Досега разглеждахме хармонични трептения, които възникват, както вече беше отбелязано, при наличието на една единствена сила в системата - еластична сила или квазиеластична сила. В заобикалящата ни природа, строго погледнато, такива флуктуации не съществуват. В реалните системи, в допълнение към еластичните или квазиеластични сили, винаги има други сили, които се различават по естеството на действие от еластичните сили - това са сили, които възникват, когато телата на системата взаимодействат с заобикаляща среда - дисипативни сили.Крайният резултат от тяхното действие е превръщането на механичната енергия на движещо се тяло в топлина. С други думи, възниква разсейване или разсейванемеханична енергия. Процесът на разсейване на енергия не е чисто механичен и за неговото описание изисква използването на познания от други клонове на физиката. В рамките на механиката можем да опишем този процес чрез въвеждане на сили на триене или съпротивление. В резултат на разсейването на енергия амплитудата на трептенията намалява. В този случай е прието да се каже, че вибрациите на тяло или система от тела се гасят. Затихващите трептения вече не са хармонични, тъй като тяхната амплитуда и честота се променят с времето.

Трептенията, които поради разсейване на енергията в осцилиращата система възникват с непрекъснато намаляваща амплитуда, се наричат затихване.Ако една колебателна система, извадена от състояние на равновесие, трепти под въздействието само на вътрешни сили, без съпротивление и разсейване (разсейване) на енергия, тогава възникващите в нея трептения се наричат Безплатно(или собствени) незатихващи трептения.В реално механични системипри разсейване на енергия свободните трептения винаги се заглушават. Тяхната честота co се различава от честотата co 0 на трептенията на системата без затихване (колкото по-голямо е влиянието на съпротивителните сили, толкова по-голямо е влиянието на съпротивителните сили.

Нека разгледаме затихналите трептения, използвайки примера пружинно махало. Нека се ограничим до разглеждане на малки колебания. При ниски скорости на трептене съпротивителната сила може да се приеме, че е пропорционална на скоростта на осцилаторните премествания

Където v = 4 - скорост на трептене; G -фактор на пропорционалност, наречен коефициент на съпротивление. Знакът минус в израза (2.79) за съпротивителната сила се дължи на факта, че тя е насочена в посока, обратна на скоростта на движение на трептящото тяло.

Познаване на изразите за квазиеластична сила i^p = - и сила на съпротивление F c= като вземем предвид комбинираното действие на тези сили, можем да напишем динамичното уравнение на движение на тяло, извършващо затихнали трептения

В това уравнение заместваме коефициента (3 в съответствие с формула (2.49) с Вие],след което разделяме последното уравнение и получаваме

Ще търсим решение на уравнение (2.81) като функция на времето на формата

Тук постоянната стойност y все още е недефинирана. За простота началната фаза в нашето разглеждане ще се приеме за равна на нула, т.е. можем да “включим” хронометъра, когато осцилаторното изместване премине през равновесното положение (нулева координата).

Можем да определим стойността на y чрез заместване в диференциалното уравнение затихващи трептения(2.81) на предложеното решение (2.82), както и получените от него скорости

и ускорение

Заместването на (2.83) и (2.84) заедно с (2.82) в (2.81) дава След намаляване с /1 () e": " и умножаване по “-1” получаваме Решаване на това квадратно уравнениеспрямо y, имаме

Замествайки y в (2.82), намираме как изместването зависи от времето по време на затихнали трептения. Нека въведем нотацията

където символът co означава ъгловата честота на затихналите трептения, а coo ъгловата честота на свободните трептения без затихване. Вижда се, че при S > 0 честотата на затихналите трептения винаги е по-малка от честотата

По този начин, и следователно изместването по време на затихнали трептения може да се изрази като

Изборът на знака “+” или “-” във втория показател е произволен и съответства на фазово изместване на трептенията с l. Ще запишем затихнали трептения, като вземем предвид избора на знака „+“, тогава изразът (2.90) ще бъде

Това е търсената зависимост на преместването от времето. Може също да се пренапише в тригонометрична форма (ограничена до реалната част)

Желаната амплитудна зависимост A(t) от време на време може да бъде представен като

Където A(,- амплитуда във времето t = 0.

Константа 8, равна съгласно (2.88) на отношението на коефициента на съпротивление Жза удвояване на масата Tтрептящо тяло се нарича коефициент на затихване на вибрациите.Нека разберем физически смисълтози коефициент. Нека намерим времето t, през което амплитудата на затихналите трептения ще намалее с e (основата на естествените логаритми e = 2,72) пъти. За да направите това, нека поставим

Използвайки съотношението (2.93), получаваме: или

откъде следва

следователно коефициент на затихване 8 е реципрочната стойност на времето t, след което амплитудата на затихналите трептения ще намалее с e пъти. Величината m, която има размерността на времето, се нарича времеконстанта на затихнал колебателен процес.

Освен коефициент 8, т.нар логаритмичен декремент на затихване X,равен на натурален логаритъм от отношението на две амплитуди на трептене, разделени една от друга с интервал от време, равен на периода T

Изразът под логаритъм, обозначен със символа д,наречен просто намаляване на колебанията (декремент на затихването).

Използвайки амплитудния израз (2.93), получаваме:

Нека разберем физическия смисъл на логаритмичния декремент на затихване. Нека амплитудата на трептенията намалява с e пъти след N трептения. Времето t, през което тялото ще завърши нтрептенията могат да бъдат изразени чрез периода t = Н.Т.Замествайки тази стойност m в (2.97), получаваме 8NT= 1. Тъй като 67 "= A., тогава NX = 1, или

следователно логаритмичен декремент на затихванее реципрочната стойност на броя трептения, по време на които амплитудата на затихналите трептения ще намалее с e пъти.

В някои случаи зависимостта на амплитудата на трептенията от времето A(t)Удобно е да се изрази чрез логаритмичен декремент на затихване A. Експонента 6 1 Изрази (2.93) могат да бъдат записани съгласно (2.99), както следва:

Тогава изразът (2.93) приема формата

къде е количеството, равно на числото нтрептения, направени от системата за време t.

Таблица 2.1 показва приблизителни стойности (по ред на величината) на логаритмичните декременти на затихване на някои осцилаторни системи.

Таблица 2.1

Стойности на декрементите на затихване на някои осцилаторни системи

Нека сега анализираме влиянието на съпротивителните сили върху честотата на трептенията. Когато тялото се движи от равновесно положение и се връща в равновесно положение, съпротивителна сила ще действа върху него през цялото време, което го кара да забавя.

Това означава, че едни и същи участъци от пътя при затихващи трептения ще бъдат обхванати от тялото за по-голям интервал от време, отколкото при свободни трептения. Период на затихнали трептения T,следователно ще има по-голям период на естествени свободни трептения. От израза (2.89) става ясно, че разликата в честотите става по-голяма, колкото по-голям е коефициентът на затихване b. За големи b (b > coo), затихналите трептения се израждат в апериодичен (непериодичен) процес,при което в зависимост от началните условия системата се връща веднага в равновесното положение, без да преминава през него, или преди да спре минава веднъж през равновесното положение (извършва само едно трептене) - виж фиг. 2.16.

Ориз. 2.16. Затихващи трептения:

На фигура 2.16, Апоказва графика на зависимостта %(T)И A(t)(при 5 > co 0 и началната фаза со, колебанията са напълно невъзможни (този случай съответства на въображаемата стойност на честотата, определена от равенството (2.89). Системата става затихваща, а колебателният процес става апериодичен (фиг. 2.16, б).

• Нотацията exp(x) е еквивалентна на e*. Ще използваме и двете форми.
• При общо разглеждане на трептенията, пълната стойност на фазата на трептене се дава от началните условия, т.е. величината на преместването 4(0) и скоростта 4(0) в началния момент от време (t = 0) и включва термина

Затихващи трептения

Затихващи трептения на пружинно махало

Затихващи трептения- вибрации, чиято енергия намалява с времето. В природата е невъзможен безкрайно продължителен процес на видовете. Свободните трептения на всеки осцилатор рано или късно избледняват и спират. Следователно на практика обикновено имаме работа със затихнали трептения. Те се характеризират с това, че амплитудата на трептенията Ае намаляваща функция. Обикновено затихването настъпва под въздействието на съпротивителните сили на средата, изразяващи се най-често като линейна зависимост от скоростта на трептене или нейния квадрат.

В акустиката: затихване - намаляване нивото на сигнала до пълна нечуваемост.

Затихващи трептения на пружинно махало

Нека има система, състояща се от пружина (подчинена на закона на Хук), единият край на която е неподвижно фиксиран, а от другата има тяло с маса м. Трептения възникват в среда, където съпротивителната сила е пропорционална на скоростта с коефициент ° С(виж вискозно триене).

Чиито корени се изчисляват по следната формула

Решения

В зависимост от стойността на коефициента на затихване решението е разделено на три възможни варианта.

• Апериодичност

Ако , тогава има два реални корена и решението на диференциалното уравнение приема формата:

В този случай трептенията затихват експоненциално от самото начало.

• Граница на апериодичност

Ако , два реални корена съвпадат и решението на уравнението е:

IN в такъв случайможе да има временно увеличение, но след това експоненциален спад.

• Слабо затихване

Ако , тогава решението на характеристичното уравнение е два комплексно спрегнати корена

Тогава решението на първоначалното диференциално уравнение е

Къде е собствената честота на затихналите трептения.

Константите и във всеки случай се определят от началните условия:

Вижте също

• Намаляване на затихването

Литература

Лит.: Савелиев И.В., Курс по обща физика: Механика, 2001.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво са „затихнали трептения“ в други речници:

Затихващи трептения- Затихващи трептения. ЗАГУБЕНИ ВИБРАЦИИ, трептения, чиято амплитуда A намалява с течение на времето поради загуби на енергия: преобразуването на енергията на трептенията в топлина в резултат на триене в механични системи (например в точка на окачване... ... Илюстрован енциклопедичен речник

Собствени трептения, чиято амплитуда A намалява с времето t съгласно закона на експоненциала A(t) = Аоexp (?t) (? индикатор за затихване поради разсейване на енергия поради сили на вискозно триене за механични затихващи трептения и омични. .. ... Голям енциклопедичен речник

Трептения, чиято амплитуда постепенно намалява, напр. трептения на махало, изпитващо въздушно съпротивление и триене в окачването. Всички свободни вибрации, срещащи се в природата, са в по-голяма или по-малка степен Z.K. Electrical Z.K.... ...Морски речник

затихващи трептения- Механични трептения с намаляващи стойности на диапазона на обобщената координата или нейната производна по отношение на времето. [Сборник с препоръчителни термини. Брой 106. Механични вибрации. Академия на науките на СССР. Научно-технически комитет... ... Ръководство за технически преводач

Затихващи трептения- (ВИБРАЦИЯ) трептения (вибрация) с намаляващи стойности на люлеене... Руска енциклопедия по охрана на труда

Собствени трептения на системата, чиято амплитуда A намалява с времето t съгласно експоненциалния закон A(t) = A0exp(?α t) (α е индексът на затихване) поради разсейване на енергия поради сили на вискозно триене за механично затихване трептения и омични... ... енциклопедичен речник

Затихващи трептения- 31. Затихващи трептения Трептения с намаляващи стойности на люлеене Източник... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Собствени трептения на системата, амплитудата A до ryx намалява с времето t съгласно експоненциалния закон A(t) = = Aoeхр(at) (индекс на затихване) поради разсейване на енергия поради силите на вискозно триене за механично. 3. до и омично съпротивление за електрически ... Естествени науки. енциклопедичен речник

затихващи трептения- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. затихнало трептене vok. gedämpfte Schwingung, ф рус. затихващи трептения, n пранц. аморти на трептения, f; осцилации décroissantes, f … Автоматичен терминų žodynas

затихващи трептения- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. затихващи трептения; гасени вибрации; умиращи трептения vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, ф рус. затихващи трептения, n пранц. колебания amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Всички реални трептящи системи са дисипативни. Енергията на механичните трептения на системата се изразходва с времето за работа срещу силите на триене, така че естествените трептения винаги се гасят - амплитудата им постепенно намалява. Загубата на енергия възниква и при деформации на тела, тъй като напълно еластични тела не съществуват, а деформациите на не напълно еластични тела са придружени от частичен преход на механична енергия в хаотична енергия топлинно движениечастици от тези тела.

В много случаи, като първо приближение, можем да приемем, че при ниски скорости на движение силите, причиняващи затихване на механичните вибрации, са пропорционални на големината на скоростта. Ще наричаме тези сили, независимо от техния произход, сили на триене или съпротивление и ще ги изчисляваме по следната формула: . Тук r е коефициентът на съпротивление на средата и е скоростта на тялото. Знакът минус показва, че силите на триене винаги са насочени в посока, обратна на посоката на движение на тялото.

Нека запишем уравнението на втория закон на Нютон за затихнали праволинейни трептения на пружинно махало

Тук: m е масата на товара, k е твърдостта на пружината, е проекцията на скоростта върху оста OX, е проекцията на ускорението върху оста OX. Нека разделим двете страни на уравнение (13) на маса m и го пренапишем във формата:

. (14)

Нека въведем следната нотация:

, (15)

. (16)

Нека го наречем коефициент на затихване, а преди това го нарекохме естествена циклична честота. Като се вземат предвид въведените обозначения (15 и 16), ще бъде написано уравнение (14).

. (17)

Това е диференциално уравнение на затихнали трептения от всякакъв характер. Видът на решението на това линейно диференциално уравнение от втори ред зависи от връзката между величината - собствената честота на незатихващите трептения и коефициента на затихване.

Ако триенето е много голямо (в този случай), тогава системата, извадена от равновесно положение, се връща към него, без да осцилира („пълзи“). Това движение (крива 2 на фиг. 3) се нарича апериодично.

Ако в началния момент система с голямо триене е в равновесно положение и й се придаде определена начална скорост, тогава системата достига най-голямото отклонение от равновесното положение, спира и след това преместването асимптотично клони към нула (фиг. 4).

Фиг.3 Фиг.4

Ако системата бъде извадена от равновесно положение при условието и освободена без начална скорост, тогава системата също не преминава равновесното положение. Но в този случай времето за практически подход към него се оказва по-малко, отколкото при високо триене (крива 1 на фиг. 3). Този режим се нарича критичен и се търси при използване на различни измервателни уреди (за най-бързо отчитане).

с ниско триене (в този случай), движението има колебателен характер (фиг. 5) и решението на уравнение (17) има формата:

(19)

описва промяна амплитуди на затихнали трептенияс време. Амплитудата на затихващите колебания намалява с течение на времето (фиг. 5) и колкото по-бързо, толкова по-висок е коефициентът на съпротивление и толкова по-малка е масата на осцилиращото тяло, т.е. толкова по-малка е инерцията на системата.

Размер

наречена циклична честота на затихващите трептения. Затихващите колебания са непериодични колебания, тъй като те никога не повтарят, например, максималните стойности на изместване, скорост и ускорение. Следователно тя може да се нарече честота само условно в смисъл, че показва колко пъти в секунда трептящата система преминава през равновесното положение. По същата причина стойността

(21)

може да се нарече условен период на затихнали трептения.

За да характеризираме затихването, въвеждаме следните величини:

Логаритмичен декремент на затихване;

Време за релаксация;

Добро качество.

Съотношението на всеки две последователни премествания, разделени във времето с един период, се нарича декремент на затихване.

Логаритмичен декремент на затихванее естественият логаритъм от съотношението на амплитудните стойности на затихналите трептения в моменти t и t+T (естественият логаритъм от съотношението на всеки две последователни премествания, разделени във времето с един период):

Тъй като и , тогава .

Нека използваме формулата за зависимостта на амплитудата от времето (19) и получаваме

Нека разберем физическия смисъл на количествата и . Нека означим с период от време, през който амплитудата на затихващите трептения намалява с фактор e и го наричаме време за релаксация. Тогава . следва, че

ГЛАВНА ИНФОРМАЦИЯ

трептениясе наричат ​​движения или процеси, които се характеризират с известна повторяемост във времето. Трептенията се наричат Безплатно, ако възникват поради първоначално придадената енергия при последващо отсъствие на външни въздействия върху трептящата система. Най-простият вид трептения са хармонични вибрации– трептения, при които осцилиращата величина се изменя във времето по синус или косинус.

Диференциалното уравнение на хармоничните трептения има формата

където е осцилиращото количество и е цикличната честота.

е решението на това уравнение. Ето амплитудата и е началната фаза.

Фаза на трептене.

Амплитуда - максимална стойностпроменлив размер.

Периодът на трептене е периодът от време, през който движението на тялото се повтаря. Фазата на трептене се увеличава през периода. . , - брой трептения.

Честотата на трептене е броят на пълните трептения, извършени за единица време. . . Измерено в херци (Hz).

Цикличната честота е броят на трептенията, извършвани за секунда. . Мерна единица .

Фазата на трептене е величина под знака на косинуса и характеризираща състоянието на трептящата система във всеки момент.

Начална фаза – фазата на трептенията в началния момент от време. Фазата и началната фаза се измерват в радиани ().

Свободни затихващи трептения– трептения, чиято амплитуда намалява с времето поради загуби на енергия от реалната трептителна система. Най-простият механизъм за намаляване на енергията на вибрациите е нейното превръщане в топлина поради триене в механични осцилаторни системи, както и омични загуби и излъчване електромагнитна енергияв електрическите осцилационни системи.

Диференциалното уравнение на свободните затихнали трептения има формата

, (1)

Решение на уравнение (1) в случай на малко затихване (d 2<< ) имеет вид

Периодът от време, през който амплитудата намалява дпъти, това се нарича време за релаксация.

Затихването нарушава периодичността на трептенията, така че затихващите трептения не са периодични. Въпреки това, ако затихването е малко, тогава можем условно да използваме концепцията за период като интервал от време между два последователни максимума (или минимума) на флуктуираща величина. След това периодът на затихналите трептения се изчислява по формулата

.

Ако А(T) И А(t+T) са амплитудите на две последователни трептения, съответстващи на моменти от време, различаващи се с период, тогава отношението

Наречен декремент на затихване, и неговия логаритъм

– логаритмичен декремент на затихване.

величина N eе броят на трептенията, извършени през времето, през което амплитудата намалява дведнъж. Логаритмичният декремент на затихване е постоянна стойност за дадена осцилаторна система.

За характеризиране на осцилаторна система се използва понятието качествен фактор Q, което за малки стойности на логаритмичния декремент е равно на

.

В действителност свободните вибрации възникват под действието на съпротивителни сили. Дисипативните сили водят до намаляване на амплитудата на трептенията. Трептенията, чиято амплитуда намалява с времето в резултат на загуба на енергия, се наричат ​​затихващи.

Амортизирани механични вибрации

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физическото количество, което характеризира скоростта на затихване на трептенията, се нарича коефициент на затихване. Коефициентът на затихване може да се обозначи по различни начини: т.н. При условие, че силите на триене са пропорционални на скоростта на тялото:

където е обобщеният коефициент на триене, коефициентът на затихване се счита за равен на:

където е масата на тялото, което се колебае.

Диференциалното уравнение на трептенията при наличие на затихване ще има формата:

Уравнение на затихналите трептения:

Където — честота на затихналите трептения, — амплитуда на затихналите трептения. - постоянна стойност, която зависи от избора на референтна времева точка.

Коефициентът на затихване може да се определи като реципрочна стойност на времето (), през което амплитудите (A) намаляват с e пъти:

къде е времето за релакс. Тоест можете да напишете:

Периодът на затихналите трептения е равен на:

с незначително съпротивление на средата, ако неравенството е изпълнено: периодът на трептене може да се изчисли по формулата:

С увеличаването на коефициента на затихване периодът на трептене се увеличава. Трябва да се отбележи, че концепцията за периода на затихнали трептения не съвпада с концепцията за незатихнали трептения, тъй като системата, при наличие на затихване, никога не се връща в първоначалното си състояние. Периодът на затихнали трептения е минималният период от време, през който системата преминава през равновесното положение два пъти в една посока.

С увеличаването на коефициента на затихване на трептенията честотата на трептенията намалява. Ако , тогава честотата на затихналите трептения ще стане нула, докато периодът се увеличава до безкрайност. Такива трептения губят периодичност и се наричат ​​апериодични. Когато коефициентът на затихване е равен на собствената честота на трептенията, параметрите на системата се наричат ​​критични.

Коефициентът на затихване на трептенията е свързан с логаритмичния декремент на затихване () чрез израза:

Затихнали електрически трептения

Всяка електрическа верига, която съществува в действителност, има активно съпротивление, следователно енергията, съхранявана в нея с течение на времето, се изразходва за това съпротивление, тъй като се нагрява.

В този случай коефициентът на затихване за електрическата верига се изчислява като:

където R е съпротивлението, L е индуктивността на веригата.

Честотата в електромагнитната верига се представя по формулата:

За RLC верига, критичното съпротивление (), при което трептенията стават апериодични, е съпротивление, равно на:

Единици за коефициент на гасене на вибрациите

Основната SI единица за коефициент на затихване е:

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

Упражнение	Какъв е коефициентът на затихване, ако амплитудата на трептенията на махалото за време t=10 s. намалява 4 пъти?
Решение	Нека запишем уравнението на затихналите трептения на махалото: Според едно от определенията на коефициента на затихване: Нека направим изчисленията:
Отговор

ПРИМЕР 2