Най-общата формулировка на закона за движение на механичните системи се дава от така наречения принцип на най-малкото действие (или принцип на Хамилтън). Съгласно този принцип всяка механична система се характеризира със специфична функция.
или в кратка бележка, а движението на системата удовлетворява следното условие.
Нека системата заема определени позиции в моменти от време, характеризиращи се с два набора от координатни стойности (1) и След това между тези позиции системата се движи по такъв начин, че интегралът
имаше възможно най-малката стойност. Функцията L се нарича функция на Лагранж на тази система, а интегралът (2.1) се нарича действие.
Фактът, че функцията на Лагранж съдържа само q и q, но не и по-високи производни, е израз на горното твърдение, че механичното състояние е напълно определено от спецификацията на координатите и скоростите.
Нека преминем към извеждането на диференциални уравнения, които решават задачата за определяне на минимума на интеграла (2.1). За да опростим писането на формули, нека първо приемем, че системата има само една степен на свобода, така че трябва да се дефинира само една функция
Нека има точно тази функция, за която S има минимум. Това означава, че S се увеличава, когато се замени с която и да е функция на формата
където е функция, която е малка за целия интервал от време от до (тя се нарича вариант на функцията, тъй като всички сравнени функции (2.2) трябва да приемат еднакви стойности, тогава трябва да бъде:
Промяната в 5, когато q се замени с, се дава от разликата
Развиването на тази разлика в степени (в интегранта) започва с членове от първи ред. Необходимо условие за минималността на S) е множеството от тези членове да се нулира; нарича се първа вариация (или обикновено просто вариация) на интеграла. По този начин принципът на най-малкото действие може да бъде написан като
или чрез промяна:
Отбелязвайки, че интегрираме втория член по части и получаваме:
Но поради условия (2.3), първият член в този израз изчезва. Това, което остава, е интегралът, който трябва да бъде равен на нула за произволни стойности на . Това е възможно само ако интеграндът идентично изчезва. Така получаваме уравнението
При наличието на няколко степени на свобода, в принципа на най-малкото действие, s различни функции трябва да варират независимо. Очевидно тогава ще получим s уравнения от вида
Това са необходимите диференциални уравнения; в механиката се наричат уравнения на Лагранж. Ако функцията на Лагранж на дадена механична система е известна, тогава уравненията (2.6) установяват връзката между ускоренията, скоростите и координатите, т.е. те представляват уравненията на движение на системата.
От математическа гледна точка уравненията (2.6) представляват система от s уравнения от втори ред за s неизвестни функции. Общо решениетакава система съдържа произволни константи. За да ги определите и по този начин напълно да определите движението на механична система, е необходимо да знаете началните условия, които характеризират състоянието на системата в даден момент. този моментвреме, например познаване на началните стойности на всички координати и скорости.
Нека механичната система се състои от две части A и B, всяка от които, затворена, би имала като функция на Лагранж, съответно, функциите ? Тогава, в границата, когато частите са разделени толкова далеч, че взаимодействието между тях може да бъде пренебрегнато, Лагранжевата функция на цялата система клони към границата
Това свойство на адитивност на функцията на Лагранж изразява факта, че уравненията на движение на всяка от невзаимодействащите си части не могат да съдържат величини, свързани с други части на системата.
Очевидно е, че умножаването на функцията на Лагранж на механична система по произволна константа само по себе си не влияе на уравненията на движението.
От тук, изглежда, може да последва значителна несигурност: функциите на Лагранж на различни изолирани механични системи могат да бъдат умножени по различни константи. Свойството на адитивност елиминира тази несигурност - то позволява само едновременното умножение на лагранжевите функции на всички системи по една и съща константа, което просто се свежда до естествения произвол при избора на мерни единици на тази физическа величина; Ще се върнем към този въпрос в §4.
Необходимо е да се направи следната обща забележка. Нека разгледаме две функции, които се различават една от друга по производната на общото време на всяка функция от координати и време
Интегралите (2.1), изчислени с помощта на тези две функции, са свързани с релацията
т.е. се различават един от друг с допълнителен член, който изчезва, когато действието се променя, така че условието съвпада с условието и формата на уравненията на движение остава непроменена.
По този начин функцията на Лагранж е дефинирана само до добавянето на общата производна на всяка функция от координати и време.
Принципът на най-малкото действие, формулиран за първи път точно от Якоби, е подобен на принципа на Хамилтън, но по-малко общ и по-труден за доказване. Този принцип е приложим само в случаите, когато връзките и силовата функция не зависят от времето и когато следователно има интеграл на живата сила.
Този интеграл има формата:
Посоченият по-горе принцип на Хамилтън гласи, че изменението на интеграла
е равно на нула при прехода на действителното движение към всяко друго безкрайно близко движение, което премества системата от същата начална позиция в същата крайна позиция за същия период от време.
Принципът на Якоби, напротив, изразява свойство на движението, което не зависи от времето. Якоби разглежда интеграла
определящо действие. Принципът, който той установи, гласи, че вариацията на този интеграл е нула, когато сравняваме действителното движение на системата с всяко друго безкрайно близко движение, което отвежда системата от същата начална позиция до същата крайна позиция. В този случай не обръщаме внимание на изразходвания период от време, а наблюдаваме уравнение (1), т.е. уравнението на работната сила със същата стойност на константата h, както при реалното движение.
Това необходимо условиеекстремумът води, най-общо казано, до минимума на интеграла (2), оттук и името принцип на най-малкото действие. Минималното условие изглежда най-естествено, тъй като стойността на T е по същество положителна и следователно интеграл (2) трябва задължително да има минимум. Съществуването на минимум може да бъде строго доказано, ако само периодът от време е достатъчно малък. Доказателството за тази позиция може да се намери в известния курс на Darboux по теория на повърхността. Ние обаче няма да го представяме тук и ще се ограничим до извеждане на условието
432. Доказателство на принципа на най-малкото действие.
При действителното изчисление срещаме една трудност, която не присъства в доказателството на теоремата на Хамилтън. Променливата t вече не остава независима от вариацията; следователно вариации на q i и q. са свързани с изменението на t чрез сложна връзка, която следва от уравнение (1). Най-лесният начин да се преодолее тази трудност е да се промени независимата променлива, като се избере такава, чиито стойности попадат между постоянни граници, които не зависят от времето. Нека k е нова независима променлива, чиито граници се приемат за независими от t. При преместване на системата параметрите и t ще бъдат функции на тази променлива
Нека буквите с прости числа q означават производни на параметрите q по време.
Тъй като се приема, че връзките са независими от времето, тогава Декартови координати x, y, z са функции на q, които не съдържат време. Следователно техните производни ще бъдат линейни хомогенни функции на q и 7 ще бъде хомогенна квадратна форма на q, коефициентите на която са функции на q. Ние имаме
За да разграничим производните на q по отношение на времето, ние означаваме, като използваме скоби, (q), производните на q, взети по отношение на и приведени в съответствие с това
тогава ще имаме
и интеграл (2), изразен чрез новата независима променлива A, ще приеме формата;
Производната може да бъде елиминирана с помощта на теоремата за живата сила. Наистина, интегралът на работната сила ще бъде
Замествайки този израз във формулата за, намаляваме интеграла (2) до формата
По този начин интегралът, определящ действието, придоби окончателната си форма (3). Има функция интегранд Корен квадратенот квадратичната форма на количествата
Нека покажем, че диференциалните уравнения на екстремалите на интеграла (3) са точно уравненията на Лагранж. Уравнения на екстремалите, базирани на общи формуливариационното смятане ще бъде:
Нека умножим уравненията по 2 и извършим частично диференциране, като вземем предвид, че не съдържа, тогава получаваме, ако не напишем индекс,
Това са уравнения на екстремалите, изразени чрез независимата променлива. Задачата сега е да се върнем към независимата променлива
Тъй като Γ е хомогенна функция от втора степен на и е хомогенна функция от първа степен, имаме
От друга страна, теоремата за живата сила може да се приложи към факторите на производните в уравненията на екстремалите, което води, както видяхме по-горе, до заместването
В резултат на всички замествания уравненията на екстремалите се свеждат до формата
Така стигнахме до уравненията на Лагранж.
433. Случаят, когато няма движещи сили.
В случай движещи силине, има уравнение за работната сила и ние имаме
Условието интегралът да е минимум е в такъв случайе, че съответната стойност -10 трябва да бъде най-малката. По този начин, когато няма движещи сили, тогава сред всички движения, при които живата сила поддържа една и съща зададена стойност, действителното движение е това, което премества системата от нейното първоначално положение в нейното крайно положение за най-кратко време.
Ако системата се сведе до една точка, движеща се върху неподвижна повърхност, тогава действителното движение, сред всички движения на повърхността, които се случват с една и съща скорост, е движението, при което точката се движи от първоначалната си позиция до крайната позиция в най-кратък
времеви интервал. С други думи, точката описва на повърхността най-късата линия между нейните две позиции, т.е. геодезическа линия.
434. Забележка.
Принципът на най-малкото действие предполага, че системата има няколко степени на свобода, тъй като ако имаше само една степен на свобода, тогава едно уравнение би било достатъчно, за да се определи движението. Тъй като в този случай движението може да бъде напълно определено от уравнението на живата сила, тогава действителното движение ще бъде единственото, което удовлетворява това уравнение и следователно не може да бъде сравнено с друго движение.
Когато за първи път научих за този принцип, имах чувство за някакъв мистицизъм. Изглежда природата мистериозно преминава през всички възможни пътища на движение на системата и избира най-добрия.
Днес искам да поговоря малко за един от най-забележителните принципи на физиката - принципът на най-малкото действие.
Заден план
Още от времето на Галилей е известно, че телата, върху които не действат никакви сили, се движат праволинейно, тоест по най-краткия път. Светлинните лъчи също се движат по прави линии.Когато се отразява, светлината също се движи по такъв начин, че да стигне от една точка до друга по възможно най-краткия път. На снимката най-краткият път ще бъде зеленият път, при който ъгълът на падане равен на ъгълотражения. Всеки друг път, например червен, ще бъде по-дълъг.
Това е лесно да се докаже чрез просто отразяване на пътищата на лъчите върху противоположната странаот огледалото. Те са показани с пунктирани линии на снимката.
Може да се види, че зелената пътека ACB се превръща в права ACB'. И червената пътека се превръща в прекъсната линия ADB’, която, разбира се, е по-дълга от зелената.
През 1662 г. Пиер Ферма предполага, че скоростта на светлината в плътна материя, като стъкло, е по-малка от тази във въздуха. Преди това беше общоприета версията на Декарт, според която скоростта на светлината в материята трябва да е по-голяма от тази във въздуха, за да се получи правилният закон за пречупване. За Ферма предположението, че светлината може да се движи по-бързо в по-плътна среда, отколкото в разредена, изглеждаше неестествено. Затова той приема, че всичко е точно обратното и доказва удивително нещо – при това предположение светлината се пречупва по такъв начин, че да достигне целта си за минимално време.
Отново зеленият цвят показва пътя, по който всъщност се движи светлинният лъч. Маркираният в червено път е най-краткият, но не и най-бързият, защото светлината има по-дълъг път за преминаване през стъклото и там е по-бавна. Най-бързият път е действителният път на светлинния лъч.
Всички тези факти предполагат, че природата действа по някакъв рационален начин, светлината и телата се движат по най-оптималния начин, изразходвайки възможно най-малко усилия. Но какви са тези усилия и как да ги изчислим, остана загадка.
През 1744 г. Мопертюи въвежда понятието „действие“ и формулира принципа, според който истинската траектория на една частица се различава от всяка друга по това, че действието за нея е минимално. Самият Мопертюи обаче така и не успя да даде ясна дефиниция на какво се свежда това действие. Строга математическа формулировка на принципа на най-малкото действие вече е разработена от други математици - Ойлер, Лагранж и накрая е дадена от Уилям Хамилтън:
На математически език принципът на най-малкото действие е формулиран доста кратко, но не всички читатели може да разберат значението на използваната нотация. Искам да се опитам да обясня този принцип по-ясно и с по-прости думи.
Свободно тяло
И така, представете си, че седите в кола в дадена точка и в момента ви е дадена проста задача: до момента трябва да карате колата до точката.
Горивото за автомобил е скъпо и, разбира се, искате да харчите възможно най-малко от него. Вашият автомобил е направен с помощта на най-новите супер технологии и може да ускорява или спира толкова бързо, колкото искате. Той обаче е проектиран по такъв начин, че колкото по-бързо се движи, толкова повече гориво консумира. Освен това разходът на гориво е пропорционален на квадрата на скоростта. Ако карате два пъти по-бързо, ще изразходвате 4 пъти повече гориво за същия период от време. Освен скоростта, разходът на гориво, разбира се, се влияе и от теглото на автомобила. Колкото по-тежка е колата ни, толкова повече гориво харчи. Разходът на гориво на нашия автомобил във всеки момент е равен, т.е. точно равна на кинетичната енергия на автомобила.
И така, как трябва да шофирате, за да стигнете до вашата дестинация точно в определеното време и да използвате възможно най-малко гориво? Ясно е, че трябва да вървите по права линия. С увеличаване на изминатото разстояние няма да се изразходва по-малко гориво. И тогава можете да изберете различни тактики. Например, можете бързо да стигнете до точката предварително и просто да седнете и да изчакате, докато дойде времето. Скоростта на шофиране и следователно разходът на гориво във всеки момент от време ще бъдат високи, но времето за шофиране също ще бъде намалено. Може би общият разход на гориво няма да е толкова голям. Или можете да карате равномерно, с еднаква скорост, така че, без да бързате, да стигнете точно в момента. Или карайте част от пътя бързо и част по-бавно. Кой е най-добрият път?
Оказва се, че най-оптималния, най-икономичния начин за шофиране е шофирането със постоянна скорост, като например да сте на пункта точно в уречения час. Всяка друга опция ще изразходва повече гориво. Можете да го проверите сами, като използвате няколко примера. Причината е, че разходът на гориво нараства с квадрата на скоростта. Следователно, когато скоростта се увеличава, разходът на гориво се увеличава по-бързо, отколкото времето за шофиране намалява, а общият разход на гориво също се увеличава.
И така, открихме, че ако една кола във всеки един момент от време изразходва гориво пропорционално на кинетичната си енергия, тогава най-икономичният начин да стигнете от точка до точка точно в определеното време е да карате равномерно и по права линия, точно начинът, по който тялото се движи при отсъствие на действащи върху него сили.сила Всеки друг метод на шофиране ще доведе до по-висок общ разход на гориво.
В полето на гравитацията
Сега нека подобрим малко нашата кола. Нека му прикрепим реактивни двигатели, за да може да лети свободно във всяка посока. Като цяло дизайнът остава същият, така че разходът на гориво отново остава строго пропорционален на кинетичната енергия на автомобила. Ако сега се постави задачата да се лети от точка по точка във времето и да се стигне до точка по точка във времето, тогава най-икономичният начин, както и преди, разбира се, ще бъде да се лети равномерно и праволинейно, за да завърши до точка в точно определеното време. Това отново съответства на свободното движение на тялото в триизмерното пространство.
В последния модел автомобил обаче е монтирано необичайно устройство. Това устройство може да произвежда гориво буквално от нищото. Но дизайнът е такъв, че колкото по-висока е колата, толкова повече гориво произвежда устройството във всеки един момент. Производството на гориво е право пропорционално на надморската височина, на която се намира автомобилът в момента. Също така, колкото по-тежка е колата, толкова по-мощно устройство е инсталирано на нея и толкова повече гориво произвежда, а производството е право пропорционално на теглото на колата. Устройството се оказа такова, че производството на гориво е точно равно на (където е ускорението на свободното падане), т.е. потенциална енергиякола.
Консумацията на гориво във всеки момент е равна на кинетичната енергия минус потенциалната енергия на автомобила (минус потенциалната енергия, тъй като инсталираното устройство произвежда гориво, а не го консумира). Сега нашата задача да движим колата между точките възможно най-ефективно става по-трудна. Направо равномерно движениесе оказва не най-ефективният в случая. Оказва се, че е по-оптимално да наберете малко височина, да останете там известно време, изразходвайки повече гориво, и след това да слезете до точка . При правилната траектория на полета, общото производство на гориво, дължащо се на изкачване, ще покрие допълнителните разходи за гориво за увеличаване на дължината на пътя и увеличаване на скоростта. Ако изчислите внимателно, най-икономичният начин за автомобил ще бъде да лети по парабола, по точно същата траектория и с точно същата скорост, с която би летял камък в гравитационното поле на Земята.
Тук си струва да направим едно пояснение. Разбира се, много хора могат да хвърлят камъни от точка различни начинитака че да уцели мястото. Но трябва да го хвърлите по такъв начин, че след като е излетял от точката в момента, той да удари точката точно в момента. Именно това движение ще бъде най-икономично за нашата кола.
Функция на Лагранж и принцип на най-малко действие
Сега можем да прехвърлим тази аналогия към реални физически тела. Аналог на скоростта на разход на гориво за телата се нарича функция на Лагранж или Лагранж (в чест на Лагранж) и се обозначава с буквата . Лагранжианът показва колко „гориво“ изразходва тялото в даден момент. За тяло, движещо се в потенциално поле, лагранжианът е равен на неговата кинетична енергия минус потенциалната енергия.Аналог на общото количество гориво, изразходвано през целия период на движение, т.е. стойността на Лагранж, натрупана през цялото време на движение, се нарича „действие“.
Принципът на най-малкото действие е, че тялото се движи по такъв начин, че действието (което зависи от траекторията на движение) е минимално. В същото време не трябва да забравяме, че са посочени началните и крайните условия, т.е. където се намира тялото в момента на времето и в момента на времето.
В този случай не е задължително тялото да се движи в еднообразно гравитационно поле, което разгледахме за нашата кола. Могат да се разглеждат напълно различни ситуации. Едно тяло може да се люлее на ластик, да се люлее на махало или да лети около Слънцето, във всички тези случаи то се движи по такъв начин, че да минимизира „общия разход на гориво“, т.е. действие.
Ако една система се състои от няколко тела, тогава лагранжианът на такава система ще бъде равен на общата кинетична енергия на всички тела минус общата потенциална енергия на всички тела. И отново, всички тела ще се движат съгласувано, така че ефектът на цялата система по време на такова движение да е минимален.
Не толкова просто
Всъщност изневерих малко, като казах, че телата винаги се движат по начин, който минимизира действието. Въпреки че това е вярно в много случаи, възможно е да се мисли за ситуации, в които действието очевидно не е минимално.Например, нека вземем топка и я поставим на празно място. На известно разстояние от него ще поставим еластична стена. Да кажем, че искаме топката да се озове на същото място след известно време. При тези дадени условия топката може да се движи по два различни начина. Първо, той може просто да остане на място. Второ, можете да го натиснете към стената. Топката ще лети до стената, ще отскочи от нея и ще се върне обратно. Ясно е, че можете да го бутате с такава скорост, че да се върне точно в точното време.
И двата варианта за движение на топката са възможни, но действието във втория случай ще бъде по-голямо, тъй като през цялото това време топката ще се движи с ненулева кинетична енергия.
Как можем да запазим принципа на най-малкото действие, така че да е валиден в такива ситуации? Ще говорим за това в.
P. Maupertuis) през 1744 г., като веднага посочва универсалния му характер и го счита за приложим в оптиката и механиката. От този принцип той извежда законите за отражение и пречупване на светлината.Енциклопедичен YouTube
-
1 / 5
Математическото изследване и развитие на принципа на Ферма е извършено от Кристиан Хюйгенс, след което темата е активно обсъждана от най-големите учени от 17 век. Лайбниц въвежда физиката през 1669 г фундаментална концепциядействия: „Формалните действия на движение са пропорционални на... произведението на количеството материя, разстоянията, на които се движат, и скоростта.“
Успоредно с анализа на основите на механиката бяха разработени методи за решаване на вариационни проблеми. Исак Нютон в своите „Математически принципи на естествената философия“ (1687 г.) поставя и решава първия вариационен проблем: да се намери форма на ротационно тяло, движещо се в съпротивителна среда по своята ос, за която изпитаното съпротивление ще бъде най-малко. Почти едновременно се появяват и други вариационни проблеми: проблемът за брахистохрона (1696), формата на верижната линия и др.
Решаващите събития се случват през 1744 г. Леонхард Ойлер публикува първия обща работавърху вариационното смятане („Метод за намиране на криви, притежаващи свойствата на максимум или минимум“), а Пиер-Луи дьо Мопертюи в своя трактат „Съвместяването на различни закони на природата, които досега изглеждаха несъвместими“ даде първата формулировка на принципа на най-малкото действие: „пътят, следван от светлината, е пътят, за който количеството на действие ще бъде най-малкото.“ Той демонстрира изпълнението на този закон както за отражението, така и за пречупването на светлината. В отговор на статията на Мопертюи, Ойлер публикува (през същата година 1744) работата „За определяне на движението на хвърлени тела в несъпротивителна среда чрез метода на максимумите и минимумите“ и в тази работа той дава на Мопертюи принцип общ механичен характер: „Тъй като всички природни явления следват някои. Ако има някакъв закон за максимум или минимум, тогава няма съмнение, че за кривите линии, които описват хвърлени тела, когато някакви сили действат върху тях, има някакво свойство на максимум или минимум. Ойлер допълнително формулира този закон: траекторията на тялото достига минимум ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). След това го прилага, извеждайки законите на движението в еднородно гравитационно поле и в няколко други случая.
През 1746 г. Мопертюи в нова работа се съгласява с мнението на Ойлер и провъзгласява най-общата версия на неговия принцип: „Когато настъпи някаква промяна в природата, количеството действия, необходимо за тази промяна, е възможно най-малкото. Количеството на действието е произведението на масата на телата от тяхната скорост и разстоянието, което изминават. В последвалата широка дискусия Ойлер подкрепи приоритета на Мопертюи и се застъпи за универсалния характер на новия закон: „цялата динамика и хидродинамика могат да бъдат разкрити с удивителна лекота само чрез метода на максимумите и минимумите“.
Нов етап започва през 1760-1761 г., когато Джоузеф Луи Лагранж въвежда строгата концепция за вариация на функция, дава съвременна форма на вариационното смятане и разширява принципа на най-малкото действие до произволно механична система(тоест не само безплатно материални точки). Това бележи началото на аналитичната механика. По-нататъшно обобщение на принципа е извършено от Карл Густав Якоб Якоби през 1837 г. - той разглежда проблема геометрично, като намиране на екстремалите на вариационен проблем в конфигурационно пространство с неевклидова метрика. По-специално, Якоби посочи, че при липса на външни сили, траекторията на системата представлява геодезична линия в конфигурационното пространство.
Подходът на Хамилтън се оказа универсален и изключително ефективен при математически моделифизика, особено за квантовата механика. Неговата евристична сила беше потвърдена при създаването на Общата теория на относителността, когато Дейвид Хилбърт приложи принципа на Хамилтън, за да изведе окончателните уравнения на гравитационното поле (1915 г.).
В класическата механика
Принципът на най-малкото действие служи като фундаментална и стандартна основа на формулировките на Лагранж и Хамилтон на механиката.
Първо нека разгледаме конструкцията така: Лагранжева механика. Използвайки примера на физическа система с една степен на свобода, нека припомним, че действието е функционално по (обобщени) координати (в случай на една степен на свобода - една координата), т.е. изразява се чрез q (t) (\displaystyle q(t))така че всеки възможен вариант на функцията q (t) (\displaystyle q(t))сравнява се определено число - действие (в този смисъл можем да кажем, че действието като функционал е правило, което позволява всяко дадена функция q (t) (\displaystyle q(t))изчислете много конкретно число - наричано още действие). Действието изглежда така:
S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)
Където L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t))е лагранжианът на системата в зависимост от обобщената координата q (\displaystyle q), неговата първа производна по време q ˙ (\displaystyle (\точка (q))), а също и евентуално изрично от време t (\displaystyle t). Ако системата има повече степени на свобода n (\displaystyle n), тогава лагранжианът зависи от Повече ▼обобщени координати q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n)и техните производни за първи път. По този начин действието е скаларен функционал в зависимост от траекторията на тялото.
Фактът, че действието е скаларно, улеснява записването му във всякакви обобщени координати, основното е позицията (конфигурацията) на системата да се характеризира недвусмислено от тях (например вместо декартови координати те могат да бъдат полярни координати, разстояния между точки на системата, ъгли или техните функции и др. .d.).
Действието може да се изчисли за напълно произволна траектория q (t) (\displaystyle q(t)), колкото и „диво“ и „неестествено“ да е то. В класическата механика обаче сред целия набор от възможни траектории има само една, по която тялото действително ще се движи. Принципът на стационарното действие точно дава отговор на въпроса как всъщност ще се движи тялото:
Това означава, че ако е даден лагранжиан на системата, тогава с помощта на вариационното смятане можем да установим как точно ще се движи тялото, като първо получим уравненията на движението - уравненията на Ойлер-Лагранж и след това ги решим. Това позволява не само сериозно да се обобщи формулировката на механиката, но и да се изберат най-удобните координати за всеки конкретен проблем, не само декартови, което може да бъде много полезно за получаване на най-простите и лесно решени уравнения.
S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ big ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)
Където H (q, p, t) ≡ H (q 1, q 2, …, q N, p 1, p 2, …, p N, t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\точки,q_(N),p_(1),p_(2),\точки,p_(N),t) )- Хамилтонова функция на тази система; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (обобщени) координати, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- свързаните с него (обобщени) импулси, които заедно характеризират във всеки даден момент от времето динамичното състояние на системата и, като всеки е функция на времето, характеризирайки по този начин еволюцията (движението) на системата. В този случай, за да се получат уравненията на движението на системата под формата на каноничните уравнения на Хамилтън, е необходимо да се променя действието, записано по този начин, независимо за всички q i (\displaystyle q_(i))И p i (\displaystyle p_(i)).
Трябва да се отбележи, че ако от условията на проблема по принцип е възможно да се намери законът на движението, тогава това автоматично Неозначава, че е възможно да се конструира функционал, който приема стационарна стойност по време на истинско движение. Пример за това е съвместно движение електрически зарядии монополи - магнитни заряди - в електромагнитно поле. Техните уравнения на движение не могат да бъдат изведени от принципа на стационарното действие. По подобен начин някои хамилтонови системи имат уравнения на движение, които не могат да бъдат извлечени от този принцип.
Примери
Тривиалните примери помагат да се оцени използването на принципа на работа чрез уравненията на Ойлер-Лагранж. Свободна частица (маса ми скорост v) в евклидовото пространство се движи по права линия. Използвайки уравненията на Ойлер-Лагранж, това може да се покаже в полярни координати, както следва. При липса на потенциал функцията на Лагранж е просто равна на кинетичната енергия
1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\точка (x))^(2)+(\точка (y))^(2)\вдясно)) ψ = ∫ [D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)Тук ∫ [ D x ] (\displaystyle \int)е условна нотация за безкрайно множествена функционална интеграция по всички траектории x(t), и ℏ (\displaystyle \hbar )- Константата на Планк. Подчертаваме, че по принцип действието в експонентата се появява (или може да се появи) само по себе си при изучаване на еволюционния оператор в квантовата механика, но за системи, които имат точен класически (неквантов) аналог, то е точно равно на обичайното класическо действие.
Математически анализ на този израз в класическата граница - за достатъчно големи S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), тоест с много бързи колебания на въображаемата експоненциална - показва, че огромното мнозинство от всички възможни траектории в този интеграл се отменят взаимно в границата (формално при S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). За почти всеки път има път, по който фазовото изместване ще бъде точно обратното и те ще дадат нулев принос. Само тези траектории, за които действието е близо до екстремната стойност (за повечето системи - до минимума), не се редуцират. Това е чисто математически факт от
Те му се подчиняват и затова този принцип е една от ключовите разпоредби съвременна физика. Уравненията на движението, получени с негова помощ, се наричат уравнения на Ойлер-Лагранж.
Първата формулировка на принципа е дадена от P. Maupertuis през годината, като веднага изтъква универсалния му характер, считайки го за приложим в оптиката и механиката. От този принцип той извежда законите за отражение и пречупване на светлината.
История
Мопертюи стига до този принцип от чувството, че съвършенството на Вселената изисква известна икономия в природата и противоречи на всеки безполезен разход на енергия. Естественото движение трябва да е такова, че определено количество да бъде минимално. Всичко, което трябваше да направи, беше да намери тази стойност, което той продължи да прави. Това беше продуктът на продължителността (времето) на движение в системата с удвоената стойност, която сега наричаме кинетична енергия на системата.
Ойлер (в „Размисли върху quelques loix générales de la nature“, 1748) приема принципа на най-малкото действие, наричайки действието „усилие“. Неговият израз в статиката съответства на това, което сега бихме нарекли потенциална енергия, така че нейното твърдение за най-малко действие в статиката е еквивалентно на условието за минимална потенциална енергия за равновесна конфигурация.
В класическата механика
Принципът на най-малкото действие служи като фундаментална и стандартна основа на формулировките на Лагранж и Хамилтон на механиката.
Първо нека разгледаме конструкцията така: Лагранжева механика. Използвайки примера на физическа система с една степен на свобода, припомнете си, че действието е функционал по отношение на (обобщени) координати (в случай на една степен на свобода - една координата), тоест то се изразява чрез такова, че всяка възможна версия на функцията е свързана с определено число - действие (в този смисъл можем да кажем, че действието като функционал е правило, което позволява на всяка дадена функция да изчисли добре дефинирано число - наричано още действие). Действието изглежда така:
където е лагранжианът на системата, в зависимост от обобщената координата, нейната първа производна по време, а също, евентуално, изрично по време. Ако системата има по-голям брой степени на свобода, тогава лагранжианът зависи от по-голям брой обобщени координати и техните първи производни по време. По този начин действието е скаларен функционал в зависимост от траекторията на тялото.
Фактът, че действието е скаларно, улеснява записването му във всякакви обобщени координати, основното е позицията (конфигурацията) на системата да се характеризира недвусмислено от тях (например вместо декартови координати те могат да бъдат полярни координати, разстояния между точки на системата, ъгли или техните функции и др. .d.).
Действието може да бъде изчислено за напълно произволна траектория, колкото и „дива“ и „неестествена“ да е тя. В класическата механика обаче сред целия набор от възможни траектории има само една, по която тялото действително ще се движи. Принципът на стационарното действие точно дава отговор на въпроса как всъщност ще се движи тялото:
Това означава, че ако е даден лагранжианът на системата, тогава с помощта на вариационното смятане можем да установим как точно ще се движи тялото, като първо получим уравненията на движението - уравненията на Ойлер-Лагранж и след това ги решим. Това позволява не само сериозно да се обобщи формулировката на механиката, но и да се изберат най-удобните координати за всеки конкретен проблем, не само декартови, което може да бъде много полезно за получаване на най-простите и лесно решени уравнения.
където е функцията на Хамилтън на тази система; - (обобщени) координати, - спрегнати (обобщени) импулси, които заедно характеризират във всеки даден момент от времето динамичното състояние на системата и, като всеки е функция на времето, като по този начин характеризира еволюцията (движението) на системата. В този случай, за да се получат уравненията на движението на системата под формата на каноничните уравнения на Хамилтън, е необходимо да се променя действието, записано по този начин, независимо за всички и .
Трябва да се отбележи, че ако от условията на проблема по принцип е възможно да се намери законът на движението, тогава това автоматично Неозначава, че е възможно да се конструира функционал, който приема стационарна стойност по време на истинско движение. Пример е съвместното движение на електрически заряди и монополи - магнитни заряди - в електромагнитно поле. Техните уравнения на движение не могат да бъдат изведени от принципа на стационарното действие. По същия начин някои хамилтонови системи имат уравнения на движение, които не могат да бъдат извлечени от този принцип.
Примери
Тривиалните примери помагат да се оцени използването на принципа на работа чрез уравненията на Ойлер-Лагранж. Свободна частица (маса ми скорост v) в евклидовото пространство се движи по права линия. Използвайки уравненията на Ойлер-Лагранж, това може да се покаже в полярни координати, както следва. При липса на потенциал функцията на Лагранж е просто равна на кинетичната енергия
в ортогонална координатна система.
В полярни координати кинетичната енергия, а оттам и функцията на Лагранж, става
Радиалните и ъгловите компоненти на уравненията стават съответно:
Решаване на тези две уравнения
Ето условна нотация за безкрайно множествена функционална интеграция по всички траектории x(t) и е константата на Планк. Подчертаваме, че по принцип действието в експонентата се появява (или може да се появи) само по себе си при изучаване на еволюционния оператор в квантовата механика, но за системи, които имат точен класически (неквантов) аналог, то е точно равно на обичайното класическо действие.
Математическият анализ на този израз в класическата граница - за достатъчно големи , т.е. за много бързи колебания на въображаемата експоненциална - показва, че огромното мнозинство от всички възможни траектории в този интеграл се компенсират взаимно в границата (формално за ). За почти всеки път има път, по който фазовото изместване ще бъде точно обратното и те ще дадат нулев принос. Само тези траектории, за които действието е близо до екстремната стойност (за повечето системи - до минимума), не се редуцират. Това е чисто математически факт от теорията на функциите на комплексна променлива; Например методът на стационарната фаза се основава на него.
В резултат на това частицата, в пълно съответствие със законите на квантовата механика, се движи едновременно по всички траектории, но при нормални условия само траектории, близки до стационарни (т.е. класически), допринасят за наблюдаваните стойности. Тъй като квантова механикасе трансформира в класически в границата на високите енергии, тогава можем да приемем, че това е квантово-механично извеждане на класическия принцип на стационарност на действието.
В квантовата теория на полето
В квантовата теория на полето принципът на стационарното действие също се прилага успешно. Лагранжианската плътност тук включва операторите на съответните квантови полета. Въпреки че тук е по-правилно по същество (с изключение на класическия предел и отчасти квазикласиката) да се говори не за принципа на стационарност на действието, а за интегрирането на Файнман по траектории в конфигурацията или фазовото пространство на тези полета - използвайки току-що споменатата лагранжева плътност.
Допълнителни обобщения
В по-широк смисъл едно действие се разбира като функционал, който дефинира преобразуване от конфигурационно пространство към набор от реални числа и като цяло не е необходимо да бъде интеграл, тъй като нелокалните действия са възможни по принцип, поне теоретично. Освен това конфигурационното пространство не е непременно функционално пространство, защото може да има некомутативна геометрия.
