За две равнини са възможни следните варианти на взаимно разположение: те са успоредни или се пресичат по права линия.

От стереометрията е известно, че две равнини са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина. Това състояние се нарича знак за успоредност на равнините.

Ако две равнини са успоредни, тогава те пресичат някоя трета равнина по успоредни прави. Въз основа на това, успоредни равнини РИ Qтехните следи са успоредни прави линии (фиг. 50).

В случай, че две равнини РИ Qуспоредна на оста х, техните хоризонтални и фронтални следи с произволно взаимно разположение на равнините ще бъдат успоредни на оста x, т.е. взаимно успоредни. Следователно при такива условия паралелността на следите е достатъчен знак, характеризиращ паралелността на самите равнини. За да сте сигурни, че такива равнини са успоредни, трябва да се уверите, че профилните им следи също са успоредни. П w и Q w. Самолети РИ Qна фигура 51 са успоредни, но на фигура 52 не са успоредни, въпреки факта, че П v || Q v и П h y || Qч.

В случай, че равнините са успоредни, хоризонталите на едната равнина са успоредни на хоризонталите на другата. Предните части на една равнина трябва да са успоредни на предните части на другата, тъй като тези равнини имат успоредни пътеки със същото име.

За да се построят две пресичащи се равнини е необходимо да се намери права линия, по която двете равнини да се пресичат. За да се построи тази линия, е достатъчно да се намерят две точки, принадлежащи към нея.

Понякога, когато равнината е дадена чрез следи, е лесно да се намерят тези точки с помощта на диаграма и без допълнителни конструкции. Тук посоката на определяната линия е известна и нейното изграждане се основава на използването на една точка от диаграмата.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Дескриптивна геометрия. Бележки от лекции лекция. Относно прогнозите

Информация за лекция за проекции концепцията за проекции четене на чертеж.. централна проекция.. представа за централната проекция може да се получи чрез изучаване на изображението, дадено от човешкото око..

Ако се нуждаеш допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всички теми в този раздел:

Понятие за проекции
Дескриптивната геометрия е наука, която е теоретичната основа на чертането. Тази наука изучава методите за изобразяване на различни тела и техните елементи в равнина.

Паралелна проекция
Паралелната проекция е вид проекция, при която се използват паралелно проектирани лъчи. Когато конструирате паралелни проекции, трябва да зададете

Проекции на точка върху две проекционни равнини
Нека разгледаме проекциите на точки върху две равнини, за които вземаме две перпендикулярни равнини (фиг. 4), които ще наричаме хоризонтални фронтални и равнини. Линия на пресичане на данни

Липса на проекционна ос
За да обясните как да получите проекции на точка върху модел, перпендикулярен на проекционната равнина (фиг. 4), е необходимо да вземете лист плътна хартия с формата на издължен правоъгълник. Трябва да се огъне между

Проекции на точка върху три проекционни равнини
Нека разгледаме профилната равнина на проекциите. Проекциите върху две перпендикулярни равнини обикновено определят позицията на фигурата и позволяват да се установи нейният реален размер и форма. Но има моменти, когато

Координати на точки
Позицията на точка в пространството може да се определи с помощта на три числа, наречени нейни координати. Всяка координата съответства на разстоянието на точка от някаква равнина

Линейни проекции
За да се определи права линия, са необходими две точки. Една точка се определя от две проекции върху хоризонталната и фронталната равнина, т.е. правата линия се определя с помощта на проекциите на нейните две точки върху хоризонталата

Следи от права линия
Следата на права линия е точката на нейното пресичане с определена равнина или повърхност (фиг. 20). Определена точка H се нарича хоризонтална следа на линия

Различни прави позиции
Правата линия се нарича права линия обща позиция, ако не е нито успоредна, нито перпендикулярна на никоя проекционна равнина. Проекциите на линия в общо положение също не са успоредни и перпендикулярни

Относителното положение на две прави линии
Има три възможни случая на разположение на линиите в пространството: 1) линиите се пресичат, т.е. имат обща точка; 2) правите са успоредни, т.е. нямат обща точка, а лежат в една равнина

Перпендикулярни линии
Разгледайте теоремата: ако едната страна прав ъгълуспореден на проекционната равнина (или лежи в нея), тогава прав ъгъл се проектира върху тази равнина без изкривяване. Нека дадем доказателство за

Определяне на позицията на равнината
За произволно разположена равнина проекциите на нейните точки запълват и трите проекционни равнини. Следователно няма смисъл да говорим за проекцията на цялата равнина, трябва да разгледаме само проекциите

Следи от самолет
Следата на равнината P е линията на нейното пресичане с дадена равнина или повърхност (фиг. 36). Наричам пресечната линия на равнината P с хоризонталната равнина

Хоризонтални и фронтални равнини
Сред линиите, които лежат в определена равнина, могат да се разграничат два класа линии, които играят важна роля при решаването на всякакви проблеми. Това са прави линии, наречени хоризонтали

Построяване на равнинни следи
Нека разгледаме конструкцията на следи от равнината P, която се определя от двойка пресичащи се прави I и II (фиг. 45). Ако права линия е в равнината P, тогава нейните следи лежат върху едноименни следи

Различни позиции на равнина
Обща равнина е равнина, която не е нито успоредна, нито перпендикулярна на никоя проекционна равнина. Следите от такава равнина също не са нито успоредни, нито перпендикулярни

Права, успоредна на равнината
Може да има няколко позиции на права линия спрямо определена равнина. 1. Права лежи в определена равнина. 2. Правата е успоредна на определена равнина. 3. Директен трансфер

Права, пресичаща равнина
За да се намери пресечната точка на права и равнина, е необходимо да се построят пресечните линии на две равнини. Помислете за права I и равнина P (фиг. 54).

Призма и пирамида
Нека разгледаме права призма, която стои на хоризонтална равнина (фиг. 56). Нейните странични зърна

Цилиндър и конус
Цилиндърът е фигура, чиято повърхност се получава чрез въртене на права линия m около ос i, разположена в същата равнина като тази права линия. В случай, че линията m

Топка, тор и пръстен
Когато определена ос на въртене I е диаметърът на кръг, се получава сферична повърхност (фиг. 66).

Линии, използвани при рисуване
При чертането се използват три основни вида линии (плътни, прекъснати и пунктирани) с различна дебелина (фиг. 76).

Местоположение на изгледите (прожекции)
При чертежа се използват шест типа, които са показани на фигура 85. Фигурата показва проекциите на буквата "L".

Отклонение от горните правила за местоположението на изгледите
В някои случаи се допускат отклонения от правилата за конструиране на прогнози. Сред тези случаи могат да се разграничат следните: частични изгледи и изгледи, разположени без проекционна връзка с други изгледи.

Брой издатини, определящи дадено тяло
Положението на телата в пространството, формата и размерите обикновено се определят от малък брой подходящо избрани точки. Ако при изобразяване на проекцията на тяло обърнете внимание

Завъртане на точка около ос, перпендикулярна на проекционната равнина
Фигура 91 дава ос на въртене I, която е перпендикулярна на хоризонталната равнина, и произволно разположена в пространството точка А. Когато се върти около оста I, тази точка описва

Определяне на естествения размер на сегмент чрез ротация
Сегмент, успореден на всяка равнина на проекция, се проектира върху него без изкривяване. Ако завъртите сегмента, така че да стане успореден на една от проекционните равнини, тогава можете да дефинирате

Построяването на проекции на сечение може да се извърши по два начина
1. Можете да намерите точките на среща на ръбовете на полиедъра с режещата равнина и след това да свържете проекциите на намерените точки. В резултат на това ще се получат проекциите на желания многоъгълник. В такъв случай

Пирамида
Фигура 98 показва пресечната точка на повърхността на пирамидата с фронталната проектираща равнина P. Фигура 98b показва фронталната проекция a на точката на срещане на ръба KS с равнината

Коси разрези
Под наклонени сечения разбираме набор от задачи за конструиране на естествени типове сечения на разглежданото тяло от проектирана равнина. За извършване на наклонен разрез е необходимо да се дисектира

Хипербола като сечение на повърхнината на конус от фронталната равнина
Нека е необходимо да се построи напречно сечение на повърхността на конус, стоящ върху хоризонтална равнина с равнина P, която е успоредна на равнина V. Фигура 103 показва челната

Разрез на повърхността на цилиндъра
Има следните случаи на разрязване на повърхността на прав кръгов цилиндър с равнина: 1) кръг, ако режещата равнина P е перпендикулярна на оста на цилиндъра и е успоредна на основите

Разрез на коничната повърхност
В общия случай една кръгла конична повърхност включва две напълно еднакви кухини, които имат общ връх (фиг. 107в). Образуващите на една кухина представляват продължение на

Разрез на повърхността на топката
Всеки участък от повърхността на топка от равнина е кръг, който се проектира без изкривяване само ако режещата равнина е успоредна на равнината на проекциите. В общия случай бихме

Коси разрези
Нека е необходимо да се построи естествен изглед на напречно сечение с фронтално проектирана равнина на тяло. Фигура 110а разглежда тяло, ограничено от три цилиндрични повърхности (1, 3 и 6), повърхността

Пирамида
За да намерите следи от права линия върху повърхността на геометрично тяло, трябва да начертаете права спомагателна равнина, след което да намерите участък от повърхността на тялото от тази равнина. Тези, които търсим, ще бъдат

Цилиндрична спирала
Образуване на спирала. Нека да разгледаме Фигура 113а, където точка М се движи равномерно по определена окръжност, която е сечение на кръгъл цилиндър от равнина P. Ето тази равнина

Две тела на въртене
Методът за чертане на спомагателни равнини се използва при конструиране на линията на пресичане на повърхностите на две тела на въртене. Същността на този метод е следната. Начертайте спомагателна равнина

Раздели
Има някои дефиниции и правила, които се прилагат за разделите. Разрезът е плоска фигура, получена в резултат на пресичането на дадено тяло на някои

Порязвания
Дефиниции и правила, които се прилагат за разфасовки. Разрезът е такова конвенционално изображение на обект, когато частта от него, разположена между окото на наблюдателя и секущата равнина

Частично порязване или разкъсване
Разрезът се нарича пълен, ако изобразеният обект е разчленен изцяло, останалите разрези се наричат ​​частични или издърпвания. На фигура 120 са направени пълни разрези в левия изглед и в плана. освен това

Деф. Две равнини в пространството се наричат ​​успоредни, ако не се пресичат, в противен случай се пресичат.

Теорема 1: Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни.

Доказателство:

Нека и са дадени равнини, a1 и a2 са прави в равнината, пресичащи се в точка A, нека b1 и b2 са прави, съответно успоредни на тях

самолет. Да приемем, че равнините не са успоредни, т.е. пресичат се по права линия c. Според теоремата правите a1 и a2, като успоредни на правите b1 и b2, са успоредни на равнината и следователно не са

пресичат правата c, лежаща в тази равнина. Така в равнината две прави (a1 и a2) минават през точка A, успоредни на права c. Но това е невъзможно според паралелната аксиома. Стигнахме до противоречие в CTD.

Перпендикулярни равнини: Две пресичащи се равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако третата равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на тези равнини, ги пресича по перпендикулярни линии.

Теорема 2: Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

Доказателство:

Нека е равнина с права, перпендикулярна на нея, нека е равнина, минаваща през права b, и нека c е права линия, по която равнините и се пресичат. Нека докажем, че равнините и са перпендикулярни. Нека начертаем права a в равнината през точката на пресичане на права b с равнината,

перпендикулярна на права линия c. Нека начертаем прави a и в равнината. Тя е перпендикулярна на правата c, защото права c е перпендикулярна на правите a и b. Тъй като правите a и b са перпендикулярни, тогава равнините са перпендикулярни. и т.н.

42. Нормално уравнение на равнината и неговите свойства

Нормално (нормализирано) уравнение на равнината

във векторна форма:

където е единичният вектор, е разстоянието на P. от началото. Уравнение (2) може да се получи от уравнение (1) чрез умножаване по нормализиращ фактор

(знаците и са противоположни).

43. Уравнения на права линия в пространството: Общи уравнения, канонични и параметрични уравнения.

Канонични уравнения:

Нека изведем уравнението на права линия, минаваща през дадена точка и успоредна на даден насочващ вектор. Забележете, че точка лежи на тази права тогава и само ако векторите са колинеарни. Това означава, че координатите на тези вектори са пропорционални:

Тези уравнения се наричат ​​канонични. Имайте предвид, че една или две координати на вектора на посоката може да са равни на нула. Но ние го възприемаме като пропорция: разбираме го като равенство.

Общи уравнения:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Когато коефициентите A1-C1 не са пропорционални на A2-C2, което е еквивалентно на определянето му като линия на пресичане на равнини

Параметричен:

Чрез отлагане на вектори от точка за различни стойности, колинеарни на вектора на посоката, ще получим в края на отложените вектори различни точкинашата директна линия. От равенството следва:

Променливото количество се нарича параметър. Тъй като за всяка точка на линията има съответстваща стойност на параметъра и тъй като различните стойности на параметъра съответстват на различни точки на линията, има съответствие едно към едно между стойностите на параметъра и точките на линията . Когато параметърът преминава през всички реални числа от до, съответната точка преминава през целия ред.

44. Концепцията за линейно пространство. Аксиоми. Примери за линейни пространства

Пример за линейно пространство е множеството от всички геометрични вектори.

Линеен, или векторпространствонад полето П- това е непразно множество Л, върху които се въвеждат операции

добавяне, тоест всяка двойка елементи от набор е свързана с елемент от същото множество, означено

умножение по скалар (тоест полевият елемент П), тоест всеки елемент и всеки елемент ще бъде свързан с елемент от, обозначен.

В този случай на операциите се налагат следните условия:

За всякакви ( комутативност на събирането);

За всякакви ( допълнителна асоциативност);

има такъв елемент, че за всеки ( съществуване на неутрален елемент по отношение на добавянето), в частност Лне е празно;

за всяко има такъв елемент, че (съществуването на противоположния елемент).

(асоциативност на умножението със скалар);

(умножение с неутрален (чрез умножение) полеви елементПзапазва вектора).

(разпределимост на умножението с вектор спрямо събирането на скалари);

(разпределимост на умножението със скалар спрямо векторно събиране).

Елементи на комплекта ЛНаречен вектори, и елементите на полето П-скалари. Свойства 1-4 съвпадат с аксиомите на абелевата група.

Най-простите свойства

Векторното пространство е абелева група чрез добавяне.

Неутралният елемент е единственият, който следва от груповите свойства.

за всеки .

За всеки един противоположният елемент е единственият, който следва от свойствата на групата.

за всеки .

за всякакви и.

за всеки .

Елементите на линейното пространство се наричат ​​вектори. Едно пространство се нарича реално, ако в него операцията за умножаване на вектори по число е дефинирана само за реални числа, и сложно, ако тази операция е дефинирана само за комплексни числа.

45. Основа и размерност на линейното пространство, връзка между тях.

Крайна сума на формуляра

се нарича линейна комбинация от елементи с коефициенти.

Линейна комбинация се нарича нетривиална, ако поне един от нейните коефициенти е различен от нула.

Елементите се наричат ​​линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на θ. В противен случай тези елементи се наричат ​​линейно независими.

Безкрайно подмножество от вектори от L се нарича линейно зависимо, ако някакво крайно подмножество от него е линейно зависимо, и линейно независимо, ако някое от крайните му подмножества е линейно независимо.

Броят на елементите (кардиналност) на максимално линейно независимо подмножество на пространство не зависи от избора на това подмножество и се нарича ранг или измерение на пространството, а самото това подмножество се нарича базис (базис на Хамел или линейна основа). Базисните елементи се наричат ​​още базисни вектори. Свойства на основата:

Всички n линейно независими елемента от n-мерно пространство формират основата на това пространство.

Всеки вектор може да бъде представен (уникално) като крайна линейна комбинация от базисни елементи:

46. ​​​​Векторни координати в даден базис. Линейни операции с вектори в координатна форма

клауза 4. Линейни операции с вектори вкоординирамформазаписи.

Нека е основата на пространството и са неговите два произволни вектора. Нека и е запис на тези вектори в координатна форма. Нека освен това е произволно реално число. Използвайки тази нотация, важи следната теорема.

Теорема. (За линейни операции с вектори в координатна форма.)

Нека Ln е произволно n-мерно пространство, B = (e1,....,en) фиксиран базис в него. Тогава всеки вектор x, принадлежащ на Ln, има взаимно еднозначно съответствие с колона от своите координати в тази база.

Взаимно разположение на равнините в пространството

Когато две равнини са взаимно разположени в пространството, е възможен един от два взаимно изключващи се случая.

1. Две равнини имат обща точка. Тогава, съгласно аксиомата за пресичане на две равнини, те имат обща права линия. Аксиома R5 гласи: ако две равнини имат обща точка, тогава пресечната точка на тези равнини е тяхната обща права линия. От тази аксиома следва, че равнини такива равнини се наричат ​​пресичащи се.

Двете равнини нямат обща точка.

3. Двете равнини съвпадат

3. Вектори в равнината и пространството

Векторът е насочен сегмент. Неговата дължина се счита за дължина на сегмента. Ако са дадени две точки M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2), тогава векторът

Ако са дадени два вектора и тогава

1. Векторни дължини

2. Сума от вектори:

3. Сумата от два вектора a и b е диагоналът на успоредник, построен върху тези вектори, като се започне от общата точка на тяхното приложение (правило на успоредник); или вектор, свързващ началото на първия вектор с края на последния - според правилото на триъгълника. Сумата от три вектора a, b, c е диагоналът на паралелепипед, построен върху тези вектори (паралелепипедно правило).

Обмисли:

• 1. Началото на координатите е в точка А;
• 2. Страната на куб е единична отсечка.
• 3. Насочваме оста OX по ръба AB, OY по ръба AD, а оста OZ по ръба AA1.

За долната равнина на куба

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

По силата на аксиомата: две равнини, които имат обща точка, имат обща права - възможни са само два случая на разположение на равнините: 1) равнините имат обща права, т.е. пресичат се; 2) равнините нямат една обща точка, такива равнини се наричат ​​успоредни. Съществуването на успоредни равнини следва от следната конструкция. Да вземем в равнината (фиг. 331) произволни две пресичащи се прави a и b.

През точката M, която не принадлежи на равнината X, начертаваме прави a и b, съответно, успоредни на данните. Нека покажем, че равнината, съдържаща тези прави, е успоредна на равнината. Наистина, ако тези равнини се пресичат по определена права линия c, тогава тази права линия, принадлежаща на равнината, ще се пресича с поне една от правите линии a и такава пресечна точка ще бъде точката на пресичане на една от тези линии с равнината. Междувременно и двете линии са успоредни на равнината по конструкция. По този начин предположението за пресичане на равнини води до противоречие. Следователно равнините са успоредни. това предполага

Знак за успоредни равнини. Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, тогава равнините са успоредни.