Производната на sin x е равна на. Производна на синус: (sin x)′

Представяме обобщена таблица за удобство и яснота при изучаване на темата.

Нека анализираме как са получени формулите от посочената таблица или, с други думи, ще докажем извеждането на производни формули за всеки тип функция.

Производна на константа

За да се оттегли тази формула, нека вземем за основа дефиницията на производната на функция в точка. Използваме x 0 = x, където хприема стойността на всяко реално число или, с други думи, хе всяко число от домейна на функцията f (x) = C. Нека запишем границата на отношението на нарастването на функция към увеличението на аргумента като ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Моля, имайте предвид, че изразът 0 ∆ x попада под знака за ограничение. Това не е несигурността „нула, разделена на нула“, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, увеличението на константна функция винаги е нула.

И така, производната на константната функция f (x) = C е равна на нула в цялата област на дефиниция.

Пример 1

Дадени са постоянните функции:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Нека опишем дадените условия. В първата функция виждаме производната на естественото число 3. В следващия пример трябва да вземете производната на А, Където А- всяко реално число. Третият пример ни дава производната на ирационалното число 4. 13 7 22, четвъртата е производната на нула (нулата е цяло число). И накрая, в петия случай имаме производната рационална дроб - 8 7 .

Отговор:производни определени функциие нула за всяко реално х(по цялата зона на дефиниране)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0, f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производна на степенна функция

Нека да преминем към степенната функция и формулата за нейната производна, която има формата: (x p) " = p x p - 1, където експонентата стре всяко реално число.

Доказателство 2

Ето доказателството на формулата, когато показателят е естествено число: p = 1, 2, 3, …

Отново разчитаме на определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенна функция към увеличението на аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

За да опростим израза в числителя, използваме биномната формула на Нютон:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

По този начин:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Така доказахме формулата за производната на степенна функция, когато показателят е естествено число.

Доказателство 3

Да се ​​представят доказателства по делото, когато п-всяко реално число, различно от нула, използваме логаритмичната производна (тук трябва да разберем разликата от производната логаритмична функция). За да имате по-пълно разбиране, препоръчително е да изучавате производната на логаритмична функция и да разберете допълнително производната на неявна функция и производната сложна функция.

Нека разгледаме два случая: когато хположително и кога хотрицателен.

Така че x > 0. Тогава: x p > 0 . Нека логаритмуваме равенството y = x p по основа e и приложим свойството на логаритъма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На този етап сме получили имплицитно зададена функция. Нека дефинираме неговата производна:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Сега разглеждаме случая, когато х -отрицателно число.

Ако индикаторът стре четно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тогава x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ако стрИма нечетно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Последният преход е възможен поради факта, че ако стртогава е нечетно число p - 1или четно число, или нула (за p = 1), следователно, за отрицателно хравенството (- x) p - 1 = x p - 1 е вярно.

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция за всяко реално p.

Пример 2

Дадени функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определете техните производни.

Решение

Преобразуваме някои от дадените функции в таблична форма y = x p въз основа на свойствата на степента и след това използваме формулата:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Производна на експоненциална функция

Нека изведем производната формула, като използваме определението като основа:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Имаме несигурност. За да го разширим, нека напишем нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 като ∆ x → 0). В този случай a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последния преход е използвана формулата за преход към нова основа на логаритъм.

Нека заместим в първоначалния лимит:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Нека си спомним втората забележителна граница и тогава получаваме формулата за производната експоненциална функция:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Пример 3

Експоненциалните функции са дадени:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Необходимо е да се намерят техните производни.

Решение

Използваме формулата за производната на експоненциалната функция и свойствата на логаритъма:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Производна на логаритмична функция

Нека предоставим доказателство на формулата за производната на логаритмична функция за всяка хв областта на дефиницията и всички допустими стойности на основата a на логаритъма. Въз основа на определението за производна получаваме:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

От посочената верига от равенства става ясно, че преобразуванията са базирани на свойството на логаритъма. Равенството lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е вярно в съответствие с втората забележителна граница.

Пример 4

Дадени са логаритмични функции:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Необходимо е да се изчислят техните производни.

Решение

Нека приложим получената формула:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

И така, производната на натуралния логаритъм е едно делено на х.

Производни на тригонометрични функции

Нека използваме някои тригонометрични формули и първата чудесна граница, за да изведем формулата за производната на тригонометрична функция.

Според дефиницията на производната на функцията синус получаваме:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формулата за разликата на синусите ще ни позволи да извършим следните действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

И накрая, използваме първото прекрасно ограничение:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

И така, производната на функцията грях хще cos x.

Ще докажем и формулата за производната на косинуса:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тези. производна cos функции x ще бъде – грях х.

Извеждаме формулите за производните на тангенс и котангенс въз основа на правилата за диференциране:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производни на обратни тригонометрични функции

Разделът за производната на обратни функции предоставя изчерпателна информация за доказателството на формулите за производните на арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, така че няма да дублираме материала тук.

Производни на хиперболични функции

Можем да изведем формулите за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме правилото за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Производна

Изчисляването на производната на математическа функция (диференциране) е много често срещан проблем при решаване на висша математика. За прости (елементарни) математически функции това е доста прост въпрос, тъй като таблиците с производни за елементарни функции отдавна са съставени и са лесно достъпни. Намирането на производната на сложна математическа функция обаче не е тривиална задача и често изисква значителни усилия и време.

Намерете дериват онлайн

Нашата онлайн услуга ви позволява да се отървете от безсмислени дълги изчисления и намери производно онлайнв един момент. Освен това, използвайки нашата услуга, разположена на уебсайта www.сайт, можете да изчислите онлайн дериваткак от елементарна функция, и от много сложни, които нямат аналитично решение. Основните предимства на нашия сайт в сравнение с други са: 1) няма строги изисквания за метода на въвеждане на математическа функция за изчисляване на производната (например, когато въвеждате функцията синус x, можете да я въведете като sin x или sin (x) или sin[x] и т.н. d.); 2) онлайн изчислението на дериватите се извършва незабавно в режим на линияи абсолютно безплатно; 3) ние ви позволяваме да намерите производната на функция всяка поръчка, промяната на реда на производната е много лесна и разбираема; 4) ние ви позволяваме да намерите производната на почти всяка математическа функция онлайн, дори много сложни, които не могат да бъдат решени от други услуги. Предоставеният отговор винаги е точен и не може да съдържа грешки.

Използването на нашия сървър ще ви позволи да 1) изчислите производната онлайн вместо вас, като елиминирате отнемащите време и досадни изчисления, по време на които можете да направите грешка или печатна грешка; 2) ако сами изчислявате производната на математическа функция, ние ви предоставяме възможност да сравните получения резултат с изчисленията на нашата услуга и да се уверите, че решението е правилно или да откриете грешка, която се е промъкнала; 3) използвайте нашата услуга, вместо да използвате таблици с производни на прости функции, където често отнема време, за да намерите желаната функция.

Всичко, което трябва да направите е намери производно онлайн- е да използвате нашата услуга на

Представено е доказателство и извеждане на формулата за производната на синус - sin(x). Примери за изчисляване на производни на sin 2x, синус на квадрат и куб. Извеждане на формулата за производната на синус от n-ти ред.

Вижте също: Синус и косинус - свойства, графики, формули

Производната по отношение на променливата x от синус от x е равна на косинус от x:
(sin x)′ = cos x.

Доказателство

За да изведем формулата за производната на синус, ще използваме определението за производна:
.

За да намерим тази граница, трябва да трансформираме израза по такъв начин, че да го сведем до известни закони, свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем четири свойства.
1) Значението на първата забележителна граница е:
(1) ;
2) Непрекъснатост на функцията косинус:
(2) ;
3) Тригонометрични формули. Ще ни трябва следната формула:
(3) ;
4) Аритметични свойства на границата на функция:
Ако и , тогава
(4) .

Нека приложим тези правила към нашия лимит. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме формулата
(3) .
В нашия случай
; . Тогава
;
;
;
.

Сега нека направим замяната. В , . Нека приложим първото забележително ограничение (1):
.

Нека направим същото заместване и използваме свойството на непрекъснатост (2):
.

Тъй като ограниченията, изчислени по-горе, съществуват, прилагаме свойство (4):

.

Формулата за производната на синус е доказана.

Примери

Нека помислим прости примеринамиране на производни на функции, съдържащи синус. Ще намерим производни на следните функции:
y = sin 2x; y = грях 2 хи y = грях 3 х.

Пример 1

Намерете производната на грях 2x.

Първо, нека намерим производната на най-простата част:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Ние кандидатстваме.
.
Тук .

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Пример 2

Намерете производната на синус на квадрат:
y = грях 2 х.

Нека пренапишем оригиналната функция в по-разбираема форма:
.
Нека намерим производната на най-простата част:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.

.
Тук .

Можете да приложите една от тригонометричните формули. Тогава
.

Пример 3

Намерете производната на синус в куб:
y = грях 3 х.

Производни от по-висок порядък

Обърнете внимание, че производната на грях хпърви ред може да се изрази чрез синус, както следва:
.

Нека намерим производната от втори ред, използвайки формулата за производната на сложна функция:

.
Тук .

Сега можем да забележим тази диференциация грях хкара неговия аргумент да се увеличи с . Тогава производната от n-ти ред има формата:
(5) .

Нека докажем това с помощта на метода на математическата индукция.

Вече проверихме, че за формула (5) е валидна.

Да приемем, че формула (5) е валидна за определена стойност. Нека докажем, че от това следва, че формула (5) е изпълнена за .

Нека запишем формула (5) на:
.
Ние диференцираме това уравнение, като използваме правилото за диференциране на сложна функция:

.
Тук .
Така открихме:
.
Ако заместим , тогава тази формула ще приеме формата (5).

Формулата е доказана.

Когато извеждаме първата формула от таблицата, ще продължим от дефиницията на производната функция в точка. Да вземем къде х– всяко реално число, т.е. х– всяко число от областта на дефиниране на функцията. Нека запишем границата на съотношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента при:

Трябва да се отбележи, че под граничния знак се получава изразът, който не е несигурността на нула, разделена на нула, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, увеличението на константна функция винаги е нула.

По този начин, производна на постоянна функцияе равно на нула в цялата област на дефиниране.

Производна на степенна функция.

Формулата за производната на степенна функция има формата , където степента стр– всяко реално число.

Нека първо докажем формулата за естествения показател, т.е p = 1, 2, 3, …

Ще използваме определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенна функция към увеличението на аргумента:

За да опростим израза в числителя, се обръщаме към биномната формула на Нютон:

следователно

Това доказва формулата за производната на степенна функция за естествен показател.

Производна на експоненциална функция.

Представяме извеждането на формулата за производна въз основа на определението:

Стигнахме до несигурност. За да го разширим, въвеждаме нова променлива и в . Тогава . При последния преход използвахме формулата за преход към нова логаритмична основа.

Нека заместим в първоначалния лимит:

Ако си припомним втората забележителна граница, стигаме до формулата за производната на експоненциалната функция:

Производна на логаритмична функция.

Нека докажем формулата за производната на логаритмична функция за всички хот домейна на дефиницията и всички валидни стойности на основата алогаритъм По дефиниция на производна имаме:

Както забелязахте, по време на доказателството трансформациите бяха извършени с помощта на свойствата на логаритъма. Равенство е вярно поради втората забележителна граница.

Производни на тригонометрични функции.

За да изведем формули за производни на тригонометрични функции, ще трябва да си припомним някои тригонометрични формули, както и първото забележително ограничение.

По дефиниция на производната за функцията синус имаме .

Нека използваме формулата за разликата на синусите:

Остава да се обърнем към първата забележителна граница:

По този начин, производната на функцията грях хИма cos x.

Формулата за производната на косинуса се доказва по абсолютно същия начин.

Следователно, производната на функцията cos xИма – грях х.

Ще изведем формули за таблицата с производни за тангенс и котангенс, използвайки доказани правила за диференциране (производна на дроб).

Производни на хиперболични функции.

Правилата за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция от таблицата с производни ни позволяват да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс.

Производна на обратната функция.

За да избегнем объркване по време на представяне, нека обозначим с долен индекс аргумента на функцията, чрез която се извършва диференцирането, тоест това е производната на функцията f(x)от х.

Сега нека формулираме правило за намиране на производната на обратна функция.

Нека функциите y = f(x)И x = g(y)взаимно обратни, определени на интервалите и съответно. Ако в точка има крайна ненулева производна на функцията f(x), тогава в точката има крайна производна на обратната функция g(y), и . В друга публикация .

Това правило може да бъде преформулирано за всеки хот интервала , тогава получаваме .

Нека проверим валидността на тези формули.

Нека намерим обратната функция за натурален логаритъм (Тук ге функция и х- аргумент). След като решихме това уравнение за х, получаваме (тук хе функция и г– нейният аргумент). Това е, и взаимно обратни функции.

От таблицата на производните виждаме това И .

Нека се уверим, че формулите за намиране на производните на обратната функция ни водят до същите резултати:

Както можете да видите, получихме същите резултати като в таблицата с производни.

Сега имаме знанията да докажем формулите за обратна производна тригонометрични функции.

Нека започнем с производната на арксинуса.

. След това, използвайки формулата за производната на обратната функция, получаваме

Остава само да се извършат трансформациите.

Тъй като диапазонът на арксинуса е интервалът , Че (виж раздела за основните елементарни функции, техните свойства и графики). Затова не го обмисляме.

следователно . Областта на дефиниране на производната на арксинус е интервалът (-1; 1) .

За арк косинуса всичко се прави по абсолютно същия начин:

Нека намерим производната на арктангенса.

За обратната функция е .

Нека изразим аркутангенса чрез аркосинус, за да опростим получения израз.

Позволявам arctgx = z, Тогава

следователно

Производната на аркотангенса се намира по подобен начин: