Теореми и общи сведения
аз Геометрия
II. Планиметрия без формули.
Двата ъгъла се наричат съседен,ако имат една обща страна, а другите две страни на тези ъгли са допълнителни полулинии.
1. Сборът на съседните ъгли е 180 ° .
Двата ъгъла се наричат вертикален, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи на страните на другия.
2. Вертикалните ъгли са равни.
Ъгъл равен на 90 ° , Наречен прав ъгъл. Правите, които се пресичат под прав ъгъл, се наричат перпендикулярен.
3. През всяка точка на права линия е възможно да се начертае само една перпендикулярна права линия.
Ъгъл по-малък от 90 ° , Наречен остър. Ъгъл по-голям от 90 ° , Наречен глупав.
4. Признаци за равенство на триъгълници.
- от двете страни и ъгъла между тях;
- по протежение на страната и два съседни ъгъла;
- от три страни.
Триъгълникът се нарича равнобедрен, ако двете му страни са равни.
Медианана триъгълник е отсечката, свързваща върха на триъгълника със средата на срещуположната страна.
СиметралаТриъгълникът е сегмент от права линия между върха и точката на неговото пресичане с противоположната страна, която разделя ъгъла наполовина.
Височинатриъгълник е перпендикулярен сегмент, пуснат от върха на триъгълника до противоположната страна, или нейното продължение.
Триъгълникът се нарича правоъгъленако има прав ъгъл. В правоъгълен триъгълник се нарича страната срещу правия ъгъл хипотенуза. Останалите две страни се наричат крака.
5. Свойства на страни и ъгли правоъгълен триъгълник:
- противоположните на краката ъгли са остри;
- хипотенузата е по-голяма от всеки от краката;
- сборът на катетите е по-голям от хипотенузата.
6. Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:
- по крака и остър ъгъл;
- на два крака;
- по хипотенузата и крака;
- по хипотенузата и острия ъгъл.
7. Свойства на равнобедрен триъгълник:
- в равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни;
- ако два ъгъла в триъгълника са равни, то той е равнобедрен;
В равнобедрен триъгълник медианата, начертана към основата, е ъглополовящата и надморската височина;
- Ако в триъгълник медианата и ъглополовящата (или височината и ъглополовящата, или медианата и височината), изтеглени от който и да е връх, съвпадат, тогава такъв триъгълник е равнобедрен.
8. В триъгълник по-големият ъгъл лежи срещу по-голямата страна, а по-голямата страна лежи срещу по-големия ъгъл.
9. (Неравенство на триъгълника). Всеки триъгълник има сбор от две страни, по-голям от третата страна.
Външен ъгълна триъгълник ABC при върха A е ъгълът, съседен на ъгъла на триъгълника при върха A.
10. Сума от вътрешни ъгли на триъгълник:
Сборът от всеки два ъгъла на триъгълник е по-малък от 180 ° ;
Всеки триъгълник има два остри ъгъла;
Външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него;
Сборът от ъглите на триъгълник е 180 ° ;
Външен ъгъл на триъгълник е равен на сумата от два други ъгъла, които не са съседни на него.
Сборът от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90 ° .
Отсечката, свързваща средите на страничните страни на триъгълник, се нарича средната линия на триъгълника.
11. Средната линия на триъгълника има свойството да е успоредна на основата на триъгълника и да е равна на половината от него.
12. Дължината на прекъснатата линия е не по-малка от дължината на отсечката, свързваща нейните краища.
13. Свойства на ъглополовящата на отсечка:
Точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е еднакво отдалечена от краищата на сегмента;
Всяка точка, еднакво отдалечена от краищата на сегмент, лежи върху перпендикулярната ъглополовяща.
14. Свойства на ъглополовяща:
Всяка точка, лежаща върху ъглополовящата на ъгъл, е еднакво отдалечена от страните на ъгъла;
Всяка точка, еднакво отдалечена от страните на ъгъла, лежи върху ъглополовящата на ъгъла.
15. Съществуване на описана около триъгълник окръжност:
И трите перпендикулярни ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка и тази точка е центърът на описаната окръжност. Описаната окръжност на триъгълника винаги съществува и е единствена;
Центърът на описаната около него правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата.
16. Съществуване на окръжност, вписана в триъгълник:
И трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка и тази точка е центърът на вписаната окръжност. Окръжност, вписана в триъгълник, винаги съществува и е единствена.
17. Признаци на успоредни прави. Теореми за паралелност и перпендикулярност на прави:
Две прави, успоредни на трета, са успоредни;
Ако при пресичане на две прави с трета вътрешните (външните) напречни ъгли са равни или сумата на вътрешните (външните) едностранни ъгли е 180 ° , тогава тези прави са успоредни;
Ако успоредните прави се пресичат от трета права, тогава вътрешният и външният ъгъл, лежащи на кръст, са равни, а вътрешният и външна едностраннаъглите се събират до 180 ° ;
Две прави, перпендикулярни на една и съща права, са успоредни;
Права, перпендикулярна на една от двете успоредни прави, също е перпендикулярна на втората.
кръг– множеството от всички точки на равнината, равноотдалечени от една точка.
Акорд– отсечка, свързваща две точки от окръжност.
Диаметър– хорда, минаваща през центъра.
Допирателна– права, която има една обща точка с окръжност.
Централен ъгъл– ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл– ъгъл с връх върху окръжност, чиито страни пресичат окръжността.
18. Теореми, свързани с кръга:
Радиусът, начертан към допирателната, е перпендикулярен на допирателната;
Диаметърът, минаващ през средата на хордата, е перпендикулярен на нея;
Квадратът на дължината на допирателната е равен на произведението на дължината на секанса и неговата външна част;
Централният ъгъл се измерва с градусната мярка на дъгата, върху която лежи;
Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която лежи, или допълнението на половината до 180 ° ;
Допирателните, начертани към окръжност от една точка, са равни;
Произведението на секанса и неговата външна част е постоянна стойност;
Успореднике четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки.
19. Признаци на успоредник. Свойства на успоредник:
Противоположните страни са равни;
Противоположните ъгли са равни;
Диагоналите на успоредника се разделят на две от пресечната точка;
Сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на всичките му страни;
Ако в изпъкнал четириъгълник противоположните страни са равни, тогава такъв четириъгълник е успоредник;
Ако в изпъкнал четириъгълник противоположните ъгли са равни, тогава такъв четириъгълник е успоредник;
Ако в изпъкнал четириъгълник диагоналите се разполовяват от пресечната точка, тогава такъв четириъгълник е успоредник;
Средите на страните на всеки четириъгълник са върховете на успоредника.
Нарича се успоредник, на който всички страни са равни диамант
20. Допълнителни свойства и характеристики на ромба:
Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни;
Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите вътрешни ъгли;
Ако диагоналите на успоредник са взаимно перпендикулярни или са ъглополовящи на съответните ъгли, то този успоредник е ромб.
Нарича се успоредник, чиито ъгли са прави правоъгълник.
21. Допълнителни свойства и характеристики на правоъгълник:
Диагоналите на правоъгълник са равни;
Ако диагоналите на успоредник са равни, тогава такъв успоредник е правоъгълник;
Средните точки на страните на правоъгълника са върховете на ромба;
Средните точки на страните на ромба са върховете на правоъгълника.
Нарича се правоъгълник с равни страни квадрат.
22. Допълнителни свойства и характеристики на квадрат:
Диагоналите на квадрат са равни и перпендикулярни;
Ако диагоналите на четириъгълник са равни и перпендикулярни, тогава четириъгълникът е квадрат.
Четириъгълник, чиито две страни са успоредни, се нарича трапец.
Сегментът, свързващ средите на страничните страни на трапеца, се нарича средна линия на трапец.
23. Свойства на трапец:
- в равнобедрен трапец ъглите при основата са равни;
- Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапеца, е равна на половината от разликата на основите на трапеца.
24. Средната линия на трапеца има свойството да е успоредна на основите на трапеца и да е равна на тяхната полусума.
25. Знаци приликитриъгълници:
На два ъгъла;
На две пропорционални страни и ъгъла между тях;
На три пропорционални страни.
26. Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници:
Под остър ъгъл;
Според пропорционалните крака;
от пропорционаленкатет и хипотенуза.
27. Релации в многоъгълници:
всичко правилни многоъгълнициподобни един на друг;
Сборът от ъглите на всеки изпъкнал многоъгълник е 180 ° (н-2);
Сума външни ъглина всеки изпъкнал многоъгълник, взет по един от всеки връх, е равно на 360 ° .
Периметрите на подобни полигони са свързани така, както са подобенстрани и това отношение е равно на коефициента на подобие;
Площите на подобни многоъгълници са свързани като квадратите на подобните им страни и това отношение е равно на квадрата на коефициента на подобие;
Най-важните теореми на планиметрията:
28. Теорема на Талес. Ако успоредни линии, пресичащи страните на ъгъл, отрязват равни сегменти от едната страна, тогава тези линии също отрязват равни сегменти от другата страна.
29. Питагорова теорема. В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .
30. Теорема за косинусите. Във всеки триъгълник квадратът на една страна е равен на сумата от квадратите на другите две страни без двойното им произведение по косинуса на ъгъла между тях: .
31. Теорема за синусите. Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли: 
, където е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.
32. Три медиани на триъгълник се пресичат в една точка, която разделя всяка медиана в съотношение 2:1, считано от върха на триъгълника.
33. Три прави, съдържащи височините на триъгълник, се пресичат в една точка.
34. Площта на успоредник е равна на произведението на една от страните му и височината, спусната до тази страна (или произведението на страните и синуса на ъгъла между тях).
35. Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на страна и височината, спусната до тази страна (или половината от произведението на страните и синуса на ъгъла между тях).
36. Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината.
37. Площта на ромба е равна на половината от произведението на неговите диагонали.
38. Площта на всеки четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях.
39. Симетрала разделя страна на триъгълник на сегменти, пропорционални на другите му две страни.
40. В правоъгълен триъгълник медианата, прекарана към хипотенузата, разделя триъгълника на два равни триъгълника.
41. Площта на равнобедрен трапец, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни, е равна на квадрата на неговата височина: .
42. Сборът от противоположните ъгли на четириъгълник, вписан в окръжност, е 180 ° .
43. Четириъгълник може да бъде описан около окръжност, ако сумите от дължините на срещуположните страни са равни.
III.Основни формули на планиметрията.
1. Произволен триъгълник.- отстрани; - противоположни на тях ъгли; - полупериметър; - радиус на описаната окръжност; - радиус на вписаната окръжност; - квадрат; - височина, обърната настрани:
|
|
|||
Решаване на наклонени триъгълници:
Косинусова теорема: .
Теорема за синусите: 
.
Дължината на медианата на триъгълник се изразява по формулата:
.
Дължината на страната на триъгълник през медианите се изразява по формулата:
.
Дължината на ъглополовящата на триъгълник се изразява по формулата:
,
Правоъгълен триъгълник.- към атета; - хипотенуза; - проекции на краката върху хипотенузата:
|
|
Питагорова теорема: .
Решаване на правоъгълни триъгълници:
2. Равностранен триъгълник:
3. Всеки изпъкнал четириъгълник: - диагонали; - ъгълът между тях; - квадрат.
4. Успоредник: - съседни страни; - ъгълът между тях; - височина изтеглена настрани; - квадрат.
5.
Ромб: 
6. Правоъгълник:
7. Квадрат:
8. Трапец:- основания; - височина или разстояние между тях; - средна линия на трапеца.
.
9. Описан многоъгълник(- полупериметър; - радиус на вписана окръжност):
10. Правилен многоъгълник(- страна отдясно - квадрат; - радиус на описаната окръжност; - радиус на вписаната окръжност):
11. Обиколка, кръг(- радиус; - обиколка; - площ на кръг):
12. Сектор(- дължина на дъгата, ограничаваща сектора; - степенна мярка централен ъгъл; - радианова мярка на централния ъгъл):
|
|
|
Задача 1.Площ на триъгълник ABC е равно на 30 cm 2. На страната AC се взема в точка D, така че AD : DC =2:3. Перпендикулярна дължинаDE се задържа на страната на BC, е равно на 9 см. Намеретепр.н.е.
Решение.Да проведем БД (виж Фиг. 1.); триъгълници ABD и BDC имат обща височинаБ.Ф. ; следователно техните площи са свързани с дължините на основите, т.е.:
реклама: DC=2:3,
където 
18 см 2.
От друга страна 
, или , от което BC =4 см. Отговор: BC =4 см.
Задача 2.В равнобедрен триъгълник височините, прекарани към основата и към страната, са съответно 10 и 12 cm. Намерете дължината на основата.
Решение. IN ABCние имаме AB=
пр.н.е.,
BD^
A.C.,
А.Е.^
DC,
BD=10 см и А.Е.=12 cm (виж фиг. 2). Нека правоъгълни триъгълнициA.E.C.
И BDCподобен (ъгъл ° Собщ); следователно или 10:12=5:6. Прилагане на Питагоровата теорема към BDC, имаме, т.е. .
Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.
Препис
1 Основни определения, теореми и формули на планиметрията. Обозначения: триъгълник ABC с върхове A, B, C. a = BC, b = AC, c = AB неговите страни, съответно медиана, ъглополовяща, височина, изтеглена към страна a, P - периметър, полупериметър, R и r радиуси , съответно описана и вписана окръжност. S - площ на фигурата, d 1, d 2 - диагонали на четириъгълника, ъгъл между линиите a и b; признаци, успоредност, перпендикулярност, подобие, респ. О дефиниция, Т теорема. T 1. (Знаци за успоредност на прави линии, фиг. (6). O-1. A 1 B 1 C 1 ", ~ ABC (k - коефициент на подобие), ако страните им са пропорционални и съответните ъгли са равни ( Фиг. 7): Две прави са успоредни, ако: вътрешните ъгли, разположени един срещу друг, са равни:< 3 = < 5; внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7; соответственные углы равны: <1 = < 5; сумма внутренних односторонних углов равна 180: < 2 + < 5= 180 ; сумма внешних односторонних углов равна 180: < 1 + < 6 = 180. Т 2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если: дня угла одного равны двум углам другого; дне стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны; три стороны одного пропорциональны трем сторонам другого.
2 T 3. В подобни триъгълници всичките им линейни елементи са пропорционални (с едно и също k): страни, медиани, ъглополовящи, височини, радиуси на вписани и описани окръжности и др. T 4 (Талес). Успоредни прави, пресичащи страните на ъгъла, отрязват пропорционални отсечки от тях (фиг. 8): T 5. Сборът от ъглите на триъгълник е 180. T 6. Три медиани на триъгълник се пресичат в една точка, която разделя всеки медиана на части в съотношение 2: 1, като се брои отгоре (виж фиг. 9): T 7. средна линияна триъгълник, свързваща средината на две страни, е успоредна на третата страна и равна на нейната половина (фиг. 10): T 8. Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни: BD: CD = AB: AC (виж Фиг. 11).
3 T 9. Вписан ъгъл (образуван от две хорди, излизащи от една точка на окръжността) се измерва с половината дъга, върху която лежи (фиг. 12): T-10. Централният ъгъл, образуван от два радиуса на окръжност, се измерва от дъгата, върху която лежи (вижте Фиг. 12): T 11. Ъгълът между допирателната и хордата, начертана през точката на контакт, се измерва от половината от оградената дъга между страните му (фиг. 13): T 12. Ъгълът между две секущи с връх извън окръжността се измерва от полуразликата на две дъги, сключени между страните му (фиг. 14): T 13. Допирателните, прекарани към окръжност от обща точка, разположена извън окръжността, са равни: BA = BC. Ъгълът между две допирателни (описан ъгъл) се измерва с полуразликата на голямата и малката дъга, сключени между точките на допиране (фиг. 15):
4 T 14. Ъгълът между две хорди с връх в окръжност се измерва от полусумата на две дъги, едната от които е между страните му, другата между техните продължения (фиг. 16): T 15. Ако две дъги хордите се пресичат вътре в окръжност, тогава произведението на сегментите на една хорда е равно на произведението на другите сегменти (виж Фиг. 16): AO OB = CO OD. T 16. Ако допирателната и секущата са начертани от точка извън окръжността, тогава квадратът на допирателната е равен на произведението на сегмента на секущата и нейната външна част (фиг. 17): T 17. В a правоъгълен триъгълник (a, b са катети, c е хипотенузата. h е височината, спусната върху хипотенузата и c, b c проекции на катетите върху хипотенузата) се извършват (фиг. 18): 1. Формула на Питагор: c 2 = a 2 + b 2 2. формули 3. определяне на тригонометрични величини (функции) на острите ъгли: 4. формули за решаване на правоъгълен триъгълник:
5 5. Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, лежи в средата на хипотенузата и T 18 (теорема за синусите). В произволен триъгълник (фиг. 19) Т-19 (косинусова теорема). В произволен триъгълник (фиг. 19): T 20. Сумата от квадратите на дължините на диагоналите на успоредник е равна на сумата от квадратите на дължините на страните му: T 21. Центърът на окръжност описан до ъгъл лежи върху ъглополовящата на този ъгъл. Радиусът на окръжност е перпендикулярен на страната на ъгъла и точката на допиране. Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, се намира в точката на пресичане на ъглополовящите на ъглите на триъгълника. T 22. Центърът на окръжност, описана около триъгълник, се намира в точката на пресичане на ъглополовящите на страните. T 23. В четириъгълник, описан около окръжност, сумите на противоположните страни са равни. По-специално, ако равнобедрен трапец е описан около окръжност, тогава средната му линия е равна на страната. T 24. В четириъгълник, вписан в окръжност, сумата от противоположните ъгли е равна на 180. T 25. Площта на триъгълника е
6 T 26. В правилен триъгълник със страна a: T 27. В правилен n-ъгълник (a n е страната на n-ъгълника, R е радиусът на описаната окръжност, r е радиусът на вписаната окръжност) : T 28. Площите на еднакви триъгълници се отнасят като квадратите на еднакви страни. О-2. Две фигури се наричат равни по площ, ако техните площи са еднакви. T 29. Медианата разделя триъгълника на две равни части. Три медиани разделят триъгълник на шест равни части. Отсечките, свързващи пресечната точка на медианите с върховете, разделят триъгълника на три равни части. T 30. В произволен триъгълник дължината на медианата се изчислява по следния начин (фиг. 19): T 31. Формули за лицата на четириъгълници: квадрат със страна a: S = a 2; правоъгълник със страни n. n li: S = a b; успоредник със страни a и b: ромб със страна a и остър ъгъл между страните: трапец с основи a и b:
7 изпъкнал четириъгълник: T-32. Други формули: площ на многоъгълник, описан около кръг с радиус r: S = p r; площ на кръг с радиус R: площ на сектора на разтвора (rad): дължина на кръг с радиус R: дължина на дъгата и или rad: Всички формули за площта на повърхността на обемни тела Обща повърхност площ на куб a - страна на куб Формула за повърхността на куб, (S):
8 Намерете повърхността на правоъгълен паралелепипед a, b, c, - страни на паралелепипеда Формула за повърхността на паралелепипеда, (S): Изчисляване на повърхността на цилиндъра r - радиус на основата h - височината на цилиндъра π 3.14 Формула за площта на страничната повърхност на цилиндъра, (S страна): Формула площ на цялата повърхност на цилиндъра, (S): Намерете площта на повърхността на топката, формула R - радиус на сферата π 3.14
9 Формула за повърхността на топка (S): Повърхност на сферичния сектор R - радиус на топката r - радиус на основата на конуса = радиус на сегмента π 3.14 Формула за площ на повърхността на сферичния сектор, (S): Повърхностна площ на сферичния слой h - височина на сферичния слой, сегмент KN R - радиус на самата топка O - център на топката π 3.14 Формула за площта на страничната повърхност на сферичния слой, (S):
10 Площ на сферичен сегмент Сферичният сегмент е част от топка, отрязана от равнина. В този пример равнина ABCD. R - радиус на самата топка h - височина на сегмента π 3.14 Формула за повърхността на сферичен сегмент, (S): Повърхност на правилна пирамида през апотема L - апотема (понижен перпендикуляр OC от връх C, до ръба на основата AB) P - периметър на основата S main - основна площ Формула за страничната повърхност на правилна пирамида (S страна): Формула за общата повърхност на правилна пирамида (S):
11 Площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида m - апотема на пирамидата, segmentok P - периметър на долната основа, abcde p - периметър на горната основа, abcde Формула за площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида, (S): Повърхнина на прав, кръгъл конус R - радиус на основата на конуса H - височина L - образуваща на конуса π 3.14 Формула за площта на страничната повърхност на конус, през радиуса (R) и образуващата (L), (S страна): Формула за площта на страничната повърхност на конуса, през радиуса (R) и височината (H), (S страна ): Формула за площта на общата повърхност на конус, през радиуса (R) и генератора (L), (S):
12 Формула за площта на пълната повърхност на конус, през радиуса (R) и височината (H), (S): Формули за площта на повърхността на пресечен конус R - радиус на долната основа r - радиус на горната основа L - образуваща на пресечения конус π 3.14 Формула за площта на страничната повърхност на пресечения конус , (S страна): Формула за общата повърхност на пресечения конус, (S ): Изчисляване на обема на куб Всички формули за обем на геометрични тела a - страна на куб Формула за обем на куб, (V):
13 Обем на правоъгълен паралелепипед a, b, c - страни на паралелепипеда Формула за обема на паралелепипеда, (V): Формула за изчисляване на обема на сфера R - радиус на сферата π 3.14 Обем на сферата, ( V): Обем на сферичния слой h - височина на сферичния слой R - радиус на долната основа r - радиус на горната основа π 3.14
14 Обем на сферичния слой, (V): Обем на сферичния сектор h - височина на сегмента R - радиус на топката π 3.14 Обем на сферичния сектор, (V): Обем на сферичния сегмент, формула A сферичен сегмент е частта от топката, отсечена от равнина. В този пример равнина ABCD. R - радиус на топката h - височина на сегмента π 3.14 Обем на сегмента на топката, (V):
15 Как да изчислим обема на цилиндър? h - височина на цилиндъра r - радиус на основата π 3.14 Обем на цилиндъра, (V): Как да намерим обема на конус? H- височина на конуса R- радиус на основата π 3.14 Обем на конуса, (V): Формула за обема на пресечен конус R- радиус на долната основа r- радиус на горната основа h- височина на конус π 3.14
16 Обем на пресечен конус, (V): Изчисляване на обема на пирамида h - височина на пирамидата S - площ на основата ABCDE Обем на пирамида, (V): Изчисляване на обема на пресечена пирамида h - височина на пирамидата S дъно - площ на долната основа, ABCDE S отгоре - площ на горната основа, abcde Обем на пресечена пирамида, (V): Намерете обема на правилна пирамида
17 Пирамида с правилен многоъгълник и равни триъгълници в основата си се нарича правилна. h - височина на пирамидата a - страна на основата на пирамидата n - брой страни на многоъгълника в основата Обем на правилна пирамида, (V): Обем на правилна триъгълна пирамида Пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник и лицата му са равни, равнобедрен триъгълник се нарича правилна триъгълна пирамида. h - височина на пирамидата a - страна на основата Обем на правилна триъгълна пирамида, (V): Обем на правилна четириъгълна пирамида Пирамида с квадратна основа и равни страни, равнобедрени триъгълници, се нарича правилна четириъгълна пирамида. h - височина на пирамидата a - страна на основата Обем на правилна четириъгълна пирамида, (V):
18 Обем на правилен тетраедър Правилен тетраедър е пирамида, чиито лица са равностранни триъгълници. a - ръб на тетраедър Обем на правилен тетраедър (V):
1. Определение: Ако два ъгъла имат обща страна, а другите две страни са допълващи се лъчи, тогава тези ъгли се наричат съседни. Свойство: Сборът на съседните ъгли е 180°. MOL + LON = 180 o 2. Свойство:
Произволен триъгълник Във формулите по-долу се използват следните означения: а) с дължините на страните ABC, лежащи съответно срещу ъгли A B и C b) височини на медианата l l l ъглополовяща c) радиус
Задача 3, 6, 6. Планиметрия Ъглови зависимости в равнинни фигури Теорема. Сборът от съседните ъгли е равен на 80 0. а съседните ъгли Теорема. Симетралите на съседни ъгли са взаимно перпендикулярни. Теорема. Вертикална
Задача 6. Планиметрия Ъглови зависимости в равнинни фигури Теорема. Две прави, успоредни на трета, са успоредни. Теорема. Ако две успоредни прави се пресичат със секанс, тогава. Кръстосани легнали ъгли
1. Площи на равнинни фигури Площ на триъгълник: страница 1 2. Средна линия 3. Триъгълници Сборът от ъглите на триъгълника е 180. Тъпият ъгъл между ъглополовящите на два ъгъла на триъгълник е 90 + половината от трети
Четвърт 1 1. Сборът от ъглите на изпъкнал триъгълник е (n 2) 180. 2. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две. 3. Свойства на успоредник: 1)
Анализ на геометрични твърдения 1. 1. Посочете номерата на верните твърдения. 1) Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни. 2) Вертикални ъгли
1. Вижте фиг. 4. Ъгълът между пресичащите се хорди е равен на половината от сбора на противоположните дъги, пресичани от хордите. 5. Ъгълът между две секущи е равен на половината от разликата на дъгите, пресичани от секущите върху окръжността. 1 Въпроси
Гушчин Д. Д. СПРАВОЧНИ МАТЕРИАЛИ ЗА ПОДГОТОВКА ЗА Единния държавен изпит по математика ЗАДАЧИ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ТОВА ТРЯБВА ДА ЗНАЕТЕ: ТРИЪГЪЛНИЦИ Триъгълникът е фигура, състояща се от три точки, които не лежат на една права линия, и три
ОБЩИНСКА АВТОНОМНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ГИМНАЗИЯ 16 НА ГРАД ТЮМЕН МАОУ ГИМНАЗИЯ 16 НА ГРАД ТЮМЕН Изпитни карти по геометрия за програмата за основно общо образование 8БЗД клас
Тест 448 Вертикални ъгли 1. Ако ъглите не са вертикални, значи не са равни. 2. Еднаквите ъгли са вертикални само ако са централно симетрични. 3. Ако ъглите са равни и обединението им има
1.2. Тестове 31. Отношението на страничната страна към диагонала на равнобедрен трапец с основи 12 и 20, при условие че центърът на описаната окръжност лежи върху по-голямата основа, е 1) 1; 2) 0,5; 3) 0,8; 4)
1. Площи на равнинни фигури Площ на триъгълник: страница 1 2. Средна линия 3. Триъгълници Сумата от ъглите на триъгълника е 180. Ъгли в основата равнобедрен триъгълникса равни. Симетрала, медиана и
ЗАДАЧИ 20 OGE ПО МАТЕМАТИКА НАЧАЛНА ГЕОМЕТРИЧНА ИНФОРМАЦИЯ (СЕГМЕНТИ, ПРАВИ И ЪГЛИ) 1) Точка, лежаща върху ъглополовящата на отсечка, е на еднакво разстояние от краищата на тази отсечка. 2) Има три
Окръжности Допирателни и секущи, взаимно разположение на окръжности Окръжността е геометричното място на точки, еднакво отдалечени от една точка, която се нарича център на окръжността Част от равнината, лежаща
Тест 250. Отсечка. Дължина Дължината на сегмент е 1, ако е: 1. висок равностранен триъгълниксъс страна 2; 2. третата страна на триъгълник, в който другите две страни са равни на 1 и 2, и ъгълът
Анализ на геометрични твърдения 1. Посочете номерата на верните твърдения. 1) Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни. 2) Вертикални ъгли
Теоретична част на изпита за Г-8 клас. Познайте и разберете (начертайте и покажете на картинката) следните определения и теореми (без доказателство) от учебника G-8 на А.Г. Мерзляк Глава 1 1. Сума от ъгли
Структура на контролната работа по геометрия 11 клас /2013 г./ Работата съдържа 10 задачи. Времетраене 120 минути. Част 1. Задачи 1-7 задачи с основно ниво на сложност (Част Б на Единния държавен изпит) с кратко решение
Общинска образователна институция Лицей към ТПУ НАРЪЧНИК ПО ГЕОМЕТРИЯ Планиметрия Томск 003. ТРИЪГЪЛНИЦИ.. Правоъгълен триъгълник... Метрични съотношения b катети c хипотенуза h височина AH = c BH =.... Площ b S =. б) +
11 клас. Типично изчисление по темата „Кръгли тела“. Вариант 1 1. Диагоналът на осовото сечение на цилиндъра е равен на a. Намерете обема на цилиндъра, ако е известно, че осовото му сечение е квадрат. 2. В правоъгълник
20. Анализ на геометрични твърдения Част 1. Задача FIPI. Посочете (заградете) номерата на верните твърдения. I) Първоначална геометрична информация (отсечки, прави линии и ъгли) 1. Точка, разположена в средата
11 клас. Типично изчисление по темата „Кръгли тела“. Вариант 16 1. Площта на основата на цилиндъра е свързана с площта на аксиалното сечение като π Намерете ъгъла между диагоналите на аксиалното сечение. 2. На повърхността на топката
Сайт за елементарна математика от Дмитрий Гушчин www.mthnet.sp.ru Гушчин Д. Д. СПРАВОЧНИ МАТЕРИАЛИ ЗА ПОДГОТОВКА ЗА Единния държавен изпит по математика ЗАДАЧИ B3 И B6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИЯ Тествани елементи от съдържанието и
В.А. Смирнов Отворена банка от задачи по геометрия (планиметрия) 2018-2019 учебна година. година ТЕОРЕМИ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛИ 1. Теорема за вертикалните ъгли. 2. Първи признак за равенство на триъгълници. 3. Втори знак
1 Анализ на геометрични твърдения Отговорите на задачите са дума, фраза, число или поредица от думи, числа. Напишете отговора си без интервали, запетаи или други допълнителни знаци.
Аксиоми на стереометрията 1. 2. 3. 4. 5. Следствия от аксиоми 1. 2. Винаги ли е вярно твърдението? 1. Всякакви 3 точки лежат в една равнина. 1 2. Всякакви 4 точки лежат в една и съща равнина. 3. Всякакви 3 точки не лъжат
СПРАВОЧНИ МАТЕРИАЛИ ЗА ПОДГОТОВКА ЗА Единния държавен изпит по математика Гущин Д. Д. ЗАДАЧИ B3 И B6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИЯ Тествани елементи на съдържанието и дейности: познаване на понятията триъгълник, четириъгълник,
60 2.2. Тестове 161. Ако страните на основата на правилна пресечена пирамида са 6 и 4, а двустенният ъгъл при основата е 0, то страничната повърхност на правилна триъгълна пресечена пирамида е 1) 10; 2)
Изпитен материал по геометрия за 9 клас Задачите в билетите са сходни. Билет 1 1. Първият знак за равенство на триъгълниците. 2. Теорема за връзките между страните и ъглите на триъгълник.
Q6 всички проблеми от банката Използване на тригонометрични функции. Правоъгълен триъгълник 27238. В триъгълник ABC ъгъл C е равен на,. Намерете AB. 27232. В триъгълник ABC ъгъл C е равен на,. Намерете AC. 27235.
Задачи 1. Попълнете празните места с думи (фрази), така че твърдението да е вярно G-11. 1.1. Вектор, чийто край съвпада с дадена точка и чието начало съвпада с началото на координатите, се нарича даден
Помощ B9 Многостени Многостенът е тяло, чиято повърхност се състои от краен брой плоски многоъгълници. Призма Призма е многостен, който се състои от два плоски многоъгълника,
1 ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ Множества: Æ - празно множество N = (1, 2, 3, ) - множество от естествени числа Z = - множество от цели Q = - множество от рационални числа (дроби) R множество от реални числа (реални )
В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Наръчник за подготовка за GIA Проблеми за избор на правилни твърдения 2015 1 ВЪВЕДЕНИЕ Това ръководство е предназначено да подготви за решаване геометрични задачи GIA по математика.
1. Кои от тези твърдения са верни? Запишете номерата им. Около всеки триъгълник може да се начертае кръг. Ако диагоналите на успоредник са равни и перпендикулярни, тогава успоредникът е квадрат.
Изпитни билети по геометрия 2017-18 уч.г. Билет 1 1. Признаци за равенство на триъгълници. Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници. 2. Основите BC и AD на трапеца ABCD са съответно равни
Учебник по геометрия 10 клас Повторение на планиметрия (задачи в картинки) За ученици от Лицей 1502 към МЕИ 1-во полугодие Резюме 1. Програма за колоквиум по „Планиметрия“. 2. Съдържание
Математически диктовки по геометрия за VII и VIII клас (От трудов опит) VII клас Диктовка 1 „Сбор от ъглите на триъгълник” 1. Даден е триъгълник MKL. Запишете сбора от ъглите на този триъгълник.
Билети за изпита по геометрия за 8 клас. Билет 1. 1. Многоъгълници 2. Стойност на Sin, Cos,tg (таблица) 1) Ако два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава такива триъгълници
Геометрия Задачи с кратък отговор Задание. Реши задачата. Дайте кратък отговор. 1. Намерете разстоянието от точката до началото. 2. Намерете разстоянието от точката до началото. 3. При какво
7 клас 1. Видове ъгли. Ъгълът се нарича прав, ако е равен на 90 0. Ъгълът се нарича остър, ако е по-малък от 90 0. Ъгълът се нарича тъп, ако е по-голям от 90 0, но по-малък от 180 0. Прав ъгъл Остър ъгъл Тъп
Алгебра Формули за съкратено умножение: Квадрат на сбора (+ = + + Квадрат на разликата (- = - + Разлика на квадратите = (+ (Куб на сбора (+ = + + + Куб на разликата (- = - + -) Сума от кубчета + = (+ (- + Разлика от кубчета
11 клас. Типично изчисление по темата “Призма”. Вариант 16 1. Основата на наклонена призма е правоъгълник със страни a и b. Две съседни странични стени образуват ъгли и с равнината на основата. Намерете обем
Три странични ребра и наклонени към основната равнина под ъгъл α. Страната на основата е равна на α. Намерете площта на полученото напречно сечение. 17. В правилна четириъгълна призма площта на основата е 144 cm², а височината
Квадрат L S = l= ; и в трапец O ъгълът между диагоналите l средната линия на трапеца Метод на координатите l D) Нека A(x; y), B(x; y), тогава координатите на вектора ABx x y) Нека A(x; y), B(x; y); y), тогава
Билет 1 1) Дефиниция на многоъгълник. Върхове, страни, диагонали и периметър на многоъгълник. Формула за сбора на ъглите на изпъкнал многоъгълник 2) Докажете теоремата за средната линия на триъгълник. 3) Радиус OB
Билет 1 1. Първият знак за равенство на триъгълниците. 2. Успоредник. Определение, свойства. 3. Проблем по темата „Координати и вектори“. Билет 2 1. Вторият знак за равенство на триъгълниците. 2. Правоъгълник.
Билети по геометрия за преносния изпит в 8. клас (учебник Геометрия 7 9 Л. С. Атанасян.) Всеки билет съдържа 4 въпроса. Първият въпрос ви кара да формулирате и докажете теорема. Във втория
Тест 94. Равнобедрен триъгълник. Свойство Във всеки равнобедрен триъгълник: 1. поне една медиана е негова ъглополовяща; 2. поне една ъглополовяща не е неговата височина; 3. най-малко две
Справочен материал по геометрия. I. Успоредни прави. Признаци на успоредни прави: 1. Ако при пресичане на две прави с напречна ъглите между тях са равни, то правите са успоредни. 2. Ако при пресичане
Вписани и описани окръжности Вписана окръжност на триъгълник е окръжност, която минава през всичките му върхове. Около всеки триъгълник може да се опише една окръжност.
Задача 6 Планиметрия: задачи, свързани с ъгли. Правоъгълен триъгълник: изчисляване на ъгли 1. В триъгълник ъгълът е 90, sin A = 7 25. Намерете. 2. В триъгълник ъгълът е 90, sin A = 17 17. Намерете.
Пирамиди. 11.1.5. Основата на четириъгълна пирамида е квадрат. Един от страничните ръбове е перпендикулярен на равнината на основата, другите два са наклонени към основата под ъгъл 60. Намерете общата повърхност
Смирнов В.А., Смирнова И.М. GEOMETRY PROOF PROBLEMS 2015 Въведение Това ръководство е предназначено за тези, които искат да научат как да решават пробни задачи в геометрията. Съдържа около четиристотин
ПРИМЕРИ ЗА ЗАДАЧИ ЗА ПОДГОТОВКА ЗА 2-РИ ЕТАП НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА ПЛАНИМЕТРИЯ ТРИЪГЪЛНИЦИ 1. Дължината на единия катет на правоъгълен триъгълник е с 10 см по-голяма от дължината на другия, но по-малка от дължината на хипотенузата.
ЗАДАЧА 9 ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК 1. В триъгълник ABC ъгъл C е равен на,. Намерете AB. 2. В триъгълник ABC ъгъл C е равен на,. Намерете AB. 3. В триъгълник ABC ъгъл C е равен на,. Намерете AB. 4. В триъгълник
Тема 1 ПРЕГЛЕД НА ПЛАНИМЕТРИЯ Практика 1 В клас (5 числа) 1. Основите на трапеца са равни на a и b (a > b). Намерете дължината на отсечката MN, чиито краища разделят страничните страни AB и CD спрямо AM: MB =
Прототипи на задача 6 1. В триъгълник ABC ъгъл C е равен на 90 0, AC = 4,8, 25. В триъгълник ABC AC = BC, AB = 8, 33 tga. 7 4 33 sin A. Намерете AB. 25 Намерете AC. 2. В триъгълник ABC ъгъл C е 90 0,
Работа по геометрия за 8 клас. 1. Вид на работата: междинна сертификация по геометрия в 8 клас Цел на работата: оценка на нивото на постигане на планираните резултати от обучението по геометрия от учениците в 8 клас 2. Списък
Изисквания към нивото на подготовка на учениците В резултат на изучаването на курса по геометрия за 8 клас учениците трябва: да знаят: - определението за успоредни прави, формулирането на знака за успоредни прави и последствията
Съдържание Формули за съкратено умножение и разлагане на множители... Квадратно уравнение... Парабола... 3 Степени и корени... 3 Логаритми... 4 Прогресии... 4 Тригонометрия... 5 Тригонометрични уравнения...
Майсторски клас „Геометрия и стереометрия на Единния държавен изпит по математика, част 1. Октомври 2017 г. За решаване на задачи, знания за геометрични формии свойствата им, изчисляване на площи на плоски фигури, обеми
Съдържание 1. Аритметична прогресия 2. Аритметика Корен квадратен 3. Симетрала 4. Вписана окръжност 5. Изпъкнал четириъгълник 6. Геометрична прогресия 7. Деление с остатък 8. Делимост
10 клас. Типично изчисление по темата „Планиметрия“. Вариант 1 1. В остроъгълен триъгълник проекциите на двете страни върху третата са 4 и 2 см. Намерете проекцията на медианите върху същата страна. 2. В равнобедрен триъгълник
Планиметрия
Основни сведения от училищната геометрия
1. Признаци за равенство на триъгълници.
1) Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
2) Ако една страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и два съседни ъгъла на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
3) Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, то триъгълниците са равни.
2.
Основни свойства и особености на равнобедрен триъгълник.
1) Ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.
2) Медианата на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е ъглополовяща и надморска височина.
3) Ако два ъгъла на триъгълник са равни, то той е равнобедрен.
4) Ако медианата на триъгълник е неговата надморска височина, тогава триъгълникът
равнобедрен.
5) Ако ъглополовящата на триъгълник е неговата надморска височина, тогава триъгълникът е равнобедрен.
6) Ако медианата на триъгълник е неговата ъглополовяща, тогава триъгълникът е равнобедрен.
3. Геометрично мястоточки, еднакво отдалечени от краищата на сегмент, има права, перпендикулярна на този сегмент и минаваща през неговата среда (перпендикулярната ъглополовяща на сегмента).
4. Признаци и свойства на успоредните прави.
1) Аксиома на паралелите. През тази точкаМожете да начертаете най-много една права линия, успоредна на дадена.
2) Ако при пресичане на две прави с трета се образуват равни вътрешни напречни ъгли, то правите са успоредни.
3) Ако две прави са успоредни на една и съща права, тогава те са успоредни една на друга.
4) Две прави, перпендикулярни на една и съща права, са успоредни.
5) Ако две успоредни прави се пресичат с трета, тогава образуваните вътрешни напречни ъгли са равни.
5. Теорема за сумата от ъглите на триъгълник и следствията от нея.
1) Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е 180◦.
2) Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.
3) Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е 180◦(n−2).
4) Сумата от външните ъгли на n-ъгълник е 360◦.
5) Ъглите с взаимно перпендикулярни страни са равни, ако и двата са остри или и двата тъпи.
6. Ако ъглополовящите на ъгли B и C на триъгълник ABC се пресичат в точка M, то ∠BMC = 90◦+ ∠A/2.
7. Ъгълът между ъглополовящите на съседните ъгли е 90◦.
8. Симетралите на вътрешните едностранни ъгли с успоредни прави и напречна са перпендикулярни.
9.
Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници.
1) От две страни.
2) По катета и хипотенузата.
3) По хипотенуза и остър ъгъл.
4) По крака и остър ъгъл.
10. Геометричното място на вътрешните точки на ъгъл, еднакво отдалечени от страните му, е ъглополовящата.
11 . Катет на правоъгълен триъгълник, лежащ срещу ъгъл от 30◦, е равен на половината от хипотенузата.
12. Ако катет на правоъгълен триъгълник е равен на половината от хипотенузата, тогава ъгълът срещу този катет е 30◦.
13. Неравенство на триъгълник.Сборът от двете страни на триъгълник е по-голям от третата страна.
14. Следствие от неравенството на триъгълника.Сумата от връзките на прекъснатата линия е по-голяма от отсечката, свързваща началото на първата връзка с края на последната.
15. По-голямата страна на триъгълник е срещу по-големия ъгъл.
16. Срещу по-голямата страна на триъгълника лежи по-големият ъгъл.
17. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е по-голяма от катета.
18.
Ако перпендикулярни и наклонени линии се изтеглят от една точка към права линия, тогава
1) перпендикулярът е по-къс от наклонените;
2) по-голяма наклонена кореспондира с по-голяма проекция и обратно
19. Успоредник.Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.
Свойства и характеристики на успоредник.
1) Диагоналът разделя успоредника на два равни триъгълника.
2) Противоположните страни на успоредника са равни по двойки.
3) Срещуположните ъгли на успоредник са равни по двойки.
4) Диагоналите на успоредник се пресичат и се разделят на две от пресечната точка.
5) Ако срещуположните страни на четириъгълник са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.
6) Ако две срещуположни страни на четириъгълник са равни
и успореден, тогава този четириъгълник е успоредник.
7) Ако диагоналите на четириъгълник се разполовяват от пресечната точка, тогава този четириъгълник е успоредник.
20. Правоъгълник.Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник.
Свойства и характеристики на правоъгълник.
1) Диагоналите на правоъгълника са равни.
2) Ако диагоналите на успоредник са равни, то този успоредник е правоъгълник.
21. Диамант. Ромбът е четириъгълник, чиито страни са равни.
Свойства и признаци на ромба.
1) Диагоналите на ромба са перпендикулярни.
2) Диагоналите на ромба разделят ъглите му наполовина.
3) Ако диагоналите на успоредник са перпендикулярни, то този успоредник е ромб.
4) Ако диагоналите на успоредник разделят ъглите му наполовина, тогава този успоредник е ромб.
22. Квадрат.Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни.
23. Геометричното място на точките, еднакво отдалечени от дадена права, е две успоредни прави.
24. Теорема на Талес.Ако от едната страна на ъгъла са положени равни сегменти и през краищата им са начертани успоредни прави, пресичащи втората страна на ъгъла, тогава равни сегменти също са положени от втората страна на ъгъла.
25. Средна линия на триъгълника.Отсечката, свързваща средите на двете страни на триъгълника, се нарича средна линия на триъгълника.
Теорема за средната линия на триъгълника.Средната линия на триъгълника е успоредна на страната на триъгълника и равна на половината от него.
26. Свойство на средините на страните на четириъгълник.Средите на страните на всеки четириъгълник са върховете на успоредника.
27. Теорема за медианите на триъгълник.Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и го разделят в съотношение 2:1, като се брои от върха.
28.
а) Ако медианата на триъгълник е равна на половината от страната, към която е начертан, тогава триъгълникът е правоъгълен.
б) Медиана на правоъгълен триъгълник, изведена от върха прав ъгъл, е равно на половината от хипотенузата.
29. Трапец.Трапецът е четириъгълник, чиито само две противоположни страни (основи) са успоредни. Средната линия на трапец е отсечка, свързваща средните точки на неуспоредни страни (страни).
Теорема за средната линия на трапец.Средната линия на трапеца е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.
30. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите.
31.
Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни.
Свойства и признаци на равнобедрен трапец.
1) Ъглите при основата на равнобедрен трапец са равни.
2) Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.
3) Ако ъглите при основата на трапец са равни, то той е равнобедрен.
4) Ако диагоналите на трапец са равни, то той е равнобедрен.
5) Проекцията на страничната страна на равнобедрен трапец върху основата е равна на половината от разликата на основите, а проекцията на диагонала е равна на половината от сбора на основите.
32. Кръг.Окръжността е геометричното място на точки в равнината, които са отдалечени от дадена точка, наречена център на окръжността, на същото положително разстояние.
Свойства на кръг.
1) Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разделя наполовина.
2) Диаметърът, минаващ през средата на хорда, която не е диаметър, е перпендикулярна на тази хорда.
3) Перпендикулярът на хордата минава през центъра на окръжността.
4) Равните хорди се отстраняват от центъра на кръга на равни разстояния.
5) Хордите на окръжност, които са на равни разстояния от центъра, са равни.
6) Окръжността е симетрична спрямо който и да е от нейните диаметри.
7) Дъгите на окръжност, съдържащи се между успоредни хорди, са равни.
8) От две хорди, тази, която е по-малко отдалечена от центъра, е по-голяма.
9) Диаметърът е най-голямата хорда на окръжност.
33. Забележително свойство на кръг.Геометричното място на точки M, от които се вижда отсечката AB под прав ъгъл (∠AMB =90◦), е окръжност с диаметър AB без точки A и B.
34. Геометрично местоположение на точки M, от които се вижда отсечка AB под остър ъгъл (∠AMB< 90◦) есть внешность круга с диаметром AB без точек прямой AB.
35. Геометрично място на точки M, от които се вижда отсечката AB тъп ъгъл(∠AMB > 90◦), има вътрешност на окръжност с диаметър AB без точки на отсечката AB.
36. Свойство на перпендикулярни ъглополовящи към страните на триъгълник.Перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника се пресичат в една точка, която е центърът на окръжността, описана около триъгълника.
37. Линията на центровете на две пресичащи се окръжности е перпендикулярна на тяхната обща хорда.
38. Центърът на окръжността, описана около правоъгълен триъгълник, е средата на хипотенузата.
39. Теорема за височините на триъгълник.Правите, съдържащи височините на триъгълника, се пресичат в една точка.
40. Допирателна към окръжност.Права линия, която има една обща точка с окръжност, се нарича допирателна към окръжността.
1) Допирателната е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.
2) Ако прав лминаваща през точка от окръжността е перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка, след това правата линия л- допирателна към окръжността.
3) Ако прави, минаващи през точка M, докосват окръжността в точки A и B, тогава MA = MB.
4) Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.
5) Теорема за ъглополовящата триъгълник.Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка, която е центърът на окръжността, вписана в триъгълника
41. Радиусът на окръжност, вписана в правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза c, е равен на (a + b − c)/2.
42. Ако M е точката на допир със страната AC на окръжност, вписана в триъгълник ABC, то AM = p − BC, където p е полупериметърът на триъгълника.
43. Окръжността докосва страната BC на триъгълника ABC и продълженията на страните AB и AC. Тогава разстоянието от върха A до точката на допир на окръжността с правата AB е равно на полупериметъра на триъгълник ABC.
44. Вписаната окръжност на триъгълник ABC докосва страните AB, BC и AC съответно в точки K, L и M. Ако ∠BAC = α, тогава ∠KLM = 90◦− α/2.
45.
Дадени са окръжности с радиуси r и R (R > r). Разстоянието между центровете им е а (а> R + r). Тогава отсечките от общи външни и общи вътрешни допирателни, затворени между точките на допиране, са равни, респ. 
И 
46. Ако една окръжност може да бъде вписана в четириъгълник, тогава сумите на противоположните му страни са равни.
47. Допирателни окръжности.Казва се, че две окръжности се докосват, ако имат една обща точка (допирна точка).
1) Допирната точка на две окръжности лежи на центровата им линия.
2) Окръжности с радиуси r и R с центрове O1 и O2 се докосват външноако и само ако R + r = O1O2.
3) Окръжности с радиуси r и R (r< R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2.
4) Окръжности с центрове O1 и O2 се допират външно в точка K. Някаква права линия докосва тези окръжности в различни точки A и B и пресича общата допирателна през точка K в точка C. Тогава ∠AKB = 90◦ и ∠O1CO2 = 90◦.
48. Ъгли, свързани с окръжност.
1) Ъгловата стойност на дъгата на окръжност е равна на ъгловата стойност на централния ъгъл.
2) Вписаният ъгъл е равен на половината от ъгловата стойност на дъгата, върху която лежи.
3) Ъгълът между пресичащите се хорди е равен на половината от сбора на противоположните дъги, пресечени от хордите.
4) Ъгълът между две секущи е равен на половината от разликата на дъгите, пресичани от секущите върху окръжността.
5) Ъгълът между допирателната и хордата е равен на половината от ъгловата стойност на дъгата, затворена между тях.
49. Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.
50. Геометрично място на точките, от които този сегментвидими от даден ъгъл, има две дъги равни кръгове(без краищата на тези дъги).
51. Ако четириъгълник може да бъде вписан в окръжност, тогава сборът от противоположните му ъгли е 180◦.
52. Ако сборът от противоположните ъгли на четириъгълник е 180◦, тогава около него може да се начертае окръжност.
53. Ако окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава страната на трапеца се вижда от центъра на окръжността под прав ъгъл.
54. Ако M е точка от отсечката AB и AM: BM = a: b, тогава AM: AB = a: (a + b), BM: AB = b: (a + b).
55. Теорема за пропорционалните отсечки.Успоредни линии, пресичащи страните на ъгъл, изрязват пропорционални сегменти върху тях.
56. Сходство. Признаци за подобие на триъгълници.
1) Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни на друг и ъглите между тези страни са равни, тогава триъгълниците са подобни.
2) Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на друг, то триъгълниците са еднакви.
3) Ако трите страни на един триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на друг, тогава триъгълниците са подобни.
57 . Отношението на съответните линейни елементи на подобни фигури е равно на коефициента на подобие.
58. Забележително свойство на трапец.Пресечната точка на диагоналите на трапец, пресечната точка на продълженията на страните и средата на основите лежат на една и съща права линия.
59. Свойство на ъглополовящата на триъгълник.Симетралата на триъгълник разделя страната му на сегменти, пропорционални на другите две страни.
60. Произведението на основата и височината за даден триъгълник е константа.
61. Ако BM и CN са височините на триъгълник ABC (∠A 90◦), тогава триъгълник AMN е подобен на триъгълник ABC и коефициентът на подобие е равен на |cos ∠A|.
62. Произведенията на дължините на отсечките от хордите AB и CD на окръжност, пресичащи се в точка E, са равни, т.е. |AE| · |EB| = |CE| · |ED|.
63. Теоремата за допирателната и секущата и нейното следствие.
1) Ако допирателната и секанса са начертани към окръжност от една точка, тогава произведението на целия секанс и външната му част е равно на квадрата на допирателната
2) Произведението на целия секанс и неговата външна част за дадена точка и дадена окръжност е константа.
64. Тригонометрични съотношения в правоъгълен триъгълник.
1) Крат на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и синуса на противоположния или на косинуса на острия ъгъл, прилежащ към този катет.
2) Катет на правоъгълен триъгълник е равен на друг катет, умножен по тангенса на срещуположния или котангенса на острия ъгъл, съседен на този катет.
65. Питагорова теорема.Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.
66. Теорема, обратна на теорематаПитагор.Ако квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен.
67. Пропорционални средства в правоъгълен триъгълник.Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на прав ъгъл, е средната пропорционална на проекциите на катетите върху хипотенузата, а всеки катет е средната пропорционална на хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата.
68. Ако окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава радиусът на окръжността е средно пропорционален на сегментите, на които точката на контакт разделя страната.
69. Отсечката от общата външна допирателна към две допирателни окръжности с радиуси r и R е равна на отсечката от общата вътрешна допирателна, затворена между общите външни. И двата сегмента са равни.
70. Метрични съотношения в триъгълник.
1) Косинусова теорема.Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни без удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.
2) Следствие от косинусовата теорема.Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на всичките му страни.
3) Формула за медиана на триъгълник.Ако m е медианата на триъгълника, начертана към страна c, тогава 
, където a и b са останалите страни на триъгълника.
4) Теорема за синусите.Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли.
5) Обобщена теорема на синусите.Съотношението на страната на триъгълника към синуса на срещуположния ъгъл е равно на диаметъра на окръжността, описана около триъгълника.
71. Формули за площта на триъгълник.
1) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината.
2) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях.
3) Площта на триъгълник е равна на произведението на неговия полупериметър и радиуса на вписания кръг.
4) Площта на триъгълника е равна на произведението на трите му страни, разделено на четири пъти радиуса на описаната окръжност.
5) Формулата на Херон. , където е полупериметърът на триъгълника.
72. Елементи на равностранен триъгълник със страна а. Нека h, S, r, R са радиусите на височината, площта, описаната и вписаната окръжност на равностранен триъгълник със страна а. Тогава
73. Формули за площта на успоредник.
1) Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината.
2) Площта на успоредник е равна на произведението на съседните му страни и синуса на ъгъла между тях.
3) Площта на правоъгълник е равна на произведението на двете му съседни страни.
4) Площта на ромба е равна на половината от произведението на неговите диагонали.
74. Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината.
75. Площта на четириъгълника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях.
76. Съотношението на площите на подобни триъгълници е равно на квадрата на коефициента на подобие.
77. Ако кръг може да бъде вписан в многоъгълник, тогава неговата площ е равна на произведението от полупериметъра на многоъгълника и радиуса на този кръг.
78. Ако M е точка от страната BC на триъгълник ABC, тогава
79.
Ако P и Q са точки от страните AB и AC (или от техните продължения) на триъгълник ABC, тогава 
80.
Обиколката на окръжност с радиус R е 2πR.
81.
Площта на кръг с радиус R е равна на πR 2.
Литература: Гордин Р.К., „Това трябва да знае всеки ученик по математика“
Етикети , . Виж .
1Дремова О.Н. (, средно училище MBOU "Anninsky Lyceum")
1. Геометрия 7-9 клас: учебник. за общо образование институции / А.В. Погорелов. – 10-то изд. – М.: Образование, 2016. – 240 с.
2. http://ru.solverbook.com
3. http://ege-study.ru
4. https://reshyege.ru/
5. http:// www.fmclass.ru/math.phpid = 4850e0880794e
6. http://tehtab.ru
7. https://ege.sdamgia.ru/problemid = 50847
8. http://alexlarin.net/ege17.html
Тази статия е абстрактно представяне на основната работа. Пълен текст научна работа, приложения, илюстрации и други Допълнителни материалидостъпен на уебсайта на IV Международно състезаниенаучни изследвания и творчески произведенияученици „Старт в науката“ на връзката: https://school-science.ru/1017/7/770.
Хипотеза, уместност, цел, цели на проекта, обект и предмет на изследване, резултати
Мишена: Идентифициране и доказване на малко известни теореми и свойства на геометрията.
Цели на изследването:
1. Изучавайте учебна и справочна литература.
2. Съберете малко известен теоретичен материал, необходим за решаване на планиметрични задачи.
3. Разберете доказателствата на малко известни теореми и свойства.
4. Намерете и решете задачи на KIM на Единния държавен изпит, като използвате тези малко известни теореми и свойства.
Уместност: В задачите на Единния държавен изпит по математика често има задачи по геометрия, чието решение създава някои трудности и ви принуждава да губите много време. Способността за решаване на такива проблеми е съществено условие за успешно завършване. Единен държавен изпитниво по математика. Но има решение на този проблем, някои от тези проблеми могат лесно да бъдат решени с помощта на теореми, свойства, които са малко известни и не им се обръща внимание в училищен курсматематика. Според мен това може да обясни интереса ми към изследваната тема и нейната актуалност.
Обект на изследване:геометрични задачи на КИМ на Единния държавен изпит.
Предмет на изследване:малко известни теореми и свойства на планиметрията.
Хипотеза:Има малко известни теореми и свойства на геометрията, познаването на които ще улесни решаването на някои планиметрични проблеми на USE CIM.
Изследователски методи:
1) Теоретичен анализ и търсене на информация за малко известни теореми и свойства;
2) Доказателство на теореми и свойства
3) Търсете и решавайте проблеми с помощта на тези теореми и свойства
В математиката и в геометрията като цяло има огромен брой различни теореми и свойства. Има много теореми и свойства за решаване на планиметрични задачи, които все още са актуални днес, но са малко известни и много полезни за решаване на проблеми. При изучаването на този предмет се изучават само основните, добре познати теореми и методи за решаване на геометрични задачи. Но освен това има доста голям брой различни свойства и теореми, които опростяват решението на този или онзи проблем, но малко хора изобщо знаят за тях. IN Единен държавен изпит KIMahрешаването на геометрични проблеми може да бъде много по-лесно, ако знаете тези малко известни свойства и теореми. В CMM геометричните проблеми се намират в номера 8, 13, 15 и 16. Малко известни теореми и свойства, описани в моята работа, значително опростяват решаването на планиметрични задачи.
Теорема за ъглополовяща триъгълник
Теорема: Симетралата на ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на сегменти, пропорционални на съседните страни на триъгълника.
Доказателство.
Нека разгледаме триъгълника ABC и ъглополовящата на неговия ъгъл B. Нека начертаем права CM през върха C, успоредна на ъглополовящата BC, докато пресече в точка M продължението на страната AB. Тъй като VC е ъглополовяща на ъгъл ABC, то ∠АВК = ∠КВС. Освен това ∠АВК = ∠ВСМ, като съответни ъгли за успоредни прави, и ∠КВС = ∠ВСМ, като напречни ъгли за успоредни прави. Оттук ∠ВСМ = ∠ВМС, следователно триъгълникът ВСМ е равнобедрен, откъдето ВС = ВМ. По теоремата за успоредни прави, пресичащи страните на ъгъл, имаме AK: KS = AB: VM = AB: BC, което трябваше да се докаже.
Нека разгледаме задачи, в които се използва свойството на ъглополовящи триъгълници.
Задача № 1. В триъгълник ABC ъглополовящата AH разделя страната BC на отсечки, чиито дължини са 28 и 12. Намерете периметъра на триъгълник ABC, ако AB - AC = 18.
ABC - триъгълник
AH - ъглополовяща
Нека AC = X, тогава AB = X + 18
Съгласно свойството на ъглополовящата алфа, AB·HC = BH·AC;
28 X = 12 (x + 18)x = 13,5,
означава AC = 13,5, от където
AB = 13,5 + 18 = 31,5 BC = 28 + 12 = 40,
P = AB + BC + AC = 85
Теорема за медианата на триъгълника
Теорема. Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и там се разделят в съотношение 2:1, като се брои от върха.
Доказателство. В триъгълник A BC начертаваме медианите AA1 и CC1 и означаваме тяхната пресечна точка като M.
През точка C1 прекарваме права, успоредна на AA1, а нейната пресечна точка с BC означаваме D.
Тогава D е средата на BA1, следователно CA1:A1D = 2:1.
Според теоремата на Талес CM:MC1 = 2:1. Така медианата AA1 пресича медианата CC1 в точка M, която разделя медианата CC1 в съотношение 2:1.
По подобен начин медианата BB1 пресича медианата CC1 в точка, разделяща медианата CC1 в съотношение 2:1, т.е. точка М.
Задача № 1. Докажете, че медианата на триъгълника е по-близо до по-дългата страна, т.е. ако в триъгълник ABC, AC>BC, то неравенството ACC1 е в сила за медианата CC1< BCC1.
Нека продължим медианата CC1 и отделим отсечката C1B, равна на AC1. Триъгълник AC1D равен на триъгълник BC1C от двете страни и ъгъла между тях. Следователно AD = BC, ADC1 = BCC1. В триъгълник ACD AC> AD. Тъй като по-големият ъгъл лежи срещу по-голямата страна на триъгълника, ADC1>ACD. Следователно неравенството ACC1 Задача № 2. Площта на триъгълник ABC е равна на 1. Намерете лицето на триъгълник, чиито страни са равни на медианите на дадения триъгълник. Триъгълник ABC Нека AA1, BB1, CC1 са медианите на триъгълник ABC, пресичащи се в точка M. Нека продължим медианата CC1 и начертаем отсечката C1D, равна на MC1. Площта на триъгълник BMC е 1/3, а страните му са 2/3 от медианите на първоначалния триъгълник. Следователно площта на триъгълник, чиито страни са равни на медианите на даден триъгълник, е равна на 3/4.Нека изведем формула, изразяваща медианите на триъгълник по отношение на неговите страни. Нека страните на триъгълник ABC са a, b, c. Означаваме търсената дължина на медианата CD като mc. По косинусовата теорема имаме: Събирайки тези две равенства и вземайки предвид, че cosADC = -cosBDC, получаваме равенството: от което намираме Теорема за средните линии на триъгълник Теорема: трите средни линии на триъгълник го разделят на 4 равни триъгълника, подобни на този с коефициент на подобие ½ Доказателство: Нека ABC е триъгълник. C1 е средата на AB, A1 е средата на BC, B1 е средата на AC. Нека докажем, че триъгълниците AC1B1, BC1A1, A1B1C, C1B1A1 са равни. Тъй като C1 A1 B1 са средни точки, тогава AC1 = C1B, BA1 = A1C, AB1 = B1C. Използваме свойството на средната линия: С1А1 = 1/2 · AC = 1/2 · (АВ1 + В1C) = 1/2 · (АВ1 + АВ1) = АВ1 По същия начин C1B1 = A1C, A1B1 = AC1. След това в триъгълници AC1B1, BA1C1, A1B1C, C1B1A1 AC1 = BC1 = A1B1 = A1B1 AB1 = C1A1 = B1C = C1A1 C1B1 = BA1 = A1C = C1B1 Това означава, че триъгълниците са равни по три страни, следва това A1/B1 = A1C1/AC = B1C1/BC = ½ Теоремата е доказана. Нека разгледаме решаването на задачи, използвайки свойството на средните линии на триъгълник. Задача № 1. Даден е триъгълник ABC със страни 9,4 и 7. Намерете периметъра на триъгълник C1A1B1, чиито върхове са среди на тези страни Дадено е: триъгълник - ABC 9,4,7 страни на триъгълник Според свойството подобие на триъгълниците: 3 средни линии на триъгълник го разделят на 4 равни триъгълника, подобни на този с коефициент 1/2. C1A1 = 9/2 = 4,5 A1B1 = 4/2 = 2 C1B1 = 7/2 = 3,5 следователно периметърът е = 4,5 + 2 + 3,5 = 10 Свойство на допирателна към окръжност Теорема: квадратът на допирателната е равен на произведението на секанса и неговата външна част. Доказателство. Нека начертаем отсечките AK и BK.Триъгълниците AKM и BKM са подобни, защото имат общ ъгъл M. А ъглите AKM и B са равни, тъй като всеки от тях се измерва с половината дъга AK. Следователно MK/MA = MB/MK, или MK2 = MA·MB. Примери за решаване на проблеми. Задача № 1. От точка А извън окръжността се провеждат секуща с дължина 12 см и допирателна, чиято дължина е 2 пъти по-малка от отсечката на секущата, разположена вътре в окръжността. намерете дължината на тангентата. ACD секанс Ако допирателната и секансът са начертани към окръжност от една точка, тогава произведението на целия секанс и неговата външна част е равно на квадрата на допирателната, тоест AD·AC = AB2. ИлиAD·(AD-2AB) = AB2. Заменяме известните стойности: 12(12-2AB) = AB2 или AB2 + 24 AB-144. AB = -12 + 12v2 = 12(v2-1) Свойство на страните на описан четириъгълник Теорема: за четириъгълник, описан около окръжност, сумите от дължините на срещуположните страни са равни Доказателство: По свойството на допирателната AP = AQ, DP = DN, CN = CM и BQ = BM намираме, че AB + CD = AQ + BQ + CN + DNiBC + + AD = BM + CM + AP + DP. Следователно AB + CD = BC + AD Нека да разгледаме примери за решаване на проблеми. Задача № 1. Трите страни на четириъгълник, описан около окръжност, са в съотношение (в последователен ред) като 1:2:3. Намерете най-дългата страна на този четириъгълник, ако е известно, че периметърът му е 32. ABCD - четириъгълник AB:BC:CD = 1:2:3 Нека страната AB = x, тогава AD = 2x и DC = 3x. Съгласно свойството на описания четириъгълник сумите на противоположните страни са равни и следователно x + 3x = BC + 2x, откъдето BC = 2x, тогава периметърът на четириъгълника е 8X. Получаваме, че x = 4, а по-голямата страна е 12. Задача № 2. Около окръжност е описан трапец, чийто периметър е 40. Намерете средната му линия. ABCD-трапец, l - средна линия Решение: Средната линия на трапец е равна на половината от сбора на основите. Нека основите на трапеца са a и c, а страните b и d. По свойството на описания четириъгълник a + c = b + d, което означава, че периметърът е 2(a + c). Получаваме, че a + c = 20, откъдето L = 10 Формулата на Пик Теорема на Пик: площта на многоъгълник е: където Г е броят на възлите на решетката на границата на полигона B е броят на възлите на решетката вътре в полигона. Например, за да изчислим площта на четириъгълника, показан на фигурата, считаме: G = 7, V = 23, откъдето S = 7:2 + 23 - 1 = 25,5. Площта на всеки многоъгълник, начертан върху карирана хартия, може лесно да се изчисли, като се представи като сбор или разлика на площите на правоъгълни триъгълници и правоъгълници, чиито страни следват линиите на мрежата, минаващи през върховете на начертания триъгълник. В някои случаи дори е възможно да се приложи готова формула за площта на триъгълник или четириъгълник. Но в някои случаи тези методи са или невъзможни за прилагане, или процесът на тяхното използване е трудоемък и неудобен. За да изчислим площта на многоъгълника, показан на фигурата, използвайки формулата на Пик, имаме: S = 8/2 + 19-1 = 22. Заключение Изследването потвърди хипотезата, че в геометрията има теореми и свойства, малко известни от училищния курс, които опростяват решаването на някои планиметрични задачи, включително проблемите на Единния държавен изпит KIM. Успях да намеря такива теореми и свойства и да ги приложа за решаване на проблеми и да докажа, че приложението им намалява огромните решения на някои проблеми до решения за няколко минути. Използването на теоремите и свойствата, описани в моята работа, в някои случаи ви позволява да решите проблема веднага и устно и ви позволява да спестите повече време на Единния държавен изпит и просто при решаването им в училище. Вярвам, че материалите от моето изследване могат да бъдат полезни на завършилите, когато се подготвят за полагане на Единния държавен изпит по математика.
.
Библиографска връзка
Хворов И.И. МАЛКО ИЗВЕСТНИ ТЕОРЕМИ НА ПЛАНИМЕТРИЯТА // Международен училищен научен бюлетин. – 2018. – № 3-2. – с. 184-188;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=544 (дата на достъп: 02.01.2020 г.).
