Основна механика за манекени. Въведение

държавна автономна институция

Калининградска област

професионален образователна организация

Колеж по обслужване и туризъм

Курс на лекции с примери практически задачи

"Основи на теоретичната механика"

по дисциплинаТехническа механика

за студенти3 курс

специалности20.02.04 Пожарна безопасност

Калининград

ОДОБРИХ

Заместник-директор по SD GAU KO POO KSTN.N. Мясникова

ОДОБРЕНО

Методически съвет на GAU KO POO KST

ПРЕГЛЕДАН

На срещата на PCC

Редакционен екип:

Колганова А.А., методолог

Фалалеева А.Б., учител по руски език и литература

Цветаева Л.В., председател на PCCобща математика и природни науки

съставен от:

Незванова И.В. учител ГАУ КО ПОО КСТ

Съдържание

Динамика: основни понятия и аксиоми

Библиография

Статика: основни понятия и аксиоми.

Теоретична информация

Статика – раздел от теоретичната механика, който изследва свойствата на силите, приложени към точки твърдои условията на тяхното равновесие. Основни цели:

1. Трансформация на силови системи в еквивалентни силови системи.

2. Определяне на условията на равновесие за системи от сили, действащи върху твърдо тяло.

Материална точка наречен най-прост модел на материално тяло

всяка форма, чиито размери са достатъчно малки и която може да се приеме като геометрична точка с определена маса. Механична система е всяка колекция от материални точки. Абсолютно твърдо тяло е механична система, чиито разстояния между точките не се променят по време на никакви взаимодействия.

Сила е мярка механично взаимодействиематериални тела помежду си. Силата е векторна величина, тъй като се определя от три елемента:

числова стойност;

посока;

точка на приложение (A).

Единицата за сила е Нютон (N).

Фигура 1.1

Система от сили е набор от сили, действащи върху тялото.

Балансирана (равна на нула) система от сили е система, която, когато е приложена към тяло, не променя състоянието си.

Система от сили, действащи върху тяло, може да бъде заменена с една резултатна, действаща по същия начин като система от сили.

Аксиоми на статиката.

Аксиома 1: Ако върху едно тяло е приложена балансирана система от сили, тогава то се движи равномерно и праволинейно или е в покой (закон за инерцията).

Аксиома 2: Абсолютно твърдо тяло е в равновесие под действието на две сили тогава и само ако тези сили са равни по големина, действат в една права линия и са насочени в една и съща посока. противоположни страни. Фигура 1.2

Аксиома 3: Механичното състояние на тялото няма да се наруши, ако към системата от сили, действащи върху него, се добави или извади балансирана система от сили.

Аксиома 4: Резултатът от две сили, приложени към тяло, е равен на техния геометричен сбор, т.е. изразява се в големина и посока чрез диагонала на успоредник, изграден върху тези сили като страни.

Фигура 1.3.

Аксиома 5: Силите, с които две тела действат едно върху друго, винаги са равни по големина и са насочени по една и съща права линия в противоположни посоки.

Фигура 1.4.

Видове връзки и техните реакции

Връзки са всякакви ограничения, които пречат на движението на тялото в пространството. Тяло, което се опитва под въздействието на приложени сили да извърши движение, което е възпрепятствано от ограничение, ще действа върху него с определена сила, наречена сила на натиск върху връзката . Съгласно закона за равенство на действието и реакцията връзката ще действа върху тялото със същата величина, но противоположно насочена сила.
Силата, с която тази връзка действа върху тялото, предотвратявайки определени движения, се нарича сила на реакция (реакция) на връзка .
Едно от основните положения на механиката е принцип на еманципация : всяко несвободно тяло може да се счита за свободно, ако отхвърлим връзките и заменим тяхното действие с реакции на връзките.

Реакцията на връзката е насочена в посока, обратна на тази, в която връзката не позволява на тялото да се движи. Основните видове връзки и техните реакции са дадени в таблица 1.1.

Таблица 1.1

Видове връзки и техните реакции

Име на връзката

Символ

Гладка повърхност (опора) – повърхност (опора), върху която може да се пренебрегне триенето на дадено тяло.
Когато се поддържа свободно, реакциятае насочена перпендикулярно на допирателната, прекарана през точкатаА телесен контакт1 с опорна повърхност2 .

Нишка (гъвкава, неразтеглива). Връзката, направена под формата на неразтеглива нишка, не позволява на тялото да се отдалечи от точката на окачване. Следователно реакцията на нишката е насочена по нишката до точката на нейното окачване.

Безтегловен прът - прът, чието тегло, в сравнение с възприеманото натоварване, може да бъде пренебрегнато.
Реакцията на безтегловен шарнирно закрепен праволинеен прът е насочена по оста на пръта.

Подвижна панта, шарнирно-подвижна опора. Реакцията е насочена нормално към опорната повърхност.

Твърдо уплътнение. Ще има два компонента на реакцията в равнината на твърдото вграждане, и моментът на няколко сили, което предотвратява завъртането на гредата1 спрямо точкатаА .
Твърдото вграждане в пространството отнема всичките шест степени на свобода на тялото 1 - три движения по координатните оси и три завъртания около тези оси.
Ще има три компонента за пространственото твърдо уплътнение, , и три момента на двойки сили.

Система от събиращи се сили

Система от събиращи се сили е система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка. Две сили, събиращи се в една точка, според третата аксиома на статиката, могат да бъдат заменени с една сила -резултатна .
Главен вектор на силовата система – стойност, равна на геометричната сума на силите на системата.

Резултат от равнинна система от събиращи се сили може да се определиграфично И аналитично.

Добавяне на система от сили . Добавянето на плоска система от сближаващи се сили се извършва или чрез последователно добавяне на сили с изграждането на междинен резултат (фиг. 1.5), или чрез конструиране на многоъгълник на сила (фиг. 1.6).

Фигура 1.5 Фигура 1.6

Проекция на сила върху оста – алгебрична величина, равна на произведението на модула на силата и косинуса на ъгъла между силата и положителната посока на оста.
ПроекцияЕх(фиг. 1.7) сили върху оста хположителен, ако ъгъл α е остър, отрицателен, ако ъгъл α е тъп. Ако силатаперпендикулярна на оста, тогава неговата проекция върху оста е нула.

Фигура 1.7

Проекция на сила върху равнина охоо– вектор , затворен между проекциите на началото и края на силатакъм този самолет. Тези. проекцията на сила върху равнина е векторна величина, характеризираща се не само с числовата си стойност, но и с посоката си в равнинатаохоо (фиг. 1.8).

Фигура 1.8

След това прожекционният модулдо самолета охоо ще бъде равно на:

Еxy = Ф cosα,

където α е ъгълът между посоката на силатаи неговата проекция.
Аналитичен метод за определяне на силите . За аналитичния метод за определяне на силатанеобходимо е да изберете система от координатни осиОхц, спрямо които ще се определи посоката на силата в пространството.
Вектор, изобразяващ сила, може да се построи, ако са известни модулът на тази сила и ъглите α, β, γ, които силата образува с координатните оси. ТочкаАприлагане на сила се посочва отделно чрез своите координатих, при, z. Можете да зададете силата по нейните проекцииFx, Fy, Fzкъм координатните оси. Модулът на силата в този случай се определя по формулата:

и насочващи косинуси:

, .

Аналитичен метод за добавяне на сили : проекцията на вектора на сумата върху някаква ос е равна на алгебричната сума на проекциите на векторите на сумата върху същата ос, т.е., ако:

Че , , .
знаейки Rx, Ry, Rz, можем да дефинираме модула

и насочващи косинуси:

, , .

Фигура 1.9

За да бъде система от събиращи се сили в равновесие, е необходимо и достатъчно резултатната от тези сили да е равна на нула.
1) Геометрично равновесно условие за събираща се система от сили : за равновесието на система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно силовият многоъгълник, изграден от тези сили

беше затворен (края на вектора на последния член

силата трябва да съвпада с началото на вектора на първия член на силата). Тогава главният вектор на силовата система ще бъде равен на нула ()
2) Аналитични условия на равновесие . Модулът на главния вектор на силовата система се определя по формулата. =0. Тъй като , тогава радикалният израз може да бъде равен на нула само ако всеки член едновременно стане нула, т.е.

Rx= 0, Рай= 0, Р z = 0.

Следователно, за равновесието на пространствена система от сближаващи се сили е необходимо и достатъчно сумите от проекциите на тези сили върху всяка от трите координати на осите да са равни на нула:

За равновесието на плоска система от събиращи се сили е необходимо и достатъчно сумите от проекциите на силите върху всяка от двете координатни оси да са равни на нула:

Добавянето на две успоредни сили, насочени в една и съща посока.

Фигура 1.9

Две успоредни сили, насочени в една посока, се свеждат до една резултатна сила, успоредна на тях и насочена в една и съща посока. Големината на резултата е равна на сумата от големините на тези сили, а точката на нейното приложение C разделя разстоянието между линиите на действие на силите вътрешно на части, обратно пропорционални на величините на тези сили, т.е.

B A C

R=F 1 +F 2

Добавянето на две успоредни сили с различна величина, насочени в противоположни посоки.

Две неравни антипаралелни сили се редуцират до една резултантна сила, успоредна на тях и насочена към по-голямата сила. Големината на резултата е равна на разликата между величините на тези сили, а точката на нейното приложение C разделя разстоянието между линиите на действие на силите външнона части, обратно пропорционални на величините на тези сили, т.е

Няколко сили и момент на сила около точка.

Момент на сила спрямо точка О се нарича, взето със съответния знак, произведението от големината на силата и разстоянието h от точка О до линията на действие на силата . Този продукт се приема със знак плюс, ако силата има тенденция да върти тялото обратно на часовниковата стрелка, и със знака -, ако силата има тенденция да върти тялото по посока на часовниковата стрелка, т.е . Дължината на перпендикуляра h се наричарамо на силата точка О. Действието на силата т.е. Ъгловото ускорение на тялото е толкова по-голямо, колкото по-голяма е величината на момента на силата.

Фигура 1.11

С няколко сили е система, състояща се от две успоредни сили с еднаква големина, насочени в противоположни посоки. Разстоянието h между линиите на действие на силите се наричарамото на двойката . Моментът на няколко сили m(F,F") е произведението на големината на една от силите, съставляващи двойката и рамото на двойката, взети със съответния знак.

Записва се така: m(F, F")= ± F × h, където продуктът се взема със знак плюс, ако двойка сили се стреми да върти тялото обратно на часовниковата стрелка и със знак минус, ако двойката сили се стреми за въртене на тялото по часовниковата стрелка.

Теорема за сумата от моменти на сили на двойка.

Сумата от моментите на силите на двойка (F,F") спрямо всяка точка 0, взета в равнината на действие на двойката, не зависи от избора на тази точка и е равна на момента на двойката .

Теорема за еквивалентни двойки. Последствия.

Теорема. Две двойки, чиито моменти са равни един на друг, са еквивалентни, т.е. (F, F") ~ (P, P")

Следствие 1 . Една двойка сили може да бъде прехвърлена на произволно място в равнината на нейното действие, както и да се завърти под произволен ъгъл и да се промени рамото и големината на силите на двойката, като същевременно се запази моментът на двойката.

Следствие 2. Двойка сили няма резултатна и не може да бъде балансирана от една сила, лежаща в равнината на двойката.

Фигура 1.12

Събиране и условие за равновесие на система от двойки в равнина.

1. Теорема за събирането на двойки, лежащи в една и съща равнина. Система от двойки, произволно разположени в една и съща равнина, може да бъде заменена с една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на тези двойки.

2. Теорема за равновесието на система от двойки в равнина.

За да бъде абсолютно твърдо тяло в покой под действието на система от двойки, произволно разположени в една равнина, е необходимо и достатъчно сумата от моментите на всички двойки да е равна на нула, т.е.

Център на тежестта

Земно притегляне – равностойна на силите на привличане към Земята, разпределени в целия обем на тялото.

Център на тежестта на тялото - това е точка, неизменно свързана с това тяло, през която минава линията на действие на силата на тежестта на дадено тяло за всяко положение на тялото в пространството.

Методи за намиране на центъра на тежестта

1. Метод на симетрия:

1.1. Ако едно хомогенно тяло има равнина на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи в тази равнина

1.2. Ако хомогенното тяло има ос на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи на тази ос. Центърът на тежестта на еднородно тяло на въртене лежи върху оста на въртене.

1.3 Ако едно хомогенно тяло има две оси на симетрия, тогава центърът на тежестта е в точката на тяхното пресичане.

2. Метод на разделяне: Тялото се разделя на най-малък брой части, чиито гравитационни сили и положението на центровете на тежестта са известни.

3. Метод на отрицателна маса: При определяне на центъра на тежестта на тяло, което има свободни кухини, трябва да се използва методът на разделяне, но масата на свободните кухини трябва да се счита за отрицателна.

Координати на центъра на тежестта на плоска фигура:

Позиции на центровете на тежестта на прост геометрични формиможе да се изчисли от известни формули. (Фигура 1.13)

Забележка: Центърът на тежестта на симетрията на фигурата е върху оста на симетрия.

Центърът на тежестта на пръта е в средата на височината.

1.2. Примери за решаване на практически задачи

Пример 1: Товарът е окачен на прът и е в равновесие. Определете силите в пръта. (Фигура 1.2.1)

Решение:

Силите, генерирани в закрепващите пръти, са равни по големина на силите, с които прътите поддържат товара. (5-та аксиома)

Определяме възможните посоки на реакции на връзките на "твърдата пръчка".

Силите са насочени по прътите.

Фигура 1.2.1.

Нека освободим точка А от връзките, като заменим действието на връзките с техните реакции. (Фигура 1.2.2)

Нека започнем конструкцията с известна сила, като начертаем векторЕв някакъв мащаб.

От края на вектораЕначертайте линии, успоредни на реакциитеР 1 ИР 2 .

Фигура 1.2.2

Когато линиите се пресичат, те създават триъгълник. (Фигура 1.2.3.). Познавайки мащаба на конструкциите и измервайки дължината на страните на триъгълника, можете да определите големината на реакциите в пръчките.

За по-точни изчисления можете да използвате геометрични връзки, по-специално синусовата теорема: съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е постоянна стойност

За този случай:

Фигура 1.2.3

коментар: Ако посоката на вектора (реакция на свързване) в дадена диаграма и в триъгълника на силите не съвпада, тогава реакцията в диаграмата трябва да бъде насочена в обратна посока.

Пример 2: Определете аналитично големината и посоката на произтичащата равнинна система от събиращи се сили.

Решение:

Фигура 1.2.4

1. Определете проекциите на всички сили на системата върху Ox (Фигура 1.2.4)

Събирайки проекциите алгебрично, получаваме проекцията на резултата върху оста Ox.

Знакът показва, че резултатната е насочена наляво.

2. Определете проекциите на всички сили върху оста Oy:

Събирайки проекциите алгебрично, получаваме проекцията на резултата върху оста Oy.

Знакът показва, че резултатът е насочен надолу.

3. Определете модула на резултата от величините на проекциите:

4. Нека определим стойността на ъгъла на резултата с оста Ox:

и стойността на ъгъла с оста Oy:

Пример 3: Изчислете сумата от моментите на силите спрямо точка O (Фигура 1.2.6).

ОА= AB= IND=DE=CB=2м

Фигура 1.2.6

Решение:

1. Моментът на сила спрямо точка е числено равен на произведението на модула и рамото на силата.

2. Моментът на силата е нула, ако линията на действие на силата минава през точката.

Пример 4: Определете позицията на центъра на тежестта на фигурата, представена на фигура 1.2.7

Решение:

Разделяме фигурата на три:

1-правоъгълник

А 1 =10*20=200см 2

2-триъгълник

А 2 =1/2*10*15=75см 2

3-кръг

А 3 =3,14*3 2 =28,3 см 2

Фигура 1 CG: x 1 =10 см, y 1 =5 см

Фигура 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25см, y 2 =1/3*10=3,3 см

Фигура 3 CG: x 3 =10 см, y 3 =5 см

Определено по подобен начин с =4,5 см

Кинематика: основни понятия.

Основни кинематични параметри

Траектория - линия, която материална точка очертава при движение в пространството. Траекторията може да бъде права или крива, плоска или пространствена.

Уравнение на траекторията за равнинно движение: y =f ( х)

Изминато разстояние. Пътят се измерва по траекторията в посоката на движение. Обозначаване -С, мерните единици са метри.

Уравнение на движение на точка е уравнение, което определя позицията на движеща се точка като функция на времето.

Фигура 2.1

Позицията на точка във всеки момент от времето може да се определи от разстоянието, изминато по траекторията от някаква фиксирана точка, считана за начало (Фигура 2.1). Този метод за уточняване на движение се наричаестествено . По този начин уравнението на движението може да бъде представено като S = f (t).

Фигура 2.2

Позицията на точка може да се определи и ако нейните координати са известни в зависимост от времето (Фигура 2.2). Тогава, в случай на движение в равнина, трябва да се дадат две уравнения:

В случай на пространствено движение се добавя трета координатаz= f 3 ( T)

Този метод за уточняване на движение се наричакоординирам .

Скорост на пътуване е векторна величина, която характеризира този моментскорост и посока на движение по траекторията.

Скоростта е вектор, във всеки момент насочен тангенциално към траекторията към посоката на движение (Фигура 2.3).

Фигура 2.3

Ако една точка измине равни разстояния за равни периоди от време, тогава движението се наричауниформа .

Средна скорост по пътя ΔСдефиниран:

КъдетоΔS- изминато разстояние във времето ΔT; Δ T- времеви интервал.

Ако една точка измине различни пътища за еднакви периоди от време, тогава движението се наричанеравен . В този случай скоростта е променлива величина и зависи от времетоv= f( T)

Скоростта в момента се определя като

Точково ускорение - векторно количество, характеризиращо скоростта на промяна на скоростта по големина и посока.

Скоростта на точка при движение от точка M1 до точка Mg се променя по големина и посока. Средна стойност на ускорението за този период от време

Текущо ускорение:

Обикновено за удобство се разглеждат два взаимно перпендикулярни компонента на ускорението: нормално и тангенциално (Фигура 2.4)

Нормално ускорение a н , характеризира промяната в скоростта по протежение на

посока и се определя като

Нормалното ускорение винаги е насочено перпендикулярно на скоростта към центъра на дъгата.

Фигура 2.4

Тангенциално ускорение а T , характеризира промяната на скоростта по големина и винаги е насочена тангенциално към траекторията; при ускорение посоката му съвпада с посоката на скоростта, а при забавяне е насочена обратно на посоката на вектора на скоростта.

Общата стойност на ускорението се определя като:

Анализ на видовете и кинематичните параметри на движенията

Равномерно движение - това е движение с постоянна скорост:

За направо равномерно движение:

За криволинейно равномерно движение:

Закон за равномерното движение :

Еднакво променливо движение – Това е движение с постоянно тангенциално ускорение:

За праволинейно равномерно движение

За криволинейно равномерно движение:

Закон за равномерното движение:

Кинематични графики

Кинематични графики - Това са графики на промените в пътя, скоростта и ускорението в зависимост от времето.

Равномерно движение (Фигура 2.5)

Фигура 2.5

Еднакво редуващо се движение (Фигура 2.6)

Фигура 2.6

Най-простите движения на твърдо тяло

Движение напред наричаме движението на твърдо тяло, при което всяка права линия на тялото по време на движение остава успоредна на първоначалното си положение (Фигура 2.7)

Фигура 2.7

При постъпателно движение всички точки на тялото се движат еднакво: скоростите и ускоренията са еднакви във всеки момент.

Привъртеливо движение всички точки на тялото описват окръжности около обща неподвижна ос.

Нарича се неподвижната ос, около която се въртят всички точки на тялотоос на въртене.

За описание въртеливо движениемогат да се използват само тела около фиксирана осъглови параметри. (Фигура 2.8)

φ – ъгъл на завъртане на тялото;

ω – ъглова скорост, определя промяната на ъгъла на въртене за единица време;

Промяната в ъгловата скорост във времето се определя от ъгловото ускорение:

2.2. Примери за решаване на практически задачи

Пример 1: Дадено е уравнението на движението на точка. Определете скоростта на точката в края на третата секунда от движението и средната скорост за първите три секунди.

Решение:

1. Уравнение на скоростта

2. Скорост в края на третата секунда (T=3 ° С)

3. Средна скорост

Пример 2: Въз основа на дадения закон за движение определете вида на движението, началната скорост и тангенциалното ускорение на точката и времето за спиране.

Решение:

1. Тип движение: равномерно променливо ()
2. При сравняване на уравненията е очевидно, че

- началният път, изминат преди началото на обратното броене 10m;

- начална скорост 20m/s

- постоянно тангенциално ускорение

- ускорението е отрицателно, следователно движението е бавно, ускорението е насочено в посока, обратна на скоростта на движение.

3. Можете да определите времето, в което скоростта на точката ще бъде нула.

3.Динамика: основни понятия и аксиоми

Динамика – раздел от теоретичната механика, в който се установява връзка между движението на телата и силите, действащи върху тях.

В динамиката се решават два вида задачи:

определя параметри на движение въз основа на дадени сили;

определят силите, действащи върху тялото според дадените кинематични параметри на движение.

Подматериална точка предполагат определено тяло, което има определена маса (т.е. съдържащо определено количество материя), но няма линейни размери (безкрайно малък обем пространство).
Изолиран се счита за материална точка, която не се влияе от други материални точки. В реалния свят изолирани материални точки, като изолирани тела, не съществуват, това понятие е условно.

При постъпателното движение всички точки на тялото се движат еднакво, така че тялото може да се приеме за материална точка.

Ако размерите на тялото са малки спрямо траекторията, то също може да се разглежда като материална точка, като точката съвпада с центъра на тежестта на тялото.

По време на въртеливото движение на тялото точките може да не се движат по същия начин; в този случай някои разпоредби на динамиката могат да се прилагат само към отделни точки, а материалният обект може да се разглежда като колекция от материални точки.

Следователно динамиката се разделя на динамика на точка и динамика на материална система.

Аксиоми на динамиката

Първата аксиома ( принцип на инерцията): в Всяка изолирана материална точка е в състояние на покой или еднородност и праволинейно движениедокато приложените сили не го изведат от това състояние.

Това състояние се нарича състояниеинерция. Изведете точката от това състояние, т.е. Външна сила може да му придаде известно ускорение.

Всяко тяло (точка) имаинерция. Мярката за инерция е телесната маса.

маса Нареченколичеството вещество в обема на тялото, в класическата механика се счита за постоянна величина. Единицата за маса е килограм (kg).

Втора аксиома (Вторият закон на Нютон е основният закон на динамиката)

F=ma

КъдетоT - маса на точката, kg;А - точково ускорение, m/s 2 .

Ускорението, придадено на материална точка от сила, е пропорционално на големината на силата и съвпада с посоката на силата.

Силата на гравитацията действа върху всички тела на Земята, тя придава на тялото ускорение на свободно падане, насочено към центъра на Земята:

G = mg,

Къдетоg- 9,81 m/s², ускорение при свободно падане.

Трета аксиома (трети закон на Нютон): cСилите на взаимодействие между две тела са еднакви по големина и насочени по една и съща права линия в различни посоки.

При взаимодействие ускоренията са обратно пропорционални на масите.

Четвърта аксиома (закон за независимостта на силите): доВсяка сила в система от сили действа така, както би действала самостоятелно.

Ускорението, придадено на точка от система от сили, е равно на геометричната сума от ускоренията, придадени на точката от всяка сила поотделно (Фигура 3.1):

Фигура 3.1

Концепцията за триене. Видове триене.

триене- съпротивление, което възниква, когато едно грапаво тяло се движи по повърхността на друго. Когато телата се плъзгат, възниква триене при плъзгане, а при търкаляне - триене при люлеене.

Триене при плъзгане

Фигура 3.2.

Причината е механичното зацепване на издатините. Силата на съпротивление при движение при плъзгане се нарича сила на триене при плъзгане (Фигура 3.2)

Закони на триенето при плъзгане:

1. Силата на триене при плъзгане е право пропорционална на силата на нормалното налягане:

КъдетоР- нормална сила на натиск, насочена перпендикулярно на опорната повърхност;f- коефициент на триене при плъзгане.

Фигура 3.3.

В случай на движение на тялото по наклонена равнина (Фигура 3.3)

Триене при търкаляне

Съпротивлението при търкаляне е свързано с взаимна деформация на почвата и колелото и е значително по-малко от триенето при плъзгане.

За равномерно търкаляне на колелото е необходимо да се приложи силаЕ дв (Фигура 3.4)

Условието за търкаляне на колелото е движещият момент да не е по-малък от съпротивителния момент:

Фигура 3.4.

Пример 1: Пример 2: Към две материални точки на масам 1 =2 кг им 2 = 5 kg приложени равни сили. Сравнете стойностите на ускорението.

Решение:

Според третата аксиома динамиката на ускорението е обратно пропорционална на масите:

Пример 3: Определете работата, извършена от гравитацията при преместване на товар от точка А до точка С по наклонена равнина (Фигура 3.7). Гравитацията на тялото е 1500N. AB = 6 m, BC = 4 m.Пример 3: Определете работата, извършена от силата на рязане за 3 минути. Скоростта на въртене на детайла е 120 rpm, диаметърът на детайла е 40 mm, силата на рязане е 1 kN. (Фигура 3.8)

Решение:

1. Ротари работа:

2. Ъглова скорост 120 об/мин

Фигура 3.8.

3. Броят на оборотите за дадено време еz=120*3=360 об.

Ъгъл на завъртане през това време φ=2πz=2*3,14*360=2261рад

4. Работете на 3 оборота:У=1*0,02*2261=45,2 kJ

Библиография

Олофинская, В.П. "Техническа механика", Москва "Форум" 2011 г.

Ердеди А.А. Ердеди Н.А. Теоретична механика. Съпротивление на материалите.- Р-н-Д; Финикс, 2010 г

1 слайд

Курс на лекции по теоретична механика Динамика (част I) Бондаренко A.N. Москва - 2007 г. Електронният курс за обучение е написан на базата на лекции, изнесени от автора за студенти, обучаващи се по специалностите на SZhD, PGS и SDM в NIIZhT и MIIT (1974-2006). Учебен материалотговаря календарни плановеза три семестъра. За да приложите напълно анимационни ефекти по време на презентация, трябва да използвате програма за преглед на Power Point не по-ниска от тази, вградена в Microsoft Office на операционната система Windows XP Professional. Коментари и предложения можете да изпращате на имейл: [имейл защитен]. Москва Държавен университетЖелезници (MIIT) Департамент по теоретична механика Научно-технически център за транспортни технологии

2 слайд

Съдържание Лекция 1. Въведение в динамиката. Закони и аксиоми на динамиката на материална точка. Основно уравнение на динамиката. Диференциални и естествени уравнения на движението. Два основни проблема на динамиката. Примери за решаване на пряка задача на динамиката Лекция 2. Решение обратна задачависокоговорители. Общи указания за решаване на обратната задача на динамиката. Примери за решаване на обратната задача на динамиката. Движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонталата, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Лекция 3. Праволинейни трептения на материална точка. Условие за възникване на трептения. Класификация на вибрациите. Свободни вибрации без отчитане на съпротивителните сили. Затихващи трептения. Декремент на трептенията. Лекция 4. Принудени трептения на материална точка. Резонанс. Влиянието на съпротивлението на движение по време на принудителни вибрации. Лекция 5. Относително движение на материална точка. Инерционни сили. Специални случаи на движение за различни видове преносими движения. Влиянието на въртенето на Земята върху равновесието и движението на телата. Лекция 6. Динамика на механична система. Механична система. Външни и вътрешни сили. Център на масата на системата. Теорема за движението на центъра на масата. Закони за опазване. Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за движението на центъра на масата. Лекция 7. Силов импулс. Количество движение. Теорема за промяната на импулса. Закони за опазване. Теорема на Ойлер. Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за промяната на импулса. Импулс. Теорема за промяната на ъгловия момент Лекция 8. Закони за запазване. Елементи на теорията на инерционните моменти. Кинетичен момент на твърдо тяло. Диференциално уравнение за въртене на твърдо тяло. Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за промяната на ъгловия момент на системата. Елементарна теория на жироскопа. Препоръчителна литература 1. Yablonsky A.A. Курс по теоретична механика. Част 2. М.: висше училище. 1977 368 стр. 2. Мещерски И.В. Сборник задачи по теоретична механика. М.: Наука. 1986 416 стр. 3. Сборник задачи за курсова работа/Ред. А.А. Яблонски. М.: Висше училище. 1985 366 стр. 4. Бондаренко A.N. “Теоретична механика в примери и задачи. Динамика” (електронно ръководство www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 г.

3 слайд

Лекция 1 Динамиката е раздел от теоретичната механика, който изучава механичното движение от най-обща гледна точка. Движението се разглежда във връзка със силите, действащи върху даден обект. Разделът се състои от три раздела: Динамика на материална точка Динамика Динамика на механична система Аналитична механика ■ Динамика на точка – изучава движението на материална точка, като се вземат предвид силите, предизвикващи това движение. Основният обект е материална точка - материално тяло с маса, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати. Основни допускания: – има абсолютно пространство (има чисто геометрични свойства, които не зависят от материята и нейното движение. – има абсолютно време (независимо от материята и нейното движение). От това следва: – има абсолютно неподвижна рамка на справка – времето не зависи от движението на референтната система – масите на движещите се точки не зависят от движението на референтната система Тези предположения се използват в класическата механика, създадена от Галилей и Нютон Тя все още има доста широк обхват на приложение, тъй като механичните системи, разглеждани в приложните науки, нямат толкова големи маси и скорости на движение, за които е необходимо да се вземе предвид тяхното влияние върху геометрията на пространството, времето, движението, както се прави в релативистката механика (теория на относителността).■ Основни закони на динамиката - открити за първи път от Галилей и формулирани от Нютон формират основата на всички методи за описание и анализ на движението на механичните системи и тяхното динамично взаимодействие под въздействието на различни сили. ■ Закон за инерцията (закон на Галилео-Нютон) – Изолирана материална точка, тяло, поддържа своето състояние на покой или равномерно линейно движение, докато приложените сили не го принудят да промени това състояние. Това предполага еквивалентност на състоянието на покой и движение по инерция (законът на относителността на Галилей). Отправната система, по отношение на която е в сила закона за инерцията, се нарича инерционна. Свойството на материалната точка да се стреми да поддържа постоянна скоростта на своето движение (кинематичното й състояние) се нарича инерция. ■ Закон за пропорционалност на силата и ускорението (Основно уравнение на динамиката - закон на Нютон II) – Ускорението, придадено на материална точка от сила, е право пропорционално на силата и обратно пропорционално на масата на тази точка: или Тук m е маса на точката (мярка за инерция), измерена в kg, числено равно тегло, разделено на ускорението, дължащо се на гравитацията: F е действащата сила, измерена в N (1 N придава ускорение от 1 m/s2 на точка с тегло 1 кг, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Динамика на механична система - изучава движението на съвкупност от материални точки и твърди тела, обединени от общи закони на взаимодействие, като се отчитат силите, предизвикващи това движение. ■ Аналитична механика – изучава движението на ограничени механични системи с помощта на общи аналитични методи. 1

4 слайд

Лекция 1 (продължение – 1.2) Диференциални уравнения на движение на материална точка: - диференциално уравнение на движение на точка във векторна форма. - диференциални уравнения на движение на точка в координатна форма. Този резултат може да бъде получен чрез формално проектиране на векторното диференциално уравнение (1). След групирането векторната връзка се разпада на три скаларни уравнения: В координатна форма: Използваме връзката между радиус вектора с координати и вектора на силата с проекции: или: Заменяме ускорението на точка с векторно движение, определено в основно уравнение на динамиката: Естествените уравнения на движение на материална точка се получават чрез проектиране на векторното диференциално уравнение на движение върху естествени (подвижни) координатни оси: или: - естествени уравнения на движение на точка. ■ Основно уравнение на динамиката: - съответства на векторния метод за определяне на движението на точка. ■ Закон за независимост на действието на силите - Ускорението на материална точка под действието на няколко сили е равно на геометричната сума на ускоренията на точката от действието на всяка от силите поотделно: или Законът е валиден за всяко кинематично състояние на телата. Силите на взаимодействие, прилагани към различни точки (тела), не са балансирани. ■ Закон за равенство на действието и реакцията (трети закон на Нютон) – Всяко действие съответства на еднаква по големина и противоположно насочена реакция: 2

5 слайд

Две основни задачи на динамиката: 1. Пряка задача: Дадено е движение (уравнения на движение, траектория). Необходимо е да се определят силите, под въздействието на които възниква дадено движение. 2. Обратна задача: Дадени са силите, под въздействието на които възниква движението. Необходимо е да се намерят параметрите на движение (уравнения на движение, траектория на движение). И двете задачи се решават с помощта на основното уравнение на динамиката и неговата проекция върху координатните оси. Ако се разглежда движението на несвободна точка, тогава, както в статиката, се използва принципът на освобождаване от връзки. В резултат на това реакциите на връзките се включват в силите, действащи върху материалната точка. Решението на първия проблем е свързано с операциите за диференциране. Решаването на обратната задача изисква интегриране на съответните диференциални уравнения и това е много по-трудно от диференцирането. Обратната задача е по-трудна от директната задача. Нека да разгледаме решението на директния проблем за динамиката, като използваме примери: Пример 1. Асансьорна кабина с тегло G се повдига с кабел с ускорение a. Определете напрежението на кабела. 1. Изберете обект (кабината на асансьора се движи постъпателно и може да се разглежда като материална точка). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакцията R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: Определете реакцията на кабела: Определете напрежението на кабела: При равномерно движение на кабината, ay = 0 и напрежението на кабела е равно на теглото: T = G. Ако кабелът се скъса, T = 0 и ускорението на кабината е равно на ускорението на гравитацията: ay = -g. 3 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: y Пример 2. Точка с маса m се движи по хоризонтална повърхност (равнина Oxy) съгласно уравненията: x = a coskt, y = b coskt. Определете силата, действаща върху точката. 1. Изберете обект (материална точка). 2. Изхвърляме връзката (равнината) и я заместваме с реакция N. 3. Към системата от сили добавяме неизвестна сила F. 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оси x,y: Определяме проекциите на силата: Модул на сила: Косинуси на посоката: По този начин големината на силата е пропорционална на разстоянието на точката до центъра на координатите и е насочена към центъра по линията, свързваща точката с центъра . Траекторията на точка е елипса с център в началото: O r Лекция 1 (продължение – 1.3)

6 слайд

Лекция 1 (продължение 1.4) Пример 3: Товар с тегло G е окачен на кабел с дължина l и се движи по кръгова траектория в хоризонтална равнина с определена скорост. Ъгълът на отклонение на кабела от вертикалата е равен. Определете напрежението на кабела и скоростта на товара. 1. Изберете обект (товар). 2. Изхвърляме връзката (кабела) и я заменяме с реакция R. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: От третото уравнение определяме реакцията на кабела: Определяме напрежението на кабела: Заменяме стойността на реакцията на кабела, нормалното ускорение във второто уравнение и определяме скоростта на товара: 4. Проектираме главното уравнение за динамиката върху оста,n,b: Пример 4: Автомобил с тегло G се движи по изпъкнал мост (радиус на кривина равен на R) със скорост V. Определете натиска на автомобила върху моста. 1. Изберете обект (автомобил, пренебрегнете размерите и го считайте за точка). 2. Изхвърляме връзката (грапава повърхност) и я заменяме с реакции N и сила на триене Ftr. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста n: От тук определяме нормалната реакция: Определяме натиска на автомобила върху моста: От тук можем да определим скоростта съответстващо на нулево налягане върху моста (Q = 0): 4

7 слайд

Лекция 2 След като заместим намерените стойности на константите, получаваме: По този начин, под въздействието на една и съща система от сили, материална точка може да извърши цял клас движения, определени от началните условия. Началните координати отчитат началната позиция на точката. Началната скорост, определена от проекциите, отчита влиянието върху нейното движение по разглеждания участък от траекторията на силите, действащи върху точката преди пристигането в този участък, т.е. начално кинематично състояние. Решение на обратната задача на динамиката - В общия случай на движение на точка, силите, действащи върху точката, са променливи в зависимост от времето, координатите и скоростта. Движението на точка се описва със система от три диференциални уравнения от втори ред: След интегрирането на всяко от тях ще има шест константи C1, C2,…., C6: Стойностите на константите C1, C2,…. , C6 се намират от шест начални условия при t = 0: Пример 1 решение обратна задача: Свободна материална точка с маса m се движи под действието на сила F, постоянна по модул и големина. . В началния момент скоростта на точката е v0 и съвпада по посока със силата. Определете уравнението на движение на точка. 1. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Понижаваме реда на производната: 2. Избираме декартова отправна система, насочвайки оста x по посока на силата и проектираме основното уравнение на динамиката върху тази ос : или x y z 4. Разделяме променливите: 5. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 6. Нека си представим проекцията на скоростта като производна на координатата по отношение на времето: 8. Изчисляваме интегралите на двете страни на уравнението: 7. Разделяме променливите: 9. За да определим стойностите на константите C1 и C2, използваме началните условия t = 0, vx = v0, x = x0: В резултат на това получаваме уравнението на равномерно редуващо се движение (по оста x): 5

8 слайд

Общи указания за решаване на прави и обратни задачи. Процедура за решаване: 1. Съставяне на диференциално уравнение на движението: 1.1. Изберете координатна система - правоъгълна (неподвижна) за неизвестна траектория, естествена (подвижна) за известна траектория, например кръг или права линия. В последния случай можете да използвате една праволинейна координата. Референтната точка трябва да бъде подравнена с началната позиция на точката (при t = 0) или с равновесното положение на точката, ако съществува, например, когато точката осцилира. 6 1.2. Начертайте точка в позиция, съответстваща на произволен момент от времето (при t > 0), така че координатите да са положителни (s > 0, x > 0). В същото време ние също вярваме, че проекцията на скоростта в тази позиция също е положителна. В случай на трептене проекцията на скоростта променя знака, например при връщане в равновесно положение. Тук трябва да се приеме, че в разглеждания момент точката се отдалечава от равновесното положение. Следването на тази препоръка е важно в бъдеще, когато работите със съпротивителни сили, които зависят от скоростта. 1.3. Освободете материалната точка от връзките, заменете техните действия с реакции, добавете активни сили. 1.4. Запишете основния закон на динамиката във векторна форма, проектирайте го върху избраните оси, изразете зададените или реактивни сили чрез променливите време, координати или скорости, ако зависят от тях. 2. Решаване на диференциални уравнения: 2.1. Намалете производната, ако уравнението не се редуцира до канонична (стандартна) форма. например: или 2.2. Отделни променливи, например: или 2.4. Не изчислявайте определени интегралиот лявата и дясната страна на уравнението, например: 2.3. Ако в уравнението има три променливи, тогава направете промяна на променливите, например: и след това разделете променливите. Коментирайте. Вместо да пресмятате неопределени интеграливъзможно е да се оценят определени интеграли с променлива горна граница. Долните граници представляват началните стойности на променливите (началните условия).Тогава няма нужда отделно да се намира константа, която автоматично се включва в решението, например: Използвайки началните условия, например, t = 0 , vx = vx0, определете константата на интегриране: 2.5. Изразете скоростта чрез производната на координатата по отношение на времето например и повторете параграфи 2.2 -2.4 Забележка. Ако уравнението се сведе до канонична форма, която има стандартно решение, тогава се използва това готово решение. Интеграционните константи все още се намират от началните условия. Вижте например трептенията (лекция 4, стр. 8). Лекция 2 (продължение 2.2)

Слайд 9

Лекция 2 (продължение 2.3) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от времето. Товар с тегло P започва да се движи по гладка хоризонтална повърхност под въздействието на сила F, чиято величина е пропорционална на времето (F = kt). Определете разстоянието, изминато от товара за време t. 3. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Понижаваме реда на производната: 4. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста x: или 7 6. Разделяме променливите: 7. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 9. Представяме си проекцията на скоростта като производна на координатата по отношение на времето: 10. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 9. Разделяме променливите: 8. Определяме стойността на константата C1 от началното условие t = 0, vx = v0=0: В резултат на това получаваме уравнението на движението (по оста x), което дава стойността на изминатото разстояние за време t: 1 , Избираме отправна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Вземаме обекта на движение като материална точка (тялото се движи транслационно), освобождаваме го от връзката (референтната равнина) и заместваме то с реакция (нормалната реакция на гладка повърхност): 11. Определете стойността на константата C2 от началното условие t = 0, x = x0=0: Пример 3 за решаване на обратната задача: Силата зависи от координирам. Материална точка с маса m се изхвърля нагоре от повърхността на Земята със скорост v0. Силата на гравитацията на Земята е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието от точка до центъра на тежестта (центъра на Земята). Определете зависимостта на скоростта от разстоянието y до центъра на Земята. 1. Избираме отправна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Съставяме основното уравнение на динамиката: 3. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста y: или Коефициентът на пропорционалност може да се намери с помощта на теглото на точка от повърхността на Земята: R Следователно диференциалът уравнението има формата: или 4. Понижаваме реда на производната: 5. Правим промяна на променлива: 6. Разделяме променливите : 7. Изчисляваме интегралите от двете страни на уравнението: 8. Заменяме границите: В резултат на това получаваме израз за скоростта като функция на y координатата: Максималната височина на полета може да се намери чрез приравняване на скоростта до нула: Максимална височинаполет, когато знаменателят отива на нула: Следователно, когато задаваме радиуса на Земята и ускорението на гравитацията, получаваме скорост на бягство II:

10 слайд

Лекция 2 (продължение 2.4) Пример 2 за решаване на обратната задача: Силата зависи от скоростта. Плавателен съд с маса m е имал скорост v0. Съпротивлението на водата при движението на плавателния съд е пропорционално на скоростта. Определете времето, през което скоростта на кораба ще спадне наполовина след изключване на двигателя, както и разстоянието, изминато от кораба до пълното му спиране. 8 1. Избираме референтна система (декартови координати), така че тялото да има положителна координата: 2. Вземаме обекта на движение като материална точка (корабът се движи транслационно), освобождаваме го от връзки (вода) и го заместваме с реакция (плаваща сила - силата на Архимед), а също и силата на съпротивление при движение. 3. Добавете активна сила (гравитация). 4. Съставяме основното уравнение на динамиката: 5. Проектираме основното уравнение на динамиката върху оста x: или 6. Понижаваме реда на производната: 7. Разделяме променливите: 8. Изчисляваме интегралите на двете страни на уравнението: 9. Заменяме границите: Получава се израз, който свързва скоростта и времето t, от което можете да определите времето на движение: Време на движение, през което скоростта ще падне наполовина: Интересно е да имайте предвид, че когато скоростта се доближава до нула, времето на движение клони към безкрайност, т.е. крайната скорост не може да бъде нула. Защо не „вечно движение“? Изминатото разстояние до спирката обаче е крайна стойност. За да определим изминатото разстояние, се обръщаме към израза, получен след понижаване реда на производната и извършваме промяна на променливата: След интегриране и заместване на границите, получаваме: Изминато разстояние до спиране: ■ Движението на точка, хвърлена в ъгъл спрямо хоризонта в равномерно гравитационно поле, без да се взема предвид съпротивлението на въздуха. Елиминирайки времето от уравненията на движението, получаваме уравнението на траекторията: Времето на полета се определя чрез приравняване на координатата y на нула: Диапазонът на полета се определя чрез заместване времето на полета:

11 слайд

Лекция 3 Праволинейни трептения на материална точка - Осцилаторното движение на материална точка възниква при условие: има възстановяваща сила, която се стреми да върне точката в равновесно положение при всяко отклонение от това положение. 9 Има възстановяваща сила, равновесното положение е стабилно Няма възстановяваща сила, равновесното положение е нестабилно Няма възстановяваща сила, равновесното положение е безразлично Има възстановяваща сила, равновесното положение е стабилно Необходим е анализ Еластичността силата на пружина е пример за линейна възстановяваща сила. Винаги насочен към равновесното положение, стойността е право пропорционална на линейното удължение (скъсяване) на пружината, равно на отклонението на тялото от равновесното положение: c е коефициентът на твърдост на пружината, числено равен на силата под въздействието от които пружината променя дължината си с единица, измерена в N/m в системата SI. x y O Видове вибрации на материална точка: 1. Свободни вибрации (без да се отчита съпротивлението на средата). 2. Свободни трептения с отчитане на съпротивлението на средата (затихващи трептения). 3. Принудени вибрации. 4. Принудени вибрации с отчитане на съпротивлението на средата. ■ Свободни вибрации – възникват само под въздействието на възстановяваща сила. Нека запишем основния закон на динамиката: Нека изберем координатна система с център в позицията на равновесие (точка O) и проектираме уравнението върху оста x: Нека приведем полученото уравнение в стандартната (канонична) форма: Това уравнение е хомогенно линейно диференциално уравнение от втори ред, чийто тип решение се определя от корените на характеристичното уравнение, получено чрез универсално заместване: Корените на характеристичното уравнение са въображаеми и равни: Общото решение на диференциалното уравнение има формата: Скорост на точката: Начални условия: Определете константите: И така, уравнението на свободните трептения има формата: Уравнението може да бъде представено чрез едночленен израз: където a е амплитудата, - начална фаза . Новите константи a и - са свързани с константните отношения C1 и C2: Нека дефинираме a и: Причината за свободните трептения е първоначалното преместване x0 и/или началната скорост v0.

12 слайд

10 Лекция 3 (продължение 3.2) Затихнали трептения на материална точка – Осцилаторното движение на материална точка възниква при наличието на възстановяваща сила и сила на съпротивление на движението. Определя се зависимостта на силата на съпротивление на движение от преместването или скоростта физическа природасреда или връзка, която възпрепятства движението. Най-простата зависимост е линейна зависимост от скоростта (вискозно съпротивление): - коефициент на вискозитет x y O Основно уравнение на динамиката: Проекция на уравнението на динамиката върху оста: Нека приведем уравнението в стандартната форма: където Характеристичното уравнение има корени : Общото решение на това диференциално уравнение има различна форма в зависимост от стойностите на корените: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затихващи трептения: Период: T* Декремент на трептене: ai ai+1 Декремент на логаритмично трептене: Затихването на трептенията става много бързо. Основният ефект от силата на вискозното съпротивление е намаляването на амплитудата на трептенията с течение на времето. 2. n > k – случай на голямо вискозно съпротивление: - корените са истински, различни. или - тези функции са апериодични: 3. n = k: - корените са реални, кратни. тези функции също са апериодични:

Слайд 13

Лекция 3 (продължение 3.3) Класификация на разтвори на свободни вибрации. Методи за свързване на пружини. Еквивалентна твърдост. y 11 Разл. Характерно уравнение. уравнение Корени на характера. уравнения Решение на диференциално уравнение Графика nk n=k

Слайд 14

Лекция 4 Принудени трептения на материална точка - Наред с възстановяващата сила действа и периодично изменяща се сила, наречена смущаваща сила. Смущаващата сила може да бъде различно естество. Например, в конкретен случай, инерционното действие на небалансираната маса m1 на въртящ се ротор причинява хармонично променящи се проекции на сила: Основно уравнение на динамиката: Проекция на уравнението на динамиката върху оста: Нека редуцираме уравнението до стандартна форма : 12 Решението на това нехомогенно диференциално уравнение се състои от две части x = x1 + x2: x1 е общото решение на съответното хомогенно уравнение и x2 е частното решение на нехомогенното уравнение: Избираме конкретно решение под формата на дясна страна: Полученото равенство трябва да бъде изпълнено за всяко t. Тогава: или По този начин, с едновременно действие на възстановяващи и смущаващи сили, материалната точка извършва комплекс трептящо движение, което е резултат от събирането (суперпозицията) на свободни (x1) и принудени (x2) трептения. Ако p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (принудителни трептения с висока честота), тогава фазата на трептенията е противоположна на фазата на смущаващата сила:

15 слайд

Лекция 4 (продължение 4.2) 13 Динамичен коефициент - съотношение на амплитудата принудени трептениякъм статичното отклонение на точка под действието на постоянна сила H = const: Амплитуда на принудените трептения: Статичното отклонение може да се намери от уравнението за равновесие: Тук: От тук: Така при p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (висока честота на принудените трептения) динамичен коефициент: Резонанс - възниква, когато честотата на принудените трептения съвпада с честотата на собствените трептения (p = k). Най-често това се случва при стартиране и спиране на въртенето на лошо балансирани ротори, монтирани на еластични окачвания. Диференциално уравнение на трептения с равни честоти: Не може да се вземе конкретно решение във формата на дясната страна, т.к. получавате линейно зависимо решение (вижте общо решение). Общо решение: Заместете в диференциалното уравнение: Вземете определено решение във формата и изчислете производните: Така се получава решението: или Принудените трептения по време на резонанс имат амплитуда, която нараства неограничено пропорционално на времето. Влиянието на съпротивлението на движение по време на принудителни вибрации. Диференциалното уравнение при наличие на вискозно съпротивление има формата: Общото решение се избира от таблицата (лекция 3, стр. 11) в зависимост от съотношението на n и k (виж). Нека вземем частичното решение във формата и изчислим производните: Заместване в диференциалното уравнение: Приравняване на коефициентите за същото тригонометрични функцииполучаваме система от уравнения: Като повдигнем и двете уравнения на степен и ги добавим, получаваме амплитудата на принудените трептения: Като разделим второто уравнение на първото, получаваме фазовото изместване на принудените трептения: По този начин уравнението на движението за принудени трептения, като се вземе предвид съпротивлението на движение, например при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 слайд

Лекция 5 Относително движение на материална точка – Да приемем, че подвижната (неинерциална) координатна система Oxyz се движи по определен закон спрямо неподвижната (инерциална) координатна система O1x1y1z1. Движението на материалната точка M (x, y, z) спрямо движещата се система Oxyz е относително, спрямо неподвижната система O1x1y1z1 е абсолютно. Движението на мобилната система Oxyz спрямо неподвижната система O1x1y1z1 е преносимо движение. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Основно уравнение на динамиката: Абсолютно ускорение на точка: Нека заместим абсолютното ускорение на точка в основното уравнение на динамиката: Нека преместим членовете с преносимото и Кориолисовото ускорение в дясната страна: Прехвърлените членове имат размерността на силите и се считат за съответните инерционни сили, равни: Тогава относителното движение на точка може да се счита за абсолютно, ако добавим преносимите и Кориолисови инерционни сили към действащите сили: В проекции върху оста на подвижната координатна система имаме: Специални случаи на относителното движение на точка за различни видове преносимо движение: 1. Въртене около фиксирана ос: Ако въртенето е равномерно, тогава εe = 0: 2. Транслационно криволинейно движение: Ако движението е праволинейно, тогава =: Ако движението е праволинейно и равномерно, тогава движещата се система е инерционна и относителното движение може да се счита за абсолютно: никакви механични явления не могат да открият праволинейно равномерно движение (принцип на относителността класическа механика). Влиянието на въртенето на Земята върху равновесието на телата - Да приемем, че тялото е в равновесие на земната повърхност на произволна географска ширина φ (паралел). Земята се върти около оста си от запад на изток с ъглова скорост: Радиусът на Земята е около 6370 km. S R – обща реакция на негладка повърхност. G е силата на привличане на Земята към центъра. F – центробежна сила на инерция. Условие на относително равновесие: Резултатът от силите на привличане и инерция е силата на гравитацията (теглото): Големината на силата на гравитацията (теглото) върху повърхността на Земята е P = mg. Центробежната сила на инерцията е малка част от силата на гравитацията: Отклонението на силата на гравитацията от посоката на силата на привличане също е малко: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху равновесието на телата е изключително малък и не се взема предвид в практическите изчисления. Максималната стойност на инерционната сила (при φ = 0 - на екватора) е само 0,00343 от силата на гравитацията

Слайд 17

Лекция 5 (продължение 5.2) 15 Влиянието на въртенето на Земята върху движението на телата в гравитационното поле на Земята – Да приемем, че тяло пада върху Земята от определена височина H над земната повърхност на ширина φ. Нека изберем подвижна референтна система, твърдо свързана със Земята, насочваща осите x, y тангенциално към паралела и към меридиана: Уравнение на относителното движение: Тук се взема предвид дребността центробежна силаинерция в сравнение с гравитацията. Така силата на гравитацията се идентифицира със силата на гравитацията. В допълнение, ние вярваме, че силата на гравитацията е насочена перпендикулярно на повърхността на Земята поради малкото й отклонение, както беше обсъдено по-горе. Ускорението на Кориолис е равно и насочено успоредно на оста y на запад. Инерционната сила на Кориолис е насочена в обратна посока. Нека проектираме уравнението на относителното движение върху оста: Решението на първото уравнение дава: Начални условия: Решението на третото уравнение дава: Начални условия: Третото уравнение приема формата: Начални условия: Неговото решение дава: Полученото решение показва, че тялото се отклонява на изток при падане. Нека изчислим големината на това отклонение, например при падане от височина 100 м. Ще намерим времето на падане от решението на второто уравнение: По този начин влиянието на въртенето на Земята върху движението на телата е изключително малко за практически височини и скорости и не се взема предвид в техническите изчисления. От решението на второто уравнение също следва наличието на скорост по оста y, която също би трябвало да причинява и причинява съответното ускорение и инерционната сила на Кориолис. Влиянието на тази скорост и свързаната с нея инерционна сила върху промяната в движението ще бъде дори по-малко от разглежданата инерционна сила на Кориолис, свързана с вертикалната скорост.

18 слайд

Лекция 6 Динамика на механична система. Система от материални точки или механична система - Набор от материални точки или материални такива, обединени от общи закони на взаимодействие (позицията или движението на всяка точка или тяло зависи от позицията и движението на всички останали) Система от свободни точки - чието движение не е ограничено от никакви връзки (например планетарна система, в която планетите се считат за материални точки). Система от несвободни точки или несвободна механична система - движението на материални точки или тела е ограничено от връзки, наложени на системата (например механизъм, машина и др.). 16 Сили, действащи върху системата. В допълнение към предишната класификация на силите (активни и реактивни сили) се въвежда нова класификация на силите: 1. Външни сили (e) - действащи върху точки и тела на системата от точки или тела, които не са част от тази система. 2. Вътрешни сили (i) – сили на взаимодействие между материални точки или тела, включени в дадена система. Една и съща сила може да бъде както външна, така и вътрешна сила. Всичко зависи от това какъв вид механична система се разглежда. Например: В системата на Слънцето, Земята и Луната всички гравитационни сили между тях са вътрешни. Когато разглеждаме системата Земя и Луна, гравитационните сили, приложени от Слънцето, са външни: C Z L Въз основа на закона за действие и реакция, всяка вътрешна сила Fk съответства на друга вътрешна сила Fk’, равна по големина и противоположна по посока. Две забележителни свойства на вътрешните сили следват от това: Главният вектор на всички вътрешни сили на системата е равен на нула: Главният момент на всички вътрешни сили на системата спрямо всеки център е равен на нула: Или в проекции върху координатата оси: Забележка. Въпреки че тези уравнения са подобни на уравненията на равновесието, те не са уравнения на равновесие, тъй като вътрешните сили се прилагат към различни точки или тела на системата и могат да накарат тези точки (тела) да се движат едно спрямо друго. От тези уравнения следва, че вътрешните сили не влияят върху движението на системата, разглеждана като цяло. Център на масата на система от материални точки. За да се опише движението на системата като цяло, се въвежда геометрична точка, наречена център на масата, чийто радиус-вектор се определя от израза, където M е масата на цялата система: Или в проекции върху координатната оси: Формулите за центъра на масата са подобни на формулите за центъра на тежестта. Понятието център на масата обаче е по-общо, тъй като не е свързано с гравитационните сили или гравитационните сили.

Слайд 19

Лекция 6 (продължение 6.2) 17 Теорема за движението на центъра на масата на система – Да разгледаме система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултанти Fke и Fki. Нека запишем основното уравнение на динамиката за всяка точка: или Нека сумираме тези уравнения за всички точки: От лявата страна на уравнението въведете масите под знака на производната и заменете сумата от производните с производната на сума: От дефиницията на центъра на масата: Заместете в полученото уравнение: След като извадим масата на системата от знака на производната, получаваме или: Произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на маса е равен на главния вектор на външните сили. В проекции върху координатни оси: Центърът на масата на системата се движи като материална точка с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилагат всички външни сили, действащи върху системата. Следствия от теоремата за движението на центъра на масата на системата (закони за запазване): 1. Ако в интервала от време главният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, то скоростта на центъра на масата е постоянна, vC = const (центърът на масата се движи равномерно праволинейно - законът за запазване на центъра на движение на масата). 2. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е нула, Rxe = 0, тогава скоростта на центъра на масата по оста x е постоянна, vCx = const ( центърът на масата се движи равномерно по оста). Подобни твърдения са верни за осите y и z. Пример: Двама души с маси m1 и m2 са в лодка с маса m3. В началния момент лодката с хора е била в покой. Определете водоизместването на лодката, ако човек с маса m2 се придвижи до носа на лодката на разстояние a. 3. Ако в интервала от време основният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата е нула, vC = 0, тогава радиус векторът на центъра на масата остава постоянна, rC = const (центърът на масата е в покой – закон за запазване на позицията на центъра на масата). 4. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е нула, Rxe = 0, а в началния момент скоростта на центъра на масата по тази ос е нула, vCx = 0, тогава координатата на центъра на масата по оста x остава постоянна, xC = const (центърът на масата не се движи по тази ос). Подобни твърдения са верни за осите y и z. 1. Обект на движение (лодка с хора): 2. Изхвърлете връзките (вода): 3. Заменете връзката с реакция: 4. Добавете активни сили: 5. Напишете теоремата за центъра на масата: Проектирайте върху оста x: O Определете колко разстояние трябва да се придвижите до човек с маса m1, така че лодката да остане на място: Лодката ще се премести на разстояние l в обратна посока.

20 слайд

Лекция 7 Силовият импулс е мярка за механично взаимодействие, която характеризира предаването на механичното движение от силите, действащи върху дадена точка за даден период от време: 18 В проекции върху координатните оси: В случай на постоянна сила: В проекции върху координатните оси: Полученият импулс е равен на геометричната сума на приложените импулси към точката на силите за същия период от време: Умножете по dt: Интегрирайте за даден период от време: Импулсът на точка е мярка за механично движение, определено от вектор, равен на произведението на масата на точка и вектора на нейната скорост: Теорема за промяната на импулса на система - Да разгледаме система n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултанти Fke и Fki. Нека запишем за всяка точка основното уравнение на динамиката: или Импулсът на система от материални точки е геометричната сума на количествата на движение на материалните точки: По дефиниция на центъра на масата: Импулсният вектор на системата е равна на произведението на масата на цялата система от вектора на скоростта на центъра на масата на системата. Тогава: В проекции върху координатните оси: Производната по време на вектора на импулса на системата е равна на главния вектор на външните сили на системата. Нека обобщим тези уравнения по всички точки: От лявата страна на уравнението въведете масите под знака на производната и заменете сумата на производните с производната на сумата: От дефиницията на импулса на системата: В проекции върху координатните оси:

21 слайда

Теорема на Ойлер - Приложение на теоремата за промяната на импулса на система към движението на непрекъсната среда (вода). 1. Избираме като обект на движение обема вода, намиращ се в криволинейния канал на турбината: 2. Изхвърляме връзките и заменяме действието им с реакции (Rsur е резултантната на повърхностните сили) 3. Добавяме активни сили ( Rob е резултантната на обемните сили): 4. Записваме теоремата за промяната в импулса на системата: Представяме импулса на водата в моменти t0 и t1 като суми: Промяна в импулса на водата в интервала от време: Промяна в импулса на водата за безкрайно малък интервал от време dt: , където F1 F2 Като вземем произведението от плътност, площ на напречното сечение и скорост за втората маса, получаваме: Замествайки диференциала на импулса на системата в теоремата за промяната, получаваме: Следствия от теоремата за изменението на импулса на системата (закони за запазване): 1. Ако в интервала от време главният вектор на външните сили на системата е нула, Re = 0, то движението на вектора на величината е постоянно, Q = const – законът за запазване на импулса на системата). 2. Ако в интервала от време проекцията на главния вектор на външните сили на системата върху оста x е нула, Rxe = 0, тогава проекцията на импулса на системата върху оста x е постоянна, Qx = const . Подобни твърдения са верни за осите y и z. Лекция 7 (продължение от 7.2) Пример: Граната с маса M, летяща със скорост v, експлодира на две части. Скоростта на един от фрагментите с маса m1 нараства по посока на движението до стойност v1. Определете скоростта на втория фрагмент. 1. Обект на движение (граната): 2. Обектът е свободна система, няма връзки и техните реакции. 3. Добавете активни сили: 4. Напишете теоремата за промяната на импулса: Проектирайте върху оста: β Разделете променливите и интегрирайте: Десният интеграл е практически равен на нула, тъй като време на експлозия t

22 слайд

Лекция 7 (продължение 7.3) 20 Ъгловият импулс на точка или ъгловият импулс на точка спрямо някакъв център е мярка за механично движение, определено от вектор, равен на векторното произведение на радиус вектора на материална точка и вектора на неговия импулс: Ъгловият импулс на система от материални точки спрямо някакъв център е геометрична сумата от ъгловия импулс на всички материални точки спрямо същия център: В проекции на оста: В проекции на оста: Теорема за промяна ъгловият импулс на системата – Да разгледаме система от n материални точки. Разделяме силите, приложени към всяка точка, на външни и вътрешни и ги заместваме със съответните резултанти Fke и Fki. Нека запишем основното уравнение на динамиката за всяка точка: или Нека сумираме тези уравнения по всички точки: Нека заменим сумата от производните с производната на сумата: Изразът в скоби е ъгловият момент на системата. Следователно: Нека векторно умножим всяко от равенствата по радиус вектора отляво: Да видим дали е възможно да преместим знака на производната извън векторния продукт: Така получаваме: Производната на вектора на ъгловия момент на системата спрямо някакъв център е равен по време на главния момент на външните сили на системата спрямо същия център. В проекции върху координатни оси: Производната на момента на импулса на системата спрямо дадена ос във времето е равна на главния момент на външните сили на системата спрямо същата ос.

Слайд 23

Лекция 8 21 ■ Следствия от теоремата за промяната на ъгловия момент на системата (закони за запазване): 1. Ако в интервал от време векторът на главния момент на външните сили на системата спрямо някакъв център е нула, MOe = 0, тогава векторът на ъгловия момент на системата спрямо същата централна константа, KO = const – законът за запазване на ъгловия момент на системата). 2. Ако в интервала от време Основната точкавъншни сили на системата спрямо оста x е нула, Mxe = 0, тогава ъгловият момент на системата спрямо оста x е постоянен, Kx = const. Подобни твърдения са верни за осите y и z. 2. Инерционен момент на твърдо тяло спрямо оста: Инерционният момент на материална точка спрямо оста е равен на произведението на масата на точката по квадрата на разстоянието на точката до оста. Инерционният момент на твърдо тяло спрямо оста е равен на сумата от произведенията на масата на всяка точка и квадрата на разстоянието на тази точка до оста. ■ Елементи на теорията на инерционните моменти – При въртеливото движение на твърдо тяло мярката за инерция (съпротивление срещу промяна на движението) е инерционният момент спрямо оста на въртене. Нека разгледаме основните понятия за дефиниция и методи за изчисляване на инерционните моменти. 1. Инерционен момент на материална точка спрямо оста: При преминаване от дискретна малка маса към безкрайно малка маса на точка, границата на такава сума се определя от интеграла: аксиален инерционен момент на твърдо тяло. В допълнение към аксиалния инерционен момент на твърдо тяло има и други видове инерционни моменти: центробежен инерционен момент на твърдо тяло. полярен момент на инерция на твърдо тяло. 3. Теорема за инерционните моменти на твърдо тяло спрямо успоредни оси - формулата за преход към успоредни оси: Инерционен момент спрямо базовата ос Статични инерционни моменти спрямо базовите оси Маса на тялото Разстояние между осите z1 и z2 Така: Ако оста z1 минава през центъра на масата, тогава статичните моменти са нула:

24 слайд

Лекция 8 (продължение 8.2) 22 Инерционен момент на хомогенен прът с постоянно напречно сечение спрямо оста: x z L Изберете елементарния обем dV = Adx на разстояние x: x dx Елементарна маса: За да изчислите относителния инерционен момент към централната ос (минаваща през центъра на тежестта), достатъчно е да промените местоположението на оста и да зададете граници на интегриране (-L/2, L/2). Тук демонстрираме формулата за преход към успоредни оси: zC 5. Инерционният момент на хомогенен твърд цилиндър спрямо оста на симетрия: H dr r Нека изберем елементарния обем dV = 2πrdrH (тънък цилиндър с радиус r) : Елементарна маса: Тук се използва формулата за обема на цилиндъра V = πR2H. За да се изчисли инерционният момент на кух (дебел) цилиндър, е достатъчно да се зададат границите на интегриране от R1 до R2 (R2> R1): 6. Инерционният момент на тънък цилиндър спрямо оста на симетрия (t

25 слайд

Лекция 8 (продължение 8.3) 23 ■ Диференциално уравнение за въртенето на твърдо тяло около ос: Нека напишем теорема за промяната в кинетичния момент на твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос: Кинетичният момент на въртящо се твърдо тяло тяло е равно на: Моментът на външните сили спрямо оста на въртене е равен на въртящия момент (моментите на тежестта на реакцията и силата не създават): Заменяме кинетичния момент и въртящия момент в теоремата Пример: Двама души с еднакво тегло G1 = G2 висят на въже, хвърлено върху твърд блок с тегло G3 = G1/4. В един момент един от тях започна да се катери по въжето с относителна скорост u. Определете скоростта на изкачване на всеки човек. 1. Изберете обекта на движение (блок с хора): 2. Изхвърлете връзките (поддържащо устройство на блока): 3. Заменете връзката с реакции (лагер): 4. Добавете активни сили (сили на гравитация): 5. Напишете теоремата за промяната на кинетичния момент на системата спрямо оста на въртене на блока: R Тъй като моментът на външните сили е нула, кинетичният момент трябва да остане постоянен: В началния момент от време t = 0 имаше равновесие и Kz0 = 0. След като започне движението на един човек спрямо въжето, цялата система започва да се движи, но системата от кинетични моменти трябва да остане равна на нула: Kz = 0. Кинетичният момент на системата е сумата от кинетични моменти както на хората, така и на блока: Тук v2 е скоростта на втория човек, равно на скоросттакабел, Пример: Определете периода на малки свободни трептения на хомогенен прът с маса M и дължина l, окачен в единия край на фиксирана ос на въртене. Или: В случай на малки трептения sinφ φ: Период на трептене: Инерционен момент на пръта:

26 слайд

Лекция 8 (продължение от 8.4 - допълнителен материал) 24 ■ Елементарна теория на жироскопа: Жироскопът е твърдо тяло, въртящо се около ос на материална симетрия, една от точките на която е неподвижна. Свободен жироскоп - фиксиран така, че центърът му на масата да остане неподвижен, а оста на въртене минава през центъра на масата и може да заема произволно положение в пространството, т.е. оста на въртене променя позицията си подобно на оста на собственото въртене на тялото по време на сферично движение. Основното предположение на приблизителната (елементарна) теория на жироскопа е, че векторът на ъгловия момент (кинетичен момент) на ротора се счита за насочен по собствената му ос на въртене. Така, въпреки факта, че в общия случай роторът участва в три завъртания, се взема предвид само ъгловата скорост на собственото му въртене ω = dφ/dt. Причината за това е, че в съвременната технология роторът на жироскопа се върти с ъглова скорост от порядъка на 5000-8000 rad/s (около 50000-80000 rpm), докато другите две ъглови скорости са свързани с прецесията и нутацията на собствените му ос на въртене десетки хиляди пъти по-малка от тази скорост. Основното свойство на свободния жироскоп е, че оста на ротора поддържа постоянна посока в пространството по отношение на инерционната (звездна) отправна система (демонстрирано от махалото на Фуко, което поддържа равнината на люлеене непроменена по отношение на звездите, 1852 г.) . Това следва от закона за запазване на кинетичния момент спрямо центъра на масата на ротора, при условие че се пренебрегне триенето в лагерите на осите на окачване на ротора, външните и вътрешни рамки: Действието на силата върху оста на свободния жироскоп . В случай на сила, приложена към оста на ротора, моментът на външните сили спрямо центъра на масата не е равен на нула: ω ω C Производната на кинетичния момент по отношение на времето е равна на скоростта на края на този вектор (теорема на Ресал): Това означава, че оста на ротора ще се отклони в посока, различна от силата на действие, и към вектора на момента на тази сила, т.е. ще се върти не около оста x (вътрешно окачване), а около оста y (външно окачване). Когато силата спре, оста на ротора ще остане в непроменена позиция, съответстваща на последния момент на силата, т.к. от този момент във времето моментът на външните сили отново става равен на нула. При краткотрайна сила (удар) оста на жироскопа практически не променя позицията си. Така бързото въртене на ротора дава на жироскопа способността да противодейства на случайни влияния, които се стремят да променят позицията на оста на въртене на ротора, и с постоянна сила поддържа позицията на равнината, перпендикулярна на действащата сила, в която роторът ос лежи. Тези свойства се използват при работата на инерциални навигационни системи.

Теоретична механикае раздел от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.

Теоретичната механика е наука, която изучава движението на телата във времето (механични движения). Тя служи като основа за други клонове на механиката (теория на еластичността, якост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.

Механично движение- това е изменение във времето на взаимното разположение в пространството на материалните тела.

Механично взаимодействие- това е взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.

Статика на твърдото тяло

Статикае раздел от теоретичната механика, който се занимава с проблемите на равновесието на твърдите тела и превръщането на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.

Основни понятия и закони на статиката

Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между точките в което не се променя.
Материална точкае тяло, чиито размери според условията на задачата могат да бъдат пренебрегнати.
Свободно тяло- това е тяло, върху движението на което не се налагат ограничения.
Несвободно (обвързано) тялое тяло, чието движение подлежи на ограничения.
Връзки– това са тела, които възпрепятстват движението на съответния обект (тяло или система от тела).
Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако считаме силата, с която едно твърдо тяло действа върху връзка, за действие, тогава реакцията на връзката е реакция. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
Механична системае колекция от взаимосвързани тела или материални точки.
Твърдиможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояния между точките не се променят.
Силае векторна величина, която характеризира механичното въздействие на едно материално тяло върху друго.
Силата като вектор се характеризира с точка на приложение, посока на действие и абсолютна стойност. Единицата за модул на сила е Нютон.
Линия на действие на силатае права линия, по която е насочен векторът на силата.
Фокусирана сила– сила, приложена в една точка.
Разпределени сили (разпределено натоварване)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на едно тяло.
Разпределеното натоварване се определя от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
Измерение разпределен товар– N/m 3 (N/m 2, N/m).
Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
Вътрешна силае сила, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
Силова системае набор от сили, действащи върху механична система.
Система с плоска силае система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
Система от събиращи се силие система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
Еквивалентни силови системи- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
Прието обозначение: .
Равновесие- това е състояние, при което тяло под действието на сили остава неподвижно или се движи равномерно праволинейно.
Балансирана система от сили- това е система от сили, която при прилагане към свободно твърдо тяло не променя механичното си състояние (не го изважда от равновесие).
.
Резултатна силае сила, чието действие върху тялото е еквивалентно на действието на система от сили.
.
Момент на силае величина, характеризираща ротационната способност на дадена сила.
Двойка силие система от две успоредни сили с еднаква величина и противоположно насочени.
Прието обозначение: .
Под въздействието на двойка сили тялото ще извърши въртеливо движение.
Проекция на сила върху оста- това е сегмент, затворен между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителната посока на оста.
Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворен между перпендикуляри, прекарани от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За твърдо тяло има различни видове движение по инерция, например равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос.
Закон 2.Твърдото тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по обща линия на действие.
Тези две сили се наричат балансиращи.
Най-общо силите се наричат уравновесени, ако твърдото тяло, към което са приложени тези сили, е в покой.
Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата „състояние“ тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, може да се добавят и отхвърлят балансиращи сили.
Последица. Без да се нарушава състоянието на твърдото тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие до всяка точка на тялото.
Две системи от сили се наричат еквивалентни, ако едната от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло.
Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, приложени в една и съща точка, е равен по големина на диагонала на успоредник, изграден върху тези сили, и е насочен по тази
диагонали.
Абсолютната стойност на резултата е:
Закон 5 (закон за равенството на действието и реакцията). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по една и съща права линия.
Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото б, И опозиция- сила, приложена към тялото А, не са балансирани, тъй като се прилагат към различни тела.
Закон 6 (закон за втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава при втвърдяването му.
Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за едно твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло.
Закон 7 (закон за еманципация от връзки).Несвободното твърдо тяло може да се счита за свободно, ако е мислено освободено от връзки, замествайки действието на връзките със съответните реакции на връзките.

Връзки и техните реакции

Гладка повърхностограничава движението нормално спрямо опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
Шарнирна подвижна опораограничава движението на тялото нормално към базовата равнина. Реакцията е насочена нормално към опорната повърхност.
Шарнирна фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
Шарнирен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръта.
Сляп печатпротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено със сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.

Кинематика

Кинематика- раздел от теоретичната механика, който разглежда общите геометрични свойства на механичното движение като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.

Основни понятия на кинематиката

Закон за движение на точка (тяло)– това е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
Точкова траектория– това е геометричното разположение на точка в пространството по време на нейното движение.
Скорост на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на положението на точка (тяло) в пространството.
Ускорение на точка (тяло)– това е характеристика на изменението във времето на скоростта на точка (тяло).

Определяне на кинематични характеристики на точка

Точкова траектория
Във векторна отправна система траекторията се описва с израза: .
В координатната референтна система траекторията се определя от закона за движение на точката и се описва с изразите z = f(x,y)- в космоса, или y = f(x)- в самолет.
В естествената референтна система траекторията е зададена предварително.
Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
При определяне на движението на точка във векторна координатна система съотношението на движението към интервал от време се нарича средна стойност на скоростта за този интервал от време: .
Приемайки времевия интервал за безкрайно малка стойност, получаваме стойността на скоростта в даден момент (моментна стойност на скоростта): .
вектор Средната скоростнасочен по вектора по посока на движението на точката, вектор моментна скоростнасочена тангенциално към траекторията по посока на движението на точката.
Заключение: скоростта на една точка е векторна величина, равна на производната по време на закона за движение.
Производно свойство: производната на всяка величина по отношение на времето определя скоростта на промяна на тази величина.
Определяне на скоростта на точка в координатна отправна система
Скорост на промяна на координатите на точката:
.
Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
.
Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на насочващите ъгли:
,
където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси.
Определяне на скоростта на точка в естествена отправна система
Скоростта на точка в естествената референтна система се определя като производна на закона за движение на точката: .
Според предходните заключения векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката и в осите се определя само от една проекция.

Кинематика на твърдото тяло

В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
1) настройка на движението и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото.
Постъпателно движение на твърдо тяло
Транслационното движение е движение, при което права линия, прекарана през две точки на тяло, остава успоредна на първоначалното си положение.
Теорема: по време на транслационно движение всички точки на тялото се движат по еднакви траектории и във всеки момент имат еднаква величина и посока на скорост и ускорение.
Заключение: движение напредна твърдо тяло се определя от движението на всяка от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точката.
Въртеливо движение на твърдо тяло около неподвижна ос
Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
Положението на тялото се определя от ъгъла на завъртане. Мерната единица за ъгъл е радиан. (Радиан - централен ъгълна окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, съдържа общият ъгъл на окръжността 2πрадиан.)
Законът за въртеливото движение на тялото около неподвижна ос.
Определяме ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото, като използваме метода на диференциация:
— ъглова скорост, rad/s;
— ъглово ускорение, rad/s².
Ако разрязвате тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка на оста на въртене СЪСи произволна точка М, след това точка Мще опише около точка СЪСрадиус на кръга Р. По време на дтима елементарно завъртане през ъгъл , и точката Мще се движи по траекторията на разстояние .
Модул за линейна скорост:
.
Точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
,
Където .
В резултат на това получаваме формулите
тангенциално ускорение: ;
нормално ускорение: .

Динамика

Динамикае дял от теоретичната механика, който изучава механично движениематериални тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.

Основни понятия на динамиката

Инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
Теглое количествена мярка за инертността на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
Материална точка- това е тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на тази задача.
Център на масата на механична система- геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:

Където m k, x k, y k, z k— маса и координати к- тази точка на механичната система, м— маса на системата.
В еднородно гравитационно поле положението на центъра на масата съвпада с положението на центъра на тежестта.
Инерционният момент на материално тяло спрямо осе количествена мярка за инерцията по време на въртеливо движение.
Инерционният момент на материална точка спрямо оста е равен на произведението на масата на точката по квадрата на разстоянието на точката от оста:
.
Инерционният момент на системата (тялото) спрямо оста е равен на аритметична сумаинерционни моменти на всички точки:
Инерционна сила на материална точкае векторна величина, равна по модул на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена противоположно на вектора на ускорението:
Инерционната сила на материално тялое векторна величина, равна по модул на произведението на масата на тялото и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещуположно на вектора на ускорението на центъра на масата: ,
където е ускорението на центъра на масата на тялото.
Елементарен импулс на силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата и безкрайно малък период от време дт:
.
Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
.
Елементарна работа на силатае скаларна величина dA, равен на скаларния прои