Материалът в тази статия трябва да се разглежда като част от темата трансформация на ирационални изрази. Тук ще използваме примери, за да анализираме всички тънкости и нюанси (от които има много), които възникват при извършване на трансформации въз основа на свойствата на корените.
Навигация в страницата.
Нека си припомним свойствата на корените
Тъй като предстои да се занимаваме с преобразуването на изрази, използвайки свойствата на корените, няма да ви навреди да запомните основните или дори по-добре да ги запишете на хартия и да ги поставите пред себе си.
Първо се изучават квадратните корени и техните следните свойства (a, b, a 1, a 2, ..., a k са реални числа):
И по-късно идеята за корен се разширява, въвежда се определението за корен от n-та степен и се разглеждат следните свойства (a, b, a 1, a 2, ..., a k са реални числа, m, n, n 1, n 2, ... , n k - естествени числа):
Преобразуване на изрази с числа под радикални знаци
Както обикновено, първо се учат да работят с числови изрази и едва след това преминават към изрази с променливи. Ще направим същото, като първо ще се занимаваме с преобразуването на ирационални изрази, съдържащи само числови изрази под знаците на корените, а след това в следващия параграф ще въведем променливи под знаците на корените.
Как това може да се използва за трансформиране на изрази? Много е просто: например можем да заменим ирационален израз с израз или обратното. Тоест, ако преобразуваният израз съдържа израз, който съвпада по външен вид с израза от лявата (дясната) част на някое от изброените свойства на корените, тогава той може да бъде заменен със съответния израз от дясната (лявата) част. Това е преобразуване на изрази, използвайки свойствата на корените.
Нека дадем още няколко примера.
Нека опростим израза 
. Числата 3, 5 и 7 са положителни, така че можем спокойно да приложим свойствата на корените. Тук можете да действате по различни начини. Например, корен, базиран на свойство, може да бъде представен като , а корен, използващ свойство с k=3 - като , с този подход решението ще изглежда така: 
Човек може да го направи по различен начин, като замени с и след това с, в който случай решението ще изглежда така: 
Възможни са и други решения, например: 
Нека да разгледаме решението на друг пример. Нека трансформираме израза. Разглеждайки списъка със свойства на корените, ние избираме от него свойствата, които са ни необходими за решаване на примера; ясно е, че две от тях са полезни тук и , които са валидни за всяко a . Ние имаме: 
Като алтернатива, човек може първо да трансформира радикалните изрази, като използва 
и след това приложете свойствата на корените 
До този момент сме преобразували изрази, които съдържат само квадратни корени. Време е да работим с корени, които имат различни показатели.
Пример.
Преобразувайте ирационалния израз 
.
Решение.
По собственост 
първият множител на даден продукт може да бъде заменен с числото −2: 
Продължавай. Вторият фактор се дължи на имота 
може да се представи като , и няма да навреди да замените 81 с четворна степен на три, тъй като числото 3 се появява под знаците на корените в останалите множители: 
Препоръчително е да замените корена на дроб със съотношение на корени от формата , което може да се трансформира допълнително: 
. Ние имаме 
Полученият израз след извършване на действия с двойки ще приеме формата 
, и остава да преобразуваме произведението на корените.
За да се трансформират продуктите на корените, те обикновено се свеждат до един показател, за който е препоръчително да се вземат показателите на всички корени. В нашия случай LCM(12, 6, 12) = 12 и само коренът ще трябва да бъде намален до този индикатор, тъй като другите два корена вече имат такъв индикатор. Равенството, което се прилага отдясно наляво, ни позволява да се справим с тази задача. Така 
. Като вземем предвид този резултат, имаме 
Сега произведението на корените може да бъде заменено с корена на продукта и да извърши останалите, вече очевидни трансформации: 
Нека напишем кратка версия на решението: 
Отговор:
.
Отделно подчертаваме, че за да се приложат свойствата на корените, е необходимо да се вземат предвид ограниченията, наложени върху числата под знаците на корените (a≥0 и т.н.). Пренебрегването им може да доведе до неправилни резултати. Например знаем, че свойството е валидно за неотрицателно a . Въз основа на него можем лесно да преминем например от към, тъй като 8 е положително число. Но ако вземем смислен корен от отрицателно число например и въз основа на посоченото по-горе свойство го заменим с , тогава всъщност заместваме −2 с 2. Наистина, ах. Тоест, за отрицателно a равенството може да е неправилно, точно както други свойства на корените могат да бъдат неправилни, без да се вземат предвид условията, определени за тях.
Но това, което беше казано в предишния параграф, изобщо не означава, че изрази с отрицателни числа под знаците на корените не могат да бъдат трансформирани с помощта на свойствата на корените. Просто първо трябва да бъдат „подготвени“, като се приложат правилата за работа с числа или се използва определението за нечетен корен от отрицателно число, което отговаря на равенството 
, където −a е отрицателно число (а a е положително). Например, той не може да бъде незабавно заменен с , тъй като −2 и −3 са отрицателни числа, но ни позволява да преминем от корена към и след това допълнително да приложим свойството на корена на продукт: 
. Но в един от предишните примери не беше необходимо да се преминава от корен към корен на осемнадесетата степен 
, и така 
.
И така, за да трансформирате изрази, използвайки свойствата на корените, трябва
- изберете подходящата собственост от списъка,
- уверете се, че числата под корена отговарят на условията за избраното свойство (в противен случай трябва да извършите предварителни трансформации),
- и извършете планираната трансформация.
Преобразуване на изрази с променливи под корен
За да трансформирате ирационални изрази, съдържащи не само числа, но и променливи под знака на корена, свойствата на корените, изброени в първия параграф на тази статия, трябва да се прилагат внимателно. Това се дължи най-вече на условията, на които трябва да отговарят числата, включени във формулите. Например въз основа на формулата изразът може да бъде заменен с израз само за тези стойности на x, които отговарят на условията x≥0 и x+1≥0, тъй като посочената формула е посочена за a≥0 и b ≥0.
Какви са опасностите от пренебрегването на тези условия? Отговорът на този въпрос ясно се демонстрира от следния пример. Да кажем, че трябва да изчислим стойността на израз при x=−2. Ако веднага заместим числото −2 вместо променливата x, ще получим стойността, от която се нуждаем 
. Сега нека си представим, че въз основа на някои съображения сме преобразували дадения израз във формата и едва след това сме решили да изчислим стойността. Заменяме числото −2 с x и стигаме до израза 
, което няма смисъл.
Нека видим какво се случва с диапазона от допустими стойности (APV) на променливата x при преминаване от израз към израз. Неслучайно споменахме ODZ, тъй като това е сериозен инструмент за наблюдение на допустимостта на извършените трансформации и промяна в ODZ след трансформиране на израз би трябвало най-малкото да предизвиква проблеми. Намирането на ODZ за тези изрази не е трудно. Тъй като изразът ODZ се определя от неравенството x·(x+1)≥0, неговото решение дава числовия набор (−∞, −1]∪∪)
