Дмитрий Житомирски*

Мърфи беше оптимист. В живота на всеки има моменти, когато всичко се получава. Но не се притеснявайте – скоро ще мине! В края на краищата, според закона на Мърфи, формирането на отрицателен резултат по никакъв начин не зависи от нашите стремежи, следователно все пак ще трябва да подредим всичко. как? IN в такъв случайМожете сами да изберете условията на задачата.

Ако третираме такъв проблем като нормална практика, цялата система трябва да се промени; разпуснат персонал - търсете нови служители; мистицизъм означава ходене при шамани. Да вземем пример от близкото минало: всички спътници, изстреляни в космоса с цел изследване, паднаха обратно на Земята. Но при такива сложни събития подготовката отнема години. Логично е да си струва да мислим за това, когато първите три спътника не летяха никъде. Но без да направим нищо, получихме нова трагедия.

Как трябва да се чувстваме по този въпрос? Търсете технически проблеми или увеличавайте финансирането за космическо оборудване? Точно така: решете проблема изчерпателно. Това означава да търсите технически пропуски, да отделяте повече пари, да уволнявате недобросъвестни служители и да си поставяте по-сложни задачи – всичко наведнъж. Въпреки това, отново въз основа на закона на Мърфи, дори това може да не даде 100% резултат.

Само си спомнете първото следствие от закона на Мърфи: „Нищо не е толкова лесно, колкото изглежда“ или „Всяка работа отнема повече време, отколкото си мислите“. Раждането на нова идея, като правило, винаги е придружено от въображаеми доказателства за нейното изпълнение. Просто трябва да дадете тласък - да намерите мениджър, да добавите пари, като вземете заем или рекламирате уебсайт в Интернет. След като опитате всичко обаче, се оказва, че нищо не работи. В еуфорията си пропускаме нещо най-важно. От друга страна, веднага щом започнем да мислим за бъдещи проблеми, ние моментално губим „чувството за полет“, нашето вдъхновение - и всичко спира с един замах. Затова винаги трябва да постигате целта си - да сте обсебени от идеята за собствения си неоспорим успех, да решавате проблемите, когато възникнат. Имайте предвид, че една лопата може да не е достатъчна и за най-малката дупка, ако точно на това място има калдъръм. В края на краищата, според второто следствие, „От всички възможни неприятности ще се случи тази, която причинява най-много щети“. Затова винаги трябва да се подготвяте за най-лошото. Разбира се, когато започвате бизнес, трябва да вярвате в себе си, но разберете, че това е огромен риск. И всеки 20-ти случай почти винаги завършва с неуспех, защото когато спечелиш нещо, винаги губиш нещо. Важно е да не загубите всичко. Следователно не е необходимо да започвате бизнес с последните си пари. Много е рисковано. Във всеки случай трябва да спестявате за храна и сметки за комунални услуги. Така че, когато всичко свърши, можете да си намажете хляба с масло. Трагедии се случват навсякъде и то в много по-сериозен мащаб от просто провален бизнес. Как да се избегне това? Не се отпускай! Събудете се навреме сутрин и веднага се заемете с работа. Все още няма да можете да избегнете спонтанни проблеми, но можете да намалите нивото на тяхното проявление.

Правете каквото искате - само не седете! В края на краищата, третото следствие от закона на Мърфи гласи: „Събитията, оставени сами по себе си, са склонни да вървят от лошо към по-лошо.“ Ако сте спрели да управлявате събития, на които можете да повлияете, тенденцията за влошаване няма да отнеме много време да се появи. Организирал си бизнес и когото и да наемеш е твоят бизнес, твоята идея. Ако се отдалечите от него, всичко ще бъде издухано със светкавична скорост. От друга страна, "Всяко решение създава нови проблеми." Веднага щом започнем да правим нещо, ние създаваме нещо материално, което има способността да живее свой собствен живот. Това означава, че като малко дете то със сигурност изведнъж ще стане възрастен и ще започне да пуши. Въпреки че през цялото си детство сте се опитвали да му обясните, че пушенето е вредно. Решението тук е само според Тарас Булба: „Аз те родих, аз ще те убия“. Понякога смъртта на един бизнес е по-добра от всички опити да бъде спасен. И въпросът може да не е само във вас, но и в това, че вашите конкуренти се оказаха по-сериозни и по-пъргави. Сега сме свидетели на пълния крах на Nokia, нещо подобно вече се случи с други компании, занимаващи се с комуникационно оборудване. В един момент пропуснаха как корейските компании се заеха сериозно с това, инвестираха много пари и веднага стартираха производството на нови продукти. И си мислеха, че цял живот ще карат собствената си марка. Това не се случва. Те станаха арогантни и си получиха заслуженото. Сега Nokia най-накрая пусна нови мобилни телефони, но експертите казват, че е твърде късно. И дори ниската цена заедно с марката няма да спаси компанията. Беше крачка назад, не напред. Има доста подобни примери.

Трябва да се има предвид и другата крайност - японската Toyota с философията Kaizen, която предполага непрекъснато подобряване на производствените и управленските процеси. Панацея ли е тази практика? Най-вероятно не. В крайна сметка, както знаете, най-доброто е враг на доброто. Всяка нова автомобилна част изисква монтирането на още две резервни части, които ще я управляват. Същото е и в бизнеса. Усъвършенстването на системата предполага нейния безкраен растеж и увеличаване на размера на средствата за поддръжка. Колкото по-голяма е корпорацията, толкова по-големи са шансовете й за провал. Ето защо в момента на криза видяхме, че най-големите Титаници първи залязоха на дъното. Тези, които се смятаха за неразрушими. Това е така, защото това, което е най-мощно и съвършено, вече не е съвършено, защото е мощно.

Всички ние все още имаме месомелачките на нашите баби, които лежат наоколо и все още работят. Като има предвид, че отдава почит технически прогрес, поради постоянните им повреди, непрекъснато се налага да подменяме електрически комбайни. Оказва се, че колкото по-малък е механизмът, толкова по-малко вероятно е проявлението на законите на Мърфи. В края на краищата, ако целият конвейер се състои от двама узбеки, които теглят пясък от единия край на двора до другия, вероятността от повреда се намалява стотици пъти, отколкото ако няколко багера изпълняват едни и същи функции.

Законите на Мърфи се появяват навсякъде. Допълнителни болтове и винтове по време на монтажа космически кораб? Разбира се! Откъде е друг въпрос. Очевидно е, че вашето творение е попаднало или в ръцете на Кулибин, или в ръцете на мърляч. Но нека бъдем обективни: вторият вариант е по-често срещан. Въпреки това и двамата все още имат допълнителни резервни части. И това е основата на закона на Мърфи. Прехвърляйки плана на всяко следващо лице, всеки път губите част от натрупания капитал. След всичко нов човекняма да може да приеме мисълта ви такава, каквато съществува в главата ви, колкото и да се опитвате. Това вече не е негово знание, а ваше – прехвърлено на него. Той все пак ги е чул по свой начин и ще приложи чутото по свой начин - оттам и излишните подробности. Вторият вариант е Kulibiny.

Умишлено нарушаване на правилата по свое усмотрение. От категорията: „Няма да правя това, което не искам“. Чисто човешки фактор. В крайна сметка правилата, както знаете, съществуват, за да бъдат нарушавани. И ако има възможност, това със сигурност ще се случи. Във всеки случай подобни действия се извършват от протест. И дори да разберете, че има 300% вероятност след действието ви да бъдете уволнен от работа, пак ще го направите, получавайки невероятен шум. Скандалът няма да е напразен. А хващането на работа винаги е голямо удоволствие. И да ти е паднала ракетата, но как е летяла... колко е красива... колко е нова... Ако разглеждаме бизнеса, очевидно е, че това е конфликт между твърда организация и конструкция. В крайна сметка хората не могат да работят като машини. Хората са си хора. И колкото повече служители имате, толкова по-често ще се случва това. Молете се да не го забележите, но рано или късно някой все пак ще влезе в офиса ви и ще ви каже как системата го е хванала. Честно казано, безсмислено е дори да се наказват такива хора, но е необходимо. За тях никакво наказание никога няма да покрие удоволствието, което са получили по време на самото действие. Въпреки това, чрез умело разработване на тактика за неговия PR като лош пример, можете да го направите непопулярен за другите. Но само докато в системата отново не се появи инакомислещ. И това със сигурност ще се случи, като отново служи като доказателство за закона на Мърфи. Затова служителите, заемащи ръководни позиции, трябва да бъдат импулсивни мърлячи, но в същото време отговорни и дисциплинирани. В края на краищата лидерските позиции най-често се сблъскват с ефектите на законите на Мърфи, където без способността да се „издигате над ситуацията“ и да показвате творчески подход, няма да е възможно да се измъкнете без жертви. Човекът трябва да е невероятно креативен. Умейте да намерите най-много нестандартно решениеи незабавно да го приложите, без да затъвате или да се задълбочавате в сложността на ситуацията, незабавно да отхвърлите обичайните решения и да предложите свой собствен иновативен и най-ефективен подход. Често организацията предполага дисциплина, но абсолютно дисциплинираният човек е просто зъбно колело. Ето защо, когато избирате човек за ръководна позиция, гледайте не само онези кандидати, които са преминали перфектно всичките ви тестове, но и тези, които не са преминали, но мислят по-оригинално от мнозина. В крайна сметка това не се учи в училището по мениджмънт, то е дадено от Бога.

Не довеждайте ситуацията до точката на абсурда; ако почувствате, че двигателят е започнал да работи неизправно, тогава го „изнасилвайте“ още една седмица, но след това пак ще се явите на механика. Не се опитвайте да поставите количката пред локомотива. Ако ситуацията вече е започнала да се развива в неблагоприятна за вас посока, измислете не как да спрете влака рязко, а как плавно да намалите скоростта, така че спирането да е възможно най-меко. В края на краищата, внезапното спиране, като правило, винаги води до колапс и колапс. И накрая, ако „бурята“ е достигнала невероятен мащаб, имайте смелостта да се откажете от бизнеса. Намерете сили да го продадете не за половината или дори за една четвърт, а за една десета от общата цена, така че да имате възможност да направите нещо друго, ако не успеете тук. Вие творческа личност- имате пари в ръцете си. И парите не са пай в небето или дори синигер, те са пари. Вземете го и го инвестирайте в нещо друго! Ако си влачите краката безкрайно, ще останете без нищо. Законите на Мърфи само подчертават, че трудни ситуации е имало, има и ще има. И способността на човек да излиза от трудни ситуации не е обучение в бизнес училище, а единствено творчеството на собствения му ум. Посрещнете бурята усмихната!

* Дмитрий Житомирски, генерален директор и основател на Artkom SPB.

Преглеждания на детайли: 2602

Формула за пълна вероятност и формули на Байс

В този урок ще разгледаме важно следствие теореми за събиране и умножение на вероятноститеи се научи да решаваш типични задачипо тази тема. Читателите, които са прочели статията за зависими събития, ще бъде по-просто, тъй като в него всъщност вече сме започнали да използваме формулата за пълна вероятност. Ако сте дошли от търсачка и/или не разбирате теория на вероятностите (линк към 1-ви урок от курса), тогава препоръчвам първо да посетите тези страници.

Всъщност нека продължим. Нека помислим зависимо събитие, което може да възникне само в резултат на изпълнението на едно от несъвместимите хипотези , която форма пълна група. Нека са известни техните вероятности и съответните условни вероятности. Тогава вероятността събитието да се случи е:

Тази формула се нарича формули за пълна вероятност. В учебниците тя е формулирана като теорема, чието доказателство е елементарно: съгл алгебра на събитията, (възникна събитие И илинастъпи събитие Ислед това дойде събитие илинастъпи събитие Ислед това дойде събитие или …. илинастъпи събитие Ислед като дойде събитие). Тъй като хипотези са несъвместими и събитието е зависимо, тогава според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития (първа стъпка)И теорема за умножение на вероятностите от зависими събития (втора стъпка):

Много хора вероятно очакват съдържанието на първия пример =)

Където и да плюеш, има урна:

Проблем 1

Има три еднакви урни. Първата урна съдържа 4 бели и 7 черни топки, втората - само бели и третата - само черни топки. Една урна се избира произволно и от нея произволно се тегли топка. Каква е вероятността тази топка да е черна?

Решение: разгледайте събитието - черна топка ще бъде изтеглена от произволно избрана урна. Това събитие може да възникне в резултат на една от следните хипотези:
- ще бъде избрана 1-вата урна;
- 2-рата урна ще бъде избрана;
- ще бъде избрана 3-тата урна.

Тъй като урната е избрана на случаен принцип, изборът на която и да е от трите урни еднакво възможно, следователно:

Моля, имайте предвид, че горните хипотези формират пълна група от събития, тоест според условието черна топка може да се появи само от тези урни и, например, не може да дойде от билярдна маса. Нека направим проста междинна проверка:
, добре, да продължим:

Първата урна съдържа 4 бели + 7 черни = 11 топки, всяка класическа дефиниция:
- вероятност за изтегляне на черна топка предвид това, че ще бъде избрана 1-вата урна.

Втората урна съдържа само бели топки, така че ако е избранопоявата на черната топка става невъзможен: .

И накрая, третата урна съдържа само черни топки, което означава съответните условна вероятностизвличането на черната топка ще бъде (събитието е надеждно).

- вероятността черна топка да бъде изтеглена от произволно избрана урна.

Отговор:

Анализираният пример отново подсказва колко важно е да се задълбочим в СЪСТОЯНИЕТО. Да вземем същите проблеми с урни и топки - въпреки външното им сходство, методите за решаване могат да бъдат напълно различни: някъде трябва само да използвате класическо определение на вероятността, някъде събития независима, някъде зависим, а някъде говорим за хипотези. В същото време няма ясен формален критерий за избор на решение - почти винаги трябва да мислите за това. Как да подобрите уменията си? Решаваме, решаваме и пак решаваме!

Проблем 2

Стрелбището разполага с 5 пушки с различна точност. Вероятностите за попадение в целта за даден стрелец са съответно равни и 0,4. Каква е вероятността за попадение в целта, ако стрелецът произведе един изстрел от произволно избрана пушка?

Кратко решение и отговор в края на урока.

В повечето тематични проблеми хипотезите, разбира се, не са еднакво вероятни:

Проблем 3

В пирамидата има 5 пушки, три от които са оборудвани с оптичен мерник. Вероятността стрелецът да уцели целта при стрелба с пушка с телескопичен мерник е 0,95; за пушка без оптичен мерник тази вероятност е 0,7. Намерете вероятността мишената да бъде улучена, ако стрелецът произведе един изстрел от произволна пушка.

Решение: в тази задача броят на пушките е точно същият като в предишната, но има само две хипотези:
- стрелецът избира пушка с оптичен мерник;
- стрелецът ще избере пушка без оптичен мерник.
от класическо определение на вероятността: .
Контрол:

Помислете за събитието: - стрелец уцелва мишена с произволно взета пушка.
По условие:.

Според формулата за обща вероятност:

Отговор: 0,85

На практика съкратеният начин за форматиране на задача, с който също сте запознати, е напълно приемлив:

Решение: според класическата дефиниция: - вероятността за избор на пушка съответно с оптичен мерник и без оптичен мерник.

По условие, - вероятността за попадение в целта от съответните видове пушки.

Според формулата за обща вероятност:
- вероятността стрелецът да удари мишена с произволно избрана пушка.

Отговор: 0,85

Следната задача трябва да решите сами:

Проблем 4

Двигателят работи в три режима: нормален, форсиран и празен ход. В режим на празен ход вероятността от повреда е 0,05, в нормален режим на работа - 0,1, а в принудителен режим - 0,7. 70% от времето двигателят работи в нормален режим и 20% във форсиран режим. Каква е вероятността от повреда на двигателя по време на работа?

За всеки случай нека ви напомня, че за да получите стойностите на вероятността, процентите трябва да бъдат разделени на 100. Бъдете много внимателни! Според моите наблюдения хората често се опитват да объркат условията на задачи, включващи формулата за пълна вероятност; и избрах специално този пример. Ще ви кажа една тайна - аз почти се обърках =)

Решение в края на урока (оформено накратко)

Проблеми при използване на формулите на Бейс

Материалът е тясно свързан със съдържанието на предходния параграф. Нека събитието се случи в резултат на изпълнението на една от хипотезите . Как да се определи вероятността за възникване на определена хипотеза?

Като се има предвид товатова събитие вече се е случило, вероятности на хипотезата надцененспоред формулите, получили името на английския свещеник Томас Бейс:

- вероятността хипотезата да се осъществи;
- вероятността хипотезата да се осъществи;
…
- вероятността хипотезата да се осъществи.

На пръв поглед изглежда напълно абсурдно - защо да преизчислявате вероятностите на хипотезите, ако те вече са известни? Но всъщност има разлика:

Това априори(приблизително предитестове) вероятност.

Това a posteriori(приблизително следтестове) вероятности на същите хипотези, преизчислени във връзка с „новооткрити обстоятелства” - като се вземе предвид фактът, че събитието определено се случи.

Нека разгледаме тази разлика с конкретен пример:

Проблем 5

В склада пристигнаха 2 партиди продукти: първата - 4000 броя, втората - 6000 броя. Средният процент на нестандартните продукти в първата партида е 20%, а във втората - 10%. Продуктът взет на случаен принцип от склада се оказа стандартен. Намерете вероятността да е: а) от първата партида, б) от втората партида.

Първа част решениясе състои от използване на формулата за обща вероятност. С други думи, изчисленията се извършват при допускането, че тестът все още не са произведении събитие „продуктът се оказа стандартен“все още не.

Нека разгледаме две хипотези:
- продукт, взет на случаен принцип ще бъде от 1-ва партида;
- продукт взет на случаен принцип ще бъде от 2-ра партида.

Общо: 4000 + 6000 = 10000 артикула на склад. Според класическото определение:
.

Контрол:

Нека разгледаме зависимото събитие: - продукт, взет на случаен принцип от склада, ще бъде стандартен.

В първата партида 100% - 20% = 80% стандартни продукти, следователно: предвид товаче принадлежи на 1-ва страна.

По същия начин във втората партида 100% - 10% = 90% стандартни продукти и - вероятността продукт, взет произволно от склад, да бъде стандартен предвид товаче принадлежи на 2-та страна.

Според формулата за обща вероятност:
- вероятността продукт, взет произволно от склад, да бъде стандартен.

Част две. Нека произволно взет от склад продукт да се окаже стандартен. Тази фраза е директно посочена в условието и посочва факта, че събитието се случи.

Според формулите на Бейс:

а) - вероятността избраният стандартен продукт да принадлежи към 1-ва партида;

б) - вероятността избраният стандартен продукт да принадлежи към 2-ра партида.

След преоценкахипотези, разбира се, все още се формират пълна група:
(Преглед;-))

Отговор:

Иван Василиевич, който отново промени професията си и стана директор на завода, ще ни помогне да разберем смисъла на преоценката на хипотезите. Той знае, че днес 1-ви цех е изпратил в склада 4000 продукта, а 2-ри цех - 6000 продукта и идва да се увери в това. Да приемем, че всички продукти са от един и същи тип и са в един и същи контейнер. Естествено, Иван Василиевич предварително изчисли, че продуктът, който сега ще извади за проверка, най-вероятно ще бъде произведен от първия цех и най-вероятно от втория. Но след като избраният продукт се оказва стандартен, той възкликва: „Какъв готин болт! „По-скоро беше пуснат от втория семинар.“ Така вероятността на втората хипотеза се надценява към по-добро, а вероятността на първата хипотеза се подценява: . И тази преоценка не е неоснователна - в края на краищата 2-ри цех не само произвежда повече продукти, но и работи 2 пъти по-добре!

Чист субективизъм, ще кажете? Отчасти – да, освен това самият Байс тълкува a posterioriвероятности като ниво на доверие. Не всичко обаче е толкова просто – има и обективно зрънце в байесовия подход. В края на краищата, вероятността продуктът да бъде стандартен (0,8 и 0,9 съответно за 1-ви и 2-ри семинари)Това предварителен(априори) и средно аритметичнооценки. Но, казано философски, всичко тече, всичко се променя, включително и вероятностите. Напълно възможно е това към момента на изследванетопо-успешният 2-ри цех увеличи процента на произведените стандартни продукти (и/или 1-вата работилница намалена), и ако проверите голямо количествоили всички 10 хиляди продукта са на склад, тогава надценените стойности ще бъдат много по-близо до истината.

Между другото, ако Иван Василиевич извлече нестандартна част, тогава напротив - той ще бъде по-„подозрителен“ към 1-ви цех и по-малко към втория. Предлагам ви да проверите това сами:

Проблем 6

В склада пристигнаха 2 партиди продукти: първата - 4000 броя, втората - 6000 броя. Средният процент на нестандартните продукти в първата партида е 20%, във втората - 10%. Продуктът взет на случаен принцип от склада се оказа Нестандартен. Намерете вероятността да е: а) от първата партида, б) от втората партида.

Условието се отличава с две букви, които съм маркирал с удебелен шрифт. Проблемът може да бъде решен от нулата или с помощта на резултатите от предишни изчисления. В извадката изпълних цялостно решение, но за да избегна формално припокриване със задача № 5, събитието „продукт, взет на случаен принцип от склад, ще бъде нестандартен“обозначено с .

Байесовата схема за преоценка на вероятностите се среща навсякъде и също така се използва активно от различни видове измамници. Да разгледаме трибуквено акционерно дружество, което се е превърнало в нарицателно, което привлича депозити от обществото, уж ги инвестира някъде, редовно изплаща дивиденти и т.н. Какво се случва? Минава ден след ден, месец след месец и все повече и повече нови факти, предадени чрез реклама и от уста на уста, само повишават нивото на доверие в финансова пирамида (постериорна байесова преоценка поради минали събития!). Тоест в очите на инвеститорите има постоянно нарастване на вероятността това „това е сериозна компания“; докато вероятността от противоположната хипотеза („това са още повече измамници“), разбира се, намалява и намалява. Това, което следва, мисля, е ясно. Трябва да се отбележи, че спечелената репутация дава на организаторите време да се скрият успешно от Иван Василиевич, който остана не само без партида болтове, но и без панталони.

Ще се върнем към също толкова интересни примери малко по-късно, но засега следващата стъпка е може би най-честият случай с три хипотези:

Проблем 7

Електрическите лампи се произвеждат в три завода. Първият завод произвежда 30% от общия брой лампи, вторият - 55%, а третият - останалите. Продуктите на 1-ви завод съдържат 1% дефектни лампи, 2-ри - 1,5%, 3-ти - 2%. Магазинът получава продукти и от трите фабрики. Закупената лампа се оказа дефектна. Каква е вероятността да е произведен от завод 2?

Обърнете внимание, че в задачи върху формули на Бейс в условието Задължителноима определена какво станасъбитие, в случая покупката на лампа.

Събитията се увеличиха и решениеПо-удобно е да го подредите в „бърз“ стил.

Алгоритъмът е абсолютно същият: в първата стъпка намираме вероятността закупената лампа да се окаже дефектна.

Използвайки първоначалните данни, превръщаме процентите във вероятности:
- вероятността лампата да е произведена съответно от 1-ва, 2-ра и 3-та фабрика.
Контрол:

По същия начин: - вероятността за производство на дефектна лампа за съответните фабрики.

Според формулата за обща вероятност:

- вероятността закупената лампа да бъде дефектна.

Стъпка втора. Нека закупената лампа се окаже дефектна (събитието е настъпило)

Според формулата на Bayes:
- вероятността закупената дефектна лампа да е произведена от втори завод

Отговор:

Защо първоначалната вероятност на втората хипотеза се увеличи след преоценка? В крайна сметка вторият завод произвежда лампи със средно качество (първият е по-добър, третият е по-лош). Така че защо се увеличи a posterioriВъзможно ли е дефектната лампа да е от 2-ри завод? Това вече не се обяснява с „репутацията“, а с размера. Тъй като завод № 2 произвежда най-голям брой лампи (повече от половината), субективният характер на надценката е най-малкото логичен („най-вероятно тази дефектна лампа е от там“).

Интересно е да се отбележи, че вероятностите на 1-ва и 3-та хипотеза бяха надценени в очакваните посоки и станаха равни:

Контрол: , което трябваше да се провери.

Между другото, относно подценените и надценените оценки:

Проблем 8

В студентската група има 3 човека високо нивоподготовка, 19 души - средно и 3 - ниско. Вероятности успешно завършванеизпит за тези ученици са съответно равни на: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно е, че някой студент е издържал изпита. Каква е вероятността, че:

а) беше подготвен много добре;
б) беше средно подготвен;
в) беше лошо подготвен.

Извършете изчисления и анализирайте резултатите от преоценката на хипотезите.

Задачата е близка до реалността и е особено правдоподобна за група задочни студенти, където учителят практически няма познания за способностите на конкретен ученик. В този случай резултатът може да причини доста неочаквани последици. (особено за изпити в 1-ви семестър). Ако зле подготвен ученик има късмета да получи билет, тогава учителят вероятно ще го сметне за добър ученик или дори за силен ученик, което ще донесе добри дивиденти в бъдеще (разбира се, трябва да „вдигнете летвата“ и да поддържате имиджа си). Ако ученик е учил, натъпкан и повторен в продължение на 7 дни и 7 нощи, но просто е имал късмет, тогава по-нататъшните събития могат да се развият по най-лошия възможен начин - с многобройни повторения и балансиране на ръба на елиминирането.

Излишно е да казвам, че репутацията е най-важният капитал, неслучайно много корпорации носят имената на бащите си основатели, които са ръководили бизнеса преди 100-200 години и са се прославили с безупречната си репутация.

Да, подходът на Байес е до известна степен субективен, но... така върви животът!

Нека консолидираме материала с последен индустриален пример, в който ще говоря за неизвестни досега технически тънкости на решението:

Проблем 9

Три цеха на завода произвеждат еднотипни части, които се изпращат в общ контейнер за сглобяване. Известно е, че първият цех произвежда 2 пъти повече части от втория цех и 4 пъти повече от третия цех. В първия цех дефектността е 12%, във втория - 8%, в третия - 4%. За контрола се взема една част от контейнера. Каква е вероятността той да е дефектен? Каква е вероятността извлечената дефектна част да е произведена от 3-ти цех?

Иван Василиевич отново е на кон =) Филмът трябва да има щастлив край =)

Решение: за разлика от задачи № 5-8, тук изрично е зададен въпрос, който се решава с помощта на формулата за пълна вероятност. Но от друга страна, условието е малко „криптирано“ и училищното умение да съставяме прости уравнения ще ни помогне да решим този пъзел. Удобно е да вземете най-малката стойност като "x":

Нека е делът на частите, произведени от третия цех.

Според условието първият цех произвежда 4 пъти повече от третия цех, така че делът на 1-ви цех е .

Освен това първият цех произвежда 2 пъти повече продукти от втория цех, което означава делът на последния: .

Нека съставим и решим уравнението:

Така: - вероятността частта, извадена от контейнера, да е произведена съответно от 1-ви, 2-ри и 3-ти цех.

Контрол: . Освен това няма да навреди да погледнете фразата отново „Известно е, че първият цех произвежда продукти 2 пъти повече от втория цех и 4 пъти повече от третия цех.“и се уверете, че получените стойности на вероятността действително отговарят на това условие.

Първоначално може да се вземе дялът от 1-ви или дял от 2-ри цех като „X“ - вероятностите ще бъдат същите. Но, по един или друг начин, най-трудната част е премината и решението е на път:

От условието намираме:
- вероятността за производство на дефектна част за съответните работилници.

Според формулата за обща вероятност:
- вероятността произволно извадена от контейнер част да се окаже нестандартна.

Въпрос втори: каква е вероятността извадената дефектна част да е произведена от 3-ти цех? Този въпрос предполага, че частта вече е била премахната и се е оказала дефектна. Ние преоценяваме хипотезата, използвайки формулата на Бейс:
- желаната вероятност. Напълно очаквано - все пак третият цех не само произвежда най-малък дял части, но и води по качество!

Какво е вероятност?

Първият път, когато срещнах този термин, нямаше да разбера какво е това. Затова ще се опитам да обясня ясно.

Вероятността е шансът желаното от нас събитие да се случи.

Например, решили сте да отидете в къщата на приятел, помните входа и дори етажа, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас има врати, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), че ако позвъните на първия звънец, вашият приятел ще отвори вместо вас? Има само апартаменти, а приятел живее само зад един от тях. С равен шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

Вратата, дясната врата. Вероятност за отгатване чрез звънене на първата врата: . Тоест един път от три ще познаете точно.

Искаме да знаем, след като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека да разгледаме всички опции:

1. Ти се обади 1-воврата
2. Ти се обади 2-роврата
3. Ти се обади 3-товрата

Сега нека да разгледаме всички опции, където може да бъде приятел:

А. Отзад 1-вовратата
b. Отзад 2-ровратата
V. Отзад 3-товратата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опции, когато вашият избор съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко Може би настроикиместоположението на вашия приятел и вашия избор на коя врата да позвъните.

А благоприятни резултати от всички . Тоест ще познаете веднъж, като позвъните веднъж на вратата, т.е. .

Това е вероятност - съотношението на благоприятен изход (когато вашият избор съвпада с местоположението на вашия приятел) към броя на възможните събития.

Дефиницията е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, така че:

Не е много удобно да се пише такава формула, така че ще вземем за - броя на благоприятните резултати, а за - общия брой резултати.

Вероятността може да бъде записана като процент; за да направите това, трябва да умножите получения резултат по:

Думата „резултати“ вероятно е хванала окото ви. Тъй като математиците наричат ​​различни действия (в нашия случай такова действие е звънец) експерименти, резултатът от такива експерименти обикновено се нарича резултат.

Е, има благоприятни и неблагоприятни резултати.

Да се ​​върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но непознат ни отвори. Не познахме правилно. Каква е вероятността, ако позвъним на една от останалите врати, нашият приятел да ни я отвори?

Ако мислите така, значи това е грешка. Нека да го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Приятелят, въпреки всичко това, определено стои зад един от тях (в края на краищата не беше зад този, който извикахме):

а) Приятел за 1-вовратата
б) Приятел за 2-ровратата

Нека отново начертаем таблицата:

Както можете да видите, има само опции, от които са благоприятни. Тоест вероятността е равна.

Защо не?

Ситуацията, която разгледахме, е пример за зависими събития.Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И те се наричат ​​зависими, защото влияят на следните действия. В крайна сметка, ако след първото позвъняване на звънеца на вратата се отвори приятел, каква би била вероятността той да е зад един от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, тогава също трябва да има независима? Точно така, случват се.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърлете монета веднъж. Каква е вероятността да получите глави, например? Точно така - тъй като има всички опции (или глави, или опашки, ще пренебрегнем вероятността монетата да кацне на ръба си), но това само ни устройва.
2. Но това дойде на глави. Добре, нека го хвърлим отново. Каква е вероятността да получите глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. От колко сме доволни? един.

И нека да се надигне глави поне хиляда пъти подред. Вероятността да получите глави наведнъж ще бъде същата. Варианти винаги има и то изгодни.

Лесно е да се разграничат зависимите събития от независимите:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (хвърлят монета веднъж, звънят веднъж на вратата и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се проведе няколко пъти (монета се хвърля веднъж, на вратата се звъни няколко пъти), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека се упражним малко в определянето на вероятността.

Пример 1.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите глави два пъти подред?

Решение:

Нека разгледаме всички възможни опции:

1. Орел-орел
2. Глави-опашки
3. Опашки-Глави
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, има само опции. От тях само ние сме доволни. Тоест вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден във формуляра десетичен знак. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава ще умножим по.

Отговор:

Пример 2.

В кутия шоколадови бонбони всички шоколадови бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче – с ядки, с коняк, с череши, с карамел и с нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки? Дайте отговора си като процент.

Решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, ако вземете един бонбон, той ще е от наличните в кутията.

Колко благоприятни изхода?

Защото кутията съдържа само шоколади с ядки.

Отговор:

Пример 3.

В кутия с балони. от които са бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки в кутията. Каква е сега вероятността да изтеглите бяла топка?

Решение:

а) В кутията има само топки. От тях са бели.

Вероятността е:

б) Сега има повече топки в кутията. И остават точно толкова бели - .

Отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е равна на ().

Да кажем, че има червени и зелени топки в кутия. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност да изтеглите червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да разрешите много проблеми.

Пример 4.

В кутията има маркери: зелен, червен, син, жълт, черен.

Каква е вероятността да НЕ нарисувате червен маркер?

Решение:

Нека преброим броя благоприятни резултати.

НЕ е червен маркер, това означава зелен, син, жълт или черен.

Вероятност за всички събития. А вероятността от събития, които считаме за неблагоприятни (когато извадим червен маркер) е .

По този начин вероятността да извадите НЕчервен флумастер е .

Отговор:

Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво представляват независимите събития.

Ами ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се случат последователно?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, ако хвърлим монета веднъж, да видим глави два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета веднъж? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Глави-глави-опашки
3. Глави-опашки-глави
4. Глави-опашки-опашки
5. Опашки-глави-глави
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но направих грешки няколко пъти, когато съставях този списък. Еха! И единственият вариант (първият) ни подхожда.

За 5 хвърляния можете сами да направите списък с възможни резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха и след това доказаха, че вероятността от определена последователност от независими събития всеки път намалява с вероятността от едно събитие.

С други думи,

Нека да разгледаме примера на същата злополучна монета.

Вероятност да получите глави в предизвикателство? . Сега хвърляме монетата веднъж.

Каква е вероятността да получите глави в един ред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността TAILS-HEADS-TAILS за последователни хвърляния, бихме направили същото.

Вероятността да получите опашки е , глави - .

Вероятност за получаване на последователността ОПАШКИ-ГЛАВИ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за събиране на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека да го разберем. Нека вземем нашата изтъркана монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Глави-глави-опашки
3. Глави-опашки-глави
4. Глави-опашки-опашки
5. Опашки-глави-глави
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

И така, несъвместимите събития са определена, дадена последователност от събития. - това са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността за две (или повече) несъвместими събития, тогава добавяме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че главите или опашките са две независими събития.

Ако искаме да определим вероятността за възникване на последователност (или която и да е друга), тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашки при второто и третото хвърляне?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколко последователности, например, когато главите се появят точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да съберем вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като съберем вероятностите за поява на всяка последователност:

По този начин добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за определени, непоследователни последователности от събития.

Има страхотно правило, което ще ви помогне да избегнете объркване кога да умножавате и кога да събирате:

Нека се върнем към примера, където хвърлихме монета веднъж и искахме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво ще се случи?

Трябва да изпадне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
Ето как се оказва:

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 5.

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево, жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

Решение:

Какво ще се случи? Трябва да дръпнем (червено ИЛИ зелено).

Сега е ясно, нека съберем вероятностите за тези събития:

Отговор:

Пример 6.

Ако зарът бъде хвърлен два пъти, каква е вероятността да получите общо 8?

Решение.

Как можем да вземем точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да получите едно (всяко) лице е .

Ние изчисляваме вероятността:

Отговор:

обучение.

Мисля, че сега разбирате кога трябва да изчислите вероятностите, кога да ги добавите и кога да ги умножите. Не е ли? Нека се упражним малко.

Задачи:

Нека вземем тесте карти, съдържащо карти, включително пики, купи, 13 купа и 13 каро. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим купи в един ред (поставяме първата извадена карта обратно в тестето и я разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или купа)?
3. Каква е вероятността да нарисувате картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглите две картини подред (премахваме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, вземайки две карти, да съберете комбинация - (вале, дама или поп) и асо?Поредицата, в която се теглят картите, няма значение.

Отговори:

1. В тесте карти с всяка стойност това означава:
2. Събитията са зависими, тъй като след първата извадена карта броят на картите в тестето намалява (както и броят на „снимките“). Първоначално има общо валета, дами, попове и аса в тестето, което означава вероятността да нарисувате „картина“ с първата карта:

   Тъй като премахваме първата карта от тестето, това означава, че вече има останали карти в тестето, включително снимки. Вероятност да нарисувате картина с втората карта:

   Тъй като се интересуваме от ситуацията, когато извадим „картина“ И „картина“ от тестето, трябва да умножим вероятностите:

   Отговор:

3. След като извадите първата карта, броят на картите в тестето ще намалее, така че ни подхождат две опции:
   1) Първата карта е Асо, втората е Вале, Дама или Поп
   2) С първата карта вадим вале, дама или поп, а с втората - асо. (асо и (вале или дама или поп)) или ((вале или дама или поп) и асо). Не забравяйте да намалите броя на картите в тестето!

Ако сте успели да разрешите всички проблеми сами, значи сте страхотни! Сега ще разбивате задачи по теория на вероятностите на Единния държавен изпит като луди!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. СРЕДНО НИВО

Нека разгледаме един пример. Да кажем, че хвърляме зар. Какъв вид кост е това, знаете ли? Това е, което наричат ​​куб с цифри на страните. Колко лица, толкова числа: от до колко? Преди.

И така, ние хвърляме зара и искаме той да излезе или. И ние го разбираме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с проспериращ).

Ако се случи, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да се случат само две благоприятни събития.

Колко са неблагоприятните? Тъй като има общо възможни събития, това означава, че неблагоприятните са събития (това е ако или изпада).

определение:

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития. Тоест, вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Вероятността се обозначава с латинска буква (очевидно от английска думавероятност - вероятност).

Обичайно е вероятността да се измерва като процент (вижте теми и). За да направите това, стойността на вероятността трябва да бъде умножена по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти: .

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността да получите глави при хвърляне на монета? Каква е вероятността за кацане на глави?
2. Когато хвърляте зарове, каква е вероятността да получите четен брой? Кое е странно?
3. В кутия обикновени, сини и червени моливи. Рисуваме един молив произволно. Каква е вероятността да получите прост?

Решения:

1. Колко опции има? Остри и опашки - само две. Колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото е и с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има кубът, толкова различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа:).
   Вероятност. Разбира се, същото е и с нечетните числа.
3. Обща сума: . Благоприятен: . Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в кутията са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно същия брой благоприятни събития, колкото има всички събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е равна на или.

Такова събитие се нарича надеждно.

Ако една кутия съдържа зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Още веднъж. Нека отбележим това: вероятността да извадите зелено е равна, а червеното е равна.

Накратко, тези вероятности са абсолютно равни. Това е, сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

Пример:

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, обикновени, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не нарисувате зелено?

Решение:

Помним, че всички вероятности се събират. И вероятността да получите зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета веднъж и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността от това?

Нека да прегледаме всички възможни опции и да определим колко са:

Глави-глави, опашки-глави, глави-опашки, опашки-опашки. Какво друго?

Общо опции. От тях само един ни подхожда: Eagle-Eagle. Като цяло вероятността е равна.

Глоба. Сега нека хвърлим монета веднъж. Сметнете си сами. Се случи? (отговор).

Може би сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява наполовина. Общо правилоНаречен правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, резултатът от което не зависи от всички предишни хвърляния. Можем също толкова лесно да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Заровете се хвърлят два пъти. Каква е вероятността да го получите и двата пъти?
2. Монетата се хвърля веднъж. Каква е вероятността първия път да излезе с глави, а след това два пъти с опашки?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът на числата върху тях да е равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за глави е равна. Вероятността за опашки е същата. Умножете:
3. 12 може да се получи само ако се хвърлят две -ki: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Събития, които се допълват до степен на пълна вероятност, се наричат ​​несъвместими. Както подсказва името, те не могат да се случат едновременно. Например, ако хвърлим монета, тя може да излезе или с глави, или с опашки.

Пример.

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, обикновени, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Решение .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червен - .

Благоприятни събития във всички: зелено + червено. Това означава, че вероятността да нарисувате зелено или червено е еднаква.

Същата вероятност може да бъде представена в следната форма: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Проблеми от смесен тип

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатите от хвърлянията да са различни?

Решение .

Това означава, че ако първият резултат е глави, вторият трябва да е опашки и обратно. Оказва се, че има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво ще се случи, като използвате съюзите „И“ или „ИЛИ“. Например в този случай:

Трябва да излезе (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има връзка „и“ ще има умножение, а където има „или“ ще има събиране:

Опитайте сами:

1. Каква е вероятността, ако една монета бъде хвърлена два пъти, монетата да падне от една и съща страна и двата пъти?
2. Заровете се хвърлят два пъти. Каква е вероятността да получите общо точки?

Решения:

1. (Падаха глави и падаха опашки) или (падаха опашки и падаха опашки): .
2. Какви са вариантите? И. Тогава:
   Изпуснато (и) или (и) или (и): .

Друг пример:

Хвърлете монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

Решение:

Ех, как не искам да минавам през опциите... Heads-tails-tails, Eagle-heads-tails,... Ама няма нужда! Нека си спомним за пълната вероятност. Помниш ли? Каква е вероятността орелът никога няма да изпадне? Просто е: главите летят през цялото време, ето защо.

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността другото да се случи.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е равна на ().

Вероятността събитието да не се случи е равна на минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите за всяко събитие

Несъвместими събития

Несъвместими събития са тези, които не могат да възникнат едновременно в резултат на експеримент. Редица несъвместими събития образуват пълна група от събития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описваме какво трябва да се случи, използвайки съюзите „И“ или „ИЛИ“, вместо „И“ поставяме знак за умножение, а вместо „ИЛИ“ поставяме знак за събиране.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно преминаване на OGEили Единния държавен изпит, за преминаване в 10-ти клас или влизане в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Условията за тяхното закупуване са изложени тук:

Кликнете , получете достъп до YouClever и 100gia и започнете да се подготвяте сега!

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Отговор: 0,7157

2.

3.

4. числото не се дели на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

То е равно на 90 и от тези числа извадете тези, които се делят на 5 (10,15,20,25...90,95). Техният брой е 18 => n=90-18=72

Отговор: 1/72

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

Решение: C m n = n! /m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) можете да получите 3 червени от 7 по 7 начина и 3 черни от 5 =>

С 35 начина.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Отговор:

Решение:

Отговор: 0,3.

Решение:

A – изход от лабиринта.

P(A/H3) =0.2 – от 3-ти лабиринт

P(A/H4) = 0.1 – от 4 лабиринта

Отговор: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Решение:

Решение:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Решение:

Нека B няма попадения

P(C) = 1 - 0,216 = 0,784

Отговор: 0,784

Решение:

Н1=1/3; Н2=1/3; H3=1/3

Отговор: 15/48 = 0,3125

16.

Решение:

17.

Решение:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Решение:

Отговор: P(A) = 0,925

Ученик посещава 3 библиотеки в търсене на книга. Вероятността да са в библиотеката е 0,4; 0,5; 0,1; и фактът, че са били издадени или не са еднакво вероятни събития. Каква е вероятността книгата, от която се нуждаете, да бъде намерена?

Решение: A-книга е в библиотеката, B – книга не се издава.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Нека определим вероятността, че необходима книганамерено:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) ) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Отговор: 1/2

23. Намерете вероятностите рождените дни на 12 души да паднат в различни месеци от годината.

Решение: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5* 1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Отговор: 1925/12 7

24. Една урна съдържа 10 бели, 5 черни и 15 червени топки. Изтеглят се последователно 2 топки. Вземат се предвид две събития: A - поне една от двете изтеглени топки е червена, B - поне една изтеглена топка е бяла. Намерете вероятността за събитие C = A + B.

25. Произволно избраният номер се състои от 5 цифри. Определете вероятността всички числа в него да са различни.

26. Магазинът за трикотаж получи чорапи, 60% от които са от една фабрика, 25% от друга и 15% от трета. Намерете вероятността чорапите, закупени от купувача, да са произведени във втората или третата фабрика.

Решение. A1-от 1 завод, P(A1) = 0,6;

A2 – от завод 2; P(A2) = 0,25

A3 – от 3 фабрики; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Отговор: 0,4

Пътникът може да се обърне към една от касите за билети, за да получи билет. Вероятността да отидете на 1-ва каса е 0,4; във втория 0,35; и 3-то 0,25. Вероятността, че до пристигането на пътника билетите, налични в касата, ще бъдат продадени, е равна на 0,3 за 1-ва каса; за 2-ра 0,4, за 3-та 0,6. Намерете вероятността пътникът да си купи билет.

P(A) – вероятност да не купите билет.

P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – вероятност за закупуване на билет = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Отговор: P(A1) = 0,59.

28. Хвърлят се 4 зара. Намерете вероятността: а) поне един от тях да има 2 точки, б) да има еднакъв брой точки.

Решение:

29. От 9 жетона, номерирани с различни едноцифрени числа, се избира 3. Намерете вероятността последователното записване на номерата им да покаже увеличение на стойностите на цифрите.

Решение:

30. Вероятността за печалба от лотариен билет е 0,1. Каква е вероятността поне един билет от три закупени да спечели?

31. От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат наведнъж 4 карти. Намерете вероятността всички тези карти да са от различни цветове.

Решение:Вероятността да изтеглите конкретна боя е C 1 13

C 1 13 = 13 (брой възможни начини).

Възможност за теглене на карти от 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0,1054982

Отговор: P(A) = 0,1054982.

32. Има 3 урни. Първият от тях има 5 бели и 6 черни топки, вторият има 4 бели и 3 черни топки, третият има 5 бели и 3 черни топки. Някой избира една от урните на случаен принцип и тегли топка от нея. Тази топка се оказа бяла. Намерете вероятността тази топка да бъде изтеглена от втората урна.

Решение:

Отговор: 0,9125

52. Каква е вероятността да получите 1 асо, асо и поп при раздаване на 6 карти от тесте от 52 карти?

Автомобилите са доставени на гарата Поддръжка. Освен това 5 от тях са с неизправност по ходовата част, 8 с неизправност на двигателя, а 10 са били напълно изправни. Каква е вероятността кола с дефектно шаси да има и дефектен двигател?

Решение:

11111111 8 с дефектен двигател

5 с част с неподходящи движения 11111 1111111111 10 работят

11111111111111111111 общо 20

3 с дефектен двигател и ходова част 111

P = m/n m-брой автомобили с неизправно шаси и неизправен двигател; m=3

n – брой превозни средства с неизправно шаси; n=5

P = 3/5 – вероятност автомобил с дефектно шаси да има дефектен двигател.

Отговор: 3/5

Отговор: 21/625; 219/625; 247/625

67. В първата бригада от 8 трактора 2 се нуждаят от ремонт, във втората от 6-1.От всяка бригада произволно се избира по един трактор. Определете вероятността а) и двамата да работят, б) поне един да работи, в) само един да работи

а) P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

b)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В организацията работят 12 мъже и 8 жени. За тях са разпределени 3 награди. Определете вероятността бонусът да бъде получен от: а) двама мъже и една жена; б) само жени; в) поне един човек.

Решение:а) A-1 човек

B- 2 мъже

S- 1 жена

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) А-1 жена

B-2 жени

S-3 жени

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) А-поне 1 човек

Всички жени

P(A)=1- P(---A)

P(---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. От 25 служители 10 предприятия имат висше образование: Определете вероятността от трима произволно избрани хора да имат висше образование; а) трима души; б) едно лице; в) поне един човек.

Решение:

70. На картите са изписани буквите „К”, „А”, „П”, „Т”, „О”, „Ч”, „К”, „А”. Картите се разбъркват и поставят в реда, в който са изтеглени. Каква е вероятността да получите: а) думата „КАРТА”; б) думата “КАРТА”; в) думата „ТЕКУЩ“.

71. Има 15 висококачествени продукта в кутия от 25 елемента. На случаен принцип се изтеглят 3 елемента. Определете вероятността: а) един от тях да е с повишено качество; б) и трите продукта са с подобрено качество; в) поне един продукт с подобрено качество.

Решение:

72. Хвърлят се три зара. Каква е вероятността: а) поне един от тях да покаже 5 точки; б) всеки ще получи нечетни числа; в) всички зарове ще показват еднакви числа

73. Първата кутия с 6 топки съдържа 4 червени и 2 черни, втората кутия със 7 топки съдържа 2 червени и 5 черни. Една топка беше прехвърлена от първата кутия във втората, след това една топка беше прехвърлена от втората в първата. Намерете вероятността изтеглената след това топка от първото поле да е черна.

74. Две предприятия произвеждат един и същи вид продукти. Освен това второто произвежда 55% от продуктите на двете предприятия. Вероятността първото предприятие да произведе нестандартен продукт е 0,1, а второто е 0,15. а) Определете вероятността случайно взет продукт да се окаже нестандартен, б) Взетият продукт да се окаже нестандартен. Каква е вероятността да е произведен във втория завод.

Решение:

75. Има три урни. Първата има 3 бели и 2 черни топки, втората и третата имат 4 бели и 3 черни топки. От произволно избрана урна се тегли топка. Той се оказа бял. Каква е вероятността топката да бъде изтеглена от третата урна?

Решение: P(H1) = 1/3; Р(Н2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – вероятност за изтегляне на бяла топка.

Ако е избрана 1-ва урна, P(A/H1) = 3/5

2-ро P(A/H2) = 4/7

3-то P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Отговор: 1/3

76. Семената за посев се доставят в стопанството от три семенарници. Освен това първата и втората ферма изпращат по 40% от всички семена. Кълняемостта на семената от първата ферма е 90%, втората е 85%, а третата е 95%. а) Определете вероятността произволно взето семе да не покълне, б) Произволно взето семе да не покълне Каква е вероятността то да е от втора ферма?

77. Изпитната програма се състои от 30 въпроса. От 20-те ученици в групата 8 души научиха всички въпроси, 6 души научиха 25 въпроса, 5 души научиха 20 въпроса и един човек научи 10 въпроса. Определете вероятността произволно извикан студент да отговори на два въпроса от билета.

Решение: H1 е изборът на ученик, който е научил всичко, H2 е изборът на ученик, който е научил 25 въпроса, H3 е изборът на ученик, който е научил 20 въпроса, H4 е изборът на ученик, който е научил 10 въпроса .

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-тези, които са научили всички въпроси, n-всички ученици.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Вероятността студент, който е научил всичко, да отговори на 2 въпроса от билета от 25 въпроса, които е научил.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятността ученикът да отговори на 2 въпроса от билета от 25 въпроса, които е научил.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятността студент, който е научил 20 въпроса, да отговори на 2 въпроса от билета.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятността ученик, който е научил 10 въпроса, да отговори на 2 въпроса от билета.

Използвайки формулата за обща вероятност, намираме вероятността произволно извикан студент да отговори на 2 въпроса от билета:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Отговор: 5/6

78. Преди сеитба 95% от семената се третират със специален разтвор. Кълняемостта на семената след третиране е 99%, нетретирани 85%. А) Каква е вероятността произволно избрано семе да покълне? Б) Произволно взетото семе покълна. Каква е вероятността да е от третирани семена?

Решение: H1-третирани семена, H2 – нетретирани семена, A – покълнали семена.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95; Р(Н2) = 0,05

P(A/H1) = 0.99 – вероятността произволно взето семе да покълне, ако бъде обработено.

P(A/H2) = 0,85 – Вероятността произволно избрано семе да покълне, ако не е третирано.

А) използвайки формулата за обща вероятност, намираме вероятността произволно взето семе да поникне:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0,95*0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Отговор: 0,983

79. Магазинът получава телевизори от четири завода. Вероятността телевизорът да не се повреди през годината е: за първата инсталация 0,9, за втората 0,8, за третата 0,8 и за четвъртата 0,99. Произволно избран телевизор се повреди в рамките на една година. Каква е вероятността да е произведен в първия завод?

80. Един купувач е еднакво вероятно да посети всеки от трите магазина. Вероятността клиентът да купи продукт в първия магазин е 0,4, във втория е 0,6 и в третия е 0,8. Определете вероятността клиентът да купи продукт в определен магазин. Купувачът закупи продукта. Намерете вероятността той да го е купил във втория магазин.

Отговор: 0,7157

2. Един работник управлява 3 машини. Вероятността за безпроблемна работа на първия от тях е 0,75, вторият е 0,85,
трети 0,95. Намерете вероятността а) две машини да се повредят, б) и трите машини да работят без повреда, в) поне една машина ще се повреди.

3. От тесте, съдържащо 52 карти, на случаен принцип се изтеглят 3. Намерете вероятността това да е тройка, седем и асо.

4. Намерете вероятността абонат да набере правилния двуцифрен номер, ако знае, че даденият числото не се дели на 5

Решение: P(A) = m/n; m=1/

Нека преброим общия брой двуцифрени числа.То е равно на 90 и от тези числа извадете тези, които се делят на 5 (10,15,20,25...90,95). Техният брой е 18 => n=90-18=72

Отговор: 1/72

5. Зарът се хвърля 2 пъти: a) Намерете вероятността сумата от точки на горните страни да бъде 7. b) Намерете вероятността поне 2 точки да се появят по време на едно хвърляне.

Решение: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36 =1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. В урната има 5 черни и 7 червени топки. Изтеглят се последователно три топки (без връщане). Намерете вероятността а) и трите топки да бъдат червени, б) трите топки да бъдат червени или черни.

Решение: C m n = n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - опции за теглене на три топки.

а) Можете да получите 3 червени от 7 по 7 начина.

m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) можете да получите 3 червени от 7 по 7 начина и 3 черни от 5 =>

С 35 начина.

m = C 3 7 + C 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Отговор:а) P(A) = 7/44; б) P(A2) = 9/44

В група от 15 човека спортуват 6 души. Намерете вероятността от 7 произволно избрани човека 5 да се занимават със спорт.

Решение: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7) !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03

Отговор: 0,3.

Мишката може да избере произволно един от 5 лабиринта. Известно е, че вероятността тя да излезе от различни лабиринти за 3 минути е 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Нека се окаже, че мишката е излязла от лабиринта за 3 минути. Каква е вероятността тя да избере първия лабиринт? Втори лабиринт?

Решение:Първоначално вероятностите за избор на лабиринт с мишката са равни на:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятност за избор съответно на 1,2,3,4,5 лабиринта.

A – изход от лабиринта.

P(A/H1) = 0,5 – Вероятност мишката да излезе от 1 лабиринт

P(A/H2) = 0,6 – от 2 лабиринта.

P(A/H3) =0.2 – от 3-ти лабиринт

P(A/H4) = 0.1 – от 4 лабиринта

P(A/H5) = 0.1 – от 5 лабиринта

Според формулата за обща вероятност:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1 )=1/5*1.5=1.5*3/2 = 3/10 – вероятност мишката да излезе от лабиринта за 3 минути.

A) Намерете вероятността мишката да избере първия лабиринт (използвайки формулата на Bayes):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/ 10) = 1/10*10/3 = 1/3

B) Намерете вероятността мишката да избере втория лабиринт (използвайки формулата на Bayes)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3 /25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Отговор: 1/3; 2/5

9. От 10 билета печеливши са 2. Намерете вероятността от 5 билета един да е печеливш.

10. През септември вероятността за дъждовен ден е 0.3. Отборът "Статистик" печели в ясен ден с вероятност 0,8, а в дъждовен ден тази вероятност е 0,3. Известно е, че през септември те са спечелили дадена игра Каква е вероятността в този ден: а) да е валял дъжд; б) беше ясен ден.

11. Вероятността първият стрелец да уцели целта е 0,7, вторият - 0,5, а третият -0,4. Намерете вероятността поне един стрелец да уцели целта .

Решение:

Първата кутия съдържа 20 части, от които 10 стандартни, втората кутия съдържа 30 части, от които 25 стандартни, третата кутия съдържа 10 части, от които 8 стандартни. Едната част е взета на случаен принцип от произволно избрана кутия, която се оказа стандартна. Намерете вероятността да е взето от втората кутия.

Решение: P(Hi) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. Всяка от петте еднакви карти съдържа една от следните букви: A, E, N, C, T. Карти
смесен. Определете вероятността от извадените и поставени в един ред карти а) да е възможно да се направи
думата „СТЕНА“, б) от три карти можете да направите думата „НЕ“.

За попадение в целта е достатъчен поне един снаряд, за да я уцели. От две оръдия са дадени два залпа. Намерете вероятността за попадение в целта, ако вероятността за поразяване на целта с един изстрел от първия пистолет е 0,46, а вторият е 0,6.

Решение:

Нека B няма попадения

A1 – попадения при 1-ви удар.

A2 – попадение при 2-ри удар.

P(B) = -- A1 - A2 = 0,54* 0,4 = 0,216

След това C - поне едно попадение.

P(C) = 1 - 0,216 = 0,784

Отговор: 0,784

Има 3 урни. Първата урна съдържа 6 черни и 4 бели, втората съдържа 5 бели и 5 черни, третата съдържа 7 бели и 3 черни. На случаен принцип се избира урна и от нея се тегли топка, която се оказва бяла. Намерете вероятността втората урна да бъде избрана.

Решение:

Н1=1/3; Н2=1/3; H3=1/3

Р(Н/Н1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Отговор: 15/48 = 0,3125

16. Монетата се хвърля 3 пъти. Намерете вероятността гербът да се появи: а) всичките 3 пъти, б) само веднъж, в) поне веднъж

Решение:

17. На отделни карти са изписани числата 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всички карти се смесват, след което произволно се вземат 5 карти и се подреждат в редица. Определете вероятността да се получи числото 1 2 0 3 5. (Решете задачата, като използвате дефиницията на вероятността за събитие и теоремите на теорията на вероятностите)

Трима известни икономисти едновременно предложиха своите теории, които бяха счетени за еднакво вероятни. След наблюдение на състоянието на икономиката се оказа, че вероятността за развитие, което тя действително получи в съответствие с първата теория, е 0,5; от втория – 0,7; от трети – 0,4. Как това ще промени вероятностите за верността на трите теории.

Решение:

P(A/H1)=0.5; P(A/H2)=0.7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Магазинът продава 4 касетофона. Вероятността те да издържат гаранционния срок е съответно равна на: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Намерете вероятността произволно закупен магнетофон да издържи гаранционния период.

Решение:Вероятност за закупуване на 1 магнетофон –1/4; 2 – 1/4; 3 – 1/4; 4 –1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Отговор: P(A) = 0,925

Това е съотношението на броя на онези наблюдения, при които се е случило въпросното събитие, към общия брой наблюдения. Тази интерпретация е приемлива в случай на достатъчно голям брой наблюдения или експерименти. Например, ако около половината от хората, които срещате на улицата, са жени, тогава можете да кажете, че вероятността лицето, което срещате на улицата, да е жена, е 1/2. С други думи, оценка на вероятността за събитие може да бъде честотата на неговото появяване в дълга поредица от независими повторения на случаен експеримент.

Вероятност в математиката

В съвременния математически подход класическата (т.е. не квантовата) вероятност се дава от аксиоматиката на Колмогоров. Вероятността е мярка П, което е определено на множеството х, наречено вероятностно пространство. Тази мярка трябва да има следните свойства:

От тези условия следва, че вероятностната мярка Псъщо има имота адитивност: ако се задава А 1 и А 2 не се пресичат, тогава . За да докажете, трябва да поставите всичко А 3 , А 4 , ... равно на празното множество и приложете свойството на изброима адитивност.

Вероятностната мярка може да не е дефинирана за всички подмножества на набора х. Достатъчно е да го дефинираме върху сигма алгебра, състояща се от някои подмножества на множеството х. В този случай случайните събития се дефинират като измерими подмножества от пространството х, тоест като елементи на сигма алгебрата.

Смисъл на вероятността

Когато установим, че има основания за някои възможен фактнастъпили в действителност, противоположните причини надделяват, считаме този факт вероятно, в противен случай - невероятен. Това преобладаване на положителните основи над отрицателните и обратното може да представлява неопределен набор от степени, в резултат на което вероятност(И невероятност) Случва се Повече ▼или по-малко .

Сложните отделни факти не позволяват точно изчисляване на степените на тяхната вероятност, но дори и тук е важно да се установят някои големи подразделения. Така, например, в правната област, когато личен факт, предмет на съдене, се установява въз основа на свидетелски показания, той винаги остава, строго погледнато, само вероятен и е необходимо да се знае колко значителна е тази вероятност; в римското право тук е прието четворно деление: probatio plena(където вероятността практически се превръща в надеждност), Освен това - probatio минус plena, тогава - пробатио semiplena majorи накрая probatio semiplena minor .

В допълнение към въпроса за вероятността на случая, може да възникне въпросът, както в областта на правото, така и в областта на морала (с определена етична гледна точка), колко вероятно е даден конкретен факт да представлява нарушение на общия закон. Този въпрос, който служи като основен мотив в религиозната юриспруденция на Талмуда, също породи много сложни систематични конструкции и огромна литература, догматична и полемична, в римокатолическото морално богословие (особено от края на 16 век) ( виж Пробабилизъм).

Концепцията за вероятност позволява определен цифров израз, когато се прилага само към такива факти, които са част от определени хомогенни серии. Така че (в най-простия пример), когато някой хвърли монета сто пъти подред, тук намираме една обща или голяма серия (сумата от всички падания на монетата), състояща се от две частни или по-малки, в този случай числено равен, серия (пада "глави" и пада "опашки"); Вероятността този път монетата да попадне на глави, т.е. този нов член на общата серия да принадлежи към тази от двете по-малки серии, е равна на частта, изразяваща числовата връзка между тази малка серия и по-голямата, а именно 1/2, тоест една и съща вероятност принадлежи към едната или другата от две определени серии. По-малко прости примеризаключението не може да се изведе директно от данните на самия проблем, а изисква предварителна индукция. Така, например, въпросът е: каква е вероятността дадено новородено да доживее до 80 години? Тук трябва да има обща или голяма поредица от определен брой хора, родени при подобни условия и умиращи на различна възраст (този брой трябва да е достатъчно голям, за да елиминира случайните отклонения, и достатъчно малък, за да поддържа хомогенността на поредицата, за за човек, роден например в Санкт Петербург в богато, културно семейство, цялото милионно население на града, значителна част от което се състои от хора от различни групи, които могат да умрат преждевременно - войници, журналисти, работници в опасни професии - представлява група, твърде разнородна за реално определяне на вероятността) ; нека този общ ред се състои от десет хиляди човешки животи; включва по-малки серии, представящи броя на хората, оцелели до определена възраст; една от тези по-малки серии представлява броя на хората, които живеят до 80-годишна възраст. Но е невъзможно да се определи броят на тази по-малка серия (както всички останали) априори; това се прави чисто индуктивно, чрез статистика. Да речем статистически изследванияустановено, че от 10 000 жители на Санкт Петербург от средната класа само 45 живеят до 80 години; По този начин тази по-малка серия е свързана с по-голямата, тъй като 45 е към 10 000, а вероятността даден човек да принадлежи към тази по-малка серия, тоест да доживее до 80 години, се изразява като част от 0,0045. Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина - теория на вероятностите.

Вижте също

Бележки

Литература

• Алфред Рени. Писма за вероятността / прев. от унгарски Д. Саас и А. Крамли, изд. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970 г
• Гнеденко Б.В.Курс по теория на вероятностите. М., 2007. 42 с.
• Купцов В.И.Детерминизъм и вероятност. М., 1976. 256 с.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Антоними:

Вижте какво е „Вероятност“ в други речници:

Общонаучно-философски. категория, обозначаваща количествената степен на възможност за възникване на масови случайни събития при фиксирани условия на наблюдение, характеризираща стабилността на техните относителни честоти. В логиката семантична степен... ... Философска енциклопедия

ВЕРОЯТНОСТ, число в диапазона от нула до едно включително, представляващо възможността за събитие на това събитие. Вероятността за събитие се определя като съотношението на броя на шансовете, че дадено събитие може да се случи, към общия брой възможни... ... Научно-технически енциклопедичен речник

По всяка вероятност.. Речник на руски синоними и подобни изрази. под. изд. Н. Абрамова, М.: Руски речници, 1999. вероятност възможност, вероятност, шанс, обективна възможност, маза, допустимост, риск. Мравка. невъзможност...... Речник на синонимите

вероятност- Мярка, че дадено събитие е вероятно да се случи. Забележка Математическа дефинициявероятности: „реално число между 0 и 1, свързано с случайно събитие" Числото може да отразява относителната честота в серия от наблюдения... ... Ръководство за технически преводач

Вероятност- „математически, числена характеристикастепента на възможност за възникване на всяко събитие в определени специфични условия, което може да се повтори неограничен брой пъти. Въз основа на тази класика...... Икономико-математически речник

- (вероятност) Възможността за възникване на всяко събитие или определен резултат. Може да се представи под формата на скала с деления от 0 до 1. Ако вероятността за събитие е нула, то е невъзможно да се случи. С вероятност, равна на 1, началото на... Речник на бизнес термините