Между корените и коефициентите на квадратно уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнение степен n и нейните коефициенти.
Навигация в страницата.
Теорема на Виета, формулировка, доказателство
От формулите за корените на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 от вида, където D=b 2 −4·a·c следват следните съотношения: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:
Теорема.
Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.
Доказателство.
Ще извършим доказателството на теоремата на Виета по следната схема: ще съставим сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известни формуликорени, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни съответно на −b/a и c/a.
Да започнем със сбора на корените и да го съставим. Сега намаляваме дробите до общ знаменател, имаме . В числителя на получената дроб, след което:. Накрая, след 2, получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.
Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение: . Съгласно правилото за умножаване на дроби последният продукт може да бъде записан като . Сега умножаваме скоба по скоба в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за квадратна разлика, така че След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D=b 2 −4·a·c, тогава вместо D в последната дроб можем да заместим b 2 −4·a·c, получаваме. След като отворим скобите и приведем подобни членове, стигаме до дробта , а нейното намаляване с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.
Ако пропуснем обясненията, доказателството на теоремата на Виета ще приеме лаконична форма:
,
.
Остава само да се отбележи, че ако дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има две еднакви корени, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, когато D=0 коренът на квадратното уравнение е равен на , тогава и , и тъй като D=0, т.е. b 2 −4·a·c=0, откъдето b 2 =4·a·c, тогава .
На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с водещ коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0. Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете страни на различно от нула число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:
Теорема.
Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 е равна на коефициента на x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член, т.е. x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Теорема, обратна на теоремата на Виета
Втората формулировка на теоремата на Vieta, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и го докажем.
Теорема.
Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p · x+q =0.
Доказателство.
След замяна на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p x+q=0 с техните изрази чрез x 1 и x 2 , то се трансформира в еквивалентно уравнение.
Нека заместим числото x 1 вместо x в полученото уравнение и имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 представлява правилното числено равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p·x+q=0.
Ако в уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заместваме числото x 2 вместо x, получаваме равенството x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. това истинско равенство, защото x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 2 също е корен на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, и следователно уравненията x 2 +p·x+q=0.
Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теорематаВиета.
Примери за използване на теоремата на Vieta
Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и обратната й теорема. В този раздел ще анализираме решения на няколко от най-типичните примери.
Нека започнем с прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да се използва за проверка дали дадени две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.
Пример.
Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?
Решение.
Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратно уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.
Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним със стойностите, които току-що получихме.
В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на даденото квадратно уравнение.
Да преминем към втория случай. Ето, че първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратното уравнение.
Остана един последен случай. Тук и. И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.
отговор:
Обратното на теоремата на Виета може да се използва на практика за намиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В този случай те използват факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разберем това с пример.
Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да са изпълнени две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6. Остава само да изберете такива числа. IN в този случайтова е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2·3=6. Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.
Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за използване за намиране на втория корен на дадено квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен може да бъде намерен от всяка една от релациите.
Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x −3=0. Тук е лесно да се види, че единството е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е равна на нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, от което x 2 =−3/512. Ето как определихме двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.
Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корени, можете да използвате формули за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.
Още нещо практическо приложениеТеоремата, обратна на теоремата на Виета, се състои в съставяне на квадратни уравнения с дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.
Пример.
Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числата −11 и 23.
Решение.
Нека означим x 1 =−11 и x 2 =23. Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Следователно посочените числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент −12 и свободен член −253. Тоест x 2 −12·x−253=0 е търсеното уравнение.
отговор:
x 2 −12·x−253=0 .
Теоремата на Vieta се използва много често при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p·x+q=0? Ето две уместни твърдения:
- Ако членът на пресичането q е положително число и ако квадратното уравнение има истински корени, тогава или и двете са положителни, или и двете отрицателни.
- Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.
Тези твърдения следват от формулата x 1 · x 2 =q, както и правилата за положително умножение, отрицателни числаи числа с различни знаци. Нека да разгледаме примери за тяхното приложение.
Пример.
R е положителен. Използвайки дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, стойността на израза r 2 +8 е положителен за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.
Сега нека разберем кога имат корените различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен и според теоремата на Vieta продуктът на корените на редуцираното квадратно уравнение е равен на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, имаме нужда реши линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .
отговор:
при r<1 .
Виета формули
По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме връзките, които тя твърди. Но има формули, свързващи реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, уравнения от четвърта степен и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Формулите на Виета.
Нека напишем формулата на Vieta за алгебрично уравнение от степен n на формата и ще приемем, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи): 
Могат да се получат формулите на Vieta теорема за разлагането на полином на линейни множители, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.
По-специално, за n=2 имаме вече познатите формули на Vieta за квадратно уравнение.
За кубично уравнение формулите на Виета имат формата 
Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има така наречените елементарни симетрични полиноми.
Референции.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : болен. - ISBN 978-5-09-022771-1.
2.5 Формула на Виета за полиноми (уравнения) от по-високи степени
Формулите, получени от Viète за квадратни уравнения, са верни и за полиноми от по-високи степени.
Нека полиномът
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Има n различни корена x 1, x 2..., x n.
В този случай той има факторизация на формата:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Нека разделим двете страни на това равенство на 0 ≠ 0 и отворим скобите в първата част. Получаваме равенството:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n
Но два полинома са идентично равни тогава и само ако коефициентите на едни и същи степени са равни. От това следва, че равенството
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Например за полиноми от трета степен
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Имаме идентичности
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Както при квадратните уравнения, тази формула се нарича формула на Виета. Левите части на тези формули са симетрични полиноми от корените x 1, x 2 ..., x n на това уравнение, а десните страни са изразени чрез коефициента на полинома.
2.6 Уравнения, редуцируеми до квадратни (биквадратни)
Уравненията от четвърта степен се свеждат до квадратни уравнения:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
наречен биквадратичен и a ≠ 0.
Достатъчно е да поставим x 2 = y в това уравнение, следователно,
ay² + by + c = 0
нека намерим корените на полученото квадратно уравнение
y 1,2 = 
За да намерите веднага корените x 1, x 2, x 3, x 4, заменете y с x и вземете
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Ако уравнение от четвърта степен има x 1, тогава то също има корен x 2 = -x 1,
Ако има x 3, тогава x 4 = - x 3. Сумата от корените на такова уравнение е нула.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Нека заместим уравнението във формулата за корените на биквадратни уравнения:
x 1,2,3,4 = 
,
знаейки, че x 1 = -x 2 и x 3 = -x 4, тогава:
х 3,4 = 
Отговор: x 1,2 = ±2; х 1,2 =
2.7 Изследване на биквадратни уравнения
Нека вземем биквадратното уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0,
където a, b, c са реални числа и a > 0. Като въведем спомагателното неизвестно y = x², разглеждаме корените на това уравнение и въвеждаме резултатите в таблицата (виж Приложение № 1)
2.8 Кардано формула
Ако използваме съвременната символика, извеждането на формулата на Cardano може да изглежда така:
x = 
Тази формула определя корените на общо уравнение от трета степен:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Тази формула е много тромава и сложна (съдържа няколко сложни радикала). Няма да се прилага винаги, защото... много трудно за попълване.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Избройте или изберете най-интересните места от 2-3 текста. По този начин разгледахме общите разпоредби за създаване и провеждане на избираеми курсове, които ще бъдат взети предвид при разработването на избираем курс по алгебра за 9 клас „Квадратни уравнения и неравенства с параметър“. Глава II. Методика за провеждане на избираемата дисциплина „Квадратни уравнения и неравенства с параметър” 1.1. генерал...
Решения от числени изчислителни методи. За да се определят корените на дадено уравнение, не се изисква познаване на теориите на групите на Абел, Галоа, Ли и др. и използването на специална математическа терминология: пръстени, полета, идеали, изоморфизми и др. За да решите алгебрично уравнение от n-та степен, имате нужда само от способността да решавате квадратни уравнения и да извличате корени от комплексно число. Корените могат да се определят от...
С мерни единици на физични величини в системата MathCAD? 11. Опишете подробно текстовите, графичните и математическите блокове. Лекция №2. Задачи на линейната алгебра и решаване на диференциални уравнения в средата на MathCAD При задачите на линейната алгебра почти винаги има нужда от извършване на различни операции с матрици. Операторският панел с матрици се намира на панела Math. ...
При изучаване на методи за решаване на уравнения от втори ред в училищен курс по алгебра се разглеждат свойствата на получените корени. Понастоящем те са известни като теорема на Виета. Примери за използването му са дадени в тази статия.
Квадратно уравнение
Уравнението от втори ред е равенството, показано на снимката по-долу.
Тук символите a, b, c са някои числа, наречени коефициенти на разглежданото уравнение. За да разрешите равенство, трябва да намерите стойности на x, които го правят вярно.
Обърнете внимание, че тъй като максималната степен, до която x може да бъде повдигнато, е две, тогава броят на корените в общия случай също е две.
Има няколко начина за решаване на този тип равенства. В тази статия ще разгледаме един от тях, който включва използването на така наречената теорема на Виета.
Формулировка на теоремата на Виета
В края на 16-ти век известният математик Франсоа Виете (френски) забелязва, докато анализира свойствата на корените на различни квадратни уравнения, че определени комбинации от тях удовлетворяват специфични зависимости. По-специално, тези комбинации са техният продукт и сбор.
Теоремата на Виета установява следното: корените на квадратно уравнение, когато се сумират, дават съотношението на линейните към квадратните коефициенти, взети с обратен знак, а когато се умножат, те водят до съотношението на свободния член към квадратния коефициент .
Ако общата форма на уравнението е написана, както е показано на снимката в предишния раздел на статията, тогава математически тази теорема може да бъде написана под формата на две равенства:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Където r 1, r 2 е стойността на корените на въпросното уравнение.
Горните две равенства могат да се използват за решаване на редица различни математически задачи. Използването на теоремата на Vieta в примери с решения е дадено в следващите раздели на статията.
Формулиране и доказателство на теоремата на Виета за квадратни уравнения. Обратната теорема на Виета. Теорема на Виета за кубични уравнения и уравнения от произволен ред.
СъдържаниеВижте също: Корени на квадратно уравнение
Квадратни уравнения
Теорема на Виета
Нека и обозначаваме корените на редуцираното квадратно уравнение
(1)
.
Тогава сборът от корените е равен на коефициента на , взет с обратен знак. Произведението на корените е равно на свободния член:
;
.
Бележка за множество корени
Ако дискриминантът на уравнение (1) е нула, тогава това уравнение има един корен. Но за да се избегнат тромавите формулировки, общоприето е, че в този случай уравнение (1) има два кратни или равни корена:
.
Доказателство едно
Нека намерим корените на уравнение (1). За да направите това, приложете формулата за корените на квадратно уравнение:
;
;
.
Намерете сумата от корените:
.
За да намерите продукта, приложете формулата:
.
Тогава
.
Теоремата е доказана.
Доказателство две
Ако числата са корените на квадратното уравнение (1), тогава
.
Отваряне на скобите.
.
Така уравнение (1) ще приеме формата:
.
Сравнявайки с (1), намираме:
;
.
Теоремата е доказана.
Обратната теорема на Виета
Нека има произволни числа. Тогава и са корените на квадратното уравнение
,
Къде
(2)
;
(3)
.
Доказателство на обратната теорема на Виета
Разгледайте квадратното уравнение
(1)
.
Трябва да докажем, че ако и , тогава и са корените на уравнение (1).
Нека заместим (2) и (3) в (1):
.
Групираме членовете от лявата страна на уравнението:
;
;
(4)
.
Нека заместим в (4):
;
.
Нека заместим в (4):
;
.
Уравнението е в сила. Тоест числото е коренът на уравнение (1).
Теоремата е доказана.
Теорема на Виета за пълно квадратно уравнение
Сега разгледайте пълното квадратно уравнение
(5)
,
където , и са някои числа. Освен това.
Нека разделим уравнение (5) на:
.
Тоест, получихме даденото уравнение
,
Къде ; .
Тогава теоремата на Виета за пълно квадратно уравнение има следния вид.
Нека и обозначаваме корените на пълното квадратно уравнение
.
Тогава сумата и произведението на корените се определят по формулите:
;
.
Теорема на Виета за кубично уравнение
По подобен начин можем да установим връзки между корените на кубично уравнение. Помислете за кубичното уравнение
(6)
,
където , , , са някои числа. Освен това.
Нека разделим това уравнение на:
(7)
,
Къде , , .
Нека , , са корените на уравнение (7) (и уравнение (6)). Тогава
.
Сравнявайки с уравнение (7), намираме:
;
;
.
Теорема на Виета за уравнение от n-та степен
По същия начин можете да намерите връзки между корените , , ... , , за уравнение от n-та степен
.
Теоремата на Виета за уравнение от n-та степен има следния вид:
;
;
;
.
За да получим тези формули, записваме уравнението, както следва:
.
След това приравняваме коефициентите за , , , ... и сравняваме свободния член.
Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
CM. Николски, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник за 8 клас в общообразователните институции, Москва, Образование, 2006 г.
Почти всяко квадратно уравнение \може да бъде преобразувано във формата \ Това обаче е възможно, ако първоначално разделите всеки член на коефициент \before \ Освен това можете да въведете нова нотация:
\[(\frac (b)(a))= p\] и \[(\frac (c)(a)) = q\]
Поради това ще имаме уравнение \ наречено в математиката редуцирано квадратно уравнение. Корените на това уравнение и коефициентите са взаимосвързани, което се потвърждава от теоремата на Виета.
Теорема на Виета: Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение \ е равна на втория коефициент \ взет с обратен знак, а произведението на корените е свободният член \
За по-голяма яснота нека решим следното уравнение:
Нека решим това квадратно уравнение, като използваме написаните правила. След като анализирахме първоначалните данни, можем да заключим, че уравнението ще има два различни корена, тъй като:
Сега от всички множители на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е равна на 2. Числата 3 и 5 попадат при това условие. Поставяме знак минус пред по-малкото номер. Така получаваме корените на уравнението \
Отговор: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]
Къде мога да реша уравнение, използвайки теоремата на Vieta онлайн?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.
