Теорема на Гаус за електрическа индукция (електрическо изместване). IV. Вектор на електростатичната индукция. Теорема на Гаус за нютонова гравитация

Когато има много заряди, възникват някои трудности при изчисляването на полета.

Теоремата на Гаус помага за преодоляването им. Същността Теорема на Гауссе свежда до следното: ако произволен брой заряди са мислено заобиколени от затворена повърхност S, тогава потокът от напрегнатост на електрическото поле през елементарна област dS може да бъде написан като dФ = Есоsα۰dS, където α е ъгълът между нормалата към равнина и вектор на якост .

(фиг. 12.7)

(12.9)

Общият поток през цялата повърхност ще бъде равен на сумата от потоците от всички заряди, произволно разпределени вътре в нея, и пропорционален на големината на този заряд

Нека определим потока на вектора на интензитета през сферична повърхност с радиус r, в центъра на която е разположен точков заряд +q (фиг. 12.8). Линиите на опън са перпендикулярни на повърхността на сферата, α = 0, следователно cosα = 1. Тогава

Ако полето е образувано от система от заряди, тогава Теорема на Гаус:

(12.10)

потокът на вектора на напрегнатост на електростатичното поле във вакуум през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, съдържащи се вътре в тази повърхност, разделена на електрическата константа.

Ако вътре в сферата няма заряди, тогава Ф = 0. Теоремата на Гаус го прави относително лесен за изчисляванеелектрически полета

със симетрично разпределени заряди.

Нека въведем концепцията за плътността на разпределените заряди. Линейната плътност се означава с τ и характеризира заряда q на единица дължина ℓ. INобщ изглед

(12.11)

може да се изчисли с помощта на формулата

При равномерно разпределение на зарядите линейната плътност е равна на

(12.12)

Повърхностната плътност се означава с σ и характеризира заряда q на единица площ S. Най-общо тя се определя по формулата

При равномерно разпределение на зарядите по повърхността, повърхностната плътност е равна на

(12.13)

Обемната плътност се означава с ρ и характеризира заряда q на единица обем V. Най-общо се определя по формулата
.

При равномерно разпределение на зарядите тя е равна на

Тъй като зарядът q е равномерно разпределен върху сферата, тогава
.

σ = const. Нека приложим теоремата на Гаус. Нека начертаем сфера с радиус през точка A. Потокът на вектора на опън на фиг. 12.9 през сферична повърхност с радиус е равен на cosα = 1, тъй като α = 0. Според теоремата на Гаус,

(12.14)

От израз (12.14) следва, че напрегнатостта на полето извън заредената сфера е същата като напрегнатостта на полето на точков заряд, поставен в центъра на сферата. На повърхността на сферата, т.е. r 1 = r 0, напрежение
.

Вътре в сферата r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Цилиндър с радиус r 0 е равномерно зареден с повърхностна плътност σ (фиг. 12.10). Нека определим напрегнатостта на полето в произволно избрана точка A. Нека начертаем въображаема цилиндрична повърхност с радиус R и дължина ℓ през точка A. Поради симетрията потокът ще излезе само през страничните повърхности на цилиндъра, тъй като зарядите върху цилиндъра с радиус r 0 са разпределени равномерно по повърхността му, т.е. линиите на напрежение ще бъдат радиални прави линии, перпендикулярни на страничните повърхности на двата цилиндъра. Тъй като потокът през основата на цилиндрите е нула (cos α = 0), а страничната повърхност на цилиндъра е перпендикулярна на силовите линии (cos α = 1), тогава

или

(12.15)

Нека изразим стойността на E чрез σ - повърхностна плътност. По дефиниция,

следователно,

Нека заместим стойността на q във формула (12.15)

(12.16)

По дефиницията на линейната плътност,
, където
; заместваме този израз във формула (12.16):

(12.17)

тези. Силата на полето, създадено от безкрайно дълъг зареден цилиндър, е пропорционална на линейната плътност на заряда и обратно пропорционална на разстоянието.

Сила на полето, създадена от безкрайна равномерно заредена равнина

Нека определим напрегнатостта на полето, създадено от безкрайна равномерно заредена равнина в точка А. Нека повърхностната плътност на заряда на равнината е равна на σ. Като затворена повърхност е удобно да изберете цилиндър, чиято ос е перпендикулярна на равнината и чиято дясна основа съдържа точка А. Равнината разделя цилиндъра наполовина. Очевидно силовите линии са перпендикулярни на равнината и успоредни на страничната повърхност на цилиндъра, така че целият поток преминава само през основата на цилиндъра. И на двете бази силата на полето е еднаква, т.к точки A и B са симетрични спрямо равнината. Тогава потокът през основата на цилиндъра е равен на

Според теоремата на Гаус,

защото
, Това
, където

(12.18)

По този начин силата на полето на безкрайно заредена равнина е пропорционална на повърхностната плътност на заряда и не зависи от разстоянието до равнината. Следователно полето на равнината е равномерно.

Сила на полето, създадена от две противоположно еднакво заредени успоредни равнини

Полученото поле, създадено от две равнини, се определя от принципа на суперпозицията на полето:
(фиг. 12.12). Полето, създадено от всяка равнина, е еднакво, силите на тези полета са еднакви по големина, но противоположни по посока:
. Съгласно принципа на суперпозицията общата напрегнатост на полето извън равнината е нула:

Между равнините напрегнатостта на полето има еднакви посоки, така че получената сила е равна на

По този начин полето между две различно заредени равнини е еднакво и неговият интензитет е два пъти по-силен от интензитета на полето, създадено от една равнина. Отляво и отдясно на самолетите няма поле. Полето на крайните равнини има същата форма; изкривяването се появява само в близост до техните граници. Използвайки получената формула, можете да изчислите полето между плочите на плосък кондензатор.

Цел на урока: Теоремата на Остроградски–Гаус е създадена от руския математик и механик Михаил Василиевич Остроградски под формата на обща математическа теорема и от немския математик Карл Фридрих Гаус. Тази теорема може да се използва при изучаване на физика на специализирано ниво, тъй като позволява по-рационални изчисления на електрическите полета.

За да се изведе теоремата на Остроградски-Гаус, е необходимо да се въведат такива важни спомагателни понятия като вектора електрическа индукцияи потокът на този вектор F.

Известно е, че електростатичното поле често се изобразява чрез силови линии. Да предположим, че определяме напрежението в точка, разположена на границата между две среди: въздух (=1) и вода (=81). В този момент, когато се движите от въздух към вода, силата на електрическото поле според формулата ще намалее с 81 пъти. Ако пренебрегнем проводимостта на водата, тогава броят на силовите линии ще намалее със същото количество. При решаването на различни задачи за изчисляване на полета, поради прекъсването на вектора на напрежението на интерфейса между средата и диелектриците, се създават определени неудобства. За да ги избегнете, се въвежда нов вектор, който се нарича вектор на електрическа индукция:

Векторът на електрическата индукция е равен на произведението на вектора и електрическата константа и диелектричната константа на средата в дадена точка.

Очевидно е, че при преминаване през границата на два диелектрика броят на електрическите индукционни линии не се променя за полето на точковия заряд (1).

В системата SI векторът на електрическата индукция се измерва в кулони на квадратен метър (C/m2). Изразът (1) показва, че числовата стойност на вектора не зависи от свойствата на средата. Графично векторното поле се изобразява подобно на полето на интензитет (например за точков заряд виж фиг. 1). За векторно поле се прилага принципът на суперпозиция:

Електрически индукционен поток

Векторът на електрическата индукция характеризира електрическото поле във всяка точка на пространството. Можете да въведете друго количество, което зависи от стойностите на вектора не в една точка, а във всички точки на повърхността, ограничена от плосък затворен контур.

За да направите това, разгледайте плосък затворен проводник (верига) с повърхност S, поставен в еднородно електрическо поле. Нормалната към равнината на проводника сключва ъгъл с посоката на вектора на електрическата индукция (фиг. 2).

Потокът на електрическа индукция през повърхността S е величина, равна на произведението на модула на вектора на индукция от площта S и косинуса на ъгъла между вектора и нормалата:

Тази теорема ни позволява да намерим потока на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност, вътре в която има електрически заряди.

Нека първо един точков заряд q бъде поставен в центъра на сфера с произволен радиус r 1 (фиг. 3). Тогава ; . Нека изчислим общия индукционен поток, преминаващ през цялата повърхност на тази сфера: ; (). Ако вземем сфера с радиус , тогава също Ф = q. Ако начертаем сфера, която не покрива заряд q, тогава общият поток Ф = 0 (тъй като всяка линия ще влезе в повърхността и ще я напусне друг път).

Така Ф = q, ако зарядът е разположен вътре в затворената повърхност и Ф = 0, ако зарядът е разположен извън затворената повърхност. Потокът Ф не зависи от формата на повърхността. Освен това не зависи от разположението на зарядите в повърхността. Това означава, че полученият резултат е валиден не само за един заряд, но и за произволен брой произволно разположени заряди, само ако имаме предвид под q алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността.

Теорема на Гаус: потокът на електрическа индукция през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността: .

От формулата става ясно, че размерът на електрическия поток е същият като този на електрическия заряд. Следователно единицата за електрически индукционен поток е кулон (C).

Забележка: ако полето е неравномерно и повърхността, през която се определя потокът, не е равнина, тогава тази повърхност може да бъде разделена на безкрайно малки елементи ds и всеки елемент може да се счита за плосък, а полето в близост до него е равномерно. Следователно, за всяко електрическо поле, потокът на вектора на електрическата индукция през повърхностния елемент е: dФ=. В резултат на интегрирането общият поток през затворена повърхност S във всяко нехомогенно електрическо поле е равен на: , където q е алгебричната сума на всички заряди, заобиколени от затворена повърхност S. Нека изразим последното уравнение по отношение на напрегнатостта на електрическото поле (за вакуум): .

Това е едно от основните уравнения на Максуел за електромагнитното поле, записано в интегрална форма. Той показва, че източникът на постоянното във времето електрическо поле са стационарни електрически заряди.

Нека сега определим силата на полето за редица случаи, като използваме теоремата на Остроградски-Гаус.

1. Електрическо поле на равномерно заредена сферична повърхност.

Сфера с радиус R. Нека зарядът +q е равномерно разпределен върху сферична повърхност с радиус R. Разпределението на заряда върху повърхността се характеризира с плътността на повърхностния заряд (фиг. 4). Плътността на повърхностния заряд е съотношението на заряда към повърхността, върху която е разпределен. . В SI.

Да определим силата на полето:

а) извън сферичната повърхност,
б) вътре в сферична повърхност.

а) Вземете точка А, разположена на разстояние r>R от центъра на заредената сферична повърхност. Нека мислено начертаем през него сферична повърхност S с радиус r, която има общ център със заредената сферична повърхност. От съображения за симетрия е очевидно, че силовите линии са радиални линии, перпендикулярни на повърхността S и равномерно проникват в тази повърхност, т.е. напрежението във всички точки на тази повърхност е постоянно по величина. Нека приложим теоремата на Остроградски-Гаус към тази сферична повърхност S с радиус r. Следователно общият поток през сферата е N = E? S; N=E. От другата страна. Приравняваме: . Следователно: за r>R.

По този начин: напрежението, създадено от еднакво заредена сферична повърхност извън нея, е същото, както ако целият заряд е в центъра (фиг. 5).

б) Нека намерим напрегнатостта на полето в точки, разположени вътре в заредената сферична повърхност. Да вземем точка B на разстояние от центъра на сферата . Тогава E = 0 при r

2. Напрегнатост на полето на равномерно заредена безкрайна равнина

Нека разгледаме електрическото поле, създадено от безкрайна равнина, заредена с константа на плътност във всички точки на равнината. От съображения за симетрия можем да приемем, че линиите на опън са перпендикулярни на равнината и насочени от нея в двете посоки (фиг. 6).

Нека изберем точка А, разположена вдясно от равнината, и изчислим в тази точка, като използваме теоремата на Остроградски-Гаус. Като затворена повърхност избираме цилиндрична повърхност, така че страничната повърхност на цилиндъра да е успоредна на силовите линии, а основата му да е успоредна на равнината и основата да минава през точка А (фиг. 7). Нека изчислим потока на напрежение през разглежданата цилиндрична повърхност. Потокът през страничната повърхност е 0, т.к линиите на напрежение са успоредни на страничната повърхност. Тогава общият поток се състои от потоците и преминаващи през основите на цилиндъра и . И двата потока са положителни =+; =; =; ==; N=2.

– сечение от равнината, разположено вътре в избраната цилиндрична повърхност. Зарядът вътре в тази повърхност е q.

Тогава ; – може да се приеме като точков заряд) с точка A. За да се намери общото поле, е необходимо да се сумират геометрично всички полета, създадени от всеки елемент: ; .

Обща формулировка: Потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през всяка произволно избрана затворена повърхност е пропорционален на електрическия заряд, съдържащ се в тази повърхност.

В системата SGSE:

В системата SI:

е потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през затворена повърхност.

- общият заряд, съдържащ се в обема, който ограничава повърхността.

- електрическа константа.

Този израз представлява теоремата на Гаус в интегрална форма.

В диференциална форма теоремата на Гаус съответства на едно от уравненията на Максуел и се изразява по следния начин

в системата SI:

,

в системата SGSE:

Тук е обемната плътност на заряда (в случай на наличие на среда, общата плътност на свободните и свързаните заряди) и е операторът nabla.

За теоремата на Гаус е валиден принципът на суперпозицията, т.е. потокът на вектора на интензитета през повърхността не зависи от разпределението на заряда вътре в повърхността.

Физическата основа на теоремата на Гаус е законът на Кулон или, с други думи, теоремата на Гаус е интегрална формулировка на закона на Кулон.

Теорема на Гаус за електрическа индукция (електрическо изместване).

За поле в материята електростатичната теорема на Гаус може да се напише по различен начин - чрез потока на вектора на електрическото отместване (електрическа индукция). В този случай формулировката на теоремата е следната: потокът на вектора на електрическото изместване през затворена повърхност е пропорционален на свободния електрически заряд, съдържащ се вътре в тази повърхност:

Ако разгледаме теоремата за силата на полето в веществото, тогава като заряд Q е необходимо да вземем сумата от свободния заряд, разположен вътре в повърхността, и поляризационния (индуциран, свързан) заряд на диелектрика:

,

Къде ,
е поляризационният вектор на диелектрика.

Теорема на Гаус за магнитна индукция

Потокът на вектора на магнитната индукция през всяка затворена повърхност е нула:

.

Това е еквивалентно на факта, че в природата няма „магнитни заряди“ (монополи), които биха създали магнитно поле, точно както електрическите заряди създават електрическо поле. С други думи, теоремата на Гаус за магнитната индукция показва, че магнитното поле е вихрово.

Приложение на теоремата на Гаус

За изчисляване на електромагнитните полета се използват следните величини:

Обемна плътност на заряда (виж по-горе).

Плътност на повърхностния заряд

където dS е безкрайно малка повърхност.

Линейна плътност на заряда

където dl е дължината на безкрайно малък сегмент.

Нека разгледаме полето, създадено от безкрайна еднакво заредена равнина. Нека повърхностната плътност на заряда на равнината е еднаква и равна на σ. Нека си представим цилиндър с образуващи, перпендикулярни на равнината, и основа ΔS, разположена симетрично спрямо равнината. Поради симетрията. Потокът на вектора на опън е равен на . Прилагайки теоремата на Гаус, получаваме:

,

от който

в системата SSSE

Важно е да се отбележи, че въпреки своята универсалност и обобщеност, теоремата на Гаус в интегрална форма има относително ограничено приложение поради неудобството при изчисляване на интеграла. Въпреки това, в случай на симетричен проблем, неговото решение става много по-просто от използването на принципа на суперпозицията.

Най-трудно е да се изучават електрически явления в нехомогенна електрическа среда. В такава среда ε има различни стойности, променящи се рязко на диелектричната граница. Да приемем, че определяме напрегнатостта на полето на границата между две среди: ε 1 =1 (вакуум или въздух) и ε 2 =3 (течност - масло). На границата, по време на прехода от вакуум към диелектрик, напрегнатостта на полето намалява три пъти, а потокът на вектора на якост намалява със същото количество (фиг. 12.25, а). Рязката промяна на вектора на напрегнатост на електростатичното поле на границата между две среди създава определени трудности при изчисляването на полетата. Що се отнася до теоремата на Гаус, при тези условия тя като цяло губи смисъла си.

Тъй като поляризуемостта и напрежението на различни диелектрици са различни, броят на полевите линии във всеки диелектрик също ще бъде различен. Тази трудност може да бъде елиминирана чрез въвеждане на нова физическа характеристика на полето, електрическа индукция D (или вектор електрическо изместване ).

Според формулата

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =конст

Умножавайки всички части на тези равенства по електрическата константа ε 0, получаваме

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 = const

Нека въведем обозначението ε 0 εE=D тогава предпоследната връзка ще приеме формата

D 1 = D 2 = D 0 = конст

Вектор D, равен на произведението на напрегнатостта на електрическото поле в диелектрика и неговата абсолютна диелектрична константа, се наричавектор на електрическо изместване

(12.45)

Единица за електрическо изместване – висулка на квадратен метър(C/m2).

Електрическото изместване е векторна величина и може също да се изрази като

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

За разлика от напрежението E, електрическото изместване D е постоянно във всички диелектрици (фиг. 12.25, b). Следователно е удобно да се характеризира електрическото поле в нехомогенна диелектрична среда не чрез интензитета E, а чрез вектора на изместване D. Вектор D описва електростатичното поле, създадено от свободни заряди (т.е. във вакуум), но с тяхното разпределение в пространството като в присъствието на диелектрик, тъй като свързаните заряди, възникващи в диелектриците, могат да причинят преразпределение на свободните заряди, създаващи полето.

Векторно поле се представя графично чрез линии на електрическо изместване по същия начин като полето изобразени чрез силови линии.

Линия на електрическо изместване - това са линии, чиито допирателни във всяка точка съвпадат по посока с вектора на електрическото изместване.

Правите на вектор E могат да започват и завършват на всякакви заряди - свободни и свързани, докато линиите на векторг- само при безплатни такси. Векторни линиигЗа разлика от линиите на напрежение, те са непрекъснати.

Тъй като векторът на електрическото изместване не изпитва прекъсване на интерфейса между две среди, всички индукционни линии, произтичащи от заряди, заобиколени от някаква затворена повърхност, ще проникнат през него. Следователно за вектора на електрическото изместване теоремата на Гаус напълно запазва значението си за нехомогенна диелектрична среда.

Теорема на Гаус за електростатичното поле в диелектрик : потокът на вектора на електрическото изместване през произволна затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, съдържащи се вътре в тази повърхност.

(12.47)

Векторен поток на напрегнатост на електрическото поле.Нека малка платформа гС(фиг. 1.2) пресичат силовите линии на електрическото поле, чиято посока е с нормалата п ъгъл към този сайт а. Ако приемем, че векторът на опън д не се променя в рамките на сайта гС, да дефинираме векторен поток на напрежениепрез платформата гСкак

гЕд =д гС cos а.(1.3)

Тъй като плътността на електропроводите е равна на числената стойност на напрежението д, след това броя на електропроводите, пресичащи районагС, ще бъде числено равно на стойността на потокагЕдпрез повърхносттагС. Нека представим дясната страна на израз (1.3) като скаларно произведение на вектори дИгС= пгС, Къде п– единичен вектор нормален към повърхносттагС. За елементарна площ d Сизраз (1.3) приема формата

dЕд = д d С

В целия сайт Спотокът на вектора на опън се изчислява като интеграл по повърхността

Векторен поток на електрическа индукция.Потокът на вектора на електрическата индукция се определя подобно на потока на вектора на напрегнатостта на електрическото поле

dЕг = г d С

Има известна неяснота в дефинициите на потоците поради факта, че за всяка повърхност две нормали в обратна посока. За затворена повърхност външната нормала се счита за положителна.

Теорема на Гаус.Нека помислим точка положителнаелектрически заряд р, разположена вътре в произволна затворена повърхност С(фиг. 1.3). Индукционен векторен поток през повърхностния елемент d Сравни
(1.4)

Компонент d S D = d С cos аповърхностен елемент d Спо посока на индукционния векторгразглежда като елемент от сферична повърхност с радиус r, в центъра на който се намира зарядътр.

Като се има предвид, че d S D/ r 2 е равно елементарно телесноъгъл dw, под който от точката, където се намира заррвидим повърхностен елемент d С, преобразуваме израз (1.4) във формата d Ег = р d w / 4 стр, откъдето след интегриране по цялото пространство около заряда, т.е. в рамките на телесния ъгъл от 0 до 4стр, получаваме

Ег = р.

Потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на заряда, съдържащ се вътре в тази повърхност.

Ако произволна затворена повърхност Сне покрива точкова такса р(Фиг. 1.4), след което, след като изградихме конична повърхност с върха в точката, където се намира зарядът, разделяме повърхността Сна две части: С 1 и С 2. г Вектор на потока Спрез повърхността С 1 и С 2:

.

намираме като алгебрична сума на потоците през повърхностите рИ двете повърхности от точката, където се намира зарядът wвидим от един плътен ъгъл

. Следователно потоците са равни Тъй като при изчисляване на потока през затворена повърхност, ние използвамевъншна норма на повърхността е лесно да се види, че потокът F < 0, тогда как поток Ф1D 2D г> 0. Общ поток Ф = 0. Това означава, че

потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма не зависи от зарядите, разположени извън тази повърхност. р 1 , р 2 ,¼ , Ако електричното поле е създадено от система от точкови заряди qn С, която е покрита със затворена повърхност , тогава, в съответствие с принципа на суперпозиция, потокът на индукционния вектор през тази повърхност се определя като сумата от потоците, създадени от всеки от зарядите.:

Потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на алгебричната сума на зарядите, обхванати от тази повърхност Трябва да се отбележи, че такситеци Сне е необходимо да са точкови, необходимо условие е заредената площ да бъде изцяло покрита от повърхността. Ако в пространство, ограничено от затворена повърхност , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем d V С:

(1.6)

има такса. В този случай, от дясната страна на израз (1.5), алгебричното сумиране на зарядите се заменя с интегриране върху обема, затворен вътре в затворена повърхност: Изразът (1.6) е най-общата формулировкаТеорема на Гаус

.

потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на общия заряд в обема, покрит от тази повърхност, и не зависи от зарядите, разположени извън разглежданата повърхност . Теоремата на Гаус може да бъде написана и за потока на вектора на напрегнатост на електрическото поле:. Нека подчертаем още веднъж, че въпреки факта, че напрегнатостта на електрическото поле д и електрическа индукция г зависят от местоположението в пространството на всички заряди, потоците на тези вектори през произволна затворена повърхност Ссе определят само тези заряди, които се намират вътре в повърхността С.

Диференциална форма на теоремата на Гаус.Забележете това интегрална формаТеоремата на Гаус характеризира връзката между източниците на електрическо поле (заряди) и характеристиките на електрическото поле (напрежение или индукция) в обема , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем dпроизволна, но достатъчна за формирането на интегрални отношения, величина. Чрез разделяне на обема , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем dза малки обеми V i, получаваме израза

валидни както като цяло, така и за всеки срок. Нека трансформираме получения израз, както следва:

(1.7)

и разгледайте границата, към която изразът от дясната страна на равенството, ограден във къдрави скоби, клони за неограничено разделяне на обема , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем d. В математиката тази граница се нарича разминаваневектор (в този случай векторът на електрическата индукция г):

Векторна дивергенция гв декартови координати:

Така изразът (1.7) се трансформира във вида:

.

Като се има предвид, че при неограничено деление сумата от лявата страна на последния израз преминава в обемен интеграл, получаваме

Получената връзка трябва да бъде изпълнена за всеки произволно избран обем V. Това е възможно само ако стойностите на интеграндите във всяка точка на пространството са еднакви. Следователно дивергенцията на вектора ге свързано с плътността на заряда в същата точка чрез равенството

или за вектора на напрегнатост на електростатичното поле

Тези равенства изразяват теоремата на Гаус в диференциална форма.

Обърнете внимание, че в процеса на преход към диференциалната форма на теоремата на Гаус се получава връзка, която има общ характер:

.

Изразът се нарича формула на Гаус-Остроградски и свързва обемния интеграл на дивергенцията на вектор с потока на този вектор през затворена повърхност, ограничаваща обема.

Въпроси

1) Какъв е физическият смисъл на теоремата на Гаус за електростатичното поле във вакуум

2) В центъра на куба има точков зарядр. Какъв е потокът на вектор? д:

а) през цялата повърхност на куба; б) през една от страните на куба.

Ще се променят ли отговорите, ако:

а) зарядът не е в центъра на куба, а вътре в него ; б) зарядът е извън куба.

3) Какво представляват линейната, повърхностната, обемната плътност на заряда.

4) Посочете връзката между плътността на обема и повърхностния заряд.

5) Може ли полето извън противоположно и равномерно заредени паралелни безкрайни равнини да бъде различно от нула?

6) Електрически дипол е поставен вътре в затворена повърхност. Какъв е потокът през тази повърхност