товара върху махалото на Обербек се използва милиметрова скала 10 , закрепени към вертикална стойка 11 . величина чсъответства на разстоянието между маркировките, една от които е отбелязана върху горната подвижна скоба 12 , а другият е на долната скоба 13 , неподвижно фиксирани в стелажа 11 . Подвижната скоба може да се движи по стелажа и да се фиксира във всяка желана позиция, като се задава височината на спускане на товара.

Автоматичното измерване на времето за спускане на товара се извършва с помощта на електронен часовник за милисекунди, чиято цифрова скала 14 разположен на предния панел, и два фотоелектрични сензора, единият от които 15 фиксиран на горната скоба, а другата 16 – на долната фиксирана скоба. Сензор 15 дава сигнал за стартиране на електронния хронометър, когато товарът започне да се движи от горната си позиция, а сензорът 16 когато товарът достигне най-долната позиция, той дава сигнал, който спира хронометъра, отчитайки времето Tразстояние, изминато от товара ч, като същевременно включва разположената зад шайбите 6 И 7 спирачен електромагнит, който спира въртенето на напречната част.

Опростена диаграма на махалото е показана на фигура 5.

За карго П 0 действат постоянни сили: гравитация мги напрежение на конеца T, под въздействието на които товарът се движи надолу равномерно с ускорение а. Радиусна ролка r 0 под въздействието на напрежението на конеца Tсе върти с ъглово ускорение , докато тангенциалното ускорение а t от крайните точки на макарата ще бъде равно на ускорението анизходящ товар. Ускорение аи  са свързани с отношението:

а = а t =  r 0 (21)

Ако времето на спускане на товара П 0 означаваме с Tи пътя, по който е минал ч, тогава съгласно закона за равномерно ускорено движение при начална скорост, равна на 0, ускорение аможе да се намери от връзката:

а = 2ч/T 2 (22)

Измерване на диаметъра с шублер д 0 на съответната макара, на която е навита резбата, и изчисляване на нейния радиус r o , от (21) и (22) можем да изчислим ъгловото ускорение на въртенето на кръста:

 = а/r 0 = 2ч/(r 0 T 2) (23)

Когато товарът, прикрепен към резбата, се спусне, движейки се равномерно, нишката се развива и привежда маховика в равномерно ускорено въртеливо движение. Силата, предизвикваща въртене на тялото, е силата на опън на нишката. Може да се определи от следните съображения. Тъй като според втория закон на Нютон произведението на масата на движещо се тяло и неговото ускорение е равно на сумата от силите, действащи върху тялото, тогава в този случай, когато е окачен на нишка и пада с равномерно ускорение ателесна маса м 0 действат две сили: телесно тегло м 0 ж, насочена надолу, и силата на опън на конеца T, насочена нагоре. Следователно важи следната връзка:

м 0 а = м 0 ж – T (24)

T = м 0 (ж – а) (25)

Следователно въртящият момент ще бъде равен на:

М = Тр 0 = (м 0 ж – м 0 а)r 0 (26)

Където r 0 – радиус на макарата.

Ако пренебрегнем силата на триене на диска по оста на напречния елемент, тогава можем да приемем, че върху напречния елемент действа само моментът М сила на опън на конеца T. Следователно, използвайки втория закон на Нютон за въртеливото движение (13), можем да изчислим инерционния момент Джкръст с въртящи се товари върху него, като се вземат предвид (16) и (19) по формулата:

Дж = М/ = м 0 (ж – а)r 0 2 T 2 /2ч (27)

или, замествайки израза за а (15):

Дж = м 0 r 0 2 (T 2 ж/2ч – 1) (28)

Полученото уравнение (28) е точно. В същото време, като извърши експерименти за определяне на ускорението на движението на товара П 0, можете да се уверите, че а << ж, и следователно в (27) стойността ( ж – а), пренебрегвайки стойността а, могат да бъдат взети равни ж. Тогава израз (27) ще приеме формата:

Дж = М/ = м 0 r 0 2 T 2 ж/2ч (29)

Ако стойностите м 0 , r 0 и чне се променят по време на експериментите, има проста квадратична връзка между инерционния момент на кръста и времето на спускане на товара:

Дж = Kt 2 (30)

Където К = м 0 r 0 2 ж/2ч. По този начин, измерване на времето Tпонижаване на товар от маса м 0, и знаейки височината на спускането му ч, можете да изчислите инерционния момент на напречния елемент, състоящ се от спици, макарата, в която са фиксирани, и товарите, разположени върху напречния елемент. Формула (30) ви позволява да проверите основните модели на динамиката на ротационното движение.

Ако инерционният момент на тялото е постоянен, тогава различни въртящи моменти М 1 и М 2 ще даде на тялото различни ъглови ускорения ε 1 и ε 2, т.е. ще има:

М 1 = Джε 1, М 2 = Джε 2 (31)

Сравнявайки тези изрази, получаваме:

М 1 /М 2 = ε 1 /ε 2 (32)

От друга страна, един и същ въртящ момент ще придаде различни ъглови ускорения на тела с различни инерционни моменти. Наистина ли,

М = Дж 1 ε 1, М = Дж 2 ε 2 (33)

Дж 1 ε 1 = Дж 2 ε 2, или Дж 1 /Дж 2 = ε 1 /ε 2 (34)

Работен ред:

Упражнение 1 . Определяне на инерционния момент на напречната част и проверка на зависимостта на ъгловото ускорение от момента на въртящата сила.

Задачата се изпълнява с кръст без тежести върху него.

Изберете и задайте височина чнамаляване на товара м 0 чрез преместване на горната подвижна скоба 12 (височина чможе да бъде възложено от учителя). Значение чвъведете в таблица 2.

Измерете диаметъра на избраната макара с дебеломер и намерете нейния радиус r 0 . Значение rВъведете 0 в таблица 2.

Като изберете най-малката стойност на масата м 0, равна на масата на стойката, върху която са поставени допълнителни тежести, навийте конеца на избрания скрипец, така че натоварването м 0 беше издигнат на височина ч. Измерете времето три пъти T 0 намаляване на този товар. Запишете данните в таблица 2.

Повторете предишния експеримент за различни (от три до пет) маси м 0 от спускащия товар, като се вземе предвид масата на стойката, върху която са поставени товарите. Теглото на стойката и тежестите са посочени върху тях.

След всеки експеримент направете следните изчисления (въвеждайки резултатите от тях в таблица 2):

1. изчислете средното време за сваляне на товара T 0 ср. и, използвайки го, използвайки формула (22), определете линейното ускорение на товарите а. Точките на повърхността на макарата се движат с еднакво ускорение;

   знаейки радиуса на ролката r 0, като използвате формула (23) намерете ъгловото му ускорение ε;

   използвайки получената стойност на линейното ускорение аизползвайки формула (26), намерете въртящия момент М;

   въз основа на получените стойности на ε и Мизчислете инерционния момент на маховика, като използвате формула (29) Дж 0 без тежести на пръти.

Въз основа на резултатите от всички експерименти изчислете и въведете в таблица 2 средната стойност на инерционния момент Дж 0, ср. .

За втория и следващите експерименти изчислете, като въведете резултатите от изчислението в таблица 2, съотношенията ε i /ε 1 и Маз/ М 1 (i – номер на експеримента). Проверете дали съотношението е правилно Маз/ М 1 = ε 1 /ε 2.

Съгласно таблица 2, за всеки един ред, изчислете грешките при измерване на инерционния момент, като използвате формулата:

 Дж = Дж 0 /Дж 0, ср. =  м 0 /м 0 + 2r 0 /r 0 + 2T/Tср +  ч/ч; Дж 0 =  Дж Дж 0, ср.

Стойности на абсолютна грешка  r, T, чсчитат за равни на грешките на инструмента;  м 0 = 0,5 g.

Таблица 2.

Задача 2 . Проверка на зависимостта на ъгловото ускорение от големината на инерционния момент при постоянен въртящ момент.

Напречната част се състои от четири спици (пръчки), четири тежести и две макари, монтирани на оста на въртене. Тъй като масите на макарите са малки и са разположени близо до оста на въртене, можем да приемем, че инерционният момент Джна цялата напречна греда е равна на сумата от инерционните моменти на всички пръти (т.е. инерционният момент на напречната греда без натоварвания Дж 0) и моменти на инерция на всички товари, разположени върху прътите Дж gr, т.е.

Дж = Дж 0 + Дж gr (35)

Тогава инерционният момент на товарите спрямо оста на въртене е равен на:

Джгр = Дж – Дж 0 (36)

Като посочи инерционния момент на кръста с товари, разположени на разстояние r 1 от оста на въртене през Дж 1, и съответния инерционен момент на самите товари през Дж gr1, пренаписваме (36) във формата:

Дж gr1 = Дж 1 – Дж 0 (37)

По същия начин за товари, разположени на разстояние r 2 от оста на въртене:

Дж gr2 = Дж 2 – Дж 0 (38)

Като вземем предвид приблизителната връзка (30), имаме:

Дж gr 1 = Kt 1 2 – Kt 0 2 = К(T 1 2 – T 0 2) и Дж gr 2 = Kt 2 2 – Kt 0 2 = К(T 2 2 – T 0 2) (39)

Където T 1 – време за спускане на товара м 0 за случая, когато тежестите върху прътите са фиксирани на разстояние r 1 от оста на въртене; T 2 – време за спускане на товара м 0 при закрепване на товари на пръти на разстояние r 2 от оста на въртене; T 0 – време за спускане на товара м 0, когато кръстът се върти без тежести.

От това следва, че съотношението на инерционните моменти на товари, разположени на различни разстояния от оста на въртене, е свързано с времевите характеристики на процеса на спускане на товара м 0 във формата:

Джгр 1/ Дж gr 2 = ( T 1 2 – T 0 2)/(T 2 2 – T 0 2) (40)

От друга страна, като се вземат приблизително 4 тежести, разположени на кръста, като точкови маси м, можем да приемем, че:

Дж gr 1 = 4 г-н 1 2 и Дж gr 2 = 4 г-н 2 2 , (41)

Дж gr1/ Дж gr2 = r 1 2 /r 2 2 (42)

Съвпадението на десните части на уравнения (40) и (42) може да послужи като експериментално потвърждение за наличието на пряка пропорционална зависимост на инерционния момент на материалните точки от квадрата на тяхното разстояние до оста на въртене. Всъщност и двете отношения (40) и (42) са приблизителни. Първият от тях е получен при предположението, че ускорението анамаляване на товара м 0 може да се пренебрегне в сравнение с ускорението на свободното падане ж, и освен това при извеждането му не се вземат предвид моментът на силите на триене на шайбите около оста и моментът на инерция на всички шайби спрямо оста на въртене. Вторият се отнася до точкови маси (т.е. маси на тела, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати в сравнение с тяхното разстояние до центъра на въртене), каквито цилиндричните натоварвания не са, и следователно, колкото по-далеч от оста на въртене са, толкова по-точно е съотношението (42) е изпълнено). Това може да обясни известно несъответствие между експериментално получените резултати и теорията.

За да проверите зависимостта (42), извършете експерименти в следната последователност:

Прикрепете 4 тежести към прътите по-близо до краищата им на същото разстояние от скрипеца. Определете и запишете разстоянието в таблица 3 r 1 от оста на въртене към центровете на масата на товарите. Определя се по формулата: r 1 = r w + л + л c/2, където r w – радиус на ролката, на която са закрепени прътите, л– разстояние от товара до макарата, л q – дължина на цилиндричния товар. Измерете диаметъра на скрипеца и дължината на тежестите с дебеломер.

Измерете времето три пъти T 1 спускане на товара м 0 и изчислете средната стойност T 1ср. . Извършете експеримента за същите маси м 0, както в задача 1. Запишете данните в таблица 3.

Преместете тежестите на иглите за плетене към центъра на произволно разстояние, което е еднакво за всички игли за плетене r 2 < r 1 . Изчислете това разстояние ( r 2) като вземете предвид коментарите в параграф 1 и запишете в таблица 3.

Измерете времето три пъти T 2 падания на товара м 0 за този случай. Изчислете средната стойност T 2wd. , повторете експеримента за същите маси м 0, както в стъпка 2 и запишете получените данни в таблица 3.

Прехвърлете стойности от таблица 2 в таблица 3 T 0 ср. , получени в предходната задача за съответните стойности м 0 .

За всички ценности м 0, използвайки наличните средни стойности T 0 , T 1 и T 2, като използвате формула (40) изчислете стойността b, равно на съотношението на инерционните моменти на товари, разположени на различни разстояния от оста на въртене: b= Джгр.1 / Джгр.2, и определ bср . Запишете резултатите в Таблица 3.

Въз основа на който и да е ред от таблица 3, изчислете допустимата грешка при определяне на съотношението (40), като използвате правилата за намиране на грешки при косвени измервания:

 b = b/bср = 2 T (T 1 + T 0)/(T 1 2 – T 0 2) + 2T (T 2 + T 0)/(T 2 2 – T 0 2); b =  b bср

Изчислете стойността на съотношението r 1 2 /r 2 2 и го запишете в таблица 3. Сравнете това отношение със стойността bср и анализирайте някои несъответствия в рамките на експерименталната грешка на резултатите, получени с теорията.

Таблица 3.

Задача 3 . Проверка на формули за инерционни моменти на тела с правилна форма.

Теоретично изчислени формули за определяне на естествените инерционни моменти на различни еднородни тела с правилна форма, т.е. моментите на инерция спрямо осите, преминаващи през центровете на масата на тези тела, са дадени в таблица 1. В същото време, използвайки експерименталните данни, получени в задачи 1 и 2 (таблици 2 и 3), е възможно да се изчисли собствени моменти на инерция на такива тела с правилна форма като товари, кръстове, поставени върху прътите, както и самите пръти, и сравнете получените стойности с теоретичните стойности.

По този начин инерционният момент на четири товара, разположени на разстояние r 1 от оста на въртене, може да се изчисли въз основа на експериментално определени стойности T 1 и T 0 по формулата:

Дж gr1 = К(T 1 2 – T 0 2) (43)

Коефициент Кв съответствие с обозначението, въведено в (23), е

К = м 0 r 0 2 ж/2ч (44)

Където м 0 – маса на спускащ се товар, окачен на нишка; ч– височината на спускането му; r 0 – радиус на макарата, на която е навита резбата; ж- ускорение на гравитацията ( ж= 9,8 m/s 2).

Разглеждане на натоварванията върху спиците като хомогенни цилиндри с маса м q и като вземем предвид правилото за адитивност на инерционните моменти, можем да приемем, че инерционният момент на един такъв цилиндър, въртящ се около ос, перпендикулярна на оста му на въртене и разположен на разстояние r 1 от центъра на масата е

Дж ts1 = К(T 1 2 – T 0 2)/4 (45)

Според теоремата на Щайнер този инерционен момент е сумата от инерционния момент на цилиндъра спрямо ос, минаваща през центъра на масата на цилиндъра, перпендикулярна на неговата ос на въртене. Джц0, и стойностите на продукта мц r 1 2:

Дж ts1 = Дж ts0 + мц r 1 2 (46)

Дж ts 0 = Дж C 1 - мц r 1 2 = К(T 1 2 – T 0 2)/4 – мц r 1 2 (47)

Така получихме формула за експериментално определяне на собствения инерционен момент на цилиндъра спрямо ос, перпендикулярна на неговата ос на въртене.

По същия начин инерционният момент на напречната част, т.е. всички спици (пръчки), могат да бъдат изчислени по формулата:

Дж 0 = Kt 0 2 (48)

къде е коефициентът Ксе определя по същия начин, както в предишния случай.

За една пръчка, съответно:

Дж st = Kt 0 2 /4 (49)

Използвайки теоремата на Щайнер (тук м st – маса на пръта, r st – разстояние от средата му до оста на въртене и Дж st0 – собствен инерционен момент на пръта спрямо перпендикулярната на него ос):

Дж st = Дж st0 + мул rст 2 (50)

и като се има предвид, че един от краищата на пръта е на оста на въртене, т.е. r st е половината от дължината му лИзкуство получаваме формула за експериментално определяне на инерционния момент на пръта спрямо оста, перпендикулярна на него, минаваща през неговия център на масата:

Дж st0 = Джст – мул л st 2 /4 = ( Kt 0 2 – мул лст. 2)/4 (51)

За да проверите съответствието на стойностите на естествените инерционни моменти на хомогенни тела с правилна форма, получени експериментално и изчислени теоретично, използвайте данните от задачи 1 и 2 и изпълнете следните операции:

Прехвърлете стойности от таблица 2 в таблица 4 r 0 , чИ м 0 .

За всички стойности, използвани в задачи 1 и 2 м 0 изчисляване на стойности Ки ги запишете в таблица 4.

Стойности T 1ср. И T 0 ср. от таблица 3 за съответните стойности м 0 прехвърлете в таблица 4 (в колони T 1 и T 0).

Въведете в таблица 4 стойността на масата на товара на цилиндъра м ts (написано върху товара) и прехвърлете стойността от таблица 3 към него r 1 .

Съгласно формула (47) за различни стойности м 0 изчислете експерименталните стойности на инерционния момент на цилиндъра спрямо оста, минаваща през центъра на масата, перпендикулярна на оста на симетрия на цилиндъра Дж ts0 (e) и ги запишете в таблица 4. Изчислете и запишете средната стойност Дж c0 (e‑s) експериментална стойност.

Измерете дължината с шублер л q и диаметър д c от теглото на цилиндъра. Запишете 4 стойности в таблицата л c и r ts = д ts/2.

Използване на стойности лц, r ts, и м c, използвайки формула (f6) от таблица 1, изчислете Дж c0 (t) – теоретична стойност на инерционния момент на цилиндъра спрямо оста, минаваща през центъра на масата, перпендикулярна на оста на симетрия на цилиндъра.

Измерете общата дължина на пръта, като вземете предвид това л st = r w + л, Където r w е радиусът на ролката, върху която са монтирани прътите, и л– разстояние от края на пръта до макарата ( л st може също да се дефинира като половината от измереното разстояние между краищата на два противоположно насочени пръта). Запишете стойностите л st и прът маса м st = 0,053 kg в таблица 4.

Съгласно формула (51) за различни стойности м 0 изчислете експерименталните стойности на инерционния момент на пръта спрямо оста, минаваща през центъра на масата, перпендикулярна на пръта Дж st0 (e) и ги запишете в таблица 4. Изчислете и запишете средната стойност Дж st0 (e‑s) експериментална стойност.

Използване на стойности лст и м st, като използвате формула (f8) от таблица 1, изчислете Дж t0 (t) – теоретична стойност на инерционния момент на пръта спрямо оста, минаваща през центъра на масата, перпендикулярна на пръта.

Сравнете експериментално и теоретично получените стойности на инерционните моменти на цилиндъра и пръта. Анализирайте всички несъответствия.

Таблица 4.

Тестови въпроси за подготовка за работа:

Формулирайте втория закон на Нютон за въртеливото движение.

Какво се нарича инерционен момент на елементарна маса и твърдо тяло? Физическо значение на инерционния момент.

Какъв е моментът на силата спрямо точката и оста на въртене? Как да определим посоката на вектора на момента на силата спрямо точка?

Каква трябва да бъде връзката между ъгловото ускорение и въртящия момент при постоянен инерционен момент? Как тази зависимост може да се провери практически?

Как инерционният момент на едно тяло зависи от разпределението на масата в него или разпределението на масата в система от въртящи се тела? Как можете да проверите това на практика?

Как да определим инерционния момент на паяк, инерционния момент на въртящи се тежести и спици при липса на триене?

Тестови въпроси за преминаване на теста:

Изведете изчислителни формули и за трите задачи.

Как ще се променят стойностите на ? ДжИ Мс постоянно положение на товарите върху спиците, ако

а) увеличете радиуса на ролката r 0 при постоянна маса на спускащия се товар м 0 ?

б) увеличаване м 0 при константа r 0 ?

Как ще се промени инерционният момент на кръст с товари, ако разстоянието им от оста на въртене се намали три пъти с постоянна стойност? м 0? Защо?

Какъв е инерционният момент на най-простите тела: прът, обръч, диск.

Ъглова скорост и ъглово ускорение на тялото: определение и значение на тези величини.

УЧЕБНО ИЗДАНИЕ

Макаров Игор Евгениевич, професор, доктор на химическите науки

Юрик Тамара Константиновна, доцент, д-р.

Изучаване на законите на въртене на махалото на Обербек

(без да се взема предвид силата на триене)

Указания за лабораторна работа

Компютърно оформление Скворцов И.М.

Технически редактор Киреев D.A.

Отговорен за освобождаването е Р. В. Морозов.

Офсетова хартия. Ризографски печат.

Cond.bake.l. Тираж Поръчка

Информационен и издателски център МГУДТ

Динамика на материална точка и постъпателно движение на твърдо тяло

Първият закон на Нютон. Тегло. Сила

Първият закон на Нютон: всяка материална точка (тяло) поддържа състояние на покой или еднообразие праволинейно движениедокато влиянието на други тела не я принуди да промени това състояние. Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция. Следователно, първият закон на Нютон също се нарича закон на инерцията.

Първият закон на Нютон не е изпълнен във всяка отправна система и онези системи, по отношение на които той е изпълнен, се наричат инерционен референтни системи.

Теглотяло - физическо количество, което е една от основните характеристики на материята, определяща нейната инерция ( инертна маса) и гравитационни ( гравитационна маса) Имоти. Понастоящем може да се счита за доказано, че инертната и гравитационната маса са равни една на друга (с точност най-малко 10–12 от техните стойности).

Така, силае векторна величина, която е мярка за механичното въздействие върху тялото от други тела или полета, в резултат на което тялото придобива ускорение или променя формата и размера си.

Втори закон на Нютон

Вторият закон на Нютон - основният закон на динамиката на транслационното движение -отговаря на въпроса как се променя механичното движение на материална точка (тяло) под въздействието на приложените към нея сили.

a~ Е (T = конст) . (6.1)

a~ 1 /t (F = const). (6.2)

а =kF/ м. (6.3)

В SI коефициент на пропорционалност к= 1. Тогава

(6.4)

(6.5)

Векторно количество

(6.6)

числено равно на произведението на масата материална точкана неговата скорост и като посоката на скоростта се нарича импулс (количество движение)тази материална точка.

Замествайки (6.6) в (6.5), получаваме

(6.7)

Извиква се израз (6.7). уравнение на движението на материална точка.

Единицата за сила в SI е нютон(N): 1 N е сила, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg в посоката на силата:

1 N = 1 кг Госпожица 2 .

Вторият закон на Нютон е валиден само в инерциални отправни системи. Първият закон на Нютон може да бъде извлечен от втория.

В механиката е от голямо значение принцип на независимо действие на силите: ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава всяка от тези сили придава ускорение на материалната точка съгласно втория закон на Нютон, сякаш няма други сили.

Третият закон на Нютон

Определя се взаимодействието между материалните точки (тела). Третият закон на Нютон.

Е 12 = – Е 21 , (7.1)

Третият закон на Нютон позволява преход от динамика отделноматериална точка към динамика системиматериални точки.

Сили на триене

В механиката ще разгледаме различни сили: триене, еластичност, гравитация.

Сили на триене, които предотвратяват плъзгането на контактуващите тела едно спрямо друго.

Външно триенесе нарича триене, което възниква в равнината на контакт на две контактуващи тела по време на тяхното относително движение.

В зависимост от характера на относителното им движение те говорят за триене при плъзгане, валцуванеили предене.

Вътрешно триененаречено триене между части от едно и също тяло, например между различни слоеве течност или газ. Ако телата се плъзгат едно спрямо друго и са разделени от слой вискозна течност (смазка), тогава в слоя смазка възниква триене. В този случай те говорят за хидродинамично триене(смазочният слой е доста дебел) и гранично триене (дебелината на смазочния слой е 0,1 µm или по-малко).

Сила на триене при плъзгане Е tr е пропорционално на силата ннормално налягане, с което едно тяло действа върху друго:

Е тр = f н ,

Където f - коефициент на триене при плъзгане, в зависимост от свойствата на контактуващите повърхности.

В граничния случай (начало на плъзгане на тялото) Е=Етр. или Пгрях  0 = f н = f П cos  0, където

f = tg 0 .

За гладките повърхности междумолекулното привличане започва да играе определена роля. За тях се прилага закон за триене при плъзгане

Е тр = f ист (н + Sp 0 ) ,

Където Р 0 - допълнително налягане, причинено от междумолекулни сили на привличане, които бързо намаляват с увеличаване на разстоянието между частиците; С - контактна площ между телата; f ist - истински коефициент на триене при плъзгане.

Радикален начин за намаляване на триенето е да се замени триенето при плъзгане с триене при търкаляне (съчмени и ролкови лагери и др.). Силата на триене при търкаляне се определя съгласно закона, установен от Кулон:

Е тр = f Да се н / r , (8.1)

Където r- радиус на търкалящото се тяло; f k е коефициентът на триене при търкаляне с размер dim f k = L. От (8.1) следва, че силата на триене при търкаляне е обратно пропорционална на радиуса на търкалящото се тяло.

Закон за запазване на импулса. Център на масата

Съвкупност от материални точки (тела), разглеждани като едно цяло, се нарича механична система. Силите на взаимодействие между материалните точки на механичната система се наричат ​​- вътрешни. Наричат ​​се силите, с които външните тела действат върху материалните точки на системата външен. Нарича се механична система от тела, върху която не действат външни сили затворен(или изолиран). Ако имаме механична система, състояща се от много тела, тогава, според третия закон на Нютон, силите, действащи между тези тела, ще бъдат равни и противоположно насочени, т.е. геометричната сума на вътрешните сили е равна на нула.

Нека напишем втория закон на Нютон за всеки от нтела на механична система:

Добавяйки тези уравнения член по член, получаваме

Но тъй като геометричната сума на вътрешните сили на механична система според третия закон на Нютон е равна на нула, тогава

(9.1)

Където - импулс на системата. По този начин, времевата производна на импулса на механична система е равна на геометричната сума на външните сили, действащи върху системата.

При липса на външни сили (разглеждаме затворена система)

Последният израз е закон за запазване на импулса: импулс затворена системапродължава, т.е. не се променя с времето.

Експериментите доказват, че това е вярно и за затворени системи от микрочастици (те се подчиняват на законите на квантовата механика). Този закон е универсален, т.е. законът за запазване на импулса - основен закон на природата.

Законът за запазване на импулса е следствие от определено свойство на симетрията на пространството - неговата хомогенност. Хомогенност на пространствотосе крие във факта, че по време на паралелно пренасяне в пространството на затворена система от тела като цяло, неговите физически свойства и закони на движение не се променят, с други думи, те не зависят от избора на позицията на произхода на инерциална отправна система.

Център на масата(или център на инерцията) на система от материални точки се нарича въображаема точка СЪС, чиято позиция характеризира масовото разпределение на тази система. Неговият радиус вектор е равен на

Където м азИ r аз- съответно маса и радиус вектор азта материална точка; н- брой материални точки в системата; – маса на системата. Център на скоростта на масата

Като се има предвид това пи = м аз v аз,а има импулс Рсистеми, можете да пишете

(9.2)

т.е. импулсът на системата е равен на произведението от масата на системата и скоростта на нейния център на масата.

Замествайки израз (9.2) в уравнение (9.1), получаваме

(9.3)

т.е. центърът на масата на системата се движи като материална точка, в която е концентрирана масата на цялата система и върху която действа сила, равна на геометричната сума на всички външни сили, приложени към системата. Изразът (9.3) е закон за движение на центъра на масата.

1) Законите на Нютон. Сили в природата.

2) Основни характеристики на динамиката на въртеливото движение.

3) Работа и сила. Механична енергия.

4) Закони за запазване на механиката.

Кинематикаразглежда движението на телата, без да се интересува от причините, които обуславят това движение и неговите изменения.

В основата динамиката, която изучава причините за промените в движението, се основава на законите на Нютон. Тези закони са свързани с основните закони на природата и тяхната валидност може да бъде доказана или опровергана само от опит.

Втори закон на Нютон – основен закон на динамиката.

Този закон се прилага само в инерциални референтни системи.

В динамиката се въвеждат две нови физични величини – телесна маса ми сила https://pandia.ru/text/78/157/images/image001_74.gif" width="23" height="26 src=">е количествена мярка за действието на едно тяло върху друго.

Вторият закон на Нютон е основен закон на природата; това е обобщение на експериментални факти, които могат да бъдат разделени на две категории:

1. Ако върху тела с различни маси действа една и съща сила, тогава ускоренията, придобити от телата, се оказват обратно пропорционални на масите

2. Ако върху едно и също тяло действат различни по големина сили, то ускоренията на тялото се оказват правопропорционални на приложените сили.

Обобщавайки тези наблюдения, Нютон формулира основния закон на динамиката: Силата, действаща върху тялото, е равна на произведението от масата на тялото и ускорението, придадено от тази сила:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image001_74.gif" width="23" height="26 src=">:

В Международната система единици (SI) единицата за сила е силата, която придава ускорение от 1 m/s2 на тяло с тегло 1 kg. Тази единица се нарича нютон (N).

https://pandia.ru/text/78/157/images/image005_17.gif" width="97" height="60">

Ако резултантната сила е нула, тогава тялото ще остане в състояние на покой или равномерно линейно движение.

Вторият закон на Нютон може да се запише и като:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image007_8.gif" width="96" height="36"> (4).

Основната единица SI за импулс на тяло е kg m/s.

Тогава вторият закон на Нютон най-накрая ще приеме формата:

По този начин, скоростта на промяна на импулса на тялото е равна на силата, действаща върху него.

Сили в природата.

1) Сила универсална гравитация. Земно притегляне. Телесно тегло.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image010_6.gif" width="134" height="57 src="> (6)

Където - гравитационна константа, числено равна на силата на взаимодействие между две тела с единична маса, разположени на единица разстояние едно от друго.

Силата на универсалната гравитация е централна сила, т.е. насочена по правата линия, свързваща центровете на телата.

Под въздействието на гравитацията към Земята всички тела падат с еднакво ускорение, равно на ускорението на свободното падане ..gif" width="20" height="28 src=">.gif" width="69" height ="28 src="> .

Силата, с която тялото действа върху опора или окачване, поради привличане към Земята, се нарича телесно тегло.

2) Сили на триене.

Силите на триене се появяват, когато две контактуващи тела или части на тялото се движат една спрямо друга.

Силите на триене са насочени тангенциално към триещите се повърхности и по такъв начин, че противодействат на относителното изместване на тези повърхности.

В случай на сухо триене, силата на триене възниква не само когато една повърхност се плъзга върху друга, но и когато се опитвате да предизвикате такова изместване. В този случай се нарича силата на триене сила на статично триене.

Опитът показва, че максималната сила на статично триене https://pandia.ru/text/78/157/images/image019_6.gif" width="105" height="34 src="> (7)

където N е силата на нормалното налягане, е безразмерен коефициент в зависимост от вида на контактуващите тела и чистотата на повърхностната обработка и се нарича коефициент

триене.

Трябва да се има предвид, че в допълнение към силите на триене при движение в течност или газ възникват съпротивителни сили на средата, които могат да бъдат много по-големи от силите на триене. Характерна особеност на тези сили е тяхната зависимост от скоростта на движение на тялото и неговата форма.

Ако върху вала с диска действат две сили https://pandia.ru/text/78/157/images/image022_6.gif" width="83" height="19">, т.е. моменти на силаравни по размер и противоположни по посока.

Псевдовектор

https://pandia.ru/text/78/157/images/image024_3.gif" width="21" height="33 src="> спрямо точка O.

Векторният модул се определя по формулата

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_2.gif" width="99" height="23"> - рамото на силата, т.е. най-късото разстояние от точка O до линията на действие на силата.

Размер

https://pandia.ru/text/78/157/images/image029_1.gif" width="105" height="51 src="> (11)

Наречен момент на импулс на твърдо тяло спрямо точка.

Физическо количество

(12)

Наречен инерционен момент на материална точкаспрямо оста на въртене и големината

(13)

инерционен момент на твърдо тяло.

Всяко твърдо тяло може да бъде разделено на елементарни маси https://pandia.ru/text/78/157/images/image033_1.gif" width="20 height=24" height="24"> от оста на въртене. .gif" width ="133" height="38"> (14),

където https://pandia.ru/text/78/157/images/image037_1.gif" width="14" height="25"> е инерционният момент спрямо новата ос, е разстоянието между осите, https://pandia.ru/text/78/157/images/image040_1.gif" width="90" height="33 src="> (15).

защото , тогава можете да намерите друга форма на запис на този закон:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image043_1.gif" width="19" height="29 src=">.gif" width="13" height="25 src=">, тогава работата на тази сила се определя по формулата

https://pandia.ru/text/78/157/images/image047_0.gif" width="24" height="20">, така че да могат да се считат за праволинейни и действащата сила във всяка точка на този раздел е константа Тогава елементарната работа

https://pandia.ru/text/78/157/images/image049_0.gif" width="183" height="42 src="> (19)

Когато A > 0, когато https://pandia.ru/text/78/157/images/image052_0.gif" width="48" height="47">, тогава A = 0

За да характеризираме скоростта на извършената работа, въвеждаме физическо количество, Наречен мощност. Ако се работи през времето https://pandia.ru/text/78/157/images/image055_0.gif" width="74" height="53 src="> (20)

Наречен средна мощност, и стойността

https://pandia.ru/text/78/157/images/image057_0.gif" width="100" height="23"> можете да получите

https://pandia.ru/text/78/157/images/image059_0.gif" width="92" height="65 src="> (23)

Наречен кинетична енергия на тялото.

Работата на резултантната на всички сили, действащи върху тялото, е равна на изменението на кинетичната енергия на тялото.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image061.gif" width="84" height="58 src="> (25)

Елементарната работа на променлива сила по време на въртеливо движение е равна на:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image063.gif" width="116" height="69 src="> (27)

Механичната мощност по време на въртеливо движение се определя от израза:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image071.gif" width="218" height="33 src="> (33)

се нарича импулс на система от тела (частици) и тогава

За затворена система от тела резултатната от всички външни сили е равна на нула, т.е..gif" width="62" height="56">,

се нарича общата механична енергия на системата и тогава

(38),

общата механична енергия на системата се променя от количеството работа, извършена от външната сила.

От това уравнение следва, че е невъзможно да се създаде вечен двигател от първи вид, тоест двигател, който да извършва повече работа от изразходваната енергия.

За затворена система работата на външните сили е нула и следователно https://pandia.ru/text/78/157/images/image083.gif" width="89 height=24" height="24">

Това твърдение изразява закон за запазване на енергията:пълна механична енергия на затворена система

остава постоянна стойност.

Глава 2. ЕЛЕМЕНТИ НА ДИНАМИКАТА

Динамиката изучава движението на телата, като взема предвид онези причини (взаимодействия между телата), които определят този или онзи характер на движението. Класическата (Нютонова) механика се основава на три закона на динамиката, формулирани от И. Нютон през 17 век. Законите на Нютон възникват в резултат на обобщаването на голям брой експериментални факти. Правилността им се потвърждава от съвпадението с опита на последствията, които произтичат от тях.

Първият закон на Нютон е формулиран, както следва: Всяко тяло се намира в състояние на покой или равномерно и праволинейно движение, докато влиянието на други тела не го принуди да промени това състояние.И двете състояния са обединени от факта, че ускорението на тялото е нула.

Като се има предвид, че характерът на движението зависи от избора на отправна система, следва да се заключи, че първият закон на Нютон не е изпълнен във всяка отправна система. Отправната система, в която е изпълнен първият закон на Нютон, обикновено се нарича инерциална. Самият закон се нарича закон на инерцията. Отправна система, в която първият закон на Нютон не е изпълнен, обикновено се нарича неинерциална. Всяка отправна система, която се движи равномерно и праволинейно спрямо инерциалната система, също е инерциална система. Поради тази причина има безкраен брой инерциални системи.

Обикновено се нарича свойството на телата да поддържат състояние на покой или равномерно и праволинейно движение инерция(инерция). Мярка за инерцията на тялото е неговата маса м. Не зависи от скоростта на тялото. Взета е единицата за маса килограм(kg) - маса на еталонното тяло.

Ако състоянието на движение на тялото или неговата форма и размер се променят, тогава се казва, че върху тялото действат други тела. Мярката за взаимодействие между телата е силата. Всяка сила се проявява в резултат на действието на едно тяло върху друго, което се свежда до появата на ускорение или деформация в тялото.

Втори закон на Нютон: получената сила, действаща върху тялото, е равна на произведението на масата на това тяло и неговото ускорение:

Тъй като масата е скалар, от формула (6.1) следва, че .

Въз основа на този закон се въвежда единица сила - нютон(Н): .

Вторият закон на Нютон е валиден само в инерциални отправни системи.

Нека заменим ускорението в уравнение (6.1) с производната на скоростта спрямо времето:

Векторно количество

обикновено се нарича импулс на тялото.

От формула (6.3) следва, че посоката на вектора на импулса съвпада с посоката на скоростта. Единица импулс - килограм-метър в секунда(kg×m/s).

Комбинирайки изрази (6.2) и (6.3), получаваме

Полученият израз ни позволява да предложим по-обща формулировка на втория закон на Нютон: силата, действаща върху тялото, е равна на производната на импулса по време.

Всяко действие на телата едно върху друго има характер на взаимодействие (фиг. 6.1). Ако едно тяло действа върху тяло с някаква сила, то тялото от своя страна действа върху тялото със сила.

Третият закон на Нютон е формулиран по следния начин: взаимодействащите тела действат едно на друго с еднакви по големина и противоположни по посока сили.

Тези сили, приложени към различни тела, действат в една права линия и са сили от едно и също естество. Математически изразТретият закон на Нютон има формата

Знакът "-" във формула (6.5) означава, че векторите на силата са противоположни по посока.

Както самият Нютон каза, третият закон гласи: „Едно действие винаги има еднаква и противоположна реакция, в противен случай действията на две тела едно върху друго са еднакви и насочени в противоположни посоки.“

Разделът от механиката, който изучава движението на материалните тела заедно с физическите причини, които предизвикват това движение, се нарича динамика. Основните идеи и количествените закони на динамиката са възникнали и се развиват на базата на вековен човешки опит: наблюдения на движението на земните и небесните тела, индустриална практика и специално проектирани експерименти.

Големият италиански физик Галилео Галилей експериментално установи, че материална точка (тяло), достатъчно отдалечена от всички други тела (т.е. не взаимодействаща с тях), ще поддържа своето състояние на покой или равномерно праволинейно движение. Тази позиция на Галилей се потвърждава от всички последващи експерименти и съставлява съдържанието на първия основен закон на динамиката, така наречения закон на инерцията. В този случай почивката трябва да се разглежда като частен случай на равномерно и праволинейно движение, когато .

Този закон е еднакво валиден както за движението на гигантските небесни тела, така и за движението на най-малките частици. Свойството на материалните тела да поддържат състояние на равномерно и праволинейно движение се нарича инерция.

Равномерното и праволинейно движение на тялото при липса на външни въздействия се нарича движение по инерция.

Отправната система, спрямо която е в сила закона за инерцията, се нарича инерциална отправна система. Инерционната отправна система е почти точно хелиоцентричната система. С оглед на огромното разстояние до звездите, тяхното движение може да бъде пренебрегнато и тогава координатните оси, насочени от Слънцето към три звезди, които не лежат в една и съща равнина, ще бъдат неподвижни. Очевидно всяка друга отправна система, движеща се равномерно и праволинейно спрямо хелиоцентричната рамка, също ще бъде инерционна.

Физическата величина, характеризираща инерцията на материалното тяло, е неговата маса. Нютон определя масата като количеството материя, съдържащо се в тялото. Това определение не може да се счита за изчерпателно. Масата характеризира не само инерцията на материално тяло, но и неговите гравитационни свойства: силата на привличане, изпитвана от дадено тяло от друго тяло, е пропорционална на техните маси. Масата определя общия енергиен запас на материалното тяло.

Концепцията за маса ни позволява да изясним определението за материална точка. Материална точка е тяло, при изучаване на движението на което човек може да се абстрахира от всички негови свойства, с изключение на масата. Следователно всяка материална точка се характеризира с големината на своята маса. В Нютоновата механика, която се основава на законите на Нютон, масата на тялото не зависи от положението на тялото в пространството, неговата скорост, действието на други тела върху тялото и т.н. Масата е адитивна величина, т.е. Масата на едно тяло е равна на сбора от масите на всички негови части. Свойството адитивност обаче се губи при скорости, близки до скоростта на светлината във вакуум, т.е. в релативистката механика.

Айнщайн показа, че масата на движещо се тяло зависи от скоростта

, (2.1)

където m 0 - маса на тялото в покой,  - скорост на движение на тялото, s – скорост на светлината във вакуум.

От (2.1) следва, че когато телата се движат с малки скорости c, масата на тялото е равна на масата на покой, т.е. m=m0; при c маса m.

Обобщавайки резултатите от експериментите на Галилей върху падането на тежки тела, астрономическите закони на Кеплер за движението на планетите и данните от собствените си изследвания, Нютон формулира втория основен закон на динамиката, който количествено свързва промяната в движението на материала тяло със силите, причиняващи тази промяна в движението. Нека се спрем на анализа на това най-важно понятие.

Като цяло силата - е физическа величина, която характеризира действието, упражнявано от едно тяло върху друго. Тази векторна величина се определя от числова величина или модул
, посока в пространството и точка на приложение.

Ако върху една материална точка действат две сили И , то тяхното действие е еквивалентно на действието на една сила

,

получен от известния триъгълник на силите (фиг. 2.1). Ако n-сили действат върху тяло, общото действие е еквивалентно на действието на една резултатна, която е геометричната сума на силите:

. (2.2)

Динамичното проявление на силата е, че под въздействието на сила материалното тяло изпитва ускорение. Статичното действие на силата води до факта, че еластичните тела (пружини) се деформират под въздействието на сили и газовете се компресират.

неговите маси:

или
. (2.3)

Уравнение (2.3) представлява математическата нотация на втория основен закон на динамиката:

векторът на силата, действаща върху материална точка, е числено равен на произведението на масата на точката и вектора на ускорението, възникващ под действието на тази сила.

Защото ускорението

,

Където
- единични вектори,
- проекции на ускорението върху координатните оси, тогава

. (2.4)

Ако означим , тогава изразът (2.4) може да бъде пренаписан по отношение на проекциите на силите върху координатните оси:

В системата SI единицата за сила е нютон.

Съгласно (2.3) нютон е сила, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg. Лесно е да се види това

.

Вторият закон на Нютон може да бъде написан по различен начин, ако въведем концепцията за импулс на тялото (m) и импулс на сила (Fdt). Да заместим

(2.3) израз за ускорение

,

получаваме

или
. (2.5)

По този начин елементарният импулс на сила, действащ върху материална точка през интервала от време dt, е равен на промяната в импулса на тялото за същия период от време.

Показва импулса на тялото

,

получаваме следния израз за втория закон на Нютон:

.

В релативистката механика при c основният закон на динамиката и импулса на тялото, като се вземе предвид зависимостта на масата от скоростта (2.1.), ще бъде записан в следната форма

,

.

Досега разглеждахме само едната страна на взаимодействието между телата: влиянието на други тела върху характера на движението на дадено избрано тяло (материална точка). Такова влияние не може да бъде едностранно, взаимодействието трябва да бъде взаимно. Този факт е отразен от третия закон на динамиката, формулиран за случая на взаимодействие на две материални точки: ако материалната точка m 2 преживявания от страна на материалната точка m 1 сила, равна на , след това m 1 преживявания отвън м 2 сила , равни по големина и противоположни по посока :

.

Тези сили действат винаги по права линия, минаваща през точките m 1 и м 2 , както е показано на фигура 2.2. Фигура 2.2 Асе прилага