Има редица връзки в квадратните уравнения. Основните са връзките между корени и коефициенти. Също така в квадратните уравнения има редица отношения, които са дадени от теоремата на Виета.
В тази тема ще представим самата теорема на Виета и нейното доказателство за квадратно уравнение, теоремата, обратна на теоремата на Виета, ще анализираме редица примери за решаване на проблеми. В материала ще обърнем специално внимание на разглеждането на формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепени ни неговите коефициенти.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Формулиране и доказателство на теоремата на Виета
Формула за корените на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0от формата x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, където D = b 2 − 4 a c, установява отношения x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Това се потвърждава от теоремата на Виета.
Теорема 1
В квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, Където х 1И х 2– корени, сумата от корените ще бъде равна на отношението на коефициентите bИ а, което е взето с обратен знак, а произведението на корените ще бъде равно на съотношението на коефициентите ° СИ а, т.е. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Доказателство 1
Предлагаме ви следната схема за извършване на доказателството: вземете формулата на корените, съставете сбора и произведението на корените на квадратното уравнение и след това преобразувайте получените изрази, за да се уверите, че са равни -б аИ в асъответно.
Нека направим сбора на корените x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Нека намалим дробите до общ знаменател- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Нека отворим скобите в числителя на получената дроб и представим подобни членове: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Нека намалим дробта с: 2 - b a = - b a.
Ето как доказахме първото отношение на теоремата на Виета, което се отнася до сбора от корените на квадратно уравнение.
Сега да преминем към втората връзка.
За да направим това, трябва да съставим произведението на корените на квадратното уравнение: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Нека си припомним правилото за умножение на дроби и запишем последния продукт по следния начин: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Нека умножим скоба по скоба в числителя на дробта или използваме формулата за разликата на квадратите, за да трансформираме този продукт по-бързо: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Нека използваме определението за квадратен корен, за да направим следния преход: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 a cсъответства на дискриминанта на квадратно уравнение, следователно, в дроб вместо дмогат да бъдат заменени b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Нека отворим скобите, добавим подобни членове и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Ако го съкратим до 4 а, тогава това, което остава, е c a . Така доказахме второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.
Доказателството на теоремата на Виета може да бъде написано в много лаконична форма, ако пропуснем обясненията:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Когато дискриминантът на квадратно уравнение е равен на нула, уравнението ще има само един корен. За да можем да приложим теоремата на Виета към такова уравнение, можем да приемем, че уравнението с дискриминант равен на нула има две еднакви корени. Наистина кога D=0коренът на квадратното уравнение е: - b 2 · a, тогава x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , и тъй като D = 0, т.е. b 2 - 4 · a · c = 0, откъдето b 2 = 4 · a · c, тогава b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Най-често в практиката теоремата на Виета се прилага към редуцираното квадратно уравнение на формата x 2 + p x + q = 0, където водещият коефициент a е равен на 1. В тази връзка теоремата на Vieta е формулирана специално за уравнения от този тип. Няма загуба на общост поради факта, че всяко квадратно уравнение може да бъде заменено еквивалентно уравнение. За да направите това, трябва да разделите двете му части на число, различно от нула.
Нека дадем друга формулировка на теоремата на Виета.
Теорема 2
Сбор от корените в даденото квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0ще бъде равен на коефициента на х, който се взема с обратен знак, произведението на корените ще бъде равно на свободния член, т.е. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Теорема, обратна на теоремата на Виета
Ако погледнете внимателно втората формулировка на теоремата на Виета, можете да видите това за корените х 1И х 2редуцирано квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0ще бъдат валидни следните отношения: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. От тези отношения x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q следва, че х 1И х 2са корените на квадратното уравнение x 2 + p x + q = 0. Така стигаме до твърдение, което е обратното на теоремата на Виета.
Сега предлагаме да формализираме това твърдение като теорема и да извършим доказателството му.
Теорема 3
Ако числата х 1И х 2са такива, че x 1 + x 2 = − pИ x 1 x 2 = q, Че х 1И х 2са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0.
Доказателство 2
Замяна на коефициенти стрИ ркъм изразяването им чрез х 1И х 2ви позволява да трансформирате уравнението x 2 + p x + q = 0в еквивалент .
Ако заместим числото в полученото уравнение х 1вместо х, тогава получаваме равенството x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Това е равенство за всички х 1И х 2се превръща в истинско числово равенство 0 = 0 , защото x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Означава, че х 1- корен на уравнението x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, какво от това х 1е и коренът на еквивалентното уравнение x 2 + p x + q = 0.
Заместване в уравнение x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0числа х 2вместо x ни позволява да получим равенство x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Това равенство може да се счита за вярно, тъй като x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Оказва се, че х 2е коренът на уравнението x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, а оттам и уравненията x 2 + p x + q = 0.
Обратното на теоремата на Виета е доказано.
Примери за използване на теоремата на Vieta
Нека сега започнем да анализираме най-много типични примерипо тази тема. Нека започнем с анализиране на проблеми, които изискват прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Може да се използва за проверка на числа, получени чрез изчисления, за да се види дали те са корените на дадено квадратно уравнение. За да направите това, трябва да изчислите тяхната сума и разлика и след това да проверите валидността на отношенията x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Изпълнението на двете отношения показва, че получените по време на изчисленията числа са корените на уравнението. Ако видим, че поне едно от условията не е изпълнено, тогава тези числа не могат да бъдат корените на квадратното уравнение, дадено в постановката на проблема.
Пример 1
Коя от двойките числа 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 или 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 или 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 е двойка корени на квадратно уравнение 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Решение
Нека намерим коефициентите на квадратното уравнение 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Това е a = 4, b = − 16, c = 9. Според теоремата на Виета сборът от корените на квадратно уравнение трябва да бъде равен на -б а, това е, 16 4 = 4 , а произведението на корените трябва да е равно в а, това е, 9 4 .
Нека проверим получените числа, като изчислим сбора и произведението на числа от три дадени двойки и ги сравним с получените стойности.
В първия случай x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Тази стойност е различна от 4, следователно проверката не трябва да продължава. Съгласно теоремата, обратна на теоремата на Виета, можем веднага да заключим, че първата двойка числа не са корените на това квадратно уравнение.
Във втория случай x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Виждаме, че първото условие е изпълнено. Но второто условие не е: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Стойността, която получихме, е различна от 9 4 . Това означава, че втората двойка числа не са корените на квадратното уравнение.
Нека да преминем към разглеждането на третата двойка. Тук x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. И двете условия са изпълнени, което означава, че х 1И х 2са корените на дадено квадратно уравнение.
Отговор: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2
Можем също да използваме обратното на теоремата на Виета, за да намерим корените на квадратно уравнение. Най-простият начин е да се изберат цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти. Могат да се обмислят и други варианти. Но това може значително да усложни изчисленията.
За да изберем корени, използваме факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение.
Пример 2
Като пример използваме квадратното уравнение x 2 − 5 x + 6 = 0. Числа х 1И х 2могат да бъдат корените на това уравнение, ако са изпълнени две равенства x 1 + x 2 = 5И x 1 x 2 = 6. Нека изберем тези числа. Това са номера 2 и 3, тъй като 2 + 3 = 5 И 2 3 = 6. Оказва се, че 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.
Обратното на теоремата на Виета може да се използва за намиране на втория корен, когато първият е известен или очевиден. За да направим това, можем да използваме отношенията x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Пример 3
Разгледайте квадратното уравнение 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Необходимо е да се намерят корените на това уравнение.
Решение
Първият корен на уравнението е 1, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Оказва се, че х 1 = 1.
Сега нека намерим втория корен. За това можете да използвате релацията x 1 x 2 = c a. Оказва се, че 1 x 2 = − 3 512, където x 2 = - 3,512.
Отговор:корени на квадратното уравнение, посочено в постановката на задачата 1 И - 3 512 .
Възможно е да се избират корени с помощта на теоремата, обратна на теоремата на Виета, само в прости случаи. В други случаи е по-добре да търсите с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.
Благодарение на обратното на теоремата на Виета, можем също да конструираме квадратни уравнения, използвайки съществуващите корени х 1И х 2. За да направим това, трябва да изчислим сумата от корените, която дава коефициента за хс обратен знак на даденото квадратно уравнение и произведението на корените, което дава свободния член.
Пример 4
Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числа − 11 И 23 .
Решение
Да приемем, че x 1 = − 11И х 2 = 23. Сумата и произведението на тези числа ще бъдат равни: x 1 + x 2 = 12И x 1 x 2 = − 253. Това означава, че вторият коефициент е 12, свободният термин − 253.
Нека съставим уравнение: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Отговор: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Можем да използваме теоремата на Виета за решаване на задачи, които включват знаците на корените на квадратни уравнения. Връзката между теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0по следния начин:
- ако квадратното уравнение има реални корени и ако прихващащият член ре положително число, тогава тези корени ще имат същия знак „+“ или „-“;
- ако квадратното уравнение има корени и ако пресеченият член ре отрицателно число, тогава единият корен ще бъде „+“, а вторият „-“.
И двете твърдения са следствие от формулата x 1 x 2 = qи правила за умножаване на положителни и отрицателни числа, както и числа с различни знаци.
Пример 5
Са корените на квадратно уравнение x 2 − 64 x − 21 = 0положителен?
Решение
Според теоремата на Виета, корените на това уравнение не могат едновременно да бъдат положителни, тъй като те трябва да удовлетворяват равенството x 1 x 2 = − 21. Това е невъзможно с положително х 1И х 2.
Отговор:Не
Пример 6
При какви стойности на параметрите rквадратно уравнение x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0ще има два реални корена с различни знаци.
Решение
Нека започнем с намирането на стойностите на които r, за което уравнението ще има два корена. Нека намерим дискриминанта и да видим на какво rтой ще приеме положителни стойности. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Стойност на израза r 2 + 8положителен за всеки реален r, следователно, дискриминантът ще бъде по-голям от нула за всяко реално число r. Това означава, че оригиналното квадратно уравнение ще има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.
Сега да видим кога ще се вкоренят корените различни знаци. Това е възможно, ако продуктът им е отрицателен. Според теоремата на Виета произведението на корените на редуцираното квадратно уравнение е равно на свободния член. Това означава, че правилното решение ще бъдат тези стойности r, за които свободният член r − 1 е отрицателен. Нека решим линейно неравенство r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Отговор:при r< 1 .
Виета формули
Има редица формули, които са приложими за извършване на операции с корените и коефициентите не само на квадратни, но и на кубични и други видове уравнения. Наричат се формули на Виета.
За алгебрично уравнение на степен нот формата a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 се счита, че уравнението има нистински корени x 1 , x 2 , … , x n, сред които могат да бъдат същите:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Определение 1
Формулите на Vieta ни помагат да получим:
- теорема за разлагането на полином на линейни фактори;
- определяне на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти.
Така полиномът a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и неговото разлагане на линейни множители от вида a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) са равни.
Ако отворим скобите в последното произведение и приравним съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta. Приемайки n = 2, можем да получим формулата на Vieta за квадратното уравнение: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Определение 2
Формулата на Vieta за кубичното уравнение:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Лявата страна на формулата на Vieta съдържа така наречените елементарни симетрични полиноми.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Същността на тази техника е да се намерят корени без помощта на дискриминант. За уравнение от формата x2 + bx + c = 0, където има два различни реални корена, две твърдения са верни.Първото твърдение гласи, че сумата от корените на това уравнение е равна на стойността на коефициента на променливата x (в в такъв случайтова е b), но с обратен знак. Визуално изглежда така: x1 + x2 = −b.
Второто твърдение вече не е свързано със сбора, а с произведението на същите тези два корена. Този продукт се приравнява към свободния коефициент, т.е. ° С. Или x1 * x2 = c. И двата примера са решени в системата.
Теоремата на Виета значително опростява решението, но има едно ограничение. Квадратно уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени с помощта на тази техника, трябва да бъде намалено. В горното уравнение коефициентът a, този пред x2, е равен на едно. Всяко уравнение може да се доведе до подобна форма чрез разделяне на израза на първия коефициент, но тази операция не винаги е рационална.
Доказателство на теоремата
Като начало трябва да си спомним колко традиционно е обичайно да се търсят корените на квадратно уравнение. Намерени са първият и вторият корен, а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. По принцип то се дели на 2a, но, както вече беше споменато, теоремата може да се приложи само когато a=1.От теоремата на Виета е известно, че сумата от корените е равна на втория коефициент със знак минус. Това означава, че x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Същото важи и за произведението на неизвестни корени: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. На свой ред D = b2-4c (отново с a=1). Оказва се, че резултатът е: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
От горното просто доказателствоМоже да се направи само едно заключение: теоремата на Виета е напълно потвърдена.
Втора формулировка и доказателство
Теоремата на Виета има друго тълкуване. По-точно не е интерпретация, а формулировка. Факт е, че ако са изпълнени същите условия като в първия случай: има два различни реални корена, тогава теоремата може да бъде написана с друга формула.Това равенство изглежда така: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Ако функцията P(x) се пресича в две точки x1 и x2, тогава тя може да бъде записана като P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случая, когато P има втора степен и точно така изглежда оригиналният израз, тогава R е просто число, а именно 1. Това твърдение е вярно поради причината, че в противен случай равенството няма да е валидно. Коефициентът x2 при отваряне на скобите не трябва да бъде по-голям от единица, а изразът трябва да остане квадратен.
Теоремата на Vieta често се използва за проверка на корени, които вече са намерени. Ако сте намерили корените, можете да използвате формулите \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), за да изчислите стойностите на \(p \) и \(q\ ). И ако се окажат същите като в първоначалното уравнение, тогава корените са намерени правилно.
Например, нека, използвайки , решим уравнението \(x^2+x-56=0\) и да получим корените: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Нека проверим дали сме допуснали грешка в процеса на решаване. В нашия случай \(p=1\) и \(q=-56\). По теоремата на Виета имаме:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
И двете твърдения се сближиха, което означава, че сме решили уравнението правилно.
Тази проверка може да се извърши устно. Това ще отнеме 5 секунди и ще ви спести от глупави грешки.
Обратната теорема на Виета
Ако \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), тогава \(x_1\) и \(x_2\) са корените на квадратното уравнение \ (x^ 2+px+q=0\).
Или по прост начин: ако имате уравнение от формата \(x^2+px+q=0\), тогава решаването на системата \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) ще намерите неговите корени.
Благодарение на тази теорема можете бързо да намерите корените на квадратно уравнение, особено ако тези корени са . Това умение е важно, защото спестява много време.
Пример . Решете уравнението \(x^2-5x+6=0\).
Решение
: Използвайки обратната теорема на Виета, откриваме, че корените отговарят на условията: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Вижте второто уравнение на системата \(x_1 \cdot x_2=6\). На кои две може да се разложи числото \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) или \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(- 1\). Първото уравнение на системата ще ви каже коя двойка да изберете: \(x_1+x_2=5\). \(2\) и \(3\) са подобни, тъй като \(2+3=5\).
Отговор
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Примери
. Използвайки обратното на теоремата на Виета, намерете корените на квадратното уравнение:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).
Решение
:
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какви множители се разлага \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\ ). Сборът на кои двойки числа дава \(15\)? Отговор: \(1\) и \(14\).
б) \(x^2+3x-4=0\) – на какви множители се разлага \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Сборът на кои двойки числа дава \(-3\)? Отговор: \(1\) и \(-4\).
в) \(x^2+9x+20=0\) – на какви множители се разлага \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\ ), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Сборът на кои двойки числа дава \(-9\)? Отговор: \(-4\) и \(-5\).
г) \(x^2-88x+780=0\) – на какви множители се разлага \(780\)? \(390\) и \(2\). Ще достигнат ли до \(88\)? Не. Какви други множители има \(780\)? \(78\) и \(10\). Ще достигнат ли до \(88\)? да Отговор: \(78\) и \(10\).
Не е необходимо последният член да се разширява във всички възможни фактори (както в последния пример). Можете веднага да проверите дали тяхната сума дава \(-p\).
важно!Теоремата на Vieta и обратната теорема работят само с , тоест такъв, за който коефициентът на \(x^2\) е равен на едно. Ако първоначално ни беше дадено нередуцирано уравнение, тогава можем да го редуцираме, като просто разделим на коефициента пред \(x^2\).
Например, нека е дадено уравнението \(2x^2-4x-6=0\) и искаме да използваме една от теоремите на Vieta. Но не можем, тъй като коефициентът на \(x^2\) е равен на \(2\). Нека се отървем от него, като разделим цялото уравнение на \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Готов. Сега можете да използвате и двете теореми.
Отговори на често задавани въпроси
Въпрос:
Използвайки теоремата на Vieta, можете да решите всяко ?
Отговор:
За съжаление не. Ако уравнението не съдържа цели числа или уравнението изобщо няма корени, тогава теоремата на Виета няма да помогне. В този случай трябва да използвате дискриминанта
. За щастие, 80% от уравненията в училищен курсматематиката има цели решения.
Три числа 12x, x 2-5 и 4 в този ред образуват възходяща аритметична прогресия https://youtu.be/U0VO_N9udpIИзберете правилното твърдение МАТЕМАТИКА ZFTSH MIPT Московски физико-технологичен институт ( Държавен университет) Задочно физическо и техническо училище. http://pin.it/9w-GqGpНамерете всички x, y и z, така че числата 5x + 3, y2 и 3z + 5 да образуват аритметична прогресия в този ред. Намерете x и посочете разликата на тази прогресия. Решете системата от уравнения Единен държавен изпит по математика. Видео уроци. Делимост на цели числа. Линейна функция. Проблеми с делимостта. Теорема на Виета, обратна теорема, формули на Виета. умен #ученици #уравнения #vietas_theorem #теоремаСлед това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто. Как да докажем обратното на теоремата на Виета? DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) =0 (x-M ) (x-N) =0 x-M=0 x-N=0 x=M x=N CTD. Така го доказахме в една специализирана паралелка с математически наклон. Отговори: помогнете да разберете теоремата, обратна на теоремата на Виета, благодарение на конкретни примери. Теоремата, обратна на теоремата на Виета, помага за решаването на решението: Ако коефициентът a е число, от което е лесно да се извлече корен квадратен от цяло число рационално число, тогава сумата от x1 и x2 ще бъде равна на числото. Докажете теоремата, обратна на теоремата на Vieta - вижте как да се оплачете от доказателството на теоремата на Vieta. Формулирайте и докажете теоремата на Vieta, както и обратната теорема, и приложете теоремите за решаване на уравнения и задачи. Докажете обратното на теоремата на Виета. Единен държавен изпит по математика за 100 точки: тайни, за които не се говори учители в училище, производни проблеми. Много кандидати смятат, че не е необходимо да се подготвят за първите четиринадесет задачи, мислейки, че са много лесни, но това не е така! Повечето участници в теста правят най-простите аритметични грешки, като по този начин засенчват отличното решение на задачите от част C. Такива ситуации се случват много често, следователно не трябва да пренебрегвате подготовката за първите проблеми, а се подгответе, както бихте направили по време на спортна тренировка: ако кандидатствате за 90-100 точки - практикувайте решаването на първия блок за 20-25 минути, ако за 70-80 точки - около 30 минути, не повече. Отличен начин за обучение е да решавате в компанията на преподавател, в курсове, където ще бъдат поставени определени условия: например решавате преди първата грешка, след което предавате работата; Друг вариант е за всяка грешка да дарявате пари в общата каса. Колкото и странно да изглежда, ние не препоръчваме официалния сайт, тъй като всички тестове там са толкова разбъркани, че е невъзможно да се използва. Форматирането на задачите от част C е важно. Ако решението не е подготвено внимателно, тогава напредъкът на решаването на задачата ще бъде неясен и следователно изпитващият определено ще намери грешка в това и ще намали резултата ви. Изглежда, че говорихме за много прости неща, но като следвате нашите съвети, ще си осигурите успех полагане на Единния държавен изпит! Тайните връзки, обсъдени в майсторския клас, можете да намерите тук - това са връзки към видео курсове за подготовка за Единния държавен изпит. Полученият резултат се нарича теорема на Виета. За редуцирания квадратен трином 2 x px q, теоремата на Виета изглежда така: ако има корени, тогава важи и обратното на теоремата на Виета: ако числата отговарят на условията, тогава тези числа са корените на уравнението. Доказателството на тази теорема е един от контролните въпроси на заданието. Понякога за краткост и двете теореми на Виета (директна и обратна) се наричат просто теорема на Виета.
Теорема на Виета
Нека и обозначаваме корените на редуцираното квадратно уравнение
(1)
.
Тогава сборът от корените е равен на коефициента на , взет с обратен знак. Произведението на корените е равно на свободния член:
;
.
Бележка за множество корени
Ако дискриминантът на уравнение (1) е нула, тогава това уравнение има един корен. Но за да се избегнат тромавите формулировки, общоприето е, че в този случай уравнение (1) има два кратни или равни корена:
.
Доказателство едно
Нека намерим корените на уравнение (1). За да направите това, приложете формулата за корените на квадратно уравнение:
;
;
.
Намерете сбора на корените:
.
За да намерите продукта, приложете формулата:
.
Тогава
.
Теоремата е доказана.
Доказателство две
Ако числата са корените на квадратното уравнение (1), тогава
.
Отваряне на скобите.
.
Така уравнение (1) ще приеме формата:
.
Сравнявайки с (1), намираме:
;
.
Теоремата е доказана.
Обратната теорема на Виета
Нека има произволни числа. Тогава и са корените на квадратното уравнение
,
Където
(2)
;
(3)
.
Доказателство на обратната теорема на Виета
Разгледайте квадратното уравнение
(1)
.
Трябва да докажем, че ако и , тогава и са корените на уравнение (1).
Нека заместим (2) и (3) в (1):
.
Групираме членовете от лявата страна на уравнението:
;
;
(4)
.
Нека заместим в (4):
;
.
Нека заместим в (4):
;
.
Уравнението е в сила. Тоест числото е коренът на уравнение (1).
Теоремата е доказана.
Теорема на Виета за пълно квадратно уравнение
Сега разгледайте пълното квадратно уравнение
(5)
,
където , и са някои числа. Освен това.
Нека разделим уравнение (5) на:
.
Тоест, получихме даденото уравнение
,
Където ; .
Тогава теоремата на Vieta за пълно квадратно уравнение има следващ изглед.
Нека и обозначаваме корените на пълното квадратно уравнение
.
Тогава сумата и произведението на корените се определят по формулите:
;
.
Теорема на Виета за кубично уравнение
По подобен начин можем да установим връзки между корените на кубично уравнение. Помислете за кубичното уравнение
(6)
,
където , , , са някои числа. Освен това.
Нека разделим това уравнение на:
(7)
,
Където , , .
Нека , , са корените на уравнение (7) (и уравнение (6)). Тогава
.
Сравнявайки с уравнение (7), намираме:
;
;
.
Теорема на Виета за уравнение от n-та степен
По същия начин можете да намерите връзки между корените , , ... , , for n-ти уравнениястепени
.
Теорема на Виета за уравнението n-та степенима следната форма:
;
;
;
.
За да получим тези формули, записваме уравнението, както следва:
.
След това приравняваме коефициентите за , , , ... и сравняваме свободния член.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
СМ. Николски, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник за 8. клас образователни институции, Москва, Образование, 2006 г.
