В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. И в основите лежи произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Прав паралелепипед
И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:
Нека помислим правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но пр. н. е. и сл. н. е. - противоположни страниправоъгълник. Така че BC = AD. Тогава:
защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
|
паралелепипед, паралелепипед снимка
паралелепипед(старогръцки παραλληλ-επίπεδον от старогръцки παρ-άλληλος - „успореден“ и друг гръцки ἐπί-πεδον - „равнина“) - призма, основата на която е успоредник или (еквивалентно) много ръбове, която има шест лица и всеки от тях - успоредник.
- 1 Видове паралелепипед
- 2 Основни елементи
- 3 свойства
- 4 Основни формули
- 4.1 Прав паралелепипед
- 4.2 Правоъгълен паралелепипед
- 4.3 Куб
- 4.4 Всеки паралелепипед
- 5 математически анализ
- 6 Бележки
- 7 връзки
Видове паралелепипед
Правоъгълен паралелепипедИма няколко вида паралелепипеди:
- Кубоидът е паралелепипед, чиито лица са правоъгълници.
- Наклонен паралелепипед е паралелепипед, чиито странични лица не са перпендикулярни на основите.
Основни елементи
Две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположни, а тези, които имат общ ръб, се наричат съседни. Два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице, се наричат противоположни. Отсечката, свързваща противоположни върхове, се нарича диагонал на паралелепипед. Дължините на три ръба на правоъгълен паралелепипед, които имат общ връх, се наричат негови размери.
Имоти
- Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.
- Всеки сегмент с краища, принадлежащи на повърхността на паралелепипеда и минаващи през средата на неговия диагонал, се разделя наполовина от него; по-специално, всички диагонали на паралелепипед се пресичат в една точка и се разделят на две от нея.
- Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
- Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Основни формули
Прав паралелепипед
Площ на страничната повърхност Sb=Po*h, където Po е периметърът на основата, h е височината
Обща повърхност Sp=Sb+2So, където So е основната площ
Обем V=So*h
Правоъгълен паралелепипед
Основна статия: Правоъгълен паралелепипедСтранична повърхност Sb=2c(a+b), където a, b са страните на основата, c е страничният ръб на правоъгълния паралелепипед
Обща повърхност Sp=2(ab+bc+ac)
Обем V=abc, където a, b, c са размерите на правоъгълен паралелепипед.
куб
Площ:
Обем: , където е ръбът на куба.
Всеки паралелепипед
Обем и съотношения в наклонен паралелепипедчесто дефинирани чрез векторна алгебра. Обемът на паралелепипеда е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на три вектора, определени от трите страни на паралелепипеда, излизащи от един връх. Връзката между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях дава твърдението, че детерминантата на Грам на посочените три вектора е равна на квадрата на тяхното смесено произведение: 215.
В математическия анализ
В математическия анализ n-мерният правоъгълен паралелепипед се разбира като набор от точки от формата
Бележки
- Старогръцко-руски речник на Дворецки “παραλληλ-επίπεδον”
- Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторна алгебра в примери и задачи. - М.: висше училище, 1985. - 232 с.
Връзки
Уикиречник има статия "паралелепипед"- Правоъгълен паралелепипед
- Паралелепипед, образователен филм
| Многостени | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Правилно (Платонови тела) |
|||||||||
| Правилно неизпъкнал |
Звездообразен додекаедър Звездообразен икосидодекаедър Звездообразен икосаедър Звездообразен полиедър Звездообразен октаедър | ||||||||
| Изпъкнал |
|
||||||||
| формули, теореми, теории |
Теорема на Александров за изпъкнали многостени Теорема на Бликер Теорема на Коши за многостени Теорема на Линдельоф за многостени Теорема на Минковски за многостени Теорема на Сабитов Теорема на Ойлер за многостени Формула на Шлефли |
||||||||
| други |
Ортоцентричен тетраедър Равностранен тетраедър Правоъгълен паралелепипед Група полиедри Додекаедри Телесен ъгъл Единичен куб Гъвкав полиедър Развитие Символ на Schläfli Полиедър на Джонсън Многоизмерен (N-мерен тетраедър Тесеракт Пентеракт Хексеракт Хептеракт Октеракт Ентенеракт Декеракт Хиперкуб) Паркет |
||||||||
паралелепипед, паралелепипед delgemel, паралелепипед zurag, паралелепипед и успоредник, паралелепипед от картон, паралелепипед картинки, паралелепипед обем, паралелепипед определение, паралелепипед формули, паралелепипед снимка
Паралелепипед Информация за
Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълен паралелепипед е прав паралелепипед, чиито лица са правоъгълници.
Достатъчно е да се огледаме около нас и ще видим, че обектите около нас имат форма, подобна на паралелепипед. Те могат да бъдат разграничени по цвят, да имат много допълнителни детайли, но ако тези тънкости се изхвърлят, тогава можем да кажем, че например шкаф, кутия и т.н., имат приблизително еднаква форма.
С концепцията за правоъгълен паралелепипед се сблъскваме почти всеки ден! Огледайте се и ми кажете къде виждате правоъгълен паралелепипед? Погледнете книгата, тя е точно същата форма! Тухла, кибритена кутия, дървен блок имат еднаква форма и дори в момента се намирате в правоъгълен паралелепипед, защото класната стая е най-ярката интерпретация на това геометрична фигура.
Упражнение:Какви примери за паралелепипед можете да посочите?
Нека разгледаме по-отблизо кубоида. И какво виждаме?
Първо, виждаме, че тази фигура е образувана от шест правоъгълника, които са лицата на кубоид;
Второ, кубоидът има осем върха и дванадесет ръба. Ръбовете на кубоида са страните на неговите лица, а върховете на кубоида са върховете на лицата.
Упражнение:
1. Как се нарича всяко от лицата на правоъгълен паралелепипед? 2. Благодарение на какви параметри може да се измери успоредник? 3. Определете противоположни лица.
Видове паралелепипеди
Но паралелепипедите са не само правоъгълни, но могат да бъдат и прави и наклонени, а правите линии се делят на правоъгълни, неправоъгълни и кубчета.
Задание: Погледнете картината и кажете какви паралелепипеди са показани на нея. Как се различава правоъгълният паралелепипед от куба?
Свойства на правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има редица важни свойства:
Първо, квадратът на диагонала на тази геометрична фигура е равен на сумата от квадратите на трите й основни параметъра: височина, ширина и дължина.
Второ, и четирите му диагонала са абсолютно еднакви.
Трето, ако и трите параметъра на паралелепипед са еднакви, тоест дължината, ширината и височината са равни, тогава такъв паралелепипед се нарича куб и всичките му лица ще бъдат равни на един и същ квадрат.
Упражнение
1. Правоъгълният паралелепипед има ли равни страни? Ако има такива, покажете ги на фигурата. 2. Кои? геометрични формиКакви са страните на правоъгълен паралелепипед? 3. Какво е разположението на еднакви ръбове един спрямо друг? 4. Назовете броя на двойките равни лица на тази фигура. 5. Намерете ръбовете в правоъгълен паралелепипед, които показват неговата дължина, ширина, височина. Колко преброихте?
Задача
За да украси красиво подарък за рождения ден на майка си, Таня взе кутия с формата на правоъгълен паралелепипед. Размерът на тази кутия е 25см*35см*45см. За да направи тази опаковка красива, Таня реши да я покрие с красива хартия, чиято цена е 3 гривни за 1 dm2. Колко пари трябва да похарчите за опаковъчна хартия?
Знаете ли, че известният илюзионист Дейвид Блейн е прекарал 44 дни в стъклен паралелепипед, окачен над Темза като част от експеримент. За тези 44 дни той не се храни, а само пие вода. В доброволния си затвор Дейвид взе само материали за писане, възглавница и матрак и носни кърпички.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
