Системи уравнения с параметър. Когато система от уравнения има безкраен брой решения Безкраен брой решения на система от уравнения

На практика обаче са широко разпространени още два случая:

– Системата е непоследователна (няма решения);
– Системата е последователна и има безкрайно много решения.

Забележка : Терминът „последователност“ предполага, че системата има поне някакво решение. При редица проблеми е необходимо първо да проверите системата за съвместимост; как да направите това, вижте статията на ранг на матриците.

За тези системи се използва най-универсалният от всички методи за решение - Метод на Гаус. Всъщност „училищният“ метод също ще доведе до отговора, но във висшата математика е обичайно да се използва методът на Гаус за последователно елиминиране на неизвестни. Моля, тези, които не са запознати с алгоритъма на метода на Гаус, първо да проучат урока Метод на Гаус за манекени.

Самите елементарни матрични трансформации са абсолютно еднакви, разликата ще бъде в края на решението. Първо, нека да разгледаме няколко примера, когато системата няма решения (непоследователна).

Пример 1

Какво веднага привлича вниманието ви в тази система? Броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Ако броят на уравненията е по-малък от броя на променливите, тогава веднага можем да кажем, че системата е или непоследователна, или има безкрайно много решения. И остава само да разберем.

Началото на решението е съвсем обикновено - записваме разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в поетапна форма:

(1) В горната лява стъпка трябва да получим +1 или –1. В първата колона няма такива числа, така че пренареждането на редовете няма да даде нищо. Звеното ще трябва да се организира и това може да стане по няколко начина. Направих това: Към първия ред добавяме третия ред, умножен по -1.

(2) Сега получаваме две нули в първата колона. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по 3. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 5.

(3) След като трансформацията е завършена, винаги е препоръчително да се види дали е възможно да се опростят получените низове? Мога. Разделяме втория ред на 2, като в същото време получаваме необходимото –1 на втората стъпка. Разделете третия ред на –3.

(4) Добавете втория ред към третия ред.

Вероятно всеки е забелязал лошата линия, която е резултат от елементарни трансформации: . Ясно е, че това не може да бъде така. Наистина, нека пренапишем получената матрица обратно към системата от линейни уравнения:

Ако в резултат на елементарни преобразувания се получи низ от вида, където е число, различно от нула, то системата е непоследователна (няма решения).

Как да запиша края на задача? Нека начертаем с бял тебешир: „в резултат на елементарни трансформации се получава низ от вида , където ” и даваме отговора: системата няма решения (непоследователна).

Ако според условието се изисква ИЗСЛЕДВАНЕ на системата за съвместимост, тогава е необходимо решението да се формализира в по-солиден стил, като се използва концепцията матричен ранг и теоремата на Кронекер-Капели.

Моля, обърнете внимание, че тук няма обръщане на алгоритъма на Гаус - няма решения и просто няма какво да се намери.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока. Напомням ви отново, че вашето решение може да се различава от моето решение; алгоритъмът на Гаус няма силна „твърдост“.

Друга техническа характеристика на решението: елементарните трансформации могат да бъдат спрени Веднага, веднага щом ред като , където . Нека разгледаме условен пример: да предположим, че след първата трансформация се получава матрицата . Матрицата все още не е редуцирана до ешелонна форма, но няма нужда от допълнителни елементарни трансформации, тъй като се появи линия на формата, където . Веднага трябва да се отговори, че системата е несъвместима.

Когато система от линейни уравнения няма решения, това е почти подарък, поради факта, че се получава кратко решение, понякога буквално в 2-3 стъпки.

Но всичко в този свят е балансирано и задача, в която системата има безкрайно много решения, е просто по-дълга.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения

Има 4 уравнения и 4 неизвестни, така че системата може или да има едно решение, или да няма решения, или да има безкрайно много решения. Както и да е, методът на Гаус при всички случаи ще ни доведе до отговора. Това е неговата многофункционалност.

Началото отново е стандартно. Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Това е всичко и вие сте се страхували.

(1) Моля, обърнете внимание, че всички числа в първата колона се делят на 2, така че 2 е добре в горната лява стъпка. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по –4. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по –2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по –1.

внимание!Мнозина могат да бъдат изкушени от четвъртия ред извадетепърва линия. Това може да се направи, но не е необходимо; опитът показва, че вероятността от грешка в изчисленията се увеличава няколко пъти. Просто добавете: Към четвъртия ред добавете първия ред, умножен по –1 – точно!

(2) Последните три реда са пропорционални, два от тях могат да бъдат изтрити.

Тук отново трябва да покажем повишено внимание, но наистина ли линиите са пропорционални? За по-сигурно (особено за чайник), би било добра идея да умножите втория ред по –1 и да разделите четвъртия ред на 2, което води до три еднакви реда. И едва след това премахнете две от тях.

В резултат на елементарни трансформации разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма:

Когато пишете задача в тетрадка, е препоръчително да правите същите бележки с молив за прегледност.

Нека пренапишем съответната система от уравнения:

Тук не мирише на „обикновено“ единично решение на системата. Няма и лоша линия. Това означава, че това е третият останал случай - системата има безкрайно много решения. Понякога, според условието, е необходимо да се проучи съвместимостта на системата (т.е. да се докаже, че изобщо съществува решение), можете да прочетете за това в последния параграф на статията Как да намерим ранга на матрица?Но засега нека прегледаме основите:

Безкрайно множество от решения на система се записва накратко под формата на т.нар общо решение на системата .

Намираме общото решение на системата, използвайки обратния метод на Гаус.

Първо трябва да определим какви променливи имаме основен, и какви променливи Безплатно. Не е нужно да се занимавате с термините на линейната алгебра, просто не забравяйте, че има такива основни променливиИ свободни променливи.

Основните променливи винаги „седят“ стриктно на стъпките на матрицата.
В този пример основните променливи са и

Безплатните променливи са всичко оставащипроменливи, които не са получили стъпка. В нашия случай те са две: – свободни променливи.

Сега трябва всичко основни променливиекспресен само чрез свободни променливи.

Обратният алгоритъм на Гаус традиционно работи отдолу нагоре.
От второто уравнение на системата изразяваме основната променлива:

Сега погледнете първото уравнение: . Първо заместваме намерения израз в него:

Остава да изразим основната променлива чрез свободни променливи:

В крайна сметка получихме това, от което се нуждаехме - всичкоизразени са основните променливи ( и ). само чрезбезплатни променливи:

Всъщност общото решение е готово:

Как да напиша правилно общото решение?
Свободните променливи се записват в общото решение „сами по себе си“ и стриктно на техните места. В този случай свободните променливи трябва да бъдат записани на втора и четвърта позиция:
.

Получените изрази за основните променливи и очевидно трябва да се напише на първа и трета позиция:

Предоставяне на безплатни променливи произволни стойности, можете да намерите безкрайно много частни решения. Най-популярните стойности са нули, тъй като конкретното решение е най-лесно за получаване. Нека заместим в общото решение:

– частно решение.

Друга сладка двойка са единици, нека ги заменим в общото решение:

– друго частно решение.

Лесно се вижда, че системата от уравнения има безкрайно много решения(тъй като можем да дадем безплатни променливи всякаквистойности)

всекиконкретното решение трябва да удовлетворява за всекиуравнение на системата. Това е основата за „бърза“ проверка на правилността на решението. Вземете, например, конкретно решение и го заменете в лявата страна на всяко уравнение на оригиналната система:

Всичко трябва да се събере. И с всяко конкретно решение, което получите, всичко също трябва да е в съответствие.

Но, строго погледнато, проверката на конкретно решение понякога е измамна, т.е. някое конкретно решение може да удовлетвори всяко уравнение на системата, но самото общо решение всъщност е намерено неправилно.

Следователно проверката на общото решение е по-задълбочена и надеждна. Как да проверим полученото общо решение ?

Не е трудно, но доста досадно. Трябва да вземем изрази основенпроменливи, в този случай и , и ги заместете в лявата страна на всяко уравнение на системата.

От лявата страна на първото уравнение на системата:

От лявата страна на второто уравнение на системата:


Получава се дясната страна на първоначалното уравнение.

Пример 4

Решете системата по метода на Гаус. Намерете общото решение и две частни. Проверете общото решение.

Това е пример, който можете да решите сами. Тук, между другото, отново броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, което означава, че веднага става ясно, че системата или ще бъде непоследователна, или ще има безкраен брой решения. Какво е важно в самия процес на вземане на решение? Внимание и пак внимание. Пълно решение и отговор в края на урока.

И още няколко примера за затвърждаване на материала

Пример 5

Решете система от линейни уравнения. Ако системата има безкрайно много решения, намерете две конкретни решения и проверете общото решение

Решение: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в стъпкова форма:

(1) Добавете първия ред към втория ред. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по 3.
(2) Към третия ред добавяме втория ред, умножен по –5. Към четвъртия ред добавяме втория ред, умножен по –7.
(3) Третият и четвъртият ред са еднакви, изтриваме един от тях.

Това е такава красота:

Основните променливи седят на стъпалата, следователно - основни променливи.
Има само една свободна променлива, която не е получила стъпка:

Обратен:
Нека изразим основните променливи чрез свободна променлива:
От третото уравнение:

Нека разгледаме второто уравнение и заместим намерения израз в него:

Нека разгледаме първото уравнение и заместим намерените изрази в него:

Да, калкулатор, който изчислява обикновени дроби, все още е удобен.

Така че общото решение е:

Още веднъж, как се оказа? Свободната променлива седи сама на полагащото й се четвърто място. Получените изрази за основните променливи също заеха своите редни места.

Нека веднага проверим общото решение. Работата е за черни, но аз вече я свърших, така че хващайте я =)

Заместваме три героя , , в лявата страна на всяко уравнение на системата:

Получават се съответните десни части на уравненията, като по този начин общото решение се намира правилно.

Сега от намереното общо решение получаваме две конкретни решения. Единствената свободна променлива тук е готвачът. Няма нужда да си набивате мозъка.

Нека бъде тогава – частно решение.
Нека бъде тогава – друго частно решение.

Отговор: Общо решение: , частни решения: , .

За черните не трябваше да се сещам... ...защото ми идваха в главата всякакви садистични мотиви и се сетих за прословутия фотошоп, в който мъже от Ку-клукс-клана в бели дрехи тичат по терена след черен футболист. Седя и се усмихвам тихо. Знаеш ли колко разсейващо...

Много математика е вредна, така че подобен краен пример за решаване сами.

Пример 6

Намерете общото решение на системата от линейни уравнения.

Вече проверих общото решение, може да се вярва на отговора. Вашето решение може да се различава от моето решение, основното е общите решения да съвпадат.

Вероятно много хора са забелязали неприятен момент в решенията: много често, по време на обратния ход на метода на Гаус, трябваше да се занимаваме с обикновени дроби. На практика това наистина е така; случаите, в които няма дроби, са много по-рядко срещани. Бъдете подготвени психически и, най-важното, технически.

Ще се спра на някои характеристики на решението, които не бяха намерени в решените примери.

Общото решение на системата понякога може да включва константа (или константи), например: . Тук една от основните променливи е равна на постоянно число: . В това няма нищо екзотично, случва се. Очевидно в този случай всяко конкретно решение ще съдържа петица на първа позиция.

Рядко, но има системи, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите. Методът на Гаус работи в най-тежките условия; човек трябва спокойно да намали разширената матрица на системата до поетапна форма, като използва стандартен алгоритъм. Такава система може да е непоследователна, може да има безкрайно много решения и, колкото и да е странно, може да има едно единствено решение.

1. Системи линейни уравнения с параметър

Системите от линейни уравнения с параметър се решават чрез същите основни методи като обикновените системи от уравнения: методът на заместване, методът на добавяне на уравнения и графичният метод. Познаването на графичната интерпретация на линейните системи улеснява отговора на въпроса за броя на корените и тяхното съществуване.

Пример 1.

Намерете всички стойности за параметър a, за които системата от уравнения няма решения.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Решение.

Нека да разгледаме няколко начина за решаване на тази задача.

1 начин.Използваме свойството: системата няма решения, ако отношението на коефициентите пред x е равно на отношението на коефициентите пред y, но не е равно на отношението на свободните членове (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Тогава имаме:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 или система

(и 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

От първото уравнение a 2 = 4, следователно, като вземем предвид условието, че a ≠ 2, получаваме отговора.

Отговор: a = -2.

Метод 2.Решаваме по метода на заместване.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

След като извадим общия множител y извън скобите в първото уравнение, получаваме:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Системата няма решения, ако първото уравнение няма решения, т.е

(и 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Очевидно a = ±2, но като се вземе предвид второто условие, отговорът идва само с отговор минус.

Отговор:а = -2.

Пример 2.

Намерете всички стойности за параметър a, за които системата от уравнения има безкраен брой решения.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Решение.

Според свойството, ако съотношението на коефициентите на x и y е еднакво и е равно на съотношението на свободните членове на системата, тогава тя има безкраен брой решения (т.е. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Следователно 8/a = a/2 = 2/1. Решавайки всяко от получените уравнения, намираме, че a = 4 е отговорът в този пример.

Отговор:а = 4.

2. Системи рационални уравнения с параметър

Пример 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Решение.

Нека умножим първото уравнение на системата по 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Като извадим второто уравнение от първото, получаваме 5|x| = 4 – а. Това уравнение ще има уникално решение за a = 4. В други случаи това уравнение ще има две решения (за a< 4) или ни одного (при а > 4).

Отговор: a = 4.

Пример 4.

Намерете всички стойности на параметъра a, за които системата от уравнения има уникално решение.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Решение.

Ще решим тази система с помощта на графичния метод. По този начин графиката на второто уравнение на системата е парабола, повдигната по оста Oy нагоре с един единичен сегмент. Първото уравнение определя набор от прави, успоредни на правата y = -x (снимка 1). От фигурата ясно се вижда, че системата има решение, ако правата y = -x + a е допирателна към параболата в точка с координати (-0.5, 1.25). Замествайки тези координати в уравнението на правата линия вместо x и y, намираме стойността на параметър a:

1,25 = 0,5 + а;

Отговор: a = 0,75.

Пример 5.

Използвайки метода на заместване, разберете при каква стойност на параметъра a системата има уникално решение.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Решение.

От първото уравнение изразяваме y и го заместваме във второто:

(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Нека редуцираме второто уравнение до формата kx = b, което ще има уникално решение за k ≠ 0. Имаме:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Представяме квадратния трином a 2 + 3a + 2 като произведение от скоби

(a + 2)(a + 1), а отляво изваждаме x извън скоби:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Очевидно a 2 + 3a не трябва да е равно на нула, следователно,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, което означава a ≠ 0 и ≠ -3.

Отговор: a ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Използвайки метода на графичното решение, определете при каква стойност на параметър a системата има уникално решение.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Решение.

Въз основа на условието конструираме окръжност с център в началото и радиус от 3 единични сегмента; това е, което се определя от първото уравнение на системата

x 2 + y 2 = 9. Второто уравнение на системата (y = |x| + a) е прекъсната линия. Като се използва фигура 2Разглеждаме всички възможни случаи на местоположението му спрямо кръга. Лесно се вижда, че a = 3.

Отговор: a = 3.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате системи от уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Както става ясно от Теорема на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения

(системата е последователна и несигурна)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(системата е непоследователна)

Така че системата млинейни уравнения с ннаречени променливи неставни, ако тя няма нито едно решение, и става, ако има поне едно решение. Нарича се едновременна система от уравнения, която има само едно решение определени, и повече от един – несигурен.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека се даде системата

.

Въз основа на теоремата на Крамър

………….
,

Където
-

системна детерминанта. Получаваме останалите детерминанти, като заменяме колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни условия:

Пример 2.

.

Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системите от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.

Ако в система от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

.

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

6. Обща система от линейни алгебрични уравнения. Метод на Гаус.

Както си спомняме, правилото на Крамър и матричният метод са неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод на Гаус – най-мощният и многофункционален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, който във всеки случайще ни доведе до отговора! Самият алгоритъм на метода работи еднакво и в трите случая. Ако методите на Крамер и матричните методи изискват познаване на детерминантите, тогава за прилагането на метода на Гаус са необходими само познания за аритметичните операции, което го прави достъпен дори за ученици от началното училище.

Първо, нека систематизираме малко знания за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение.
2) Имате безкрайно много решения.
3) Нямате решения (бъдете неставни).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме, Правило на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. И методът за последователно елиминиране на неизвестни Така или иначеще ни доведе до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), статията е посветена на ситуациите на точки № 2-3. Отбелязвам, че алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая.

Да се ​​върнем към най-простата система от урока Как се решава система от линейни уравнения?
и го решете с помощта на метода на Гаус.

Първата стъпка е да запишете разширена системна матрица:
. Мисля, че всеки може да види на какъв принцип са написани коефициентите. Вертикалната линия вътре в матрицата няма никакво математическо значение - тя е просто зачертана за по-лесно проектиране.

справка:Препоръчвам ви да запомните условиялинейна алгебра. Системна матрицае матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример матрицата на системата: . Разширена системна матрица– това е същата матрица на системата плюс колона със свободни термини, в този случай: . За краткост всяка от матриците може да се нарече просто матрица.

След като разширената системна матрица е написана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се наричат елементарни трансформации.

Съществуват следните елементарни трансформации:

1) струниматрици може да се пренаредина някои места. Например в разглежданата матрица можете безболезнено да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако има (или са се появили) пропорционални (като частен случай - еднакви) редове в матрицата, тогава трябва да Изтрийот матрицата всички тези редове с изключение на един. Помислете например за матрицата . В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде Изтрий. Няма да рисувам, разбира се, нулевата линия е линията, в която всички нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делям)на произволен номер ненулев. Помислете например за матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на –3 и да умножите втория ред по 2: . Това действие е много полезно, защото опростява по-нататъшните трансформации на матрицата.

5) Тази трансформация причинява най-много трудности, но всъщност също няма нищо сложно. Към ред от матрица можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Нека да разгледаме нашата матрица от практически пример: . Първо ще опиша трансформацията много подробно. Умножете първия ред по –2: , И към втория ред добавяме първия ред, умножен по –2: . Сега първият ред може да бъде разделен „назад“ с –2: . Както можете да видите, редът, който е ДОБАВЕН LI – не се е променило. Винагиредът КЪМ СЕ ДОБАВЯ се променя UT.

На практика, разбира се, те не го пишат толкова подробно, но го пишат накратко:

Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2. Един ред обикновено се умножава устно или на чернова, като процесът на умствено изчисление протича по следния начин:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

„Първа колона. На дъното трябва да получа нула. Затова умножавам горния по –2: и добавям първия към втория ред: 2 + (–2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега втората колона. Най-отгоре умножавам -1 по -2: . Добавям първото към втория ред: 1 + 2 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

„И третата колона. Най-отгоре умножавам -5 по -2: . Добавям първото към втория ред: –7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

Моля, разберете внимателно този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически в джоба ви. Но, разбира се, ние ще продължим да работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ!: разгледани манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени „сами по себе си“. Например с „класически“ операции с матрициВ никакъв случай не пренареждайте нищо вътре в матриците!

Да се ​​върнем към нашата система. На практика е разбит на парчета.

Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. И отново: защо умножаваме първия ред по –2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – редуцирайте матрицата до поетапна форма: . В дизайна на задачата те просто маркират „стълбите“ с обикновен молив и също така кръгират числата, които се намират на „стъпалата“. Самият термин „стъпаловиден изглед“ не е напълно теоретичен, в научната и образователната литература често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да се „размотае“ в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратно на метода на Гаус.

В долното уравнение вече имаме готов резултат: .

Нека да разгледаме първото уравнение на системата и да заменим вече известната стойност на "y" в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус изисква решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека напишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем по време на решението:

И повтарям, нашата цел е да доведем матрицата до поетапна форма, използвайки елементарни трансформации. Къде да започна?

Първо погледнете горния ляв номер:

Почти винаги трябва да е тук мерна единица. Най-общо казано, –1 (и понякога други числа) ще свърши работа, но някак традиционно се е случило, че едно обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация едно: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Сега добре.

Устройството в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Получаваме нули чрез „трудна“ трансформация. Първо се занимаваме с втория ред (2, –1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да получите нула на първа позиция? Трябва да към втория ред добавете първия ред, умножен по –2. Мислено или на чернова умножете първия ред по –2: (–2, –4, 2, –18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по –2:

Записваме резултата във втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, –5, –1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Мислено или на чернова умножете първия ред по –3: (–3, –6, 3, –27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по –3:

Записваме резултата в третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и записват в една стъпка:

Няма нужда да броите всичко наведнъж и едновременно. Редът на изчисленията и „записването“ на резултатите последователени обикновено е така: първо пренаписваме първия ред и бавно се издухваме - ПОСТОЯВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:


И вече обсъдих умствения процес на самите изчисления по-горе.

В този пример това се прави лесно; разделяме втория ред на –5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на –2, защото колкото по-малки са числата, толкова по-просто е решението:

На последния етап от елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук:

За това към третия ред добавяме втория ред, умножен по –2:


Опитайте се сами да разберете това действие - мислено умножете втория ред по –2 и изпълнете добавянето.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна система от линейни уравнения:

Готино.

Сега влиза в действие обратният метод на Гаус. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готов резултат:

Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "zet" вече е известно, така че:

И накрая, първото уравнение: . „Игрек“ и „зет“ са известни, въпросът е само на малки неща:

Отговор:

Както вече беше отбелязано няколко пъти, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие това е лесно и бързо.

Пример 2

Това е пример за самостоятелно решение, образец на окончателния дизайн и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият напредък на решениетоможе да не съвпада с моя процес на вземане на решение, и това е характеристика на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме един там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих го:
(1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Тоест мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво има „минус едно“, което ни подхожда доста добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително движение: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.

(4) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.

(5) Третият ред беше разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ краен резултат. Тоест, ако получим нещо като , по-долу, и, съответно, , тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е допусната грешка по време на елементарни трансформации.

Ние таксуваме обратното, при проектирането на примери те често не пренаписват самата система, но уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. Да, ето подарък:

Отговор: .

Пример 4

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример, който трябва да решите сами, той е малко по-сложен. Няма проблем, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да е различно от моето решение.

В последната част ще разгледаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус.
Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в системните уравнения, например:

Как правилно да напишем разширената системна матрица? Вече говорих за тази точка в клас. Правилото на Крамър. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи:

Между другото, това е доста лесен пример, тъй като първата колона вече има една нула и има по-малко елементарни трансформации за извършване.

Втората особеност е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпалата“. Възможно ли е да има други номера там? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук на горната лява „стъпка“ имаме две. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък – а другата е две и шест. И двата горе в ляво ще ни подхождат! В първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по –1 към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Така ще получим необходимите нули в първата колона.

Или друг конвенционален пример: . Тук трите на втората „стъпка“ също ни подхождат, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: добавете втория ред към третия ред, умножен по –4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да се научите да решавате системи, използвайки други методи (метод на Крамър, матричен метод) буквално за първи път - те имат много строг алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да се справите добре с него и да решите поне 5-10 системи. Следователно в началото може да има объркване и грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време зад прозореца.... Затова за всички, които искат по-сложен пример за самостоятелно решаване:

Пример 5

Решете система от четири линейни уравнения с четири неизвестни, като използвате метода на Гаус.

Подобна задача не е толкова рядка на практика. Мисля, че дори чайник, който е проучил подробно тази страница, ще разбере интуитивно алгоритъма за решаване на такава система. По същество всичко е същото - просто има повече действия.

В урока се разглеждат случаите, когато системата няма решения (непоследователна) или има безкрайно много решения. Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я доведем до стъпкова форма.


Извършени елементарни трансформации:
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1. внимание!Тук може да се изкушите да извадите първия от третия ред; силно препоръчвам да не го изваждате - рискът от грешка значително се увеличава. Просто го сгънете!
(2) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Вторият и третият ред са разменени. Забележка, че на “стъпалата” се задоволяваме не само с единица, но и с –1, което е още по-удобно.
(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5.
(4) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратен:

Отговор: .

Пример 4: Решение: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в стъпкова форма:

Извършени реализации:
(1) Към първия ред беше добавен втори ред. Така желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“.
(2) Първият ред, умножен по 7, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 6, беше добавен към третия ред.

С втората „стъпка“ всичко се влошава, “кандидатите” за него са числата 17 и 23, като ни трябва или единица, или –1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
(4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3.
Необходимият артикул на втората стъпка е получен. .
(5) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 6.

Като част от уроците Метод на ГаусИ Несъвместими системи/системи с общо решениесмятахме нееднородни системи линейни уравнения, Където безплатен член(което обикновено е отдясно) поне единот уравненията беше различно от нула.
А сега, след добра загрявка с матричен ранг, ще продължим да лъскаме техниката елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техниките, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

§1. Системи линейни уравнения.

Преглед на системата

наречена система млинейни уравнения с ннеизвестен.

Тук
- неизвестен, - коефициенти за неизвестни,
- свободни членове на уравненията.

Ако всички свободни членове на уравненията са равни на нула, системата се нарича хомогенен. С решениесистема се нарича набор от числа
, при заместването им в системата вместо неизвестни, всички уравнения се превръщат в идентичности. Системата се нарича става, ако има поне едно решение. Нарича се съвместима система, която има уникално решение определени. Двете системи се наричат еквивалентен, ако множествата на техните решения съвпадат.

Система (1) може да бъде представена в матрична форма с помощта на уравнението

(2)

.

§2. Съвместимост на системи от линейни уравнения.

Нека наречем разширената матрица на система (1) матрица

Теорема на Кронекер-Капели. Система (1) е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица:

.

§3. Системно решениен линейни уравнения сн неизвестен.

Помислете за нехомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестен:

(3)

Теорема на Крамър.Ако основната детерминанта на системата (3)
, тогава системата има уникално решение, определено от формулите:

тези.
,

Където - детерминанта, получена от детерминантата замяна та колона към колоната на безплатните членове.

Ако
, и поне един от ≠0, тогава системата няма решения.

Ако
, тогава системата има безкрайно много решения.

Система (3) може да бъде решена с помощта на нейната матрична форма (2). Ако рангът на матрицата Аравно на н, т.е.
, след това матрицата Аима обратно
. Умножение на матричното уравнение
към матрицата
отляво получаваме:

.

Последното равенство изразява метода за решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.

Пример.Решете система от уравнения с помощта на обратна матрица.

Решение. Матрица
неизроден, тъй като
, което означава, че има обратна матрица. Нека изчислим обратната матрица:
.

,

Упражнение. Решете системата с помощта на метода на Крамер.

§4. Решаване на произволни системи от линейни уравнения.

Нека е дадена нехомогенна система от линейни уравнения от вида (1).

Да приемем, че системата е последователна, т.е. условието на теоремата на Кронекер-Капели е изпълнено:
. Ако рангът на матрицата
(брой неизвестни), тогава системата има уникално решение. Ако
, тогава системата има безкрайно много решения. Нека обясня.

Нека рангът на матрицата r(А)= r< н. Тъй като
, тогава има някакъв ненулев минор от ред r. Нека го наречем основен минор. Неизвестните, чиито коефициенти образуват базисен минор, ще се наричат ​​основни променливи. Ние наричаме останалите неизвестни свободни променливи. Нека пренаредим уравненията и преномерираме променливите, така че този минор да се намира в горния ляв ъгъл на системната матрица:

.

Първо rредовете са линейно независими, останалите се изразяват чрез тях. Следователно тези линии (уравнения) могат да бъдат отхвърлени. Получаваме:

Нека дадем на свободните променливи произволни числови стойности: . Нека оставим само основните променливи от лявата страна и преместим свободните в дясната страна.

Разбрах системата rлинейни уравнения с rнеизвестен, чиято детерминанта е различна от 0. Има уникално решение.

Тази система се нарича общо решение на системата от линейни уравнения (1). В противен случай: извиква се изразяване на основни променливи чрез свободни общо решениесистеми. От него можете да получите безкраен брой частни решения, давайки на свободните променливи произволни стойности. Извиква се конкретно решение, получено от общо решение за нулеви стойности на свободни променливи основно решение. Броят на различните основни решения не надвишава
. Нарича се базисно решение с неотрицателни компоненти поддържащсистемно решение.

Пример.

, r=2.

Променливи
- основен,
- Безплатно.

Нека съберем уравненията; да изразим
през
:

- общо решение.

- частно решение за
.

- основно решение, справка.

§5. Метод на Гаус.

Методът на Гаус е универсален метод за изследване и решаване на произволни системи от линейни уравнения. Състои се от намаляване на системата до диагонална (или триъгълна) форма чрез последователно елиминиране на неизвестни с помощта на елементарни трансформации, които не нарушават еквивалентността на системите. Една променлива се счита за изключена, ако се съдържа само в едно уравнение на системата с коефициент 1.

Елементарни трансформациисистеми са:

Умножение на уравнение с число, различно от нула;

Добавяне на уравнение, умножено по произволно число, с друго уравнение;

Пренареждане на уравнения;

Отхвърляне на уравнението 0 = 0.

Елементарни трансформации могат да се извършват не върху уравнения, а върху разширени матрици на получените еквивалентни системи.

Пример.

Решение.Нека запишем разширената матрица на системата:

.

Извършвайки елементарни трансформации, ще намалим лявата страна на матрицата до единична форма: ще създадем единици на главния диагонал и нули извън него.

Коментирайте. Ако при извършване на елементарни трансформации се получи уравнение от вида 0 = k(Където Да се0), тогава системата е непоследователна.

Решението на системи от линейни уравнения чрез метода на последователно елиминиране на неизвестни може да бъде записано във формата маси.

Лявата колона на таблицата съдържа информация за изключените (основни) променливи. Останалите колони съдържат коефициентите на неизвестните и свободните членове на уравненията.

Разширената матрица на системата се записва в изходната таблица. След това започваме да извършваме трансформации на Йордан:

1. Изберете променлива , което ще стане основата. Съответната колона се нарича ключова колона. Изберете уравнение, в което тази променлива ще остане, като бъде изключена от други уравнения. Съответният ред на таблицата се нарича ключов ред. Коефициент , стоящ в пресечната точка на ключов ред и ключова колона, се нарича ключ.

2. Ключовите низови елементи са разделени на ключовия елемент.

3. Ключовата колона се запълва с нули.

4. Останалите елементи се изчисляват по правилото на правоъгълника. Съставете правоъгълник, в противоположните върхове на който има ключов елемент и преизчислен елемент; от произведението на елементите, разположени по диагонала на правоъгълника с ключовия елемент, се изважда произведението на елементите от другия диагонал и получената разлика се дели на ключовия елемент.

Пример. Намерете общото решение и основното решение на системата от уравнения:

Решение.

Общо решение на системата:

Основно решение:
.

Една трансформация на заместване ви позволява да преминете от една основа на системата към друга: вместо една от основните променливи, една от свободните променливи се въвежда в основата. За да направите това, изберете ключов елемент в колоната за свободни променливи и извършете трансформации съгласно горния алгоритъм.

§6. Намиране на решения за поддръжка

Еталонното решение на система от линейни уравнения е основно решение, което не съдържа отрицателни компоненти.

Еталонните решения на системата се намират по метода на Гаус, когато са изпълнени следните условия.

1. В оригиналната система всички безплатни условия трябва да са неотрицателни:
.

2. Ключовият елемент се избира сред положителните коефициенти.

3. Ако променлива, въведена в основата, има няколко положителни коефициента, тогава ключовата линия е тази, в която отношението на свободния член към положителния коефициент е най-малко.

Бележка 1. Ако в процеса на елиминиране на неизвестни се появи уравнение, в което всички коефициенти са неположителни и свободният член
, тогава системата няма неотрицателни решения.

Бележка 2. Ако няма нито един положителен елемент в колоните с коефициенти за свободни променливи, тогава преминаването към друго референтно решение е невъзможно.

Пример.

Глава 8. Системи уравнения

8.2. Система от две линейни уравнения с две неизвестни

Определение

Наричат ​​се няколко уравнения, в които едни и същи неизвестни означават една и съща величина система от уравнения.
Типовата система се нарича нормална формасистеми от две линейни уравнения с две неизвестни.
Решаването на такава система означава намиране на множеството от всички решения, общи за двете уравнения.

Как да се реши такава система?

Такава система може да бъде решена например графично. Обикновено такава система се представя графично с две прави линии и общото решение на тези уравнения (решението на системата) ще бъдат координатите на общата точка на двете прави линии. Тук има три възможни случая:
1) Правите (графиките) имат само една обща точка (пресичат се) - системата от уравнения има единствено решение и то се нарича определено.
2) Правите (графиките) нямат общи точки (успоредни) - системата няма решение и се нарича несъгласувана.
3) Правите (графиките) имат безкрайно много общи точки (съвпадат) – системата има безкраен брой решения и се нарича неопределена.

Има нещо, което още не разбирам. Може би ще стане по-ясно с примери?

Разбира се, сега ще дадем пример за всеки случай и всичко веднага ще стане по-ясно.

Нека започнем с пример, когато системата е дефинирана (има уникално решение). Да вземем системата. Нека изградим графики на тези функции.

Те се пресичат само в една точка, следователно решението на тази система са само координатите на точката: , .

Сега нека дадем пример за несъвместима система (такава, която няма решение). Нека разгледаме такава система.

В този случай системата е противоречива: левите части са равни, но десните са различни. Графиките нямат общи точки (успоредни), следователно системата няма решение.

Е, сега има последния случай, когато системата е несигурна (има безкраен брой решения). Ето пример за такава система: . Нека начертаем тези уравнения.

Правите линии (графики) имат безкрайно много общи точки (съвпадат), което означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай уравненията на системата са еквивалентни (умножавайки второто уравнение по 2 , получаваме първото уравнение).

Най-важен е първият случай. Единственото решение на такава система винаги може да се намери графично – понякога точно, а най-често приблизително с необходимата степен на точност.

Определение

Две системи от уравнения се наричат ​​еквивалентни (еквивалентен), ако всички решения на всяко от тях са решения и на другото (множествата от решения съвпадат) или ако и двете нямат решения.