Н. Никитин Геометрия. Вертикални и съседни ъгли Страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия

ГЛАВА I.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ.

§единадесет. СЪСЕДНИ И ВЕРТИКАЛНИ ЪГЛИ.

1. Съседни ъгли.

Ако разширим страната на който и да е ъгъл извън неговия връх, получаваме два ъгъла (фиг. 72): / И слънцето и / SVD, в който едната страна BC е обща, а другите две A и BD образуват права линия.

Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват права, се наричат ​​съседни ъгли.

Съседни ъгли могат да се получат и по този начин: ако изтеглим лъч от някаква точка на права (нележаща на дадена права), ще получим съседни ъгли.
Например, / ADF и / FDВ - съседни ъгли (фиг. 73).

Съседните ъгли могат да имат голямо разнообразие от позиции (фиг. 74).

Съседните ъгли се събират до прав ъгъл, така че уммата на два съседни ъгъла е равна 2д.

Следователно, прав ъгъл може да се определи като ъгъл, равен на съседния му ъгъл.

Като знаем размера на един от съседните ъгли, можем да намерим размера на другия ъгъл, съседен на него.

Например, ако един от съседните ъгли е 3/5 д, тогава вторият ъгъл ще бъде равен на:

2д- 3 / 5 д= l 2 / 5 д.

2. Вертикални ъгли.

Ако разширим страните на ъгъла извън неговия връх, ще получим вертикални ъгли. На чертеж 75 ъглите EOF и AOC са вертикални; ъглите AOE и COF също са вертикални.

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия ъгъл.

Позволявам / 1 = 7 / 8 д(Фигура 76). В непосредствена близост до него / 2 ще бъде равно на 2 д- 7 / 8 д, т.е. 1 1/8 д.

По същия начин можете да изчислите на какво са равни / 3 и / 4.
/ 3 = 2д - 1 1 / 8 д = 7 / 8 д; / 4 = 2д - 7 / 8 д = 1 1 / 8 д(Фигура 77).

Виждаме това / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можете да решите още няколко същите задачи и всеки път ще получите същия резултат: вертикалните ъгли са равни един на друг.

Въпреки това, за да сте сигурни, че вертикалните ъгли винаги са равни един на друг, не е достатъчно да се вземат предвид индивидуалните числени примери, тъй като заключенията, направени въз основа на конкретни примери, понякога могат да бъдат погрешни.

Необходимо е да се провери валидността на свойствата на вертикалните ъгли чрез разсъждения, чрез доказателство.

Доказателството може да се извърши по следния начин (фиг. 78):

/ а+/ ° С = 2д;
/ b+/ ° С = 2д;

(тъй като сумата от съседните ъгли е 2 д).

/ а+/ ° С = / b+/ ° С

(тъй като лявата страна на това равенство също е равна на 2 д, а дясната му страна също е равна на 2 д).

Това равенство включва същия ъгъл с.

Ако извадим равни количества от равни количества, тогава ще останат равни количества. Резултатът ще бъде: / а = / b, т.е. вертикалните ъгли са равни един на друг.

Когато разглеждахме въпроса за вертикалните ъгли, първо обяснихме кои ъгли се наричат ​​вертикални, т.е. определениевертикални ъгли.

След това направихме преценка (изявление) за равенството на вертикалните ъгли и се убедихме в валидността на тази преценка чрез доказателство. Такива преценки, чиято валидност трябва да бъде доказана, се наричат теореми. Така в този раздел дадохме дефиниция на вертикалните ъгли, а също така заявихме и доказахме теорема за техните свойства.

В бъдеще, когато изучаваме геометрията, постоянно ще трябва да се сблъскваме с дефиниции и доказателства на теореми.

3. Сборът от ъгли, които имат общ връх.

На чертеж 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 са разположени от едната страна на права и имат общ връх на тази права. В сумата тези ъгли образуват прав ъгъл, т.е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2д.

На чертеж 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имат общ връх. Сумирано тези ъгли образуват пълен ъгъл, т.е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4д.

Упражнения.

1. Един от съседните ъгли е 0,72 д.Изчислете ъгъла, образуван от ъглополовящите на тези съседни ъгли.

2. Докажете, че ъглополовящите на два съседни ъгъла образуват прав ъгъл.

3. Докажете, че ако два ъгъла са равни, то съседните им ъгли също са равни.

4. Колко двойки съседни ъгли има на чертеж 81?

5. Може ли двойка съседни ъгли да се състои от два остри ъгъла? от два тъпи ъгъла? от прав и тъп ъгъл? от прав и остър ъгъл?

6. Ако един от прилежащите ъгли е прав, тогава какво може да се каже за размера на прилежащия му ъгъл?

7. Ако при пресичането на две прави единият ъгъл е прав, тогава какво може да се каже за големината на останалите три ъгъла?

Урок 8. Вертикални ъгли. Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия. ТЕОРЕМА. Вертикалните ъгли са равни. Доказателство: = = 180 Аналогично = = = 3 2 = 4 Решение на задачи: 64, 66 Домашна работа: параграфи 11, 66, 67

Математическа диктовка. Опция 1. 1. Довършете изречението: „Ако ъгли 1 и 2 са съседни, то сборът им...“ 2. Ъгълът, съседен на ъгъла от 30 градуса, ще бъде остър, тъп или прав? 3. Сборът от два ъгъла е 180 градуса. Тези ъгли задължително ли са съседни? 4. Правите AM и CE се пресичат в точка O, която лежи между тях. Получихте ли вертикални ъгли? Ако да, тогава ги назовете. 5. Защо равен на ъгъла, ако вертикалният ъгъл с него е 34 градуса? 6. Един от четирите ъгъла, получени от пресичането на две прави, е равен на 140 градуса. Какви са останалите ъгли? 7. Два ъгъла имат общ връх, първият ъгъл е 40 градуса, вторият е 140 градуса. Вертикални ли са тези ъгли? Вариант 2. 1. Довършете изречението: „Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната страна е обща, а другата...“ 2. Ъгъл, съседен на ъгъл от 130 градуса ще бъде остър, тъп или прав? 3. Сборът от два ъгъла с обща страна 180 градуса. Тези ъгли задължително ли са съседни? 4. Ученикът построи 2 вертикални ъгъла. Колко двойки линии е произвело това? 5. Два ъгъла имат общ връх, всеки от тези ъгли е 60 градуса. Тези ъгли трябва ли да са вертикални? 6. Един от четирите ъгъла, получени от пресичането на две прави, е равен на 80 градуса. Какви са останалите ъгли? 7. Какъв е ъгълът, ако вертикалният ъгъл с него е 120 градуса?

Отговори. 1. Равен на 180 градуса 2. Тъп ъгъл 3. Не 4. Ъгли AOC и EOM, AOE и COM градуси и 40 градуса 7. Да 1. Допълнителни лъчи 2. Остър ъгъл 3. Не 4. Една двойка 5. Не и 100 градуса градуса

Геометрията е многостранна наука. Развива логиката, въображението и интелигентността. Разбира се, поради своята сложност и огромния брой теореми и аксиоми, учениците не винаги го харесват. Освен това е необходимо постоянно да доказвате своите заключения, като използвате общоприети стандарти и правила.

Съседните и вертикалните ъгли са неразделна част от геометрията. Със сигурност много ученици просто ги обожават поради причината, че свойствата им са ясни и лесни за доказване.

Оформяне на ъгли

Всеки ъгъл се образува чрез пресичане на две прави линии или изчертаване на два лъча от една точка. Те могат да бъдат наречени или една буква, или три, които последователно обозначават точките, в които е изграден ъгълът.

Ъглите се измерват в градуси и могат (в зависимост от тяхната стойност) да се наричат ​​по различен начин. И така, има прав ъгъл, остър, тъп и разгънат. Всяко от имената съответства на определена градусна мярка или нейния интервал.

Остър ъгъл е ъгъл, чиято мярка не надвишава 90 градуса.

Тъп ъгъл е ъгъл, по-голям от 90 градуса.

Ъгъл се нарича прав, когато неговата градусна мярка е 90.

В случай, че е образуван от една непрекъсната права линия и градусната му мярка е 180, той се нарича разширен.

Ъгли, които имат обща страна, чиято втора страна продължава една друга, се наричат ​​съседни. Те могат да бъдат както остри, така и тъпи. Пресечната точка на правата образува съседни ъгли. Техните свойства са както следва:

1. Сумата от тези ъгли ще бъде равна на 180 градуса (има теорема, която доказва това). Следователно, човек може лесно да изчисли един от тях, ако другият е известен.
2. От първата точка следва, че съседни ъгли не могат да бъдат образувани от два тъпи или два остри ъгъла.

Благодарение на тези свойства човек винаги може да изчисли степенна мяркаъгъл, имащ значението на друг ъгъл или поне връзката между тях.

Вертикални ъгли

Ъгли, чиито страни са продължение една на друга, се наричат ​​вертикални. Всяка от техните разновидности може да действа като такава двойка. Вертикалните ъгли винаги са равни един на друг.

Те се образуват при пресичане на прави линии. Заедно с тях винаги присъстват съседни ъгли. Един ъгъл може да бъде едновременно съседен за един и вертикален за друг.

При пресичане на произволна линия се вземат предвид и няколко други вида ъгли. Такава права се нарича секуща и тя образува съответни, едностранни и кръстосани ъгли. Те са равни помежду си. Те могат да се разглеждат в светлината на свойствата, които имат вертикалните и съседните ъгли.

По този начин темата за ъглите изглежда доста проста и разбираема. Всички техни свойства са лесни за запомняне и доказване. Решаването на задачи не е трудно, стига ъглите да имат числена стойност. По-късно, когато започне изучаването на sin и cos, ще трябва да запомните много сложни формули, техните заключения и последствия. Дотогава можете просто да се насладите на лесни пъзели, където трябва да намерите съседни ъгли.