Как да идентифицираме четни и нечетни функции. Основни свойства на функция: четност, нечетност, периодичност, ограниченост Как да определим четността и нечетността на функция онлайн

Функционално изследване.

1) D(y) – Дефиниционна област: множеството от всички тези стойности на променливата x. за които алгебричните изрази f(x) и g(x) имат смисъл.

Ако функцията е дадена с формула, тогава областта на дефиниция се състои от всички стойности на независимата променлива, за които формулата има смисъл.

2) Свойства на функцията: четно/нечетно, периодичност:

СтранноИ дорисе наричат ​​функции, чиито графики са симетрични по отношение на промените в знака на аргумента.

Странна функция- функция, която променя стойността на противоположната, когато се промени знакът на независимата променлива (симетрична спрямо центъра на координатите).

Равномерна функция- функция, която не променя стойността си при промяна на знака на независимата променлива (симетрична спрямо ординатата).

Нито четна, нито нечетна функция (обща функция)- функция, която няма симетрия. Тази категория включва функции, които не попадат в предишните 2 категории.

Извикват се функции, които не принадлежат към нито една от категориите по-горе нито четно, нито нечетно(или общи функции).

Странни функции

Нечетна степен където е произволно цяло число.

Дори функции

Четна степен, където е произволно цяло число.

Периодична функция- функция, която повтаря своите стойности в някакъв редовен интервал на аргумент, т.е. не променя стойността си при добавяне на някакво фиксирано ненулево число към аргумента ( Периодфункции) в цялата област на дефиниция.

3) Нули (корени) на функция са точките, в които тя става нула.

Намиране на пресечната точка на графиката с оста Ой. За да направите това, трябва да изчислите стойността f(0). Намерете и точките на пресичане на графиката с оста вол, защо да намерим корените на уравнението f(х) = 0 (или се уверете, че няма корени).

Точките, в които графиката пресича оста, се наричат функционални нули. За да намерите нулите на функция, трябва да решите уравнението, тоест да намерите тези значения на "х", при което функцията става нула.

4) Интервали на постоянство на знаците, знаци в тях.

Интервали, при които функцията f(x) запазва знака.

Интервалът на постоянство на знака е интервалът във всяка точка от коитофункцията е положителна или отрицателна.

НАД оста x.

ПОД оста.

5) Непрекъснатост (точки на прекъсване, характер на прекъсването, асимптоти).

Непрекъсната функция- функция без „скокове“, тоест такава, при която малки промени в аргумента водят до малки промени в стойността на функцията.

Подвижни точки на прекъсване

Ако границата на функцията съществува, но функцията не е дефинирана в тази точка или ограничението не съвпада със стойността на функцията в тази точка:

,

тогава точката се нарича подвижна точка на прекъсванефункции (в комплексен анализ, подвижна особена точка).

Ако „коригираме“ функцията в точката на отстранимото прекъсване и поставим , тогава получаваме функция, която е непрекъсната в дадена точка. Тази операция върху функция се нарича разширяване на функцията до непрекъснатаили предефиниране на функцията чрез непрекъснатост, което оправдава името на точката като точка сменяемразкъсване.

Точки на прекъсване от първи и втори род

Ако функцията има прекъсване в дадена точка (т.е. границата на функцията в дадена точка липсва или не съвпада със стойността на функцията в дадена точка), тогава за числовите функции има две възможни опции свързани със съществуването на числови функции едностранни граници:

ако и двете едностранни граници съществуват и са крайни, тогава се нарича такава точка точка на прекъсване от първи род. Отстранимите точки на прекъсване са точки на прекъсване от първи вид;

ако поне една от едностранните граници не съществува или не е крайна стойност, тогава такава точка се нарича точка на прекъсване от втори род.

Асимптота - прав, което има свойството, че разстоянието от точка на кривата до това правклони към нула, докато точката се отдалечава по клона до безкрайност.

Вертикална

Вертикална асимптота - гранична линия .

По правило при определяне на вертикалната асимптота се търси не една граница, а две едностранни (лява и дясна). Това се прави, за да се определи как се държи функцията, когато се приближава към вертикалната асимптота от различни посоки. Например:

Хоризонтална

Хоризонтална асимптота - праввидове, подчинени на съществуването лимит

.

Наклонени

Наклонена асимптота - праввидове, подчинени на съществуването граници

Забележка: една функция може да има не повече от две наклонени (хоризонтални) асимптоти.

Забележка: ако поне една от двете граници, споменати по-горе, не съществува (или е равна на ), тогава наклонената асимптота при (или ) не съществува.

ако в т. 2.), тогава , и границата се намира с помощта на формулата за хоризонтална асимптота, .

6) Намиране на интервали на монотонност.Намерете интервали на монотонност на функция f(х)(т.е. интервали на нарастване и намаляване). Това става чрез изследване на знака на производната f(х). За да направите това, намерете производната f(х) и решете неравенството f(х)0. На интервали, където това неравенство е в сила, функцията f(х)се увеличава. Където е валидно обратното неравенство f(х)0, функция f(х) намалява.

Намиране на локален екстремум.След като намерихме интервалите на монотонност, можем незабавно да определим локалните точки на екстремум, където увеличението се заменя с намаление, локалните максимуми се намират, а където намалението се заменя с увеличение, се намират локалните минимуми. Изчислете стойността на функцията в тези точки. Ако дадена функция има критични точки, които не са локални точки на екстремум, тогава е полезно да се изчисли стойността на функцията и в тези точки.

Намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцията y = f(x) на сегмент(продължение)

7) Намиране на интервали на изпъкналост и вдлъбнатост. Това се прави чрез изследване на знака на втората производна f(х). Намерете точките на инфлексия в кръстовищата на изпъкналите и вдлъбнатите интервали. Изчислете стойността на функцията в точките на инфлексия. Ако дадена функция има други точки на непрекъснатост (с изключение на точките на инфлексия), в които втората производна е 0 или не съществува, тогава също е полезно да се изчисли стойността на функцията в тези точки. След като намери f(х), решаваме неравенството f(х)0. На всеки от интервалите на решение функцията ще бъде изпъкнала надолу. Решаване на обратното неравенство f(х)0 намираме интервалите, на които функцията е изпъкнала нагоре (т.е. вдлъбната). Ние дефинираме точките на инфлексия като онези точки, в които функцията променя посоката на изпъкналост (и е непрекъсната).

Инфлексна точка на функция- това е точката, в която функцията е непрекъсната и при преминаване през която функцията променя посоката на изпъкналост.

Условия на съществуване

Необходимо условие за наличието на инфлексна точка:ако функцията е два пъти диференцируема в някаква пунктирана околност на точката , тогава или .

• Заменете положителните числови стойности във функцията x (\displaystyle x)и съответните отрицателни числови стойности. Например, като се има предвид функцията f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Заменете следните стойности в него x (\displaystyle x):

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо оста Y.Симетрия означава огледален образ на графиката спрямо ординатната ос. Ако частта от графиката вдясно от оста Y (положителни стойности на независимата променлива) е същата като частта от графиката вляво от оста Y (отрицателни стойности на независимата променлива ), графиката е симетрична спрямо оста Y. Ако функцията е симетрична спрямо оста y, функцията е четна.

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо началото.Началото е точката с координати (0,0). Симетрия относно произхода означава, че положителна стойност y (\displaystyle y)(с положителна стойност x (\displaystyle x)) съответства на отрицателна стойност y (\displaystyle y)(с отрицателна стойност x (\displaystyle x)), и обратно. Нечетните функции имат симетрия относно произхода.

- (математика) Функция y = f (x) се извиква дори ако не се променя, когато независимата променлива променя само знака, т.е. ако f (x) = f (x). Ако f (x) = f (x), тогава функцията f (x) се нарича нечетна. Например y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Функция, удовлетворяваща равенството f (x) = f (x). Вижте функциите за четни и нечетни... Велика съветска енциклопедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Специални функции, въведени от френския математик Е. Матийо през 1868 г. при решаване на задачи за трептене на елиптична мембрана. М. ф. се използват и при изследване на разпространението на електромагнитни вълни в елиптичен цилиндър... Велика съветска енциклопедия

Заявката "грех" се пренасочва тук; вижте и други значения. Заявката "sec" се пренасочва тук; вижте и други значения. Заявката "Sine" се пренасочва тук; вижте и други значения... Wikipedia

Четността и нечетността на функцията са едно от основните й свойства, а четността заема впечатляваща част от училищния курс по математика. Той до голяма степен определя поведението на функцията и значително улеснява изграждането на съответната графика.

Нека определим четността на функцията. Най-общо казано, изследваната функция се разглежда дори ако за противоположни стойности на независимата променлива (x), разположена в нейната област на дефиниране, съответните стойности на y (функция) се оказват равни.

Нека дадем по-строга дефиниция. Помислете за някаква функция f (x), която е дефинирана в домейна D. Ще бъде дори, ако за всяка точка x, разположена в домейна на дефиниция:

• -x (противоположна точка) също се намира в този обхват,

• f(-x) = f(x).

От горната дефиниция следва условието, необходимо за областта на дефиниране на такава функция, а именно симетрия по отношение на точката O, която е началото на координатите, тъй като ако някаква точка b се съдържа в областта на дефиниция на четна функция, тогава съответната точка b също лежи в тази област. Следователно от горното следва изводът, че четната функция има форма, симетрична спрямо ординатната ос (Oy).

Как да определим паритета на функция на практика?

Нека бъде посочено с помощта на формулата h(x)=11^x+11^(-x). Следвайки алгоритъма, който следва директно от дефиницията, първо изследваме нейната област на дефиниция. Очевидно е дефинирано за всички стойности на аргумента, т.е. първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замените противоположната стойност (-x) на аргумента (x).
Получаваме:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Тъй като събирането удовлетворява комутативния (комутативен) закон, очевидно е, че h(-x) = h(x) и дадената функционална зависимост е четна.

Нека проверим четността на функцията h(x)=11^x-11^(-x). Следвайки същия алгоритъм, получаваме, че h(-x) = 11^(-x) -11^x. Като извадим минуса, в крайна сметка имаме
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следователно h(x) е странно.

Между другото, трябва да припомним, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези критерии; те се наричат ​​нито четни, нито нечетни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

• в резултат на добавяне на подобни функции те получават четна;
• в резултат на изваждането на такива функции се получава четна;
• дори, също дори;
• в резултат на умножаването на две такива функции се получава четна;
• в резултат на умножаване на нечетни и четни функции се получава нечетна;
• в резултат на разделяне на нечетни и четни функции се получава нечетна;
• производната на такава функция е странна;
• Ако повдигнете на квадрат нечетна функция, получавате четна.

Четността на функция може да се използва за решаване на уравнения.

За да се реши уравнение като g(x) = 0, където лявата страна на уравнението е четна функция, ще бъде напълно достатъчно да се намерят неговите решения за неотрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да се комбинират с противоположните числа. Един от тях подлежи на проверка.

Това се използва успешно и за решаване на нестандартни задачи с параметър.

Например, има ли стойност на параметъра a, за която уравнението 2x^6-x^4-ax^2=1 ще има три корена?

Ако вземем предвид, че променливата влиза в уравнението с четни степени, тогава е ясно, че заместването на x с - x няма да промени даденото уравнение. От това следва, че ако дадено число е негов корен, то противоположното число също е корен. Изводът е очевиден: корените на уравнение, които са различни от нула, са включени в множеството от неговите решения по „двойки“.

Ясно е, че самото число не е 0, тоест броят на корените на такова уравнение може да бъде само четен и, естествено, за всяка стойност на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може да бъде нечетен и за всяка стойност на параметъра. Наистина е лесно да се провери дали множеството от корени на това уравнение съдържа решения „по двойки“. Нека проверим дали 0 е корен. Когато го заместим в уравнението, получаваме 2=2. Така освен „сдвоените“ 0 е и корен, което доказва нечетния им брой.

дори, ако за всички \(x\) от неговата област на дефиниция е вярно следното: \(f(-x)=f(x)\) .

Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста \(y\):

Пример: функцията \(f(x)=x^2+\cos x\) е четна, защото \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Извиква се функцията \(f(x)\). странно, ако за всички \(x\) от неговата област на дефиниция е вярно следното: \(f(-x)=-f(x)\) .

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото:

Пример: функцията \(f(x)=x^3+x\) е странна, защото \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Функциите, които не са нито четни, нито нечетни, се наричат ​​функции от общ вид. Такава функция винаги може да бъде уникално представена като сбор от четна и нечетна функция.

Например функцията \(f(x)=x^2-x\) е сумата от четната функция \(f_1=x^2\) и нечетната \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Някои свойства:

1) Произведението и частното на две функции с еднаква четност е четна функция.

2) Произведението и частното на две функции с различни паритети е нечетна функция.

3) Сбор и разлика на четни функции – четна функция.

4) Сума и разлика на нечетни функции - нечетна функция.

5) Ако \(f(x)\) е четна функция, тогава уравнението \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) има уникален корен тогава и само когато \( x =0\) .

6) Ако \(f(x)\) е четна или нечетна функция и уравнението \(f(x)=0\) има корен \(x=b\), то това уравнение задължително ще има второ корен \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Функцията \(f(x)\) се нарича периодична върху \(X\), ако за някакво число \(T\ne 0\) е валидно следното: \(f(x)=f( x+T) \) , където \(x, x+T\in X\) . Най-малкото \(T\), за което е изпълнено това равенство, се нарича основен (главен) период на функцията.

Периодичната функция има произволно число от формата \(nT\) , където \(n\in \mathbb(Z)\) също ще бъде период.

Пример: всяка тригонометрична функция е периодична;
за функциите \(f(x)=\sin x\) и \(f(x)=\cos x\) главният период е равен на \(2\pi\), за функциите \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) и \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) основният период е равен на \(\pi\) .

За да построите графика на периодична функция, можете да начертаете нейната графика върху произволен сегмент с дължина \(T\) (главен период); тогава графиката на цялата функция се допълва чрез изместване на построената част с цял брой периоди надясно и наляво:

\(\blacktriangleright\) Домейнът \(D(f)\) на функцията \(f(x)\) е набор, състоящ се от всички стойности на аргумента \(x\), за които функцията има смисъл (е дефинирано).

Пример: функцията \(f(x)=\sqrt x+1\) има дефиниционна област: \(x\in

Задача 1 #6364

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

При какви стойности на параметъра \(a\) прави уравнението

има едно единствено решение?

Имайте предвид, че тъй като \(x^2\) и \(\cos x\) са четни функции, ако уравнението има корен \(x_0\) , то също ще има корен \(-x_0\) .
Наистина, нека \(x_0\) е корен, тоест равенството \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)точно. Нека заместим \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Така, ако \(x_0\ne 0\) , тогава уравнението вече ще има поне два корена. Следователно \(x_0=0\) . Тогава:

Получихме две стойности за параметъра \(a\). Обърнете внимание, че използвахме факта, че \(x=0\) е точно коренът на оригиналното уравнение. Но никога не сме използвали факта, че той е единственият. Следователно, трябва да замените получените стойности на параметъра \(a\) в оригиналното уравнение и да проверите за кой конкретен \(a\) коренът \(x=0\) наистина ще бъде уникален.

1) Ако \(a=0\) , тогава уравнението ще приеме формата \(2x^2=0\) . Очевидно това уравнение има само един корен \(x=0\) . Следователно стойността \(a=0\) ни подхожда.

2) Ако \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , тогава уравнението ще приеме формата \ Нека пренапишем уравнението във формата \ защото \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Че \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Следователно стойностите на дясната страна на уравнението (*) принадлежат към сегмента \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Тъй като \(x^2\geqslant 0\) , тогава лявата страна на уравнението (*) е по-голяма или равна на \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Следователно равенството (*) може да бъде вярно само когато и двете страни на уравнението са равни на \(\mathrm(tg)^2\,1\) . И това означава, че \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Следователно стойността \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ни подхожда.

Отговор:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Задача 2 #3923

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които графиката на функцията \

симетрични относно произхода.

Ако графиката на функция е симетрична по отношение на началото, тогава такава функция е нечетна, т.е. \(f(-x)=-f(x)\) е в сила за всяко \(x\) от домейна на дефиницията на функцията. Следователно е необходимо да се намерят онези стойности на параметрите, за които \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Последното уравнение трябва да бъде изпълнено за всички \(x\) от областта на \(f(x)\), следователно, \(\sin(2\pi a)=0 \Дясна стрелка a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Отговор:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Задача 3 #3069

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \ има 4 решения, където \(f\) е четна периодична функция с период \(T=\dfrac(16)3\) дефинирана на цялата числова ос , и \(f(x)=ax^2\) за \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Задача от абонати)

Тъй като \(f(x)\) е четна функция, нейната графика е симетрична спрямо ординатната ос, следователно, когато \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . По този начин, когато \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), а това е сегмент с дължина \(\dfrac(16)3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .

1) Нека \(a>0\) . Тогава графиката на функцията \(f(x)\) ще изглежда така:


Тогава, за да има уравнението 4 решения, е необходимо графиката \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) да минава през точката \(A\) :


следователно \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligned)\end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( събрано)\точно.\]Тъй като \(a>0\) , тогава \(a=\dfrac(18)(23)\) е подходящо.

2) Нека \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Необходимо е графиката \(g(x)\) да минава през точката \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Тъй като \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Случаят, когато \(a=0\) не е подходящ, тъй като тогава \(f(x)=0\) за всички \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) и уравнението ще има само 1 корен.

Отговор:

\(a\в \вляво\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\вдясно\)\)

Задача 4 #3072

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на \(a\), за всяка от които уравнението \

има поне един корен.

(Задача от абонати)

Нека пренапишем уравнението във формата \ и разгледайте две функции: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Функцията \(g(x)\) е четна и има минимална точка \(x=0\) (и \(g(0)=49\) ).
Функцията \(f(x)\) за \(x>0\) е намаляваща, а за \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Наистина, когато \(x>0\) вторият модул ще се отвори положително (\(|x|=x\)), следователно, независимо как ще се отвори първият модул, \(f(x)\) ще бъде равно на \( kx+A\) , където \(A\) е изразът на \(a\) и \(k\) е равно на \(-9\) или \(-3\) . Когато \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Нека намерим стойността на \(f\) в максималната точка: \

За да има поне едно решение на уравнението, е необходимо графиките на функциите \(f\) и \(g\) да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ \\]

Отговор:

\(а\в \(-7\)\чаша\)

Задача 5 #3912

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \

има шест различни решения.

Нека направим замяната \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тогава уравнението ще приеме формата \ Постепенно ще напишем условията, при които първоначалното уравнение ще има шест решения.
Имайте предвид, че квадратното уравнение \((*)\) може да има максимум две решения. Всяко кубично уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) може да има не повече от три решения. Следователно, ако уравнението \((*)\) има две различни решения (положителни!, тъй като \(t\) трябва да е по-голямо от нула) \(t_1\) и \(t_2\) , тогава, като направите обратното заместване, получаваме: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\]Тъй като всяко положително число може да бъде представено като \(\sqrt2\) до известна степен, например, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), тогава първото уравнение от набора ще бъде пренаписано във формата \ Както вече казахме, всяко кубично уравнение има не повече от три решения, следователно всяко уравнение в комплекта няма да има повече от три решения. Това означава, че целият набор ще има не повече от шест решения.
Това означава, че за да има първоначалното уравнение шест решения, квадратното уравнение \((*)\) трябва да има две различни решения и всяко получено кубично уравнение (от комплекта) трябва да има три различни решения (а не едно решение на едно уравнение трябва да съвпада с всяко - по решение на второто!)
Очевидно, ако квадратното уравнение \((*)\) има едно решение, тогава няма да получим шест решения на оригиналното уравнение.

Така планът за решение става ясен. Нека напишем условията, които трябва да бъдат изпълнени точка по точка.

1) За да има две различни решения на уравнението \((*)\), неговият дискриминант трябва да е положителен: \

2) Също така е необходимо и двата корена да са положителни (тъй като \(t>0\) ). Ако произведението на два корена е положително и тяхната сума е положителна, тогава самите корени ще бъдат положителни. Следователно имате нужда от: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Така вече сме си осигурили два различни положителни корена \(t_1\) и \(t_2\) .

3) Нека да разгледаме това уравнение \ За какво \(t\) ще има три различни решения?
Разгледайте функцията \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Може да се факторизира: \ Следователно неговите нули са: \(x=-1;2\) .
Ако намерим производната \(f"(x)=3x^2-6x\) , тогава получаваме две точки на екстремум \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Следователно графиката изглежда така:


Виждаме, че всяка хоризонтална линия \(y=k\) , където \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)имаше три различни решения, необходимо е \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
По този начин имате нужда от: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Нека също веднага да отбележим, че ако числата \(t_1\) и \(t_2\) са различни, тогава числата \(\log_(\sqrt2)t_1\) и \(\log_(\sqrt2)t_2\) ще бъдат различни, което означава уравненията \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)И \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ще има различни корени.
Системата \((**)\) може да бъде пренаписана както следва: \[\begin(cases) 1

По този начин сме определили, че и двата корена на уравнението \((*)\) трябва да лежат в интервала \((1;4)\) . Как да напиша това условие?
Няма да записваме изрично корените.
Разгледайте функцията \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Неговата графика е парабола с клони нагоре, която има две точки на пресичане с оста x (записахме това условие в параграф 1)). Как трябва да изглежда неговата графика, така че точките на пресичане с оста x да са в интервала \((1;4)\)? Така:


Първо, стойностите \(g(1)\) и \(g(4)\) на функцията в точки \(1\) и \(4\) трябва да са положителни, и второ, върхът на парабола \(t_0\ ) също трябва да бъде в интервала \((1;4)\) . Следователно можем да напишем системата: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) винаги има поне един корен \(x=0\) . Това означава, че за да се изпълнят условията на задачата е необходимо уравнението \

имаше четири различни корена, различни от нула, представляващи, заедно с \(x=0\), аритметична прогресия.

Обърнете внимание, че функцията \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) е четна, което означава, че ако \(x_0\) е коренът на уравнението \( (*)\ ) , тогава \(-x_0\) също ще бъде неговия корен. Тогава е необходимо корените на това уравнение да са числа, подредени във възходящ ред: \(-2d, -d, d, 2d\) (тогава \(d>0\)). Тогава тези пет числа ще образуват аритметична прогресия (с разлика \(d\)).

За да бъдат тези корени числата \(-2d, -d, d, 2d\) , е необходимо числата \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) да бъдат корените на уравнението \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Тогава, според теоремата на Виета:

Нека пренапишем уравнението във формата \ и разгледайте две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Функцията \(g(x)\) има максимална точка \(x=0\) (и \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Нулева производна: \(x=0\) . Когато \(x<0\) имеем: \(g">0\), за \(x>0\) : \(g"<0\) .
Функцията \(f(x)\) за \(x>0\) нараства, а за \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Наистина, когато \(x>0\) първият модул ще се отвори положително (\(|x|=x\)), следователно, независимо как ще се отвори вторият модул, \(f(x)\) ще бъде равно на \( kx+A\) , където \(A\) е изразът на \(a\) , а \(k\) е равно на \(13-10=3\) или \(13+10 =23\) . Когато \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Нека намерим стойността на \(f\) в минималната точка: \

За да има поне едно решение на уравнението, е необходимо графиките на функциите \(f\) и \(g\) да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ Решавайки този набор от системи, получаваме отговора: \\]

Отговор:

\(а\в \(-2\)\чаша\)