Лекция 2. Равнината като повърхнина от първи ред. Равнинни уравнения и тяхното изследване. Направо в космоса относителна позицияправи в пространството, равнини и прави в пространството. Права на равнина, уравнения на права на равнина, разстоянието от точка до права на равнина. Криви от втори ред; извеждане на канонични уравнения, изследване на уравнения и конструиране на криви. Повърхнини от втори ред, изучаване на канонични уравнения на повърхнини. Метод на раздела. 1
Елементи на аналитичната геометрия § 1. Равнина. Имаме OXYZ и някаква повърхност S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Определение 1: уравнение с три променливи се нарича уравнение на повърхността S в пространството, ако това уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, разположена на повърхността и неудовлетворена от координатите, нито една точка, разположена върху нея. 2
Пример. Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) дефинираме сфера с център в точка C(a, b, c) и радиус R. M M (x , y, z) – променлива точка M ϵ (S) |CM| = R C 3
Определение 2: Повърхност S се нарича повърхност от n-ти ред, ако е дефинирана в някаква декартова координатна система алгебрично уравнение n-та степен F(x, y, z) = 0 (1) В пример (S) е кръг, повърхност от втори ред. Ако S е повърхност от n-ти ред, тогава F(x, y, z) е полином от n-та степен по отношение на (x, y, z). Нека създадем уравнение за равнина, минаваща през точка M (x, y, z), с нормален вектор 4
Нека M(x, y, z) е произволна (текуща) точка от равнината. M M 0 O α или в координатна форма: (2) Уравнение (2) е уравнението на равнината, минаваща през точката M с даден нормален вектор. 5
D (*) (3) - пълно уравнениеравнина Непълно уравнение на равнина. Ако в уравнение (3) няколко коефициента (но не A, B, C едновременно) = 0, тогава уравнението се нарича непълно и равнината α има особености в местоположението си. Например, ако D = 0, тогава α минава през началото. 6
Разстоянието от точката M 1 до равнината α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 се прилага към точката M 0 K 7
- разстояние от точка M 1 до равнина α Уравнение на равнината „в сегменти“ Нека създадем уравнение на равнината, отрязваща ненулеви сегменти по координатните оси със стойности C (0, 0, c) a, b, c. Нека вземем B(0, b, 0) като стойност. Нека създадем уравнение за точка A с A(a, 0, 0) 8
-уравнение на равнината α "в сегменти" -уравнение на равнината, минаваща през точка А, перпендикулярна на нормалния вектор 9
§ 2. Общо уравнение на права линия. Правата линия в пространството може да бъде определена от пресечната точка на 2 равнини. (1) уравнение на права линия Система от тип (1) определя права линия в пространството, ако коефициентите A 1, B 1, C 1 са едновременно непропорционални на A 2, B 2, C 2. 10
Параметрични и канонични уравнения на права линия - произволна точка на права линия точка M M 0 Параметрично уравнение t - параметър 11
Като елиминираме t получаваме: - канонично уравнение Система (3) определя движението материална точка, праволинейна и равномерна от началната позиция M 0(x 0, y 0, z 0) със скорост по посока на вектора. 12
Ъгълът между прави линии в пространството. Условия на паралелност и перпендикулярност. Нека има две прави L 1, L 2 в пространството, дадени от техните канонични уравнения: Тогава задачата за определяне на ъгъла между тези линии се свежда до определяне на ъгъла
техните насочващи вектори: Използвайки дефиницията на скаларния продукт и израза в координати на посочения скаларен продукт и дължините на векторите q 1 и q 2, получаваме да намерим: 15
Условието за успоредност на прави линии l 1 и l 2 съответства на колинеарността на q 1 и q 2, се крие в пропорционалността на координатите на тези вектори, т.е. има формата: Условието за перпендикулярност следва от определението на скаларното произведение и неговото равенство на нула (при cos = 0) и има формата: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16
Ъгъл между права линия и равнина: условия за успоредност и перпендикулярност на права линия и равнина Разгледайте равнината P, дефинирана от общото уравнение: Ax + By + Cz + D = 0, и правата L, дефинирана от каноничното уравнение: 17
Тъй като ъгълът между правата линия L и равнината P е комплементарен на ъгъла между насочващия вектор на правата линия q = (l, m, n) и нормалния вектор на равнината n = (A, B, C), , тогава от дефиницията на скаларното произведение q n = q n cos и равенството cos = sin (= 90 -), получаваме: 18
Условието за успоредност на правата L и равнината П (включително факта, че L принадлежи на П) е еквивалентно на условието за перпендикулярност на векторите q и n и се изразява чрез = 0 скаларно произведение на тези вектори: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Условието за перпендикулярност на правата L и равнината P е еквивалентно на условието за успоредност на векторите n и q и се изразява чрез пропорционалността на координатите на тези вектори: 19
Условия за принадлежност на две прави в една и съща равнина Две прави в пространството L 1 и L 2 могат: 1) да се пресичат; 2) да са успоредни; 3) кръстосват се. В първите два случая правите L 1 и L 2 лежат в една и съща равнина. Нека установим условието две прави линии, определени от канонични уравнения, да принадлежат на една и съща равнина: 20
Очевидно, за да принадлежат двете посочени прави на една и съща равнина, е необходимо и достатъчно три вектора = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) и q 2 = (l 2, m 2, n 2), са копланарни, за което от своя страна е необходимо и достатъчно смесеното произведение на тези три вектора да е = 0 21
Като записваме смесените произведения на посочените вектори в координати, получаваме необходимите и достатъчно условиепринадлежност на две прави L 1 и L 2 към една равнина: 22
Условие правата да принадлежи на равнина. Нека има права линия и равнина Ax + Bi + Cz + D = 0. Тези условия имат формата: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 и Al + Bm + Cn = 0, първото от които означава, че точката M 1(x1, y1, z 1), през която минава правата, принадлежи на равнината, а второто е условието за успоредност на правата и равнината. 23
Криви от втори ред. § 1. Концепцията за уравнението на права върху равнина. Уравнението f (x, y) = 0 се нарича уравнение на права L в избраната координатна система, ако е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата, и не е удовлетворено от координатите на която и да е точка, която не лежи върху нея. 24
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}
Права L се нарича права от n-ти ред, ако в някаква декартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от n-та степен по отношение на x и y. Познаваме единствената линия от 1-ви ред - права линия: Ax + By + D = 0 Ще разгледаме криви от 2-ри ред: елипса, хипербола, парабола. Общото уравнение на линиите от 2-ри ред е: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26
Елипса (E) Определение. Елипса е множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до две фиксирани точки на равнината F 1 и F 2, наречени фокуси, е постоянна стойност и голямо разстояние между фокусите. Нека означим константата като 2 a, разстоянието между фокусите като 2 c. Начертайте оста X през фокусите (a > c, a > 0, c > 0). Оста Y през средата на фокусното разстояние. Нека M е произволна точка от елипсата, t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), където r 1, r 2 са фокалните 27 радиуса на E.
Нека запишем (1) в координатна форма: (2) Това е уравнението на елипса в избраната координатна система. Опростявайки (2), получаваме: b 2 = a 2 - c 2 (3) – каноничното уравнение на елипсата. Може да се покаже, че (2) и (3) са еквивалентни: 28
Изследване на формата на елипса с помощта на каноничното уравнение 1) Елипса е крива от 2-ри ред 2) Симетрия на елипсата. тъй като x и y са включени в (3) само в четни степени, елипсата има 2 оси и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с избраните координатни оси и точка O. 29
3) Разположение на елипсата Тоест цялото Е е разположено вътре в правоъгълник, чиито страни са x = ± a и y = ± b. 4) Пресичане с оси. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: върховете на елипсата C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); Поради симетрията на елипсата, ще разгледаме нейното поведение (↓) само през първото тримесечие. 30
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Разрешавайки (3) по отношение на y получаваме: в първата четвърт x > 0 и елипсата намалява."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}
Хипербола (Г) Определение: Г е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията до 2 фиксирани точки на равнината F 1, F 2 е постоянна стойност и
Опростявайки (1): (2) е каноничното уравнение на G. (1) и (2) са еквивалентни. Изследване на хипербола с помощта на каноничното уравнение 1) Г е права от 2-ри ред 2) Г има две оси и един център на симетрия, които в нашия случай съвпадат с координатните оси и началото. 3) Местоположение на хиперболата. 34
Хиперболата се намира извън лентата между правите x = a, x = -a. 4) Точки на пресичане с оси. OX: OY: няма решения A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – реални върхове Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – имагинерни върхове Г 2 a – реална ос Г 2 b – имагинерна ос Г 35
5) Асимптоти на хипербола. Поради симетрията на Г, ние разглеждаме неговата част в първата четвърт. След като разрешим (2) по отношение на y, получаваме: уравнение Г в първата четвърт x ≥ 0 Разгледайте правата линия: тъй като в първата четвърт x>0, т.е. в първата четвърт със същата абциса, ординатата на правата > ординатирайте съответната точка Г, т.е. в първата четвъртина Г лежи под тази права линия. Цялото G е вътре вертикален ъгълсъс страни 36
6) Може да се покаже, че в първата част G нараства 7) План за построяване на G a) построете правоъгълник 2 a, 2 b b) начертайте неговите диагонали c) маркирайте A 1, A 2 - реалните върхове на G и 38 напишете тези клонове
Парабола (P) Разгледайте d (директриса) и F (фокус) върху равнината. Определение. П – множество от всички точки на равнината, равноотдалечени от права d и точка F (фокус) 39
d-директриса F-фокус XOY точка М П тогава, |MF| = |MN| (1) уравнение на P, избрано в координатната система Опростявайки (1) получаваме y 2 = 2 px (2) – канонично уравнение на P. (1) и (2) са еквивалентни 40.
Изследване на P с помощта на каноничното уравнение x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41
§ 4. Цилиндрите. Цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на координатните оси. През точка x на правата L прекарваме права, успоредна на оста OZ. Повърхността, образувана от тези прави линии, се нарича цилиндрична повърхност или цилиндър (C). Всяка права линия, успоредна на оста OZ, се нарича образуваща. l е водачът на цилиндричната повърхност на равнината XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42
Нека M(x, y, z) е произволна точка от цилиндрична повърхност. Нека го проектираме върху L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, т.е. , координатите M удовлетворяват (1), очевидно е, че ако M C, тогава тя не е проектирана към точката M 0 ϵ L и следователно координатите на M няма да удовлетворяват уравнение (1), което определя C с паралелна образуваща към оста OZ в пространството. По същия начин може да се покаже, че: Ф(x, z) = 0 в пространството Г || OY 43 (y, z) = 0 определя в пространството C || ОХ
Проекция на пространствена линия върху координатна равнина Правата в пространството може да бъде определена параметрично и чрез пресичане на повърхности. Една и съща линия може да се дефинира като ∩ на различни повърхности. Нека пространствената линия L е дадена ∩ на две повърхности α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 уравнение L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Нека намерим проекцията на L върху равнината XOY от уравнение (1) и изключим Z. Получаваме уравнението: Z(x, y) = 0 – в пространството това е уравнението Ε с генератор || OZ и ръководство L. 46
Проекция: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Повърхнини от втори ред Елипсоид - каноничното уравнение на повърхнина има вида: 1) Елипсоид - повърхнина от втори ред. 2) X, Y, Z влизат в уравнението само в четни степени => повърхността има 3 равнини и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с координатни равнинии произхода на координатите. 47
3) Местоположение на елипсоида Повърхността е затворена между || равнини с уравнения x = a, x = -a. По същия начин, т.е. цялата повърхност се съдържа вътре в правоъгълен паралелепипед. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Ще изследваме повърхнината по метода на сеченията - пресичане на повърхнината с координатни равнини || координирам. В участъка ще получим линии, по формата на които ще преценим формата на повърхността. 48
Нека пресечем повърхността с равнината XOY. В секцията получаваме линия. - елипса a и b – полуоси Подобно на равнината YOZ - елипса с полуоси b и c Равнинна || XOY Ако h(0, c), тогава осите на елипса намаляват от a и b до 0. 49
a = b = c - сфера Параболоиди a) Хиперболичен параболоид - повърхност с канонично уравнение: 1) Повърхност от втори ред 2) Тъй като x, y влизат в уравнението само в четни степени, повърхността има равнини на симетрия, които съвпадат за даден избор на координати с 50 равнини XOZ, YOZ.
3) изследваме повърхността, използвайки метода на седловината. XOZ В напречно сечение параболата е симетрична на оста OZ, възходяща. мн. YOZ 51
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" площ ||XOY за h > 0 хиперболи, с реална полуос по протежение на OX, за h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}
б) Двулистов хиперболоид 1) повърхност от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) местоположение на повърхността x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Повърхнината се състои от две части, разположени извън лентата между равнините с уравненията x = a, x = -a 4) изучаваме метода на сеченията (Сами!) 57
Конус от втори ред Конус от втори ред е повърхност, чието канонично уравнение има формата: 1) повърхност от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) изучаваме метода на квадратните сечения. XOY 58
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" квадрат ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ квадрат YOZ двойка прави линии, преминавайки през"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}
60
В следващите параграфи се установява, че повърхностите от първи ред са равнини и само равнини и се разглеждат различни форми на записване на уравненията на равнините.
198. Теорема 24. В декартовите координати всяка равнина се определя от уравнение от първа степен.
Доказателство. Ако приемем, че е дадена декартова правоъгълна координатна система, разглеждаме произволна равнина a и доказваме, че тази равнина се определя от уравнение от първа степен. Нека вземем някаква точка M на равнината a 0 (d: 0; y 0; z0); Нека освен това изберем всеки вектор (само не равен на нула!), перпендикулярен на равнината a. Означаваме избрания вектор с буквата p, неговите проекции върху координатните оси- букви A, B, C.
Нека M(x; y; z) е произволна точка. Той лежи на равнината тогава и само ако векторът MqM е перпендикулярна на вектора n. С други думи, точката Ж, лежаща в равнината a, се характеризира с условието:
Получаваме уравнението на равнината a, ако изразим това условие чрез координати x, y, z. За тази цел записваме координатите на векторите M 0M и th:
M 0M=(x-x 0; y-y 0; z-z0), P=(A; B; C).
Съгласно параграф 165 знак за перпендикулярност на два вектора е равенството на нула на скаларния им продукт, т.е. сумата от продуктите по двойки на съответните координати на тези вектори. Така че М 0M J_ p тогава и само ако
A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)
Това е желаното уравнение на равнината a, тъй като то е удовлетворено от координатите lz, y, z точки M тогава и само ако M лежи в равнината a (т.е. когато J_«).
Отваряйки скобите, представяме уравнението(1) като
Ax + By + Cz + (- A x 0 - By 0-Cz0) = 0.
Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)
Виждаме, че равнината a наистина се определя от уравнение от първа степен. Теоремата е доказана.
199. Всеки (ненулев) вектор, перпендикулярен на определена равнина, се нарича нормален към нея вектор. Използвайки това име, можем да кажем, че уравнението
A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0
е уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 (x 0; y 0; z0) и с нормален вектор n- (A; B ; СЪС). Уравнение на формата
Ax + Bu-\- Cz + D = 0
наречено общо уравнение на равнината.
200. Теорема 25. В декартовите координати всяко уравнение от първа степен определя равнина.
Доказателство. Ако приемем, че е дадена декартова правоъгълна координатна система, разгледайте произволно уравнение от първа степен
Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)
Когато казваме „произволно“ уравнение, имаме предвид, че коефициентите A, B, C,г могат да бъдат всякакви числа, но, разбира се, без
случай на едновременно равенство на нула на трите коефициента A, B, C. Трябва да докажем, че уравнението(2) е уравнението на някаква равнина.
Нека lg 0, y 0, r 0- някакво решение на уравнението(2), т.е. тройка числа, която удовлетворява това уравнение*). Заместване на числата в 0, z0 вместо текущите координати в лявата страна на уравнението(2), получаваме аритметичното тъждество
Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)
Извадете от уравнението(2) идентичност (3). Получаваме уравнението
A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)
което според предишното е уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 (jc0; y 0; z0) и има нормален вектор n - (A; B; C). Но уравнението(2) е еквивалентно на уравнението(1), тъй като уравнението(1) получено от уравнението(2) чрез почленно изваждане на тъждеството(3) и уравнение (2) на свой ред се получава от уравнението(1) чрез добавяне на идентичността термин по термин(3). Следователно уравнението(2) е уравнение на същата равнина.
Доказахме, че произволно уравнение от първа степен определя равнина; Така теоремата е доказана.
201. Повърхности, които са Декартови координатисе определят от уравнения от първа степен, наречени, както знаем, повърхности от първи ред. Използвайки тази терминология, можем да изразим установените резултати, както следва:
Всяка равнина е повърхност от първи ред; всяка повърхност от първи ред е равнина.
Пример. Напишете уравнение за равнината, която минава през точката Afe(l; 1; 1) перпендикулярно на вектора i*=( 2; 2; 3}.
Решение съгласно параграф 199 изискваното уравнение е
2(*- 1)+2 (y -1)+3(y -1)=0,
или
2x+2y+3g- 7 = 0.
*) Уравнение (2), като всяко уравнение от първа степен с три неизвестни, то има безкрайно много решения. За да намерите някое от тях, трябва да присвоите числени стойности на две неизвестни и след това да намерите третото неизвестно в уравнението.
202. За да завършим този раздел, доказваме следното предложение: ако две уравнения Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 и A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 определят една и съща равнина, тогава техните коефициенти са пропорционални.
Наистина, в този случай векторите nx = (A 1; Bx\ и p 2 - (/42; B 2 ; Cr) са перпендикулярни на една и съща равнина, следователно, колинеарни един на друг. Но тогава, съгласно ал 154 номера Аъ В 2, С 2 пропорционално на числата A1g B1gCx; означавайки коефициента на пропорционалност с p, имаме: A 2-A 1ts, B2 = Bx\i, C 2 =.Cj\i. Нека M 0 (x 0; y 0 ; ^-която и да е точка от равнината; неговите координати трябва да удовлетворяват всяко от дадените уравнения, така че Axx 0 + Vxu 0
Cxz0 = 0 и A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Нека умножим първото от тези равенства по p. и извадете от второто; получаваме D2-Djp = 0. Следователно D%-Dx\i и
B^ Cr_ D2
Ah B, Cx-B1 ^
Така твърдението ни е доказано.
§7. Равнина като повърхност от първи ред. Общо уравнение на равнината. Уравнение на преминаваща равнина тази точкаперпендикулярен на даден вектор Нека въведем правоъгълна декартова координатна система Oxyz в пространството и разгледаме уравнение от първа степен (или линейно уравнение) за x, y, z: (7.1) Ax By Cz D 0, A2 B2 C 2 0 . Теорема 7.1. Всяка равнина може да бъде определена в произволна правоъгълна декартова координатна система чрез уравнение от вида (7.1). По абсолютно същия начин, както в случая с права в равнина, обратното на теорема 7.1 е валидно. Теорема 7.2. Всяко уравнение от вида (7.1) определя равнина в пространството. Доказателството на теореми 7.1 и 7.2 може да се извърши подобно на доказателството на теореми 2.1, 2.2. От теореми 7.1 и 7.2 следва, че равнината и само тя е повърхност от първи ред. Уравнение (7.1) се нарича общо уравнение на равнината. Неговите коефициенти A, B, C се интерпретират геометрично като координатите на вектора n, перпендикулярна на равнината , определени от това уравнение. Този вектор n(A, B, C) се нарича нормален вектор към дадената равнина. Уравнение (7.2) A(x x0) B(y y0) C (z z0) 0 за всички възможни стойности на коефициентите A, B, C определя всички равнини, минаващи през точката M 0 ( x0, y0, z0). Нарича се уравнение на равнинния сноп. Изборът на конкретни стойности на A, B, C в (7.2) означава изборът на равнината P от връзката, минаваща през точката M 0, перпендикулярна на дадения вектор n (A, B, C) (фиг. 7.1 ). Пример 7.1. Напишете уравнението на равнината P, минаваща през точката A(1, 2, 0) успоредна на векторите a (1, 2,–1), b (2, 0, 1) . Нормалният вектор n към P е ортогонален на дадените вектори a и b (фиг. 7.2), следователно за n можем да вземем тяхното векторно произведение n: A P i j k 2 1 1 1 2 n a b 1 2 1 i j 2 1 k 12 0 0 1 2 0 1 n a b 2i 3 j 4k . Нека заместим координатите на фиг. 7.2. Например, 7.1 P M0 точка M 0 и вектор n в уравнение (7.2), получаваме Фиг. 7.1. Към уравнението на равнината на пакет от равнини P: 2(x 1) 3(y 2) 4z 0 или P: 2x 3y 4z 4 0 .◄ 1 Ако два от коефициентите A, B, C на уравнението (7.1) са равни на нула, то определя равнина, успоредна на една от координатните равнини. Например, когато A B 0, C 0 – равнина P1: Cz D 0 или P1: z D / C (фиг. 7.3). Тя е успоредна на равнината Oxy, тъй като нейният нормален вектор n1(0, 0, C) е перпендикулярен на тази равнина. За A C 0, B 0 или B C 0, A 0, уравнение (7.1) определя равнините P2: Чрез D 0 и P3: Ax D 0, успоредни на координатните равнини Oxz и Oyz, така че като техните нормални вектори n2(0, B, 0) и n3(A, 0, 0) са перпендикулярни на тях (фиг. 7.3). Ако само един от коефициентите A, B, C на уравнение (7.1) е равен на нула, тогава той определя равнина, успоредна на една от координатните оси (или съдържаща я, ако D 0). Така равнината P: Ax By D 0 е успоредна на оста Oz, z z n1 n n2 P1 L P O n3 x y O P2 y P3 x Фиг. 7.4. Равнина P: Ax B y D 0, успоредна на оста Oz Фиг. 7.3. Равнините са успоредни на координатните равнини , тъй като неговият нормален вектор n(A, B, 0) е перпендикулярен на оста Oz. Обърнете внимание, че тя минава през правата L: Ax By D 0, лежаща в равнината Oxy (фиг. 7.4). За D 0, уравнение (7.1) определя равнина, минаваща през началото на координатите. Пример 7.2. Намерете стойностите на параметъра , за които уравнението x (2 2) y (2 2)z 3 0 определя равнината P: а) успоредна на една на координатните равнини; б) успоредна на една от координатните оси; в) преминаване през началото на координатите. Нека запишем това уравнение във формата x ( 2) y ( 2)( 1) z 3 0 . (7.3) За всяка стойност на уравнение (7.3) определя определена равнина, тъй като коефициентите на x, y, z в (7.3) не се равняват едновременно на нула. а) За 0, уравнение (7.3) дефинира равнина P, успоредна на равнината Oxy, P: z 3 / 2, а за 2 то дефинира равнина P 2, успоредна на равнината Oyz, P: x 5/ 2. За никакви стойности на равнината P, определена от уравнение (7.3), не е успоредна на равнината Oxz, тъй като коефициентите на x, z в (7.3) не се равняват едновременно на нула. b) За 1, уравнение (7.3) определя равнина P, успоредна на оста Oz, P: x 3y 2 0. За други стойности на параметъра той не определя равнина, успоредна само на една от координатните оси. c) За 3, уравнение (7.3) определя равнината P, минаваща през началото, P: 3x 15 y 10 z 0 . ◄ Пример 7.3. Напишете уравнението на равнината P, минаваща през: а) точка M (1, 3, 2) успоредна на равнинната ос Oxy; б) оста Ox и точка M (2, – 1, 3). а) За нормален вектор n към P тук можем да вземем вектора k (0, 0,1) – единичният вектор на оста Oz, тъй като е перпендикулярен на равнината Oxy. Замествайки координатите на точката M (1, 3, 2) и вектора n в уравнение (7.2), получаваме уравнението на равнината P: z 3 0. b) Нормалният вектор n към P е ортогонален на векторите i (1, 0, 0) и OM (2, 1, 3) , следователно можем да приемем тяхното векторно произведение като n: i j k n i OM 1 0 0 j 12 03 k 12 01 3 j k . 2 1 3 Замествайки координатите на точката O и вектора n в уравнение (7.2), получаваме уравнението на равнината P: 3(y 0) (z 0) 0 или P: 3 y z 0 .◄ 3
С тази разлика, че вместо „плоски“ графики, ще разгледаме най-често срещаните пространствени повърхности и ще се научим как компетентно да ги изграждаме на ръка. Търся доста време софтуерза конструиране на триизмерни чертежи и намери няколко добри приложения, но въпреки цялата лекота на използване, тези програми не решават добре важен практически проблем. Факт е, че в обозримо историческо бъдеще учениците все още ще бъдат въоръжени с линийка и молив и дори да имат висококачествена „машинна“ рисунка, мнозина няма да могат да я прехвърлят правилно върху карирана хартия. Ето защо в ръководството е обърнато специално внимание на техниката на ръчно конструиране, а значителна част от илюстрациите на страницата са ръчно изработен продукт.
Какво е различното в това референтен материалот аналози?
Като приличен практически опит, знам много добре с кои повърхности най-често трябва да се справяте в реални проблеми на висшата математика и се надявам, че тази статия ще ви помогне бързо да попълните багажа си със съответните знания и приложни умения, които трябва да са достатъчни в 90-95 % от случаите.
Какво трябва да знаете в момента?
Най-основното:
Първо, трябва да можете изграждайте правилнопространствена декартова координатна система (вижте началото на статията Графики и свойства на функциите) .
Какво ще спечелите след като прочетете тази статия?
Бутилка След като усвоите материалите на урока, ще се научите бързо да определяте вида на повърхността по нейната функция и/или уравнение, да си представяте как е разположена в пространството и, разбира се, да правите чертежи. Добре е, ако не получите всичко в главата си след първото четене - винаги можете да се върнете към всеки абзац по-късно, ако е необходимо.
Информацията е по силите на всеки - за да я овладеете не са необходими никакви супер знания, специален артистичен талант или пространствено зрение.
Да започваме!
На практика обикновено се дава пространствената повърхност функция на две променливиили уравнение от формата (константата от дясната страна най-често е равна на нула или единица). Първото обозначение е по-типично за математически анализ, вторият – за аналитична геометрия. Уравнението е по същество имплицитно даденофункция на 2 променливи, която в типичните случаи може лесно да се сведе до формата . напомням ти най-прост примерв:
–уравнение на равнинатавид
– равнинна функция в изрично .
Да започнем с него:
Общи уравнения на равнини
Типични опцииместоположението на равнините в правоъгълна координатна система са разгледани подробно в самото начало на статията Уравнение на равнината. Нека обаче отново се спрем на уравненията, които са от голямо значение за практиката.
На първо място, трябва напълно автоматично да разпознаете уравненията на равнините, които са успоредни на координатните равнини. Фрагменти от равнини стандартно се изобразяват като правоъгълници, които в последните два случая приличат на успоредници. По подразбиране можете да изберете всякакви размери (разбира се, в разумни граници), но е желателно точката, в която координатната ос „пробива“ равнината, да е центърът на симетрия: 
Строго погледнато, координатните оси трябва да бъдат изобразени с пунктирани линии на някои места, но за да избегнем объркване, ще пренебрегнем този нюанс.
– (лява рисунка)неравенството определя най-отдалеченото от нас полупространство, като изключим самата равнина;
– (среден чертеж)неравенството определя дясното полупространство, включително равнината;
– (десен чертеж)двойното неравенство дефинира „слой“, разположен между равнините, включително и двете равнини.
За самозагряване:
Пример 1
Начертайте тяло, ограничено от равнини
Създайте система от неравенства, които определят дадено тяло.
Стар познат трябва да изплува изпод повода на молива ви. кубоид . Не забравяйте, че невидимите ръбове и лица трябва да бъдат начертани с пунктирана линия. Завърши рисуването в края на урока.
моля, НЕ ПРЕНЕБРЕБВАЙТЕучебни задачи, дори ако изглеждат твърде прости. В противен случай може да се случи, че сте пропуснали веднъж, пропуснали сте го два пъти и след това сте прекарали цял час, опитвайки се да разберете триизмерна рисунка в някакъв реален пример. Освен това механичната работа ще ви помогне да научите материала много по-ефективно и да развиете интелигентността си! Не е случайно, че детска градинаИ основно училищеДецата се зареждат с рисуване, моделиране, конструктори и други задачи за фината моторика на пръстите. Съжалявам за отклонението, но не позволявайте двата ми тетрадки да изчезнат психология на развитието =)
Условно ще наречем следващата група равнини „пряка пропорционалност“ - това са равнини, преминаващи през координатните оси:
2) уравнение от формата задава равнина, минаваща през оста ;
3) уравнение от формата задава равнина, минаваща през оста.
Въпреки че формалният знак е очевиден (коя променлива липсва в уравнението – равнината минава през тази ос), винаги е полезно да разберете същността на случващите се събития:
Пример 2
Конструирайте равнина
Кой е най-добрият начин за изграждане? Предлагам следния алгоритъм:
Първо, нека пренапишем уравнението във формата, от което ясно се вижда, че "y" може да вземе всякаквизначения. Нека фиксираме стойността, тоест ще разгледаме координатната равнина. Набор от уравнения пространствена линия, лежаща в дадена координатна равнина. Нека изобразим тази линия на чертежа. Правата минава през началото на координатите, така че за да се построи е достатъчно да се намери една точка. Нека . Отделете точка и начертайте права линия.
Сега се връщаме към уравнението на равнината. Тъй като "Y" приема всякаквистойности, тогава правата линия, построена в равнината, непрекъснато се „възпроизвежда“ наляво и надясно. Точно така се образува нашата равнина, минаваща през оста. За да завършим чертежа, поставяме две успоредни линии отляво и отдясно на правата линия и „затваряме“ символичния паралелограм с напречни хоризонтални сегменти: 
Тъй като условието не налага допълнителни ограничения, фрагмент от самолета може да бъде изобразен в малко по-малки или малко по-големи размери.
Нека повторим още веднъж значението на пространството линейно неравенствочрез пример. Как да определим полупространството, което дефинира? Нека вземем малко точка не принадлежащи къмравнина, например, точка от най-близкото до нас полупространство и заместваме нейните координати в неравенството:
получено истинско неравенство , което означава, че неравенството определя долното (спрямо равнината) полупространство, докато самата равнина не е включена в решението.
Пример 3
Конструирайте самолети
А) ;
б) .
Това са задачи за самостоятелна конструкция, в случай на затруднения използвайте подобни разсъждения. Кратки инструкции и рисунки в края на урока.
На практика особено често се срещат равнини, успоредни на оста. Специалният случай, когато равнината преминава през оста, току-що беше обсъден в параграф „be“, а сега ще анализираме по-общ проблем:
Пример 4
Конструирайте равнина
Решение: променливата „z“ не е изрично включена в уравнението, което означава, че равнината е успоредна на приложената ос. Нека използваме същата техника като в предишните примери.
Нека пренапишем уравнението на равнината във формата 
от което става ясно, че “зет” може да вземе всякаквизначения. Нека го поправим и начертаем правилна „плоска“ права линия в „родната“ равнина. За да го конструирате, е удобно да вземете референтни точки.
Тъй като "Z" приема Всичкистойности, тогава построената права линия непрекъснато се „умножава“ нагоре и надолу, като по този начин образува желаната равнина 
. Ние внимателно съставяме успоредник с разумен размер: 
Готови.
Уравнение на равнина в отсечки
Най-важният приложен сорт. Ако Всичкикоефициенти общо уравнение на равнината ненулев, то може да бъде представено във формата 
което се нарича уравнение на равнината в сегменти. Очевидно е, че равнината пресича координатните оси в точки , а голямото предимство на такова уравнение е лекотата на конструиране на чертеж:
Пример 5
Конструирайте равнина
Решение: Първо, нека създадем уравнение на равнината в сегменти. Нека хвърлим свободния член надясно и разделим двете страни на 12: 
Не, тук няма правописна грешка и всички неща се случват в космоса! Ние изследваме предложената повърхност, използвайки същия метод, който наскоро беше използван за самолети. Нека пренапишем уравнението във формата 
, от което следва, че “зет” взема всякаквизначения. Нека фиксираме и построим елипса в равнината. Тъй като "zet" приема Всичкистойности, тогава конструираната елипса непрекъснато се „възпроизвежда“ нагоре и надолу. Лесно е да се разбере, че повърхността безкраен:
Тази повърхност се нарича елиптичен цилиндър. Извиква се елипса (на произволна височина). ръководствоцилиндър, а успоредните прави, минаващи през всяка точка на елипсата, се наричат формиранецилиндър (които буквално го образуват). Оста е ос на симетрияповърхност (но не част от нея!).
Координатите на всяка точка, принадлежаща на дадена повърхност, задължително удовлетворяват уравнението 
.
Пространственинеравенството определя „вътрешността“ на безкрайната „тръба“, включително самата цилиндрична повърхност, и съответно обратното неравенство определя множеството от точки извън цилиндъра.
В практическите задачи най-популярният частен случай е когато ръководствоцилиндърът е кръг:
Пример 8
Построете повърхността, дадена от уравнението
Невъзможно е да се изобрази безкрайна „тръба“, така че изкуството обикновено се ограничава до „подрязване“.
Първо е удобно да се изгради кръг с радиус в равнината, а след това още няколко кръга отгоре и отдолу. Получените кръгове ( водачицилиндър) внимателно свържете с четири успоредни прави линии ( формиранецилиндър): 
Не забравяйте да използвате пунктирани линии за линии, които са невидими за нас.
Координатите на всяка точка, принадлежаща на даден цилиндър, удовлетворяват уравнението 
. Координатите на всяка точка, разположена строго вътре в „тръбата“, удовлетворяват неравенството 
, и неравенството 
определя набор от точки на външната част. За по-добро разбиране препоръчвам да разгледате няколко конкретни точки в пространството и да видите сами.
Пример 9
Построете повърхнина и намерете нейната проекция върху равнината
Нека пренапишем уравнението във формата 
от което следва, че "х" взема всякаквизначения. Нека фиксираме и изобразим в равнината кръг– с център в началото, единичен радиус. Тъй като "x" непрекъснато приема Всичкистойности, тогава конструираният кръг генерира кръгъл цилиндър с ос на симетрия. Начертайте друг кръг ( ръководствоцилиндър) и внимателно ги свържете с прави линии ( формиранецилиндър). На някои места имаше припокривания, но какво да се прави, такъв наклон: 
Този път се ограничих до парче от цилиндър в пролуката и това не е случайно. На практика често е необходимо да се изобрази само малък фрагмент от повърхността.
Тук, между другото, има 6 генератора - две допълнителни прави линии "покриват" повърхността от горния ляв и долния десен ъгъл.
Сега нека да разгледаме проекцията на цилиндър върху равнина. Много читатели разбират какво е проекция, но въпреки това нека проведем още едно петминутно физическо упражнение. Моля, застанете и наведете глава над рисунката, така че точката на оста да сочи перпендикулярно на челото ви. Това, което изглежда един цилиндър от този ъгъл, е неговата проекция върху равнина. Но изглежда като безкрайна ивица, затворена между прави линии, включително самите прави линии. Тази проекция е точно така област на дефиницияфункции (горен “улей” на цилиндъра), (долен “улей”).
Между другото, нека изясним ситуацията с проекциите върху други координатни равнини. Нека слънчевите лъчи огряват цилиндъра от върха и по оста. Сянката (проекцията) на цилиндър върху равнина е подобна безкрайна ивица - част от равнината, ограничена от прави линии (- всякакви), включително самите прави линии.
Но проекцията върху равнината е малко по-различна. Ако погледнете цилиндъра от върха на оста, тогава той ще бъде проектиран в кръг с единичен радиус 
, с което започнахме строителството.
Пример 10
Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини
Това е задача за независимо решение. Ако условието не е много ясно, повдигнете двете страни на квадрат и анализирайте резултата; разберете коя част от цилиндъра е определена от функцията. Използвайте многократно използваната по-горе строителна техника. Бързо решение, рисунка и коментари в края на урока.
Елиптични и други цилиндрични повърхности могат да бъдат изместени спрямо координатните оси, например:
(по познати мотиви на статията за Редове от 2-ри ред)
– цилиндър с единичен радиус с линия на симетрия, минаваща през точка, успоредна на оста. На практика обаче такива цилиндри се срещат доста рядко и е абсолютно невероятно да срещнете цилиндрична повърхност, която е „наклонена“ спрямо координатните оси.
Параболични цилиндри
Както подсказва името, ръководствотакъв цилиндър е парабола.
Пример 11
Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини.
Не можах да устоя на този пример =)
Решение: Да вървим по утъпкания път. Нека пренапишем уравнението във формата, от която следва, че "zet" може да приеме всякаква стойност. Нека фиксираме и построим обикновена парабола на равнината, като предварително маркираме тривиалните референтни точки. Тъй като "Z" приема Всичкистойности, тогава конструираната парабола непрекъснато се „възпроизвежда“ нагоре и надолу до безкрайност. Полагаме същата парабола, да речем, на височина (в равнината) и внимателно ги свързваме с успоредни прави линии ( оформяне на цилиндъра): 
напомням ти полезна техника: ако първоначално не сте сигурни в качеството на рисунката, тогава е по-добре първо да нарисувате линиите много тънко с молив. След това оценяваме качеството на скицата, откриваме областите, където повърхността е скрита от очите ни, и едва след това прилагаме натиск върху стилуса.
Проекции.
1) Проекцията на цилиндър върху равнина е парабола. Трябва да се отбележи, че в в този случайне можете да говорите за област на дефиниране на функция на две променливи– поради причината, че уравнението на цилиндъра не се свежда до функционална форма.
2) Проекцията на цилиндър върху равнина е полуравнина, включително оста
3) И накрая, проекцията на цилиндъра върху равнината е цялата равнина.
Пример 12
Конструирайте параболични цилиндри:
а) ограничете се до фрагмент от повърхността в близкото полупространство;
б) в интервала
В случай на затруднения не бързаме и разсъждаваме по аналогия с предишните примери; за щастие технологията е старателно разработена. Не е критично, ако повърхностите се окажат малко тромави - важно е правилно да се покаже основната картина. Аз самият не се занимавам особено с красотата на линиите; ако получа сносна рисунка с оценка C, обикновено не я преработвам. Между другото, примерният разтвор използва друга техника за подобряване на качеството на чертежа ;-)
Хиперболични цилиндри
Ръководстватакива цилиндри са хиперболи. Този тип повърхност, според моите наблюдения, е много по-рядко срещан от предишните типове, така че ще се огранича до един схематичен чертеж на хиперболичен цилиндър: 
Принципът на разсъждение тук е абсолютно същият - обичайният училищна хиперболаот равнината непрекъснато се „умножава“ нагоре и надолу до безкрайност.
Разглежданите цилиндри спадат към т.нар Повърхности от 2-ри ред, а сега ще продължим да се запознаваме с други представители на тази група:
Елипсоид. Сфера и топка
Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна координатна система има формата 
, къде - положителни числа (полуоскиелипсоид), което в общия случай различни. Елипсоидът се нарича повърхност, така че тяло, ограничена от дадена повърхност. Тялото, както мнозина предполагат, се определя от неравенството 
и координатите на всяка вътрешна точка (както и всяка повърхностна точка) задължително удовлетворяват това неравенство. Дизайнът е симетричен по отношение на координатните оси и координатните равнини: 
Произходът на термина „елипсоид“ също е очевиден: ако повърхността е „разрязана“ от координатни равнини, тогава сеченията ще доведат до три различни (в общия случай)
В пространството аналитичната геометрия изучава повърхности, които се определят в правоъгълни декартови координати чрез алгебрични уравнения първо, второ и т.н. градуси спрямо X,Y,Z:
Ax+By+Cz+D=0 (1)
Аx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)
и т.н. Редът на едно уравнение се нарича ред на повърхността, която то определя. Вече видяхме, че уравнението първа поръчка(линеен) (1) винаги уточнява самолете единствената повърхност от първи ред. Вече има много повърхности от втори ред. Нека да разгледаме най-важните от тях.
§2. Цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на една от координатните оси.
Нека, например, дадена права L е дадена в равнината XОY, нейното уравнение е F(x,y)=0 (1) . Тогава наборът от прави линии, успоредни на оста oz (генериращи) и минаващи през точки на L, образуват повърхност S, наречена цилиндрична повърхност.
Нека покажем, че уравнение (1), което не съдържа променливата z, е уравнението на тази цилиндрична повърхност S. Вземете произволна точка M(x,y,z), принадлежаща на S. Нека образуващата, минаваща през M, пресичат L в точка N. Точка N има координати N(x,y,0), те отговарят на уравнение (1), тъй като (·)N принадлежи на L. Но тогава координатите (x,y,z,) също удовлетворяват (1), защото не съдържа z. Това означава, че координатите на всяка точка от цилиндричната повърхност S удовлетворяват уравнение (1). Това означава, че F(x,y)=0 е уравнението на тази цилиндрична повърхност. Крива L се нарича водач (крива)цилиндрична повърхност. Обърнете внимание, че в пространствената система L трябва да бъде дадено, като цяло, от две уравнения F(x,y)=0, z=0, като пресечна линия.
Примери:
Водачите в равнината на хау са елипса, парабола, хипербола. Очевидно уравненията F=(y,z)=0 и F(x,z)=0 определят, съответно, цилиндрични повърхности с образуващи, успоредни на осите OX и OY. Техните водачи лежат съответно в равнините YOZ и XOZ.
Коментирайте.Цилиндричната повърхност не е непременно повърхност от втори ред. Например, има цилиндрична повърхност от 3-ти ред, а уравнението y=sin(x) определя синусоидален цилиндър, на който не е приписан ред; това изобщо не е алгебрична повърхност.
§3. Уравнение на повърхността на въртене.
Някои повърхности от 2-ри ред са повърхности на въртене. Нека някаква крива L F(y,z)=0(1) лежи в равнината YOZ. Нека разберем какво ще бъде уравнението на повърхността S, образувана от въртене на крива (1) около оста oz.
Нека вземем произволна точка M(x,y,z) на повърхността S. Може да се счита за получено от (.) N, принадлежащо на L, тогава приложенията на точките M и N са равни (=z). Ординатата на точка N тук е радиусът на въртене, защото .Но C(0,0,z) и защото 
. Но точка N лежи върху кривата и следователно нейните координати я удовлетворяват. Средства 
(2)
. Уравнение (2) е изпълнено от координатите на повърхността на въртене S. Това означава, че (2) е уравнението на повърхността на въртене. Знаците “+” или “-” се приемат в зависимост от това в коя част на равнинната крива YOZ (1) се намира, където y>0 или .
И така, правилото: За да намерите уравнението на повърхността, образувана чрез завъртане на кривата L около оста OZ, трябва да замените променливата y в уравнението на кривата
Уравненията за повърхности на въртене около осите OX и OY се конструират по подобен начин.
