Някои трансформации ни позволяват да преминем от решаваното уравнение към еквивалентни, както и към следствени уравнения, което опростява решението на първоначалното уравнение. В този материал ще ви кажем какви са тези уравнения, ще формулираме основните дефиниции, ще ги илюстрираме с ясни примери и ще обясним как точно се изчисляват корените на първоначалното уравнение от корените на следствието или еквивалентно уравнение.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Концепцията за еквивалентни уравнения
Определение 1Еквивалентентакива уравнения се наричат тези, които имат еднакви корени, или тези, в които няма корени.
Дефиниции от този тип често се срещат в различни учебници. Нека дадем няколко примера.
Определение 2
Уравнението f(x) = g(x) се счита за еквивалентно на уравнението r(x) = s(x), ако имат еднакви корени или и двете нямат корени.
Определение 3
Уравнения с еднакви коренисе считат за еквивалентни. Те също се считат за две уравнения, които еднакво нямат корени.
Определение 4
Ако уравнението f (x) = g (x) има същия набор от корени като уравнението p (x) = h (x), тогава те се считат за еквивалентни един на друг.
Когато говорим за съвпадащ набор от корени, имаме предвид, че ако определено число е корен на едно уравнение, тогава то ще бъде подходящо като решение за друго уравнение. Нито едно от уравненията, които са еквивалентни, не може да има корен, който да не е подходящ за другото.
Нека дадем няколко примера за такива уравнения.
Пример 1
Например 4 x = 8, 2 x = 4 и x = 2 ще бъдат еквивалентни, тъй като всяко от тях има само един корен - два. Също така x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 ще бъдат еквивалентни, тъй като техните корени могат да бъдат произволни числа, тоест техните набори от решения съвпадат. Също така еквивалентни ще бъдат уравненията x = x + 5 и x 4 = − 1, всяко от които няма нито едно решение.
За по-голяма яснота разгледайте няколко примера за нееквивалентни уравнения.
Пример 2
Например, това биха били x = 2 и x 2 = 4, тъй като техните корени са различни. Същото важи и за уравненията x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5, тъй като във второто решението може да бъде произволно число, а във второто коренът не може да бъде 0.
Дефинициите, дадени по-горе, са подходящи и за уравнения с няколко променливи, но в случая, когато говорим за два, три или повече корена, по-подходящ е изразът „решаване на уравнението“. Така, за да обобщим: еквивалентни уравнения са тези уравнения, които имат еднакви решения или изобщо нямат.
Нека вземем примери за уравнения, които съдържат няколко променливи и са еквивалентни едно на друго. По този начин x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включват три променливи и имат само едно решение, равно на 0, и в трите случая. И двойката уравнения x + y = 5 и x · y = 1 няма да бъдат еквивалентни една на друга, тъй като например стойностите 5 и 3 са подходящи за първото, но няма да бъдат решение на второ: когато ги заместваме в първото уравнение, получаваме истинско равенство, а във втория – неправилно.
Концепцията за следствените уравнения
Нека цитираме няколко примера за дефиниции на следствени уравнения, взети от учебниците.
Определение 5
Следствие от уравнението f (x) = g (x) ще бъде уравнението p (x) = h (x), при условие че всеки корен на първото уравнение е същевременно корен на второто.
Определение 6
Ако първото уравнение има същите корени като второто, тогава второто ще бъде следствие от уравнението на първото.
Нека вземем няколко примера за такива уравнения.
Пример 3
И така, x · 2 = 32 ще бъде следствие от x − 3 = 0, тъй като в първото има само един корен, равен на три, и също така ще бъде коренът на второто уравнение, следователно в контекста това определениеедното уравнение ще бъде следствие от другото. Друг пример: уравнението (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 ще бъде следствие от x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4, защото второто уравнение има две корени, равни на 2 и 3, които в същото време ще бъдат корените на първия.
От дефиницията, дадена по-горе, можем да заключим, че следствието от всяко уравнение, което няма корени, също ще бъде всяко уравнение. Ето някои други последствия от всички правила, формулирани в тази статия:
Определение 7
- Ако едно уравнение е еквивалентно на друго, тогава всяко от тях ще бъде следствие от другото.
- Ако всяко от двете уравнения е следствие от другото, тогава тези уравнения ще бъдат еквивалентни едно на друго.
- Уравненията ще бъдат еквивалентни едно спрямо друго само ако всяко от тях е следствие от другото.
Как да намерим корените на уравнение от корените на следствие от уравнение или еквивалентно уравнение
Въз основа на това, което написахме в дефинициите, в случая, когато знаем корените на едно уравнение, тогава знаем и корените на еквивалентните, тъй като те ще съвпадат.
Ако знаем всички корени на следствието от уравнението, тогава можем да определим корените на второто уравнение, от което то е следствие. За да направите това, трябва само да отсеете външните корени. Написахме отделна статия за това как се прави това. Съветваме ви да го прочетете.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Общинско учебно заведение
„Новоуколовска средна общообразователно училище»
Красненски район, Белгородска област
Урок по алгебра в 11 клас
„Прилагане на няколко трансформации, водещи до следствие от уравнение“
Подготвени и проведени
Учител по математика
Харковская Валентина Григориевна
Алгебра 11 клас
Предмет: Приложение на няколко трансформации, водещи до следствието.
Мишена: създават условия за консолидиране на материала по темата: „Прилагане на няколко трансформации, водещи до уравнение-следствие“; Рразвиват независимост, подобряват речевата грамотност; да развият компютърните умения на учениците; изпълнете задачи, съответстващи на нивото на единния държавен изпит.
Оборудване: учебник, компютър, карти
Тип урок: урок по комплексно приложение на ЗУН
По време на часовете
Организационен момент (Слайд 1)
Добър ден момчета! Разгледайте тези снимки и изберете коя ви е харесала най-много. Виждам, че и вие като мен сте дошли в клас с добро настроение, и мисля, че ще остане същото до края на урока. Пожелавам ви ползотворна работа.
Момчета, всеки от вас има листове за оценка на масата си, в които ще оценявате себе си на всеки етап от урока.
Проверка на домашното.(Слайд 2)
Маркирайте решенията на слайда и децата си поставят оценки
лист за самоконтрол. Без грешки - "5", ако 1 грешка - "4", 2
грешки – „3“. Ако имате много деца, които имат 2
грешки, след това решете тази задача на дъската.
Обявяване на темата на урока (Слайд 3). определяне на цели на урока
Можете да видите темата на нашия урок на слайда. Какво мислите, отколкото
Днес ще учим ли с теб в час?
Е, момчета, нека си припомним материала, който разгледахме. .
Да започнем с устна работа :
Устна работа (Слайд 4)
Кои уравнения се наричат следствия? (ако някой корен на първото уравнение е корен на второто, тогава второто уравнение се нарича следствие от първото);
Какво се нарича преход към следствие от уравнение? (замяна на уравнение с друго уравнение, което е негово следствие);
Какви трансформации водят до следствието на уравнението? Дай примери. (повдигане на уравнението до четна степен; потенциране логаритмично уравнение; освобождаване на уравнението от знаменателя; привеждане на подобни членове на уравнението; прилагане на формули).
Решете уравненията (Слайд 5)
(уравненията се показват на екрана):
1) = 6; (отговор: 36)
2) = 3; (отговор: 11)
3) = 4; (отговор: 6)
4) = - 2; (отговор: няма решения, тъй като лявата страна на уравнението приема само неотрицателни стойности)
5) = 9; (отговор: -9 и 9)
6) = -2; (отговор: няма решения, тъй като сборът от две
неотрицателните числа не могат да бъдат отрицателни)
Момчета, мисля, че забелязахте, че при правене на домашни и устни работи се натъкнахме на задачи, които съответстват на демо версията, спецификацията и кодификатора на Единния държавен изпит.
4. Изпълнение на задачи
Момчета, нека поработим в нашите тетрадки:
№8.26 (а) – на дъската
№8.14 (c) – на дъската
Упражнение за очите (музика)
№8.8 (c) - на дъската
№8.9-(e)-на дъската
5. Самостоятелна работа (Слайд 6)
Решение за самостоятелна работа (Слайд 7)
6. Домашна работа: попълнете № 8.14 (d), задача за единен държавен изпит B5 в опции 21,23,25 (Слайд 8)
7. Обобщение на урока (Слайд 9)
8. Отражение (Слайд 10)
Въпросник.
1. Работих по време на урока
2. Чрез работата ми в I клас
3. Урокът ми се стори
4. За урока I
5. Моето настроение
6. Имах материала за урока
7. Смятате ли, че можете да се справите с подобни задачи на изпита?
8. Домашното ми се струва
активен пасивен
доволен/недоволен
къс/дълъг
не уморен / уморен
стана по-добре / стана по-зле
ясно / не е ясно
полезен/безполезен
интересно / скучно
да/не/не знам
лесно / трудно
интересно / безинтересно
Използвани ресурси:
Николски С.М., Потапов К.М., . Алгебра и начала математически анализ, 11 клас М.: Образование, 2010
Сборник от задачи за подготовка за единния държавен изпит по математика
Училищна лекция
„Еквивалентни уравнения. Уравнение на следствие»
Методически коментари. Концепциите за еквивалентни уравнения, следствени уравнения, теореми за еквивалентността на уравнения са важни въпроси, свързани с теорията за решаване на уравнения.
До 10 клас учениците са придобили известен опит в решаването на уравнения. В 7-8 клас се решават линейни и квадратни уравнения, тук няма неравни трансформации. Освен това в 8-ми и 9-ти клас се решават рационални и най-прости ирационални уравнения; оказва се, че във връзка с премахването на знаменателя и повдигането на квадрат на двете страни на уравнението могат да се появят външни корени. Следователно има нужда от въвеждане на нови понятия: еквивалентност на уравнения, еквивалентни и нееквивалентни трансформации на уравнения, външни корени и проверка на корени. Въз основа на опита, натрупан от учениците при решаването на изброените по-горе класове уравнения, е възможно да се определи нова връзка на еквивалентност на уравненията и да се „открият“ теореми за еквивалентността на уравненията заедно с учениците.
Урокът, чието резюме е представено по-долу, предшества разглеждането на теми, свързани с решаването на ирационални, експоненциални, логаритмични и тригонометрични уравнения. Теоретичният материал в този урок служи като основа за решаване на всички класове уравнения. В този урок е необходимо да се дефинира концепцията за еквивалентни уравнения, следствени уравнения и да се разгледат теореми за трансформации, водещи до тези видове уравнения. Разглежданият материал, както беше отбелязано по-горе, е вид систематизиране на знанията на учениците за трансформациите на уравнения, характеризира се с определена сложност, поради което най-приемливият тип урок е училищна лекция. Особеността на този урок е, че поставената в него образователна задача (цели) се решава в много следващи уроци (идентифициране на трансформации над уравнения, водещи до усвояването външни корении загуба на корени).
Всеки етап от урока заема важно място в неговата структура.
На етап на актуализиранеучениците запомнят основните теоретични принципи, свързани с уравнението: какво е уравнение, коренът на уравнението, какво означава да се реши уравнението, обхватът на приемливите стойности (ADV) на уравнението. Намерете ODZ на конкретни уравнения, които ще послужат като основа за „откриването“ на теоремите в урока.
Мишена етап на мотивация– създаване на проблемна ситуация, която се състои в намиране на правилното решение на предложеното уравнение.
Решение учебна задача (оперативно-познавателен етап)в представения урок е „откриване“ на теореми за еквивалентността на уравненията и тяхното доказателство. При представянето на материала основното внимание се обръща на дефиницията на еквивалентни уравнения, следствия и теореми за „намиране“ на еквивалентността на уравненията.
Бележките, които учителят прави по време на урока, са представени директно в бележките. Оформянето на бележките на учениците в тетрадките е дадено в края на бележките към урока.
Обобщение на урока
Предмет. Еквивалентни уравнения. Уравнение-следствие.
(Алгебра и начало на анализа: Учебник за 10-11 клас образователни институции/Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Образование, 2003).
Цели на урока.В съвместни дейности с учениците идентифицирайте връзката на еквивалентност върху набор от уравнения, „открийте“ теореми за еквивалентността на уравненията.
В резултат на това ученикът
знае
Определяне на еквивалентни уравнения,
Дефиниции на уравнението на следствието,
Формулировки на основните теореми;
мога
От предложените уравнения изберете еквивалентни уравнения и следствия,
Прилага дефинициите на еквивалентни уравнения и следствия в стандартни ситуации;
разбира
Какви трансформации водят до еквивалентни уравнения или до следствия?
Че има трансформации, в резултат на които уравнението може да придобие външни корени,
Че в резултат на някои трансформации може да настъпи загуба на корени.
Тип урок.Училищна лекция (2 часа).
Структура на урока.
I. Мотивационна и насочваща част:
Актуализиране на знанията
Мотивация, поставяне на учебна задача.
II. Оперативно-познавателна част:
Решаване на учебно-изследователска задача (цел на урока).
III. Отразително-оценъчна част:
Обобщавайки урока,
Раздаване на домашни.
По време на часовете
аз. Мотивационна и ориентировъчна част.
Днес в клас ще говорим за уравнения, но засега няма да записваме темата. Нека си припомним основните понятия, свързани с уравнението. Първо, какво е уравнение?
(Уравнението е аналитично представяне на проблема за намиране на стойностите на аргументите, за които стойностите на една функция са равни на стойностите на друга функция).
Какви други концепции са свързани с уравнението?
(Коренът на уравнението и какво означава да се реши уравнение. Коренът на уравнението е число, което, когато бъде заменено в уравнението, дава правилното числово равенство. Решаването на уравнение означава да се намерят всичките му корени или да се установи, че няма такива).
Как се нарича ODZ уравнението?
(Множеството от всички числа, за които функциите от лявата и дясната страна на уравнението имат смисъл едновременно).
Намерете ODZ на следните уравнения.
6)
.
Решението на уравнението е написано на дъската 
Какъв е процесът на решаване на уравнение?
(Извършване на трансформации, които превръщат това уравнение в уравнение повече прост тип, т.е. такова уравнение, намирането на корените на което не изглежда трудно).
Вярно, т.е. има последователност от опростявания от уравнение към уравнение 
и т.н. Да се 
. Нека да видим какво се случва с корените на уравнението на всеки етап от трансформацията. В представеното решение се получават два корена на уравнението 
. Проверете дали числата са и числа и 
корени на първоначалното уравнение.
(Числа 
, и са корени на оригиналното уравнение, и - не са).
Това означава, че тези корени са били загубени по време на процеса на решение. Като цяло извършените трансформации доведоха до загуба на два корена 
и придобиването на външен корен.
Как можете да се отървете от чужди корени?
(Направете проверка).
Приемлива ли е загубата на корен? Защо?
(Не, защото решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени).
Как да избегнем загубата на корен?
(Вероятно, когато решавате уравнение, не извършвайте трансформации, които водят до загуба на корени).
И така, за да може процесът на решаване на уравнение да даде правилни резултати, какво е важно да знаете, когато извършвате трансформации на уравнения?
(Вероятно знаете кои трансформации над уравнения запазват корени, кои водят до загуба на корени или придобиване на външни корени. Знаете какви трансформации могат да ги заменят, така че да няма загуба или придобиване на корени).
Това е, което ще направим в този урок. Как бихте формулирали целта на предстоящата дейност в днешния урок?
(Идентифицирайте трансформации над уравнения, които запазват корени, водят до загуба на корени или придобиване на външни корени. Знайте какви трансформации могат да ги заменят, така че да няма загуба или придобиване на корени).
II . Оперативно-познавателна част.
Нека погледнем отново уравнението, написано на дъската. Нека проследим на какъв етап и в резултат на какви трансформации са изгубени два корена и се е появил аутсайдер. (Учителят отдясно на всяко уравнение записва числата).
Наименувайте уравнения, които имат едно и също множество (множество) корени.
(Уравнения , , 
,
И 
,).
Такива уравнения се наричат еквивалентен.Опитайте се да формулирате дефиниция на еквивалентни уравнения.
(Уравнения, които имат еднакъв набор от корени, се наричат еквивалентни).
Нека напишем определението.
Определение 1. Уравнения
И 
се наричат еквивалентни, ако множествата на техните корени съвпадат.
Трябва да се отбележи, че уравненията без коне също са еквивалентни.
За да посочите еквивалентни уравнения, можете да използвате символа "". Процесът на решаване на уравнение с помощта на нова концепция може да бъде отразен по следния начин:
По този начин преходът от това уравнение към еквивалентно не засяга набора от корени на полученото уравнение.
Какви основни трансформации са извършени при решаването на линейни уравнения?
(Отваряне на скоби; прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, смяна на знака на противоположния; добавяне на израз, съдържащ неизвестно за двете страни на уравнението).
Корените им промениха ли се едновременно?
Въз основа на едно от тези преобразувания, а именно: прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, като същевременно се променя знакът на противоположния, в 7 клас формулираха свойството на уравненията. Формулирайте го, като използвате нова концепция.
(Ако някой член на уравнението се прехвърли от една част на уравнението в друга с противоположен знак, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на това).
Кое друго свойство на уравнението знаете?
(Двете страни на уравнението могат да бъдат умножени по едно и също число, различно от нула.)
Прилагането на това свойство също заменя оригиналното уравнение с еквивалентно. Нека се обърнем отново към уравнението, написано на дъската. Сравнете набора от корени на уравненията и ?
(Коренът на уравнението е коренът на уравнението).
Тоест, по време на прехода от едно уравнение към друго, въпреки че наборът от корени се разшири, загубата на корени не се случи. В този случай уравнението се нарича следствие от уравнението. Опитайте се да формулирате определение на уравнение, което е следствие от това уравнение.
(Ако при преминаване от едно уравнение към друго не настъпи загуба на корени, тогава второто уравнение се нарича следствие от първото уравнение).
Определение 2. Уравнението се нарича следствие от уравнение, ако всеки корен на уравнението е корен на уравнението.
- В резултат на каква трансформация получихте уравнението от уравнението?
(Поставяне на квадрат на двете страни на уравнението).
Това означава, че тази трансформация може да доведе до появата на външни корени, т.е. първоначалното уравнение се трансформира в следствие. Има ли други следствени уравнения в представената верига от трансформации на уравнения?
(Да, например уравнението е следствие от уравнение, а уравнението е следствие от уравнение).
Какви са тези уравнения?
(Еквивалентен).
Опитайте се, използвайки концепцията за следствие от уравнение, да формулирате еквивалентна дефиниция на еквивалентни уравнения.
(Уравненията се наричат еквивалентни, ако всяко от тях е следствие от другото).
Има ли други следствени уравнения в предложеното решение на уравнението?
(Да, уравнението е следствие от уравнението).
Какво се случва с корените при преминаване от към?
(Два корена са загубени).
В резултат на каква трансформация се случи това?
(Грешка при прилагането на самоличността 
)..
Задача 1. Еквивалентни ли са уравненията от всяка група (a, b)? Назовете трансформацията, в резултат на която първото уравнение на групата се заменя с второто.
а)
б)
Може да доведе до появата на така наречените външни корени. В тази статия първо ще анализираме подробно какво е външни корени. Второ, нека поговорим за причините за възникването им. И трето, използвайки примери, ще разгледаме основните методи за филтриране на външни корени, тоест проверка на корените за наличие на външни сред тях, за да ги изключим от отговора.
Странни корени на уравнението, определение, примери
Училищните учебници по алгебра не дават дефиниция на външен корен. Там идеята за външен корен се формира чрез описание на следната ситуация: с помощта на някои трансформации на уравнението се прави преход от първоначалното уравнение към следствието, намират се корените на полученото следствие , а намерените корени се проверяват чрез заместване в оригиналното уравнение, което показва, че някои от намерените корени не са корени на оригиналното уравнение, тези корени се наричат външни корени за оригиналното уравнение.
Започвайки от тази база, можете да приемете за себе си следната дефиниция на външен корен:
Определение
Външни корени- това са корените на следствието на уравнението, получено в резултат на трансформации, които не са корените на изходното уравнение.
Да дадем пример. Нека разгледаме уравнението и следствието от това уравнение x·(x−1)=0, получено чрез заместване на израза с идентично равен израз x·(x−1) . Оригиналното уравнение има един корен 1. Полученото в резултат на преобразуването уравнение има два корена 0 и 1. Това означава, че 0 е външен корен за оригиналното уравнение.
Причини за възможна поява на чужди корени
Ако за получаване на следственото уравнение не използвате никакви „екзотични“ трансформации, а използвате само основни трансформации на уравнения, тогава външните корени могат да възникнат само по две причини:
- поради разширяването на ОДЗ и
- поради повдигане на двете страни на уравнението на еднаква четна степен.
Тук си струва да припомним, че разширяването на ODZ в резултат на трансформиране на уравнението се случва главно
- При съкращаване на дроби;
- При замяна на продукт с един или повече нулеви коефициенти с нула;
- При замяна на дроб с нулев числител с нула;
- При използване на някои свойства на степени, корени, логаритми;
- При използване на някои тригонометрични формули;
- Когато двете страни на уравнението се умножат по един и същи израз, той се изтрива от ODZ за това уравнение;
- При освобождаване от логаритмични знаци в процеса на решаване.
Примерът от предходния абзац на статията илюстрира появата на външен корен поради разширяването на ODZ, което възниква при преминаване от уравнението към следствието на уравнението x·(x−1)=0. ODZ за първоначалното уравнение е множеството от всички реални числа, с изключение на нулата, ODZ за полученото уравнение е множеството R, тоест ODZ се разширява с числото нула. Това число в крайна сметка се оказва външен корен.
Ще дадем и пример за появата на външен корен поради повдигане на двете страни на уравнението на една и съща четна степен. Ирационалното уравнение има един корен 4 и следствието от това уравнение, получено от него чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението, тоест уравнението 
, има два корена 1 и 4. От това става ясно, че повдигането на квадрат на двете страни на уравнението води до появата на външен корен за първоначалното уравнение.
Обърнете внимание, че разширяването на ODZ и повишаването на двете страни на уравнението до една и съща четна степен не винаги води до появата на външни корени. Например, когато се преминава от уравнението към следствието на уравнението x=2, ODZ се разширява от множеството на всички неотрицателни числа до множеството на всички реални числа, но не се появяват външни корени. 2 е единственият корен както на първото, така и на второто уравнение. Освен това не се появяват външни корени при преминаване от уравнение към следствие от уравнение. Единственият корен както на първото, така и на второто уравнение е x=16. Ето защо не говорим за причините за появата на чужди корени, а за причините за евентуалната поява на чужди корени.
Какво представлява отсяването на външни корени?
Терминът „отсяване на чужди корени“ може да се нарече само с удължение установен, той не се среща във всички учебници по алгебра, но е интуитивен, поради което обикновено се използва. Какво се има предвид под отсяване на външни корени става ясно от следната фраза: „... проверката е задължителна стъпка при решаването на уравнение, което ще помогне да се открият външни корени, ако има такива, и да ги изхвърлите (обикновено казват „отсейте ")."
По този начин,
Определение
Отсяване на външни корени- това е откриването и изхвърлянето на външни корени.
Сега можете да преминете към методите за отсяване на външни корени.
Методи за отсяване на чужди корени
Проверка за заместване
Основният начин за филтриране на външни корени е тест за заместване. Тя ви позволява да премахнете външни корени, които биха могли да възникнат както поради разширяването на ODZ, така и поради повишаването на двете страни на уравнението до една и съща четна степен.
Тестът за заместване е както следва: намерените корени на следствието от уравнението се заместват на свой ред в оригиналното уравнение или във всяко уравнение, еквивалентно на него, тези, които дават правилното числово равенство, са корените на първоначалното уравнение, а тези, които дават неправилно числово равенство или израз са корените на оригиналното уравнение безсмислени, са външни корени за оригиналното уравнение.
Нека покажем с пример как да филтрираме външни корени чрез заместване в оригиналното уравнение.
В някои случаи е по-целесъобразно да се филтрират чужди корени с други методи. Това се отнася главно за случаите, когато проверката чрез заместване е свързана със значителни изчислителни трудности или когато стандартният метод за решаване на уравнения от определен тип изисква друга проверка (например, отсяването на външни корени, когато решаването на дробни рационални уравнения се извършва съгласно условие знаменателят на дробта да не е равен на нула). Нека да разгледаме алтернативни начини за премахване на външни корени.
Според Д.Л
За разлика от тестването чрез заместване, филтрирането на външни корени с помощта на ODZ не винаги е подходящо. Факт е, че този метод ви позволява да филтрирате само външни корени, които възникват поради разширяването на ODZ, и не гарантира отсяването на външни корени, които могат да възникнат по други причини, например поради повдигане на двете страни на уравнението на същата четна степен. Освен това не винаги е лесно да се намери OD за решаваното уравнение. Независимо от това, методът за отсяване на външни корени с помощта на ODZ си струва да се поддържа в експлоатация, тъй като използването му често изисква по-малко изчислителна работа, отколкото използването на други методи.
Отстраняването на външни корени според ODZ се извършва по следния начин: всички намерени корени на следствието от уравнението се проверяват, за да се види дали принадлежат към обхвата на допустимите стойности на променливата за първоначалното уравнение или всяко уравнение, еквивалентно на него, тези, които принадлежат на ODZ, са корени на оригиналното уравнение, а тези, които принадлежат на ODZ, са корени на оригиналното уравнение, а тези, които не принадлежат на ODZ, са външни корени за оригиналното уравнение.
Анализът на предоставената информация води до заключението, че е препоръчително да се отсеят външни корени с помощта на ODZ, ако в същото време:
- лесно е да се намери ODZ за оригиналното уравнение,
- външни корени могат да възникнат само поради разширяването на ODZ,
- Тестът за заместване е свързан със значителни изчислителни трудности.
Ще покажем как на практика се извършва премахването на външни корени.
Съгласно условията на DL
Както казахме в предишния параграф, ако външните корени могат да възникнат само поради разширяването на ODZ, тогава те могат да бъдат елиминирани с помощта на ODZ за оригиналното уравнение. Но не винаги е лесно да се намери ODZ под формата на цифров набор. В такива случаи е възможно да се отсеят външни корени не според ODZ, а според условията, които определят ODZ. Нека обясним как се извършва отстраняването на чужди корени в условията на ODZ.
Намерените корени на свой ред се заместват в условията, които определят ODZ за оригиналното уравнение или всяко уравнение, еквивалентно на него. Тези, които отговарят на всички условия, са корените на уравнението. А онези от тях, които не отговарят на поне едно условие или дават израз, който няма смисъл, са странични корени за оригиналното уравнение.
Нека дадем пример за отсяване на външни корени според условията на ODZ.
Отстраняване на външни корени, произтичащи от повишаването на двете страни на уравнението на четна степен
Ясно е, че отстраняването на външни корени, произтичащи от повдигането на двете страни на уравнението на една и съща четна степен, може да бъде направено чрез заместването му в оригиналното уравнение или във всяко уравнение, еквивалентно на него. Но такава проверка може да включва значителни изчислителни трудности. В този случай си струва да знаете алтернативен метод за пресяване на външни корени, за който ще говорим сега.
Отсяване на външни корени, които могат да възникнат при повдигане на двете страни на ирационални уравнения на формата до една и съща четна степен 
, където n е някои четен брой, може да се извърши съгласно условието g(x)≥0. Това следва от определението за корен от четна степен: корен от четна степен n е неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на радикалното число, откъдето 
. По този начин изразеният подход е вид симбиоза на метода за повишаване на двете страни на уравнението на една и съща степен и метода за решаване на ирационални уравнения чрез определяне на корена. Тоест уравнението , където n е четно число, се решава чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща четна степен, а елиминирането на външни корени се извършва съгласно условието g(x)≥0, взето от метода за решаване на ирационални уравнения чрез определяне на корена.
клас: 11
Продължителност: 2 урока.
Целта на урока:
- (за учител)формиране у учениците на цялостно разбиране на методите за решаване на ирационални уравнения.
- (за студенти)Развитие на способността за наблюдение, сравнение, обобщаване, анализ математически ситуации(слайд 2). Подготовка за Единния държавен изпит.
Първи план на урока(слайд 3)
- Актуализиране на знанията
- Анализ на теорията: Повдигане на уравнение на четна степен
- Уъркшоп за решаване на уравнения
План за втори урок
- Диференциран самостоятелна работапо групи „Ирационални уравнения на Единния държавен изпит“
- Обобщение на уроците
- Домашна работа
Напредък на уроците
I. Актуализиране на знанията
Мишена:повторете понятията, необходими за успешното овладяване на темата на урока.
Фронтално проучване.
– Кои две уравнения се наричат еквивалентни?
– Какви преобразувания на уравнение се наричат еквивалентни?
– Заменете това уравнение с еквивалентно с обяснение на приложената трансформация: (слайд 4)
а) x+ 2x +1; б) 5 = 5; в) 12x = -3; г) х = 32; г) = -4.
– Кое уравнение се нарича следствие на изходното уравнение?
– Може ли следствие от уравнение да има корен, който да не е коренът на първоначалното уравнение? Как се наричат тези корени?
– Какви трансформации на уравнението водят до следствия?
– Какво се нарича аритметичен квадратен корен?
Днес ще се спрем по-подробно на трансформацията „Повишаване на уравнение до четна степен“.
II. Анализ на теорията: Повдигане на уравнение на четна степен
Обяснение на учителя с активно участие на учениците:
Нека 2m(mN) – фиксирано четно естествено число. Тогава следствието от уравнениетое(x) =g(x) е уравнението (е(x)) = (g(х)).
Много често това твърдение се използва при решаване на ирационални уравнения.
Определение. Уравнение, което съдържа неизвестно под знака на корена, се нарича ирационално.
При решаване на ирационални уравнения се използват следните методи: (слайд 5)
внимание! Методи 2 и 3 изискват задължителенчекове.
ODZ не винаги помага за премахване на външни корени.
Заключение:При решаването на ирационални уравнения е важно да се премине през три етапа: технически, анализ на решението, проверка (слайд 6).
III. Уъркшоп за решаване на уравнения
Решете уравнението:
След като обсъдите как да решите уравнение чрез повдигане на квадрат, решете го, като преминете към еквивалентна система.
Заключение: Най-простите уравнения с цели числа могат да бъдат решени по всеки познат метод.
б) = х – 2
Чрез решаване чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен, учениците получават корени x = 0, x = 3 -, x = 3 +, които са трудни и отнемат много време за проверка чрез заместване. (Слайд 7). Преход към еквивалентна система
ви позволява бързо да се отървете от чужди корени. Условието x ≥ 2 се изпълнява само от x.
Отговор: 3 +
Заключение: ирационални корениПо-добре е да проверите, като преминете към еквивалентна система.
в) = x – 3
В процеса на решаване на това уравнение получаваме два корена: 1 и 4. И двата корена отговарят на лявата страна на уравнението, но когато x = 1, дефиницията на аритметиката е нарушена корен квадратен. Уравнението ODZ не помага за премахване на външни корени. Преходът към еквивалентна система дава верния отговор.
Заключение:доброто познаване и разбиране на всички условия за определяне на аритметичния квадратен корен помага да се премине къмизвършване на еквивалентни трансформации.
Като повдигаме на квадрат двете страни на уравнението, получаваме уравнението
x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, като поставим радикала от дясната страна, получаваме
26 – x + x = 8. Прилагането на допълнителни действия за повдигане на квадрат на двете страни на уравнението ще доведе до уравнение от 4-та степен. Преходът към уравнението ODZ дава добър резултат:
нека намерим уравнението ODZ:
х = 3.
Проверка: - 4 = , 0 = 0 правилно.
Заключение:Понякога е възможно да се реши с помощта на определението на уравнението ODZ, но не забравяйте да проверите.
Решение: ODZ уравнение: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.
За x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.
Следователно лявата страна на уравнението е отрицателна, а дясната страна е неотрицателна; следователно оригиналното уравнение няма корени.
Отговор: няма корени.
Заключение:След като направите правилното разсъждение относно ограничението в условието на уравнението, можете лесно да намерите корените на уравнението или да установите, че те не съществуват.
Използвайки примера за решаване на това уравнение, покажете двойната квадратура на уравнението, обяснете значението на фразата „самота на радикалите“ и необходимостта да проверите намерените корени.
з) 
+ = 1.
Решаването на тези уравнения се извършва чрез метода на заместване на променливата до връщане към първоначалната променлива. Предложете решението на тези, които изпълнят задачите от следващия етап по-рано.
Контролни въпроси
- Как да решим най-простите ирационални уравнения?
- Какво трябва да запомните, когато повдигате уравнение на четна степен? ( могат да се появят чужди корени)
- Кой е най-добрият начин за проверка на ирационални корени? ( използвайки ODZ и условия за съвпадение на знаците на двете страни на уравнението)
- Защо е необходимо да можем да анализираме математически ситуации при решаване на ирационални уравнения? ( За правилния и бърз избор на начина на решаване на уравнението).
IV. Диференцирана самостоятелна работа в групи „Ирационални уравнения на Единния държавен изпит“
Класът се разделя на групи (2-3 човека) според нивата на подготовка, всяка група избира вариант със задача, обсъжда и решава избраните задачи. Ако е необходимо, потърсете съвет от учителя. След изпълнение на всички задачи в техния вариант и проверка на отговорите от учителя, членовете на групата самостоятелно завършват решаването на уравнения g) и h) от предходния етап на урока. За варианти 4 и 5 (след проверка на отговорите и решенията от учителя) на дъската се записват допълнителни задачи, които се изпълняват индивидуално.
Всички индивидуални решения се предоставят на учителя за проверка в края на часовете.
Опция 1
Решете уравненията:
а) = 6;
б) = 2;
в) = 2 – x;
г) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.Вариант 5
1. Решете уравнението:
а) = ;
б)= 3 – 2x;
2. Решете системата от уравнения:
Допълнителни задачи:
V. Обобщение на уроците
Какви трудности изпитахте при изпълнението на USE задачи? Какво е необходимо за преодоляване на тези трудности?
VI. Домашна работа
Повторете теорията за решаване на ирационални уравнения, прочетете параграф 8.2 в учебника (обърнете внимание на пример 3).
Решете No 8.8 (a, c), No 8.9 (a, c), No 8.10 (a).
Литература:
- Николски С.М., Потапов М.К., Н.Н. Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и началото на математическия анализ , учебник за 11 клас на общообразователните институции, М.: Просвещение, 2009.
- Мордкович А.Г. По някои методически въпроси, свързани с решаването на уравнения. Математика в училище. -2006. -№ 3.
- М. Шабунин. Уравнения. Лекции за гимназисти и кандидати. Москва, «Чистые пруды», 2005 г. (библиотека «Първи септември»)
- Е.Н. Балаян. Работилница за решаване на проблеми. Ирационални уравнения, неравенства и системи. Ростов на Дон, "Феникс", 2006 г.
- Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2011 г. Редактирано от F.F. Лисенко, С.Ю. Кулабухов легион-М, Ростов на Дон, 2010 г.
