Права. Уравнение на права

Крива от втори ред— геометрично разположение на точките в равнината, правоъгълни координати

които удовлетворяват уравнение от вида:

в която поне един от коефициентите а 11, а 12, а 22не е равно на нула.

Инварианти на криви от втори ред.

Формата на кривата зависи от 4 инварианти, дадени по-долу:

Инварианти по отношение на въртене и изместване на координатната система:

Инвариантна спрямо въртенето на координатната система ( полуинвариантен):

За да изучавате криви от втори ред, разгледайте продукта КАТО.

Общ уравнение на кривата от втори редизглежда така:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Ако A*C > 0 елиптичен тип. Всеки елиптичен

уравнението е уравнение или на обикновена елипса, или на изродена елипса (точка), или на въображаема

елипса (в този случай уравнението не определя единичен геометричен образ на равнината);

Ако A*C< 0 , тогава уравнението приема формата на уравнение хиперболичен тип. Всяко хиперболично

уравнението изразява или проста хипербола, или изродена хипербола (две пресичащи се прави);

Ако A*C = 0, тогава линията от втори ред няма да бъде централна. Уравнения от този тип се наричат

уравнения параболичен типи изразете на равнината или проста парабола, или 2 успоредни

(или съвпадащи) прави линии, или не изразяват единичен геометричен образ на равнината;

Ако A*C ≠ 0, кривата от втори ред ще бъде

Както е показано по-горе, уравненията на една и съща права могат да бъдат записани в поне три форми: общи уравнения на правата, параметрични уравнения на правата и канонични уравнения на правата. Нека разгледаме въпроса за прехода от уравнения на права линия от един тип към уравнения на права линия в друга форма.

Първо, отбелязваме, че ако уравненията на линия са дадени в параметрична форма, тогава точката, през която минава линията, и векторът на посоката на линията са дадени по този начин. Следователно не е трудно да се запишат уравненията на права линия в канонична форма.

Пример.

Уравненията на правата са дадени в параметрична форма

Решение.

Права линия минава през точка
и има вектор на посоката
. Следователно каноничните уравнения на правата имат формата

Проблемът за прехода от каноничните уравнения на правата към параметричните уравнения на правата се решава по подобен начин.

Преходът от каноничните уравнения на правата към общите уравнения на правата се обсъжда по-долу с помощта на пример.

Пример.

Дадени са каноничните уравнения на правата

Запишете общите уравнения на права линия.

Решение.

Нека запишем каноничните уравнения на правата под формата на система от две уравнения

Като се отървем от знаменателите, като умножим двете страни на първото уравнение по 6 и второто уравнение по 4, получаваме системата

Получената система от уравнения е общите уравнения на правата линия.

Нека разгледаме прехода от общи уравнения на правата към параметрични и канонични уравнения на правата. За да напишете канонични или параметрични уравнения на права, трябва да знаете точката, през която минава правата, и вектора на посоката на правата. Ако определим координатите на две точки
И
, лежащ на права линия, тогава векторът m може да се приеме за вектор на посоката
. Координатите на две точки, лежащи на права, могат да бъдат получени като решения на система от уравнения, които определят общите уравнения на правата. Можете да вземете всяка от точките като точка, през която минава линията
И
. Нека илюстрираме горното с пример.

Пример.

Дадени са общите уравнения на правата

Решение.

Нека намерим координатите на две точки, лежащи на права линия, като решения на тази система от уравнения. Вярвайки
, получаваме система от уравнения

Решавайки тази система, намираме
. Следователно точката
лежи на права линия. Вярвайки
, получаваме система от уравнения

решаване, което намираме
. Следователно правата минава през точката
. Тогава можем да приемем вектора като вектор на посоката

Така че правата минава през точката
и има вектор на посоката
. Следователно параметричните уравнения на линията имат формата

Тогава каноничните уравнения на правата ще бъдат записани във формата

Друг начин за намиране на вектора на посоката на права линия с помощта на общите уравнения на права линия се основава на факта, че в този случай са дадени уравненията на равнините, а оттам и нормалите към тези равнини.

Нека общите уравнения на правата имат формата

И - нормали съответно към първа и втора равнина. След това векторът
може да се приеме за насочващ вектор. Всъщност правата линия, която е линията на пресичане на тези равнини, е едновременно перпендикулярна на векторите И . Следователно той е колинеарен на вектора
и това означава, че този вектор може да се приеме за насочващ вектор на правата линия. Нека разгледаме един пример.

Пример.

Дадени са общите уравнения на правата

Запишете параметричните и каноничните уравнения на правата.

Решение.

Правата линия е линията на пресичане на равнини с нормали
И
. Вземаме директния вектор като вектор на посоката

Нека намерим точка, лежаща на права. Нека намерим точка, лежаща на права. Позволявам
. След това получаваме системата

Решавайки системата, намираме
.Оттук точка
лежи на права линия. Тогава параметричните уравнения на правата могат да бъдат записани във формата

Каноничните уравнения на правата имат формата

И накрая, човек може да премине към канонични уравнения, като елиминира една от променливите в едно от уравненията и след това друга променлива. Нека разгледаме този метод с пример.

Пример.

Дадени са общите уравнения на правата

Запишете каноничните уравнения на правата.

Решение.

Нека изключим променливата y от второто уравнение, като добавим към него първото, умножено по четири. Получаваме

Сега нека изключим променливата от второто уравнение , добавяйки към него първото уравнение, умножено по две. Получаваме

От тук получаваме каноничното уравнение на правата

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за построяване на общо уравнение на права, ако са известни две точки от тази права или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в общ вид в канонични и параметрични форми.

Нека е дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси. Помислете за първа степен или линейно уравнение:

Axe+By+C=0,

(1)

Където А, Б, В− някои константи и поне един от елементите АИ бразличен от нула.

Ще покажем, че линейно уравнение на равнина определя права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система върху равнина всяка права линия може да бъде определена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система в равнина определя права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че правата линия Лсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава ще се определя от линейно уравнение за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека на равнината е дадена права линия Л. Нека изберем координатна система, така че оста волсъвпадна с права линия Л, и оста Ойбеше перпендикулярно на него. След това уравнението на правата Лще приеме следната форма:

y=0.

(2)

Всички точки на права Лще отговарят на линейно уравнение (2) и всички точки извън тази линия няма да удовлетворяват уравнение (2). Първата част на теоремата е доказана.

Нека е дадена декартова правоъгълна координатна система и е дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите АИ бразличен от нула. Нека намерим геометричното място на точките, чиито координати отговарят на уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите АИ бе различно от нула, тогава уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,г 0). (Например, когато А≠0, точка М 0 (−C/A, 0) принадлежи на даденото геометрично място от точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме идентичността

брадва 0 +от 0 +° С=0.

(3)

Нека извадим идентичността (3) от (1):

А(х−х 0)+б(г−г 0)=0.

(4)

Очевидно уравнение (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) определя определена линия.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенството (4) следва, че векторът с компоненти ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогонален на вектора нс координати ( А, Б}.

Нека разгледаме някаква права линия Л, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и перпендикулярна на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х,y) принадлежи на линията Л. След това векторът с координати x−x 0 , y−y 0 перпендикулярно ни уравнение (4) е изпълнено (скаларен продукт на вектори ни равно на нула). Обратно, ако точка М(х,y) не лежи на права Л, след това вектора с координати x−x 0 , y−y 0 не е ортогонален на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като линии (5) и (6) определят една и съща линия, тогава нормалните вектори н 1 ={А 1 ,б 1) и н 2 ={А 2 ,б 2) колинеарен. Тъй като вектори н 1 ≠0, н 2 ≠0, значи има такова число λ , Какво н 2 =н 1 λ . От тук имаме: А 2 =А 1 λ , б 2 =б 1 λ . Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ . Очевидно съвпадащите прави имат обща точка М 0 (х 0 , г 0). Умножавайки уравнение (5) по λ и като извадим уравнение (6) от него, получаваме:

Тъй като първите две равенства от изразите (7) са изпълнени, то ° С 1 λ −° С 2 =0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ . Забележката е доказана.

Обърнете внимание, че уравнение (4) определя уравнението на правата линия, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0) и има нормален вектор н={А, Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата и точката, принадлежаща на тази права, са известни, тогава общото уравнение на правата може да бъде конструирано с помощта на уравнение (4).

Пример 1. Права линия минава през точка М=(4,−1) и има нормален вектор н=(3, 5). Съставете общото уравнение на права.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, г 0 =−1, А=3, б=5. За да изградим общото уравнение на права линия, заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Векторът е успореден на правата Ли следователно перпендикулярна на нормалния вектор на правата Л. Нека построим нормален вектор Л, като се има предвид, че скаларното произведение на векторите ни равно на нула. Можем да напишем, например, н={1,−3}.

За да съставим общото уравнение на права линия, използваме формула (4). Нека заместим координатите на точката в (4) М 1 (можем също да вземем координатите на точката М 2) и нормален вектор н:

Заместване на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата, дадена от уравнение (9), минава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на правата. вектор р={−б, А) е векторът на посоката на линия (12).

Вижте обратно преобразуване.

Пример 3. Права линия в равнина се представя със следното общо уравнение:

Нека преместим втория член надясно и разделим двете страни на уравнението на 2·5.

Нека установим правоъгълна координатна система на равнината и разгледаме общото уравнение от втора степен

в който
.

Множеството от всички точки на равнината, чиито координати отговарят на уравнение (8.4.1), се нарича крив (линия) втора поръчка.

За всяка крива от втори ред има правоъгълна координатна система, наречена канонична, в която уравнението на тази крива има една от следните форми:

1)
(елипса);

2)
(въображаема елипса);

3)
(двойка въображаеми пресичащи се линии);

4)
(хипербола);

5)
(чифт пресичащи се линии);

6)
(парабола);

7)
(чифт успоредни линии);

8)
(двойка въображаеми успоредни прави);

9)
(двойка съвпадащи линии).

Уравнения 1)–9) се наричат канонични уравнения на криви от втори ред.

Решаването на проблема за редуциране на уравнението на крива от втори ред до канонична форма включва намиране на каноничното уравнение на кривата и каноничната координатна система. Намаляването до канонична форма позволява да се изчислят параметрите на кривата и да се определи нейното местоположение спрямо оригиналната координатна система. Преход от оригиналната правоъгълна координатна система
към канонични
извършва се чрез завъртане на осите на първоначалната координатна система около точката ОТНОСНОдо определен ъгъл  и последваща паралелна транслация на координатната система.

Инварианти на крива от втори ред(8.4.1) са такива функции на коефициентите на неговото уравнение, чиито стойности не се променят при преминаване от една правоъгълна координатна система към друга от същата система.

За крива от втори ред (8.4.1), сумата от коефициентите за квадратните координати

детерминанта, съставена от коефициенти на водещи членове

и детерминанта от трети ред

са инварианти.

Стойността на инвариантите s, ,  може да се използва за определяне на типа и съставяне на каноничното уравнение на кривата от втори ред (Таблица 8.1).

Таблица 8.1

Класификация на криви от втори ред въз основа на инварианти

Нека разгледаме по-отблизо елипсата, хиперболата и параболата.

Елипса(фиг. 8.1) е геометричното място на точките в равнината, за които сумата от разстоянията до две фиксирани точки
този самолет, наречен фокуси на елипса, е постоянна стойност (по-голяма от разстоянието между фокусите). В този случай не е изключено съвпадението на фокусите на елипсата. Ако фокусите съвпадат, тогава елипсата е кръг.

Полусумата на разстоянията от точка на елипса до нейните фокуси се означава с А, половината от разстоянията между фокусите – с. Ако правоъгълна координатна система на равнина е избрана така, че фокусите на елипсата да са разположени на оста ОТНОСНОхсиметрично спрямо началото, тогава в тази координатна система елипсата е дадена от уравнението

, (8.4.2)

Наречен канонично уравнение на елипса, Където
.

Ориз. 8.1

При посочения избор на правоъгълна координатна система елипсата е симетрична спрямо координатните оси и началото. Осите на симетрия на елипса се наричат брадви, а центърът на симетрия е центъра на елипсата. В същото време осите на елипсата често се наричат числа 2 аи 2 b, и числата аИ b – голямИ второстепенна оссъответно.

Точките на пресичане на елипса с нейните оси се наричат върховете на елипсата. Върховете на елипсата имат координати ( А, 0), (–А, 0), (0, b), (0, –b).

Ексцентричност на елипсаизвикан номер

. (8.4.3)

От 0  ° С < а, ексцентрицитет на елипса 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

Това показва, че ексцентричността характеризира формата на елипса: колкото по-близо е  до нула, толкова повече елипсата прилича на кръг; с увеличаване на  елипсата става по-удължена.

Позволявам
– произволна точка на елипсата,
И
– разстояние от точката Мпреди трикове Е 1 и Е 2 съответно. Числа r 1 и r 2 се наричат фокусни радиуси на точка М елипсаи се изчисляват по формулите

Директоркиразличен от кръг елипсас каноничното уравнение (8.4.2) се наричат две линии

Директрисите на елипсата са разположени извън елипсата (фиг. 8.1).

Съотношение на фокусния радиус точкиМелипса до разстояние  на тази елипса (фокусът и директрисата се считат за съответстващи, ако са разположени от една и съща страна на центъра на елипсата).

Хипербола(фиг. 8.2) е геометричното място на точките в равнината, за които модулът на разликата в разстоянията до две фиксирани точки И този самолет, наречен трикове с хипербола, е постоянна стойност (не равна на нула и по-малка от разстоянието между фокусите).

Нека разстоянието между фокусите е 2 с, а зададеният модул на разликата в разстоянието е равен на 2 А. Нека изберем правоъгълна координатна система по същия начин, както при елипсата. В тази координатна система хиперболата е дадена от уравнението

, (8.4.4)

Наречен канонично уравнение на хипербола, Където
.

Ориз. 8.2

При този избор на правоъгълна координатна система координатните оси са осите на симетрия на хиперболата, а началото е нейният център на симетрия. Осите на симетрия на хипербола се наричат брадви, а центърът на симетрия е центъра на хиперболата. Правоъгълник със страни 2 аи 2 b, разположени, както е показано на фиг. 8.2, т.нар основен правоъгълник на хипербола. Числа 2 аи 2 bса осите на хиперболата, а числата аИ b- нея полуоски. Образуват се правите линии, които са продължение на диагоналите на основния правоъгълник асимптоти на хипербола

Пресечни точки на хиперболата с оста волса наречени върхове на хипербола. Върховете на хиперболата имат координати ( А, 0), (–А, 0).

Ексцентричност на хиперболатаизвикан номер

. (8.4.5)

Тъй като с > а, ексцентрицитет на хиперболата  > 1. Нека пренапишем равенството (8.4.5) във вида

Това показва, че ексцентричността характеризира формата на главния правоъгълник и следователно формата на самата хипербола: колкото по-малък е , толкова повече се удължава основният правоъгълник, а след него самата хипербола по оста вол.

Позволявам
– произволна точка на хиперболата,
И
– разстояние от точката Мпреди трикове Е 1 и Е 2 съответно. Числа r 1 и r 2 се наричат фокусни радиуси на точка М хиперболии се изчисляват по формулите

Директорки хиперболис каноничното уравнение (8.4.4) се наричат две линии

Директрисите на хиперболата пресичат главния правоъгълник и минават между центъра и съответния връх на хиперболата (фиг. 8.2).

ОТНОСНО съотношение на фокусния радиус точкиМ хиперболи към разстояние от тази точка до тази, съответстваща на фокуса директриса е равна на ексцентричност на тази хипербола (фокусът и директрисата се считат за съответстващи, ако са разположени от една и съща страна на центъра на хиперболата).

Парабола(фиг. 8.3) е геометричното място на точките в равнината, за които разстоянието до някаква фиксирана точка Е (фокус на парабола) на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия ( директриси на парабола), също разположени в разглежданата равнина.

Да изберем началото ОТНОСНОправоъгълна координатна система в средата на сегмента [ FD], което е перпендикуляр извън фокуса Евърху директрисата (приема се, че фокусът не принадлежи на директрисата), и осите волИ ОйНека го насочим, както е показано на фиг. 8.3. Нека дължината на отсечката [ FD] е равно стр. След това в избраната координатна система
И уравнение на канонична параболаизглежда като

. (8.4.6)

величина стрНаречен параболичен параметър.

Параболата има ос на симетрия, наречена оста на параболата. Пресечната точка на парабола с нейната ос се нарича върха на параболата. Ако парабола е дадена от нейното канонично уравнение (8.4.6), тогава оста на параболата е оста вол. Очевидно върхът на параболата е началото.

Пример 1.Точка А= (2, –1) принадлежи на елипсата, точка Е= (1, 0) е неговият фокус, съответният Едиректрисата се дава от уравнението
. Напишете уравнение за тази елипса.

Решение.Координатната система ще считаме за правоъгълна. След това разстоянието от точка Ана директорката
в съответствие с релацията (8.1.8), в която

, равно на

Разстояние от точка Ада се съсредоточи Еравно на

което ни позволява да определим ексцентричността на елипсата

Позволявам М = (х, г) е произволна точка от елипсата. След това разстоянието
от точка Мна директорката
съгласно формула (8.1.8) е равно на

и разстоянието от точка Мда се съсредоточи Еравно на

Тъй като за всяка точка от елипсата отношението е постоянна величина, равна на ексцентрицитета на елипсата, следователно имаме

Пример 2.Кривата е дадена от уравнението

в правоъгълна координатна система. Намерете каноничната координатна система и каноничното уравнение на тази крива. Определете вида на кривата.

Решение.Квадратна форма
има матрица

Неговият характерен полином

има корени  1 = 4 и  2 = 9. Следователно в ортонормалната база на собствените вектори на матрицата Аразглежданата квадратна форма има канонична форма

Нека пристъпим към конструиране на матрица на ортогонална трансформация на променливи, привеждайки разглежданата квадратична форма до посочената канонична форма. За да направим това, ще конструираме фундаментални системи от решения на хомогенни системи от уравнения
и ги ортонормализирайте.

При
тази система изглежда така

Общото му решение е
. Тук има една свободна променлива. Следователно основната система от решения се състои от един вектор, например вектора
. Като го нормализираме, получаваме вектора

При
нека построим и вектор

Вектори И вече са ортогонални, тъй като се отнасят до различни собствени стойности на симетричната матрица А. Те съставляват каноничната ортонормална основа на дадена квадратна форма. Необходимата ортогонална матрица (матрица на въртене) се конструира от колоните на техните координати

Нека проверим дали матрицата е намерена правилно Рспоред формулата
, Където
– матрица с квадратна форма в основата
:

Матрица Рнамерени правилно.

Нека трансформираме променливите

и напишете уравнението на тази крива в нова правоъгълна координатна система със стария център и вектори на посоката
:

Където
.

Получихме каноничното уравнение на елипсата

Поради факта, че получената трансформация на правоъгълни координати се определя от формулите

канонична координатна система
има начало
и вектори на посоката
.

Пример 3.Използвайки инвариантната теория, определете типа и създайте каноничното уравнение на кривата

Решение.Тъй като

в съответствие с табл. 8.1 заключаваме, че това е хипербола.

Тъй като s = 0, характерният полином на матрицата е с квадратична форма

Неговите корени
И
позволяват да напишем каноничното уравнение на кривата

Където СЪСсе намира от условието

Исканото канонично уравнение на кривата

В задачите от този раздел координатитех, гсе приемат за правоъгълни.

8.4.1. За елипси
И
намирам:

а) оси;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) директрисни уравнения.

8.4.2. Напишете уравнения за елипса, като знаете нейния фокус
, отговаряща на директорката х= 8 и ексцентричност . Намерете втория фокус и втората директриса на елипсата.

8.4.3. Напишете уравнение за елипса, чиито фокуси имат координати (1, 0) и (0, 1) и чиято главна ос е две.

8.4.4. Като се има предвид хипербола
. Намирам:

а) полуоси аИ b;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на асимптоти;

д) директрисни уравнения.

8.4.5. Като се има предвид хипербола
. Намирам:

а) полуоси АИ b;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на асимптоти;

д) директрисни уравнения.

8.4.6. Точка
принадлежи на хипербола, чийто фокус
, а съответната директриса е дадена от уравнението
. Напишете уравнение за тази хипербола.

8.4.7. Напишете уравнение за парабола с фокус
и директорка
.

8.4.8. Даден е върхът на парабола
и уравнението на директрисата
. Напишете уравнение за тази парабола.

8.4.9. Напишете уравнение за парабола, чийто фокус е в

и директрисата е дадена от уравнението
.

8.4.10. Напишете уравнение от втори ред за кривата, като знаете нейния ексцентрицитет
, фокус
и съответната директорка
.

8.4.11. Определете вида на кривата от втори ред, съставете нейното канонично уравнение и намерете каноничната координатна система:

G)
;

8.4.12.

е елипса. Намерете дължините на полуосите и ексцентрицитета на тази елипса, координатите на центъра и фокусите, създайте уравнения за осите и директрисите.

8.4.13. Докажете, че кривата от втори ред, дадена от уравнението

е хипербола. Намерете дължините на полуосите и ексцентрицитета на тази хипербола, координатите на центъра и фокусите, създайте уравнения за осите, директрисите и асимптотите.

8.4.14. Докажете, че кривата от втори ред, дадена от уравнението

е парабола. Намерете параметъра на тази парабола, координатите на върховете и фокуса, напишете уравненията на оста и директрисата.

8.4.15. Редуцирайте всяко от следните уравнения до канонична форма. Начертайте на чертежа съответната крива от втори ред спрямо оригиналната правоъгълна координатна система:

8.4.16. Използвайки инвариантната теория, определете типа и създайте каноничното уравнение на кривата.

Общото уравнение на крива от втори ред върху равнина има формата:

брадва 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ей + Е = 0, (39)

Където А 2 + б 2 + ° С 2 0, (А, б, ° С, д, д, Е) Р. Той определя всички възможни конични сечения, произволно разположени на равнината.

От коефициентите на уравнение (39) съставяме две детерминанти:

Наречен дискриминант на уравнението(39) и - дискриминант на водещите членове на уравнението.При 0 уравнение (39) определя: > 0 - елипса;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

От общото уравнение (39) можем да преминем към каноничното уравнение, ако елиминираме линейните и напречните членове, като преминем към нова координатна система, която съвпада с осите на симетрия на фигурата. Нека заменим в (39) хНа х + аИ гНа г + b, Където а, bнякои константи. Нека запишем получените коефициенти за хИ ги ги приравнете на 0

(Аа + Bb + д)х = 0, (Cb + Ба + д)г = 0. (41)

В резултат на това уравнение (39) ще приеме формата:

А(х) 2 + 2б(х)(г) + ° С(г) 2 + Е = 0, (42)

къде са коефициентите А, б, ° Сне са се променили, но Е= / . Решението на системата от уравнения (41) ще определи координатите на центъра на симетрия на фигурата:

Ако б= 0, тогава а = -д/А, b = -д/° Си е удобно да се премахнат линейните членове в (39) чрез метода на редукция до перфектен квадрат:

брадва 2 + 2Dx = А(х 2 + 2xD/А + (д/А) 2 - (д/А) 2) = А(х + д/А) 2 - д 2 /А.

В уравнение (42) завъртаме координатите на ъгъл a (38). Нека запишем получения коефициент за кръстосания член хги го задайте равно на 0

xy = 0. (44)

Условието (44) определя необходимия ъгъл на завъртане на координатните оси, докато те съвпаднат с осите на симетрия на фигурата и приема формата:

Уравнение (42) приема формата:

А+X2+ ° С + Y 2 + Е = 0 (46)

от което е лесно да се премине към каноничното уравнение на кривата:

Коефициенти А + , ° С+ , при условие (45), могат да бъдат представени като корени на спомагателно квадратно уравнение:

T 2 - (А + ° С)T + = 0. (48)

В резултат на това се определя позицията и посоката на осите на симетрия на фигурата, нейната полуос:

и може да се конструира геометрично.

В случай = 0 имаме парабола. Ако неговата ос на симетрия е успоредна на ос о, тогава уравнението се свежда до:

ако не, тогава вижте:

където изразите в скоби, равни на 0, определят линиите на новите координатни оси: , .

Решаване на общи проблеми

Пример 15.Дайте уравнение 2 х 2 + 3г 2 - 4х + 6г- 7 = 0 до канонична форма и конструиране на крива.

Решение. б= 0, = -72 0, = 6 > 0 елипса.

Нека извършим редукция до перфектен квадрат:

2(х - 1) 2 + 3(г + 1) 2 - 12 = 0.

Координати на центъра на симетрия (1; -1), линейна трансформация х = х - 1, Y = г+ 1 привежда уравнението в канонична форма.

Пример 16.Дайте уравнение 2 xy = а 2 до канонична форма и конструиране на крива.

Решение. б = 1, = а 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Центърът на координатната система е в центъра на симетрия на кривата, т.к в уравнението няма линейни членове. Нека завъртим осите на ъгъл a. Съгласно формула (45) имаме tan2a = б/(А - ° С) = , т.е. а = 45°. Коефициенти на каноничното уравнение (46) А + , ° С+ се определят от уравнение (48): T 2 = 1 или T 1,2 = 1 А + = 1, ° С+ = -1, т.е.
х 2 - Y 2 = а 2 или . И така, уравнение 2 xy = А 2 описва хипербола с център на симетрия в (0; 0). Осите на симетрия са разположени по ъглополовящите на координатните ъгли, координатните оси служат като асимптоти, полуосите на хиперболата са равни А.y - 9 =0;