Нека изберем правоъгълна координатна система на равнината и начертаем стойностите на аргумента върху абсцисната ос х, а по ординатата - стойностите на функцията y = f(x).
Функционална графика y = f(x)е множеството от всички точки, чиито абсциси принадлежат към областта на дефиниране на функцията, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията.
С други думи, графиката на функцията y = f (x) е множеството от всички точки на равнината, координати Х, прикоито удовлетворяват отношението y = f(x).
На фиг. 45 и 46 показват графики на функции y = 2x + 1И y = x 2 - 2x.
Строго погледнато, трябва да се прави разлика между графика на функция (чието точно математическо определение беше дадено по-горе) и начертана крива, която винаги дава само повече или по-малко точна скица на графиката (и дори тогава, като правило, не цялата графика, а само нейната част, разположена в крайните части на равнината). В това, което следва обаче, обикновено ще казваме „графика“, а не „скица на графика“.
С помощта на графика можете да намерите стойността на функция в точка. А именно, ако точката х = апринадлежи към областта на дефиниране на функцията y = f(x), след което да намерите номера е(а)(т.е. стойностите на функцията в точката х = а) трябва да направите това. Необходимо е през абсцисната точка х = аначертайте права линия, успоредна на ординатната ос; тази линия ще пресича графиката на функцията y = f(x)в една точка; ординатата на тази точка, по силата на определението на графиката, ще бъде равна на е(а)(фиг. 47).
Например за функцията f(x) = x 2 - 2xс помощта на графиката (фиг. 46) намираме f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т.н.
Функционалната графика ясно илюстрира поведението и свойствата на функцията. Например, от разглеждането на фиг. 46 е ясно, че функцията y = x 2 - 2xприема положителни стойности, когато х< 0 и при х > 2, отрицателен - при 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xприема при х = 1.
Да начертаете графика на функция f(x)трябва да намерите всички точки на равнината, координати х,прикоито удовлетворяват уравнението y = f(x). В повечето случаи това е невъзможно да се направи, тъй като има безкраен брой такива точки. Затова графиката на функцията се изобразява приблизително - с по-голяма или по-малка точност. Най-простият е методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки. Състои се в това, че аргументът хдайте краен брой стойности - да речем, x 1, x 2, x 3,..., x k и създайте таблица, която включва избраните стойности на функцията.
Таблицата изглежда така:
След като съставим такава таблица, можем да очертаем няколко точки на графиката на функцията y = f(x). След това, свързвайки тези точки с гладка линия, получаваме приблизителен изглед на графиката на функцията y = f(x).
Трябва да се отбележи обаче, че методът за многоточково изобразяване е много ненадежден. Всъщност поведението на графиката между предвидените точки и нейното поведение извън сегмента между взетите крайни точки остава неизвестно.
Пример 1. Да начертаете графика на функция y = f(x)някой състави таблица със стойности на аргументи и функции:
Съответните пет точки са показани на фиг. 48.
Въз основа на местоположението на тези точки той заключава, че графиката на функцията е права линия (показана на фиг. 48 с пунктирана линия). Може ли това заключение да се счита за надеждно? Освен ако няма допълнителни съображения в подкрепа на това заключение, то едва ли може да се счита за надеждно. надежден.
За да обосновем нашето твърдение, разгледайте функцията
.
Изчисленията показват, че стойностите на тази функция в точки -2, -1, 0, 1, 2 са точно описани в таблицата по-горе. Графиката на тази функция обаче изобщо не е права линия (показана е на фиг. 49). Друг пример би била функцията y = x + l + sinπx;неговите значения също са описани в таблицата по-горе.
Тези примери показват, че в своята „чиста“ форма методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки е ненадежден. Следователно, за да се начертае графика на дадена функция, обикновено се процедира по следния начин. Първо, изучаваме свойствата на тази функция, с помощта на които можем да изградим скица на графиката. След това чрез изчисляване на стойностите на функцията в няколко точки (изборът на които зависи от установените свойства на функцията) се намират съответните точки на графиката. И накрая се изчертава крива през построените точки, използвайки свойствата на тази функция.
По-късно ще разгледаме някои (най-простите и най-често използвани) свойства на функции, използвани за намиране на скица на графика, но сега ще разгледаме някои често използвани методи за конструиране на графики.
Графика на функцията y = |f(x)|.
Често е необходимо да се начертае функция y = |f(x)|, където f(x) -дадена функция. Нека ви припомним как става това. Като дефинираме абсолютната стойност на число, можем да напишем
Това означава, че графиката на функцията y =|f(x)|може да се получи от графика, функция y = f(x)както следва: всички точки от графиката на функцията y = f(x), чиито ординати са неотрицателни, трябва да се оставят непроменени; по-нататък, вместо точките от графиката на функцията y = f(x)с отрицателни координати, трябва да построите съответните точки на графиката на функцията y = -f(x)(т.е. част от графиката на функцията
y = f(x), която лежи под оста Х,трябва да се отразява симетрично спрямо оста х).
Пример 2.Графика на функцията y = |x|.
Нека вземем графиката на функцията y = x(Фиг. 50, а) и част от тази графика в х< 0 (лежи под оста х), симетрично отразени спрямо оста х. В резултат на това получаваме графика на функцията y = |x|(Фиг. 50, b).
Пример 3. Графика на функцията y = |x 2 - 2x|.
Първо, нека начертаем функцията y = x 2 - 2x.Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, върхът на параболата има координати (1; -1), нейната графика пресича оста x в точки 0 и 2. В интервала (0; 2) функцията приема отрицателни стойности, поради което тази част от графиката се отразява симетрично спрямо абсцисната ос. Фигура 51 показва графиката на функцията y = |x 2 -2x|, въз основа на графиката на функцията y = x 2 - 2x
Графика на функцията y = f(x) + g(x)
Помислете за проблема с изграждането на графика на функция y = f(x) + g(x).ако са дадени графики на функции y = f(x)И y = g(x).
Обърнете внимание, че областта на дефиниция на функцията y = |f(x) + g(x)| е множеството от всички онези стойности на x, за които и двете функции y = f(x) и y = g(x) са дефинирани, т.е. тази област на дефиниция е пресечната точка на областите на дефиниция, функции f(x) и g(x).
Нека точките (x 0, y 1) И (x 0, y 2) съответно принадлежат на графиките на функциите y = f(x)И y = g(x), т.е 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0).Тогава точката (x0;. y1 + y2) принадлежи на графиката на функцията y = f(x) + g(x)(за f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. и всяка точка от графиката на функцията y = f(x) + g(x)може да се получи по този начин. Следователно графиката на функцията y = f(x) + g(x)могат да бъдат получени от функционални графики y = f(x). И y = g(x)замяна на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)точка (x n, y 1 + y 2),Където y 2 = g(x n), т.е. чрез изместване на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)по оста припо количеството y 1 = g(x n). В този случай се вземат предвид само такива точки х n, за които са дефинирани и двете функции y = f(x)И y = g(x).
Този метод за чертане на функция y = f(x) + g(x) се нарича събиране на графики на функции y = f(x)И y = g(x)
Пример 4. На фигурата е построена графика на функцията с помощта на метода на добавяне на графики
y = x + sinx.
При начертаване на функция y = x + sinxмислихме това f(x) = x,А g(x) = sinx.За да начертаем графиката на функцията, избираме точки с абсцисите -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Стойности f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxНека изчислим в избраните точки и поставим резултатите в таблицата.
Паралелен трансфер.
ПРЕВОД ПО ОСТА Y
f(x) => f(x) - b
Да предположим, че искате да построите графика на функцията y = f(x) - b. Лесно се вижда, че ординатите на тази графика за всички стойности на x върху |b| единици по-малки от съответните ординати на графиката на функцията y = f(x) за b>0 и |b| единици повече - при b 0 или нагоре при b За да начертаете графиката на функцията y + b = f(x), трябва да построите графика на функцията y = f(x) и да преместите оста x на |b| единици нагоре при b>0 или с |b| единици надолу при b
ПРЕХВЪРЛЯНЕ ПО АБСЦИДСНАТА ОС
f(x) => f(x + a)
Да предположим, че искате да начертаете функцията y = f(x + a). Да разгледаме функцията y = f(x), която в някакъв момент x = x1 приема стойността y1 = f(x1). Очевидно функцията y = f(x + a) ще приеме същата стойност в точката x2, чиято координата се определя от равенството x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, като разглежданото равенство е валидно за съвкупността от всички стойности от областта на дефиниране на функцията. Следователно графиката на функцията y = f(x + a) може да се получи чрез успоредно преместване на графиката на функцията y = f(x) по оста x наляво с |a| единици за a > 0 или надясно с |a| единици за a За да построите графика на функцията y = f(x + a), трябва да построите графика на функцията y = f(x) и да преместите ординатната ос на |a| единици надясно, когато a>0 или с |a| единици вляво при a
Примери:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Отражение.
ПОСТРОЯВАНЕ НА ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯ ОТ ФОРМАТА Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Очевидно е, че функциите y = f(-x) и y = f(x) приемат еднакви стойности в точки, чиито абсциси са равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак. С други думи, ординатите на графиката на функцията y = f(-x) в областта на положителните (отрицателни) стойности на x ще бъдат равни на ординатите на графиката на функцията y = f(x) за съответните отрицателни (положителни) стойности на x в абсолютна стойност. Така получаваме следното правило.
За да начертаете функцията y = f(-x), трябва да начертаете функцията y = f(x) и да я отразите спрямо ординатата. Получената графика е графиката на функцията y = f(-x)
ПОСТРОЯВАНЕ НА ГРАФИКА НА ФУНКЦИЯ ОТ ФОРМАТА Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ординатите на графиката на функцията y = - f(x) за всички стойности на аргумента са равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак на ординатите на графиката на функцията y = f(x) за еднакви стойности на аргумента. Така получаваме следното правило.
За да начертаете графика на функцията y = - f(x), трябва да начертаете графика на функцията y = f(x) и да я отразите спрямо оста x.
Примери:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Деформация.
ДЕФОРМАЦИЯ НА ГРАФИКАТА ПО ОСТА Y
f(x) => k f(x)
Помислете за функция от формата y = k f (x), където k > 0. Лесно е да се види, че при еднакви стойности на аргумента ординатите на графиката на тази функция ще бъдат k пъти по-големи от ординатите на графиката на функцията y = f(x) за k > 1 или 1/k пъти по-малко от ординатите на графиката на функцията y = f(x) за k За да построите графика на функцията y = k f(x ), трябва да построите графика на функцията y = f(x) и да увеличите нейните ординати с k пъти за k > 1 (разтегнете графиката по ординатната ос) или да намалите нейните ординати с 1/k пъти при k
k > 1- разтягане от оста Ox
0 - компресия към оста OX
ДЕФОРМАЦИЯ НА ГРАФИКАТА ПО АБСЦИДСНАТА ОС
f(x) => f(k x)
Нека е необходимо да се построи графика на функцията y = f(kx), където k>0. Да разгледаме функцията y = f(x), която в произволна точка x = x1 приема стойността y1 = f(x1). Очевидно е, че функцията y = f(kx) приема същата стойност в точката x = x2, чиято координата се определя от равенството x1 = kx2, и това равенство е валидно за съвкупността от всички стойности на x от областта на дефиниране на функцията. Следователно графиката на функцията y = f(kx) се оказва компресирана (за k 1) по абсцисната ос спрямо графиката на функцията y = f(x). Така получаваме правилото.
За да построите графика на функцията y = f(kx), трябва да построите графика на функцията y = f(x) и да намалите нейните абциси с k пъти за k>1 (компресирайте графиката по абсцисната ос) или да увеличите неговите абсциси с 1/k пъти за k
k > 1- компресия към оста Oy
0 - разтягане от оста OY
Работата е извършена от Александър Чичканов, Дмитрий Леонов под ръководството на Т. В. Ткач, С. М. Вязов, И. В. Островерхова.
©2014
1. Четни и нечетни.Функцията f(x) се извиква дори ако нейните стойности са симетрични спрямо оста OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) се нарича нечетна, ако нейната стойност се промени на противоположната, когато променливата x се промени с -x, т.е. f(-x) = -f(x). В противен случай функцията се нарича обща функция.
2.Монотонност.За функция се казва, че нараства (намалява) на интервала X, ако по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията, т.е. на х1< (>) x2, f(x1)< (>) f(x2).
3. Честота.Ако стойността на функцията f(x) се повтаря след определен период T, тогава функцията се нарича периодична с период T ≠ 0, т.е. f(x + T) = f(x). Иначе непериодично.
4. Ограничен.Функция f (x) се нарича ограничена в интервала X, ако има положително число M > 0, така че за всяко x, принадлежащо на интервала X, | f(x) |< M. В противном случае функция называется неограниченной.
Конспект на урок по математика за 7 клас
(според учебника на А. Г. Мордкович)
Тема на урока: Какво означава нотацията y = f(x) в математиката? Функция на части.
Тип урок: „откриване“ на нови знания.
Основенцели:
Формирайте способността за обобщаване;
Повторете и консолидирайте свойствата на линейните и квадратичните функции,
графично решение на уравнения.
Стъпки на урока:
Самоопределение за дейност (Време за организиране).
Здравейте момчета! Днес ще продължим да работим с функции.
Актуализиране на знанията и записване на затруднения в дейностите.
Нека започнем нашата дискусия с пример.
2.1. Как да намеря стойността на функцията y=3x-2 при x=4? (Трябва да умножите числото Z по 4 и да извадите 2 от този продукт. Получаваме y=10).
Какво е името на функцията y=3x-2? (Това е линейна функция).
функция е права линия)
2.2. Как да намерим стойността на функцията y=х 2 +Z при x=2? (Трябва да повдигнете на квадрат числото 2 и да добавите Z към получения резултат. Получаваме y=7).
Какво е името на функцията y=x 2 +z? (Това е квадратична функция).
Коя линия е графиката на тази функция? (Графика на това
функция е парабола).
Виждаме, че независимо от вида на функцията, за да се изчисли стойността y от дадена стойност x, е необходимо да се извърши набор от определени действия и операции. Съвкупността от тези действия, операции (алгоритъм за изчисление) се нарича функция и се обозначава със символа y=f(x).
Разбира се, функцията y=f(x) може да бъде определена с няколко формули.
2.3 Разгледайте следната задача
Като се има предвид функцията y= 
а) Изчислете f(-l), f(0), f(2), f(3).
б) Нека начертаем функцията y=f(x).
Учениците се затрудняват при изпълнение на задачата.
3. Постановка на учебната задача.
Ако някой от учениците предложи правилно решение, учителят ще го помоли да обоснове как са извършени действията.
Ако учениците не могат да решат задачата, тогава преговорът се провежда фронтално под ръководството на учителя.
Какво е дадено в задачата?
(Дадени са две функции: y=5-2x иг=
На какви интервали са дефинирани тези функции? (Функция y=5-2x
дефиниран при x<2, а у= x - при x2).
Такава функция, която се дава с различни формули в различни области, се наричана части функция.
Как да изпълним задачата? (Трябва да разгледаме първо една функция и след това друга, като вземем предвид домейна на дефиниция на функцията).
вярно! Това е нашата хипотеза. Какво трябва да направите, за да го използвате? (докажете в общ вид).
Вие формулирахте целта на днешния урок. Как бихте кръстили темата на урока? (Функции на части).
Учителят записва темата на урока на дъската, а учениците я записват в тетрадките си.
Изграждане на проект за излизане от проблем ("отваряне"нови знания)
4.1. И така, формулирайте отново алгоритъма за работа с функции на части. (Трябва да разгледаме първо една функция и след това друга, като вземем предвид домейна на дефиниция на функцията).
Учениците трябва да говорят по двойки решението на задачата в продължение на 5-7 минути и да го запишат в тетрадките си.
След това решението се записва на дъската.
Решение:
а) Защото x=-1, x=0, x=l отговарят на условието x<2, то пользуемся первой формулой f(x)= 5-2х и получаем f(-1)= 5-2*(-1)=7, f(0)= 5-2*0=5,
f(-1)= 5-2* 1=3.
защото,x=2 и x=3 отговарят на условието x2, тогава използваме втората формула
f(x)=и получаваме f(2)= 2=1, f(3)=Z=1,5.
б) Когах< 2 нека изградим права линияг 1 =5-2x и прих2 изградете права линияf(x)=Построената прекъсната линия е графика на тази функция y=f(x).
В този случай графиката на функцията е непрекъсната функция.Y 1
Y2
Първична консолидация във външна реч.
Учениците изпълняват No 39.5 устно, обосновавайки действията си
6. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт.
6.1. Учениците изпълняват самостоятелни задачи:
1). Графика на функцията
7. Отражение на дейността.
Какво ново научихме в урока?
Кой можеш да тагнеш?
Оценете работата си в клас. (Учениците са помолени да вдигнат сигнални карти: зелено - направиха всичко правилно; жълто - имаше малки затруднения, но го разбраха; червено - необходима е допълнителна помощ).
8. Домашна работа: 39.10 (b); 39.15(а); 39.22.
По избор: начертайте графика на функциятаy=
Позволявамг- някаква функция на променливах; Освен това няма значение как е зададена тази функция: формула, таблица или по друг начин. Важен е самият факт на съществуването на тази функционална зависимост, която се записва по следния начин:г = f(х). Писмоf(началната буква на латинската дума “functio” - функция) не обозначава никаква величина, точно както буквителог, грях, тен във функционални записиг=дневникх, г= гряхх, г= тенх. Те говорят само за определени функционални зависимостиготх. Записвайтег = f (х) евсякаквифункционална зависимост. Ако има две функционални зависимости:готхИzотTсе различават един от друг, те се пишат с различни букви:г = f (х) Иz = Е (T). Ако някои зависимости са еднакви, значи се изписват с една и съща букваf: г = f (х) Иz = f (T). Ако изразът за функционална зависимостг = f (х) е известно, тогава може да се запише, като се използват и двете нотации на функцията. Например,г= грях хили f(х) = грях х. И двете форми са напълно равностойни. Понякога се използва друга форма на нотация: г (х). Това означава същото като г = f (х).
Графично представяне на функции.
За представяне на функцияг = f(х) под формата на графика, имате нужда от:
1) Напишете редица стойности на функцията и нейния аргумент в таблицата:
2) Прехвърлете координатите на функционалните точки от таблицата в координатната система,
маркиране на стойностите на абсцисата в избраната скала
брадвихи ординатни стойности на остаY(фиг. 2). В резултат на това в нашата система
координати ще бъдат начертани поредица от точкиA, B, C, . . . , Ф.
3) Свързване на точкитеA, B, C, . . . , Фгладка крива, получаваме графика на дадената
функционална зависимост.
Такова графично представяне на функция дава ясна представа за естеството на нейното поведение, но постигнатата точност е недостатъчна. Възможно е междинни точки, които не са нанесени на графиката, да са далеч от начертаната гладка крива. Добрите резултати до голяма степен зависят и от добрия избор на везни. Следователно е необходимо да се определи графика на функция като геометрично място на точките , координати които M (x, y) са свързани с дадена функционална зависимост .
Домейнът на дефиниция и диапазонът от стойности на функция.В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа Р. Това означава, че аргументът на функцията може да приема само онези реални стойности, за които е дефинирана функцията, т.е. също така приема само реални стойности. Няколко хвсички валидни валидни стойности на аргумент х, за които функцията г= f(х) определен, наречен област на функцията. Няколко Yвсички реални стойности г, което функцията приема, се извиква функционален диапазон. Сега можем да дадем по-точна дефиниция на функцията: правило (закон) за съответствие между множествата X и Y, по която за всеки елемент от множеството X може да се намери един и само един елемент от множеството Y се нарича функция.
