Събиране на корени с равни степени. Какво представляват квадратните корени и как се събират? Корен квадратен от дроб

Факт 1.
$\bullet$ Да вземем малко не отрицателно число$a$ (т.е. $a\geqslant 0$ ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото $a$ се нарича такова неотрицателно число $b$, когато на квадрат получаваме числото $a$: \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Тези ограничения са важно условиесъществуването на квадратен корен и те трябва да се запомнят!
Спомнете си, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест $100^2=10000\geqslant 0$ и $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ На какво е равно $\sqrt(25)$? Знаем, че $5^2=25$ и $(-5)^2=25$ . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава $-5$ не е подходящо, следователно $\sqrt(25)=5$ (тъй като $25=5^2$ ).
Намирането на стойността на $\sqrt a$ се нарича извличане на корен квадратен от числото $a$ , а числото $a$ се нарича радикален израз.
$\bullet$ Въз основа на дефиницията, израз $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$ и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите на естествените числа от $1$ до $20$ : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какви операции можете да правите с квадратни корени?
$\bullet$ Сума или разлика квадратни корениНЕ Е РАВНО на корен квадратен от сбора или разликата, т.е \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , тогава първоначално трябва да намерите стойностите на $\sqrt(25)$ и $\ sqrt(49)\ ) и след това ги сгънете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a$ или $\sqrt b$ не могат да бъдат намерени при добавяне на $\sqrt a+\sqrt b$, тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ можем да намерим $\sqrt(49)$ е $7$ , но $\sqrt 2$ не може да се трансформира в както и да е, Ето защо $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. За съжаление, този израз не може да бъде допълнително опростен$\bullet$ Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратния корен на големи числакато ги факторизираме.
Нека разгледаме един пример. Нека намерим $\sqrt(44100)$ . Тъй като $44100:100=441$ , тогава $44100=100\cdot 441$ . Според критерия за делимост числото $441$ се дели на $9$ (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно $441:9=49$, т.е. $441=9\ cdot 49$ .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза $5\sqrt2$ (кратка нотация за израза $5\cdot \sqrt2$). Тъй като $5=\sqrt(25)$ , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбирате, не можем по някакъв начин да трансформираме числото $\sqrt2$. Нека си представим, че $\sqrt2$ е някакво число $a$ . Съответно, изразът $\sqrt2+3\sqrt2$ не е нищо повече от $a+3a$ (едно число $a$ плюс още три от същите числа $a$). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа $a$ , тоест $4\sqrt2$ .

Факт 4.
$\bullet$ Те често казват „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака $\sqrt () \ $ на корена (радикал), когато намирате стойността на число . Например, можете да вземете корена на числото $16$, защото $16=4^2$ , следователно $\sqrt(16)=4$ . Но е невъзможно да се извлече коренът на числото $3$, тоест да се намери $\sqrt3$, защото няма число, което на квадрат да даде $3$ .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$и така нататък. са ирационални.
Също ирационални са числата $\pi$ (числото "pi", приблизително равно на $3.14$), $e$ (това число се нарича число на Ойлер, то е приблизително равно на $2.7 $) и т.н.
$\bullet$ Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални числа.Този набор се обозначава с буквата $\mathbb(R)$ .
Това означава, че всички номера, които са на този моментзнаем, че се наричат реални числа.

Факт 5.
$\bullet$ Модулът на реално число $a$ е неотрицателно число $|a|$, равно на разстоянието от точката $a$ до $0$ на истинска линия. Например $|3|$ и $|-3|$ са равни на 3, тъй като разстоянията от точките $3$ и $-3$ до $0$ са същото и равно на $3 $ .
$\bullet$ Ако $a$ е неотрицателно число, тогава $|a|=a$ .
Пример: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Ако $a$ е отрицателно число, тогава $|a|=-a$ .
Пример: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Казват, че за отрицателните числа модулът „изяжда“ минуса, докато положителните числа, както и числото $0$, остават непроменени от модула.
НОТова правило важи само за числа. Ако под вашия знак за модул има неизвестно $x$ (или друго неизвестно), например $|x|$ , за което не знаем дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава същият: $|x|$ . $\bullet$ Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Много често се допуска следната грешка: казват, че $\sqrt(a^2)$ и $(\sqrt a)^2$ са едно и също. Това е вярно само ако $a$ е положително число или нула. Но ако $a$ е отрицателно число, тогава това е невярно. Достатъчно е да разгледаме този пример. Нека вземем вместо $a$ числото $-1$ . Тогава $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , но изразът $(\sqrt (-1))^2$ изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е да се използва знакът за корен с отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че $\sqrt(a^2)$ не е равно на $(\sqrt a)^2$ !Пример: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, защото $-\sqrt2<0$ ;

$\фантом(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Тъй като $\sqrt(a^2)=|a|$ , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът $2n$ означава четно число)
Тоест, когато вземем корена на число, което е на някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (имайте предвид, че ако модулът не е доставен, се оказва, че коренът на числото е равен на $-25\ ) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да се случи: когато извличаме корен, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
$\bullet$ За квадратни корени е вярно: ако $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)$ и $6\sqrt2$ . Първо, нека трансформираме втория израз в $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Така, тъй като $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Между какви цели числа се намира $\sqrt(50)$?
Тъй като $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ и $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Нека сравним $\sqrt 2-1$ и $0,5$ . Да приемем, че $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадратиране на двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше неправилно и $\sqrt 2-1<0,5$ .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делението на двете страни на неравенство с положително число също не влияе на неговия знак, но умножението/делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да поставите на квадрат двете страни на уравнение/неравенство САМО АКО двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример можете да поставите на квадрат двете страни, в неравенството $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Трябва да се помни, че \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! $\bullet$ За да извлечете корена (ако може да се извлече) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това – между кои „ десетки” и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи това с пример.
Нека вземем $\sqrt(28224)$ . Знаем, че $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$ и т.н. Обърнете внимание, че $28224$ е между $10\,000$ и $40\,000$ . Следователно $\sqrt(28224)$ е между $100$ и $200$ .
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (това е например между $120$ и $130$). Също така от таблицата с квадрати знаем, че $11^2=121$ , $12^2=144$ и т.н., след това $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224$ е между $160^2$ и $170^2$ . Следователно числото $\sqrt(28224)$ е между $160$ и $170$ .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа, когато се повдигнат на квадрат, дават $4$ в края? Това са $2^2$ и $8^2$ . Следователно $\sqrt(28224)$ ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Нека намерим $162^2$ и $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Следователно $\sqrt(28224)=168$ . Ето!

За да решите адекватно Единния държавен изпит по математика, първо трябва да изучите теоретичен материал, който ви запознава с множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. И намирането на основни формули за Единния държавен изпит по математика може да бъде трудно дори в Интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които полагат Единния държавен изпит?

Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света около тях. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за Единния държавен изпит по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли компетентно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава и прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много „не много. »
И за тези, които „много. ")

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват формули за кореникакво са свойства на корените, и какво може да се направи с всичко това.

Формули на корените, свойства на корените и правила за работа с корени- това е по същество едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което определено ме радва! Или по-скоро можете да напишете много различни формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че много хора се объркват в трите коренни формули, да.

Да започнем с най-простия. Ето я:

Нека ви напомня (от предишния урок): a и b са неотрицателни числа! В противен случай формулата няма смисъл.

Това е свойство на корените, както виждате, е проста, кратка и безвредна. Но има толкова много страхотни неща, които можете да направите с тази коренна формула! Нека да разгледаме примеривсички тези полезни неща.

Първото полезно нещо. Тази формула ни позволява умножете корени.

Как да умножим корените?

Да, много просто. Направо към формулата. Например:

Изглежда, че са го умножили, какво от това? Много ли е радостта?! Съгласен съм, малко. Как ви харесва това пример?

Корените не се извличат точно от факторите. И резултатът е отличен! Така е по-добре, нали? За всеки случай нека ви кажа, че може да има колкото желаете множители. Формулата за умножение на корени все още работи. Например:

И така, с умножението всичко е ясно, защо е необходимо това? свойство на корените- също разбираемо.

Второто полезно нещо. Въвеждане на число под знака на корена.

Как да въведете число под корена?

Да приемем, че имаме този израз:

Възможно ли е да скриете двойката в корена? Лесно! Ако направите корен от две, формулата за умножение на корени ще работи. Как можете да направите корен от две? Да, също няма въпрос! Две е корен квадратен от четири!

Между другото, корен може да се направи от всяко неотрицателно число! Това ще бъде корен квадратен от това число. 3 е коренът от 9. 8 е коренът от 64. 11 е коренът от 121. Е, и така нататък.

Разбира се, няма нужда да се описва толкова подробно. Е, като за начало. Достатъчно е да разберете, че всяко неотрицателно число, умножено по корена, може да бъде добавено под корена. Но – не забравяйте! - под корена това число ще стане квадратсебе си. Това действие - въвеждане на число под корена - може да се нарече и умножаване на числото по корена. Най-общо можем да напишем:

Процедурата е проста, както виждате. Защо е необходимо?

Като всяка трансформация, тази процедура разширява нашите възможности. Възможности да превърнете едно жестоко и неудобно изражение в меко и пухкаво). Ето един прост за вас пример:

Както виждаш, свойство на корените,което ви позволява да въведете множител под знака на корена, е доста подходящо за опростяване.

В допълнение, добавянето на фактор към корена улеснява сравняването на стойностите на различни корени. Без никакви изчисления или калкулатор! Третото полезно нещо.

Как да сравним корените?

Това умение е много важно при сериозни задачи, при разкриване на модули и други готини неща.

Сравнете тези изрази. Коя е по-голяма? Без калкулатор! Всеки с калкулатор. ъ-ъ-ъ. Накратко, всеки може да го направи!)

Не можете да кажете това веднага. Ами ако въведете числа под знака на корена?

Да си припомним (ами ако не сте знаели?): ако числото под знака на корена е по-голямо, значи и самият корен е по-голям! Оттук веднага правилният отговор, без никакви сложни изчисления и изчисления:

Страхотно, нали? Но това не е всичко! Не забравяйте, че всички формули работят както отляво надясно, така и отдясно наляво. Досега използвахме формулата за умножение на корени отляво надясно. Нека изпълним това свойство на корените в обратен ред, отдясно наляво. Като този:

И каква е разликата? Това дава ли нещо? Със сигурност! Сега ще видите сами.

Да предположим, че трябва да извадим (без калкулатор!) корен квадратен от числото 6561. Някои хора на този етап ще изпаднат в неравна борба със задачата. Но ние сме упорити, не се отказваме! Четвъртото полезно нещо.

Как да извлечем корени от големи числа?

Нека си припомним формулата за извличане на корени от продукт. Този, който написах малко по-горе. Но къде ни е работата!? Имаме огромно число 6561 и това е. Да, работата не е тук. Но ако имаме нужда, ще го направим Хайде да го направим! Нека разложим това число на множители. Имаме право.

Първо, нека разберем на какво точно се дели това число? Какво, не знаете!? Забравихте ли признаците за делимост!? Напразно. Отидете на специален раздел 555, тема „Дроби“, те са там. Това число се дели на 3 и 9. Защото сумата от числата (6+5+6+1=18) се дели на тези числа. Това е един от признаците за делимост. Не е нужно да делим на три (сега ще разберете защо), но ще разделим на 9. Поне в някой ъгъл. Получаваме 729. Значи намерихме два фактора! Първият е девет (сами го избрахме), а вторият е 729 (така се оказа). Вече можете да пишете:

Схващате ли идеята? Ще направим същото с числото 729. То също се дели на 3 и 9. Ние не делим отново на 3, а на 9. Получаваме 81. И ние знаем това число! Записваме:

Всичко се оказа лесно и елегантно! Коренът трябваше да се извлича парче по парче, но добре. Това може да се направи с всякакви големи числа. Умножете ги и давайте напред!

Между другото, защо не трябваше да разделите на 3? Познахте ли? Да, защото корен от три не може да се извлече точно! Има смисъл да се включи в такива фактори, че коренът да може да се извлече добре от поне един. Това са 4, 9, 16 и т.н. Разделете огромното си число на тези числа едно по едно и ще имате късмет!

Но не е задължително. Може да нямате късмет. Да кажем, че числото 432, разложено на множители и използвайки коренната формула за продукта, ще даде следния резултат:

Ми добре. Както и да е, ние опростихме израза. В математиката е обичайно да се оставя най-малкото възможно число под корена. В процеса на решаване всичко зависи от примера (може би всичко може да бъде съкратено без опростяване), но в отговора трябва да дадете резултат, който не може да бъде допълнително опростен.

Между другото, знаете ли какво направихме с рута на 432?

Ние извади факторите изпод знака на корена ! Ето как се нарича тази операция. В противен случай ще получите задача - “ премахнете фактора под знака на корена„Но мъжете дори не знаят.) Ето още едно приложение за вас свойства на корените.Полезно нещо пето.

Как да премахнете множителя изпод корена?

Лесно. Факторизирайте радикалния израз и извлечете корените, които са извлечени. Нека видим:

Нищо свръхестествено. Важно е да изберете правилните множители. Тук сме разширили 72 като 36·2. И всичко се оказа добре. Или можеха да го разширят по различен начин: 72 = 6·12. И какво!? Коренът не може да бъде извлечен нито от 6, нито от 12. Какво да правя?!

Всичко е наред. Или потърсете други опции за разлагане, или продължете да разлагате всичко, докато спре! Като този:

Както можете да видите, всичко се получи. Това, между другото, не е най-бързият, но най-надеждният начин. Разделете числото на най-малките множители и след това съберете същите на купчини. Методът се използва успешно и при умножаване на неудобни корени. Например, трябва да изчислите:

Умножете всичко - получавате лудо число! И как тогава да извлечем корена от него?! Отново факторинг? Не, нямаме нужда от допълнителна работа. Незабавно го разделяме на фактори и събираме същите в групи:

Това е всичко. Разбира се, не е необходимо да се разширява докрай. Всичко се определя от вашите лични способности. Доведохме примера до точката, в която всичко ти е ясноТова означава, че вече можем да броим. Основното нещо е да не правите грешки. Не човек за математика, а математика за човека!)

Да приложим знанията на практика? Да започнем с нещо просто:

Правило за събиране на квадратни корени

Свойства на квадратния корен

Досега сме извършили пет аритметични операции с числа: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване, а при изчисленията активно се използват различни свойства на тези операции, например a + b = b + a, a n -b n = (ab) n и др.

Тази глава въвежда нова операция - извличане на корен квадратен от неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация:
Трябва да докажем, че за неотрицателни числа x, y, z е валидно равенството x = yz.

И така, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Тогава x 2 = y 2 z 2, т.е. x 2 = (yz) 2.

Ако квадратидве неотрицателни числа са равни, то самите числа са равни, което означава, че от равенството x 2 = (yz) 2 следва, че x = yz и това трябваше да се докаже.

Ето кратко резюме на доказателството на теоремата:

Бележка 1. Теоремата остава валидна за случая, когато радикалният израз е произведение на повече от два неотрицателни множителя.

Бележка 2. Теорема 1 може да се напише с помощта на конструкцията „if“. , тогава” (както е обичайно за теоремите в математиката). Нека дадем съответната формулировка: ако a и b са неотрицателни числа, то равенството е вярно .

Точно така ще формулираме следващата теорема.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на дроб е равен на частта на корените или коренът на частното е равен на частното на корените.)

Този път ще дадем само кратко резюме на доказателството, а вие се опитайте да направите подходящи коментари, подобни на тези, които формират същността на доказателството на теорема 1.

Пример 1. Изчислете .
Решение. Използване на първото свойство квадратни корени(теорема 1), получаваме

Бележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате под ръка микрокалкулатор: умножете числата 36, 64, 9 и след това вземете корен квадратен от получения продукт. Съгласете се обаче, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Бележка 4. При първия метод направихме изчисления „челно“. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Бележка 5. Някои „горещи глави“ понякога предлагат това „решение“ на пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в пример 3. Факт е, че няма свойство , тъй като няма имоти Има само свойства, свързани с умножение и деление на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, не приемайте пожелателни мисли.

Пример 4. Изчислете: а)
Решение. Всяка формула в алгебрата се използва не само „отдясно наляво“, но и „отляво надясно“. По този начин първото свойство на квадратни корени означава, че ако е необходимо, може да бъде представено във формата , и обратно, което може да бъде заменено с израза. Същото важи и за второто свойство на квадратни корени. Като вземем това предвид, нека решим предложения пример.

За да завършим този раздел, нека отбележим още едно доста просто и в същото време важно свойство:
ако a > 0 и n - естествено число, Че

Пример 5.Изчисли без да използвате таблица с квадрати на числа и микрокалкулатор.

Решение. Нека разложим радикалното число на прости множители:

Бележка 6. Този пример може да бъде решен по същия начин като подобен пример в § 15. Лесно е да се досетите, че отговорът ще бъде „80 с опашка“, тъй като 80 2 2 . Нека намерим "опашката", т.е. последната цифра на желаното число. Дотук знаем, че ако се вземе коренът, тогава отговорът може да бъде 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Трябва да проверим само две числа: 84 и 86, тъй като само те, когато е на квадрат, ще даде като резултат четирицифренчисло, завършващо на 6, т.е. същото число, което завършва числото 7056. Имаме 84 2 = 7056 - това е, което ни трябва. означава,

Мордкович А. Г., Алгебра. 8. клас: Учебник. за общо образование институции.- 3-то изд., преработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Книги, учебници по математика за изтегляне, бележки в помощ на учителя и учениците, обучение онлайн

Ако имате корекции или предложения за този урок, моля, пишете ни.

Ако искате да видите други корекции и предложения за уроци, вижте тук - Образователен форум.

Как да събираме квадратни корени

Корен квадратен от число хизвикан номер А, който в процеса на умножаване сам по себе си ( А*А) може да даде число х.
Тези. A * A = A 2 = X, И √X = A.

Над квадратни корени ( √x), подобно на други числа, можете да извършвате аритметични операции като изваждане и събиране. За да извадите и добавите корени, те трябва да бъдат свързани с помощта на знаци, съответстващи на тези действия (напр √x — √y ).
И след това доведете корените до най-простата им форма - ако има подобни между тях, е необходимо да се направи намаление. Състои се в вземане на коефициентите на подобни членове със знаците на съответните членове, след това поставянето им в скоби и извеждане на общия корен извън скобите на фактора. Коефициентът, който получихме, е опростен според обичайните правила.

Стъпка 1: Извличане на квадратни корени

Първо, за да добавите квадратни корени, първо трябва да извлечете тези корени. Това може да стане, ако числата под знака за корен са перфектни квадрати. Например, вземете дадения израз √4 + √9 . Първо число 4 е квадратът на числото 2 . Второ число 9 е квадратът на числото 3 . Така можем да получим следното равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Това е, примерът е решен. Но не винаги се случва толкова лесно.

Стъпка 2. Изваждане на множителя на числото изпод корена

Ако няма перфектни квадрати под знака за корен, можете да опитате да премахнете множителя на числото под знака за корен. Например, нека вземем израза √24 + √54 .

Разложете числата на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Между 24 имаме множител 4 , може да се извади от знака за квадратен корен. Между 54 имаме множител 9 .

Получаваме равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Като се има предвид този пример, ние получаваме премахването на множителя от под знака на корена, като по този начин опростяваме дадения израз.

Стъпка 3: Намаляване на знаменателя

Да разгледаме следната ситуация: сумата от два квадратни корена е знаменателят на дробта, например, A/(√a + √b).
Сега сме изправени пред задачата „да се отървем от ирационалността в знаменателя“.
Нека използваме следния метод: умножете числителя и знаменателя на дробта по израза √a - √b.

Сега получаваме съкратената формула за умножение в знаменателя:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

По същия начин, ако знаменателят има коренна разлика: √a - √b, числителят и знаменателят на дробта се умножават по израза √a + √b.

Да вземем фракцията като пример:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример за редукция на комплексен знаменател

Сега ще разгледаме доста сложен пример за премахване на ирационалността в знаменателя.

Например, нека вземем дроб: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Трябва да вземете неговия числител и знаменател и да умножите по израза √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Стъпка 4. Изчислете приблизителната стойност на калкулатора

Ако имате нужда само от приблизителна стойност, това може да се направи с калкулатор, като се изчисли стойността на корен квадратен. Стойността се изчислява отделно за всяко число и се записва с необходимата точност, която се определя от броя на десетичните знаци. След това се извършват всички необходими операции, както при обикновените числа.

Пример за изчисляване на приблизителна стойност

Необходимо е да се изчисли приблизителната стойност на този израз √7 + √5 .

В резултат получаваме:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да събирате квадратни корени като прости числа; това е напълно неприемливо. Тоест, ако съберем корен квадратен от пет и корен квадратен от три, не можем да получим корен квадратен от осем.

Полезен съвет: ако решите да разложите число, за да извлечете квадрата от знака за корен, трябва да направите обратна проверка, тоест да умножите всички фактори, получени от изчисленията, и крайния резултат от това математическото изчисление трябва да бъде числото, което първоначално ни е дадено.

Действие с корени: събиране и изваждане

Извличането на квадрантния корен на число не е единствената операция, която може да се извърши с този математически феномен. Точно като обикновените числа, квадратните корени събират и изваждат.

Правила за събиране и изваждане на корен квадратен

Операции като събиране и изваждане на квадратни корени са възможни само ако радикалният израз е един и същ.

Можете да добавяте или изваждате изрази 2 3 и 63, но не и 5 6 И 9 4. Ако е възможно да се опрости изразът и да се намали до корени със същия радикал, тогава опростете и след това добавете или извадете.

Действия с корени: основи

6 50 — 2 8 + 5 12

Опростете радикалния израз. За да направите това, е необходимо радикалният израз да се разложи на 2 фактора, единият от които е квадратно число (числото, от което се извлича целият квадратен корен, например 25 или 9).
След това трябва да вземете корена на квадратното числои запишете получената стойност преди знака за корен. Моля, обърнете внимание, че вторият фактор е въведен под знака на корена.
След процеса на опростяване е необходимо да се подчертаят корените със същите радикални изрази - само те могат да се добавят и изваждат.
За корени с еднакви радикални изрази е необходимо да добавите или извадите множителите, които се появяват преди знака за корен. Радикалният израз остава непроменен. Не можете да добавяте или изваждате радикални числа!

Ако имате пример с голям брой идентични радикални изрази, тогава подчертайте такива изрази с единични, двойни и тройни линии, за да улесните процеса на изчисление.

Нека се опитаме да решим този пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Първо трябва да разложите 50 на 2 множителя 25 и 2, след това да вземете корен от 25, което е равно на 5, и да извадите 5 изпод корена. След това трябва да умножите 5 по 6 (фактора в корена) и да получите 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Първо, трябва да разложите 8 на 2 фактора: 4 и 2. След това от 4 извлечете корена, който е равен на 2, и премахнете 2 изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 2 (множителя в корена) и да получите 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Първо трябва да разложите 12 на 2 фактора: 4 и 3. След това извлечете корена на 4, който е равен на 2, и го премахнете изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 5 (факторът в корена) и да получите 10 3.

Резултат от опростяването: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В резултат на това видяхме колко еднакви радикални изрази се съдържат в този пример. Сега нека се упражняваме с други примери.

Нека опростим (45). Фактор 45: (45) = (9 × 5) ;
Изваждаме 3 от корена (9 = 3): 45 = 3 5;
Добавете множителите при корените: 3 5 + 4 5 = 7 5.
Нека опростим 6 40. Разлагаме 40 на множители: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
Изваждаме 2 от корена (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
Умножаваме множителите, които стоят пред корена: 12 10 ;
Записваме израза в опростен вид: 12 10 - 3 10 + 5 ;
Тъй като първите два члена имат еднакви радикални числа, можем да ги извадим: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Както виждаме, не е възможно да се опростят радикални числа, затова търсим термини със същите радикални числа в примера, извършваме математически операции (събиране, изваждане и т.н.) и записваме резултата:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Съвет:

Преди добавяне или изваждане е необходимо да се опростят (ако е възможно) радикалните изрази.
Събирането и изваждането на корени с различни радикални изрази е строго забранено.
Не трябва да добавяте или изваждате цяло число или корен: 3 + (2 x) 1/2.
Когато извършвате операции с дроби, трябва да намерите число, което се дели на всеки знаменател, след това да приведете дробите към общ знаменател, след това да добавите числителите и да оставите знаменателите непроменени.

Свойства на аритметичния корен квадратен. Степента на аритметичния корен квадратен

Преобразуване на аритметични квадратни корени. Обръщане на аритметични квадратни корени

Да извлека корен квадратен от полином, трябва да изчислите полинома и да извлечете корена от полученото число.

внимание!Не можете да извлечете корена от всеки член (умален и изваден) поотделно.

Шчоб витягти корен квадратен от полином, трябва да изчислите богатия член и да вземете корена от премахнатото число.

уважение!Не е възможно да се извлече коренът от кожния придатък (променен или отстранен) okremo.

За да вземете корен квадратен от продукт (коефициент), можете да изчислите квадратния корен на всеки фактор (дивидент и делител) и да вземете получените стойности като продукт (частно).

За да извадите квадратния корен от допълнителната част (части), можете да изчислите корен квадратен от множителя на кожата (разделен и разделен) и да вземете извадената стойност като допълнителна част (част).

За да извлечете корен квадратен от дроб, трябва да извлечете корен квадратен от числителя и знаменателя поотделно и да оставите получените стойности като дроб или да ги изчислите като частно (ако това е възможно по условие).

За да извадите квадратния корен от дробта, трябва да извлечете корен квадратен от числото и знака на знака и да премахнете стойността от дробта или да я изчислите като част (както е възможно за мозъка).

Можете да извадите множител от под знака за корен и можете да поставите множител под знака за корен. При премахване на множител от него се извлича корен, а при добавяне се повдига на съответната степен.

Можете да въведете множител зад знака за корен и можете да въведете множител под знака за корен. Когато се добавя множител, коренът се извлича от него, а когато се добавя, коренът се извлича от него.

Примери. Приложете го

За да преобразувате сумата (разликата) на квадратни корени, трябва да намалите радикалните изрази до една и съща основа на степента, ако е възможно, извлечете корените от степените и ги напишете пред знаците на корените, а останалите могат да се добавят квадратни корени със същите радикални изрази, за които коефициентите пред знака са добавен корен и добавят същия квадратен корен.

За да се преобразува сумата (размера) на квадратните корени, е необходимо радикалните изрази да се приведат в една основна стъпка, което е възможно чрез изваждане на корените на стъпките и записването им пред знаците на корените, а решение на квадратния корен със същите стъпки Коренните изрази могат да бъдат сгънати, за които коефициентите се добавят преди знака за корен и се добавя същият квадратен корен.

Нека намалим всички радикални изрази до основа 2.

От четна степен коренът се премахва напълно; от нечетна степен коренът на основата на степен 1 се оставя под знака на корена.

Представяме подобни цели числа и добавяме коефициентите с еднакви корени. Нека напишем бинома като произведение на число и сборен бином.

Нека сведем всички корени до основа 2.

От сдвоена стъпка коренът се изтегля навън; от несдвоена стъпка коренът на основата в стъпка 1 се премахва под знака на корена.

Подобни числа и коефициенти се добавят към едни и същи корени. Нека запишем бинома като сбор от числото и биномната сума.

Редуцираме радикалните изрази до най-малката основа или произведението на степени с най-малката основа. От четни степени на радикални изрази извличаме корена; остатъците под формата на основата на степента с показател 1 или произведението на такива бази се оставят под знака на корена. Представяме подобни членове (добавете коефициентите на еднаквите корени).

Извършваме вкореняване на израза до най-малката основа или създаване на стъпки от най-малката основа. Коренът се извлича от двете стъпки на подкоренени сортове, излишъкът под формата на основата на стъпката с индикатор 1 или добавянето на такива основи се отстранява под знака на корена. Въвеждаме подобни членове (сумира се коефициентът на новите корени).

Нека заменим делението на дроби с умножение (със заместване на втората дроб с нейната реципрочна). Нека умножим поотделно числителите и знаменателите на дробите. Под всеки коренен знак подчертаваме степените. Нека намалим същите множители в числителя и знаменателя. Да пуснем корени на четни мощности.

Заменете делението на дроби с умножение (като замените друга дроб с дроб). Нека умножим заедно числата и значещите на дробите. Под кожния знак на корена се виждат стъпки. Бързо обаче има нови множители в книгата с номера и книгата за знаци. Vinesemo root от стъпките на момчетата.

За да сравним два квадратни корена, техните радикални изрази трябва да бъдат намалени до степени с една и съща основа, тогава колкото повече степени на радикалния израз са показани, толкова по-голяма е стойността на квадратния корен.

В този пример е невъзможно да се намалят радикалните изрази до една основа, тъй като в първата основата е 3, а във втората - 3 и 7.

Вторият начин за сравнение е да въведете коефициента на корена в радикалния израз и да сравните числените стойности на радикалните изрази. За квадратен корен, колкото по-голям е радикалният израз, толкова по-голяма е стойността на корена.

За да изравните два квадратни корена, техните коренни изрази трябва да бъдат доведени до ниво със същата основа, така че колкото по-голяма е степента на коренно изразяване, толкова по-голяма е стойността на квадратния корен.

В единия случай не е възможно коренът на израза да се сведе до една основа, тъй като в първия основата е 3, а в другия - 3 и 7.

Друг начин за изравняване е въвеждането на коренния коефициент в коренния израз и изравняването на числените стойности на коренните изрази. В квадратен корен, колкото по-голям е подкоренният връх, толкова по-голяма е стойността на корена.

Използвайки разпределителния закон за умножение и правилото за умножение на корени с еднакви показатели (в нашия случай квадратни корени), получихме сумата от два квадратни корена с произведението под знака на корена. Нека разложим 91 на прости множители и извадим корена от скоби с общи множители (13*5).

Получихме произведението на корен и бином, един от чиито мономи е цяло число (1).

Отделният закон за умножение на Vikorist и правилото за умножаване на корени със същите показатели (в нашия случай - квадратни корени), изваждат сумата от два квадратни корена с добавяне под знака на корена. Поставяме 91 на прости умножители и носим корена за ръцете от подкоренните умножители (13*5).

Взехме събирането на корен и бином, в който един от мономите има цяло число (1).

Дупе 9:

В радикалните изрази избираме чрез множители числата, от които може да се извлече целият квадратен корен. Нека извлечем квадратния корен от степените и присвоим числата на коефициентите на квадратния корен.

Членовете на този полином имат общ фактор √3, който може да бъде изваден от скоби. Нека представим подобни термини.

В коренните изрази числата се разглеждат като множители, от които може да се извади целият квадратен корен. Изваждаме квадратния корен от стъпките и поставяме числата като коефициенти на квадратния корен.

Членовете на този полином имат кратен множител √3, който може да се носи на ръце. Ние правим подобни допълнения.

Произведението на сбора и разликата на две еднакви основи (3 и √5), като се използва формулата за съкратено умножение, може да се запише като разликата на квадратите на основите.

Корен квадратен винаги е равен на радикалния израз, така че ще се отървем от радикала (знака за корен) в израза.

Добавянето на сбора и разликата на две нови основи (3 и √5) с помощта на формулата за кратко умножение може да се запише като разликата на квадратите на основите.

Корен квадратен винаги е по-стар от корена на вируса, така че ще запомним радикала (знака на корена) на вируса.

Отново на училище. Добавяне на корени

В нашето време с модерни електронни компютри изчисляването на корена на числото не изглежда трудна задача. Например, √2704=52, всеки калкулатор ще изчисли това вместо вас. За щастие, калкулаторът е наличен не само в Windows, но и в обикновен, дори най-прост телефон. Вярно е, че ако изведнъж (с малка степен на вероятност, чието изчисление, между другото, включва добавяне на корените) се окажете без налични средства, тогава, уви, ще трябва да разчитате само на мозъка си.

Обучението на ума никога не се проваля. Особено за тези, които не работят толкова често с числа, още по-малко с корени. Добавянето и изваждането на корени е добра тренировка за отегчения ум. Също така ще ви покажа как да добавяте корени стъпка по стъпка. Примери за изрази могат да бъдат както следва.

Уравнение за опростяване:

Това е ирационален израз. За да го опростите, трябва да приведете всички радикални изрази в обща форма. Правим го стъпка по стъпка:

Първото число вече не може да бъде опростено. Да преминем към втория член.

3√48 разлагаме 48 на множители: 48=2×24 или 48=3×16. Корен квадратен от 24 не е цяло число, т.е. има дробен остатък. Тъй като се нуждаем от точна стойност, приблизителните корени не са подходящи за нас. Корен квадратен от 16 е 4, извадете го от знака за корен. Получаваме: 3×4×√3=12×√3

Следващият ни израз е отрицателен, т.е. записано със знак минус -4×√(27.) Разлагаме 27 на множители. Получаваме 27=3×9. Ние не използваме дробни множители, защото е по-трудно да се изчисли корен квадратен от дроби. Изваждаме 9 изпод знака, т.е. изчислете квадратния корен. Получаваме следния израз: -4×3×√3 = -12×√3

Следващият член √128 изчислява частта, която може да бъде извадена изпод корена. 128=64×2, където √64=8. Ако ви е по-лесно, можете да си представите този израз така: √128=√(8^2×2)

Пренаписваме израза с опростени термини:

Сега добавяме числата, използвайки същия радикален израз. Не можете да добавяте или изваждате изрази с различни радикални изрази. Добавянето на корени изисква спазване на това правило.

Получаваме следния отговор:

√2=1×√2 - Надявам се фактът, че в алгебрата е обичайно да се пропускат такива елементи, няма да е новина за вас.

Изразите могат да бъдат представени не само чрез квадратен корен, но и чрез кубичен или n-ти корен.

Събирането и изваждането на корени с различни показатели, но с еквивалентен радикален израз, се извършва по следния начин:

Ако имаме израз във формата √a+∛b+∜b, тогава можем да опростим този израз, както следва:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Редуцирахме два подобни члена до показател с общ корен. Тук се използва свойството на корените, което гласи: ако числото на степента на радикалния израз и числото на степента на корена се умножат по едно и също число, тогава изчислението му ще остане непроменено.

Забележка: експонентите се добавят само при умножение.

Нека разгледаме пример, когато изразът съдържа дроби.

Ще решим на етапи:

5√8=5*2√2 - изваждаме извлечената част изпод корена.

Ако тялото на корена е представено от дроб, тогава често тази дроб няма да се промени, ако вземете корен квадратен от дивидента и делителя. В резултат на това получихме равенството, описано по-горе.

Ето и отговора.

Основното нещо, което трябва да запомните е, че корен с четен показател не може да бъде извлечен от отрицателни числа. Ако коренният израз с четна степен е отрицателен, тогава изразът е неразрешим.

Добавянето на корени е възможно само ако радикалните изрази съвпадат, тъй като те са подобни термини. Същото важи и за разликата.

Добавянето на корени с различни числени показатели се извършва чрез редуциране на двата члена до степен на общ корен. Този закон работи по същия начин като редукция до общ знаменател при добавяне или изваждане на дроби.

Ако радикален израз съдържа число, повдигнато на степен, тогава този израз може да бъде опростен, при условие че има общ знаменател между показателя на корена и степента.

Корен квадратен от произведение и дроб

Корен квадратен от число е число, чийто квадрат е равен на a. Например, числата -5 и 5 са корени квадратни от числото 25. Тоест корените на уравнението x^2=25 са корени квадратни от числото 25. Сега трябва да се научите как да работите с квадрата коренна операция: проучете основните му свойства.

Корен квадратен от произведението

√(a*b) =√a*√b

Коренът квадратен от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението от корените квадратни на тези числа. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важно е да се разбере, че това свойство се отнася и за случая, когато радикалният израз е произведение на три, четири и т.н. неотрицателни фактори.

Понякога има друга формулировка на това свойство. Ако a и b са неотрицателни числа, тогава е вярно следното равенство: √(a*b) =√a*√b. Няма абсолютно никаква разлика между тях, можете да използвате едната или другата формула (която ви е по-удобно да запомните).

Корен квадратен от дроб

Ако a>=0 и b>0, тогава е вярно следното равенство:

√(a/b) =√a/√b.

Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Това свойство има и различна формулировка, която според мен е по-удобна за запаметяване.
Корен квадратен от частното е равен на частното от корените.

Струва си да се отбележи, че тези формули работят както отляво надясно, така и отдясно наляво. Тоест, ако е необходимо, можем да представим произведението на корените като корен на произведение. Същото важи и за втория имот.

Както може би сте забелязали, тези свойства са много удобни и бих искал да имам същите свойства за събиране и изваждане:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Но за съжаление такива имоти са квадратни нямат корени, и затова е така не може да се направи в изчисленията.

13. Шофиране през кръстовища на правилата за движение 2018 с онлайн коментари 13.1. При завиване надясно или наляво водачът трябва да даде път на пешеходците и велосипедистите, пресичащи пътното платно, към което той завива. Тази инструкция се отнася за всички [...]
Родителска среща "Права, задължения и отговорности на родителите" Презентация към урока Изтеглете презентация (536.6 kB) Внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представляват всички […]
Регионален майчински капитал в Орловска област Регионалният майчински капитал (МК) в Орел и Орловска област е създаден през 2011 г. Сега тя представлява допълнителна мярка за социална подкрепа за големи семейства под формата на еднократна парична […]
Размерът на еднократната полза при регистрация в началото на 2018 г. Заявената от вас страница не беше намерена. Може да сте въвели грешен адрес или страницата да е изтрита. За навигация използвайте [...]
Адвокат по икономически дела Престъпленията в икономическата сфера са доста широко понятие. Такива действия включват измама, незаконно предприемачество, легализация на средства, получени незаконно, незаконно банково […]
Пресслужба Централната банка на Руската федерация (Банката на Русия) Пресслужба 107016, Москва, ул. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Относно назначаването на временна администрация, отделът за външни и обществени връзки на Банката на Русия съобщава, че в съответствие с параграф 2 […]
Общи характеристики и кратък преглед на водните пътища Класификация на водните басейни Класификацията на водните басейни за плаване на развлекателни (малки) плавателни съдове, контролирани от GIMS на Русия, се извършва в зависимост от преобладаващите […]
Кучерена = адвокат на Виктор Цой И това е ексклузивно: днешното писмо от Анатолий Кучерена. Продължаване на темата. Все още никой не е публикувал това писмо. И е необходимо, мисля. Част 1 за сега. Скоро ще публикувам и втората част, подписана от известния адв. Защо е важно? […]

Теория

Събирането и изваждането на корени се изучава във въвеждащ курс по математика. Предполагаме, че читателят познава понятието степен.

Определение 1

Коренът от $n$ на реално число $a$ е реално число $b$, чиято $n$-та степен е равна на $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Тук $ a$ - радикален израз, $n$ - коренна степен, $b$ - коренна стойност. Знакът на корена се нарича радикал.

Обратното на извличането на корена е степенуване.

Основни операции с аритметични корени:

Фигура 1. Основни операции с аритметични корени. Author24 - онлайн обмен на студентски работи

Както виждаме, в изброените действия няма формула за събиране и изваждане. Тези действия с корени се извършват под формата на трансформации. За тези трансформации трябва да използвате формули за съкратено умножение:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Струва си да се отбележи, че действията събиране и изваждане се срещат в примери за ирационални изрази: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

Примери

Нека да разгледаме примери за случаи, в които е приложимо „разрушаването“ на ирационалността в знаменателя. Когато в резултат на трансформации се появи ирационален израз както в числителя, така и в знаменателя, тогава е необходимо да се „унищожи“ ирационалността в знаменателя.

Пример 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6 )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

В този пример умножихме числителя и знаменателя на дробта по конюгата на знаменателя. Така знаменателят се трансформира с помощта на формулата за разликата на квадратите.

Поздрави, котки! Последния път обсъдихме подробно какво представляват корените (ако не си спомняте, препоръчвам да го прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция на корените, която трябва да знаете. Другото са глупости и губене на време.

Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои задачи, свързани с умножението (ако тези задачи не бъдат решени, те могат да станат фатални на изпита) и ще се упражняваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно и да започваме. :)

И ти още не си го пушил, нали?

Урокът се оказа доста дълъг, затова го разделих на две части:

Първо ще разгледаме правилата за умножение. Капачката изглежда намеква: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножение“ - и ние искаме да направим нещо с него.
Тогава нека разгледаме обратната ситуация: има един голям корен, но ние бяхме нетърпеливи да го представим като продукт на два по-прости корена. Защо е необходимо това е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.

За тези, които нямат търпение веднага да преминат към втората част, заповядайте. Да започнем с останалите по ред.

Основно правило за умножение

Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Същите, които са означени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. Всичко им е очевидно:

Правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто умножете техните радикални изрази и запишете резултата под общия радикал:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват коренните фактори, значи продуктът също съществува.

Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа наведнъж:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]

Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример ние самите бихме извлекли корените на 25 и 4 без нови правила, тогава нещата стават трудни: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се разглеждат сами по себе си, а тяхното произведение се оказва перфектен квадрат, така че неговият корен е равен на рационално число.

Бих искал специално да подчертая последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в адекватно число.

Разбира се, нещата не винаги ще бъдат толкова красиви. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да правите с него и как да го трансформирате след умножение. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции. И много често авторите на проблеми разчитат на факта, че ще откриете някои анулиращи условия или фактори, след което проблемът ще бъде многократно опростен.

Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три, четири или дори десет наведнъж! Това няма да промени правилото. Погледни:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]

И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична дроб - в процеса на изчисления го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален символ). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.

Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме по-общ случай - когато коренният показател съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.

Случаят на произволен индикатор

И така, подредихме квадратните корени. Какво да правим с кубиците? Или дори с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:

За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази и след това да запишете резултата под един радикал.

Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството изчисления може да бъде по-голямо. Нека да разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продуктите:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]

И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, премахваме десетичната дроб и в крайна сметка знаменателят е произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз лично не мога да разбера на какво се равнява отгоре от главата ми.

Затова просто изолирахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиниция) на $n$-тия корен:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]

Такива „машинации“ могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че помнете:

Не бързайте да умножавате числа с радикални изрази. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?

Въпреки очевидността на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти не виждат от упор точните степени. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)

Всичко това обаче са бебешки приказки в сравнение с това, което ще изучаваме сега.

Умножение на корени с различни степени

Добре, сега можем да умножим корени със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Да речем, как да умножа обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?

Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:

Правило за умножение на корени. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, е достатъчно да извършите следната трансформация:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна бележка, към която ще се върнем малко по-късно.

Засега нека да разгледаме няколко примера:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]

Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)

Умножаването на корените е лесно

Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?

Разбира се, можете да бъдете като училищни учители и да цитирате учебника с умен поглед:

Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).

Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах нещо като следното: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз По онова време не разбирам нищо. :)

Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.

Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

С други думи, можем лесно да повдигнем радикалния израз на всяка естествена степен $k$ - в този случай показателят на степента на корена ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да редуцираме всякакви корени до общ показател и след това да ги умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Но има един проблем, който рязко ограничава използването на всички тези формули. Помислете за това число:

Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). Сега нека извършим обратната трансформация: „намалете“ двете в степента и степента. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]

Но тогава се оказва някаква глупост:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Това не може да се случи, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:

Да се удари в стената и да заяви, че математиката е глупава наука, в която „има някакви правила, но тези са неточни“;
Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.

В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, отнема много време и като цяло уф. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)

Но не се тревожете! На практика това ограничение не влияе по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени от нечетна степен и от тях могат да се вземат минуси.

Затова нека формулираме още едно правило, което общо взето важи за всички действия с корени:

Преди да умножите корени, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.

Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да премахнете минуса под знака на корена - тогава всичко ще бъде нормално:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Усещате ли разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минуса, тогава можете да квадратирате/махате, докато не посинеете - числото ще остане отрицателно. :)

По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:

Премахнете всички негативи от радикалите. Минусите съществуват само в корени с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако показателите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3.Насладете се на резултата и добрите оценки.:)

Добре? Да тренираме ли?

Пример 1: Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]

Това е най-простият вариант: корените са еднакви и нечетни, единственият проблем е, че вторият фактор е отрицателен. Изваждаме този минус от снимката, след което всичко се изчислява лесно.

Пример 2: Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]

Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.

Пример 3: Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Искам да обърна внимание на тази задача. Тук има две точки:

Коренът не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
В крайна сметка успяхме да „намалим” радикалния показател и степента на радикална изява. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.

Например можете да направите това:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\край (подравняване)\]

Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията ще бъде значително намалено.

Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решихме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-просто:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]

Е, подредихме умножението на корените. Сега нека разгледаме обратната операция: какво да правим, когато има продукт под корена?

Темата за корен квадратен е задължителна в училищната програма по математика. Не можете без тях, когато решавате квадратни уравнения. И по-късно става необходимо не само да се извлекат корените, но и да се извършват други действия с тях. Сред тях са доста сложни: степенуване, умножение и деление. Но има и доста прости: изваждане и събиране на корени. Между другото, те изглеждат така само на пръв поглед. Изпълнението им без грешки не винаги е лесно за някой, който тепърва започва да се запознава с тях.

Какво е математически корен?

Това действие възникна в опозиция на степенуването. Математиката предлага две противоположни операции. Има изваждане за събиране. Умножението се противопоставя на делението. Обратното действие на степен е извличането на съответния корен.

Ако степента е две, тогава коренът ще бъде квадратен. Той е най-често срещаният в училищната математика. Той дори няма индикация, че е квадрат, тоест до него не е зададено числото 2. Математическата нотация на този оператор (радикал) е представена на фигурата.

Определението му плавно произтича от описаното действие. За да извлечете корен квадратен от число, трябва да разберете какво ще даде радикалният израз, когато се умножи по себе си. Това число ще бъде корен квадратен. Ако запишем това математически, получаваме следното: x*x=x 2 =y, което означава √y=x.

Какви действия можете да извършвате с тях?

В основата си коренът е дробна степен с единица в числителя. И знаменателят може да бъде всичко. Например квадратният корен има две. Следователно всички действия, които могат да бъдат извършени с правомощия, ще бъдат валидни и за roots.

И изискванията за тези действия са едни и същи. Ако умножението, делението и степенуването не срещат трудности за учениците, тогава добавянето на корени, подобно на изваждането им, понякога води до объркване. И всичко това, защото искам да извърша тези операции без оглед на знака на корена. И тук започват грешките.

Какви са правилата за събиране и изваждане?

Първо трябва да запомните две категорични „не трябва“:

невъзможно е да се извършва събиране и изваждане на корени, както при простите числа, т.е. невъзможно е да се напишат радикални изрази на сумата под един знак и да се извършват математически операции с тях;
Не можете да събирате и изваждате корени с различни показатели, например квадратни и кубични.

Ярък пример за първата забрана: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16.

Във втория случай е по-добре да се ограничим до опростяване на самите корени. И оставете сумата им в отговора.

Сега към правилата

Намерете и групирайте подобни корени. Тоест тези, които не само имат еднакви числа под радикала, но и самите те имат същия индикатор.
Извършете добавянето на корените, комбинирани в една група в първото действие. Лесно е за изпълнение, защото трябва само да добавите стойностите, които се появяват пред радикалите.
Извадете корените на тези членове, в които радикалният израз образува цял квадрат. С други думи, не оставяйте нищо под знака на радикал.
Опростете радикалните изрази. За да направите това, трябва да ги разложите на прости множители и да видите дали дават квадрат на някое число. Ясно е, че това е вярно, когато говорим за корен квадратен. Когато показателят е три или четири, тогава простите множители трябва да дават куба или четвъртата степен на числото.
Премахнете изпод знака на радикала фактора, който дава цялата сила.
Вижте дали подобни термини се появяват отново. Ако да, изпълнете втората стъпка отново.

В ситуация, в която задачата не изисква точната стойност на корена, тя може да се изчисли с помощта на калкулатор. Закръглете безкрайната десетична дроб, която се появява в неговия прозорец. Най-често това се прави до стотни. И след това извършете всички операции за десетични дроби.

Това е цялата информация за това как да добавите корени. Примерите по-долу ще илюстрират горното.

Първа задача

Изчислете стойността на изразите:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

б) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ако следвате горния алгоритъм, можете да видите, че няма нищо за първите две действия в този пример. Но можете да опростите някои радикални изрази.

Например, разложете 32 на два фактора 2 и 16; 18 ще бъде равно на произведението от 9 и 2; 128 е 2 върху 64. Като се има предвид това, изразът ще бъде записан така:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Сега трябва да премахнете под радикалния знак онези фактори, които дават квадрата на числото. Това е 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Изразът ще приеме формата:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Трябва малко да опростим записа. За да направите това, умножете коефициентите преди коренните знаци:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

В този израз всички термини се оказаха подобни. Следователно, просто трябва да ги сгънете. Отговорът ще бъде: 5√2.

б) Подобно на предишния пример, добавянето на корени започва с тяхното опростяване. Коренните изрази 75, 147, 48 и 300 ще бъдат представени в следните двойки: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. Всеки от тях съдържа число, което може да бъде извадено от знака на корена :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

След опростяване отговорът е: 5√5 - 5√3. Може да се остави в тази форма, но е по-добре да извадите общия множител 5 извън скоби: 5 (√5 - √3).

в) И отново разлагане на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. След премахване на факторите под знака за корен, имаме:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. След привеждане на подобни членове получаваме резултата: 7√11.

Пример с дробни изрази

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Ще трябва да разложите на множители следните числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Подобно на вече обсъдените, трябва да премахнете факторите под знака за корен и опростете израза:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Този израз изисква премахване на ирационалността в знаменателя. За да направите това, трябва да умножите втория член по √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

За да завършите действията, трябва да изберете цялата част от факторите пред корените. За първия е 1, за втория е 2.