Уравнение на средата на отсечка въз основа на координатите на нейните краища. Формула за намиране на координатите на средата на отсечка

Статията по-долу ще разгледа въпросите за намиране на координатите на средата на сегмент, ако координатите на неговите крайни точки са налични като първоначални данни. Но преди да започнем да изучаваме въпроса, нека въведем няколко определения.

Определение 1

Линеен сегмент– права линия, свързваща две произволни точки, наречени краища на отсечка. Като пример, нека това са точки A и B и съответно отсечката A B.

Ако отсечката A B се продължи в двете посоки от точки A и B, получаваме права A B. Тогава отсечката A B е част от получената права линия, ограничена от точки A и B. Отсечката A B обединява точки A и B, които са нейните краища, както и множеството от точки, разположени между тях. Ако, например, вземем произволна точка K, разположена между точките A и B, можем да кажем, че точка K лежи на отсечката A B.

Определение 2

Дължина на секцията– разстоянието между краищата на отсечка в даден мащаб (отсечка с единица дължина). Нека означим дължината на отсечката A B така: A B .

Определение 3

Средна точка на сегмента– точка, лежаща на отсечка и равноотдалечена от краищата му. Ако средата на сегмента A B е обозначена с точка C, тогава равенството ще бъде вярно: A C = C B

Изходни данни: координатна линия O x и несъвпадащи точки върху нея: A и B. Тези точки съответстват на реални числа x A и x B . Точка C е средата на сегмента A B: необходимо е да се определи координатата x C .

Тъй като точка C е средата на отсечката A B, равенството ще бъде вярно: | A C | = | C B | . Разстоянието между точките се определя от модула на разликата в техните координати, т.е.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тогава са възможни две равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)

От първото равенство извеждаме формулата за координатите на точка C: x C = x A + x B 2 (половината от сбора на координатите на краищата на отсечката).

От второто равенство получаваме: x A = x B, което е невъзможно, т.к в изходните данни - несъвпадащи точки. По този начин, формула за определяне на координатите на средата на сегмента A B с краища A (x A) и B(xB):

Получената формула ще бъде основата за определяне на координатите на средата на сегмент в равнина или в пространството.

Изходни данни: правоъгълна координатна система на равнината O x y, две произволни несъвпадащи точки с дадени координати A x A, y A и B x B, y B. Точка C е средата на отсечката A B. Необходимо е да се определят координатите x C и y C за точка C.

Нека вземем за анализ случая, когато точките A и B не съвпадат и не лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. A x, A y; B x, B y и C x, C y - проекции на точки A, B и C върху координатните оси (правите O x и O y).

Според конструкцията правите A A x, B B x, C C x са успоредни; линиите също са успоредни една на друга. Заедно с това, според теоремата на Талес, от равенството A C = C B следват равенствата: A x C x = C x B x и A y C y = C y B y, а те от своя страна показват, че точката C x е средата на отсечката A x B x и C y е средата на отсечката A y B y. И тогава, въз основа на формулата, получена по-рано, получаваме:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Същите формули могат да се използват в случаите, когато точките A и B лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. Няма да правим подробен анализ на този случай, ще го разгледаме само графично:

Обобщавайки всичко по-горе, координати на средата на отсечката A B на равнината с координатите на краищата A (x A, y A) И B(xB, yB) се определят като:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Изходни данни: координатна система O x y z и две произволни точки със зададени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Необходимо е да се определят координатите на точка C, която е средата на сегмента A B.

A x, A y, A z; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции на всички дадени точки върху осите на координатната система.

Според теоремата на Талес са верни следните равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следователно точките C x , C y , C z са среди съответно на отсечките A x B x , A y B y , A z B z . Тогава, За определяне на координатите на средата на сегмент в пространството са правилни следните формули:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Получените формули са приложими и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните линии; на права линия, перпендикулярна на една от осите; един координатна равнинаили равнина, перпендикулярна на една от координатните равнини.

Определяне на координатите на средата на отсечка чрез координатите на радиус-векторите на нейните краища

Формулата за намиране на координатите на средата на отсечка може да се изведе и според алгебричната интерпретация на векторите.

Изходни данни: правоъгълна декартова координатна система O x y, точки с дадени координати A (x A, y A) и B (x B, x B). Точка C е средата на отсечката A B.

Според геометрична дефинициядействия върху вектори, ще бъде вярно следното равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C при в такъв случай– пресечната точка на диагоналите на успоредник, построен на базата на векторите O A → и O B →, т.е. точката на средата на диагоналите Координатите на радиус вектора на точката са равни на координатите на точката, тогава равенствата са верни: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Нека извършим някои операции върху вектори в координати и ще получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Следователно точка C има координати:

x A + x B 2, y A + y B 2

По аналогия се определя формула за намиране на координатите на средата на сегмент в пространството:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Примери за решаване на задачи за намиране на координатите на средата на сегмент

Сред проблемите, които включват използването на формулите, получени по-горе, има такива, при които директният въпрос е да се изчислят координатите на средата на сегмента, и тези, които включват привеждане на дадените условия към този въпрос: терминът „медиана“ се използва често, целта е да се намерят координатите на един от краищата на сегмент, а проблемите със симетрията също са често срещани, чието решение като цяло също не би трябвало да създава трудности след изучаване на тази тема. Нека да разгледаме типичните примери.

Пример 1

Първоначални данни:на равнината - точки с дадени координати A (- 7, 3) и B (2, 4). Необходимо е да се намерят координатите на средата на сегмента A B.

Решение

Нека означим средата на отсечката A B с точка C. Неговите координати ще бъдат определени като половината от сумата на координатите на краищата на сегмента, т.е. точки А и Б.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Отговор: координати на средата на сегмента A B - 5 2, 7 2.

Пример 2

Първоначални данни:координатите на триъгълник A B C са известни: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Необходимо е да се намери дължината на медианата A M.

Решение

1. Според условията на задачата A M е медианата, което означава, че M е средата на отсечката B C . Първо, нека намерим координатите на средата на сегмента B C, т.е. М точки:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Тъй като сега знаем координатите на двата края на медианата (точки A и M), можем да използваме формулата, за да определим разстоянието между точките и да изчислим дължината на медианата A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Отговор: 58

Пример 3

Първоначални данни:в правоъгълна координатна система на тримерното пространство е даден паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Дадени са координатите на точка C 1 (1, 1, 0), дефинирана е и точка M, която е средата на диагонала B D 1 и има координати M (4, 2, - 4). Необходимо е да се изчислят координатите на точка А.

Решение

Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка, която е средата на всички диагонали. Въз основа на това твърдение можем да имаме предвид, че известната от условията на задачата точка M е средата на отсечката A C 1. Въз основа на формулата за намиране на координатите на средата на отсечка в пространството намираме координатите на точка A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Отговор:координати на точка А (7, 3, - 8).

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

След упорита работа изведнъж забелязах, че размерът на уеб страниците е доста голям и ако това продължи, тогава можете тихо да се развихрите =) Затова предлагам на вашето внимание кратко есе, посветено на много често геометрична задача – относно разделянето на сегмент в това отношение, и като специален случай, относно разделянето на сегмент наполовина.

По една или друга причина тази задача не се вписва в други уроци, но сега има чудесна възможност да я разгледаме подробно и спокойно. Добрата новина е, че ще си вземем почивка от векторите и ще се съсредоточим върху точките и сегментите.

Формули за разделяне на сегмент в това отношение

Концепцията за разделяне на сегмент в това отношение

Често изобщо не е нужно да чакате обещаното; нека веднага да разгледаме няколко точки и, очевидно, невероятното - сегмента:

Разглежданата задача е валидна както за сегменти от равнината, така и за сегменти от пространството. Тоест демонстрационният сегмент може да се постави по желание в самолет или в космоса. За по-лесно обяснение го начертах хоризонтално.

Какво ще правим с този сегмент? Този път да режа. Някой съкращава бюджет, някой съкращава съпруга, някой сече дърва за огрев и ще започнем да разделяме сегмента на две части. Сегментът е разделен на две части с помощта на определена точка, която, разбира се, се намира директно върху него:

В този пример точката разделя сегмента по такъв начин, че сегментът е наполовина по-дълъг от сегмента. Можете СЪЩО ДА кажете, че точка разделя сегмент в съотношение („едно към две“), като се брои от върха.

На сух математически език този факт се записва по следния начин: , или по-често под формата на обичайната пропорция: . Съотношението на сегментите обикновено се обозначава с гръцката буква "ламбда", в този случай: .

Лесно е пропорцията да се състави в различен ред: - това обозначение означава, че отсечката е два пъти по-дълга от отсечката, но това няма фундаментално значение за решаването на задачи. Може да е така, а може и така.

Разбира се, сегментът може лесно да бъде разделен в някакво друго отношение и за засилване на концепцията, вторият пример:

Тук е валидно следното съотношение: . Ако направим пропорцията обратно, тогава получаваме: .

След като разбрахме какво означава да разделим сегмент в това отношение, преминаваме към разглеждане на практически проблеми.

Ако са известни две точки на равнината, тогава координатите на точката, която разделя сегмента по отношение на, се изразяват с формулите:

Откъде идват тези формули? В курса на аналитичната геометрия тези формули са строго получени с помощта на вектори (къде бихме били без тях? =)). Освен това те са валидни не само за декартова координатна система, но и за произволна афинна координатна система (виж урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите). Това е толкова универсална задача.

Пример 1

Намерете координатите на точката, разделяща отсечката в релацията, ако точките са известни

Решение: В този проблем. Използвайки формулите за разделяне на сегмент в тази връзка, намираме точката:

Отговор:

Обърнете внимание на техниката на изчисление: първо трябва отделно да изчислите числителя и знаменателя отделно. Резултатът често (но не винаги) е три- или четириетажна фракция. След това се отърваваме от многоетажната структура на фракцията и извършваме окончателните опростявания.

Задачата не изисква рисуване, но винаги е полезно да я направите в чернова:

Наистина, връзката е изпълнена, т.е. отсечката е три пъти по-къса от отсечката . Ако пропорцията не е очевидна, тогава сегментите винаги могат да бъдат глупаво измерени с обикновена линийка.

Еднакво ценен второ решение: при него обратното броене започва от точка и следната връзка е справедлива: (с човешки думи сегментът е три пъти по-дълъг от сегмента). Съгласно формулите за разделяне на сегмент в това отношение:

Отговор:

Моля, обърнете внимание, че във формулите е необходимо да преместите координатите на точката на първо място, тъй като малкият трилър започна с нея.

Също така е ясно, че вторият метод е по-рационален поради по-прости изчисления. Но все пак този проблем често се решава по „традиционния“ начин. Например, ако според условието е даден сегмент, тогава се предполага, че ще съставите пропорция; ако е даден сегмент, тогава пропорцията е „мълчаливо“ загатната.

И дадох втория метод поради причината, че често се опитват умишлено да объркат условията на проблема. Ето защо е много важно да се извърши груб чертеж, за да се анализира, първо, правилно състоянието и, второ, за целите на проверката. Жалко е да правите грешки в такава проста задача.

Пример 2

Дават се точки . Намирам:

а) точка, разделяща сегмента по отношение на ;
б) точка, разделяща сегмента спрямо .

Това е пример за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога има проблеми, при които един от краищата на сегмента е неизвестен:

Пример 3

Точката принадлежи на сегмента. Известно е, че сегментът е два пъти по-дълъг от сегмента. Намерете точката ако .

Решение: От условието следва, че точката дели отсечката в съотношение , считано от върха, тоест пропорцията е валидна: . Съгласно формулите за разделяне на сегмент в това отношение:

Сега не знаем координатите на точката :, но това не е особен проблем, тъй като те могат лесно да бъдат изразени от горните формули. IN общ изгледИзразяването не струва нищо, много по-лесно е да замените конкретни числа и внимателно да разберете изчисленията:

Отговор:

За да проверите, можете да вземете краищата на сегмента и, като използвате формулите в в пряк ред, уверете се, че съотношението действително води до точка. И, разбира се, разбира се, рисунка няма да бъде излишна. И за да ви убедя окончателно в ползите от карирана тетрадка, обикновен молив и линийка, ви предлагам една сложна задача, която да решите сами:

Пример 4

Точка . Отсечката е един път и половина по-къса от отсечката. Намерете точка, ако координатите на точките са известни .

Решението е в края на урока. Между другото, не е единственият, ако следвате различен път от извадката, няма да е грешка, важното е отговорите да съвпадат.

За пространствените сегменти всичко ще бъде абсолютно същото, само ще се добави още една координата.

Ако са известни две точки в пространството, тогава координатите на точката, която разделя сегмента по отношение на, се изразяват с формулите:
.

Пример 5

Дават се точки. Намерете координатите на точка, принадлежаща на отсечката, ако е известно, че .

Решение: Условието предполага отношението: . Този пример е взет от реален тест, като авторът му си е позволил малка шега (ако някой се спъне) - по-рационално би било пропорцията да се напише в условието така: .

Според формулите за координатите на средата на сегмента:

Отговор:

3D чертежи за целите на проверката са много по-трудни за създаване. Винаги обаче можете да го направите схематичен чертеж, за да разберем поне условието - кои сегменти трябва да бъдат съпоставени.

Що се отнася до дробите в отговора, не се изненадвайте, това е нещо обичайно. Много пъти съм го казвал, но ще го повторя: във висшата математика е прието да се използват обикновени правилни и неправилни дроби. Отговорът е във формата ще свърши работа, но опцията с неправилни дроби е по-стандартна.

Подгряваща задача за самостоятелно решение:

Пример 6

Дават се точки. Намерете координатите на точката, ако е известно, че тя разделя отсечката в отношението.

Решението и отговорът са в края на урока. Ако е трудно да се ориентирате в пропорциите, направете схематичен чертеж.

В независими и тестоверазглежданите примери се срещат както самостоятелно, така и интегрална частпо-големи задачи. В този смисъл проблемът за намиране на центъра на тежестта на триъгълник е типичен.

Не виждам много смисъл да анализирам типа задача, при която един от краищата на сегмента е неизвестен, тъй като всичко ще бъде подобно на плоския случай, с изключение на това, че има малко повече изчисления. Нека си спомним по-добре нашите ученически години:

Формули за координатите на средата на отсечка

Дори необучени читатели могат да си спомнят как да разделят сегмент наполовина. Задачата за разделяне на отсечка на две равни части е частен случай на разделяне на отсечка в това отношение. Трионът с две ръце работи по най-демократичния начин и всеки съсед по бюрото получава една и съща пръчка:

В този тържествен час барабаните биеха, приветствайки значителната част. И общи формули като по чудо се превърна в нещо познато и просто:

Удобен момент е фактът, че координатите на краищата на сегмента могат да бъдат пренаредени безболезнено:

IN общи формулитакава луксозна стая, както разбирате, не работи. И тук няма особена нужда от това, така че е хубаво малко нещо.

За пространствения случай има очевидна аналогия. Ако са дадени краищата на сегмент, тогава координатите на неговата среда се изразяват с формулите:

Пример 7

Паралелограмът се определя от координатите на неговите върхове. Намерете пресечната точка на неговите диагонали.

Решение: Желаещите могат да допълнят рисунката. Особено препоръчвам графити на тези, които са напълно забравили училищен курсгеометрия.

Според добре известното свойство диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната си точка, така че задачата може да се реши по два начина.

Метод първи: Разгледайте противоположните върхове . Използвайки формулите за разделяне на сегмент наполовина, намираме средата на диагонала:

Как да намерим координатите на средата на отсечка
Първо, нека разберем какво е средата на сегмента.
Средата на отсечка се счита за точка, която принадлежи на дадена отсечка и е на същото разстояние от краищата му.

Координатите на такава точка са лесни за намиране, ако са известни координатите на краищата на този сегмент. В този случай координатите на средата на сегмента ще бъдат равни на половината от сумата от съответните координати на краищата на сегмента.
Координатите на средната точка на сегмент често се намират чрез решаване на проблеми с медианата, средна линияи така нататък.
Нека разгледаме изчисляването на координатите на средата на сегмент за два случая: когато сегментът е зададен в равнина и когато е зададен в пространството.
Нека отсечка на равнината е зададена от две точки с координати и . След това координатите на средата на сегмента PH се изчисляват по формулата:

Нека отсечка се определя в пространството от две точки с координати и . След това координатите на средата на сегмента PH се изчисляват по формулата:

Пример.
Намерете координатите на точка К - средата на МО, ако М (-1; 6) и О (8; 5).

Решение.
Тъй като точките имат две координати, това означава, че сегментът е определен в равнината. Използваме подходящите формули:

Следователно средата на МО ще има координати K (3.5; 5.5).

Отговор.К (3,5; 5,5).