Колкото по-висока е вероятността, толкова по-сигурен е резултатът. Различни дефиниции на вероятността от случайно събитие

В задачите на Единния държавен изпит по математика има и по-сложни вероятностни задачи (отколкото разгледахме в част 1), където трябва да приложим правилото за събиране, умножение на вероятности и да правим разлика между съвместими и несъвместими събития.

И така, теорията.

Съвместни и несъвместни събития

Събитията се наричат ​​несъвместими, ако появата на едно от тях изключва появата на други. Тоест може да се случи само едно или друго конкретно събитие.

Например, когато хвърляте зар, можете да правите разлика между събития като получаване на четен брой точки и получаване на нечетен брой точки. Тези събития са несъвместими.

Събитията се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото.

Например, когато хвърляте зар, можете да разграничите събития като хвърляне на нечетен брой точки и хвърляне на брой точки, кратни на три. Когато се хвърли тройка, се случват и двете събития.

Сума от събития

Сумата (или комбинацията) от няколко събития е събитие, състоящо се от настъпването на поне едно от тези събития.

При което сбор от две несъвместими събития е сумата от вероятностите за тези събития:

Например, вероятността да получите 5 или 6 точки на зара с едно хвърляне ще бъде , тъй като и двете събития (хвърляне 5, хвърляне 6) са непоследователни и вероятността едното или другото събитие да се случи се изчислява, както следва:

Вероятността сбор от две съвместни събития равна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се взема предвид тяхното съвместно възникване:

Например в търговски център две еднакви машини продават кафе. Вероятността кафето в машината да свърши до края на деня е 0,3. Вероятността и двете машини да останат без кафе е 0,12. Нека намерим вероятността до края на деня кафето да свърши в поне една от машините (тоест или едната, или другата, или и двете наведнъж).

Вероятността за първото събитие „кафето ще свърши в първата машина“, както и вероятността за второто събитие „кафето ще свърши във втората машина“ според условието е равна на 0,3. Събитията са съвместни.

Вероятността за съвместна поява на първите две събития според условието е 0,12.

Това означава, че вероятността до края на деня кафето да свърши в поне една от машините е

Зависими и независими събития

Две случайни събития A и B се наричат ​​независими, ако настъпването на едно от тях не променя вероятността за настъпване на другото. В противен случай събитията A и B се наричат ​​зависими.

Например, когато два зара се хвърлят едновременно, единият от тях, да речем 1, а другият, 5, са независими събития.

Произведение на вероятностите

Продуктът (или пресичането) на няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.

Ако се появят две независими събития A и B с вероятности съответно P(A) и P(B), тогава вероятността за възникване на събития A и B едновременно е равна на произведението на вероятностите:

Например, интересуваме се да видим шестица да се появява на зара два пъти подред. И двете събития са независими и вероятността всяко от тях да се случи поотделно е . Вероятността и двете събития да се случат ще се изчисли по горната формула: .

Вижте селекция от задачи за упражняване на темата.

Когато се хвърли монета, можем да кажем, че тя ще кацне хедс-ъп, или вероятност това е 1/2. Разбира се, това не означава, че ако една монета бъде хвърлена 10 пъти, тя непременно ще падне върху главите 5 пъти. Ако монетата е „честна“ и ако бъде хвърлена много пъти, тогава главите ще паднат много близо през половината от времето. Следователно има два вида вероятности: експериментален И теоретичен .

Експериментална и теоретична вероятност

Ако хвърлим монета голям брой пъти - да кажем 1000 - и преброим колко пъти тя попада върху глави, можем да определим вероятността да попадне върху глави. Ако главите бъдат хвърлени 503 пъти, можем да изчислим вероятността да се приземи:
503/1000, или 0,503.

Това експериментален определение на вероятността. Това определение за вероятност идва от наблюдение и изследване на данни и е доста често срещано и много полезно. Ето, например, някои вероятности, които са определени експериментално:

1. Вероятността една жена да развие рак на гърдата е 1/11.

2. Ако целунете някой, който е настинал, тогава вероятността вие също да получите настинка е 0,07.

3. Човек, който току-що е бил освободен от затвора, има 80% шанс да се върне в затвора.

Ако обмислим хвърлянето на монета и като вземем предвид, че е еднакво вероятно тя да излезе с глави или опашки, можем да изчислим вероятността да получим глави: 1/2 Това е теоретична дефиниция на вероятността. Ето някои други вероятности, които са определени теоретично с помощта на математика:

1. Ако в една стая има 30 души, вероятността двама от тях да имат една и съща рождена дата (без годината) е 0,706.

2. По време на пътуване срещате някого и по време на разговора откривате, че имате общ приятел. Типична реакция: „Това не може да бъде!“ Всъщност тази фраза не е подходяща, тъй като вероятността от такова събитие е доста висока - малко над 22%.

По този начин експерименталните вероятности се определят чрез наблюдение и събиране на данни. Теоретичните вероятности се определят чрез математически разсъждения. Примери за експериментални и теоретични вероятности, като тези, обсъдени по-горе, и особено тези, които не очакваме, ни водят до важността на изучаването на вероятностите. Може да попитате: "Каква е истинската вероятност?" Всъщност такова нещо няма. Вероятностите в определени граници могат да бъдат определени експериментално. Те могат или не могат да съвпадат с вероятностите, които получаваме теоретично. Има ситуации, в които е много по-лесно да се определи един вид вероятност, отколкото друг. Например, би било достатъчно да се намери вероятността от настинка, като се използва теоретичната вероятност.

Изчисляване на експериментални вероятности

Нека първо разгледаме експерименталната дефиниция на вероятността. Основният принцип, който използваме за изчисляване на такива вероятности, е следният.

Принцип P (експериментален)

Ако в експеримент, в който са направени n наблюдения, ситуация или събитие E се появи m пъти в n наблюдения, тогава се казва, че експерименталната вероятност за събитието е P (E) = m/n.

Пример 1 Социологическо проучване. Проведено е експериментално изследване за определяне на броя на левичарите, десничарите и хората, чиито и двете ръце са еднакво развити.Резултатите са показани на графиката.

а) Определете вероятността лицето да е дясна ръка.

b) Определете вероятността човекът да е левичар.

в) Определете вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце.

d) Повечето турнири на Професионалната боулинг асоциация са ограничени до 120 играчи. Въз основа на данните от този експеримент, колко играчи могат да бъдат левичари?

Решение

а) Броят на хората, които са десничари, е 82, броят на левичарите е 17, а броят на онези, които владеят еднакво свободно и двете си ръце, е 1. Общият брой наблюдения е 100. Следователно вероятността че човек е дясна ръка е П
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятността човек да е левичар е P, където
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце е P, където
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

г) 120 играчи на боулинг, а от (б) можем да очакваме, че 17% са левичари. Оттук
17% от 120 = 0,17,120 = 20,4,
тоест можем да очакваме около 20 играчи да са левичари.

Пример 2 Контрол на качеството . За производителя е много важно да поддържа качеството на продуктите си на високо ниво. Всъщност компаниите наемат инспектори за контрол на качеството, за да гарантират този процес. Целта е да се произвеждат възможно най-малко дефектни продукти. Но тъй като компанията произвежда хиляди продукти всеки ден, тя не може да си позволи да тества всеки продукт, за да определи дали е дефектен или не. За да разбере какъв процент от продуктите са дефектни, компанията тества много по-малко продукти.
USDA изисква 80% от семената, продавани от производителите, да покълнат. За да се определи качеството на семената, които произвежда една земеделска фирма, се засяват 500 семена от произведените. След това е изчислено, че са покълнали 417 семена.

а) Каква е вероятността семето да покълне?

б) Семената отговарят ли на държавните стандарти?

Решениеа) Знаем, че от 500 семена, които са били засадени, 417 са покълнали. Вероятност за покълване на семена P, и
P = 417/500 = 0,834, или 83,4%.

б) Тъй като процентът на покълналите семена е надвишил 80%, както се изисква, семената отговарят на държавните стандарти.

Пример 3 Телевизионни рейтинги. Според статистиката в САЩ има 105 500 000 домакинства с телевизори. Всяка седмица се събира и обработва информация за гледаните програми. За една седмица 7 815 000 домакинства гледаха хитовия комедиен сериал „Everybody Loves Raymond“ по CBS и 8 302 000 домакинства гледаха хитовия сериал „Закон и ред“ по NBC (Източник: Nielsen Media Research). Каква е вероятността телевизорът на едно домакинство да бъде настроен на „Всички обичат Реймънд“ през дадена седмица? на „Закон и ред“?

РешениеВероятността телевизорът в едно домакинство да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ е P и
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Шансът телевизорът на домакинството да е бил настроен на Закон и ред е P, и
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Тези проценти се наричат ​​рейтинги.

Теоретична вероятност

Да предположим, че провеждаме експеримент, като хвърляне на монета или дартс, теглене на карта от тесте или тестване на продукти за качество на поточна линия. Всеки възможен резултат от такъв експеримент се нарича Изход . Множеството от всички възможни резултати се нарича резултатно пространство . Събитие това е набор от резултати, тоест подмножество от пространството на резултатите.

Пример 4 Хвърляне на дартс. Да предположим, че в експеримент с хвърляне на стреличка стреличката уцелва мишена. Намерете всяко от следните:

б) Пространство на резултатите

Решение
а) Резултатите са: удряне на черно (B), удряне на червено (R) и удряне на бяло (B).

b) Пространството на резултатите е (удар в черно, уцел в червено, уцел в бяло), което може да се запише просто като (H, K, B).

Пример 5 Хвърляне на зарове. Зарът е куб с шест страни, всяка с една до шест точки върху нея.


Да предположим, че хвърляме зар. намирам
а) Резултати
б) Пространство на резултатите

Решение
а) Резултати: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство за резултат (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Означаваме вероятността събитие E да се случи като P(E). Например, „монетата ще кацне на глави“ може да се означи с H. Тогава P(H) представлява вероятността монетата да кацне на глави. Когато всички резултати от експеримент имат една и съща вероятност да се появят, се казва, че те са еднакво вероятни. За да видите разликите между събития, които са еднакво вероятни, и събития, които не са, помислете за целта, показана по-долу.

За мишена А, събитията на попадение в черно, червено и бяло са еднакво вероятни, тъй като черният, червеният и белият сектор са еднакви. За мишена B обаче зоните с тези цветове не са еднакви, тоест попадението им не е еднакво вероятно.

Принцип P (теоретичен)

Ако събитие E може да се случи по m начина от n възможни еднакво вероятни изхода от пространството на изхода S, тогава теоретична вероятност събития, P(E) е
P(E) = m/n.

Пример 6Каква е вероятността да хвърлите зар, за да получите 3?

РешениеИма 6 еднакво вероятни изхода на зара и има само една възможност за хвърляне на числото 3. Тогава вероятността P ще бъде P(3) = 1/6.

Пример 7Каква е вероятността да хвърлите четно число на зара?

РешениеСъбитието е хвърляне на четно число. Това може да се случи по 3 начина (ако хвърлите 2, 4 или 6). Броят на еднакво вероятните резултати е 6. Тогава вероятността P(четен) = 3/6, или 1/2.

Ще използваме редица примери, включващи стандартно тесте от 52 карти. Това тесте се състои от картите, показани на фигурата по-долу.

Пример 8Каква е вероятността да изтеглите асо от добре разбъркано тесте карти?

РешениеИма 52 резултата (броя на картите в тестето), те са еднакво вероятни (ако тестето е добре разбъркано) и има 4 начина да изтеглите асо, така че според принципа P, вероятността
P(теглене на асо) = 4/52, или 1/13.

Пример 9Да предположим, че избираме, без да гледаме, една топка от торба с 3 червени топки и 4 зелени топки. Каква е вероятността да изберете червена топка?

РешениеИма 7 еднакво вероятни резултата от тегленето на която и да е топка и тъй като броят на начините за теглене на червена топка е 3, получаваме
P(избор на червена топка) = 3/7.

Следните твърдения са резултат от принцип P.

Свойства на вероятността

а) Ако събитие E не може да се случи, тогава P(E) = 0.
b) Ако събитието E е сигурно, че ще се случи, тогава P(E) = 1.
в) Вероятността събитие E да се случи е число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, при хвърляне на монета събитието, че монетата падне на ръба си, има нулева вероятност. Вероятността дадена монета да е глави или опашки има вероятност 1.

Пример 10Да приемем, че 2 карти са изтеглени от тесте от 52 карти. Каква е вероятността и двете да са върхове?

РешениеБроят n начини да изтеглите 2 карти от добре разбъркано тесте от 52 карти е 52 C 2 . Тъй като 13 от 52-те карти са пики, броят на начините m да изтеглите 2 пики е 13 C 2 . Тогава,
P (издърпване на 2 пика) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11Да предположим, че 3 души са произволно избрани от група от 6 мъже и 4 жени. Каква е вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени?

РешениеБроят на начините да изберете трима души от група от 10 души е 10 C 3. Един мъж може да бъде избран по 6 C 1 начина, а 2 жени могат да бъдат избрани по 4 C 2 начина. Според основния принцип на броенето, броят на начините за избор на 1 мъж и 2 жени е 6 C 1. 4 C 2 . Тогава вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени е
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Хвърляне на зарове. Каква е вероятността да хвърлите общо 8 на два зара?

РешениеВсеки зар има 6 възможни изхода. Резултатите се удвояват, което означава, че има 6,6 или 36 възможни начина, по които могат да се появят числата на двата зара. (По-добре е кубчетата да са различни, да кажем, че едното е червено, а другото е синьо - това ще ви помогне да визуализирате резултата.)

Двойките числа, които се събират до 8, са показани на фигурата по-долу. Има 5 възможни начина да се получи сума, равна на 8, следователно вероятността е 5/36.

Кратка теория

За количествено сравняване на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие. Вероятността за случайно събитиее число, което изразява мярката на обективната възможност за настъпване на събитие.

Величините, които определят колко значими са обективните причини да се очаква настъпването на дадено събитие, се характеризират с вероятността на събитието. Трябва да се подчертае, че вероятността е обективна величина, която съществува независимо от познаващия и е обусловена от цялата съвкупност от условия, които допринасят за настъпването на дадено събитие.

Обясненията, които дадохме за концепцията за вероятност, не са математическа дефиниция, тъй като не определят количествено концепцията. Има няколко дефиниции на вероятността от случайно събитие, които се използват широко при решаване на конкретни проблеми (класическа, геометрична дефиниция на вероятността, статистическа и др.).

Класическа дефиниция на вероятността за събитиесвежда тази концепция до по-елементарната концепция за еднакво възможни събития, която вече не подлежи на дефиниране и се приема за интуитивно ясна. Например, ако зарът е хомогенен куб, тогава загубата на което и да е от лицата на този куб ще бъде еднакво възможно събитие.

Нека надеждно събитие се раздели на еднакво възможни случаи, сборът от които дава събитието. Тоест случаите, на които се разпада, се наричат ​​благоприятни за събитието, тъй като появата на един от тях осигурява настъпването.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникално възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи към броя, т.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, като се вземат предвид различните резултати от теста, да се намери набор от уникално възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой n, броят на случаите m, благоприятни за дадено събитие и след това извършете изчислението, като използвате горната формула.

Вероятността за събитие, равна на отношението на броя на експерименталните резултати, благоприятни за събитието, към общия брой експериментални резултати се нарича класическа вероятностслучайно събитие.

От определението следват следните свойства на вероятността:

Свойство 1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Свойство 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Свойство 4. Вероятността за възникване на събития, които образуват пълна група, е равна на единица.

Свойство 5. Вероятността за настъпване на противоположното събитие се определя по същия начин, както вероятността за настъпване на събитие А.

Броят на случаите, благоприятстващи настъпването на противоположно събитие. Следователно вероятността за настъпване на противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността за настъпване на събитие А:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи без прибягване до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Когато набор от условия е изпълнен, надеждно събитие определено ще се случи, но невъзможно събитие определено няма да се случи. Сред събитията, които могат или не могат да настъпят, когато се създаде набор от условия, настъпването на някои може да се разчита с основателна причина, а настъпването на други с по-малко основание. Ако, например, има повече бели топки в урна, отколкото черни топки, тогава има повече основания да се надяваме за появата на бяла топка, когато се тегли от урната на случаен принцип, отколкото за появата на черна топка.

На следващата страница се обсъжда.

Пример за решение на проблем

Пример 1

Една кутия съдържа 8 бели, 4 черни и 7 червени топки. На случаен принцип се теглят 3 топки. Намерете вероятностите за следните събития: – изтеглена е поне 1 червена топка, – има поне 2 топки от един и същи цвят, – има поне 1 червена и 1 бяла топка.

Решението на проблема

Намираме общия брой резултати от теста като броя на комбинациите от 19 (8+4+7) елемента от 3:

Нека намерим вероятността за събитието– изтеглена е поне 1 червена топка (1,2 или 3 червени топки)

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне 2 топки от един и същи цвят (2 или 3 бели топки, 2 или 3 черни топки и 2 или 3 червени топки)

Брой изходи, благоприятни за събитието:

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне една червена и 1 бяла топка

(1 червена, 1 бяла, 1 черна или 1 червена, 2 бели или 2 червени, 1 бяла)

Брой изходи, благоприятни за събитието:

Изисквана вероятност:

Отговор: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Пример 2

Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сумата от точки да е най-малко 5.

Решение

Нека събитието е с оценка поне 5

Нека използваме класическата дефиниция на вероятността:

Общ брой възможни резултати от теста

Брой опити, благоприятстващи събитието от интерес

На изпуснатата страна на първия зар може да се появят една точка, две точки..., шест точки. По подобен начин са възможни шест изхода при хвърляне на втория зар. Всеки от резултатите от хвърлянето на първия зар може да се комбинира с всеки от резултатите от втория. Така общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя на поставянията с повторения (избор с поставяния на 2 елемента от набор от том 6):

Нека намерим вероятността за обратното събитие - сборът от точки е по-малък от 5

Следните комбинации от изпуснати точки ще благоприятстват събитието:

Цената е силно повлияна от спешността на решението (от ден до няколко часа). Онлайн помощ с изпити/тестове е достъпна след уговорка.

Можете да оставите заявка директно в чата, като предварително сте изпратили условията на задачите и сте информирали за крайните срокове за необходимото решение. Времето за реакция е няколко минути.

Вероятността показва възможността за определено събитие при определен брой повторения. Това е броят на възможните резултати с един или повече резултати, разделен на общия брой възможни събития. Вероятността за множество събития се изчислява чрез разделяне на проблема на отделни вероятности и след това умножаване на тези вероятности.

стъпки

Вероятност за едно случайно събитие

1. Изберете събитие с взаимно изключващи се резултати.Вероятността може да се изчисли само ако въпросното събитие се случи или не се случи. Невъзможно е едновременно да се получат едно събитие и неговия противоположен резултат. Примери за такива събития са хвърляне на 5 на зар или спечелване на определен кон на състезание. Пет или ще излязат, или няма; определен кон или ще дойде първи, или не.

   • Например, невъзможно е да се изчисли вероятността от такова събитие: с едно хвърляне на зара, 5 и 6 ще се появят едновременно.

2. Идентифицирайте всички възможни събития и резултати, които биха могли да възникнат.Да предположим, че трябва да определите вероятността при хвърляне на зар с 6 числа да получите тройка. „Хвърлянето на тройка“ е събитие и тъй като знаем, че всяко от 6-те числа може да бъде хвърлено, броят на възможните резултати е шест. Така знаем, че в този случай има 6 възможни изхода и едно събитие, чиято вероятност искаме да определим. По-долу има още два примера.

   • Пример 1. В този случай събитието е „избор на ден, който пада през уикенда“, а броят на възможните резултати е равен на броя на дните от седмицата, тоест седем.
   • Пример 2. Събитието е „теглене на червена топка“, а броят на възможните резултати е равен на общия брой топки, тоест двадесет.

3. Разделете броя на събитията на броя на възможните резултати.По този начин ще определите вероятността за едно събитие. Ако разгледаме случая на хвърляне на зар като 3, броят на събитията е 1 (3 е само от едната страна на зара) и общият брой резултати е 6. Резултатът е съотношение 1/6, 0,166, или 16,6%. Вероятността за събитие за двата примера по-горе се намира, както следва:

   • Пример 1. Каква е вероятността произволно да изберете ден, който се пада през уикенда?Броят на събитията е 2, тъй като има два почивни дни в една седмица, а общият брой резултати е 7. Следователно вероятността е 2/7. Полученият резултат може да се запише и като 0,285 или 28,5%.
   • Пример 2. Кутията съдържа 4 сини, 5 червени и 11 бели топки. Ако извадите произволна топка от кутия, каква е вероятността тя да е червена?Броят на събитията е 5, тъй като в кутията има 5 червени топки, а общият брой резултати е 20. Намираме вероятността: 5/20 = 1/4. Полученият резултат може да бъде записан и като 0,25 или 25%.

4. Съберете вероятностите на всички възможни събития и вижте дали сумата е 1.Общата вероятност за всички възможни събития трябва да бъде 1 или 100%. Ако не получите 100%, най-вероятно сте направили грешка и сте пропуснали едно или повече възможни събития. Проверете изчисленията си и се уверете, че сте взели предвид всички възможни резултати.

   • Например, вероятността да получите 3 при хвърляне на зарове е 1/6. В този случай вероятността всяко друго число да изпадне от останалите пет също е равна на 1/6. В резултат на това получаваме 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, т.е. 100%.
   • Ако например забравите за числото 4 на зарчето, сумирането на вероятностите ще ви даде само 5/6, или 83%, което не е равно на единица и показва грешка.

5. Изразете вероятността за невъзможен резултат като 0.Това означава, че даденото събитие не може да се случи и неговата вероятност е 0. По този начин можете да отчетете невъзможни събития.

   • Например, ако изчислите вероятността Великден да се падне в понеделник през 2020 г., ще получите 0, защото Великден винаги се празнува в неделя.

   Вероятност от няколко случайни събития

   1. Когато разглеждате независими събития, изчислявайте всяка вероятност отделно.След като определите какви са вероятностите за събития, те могат да бъдат изчислени отделно. Да предположим, че искаме да знаем вероятността да хвърлим зар два пъти подред и да получим 5. Знаем, че вероятността да получим една 5 е 1/6 и вероятността да получим втора 5 също е 1/6. Първият резултат не е свързан с втория.

      • Извикват се няколко хвърляния на петици независими събития, тъй като това, което се случва първия път, не влияе на второто събитие.

   2. Вземете предвид влиянието на предишни резултати, когато изчислявате вероятността за зависими събития.Ако първото събитие влияе върху вероятността от втория резултат, говорим за изчисляване на вероятността зависими събития. Например, ако изберете две карти от тесте с 52 карти, след изтегляне на първата карта съставът на тестето се променя, което се отразява на избора на втората карта. За да изчислите вероятността за второто от две зависими събития, трябва да извадите 1 от броя на възможните резултати, когато изчислявате вероятността за второто събитие.

      • Пример 1. Помислете за следното събитие: Две карти се изтеглят на случаен принцип от тестето една след друга. Каква е вероятността и двете карти да са от трефа?Вероятността първата карта да бъде трефа е 13/52 или 1/4, тъй като в тестето има 13 карти от една и съща боя.
        • След това вероятността втората карта да бъде клубна боя е 12/51, тъй като една клубна карта вече не е там. Това е така, защото първото събитие влияе на второто. Ако изтеглите Тройката треха и не я върнете обратно, ще има една карта по-малко в тестето (51 вместо 52).
      • Пример 2. В кутията има 4 сини, 5 червени и 11 бели топки. Ако се изтеглят произволно три топки, каква е вероятността първата да е червена, втората да е синя и третата да е бяла?
        • Вероятността първата топка да е червена е 5/20 или 1/4. Вероятността втората топка да е синя е 4/19, тъй като в кутията остава една топка по-малко, но все пак 4 синтопка. И накрая, вероятността третата топка да е бяла е 11/18, тъй като вече сме изтеглили две топки.

   3. Умножете вероятностите за всяко отделно събитие.Независимо дали имате работа с независими или зависими събития или броя на резултатите (може да има 2, 3 или дори 10), можете да изчислите общата вероятност, като умножите вероятностите на всички въпросни събития едно по друго. В резултат на това ще получите вероятността от няколко събития, както следва едно след друго. Например задачата е Намерете вероятността, когато хвърлите зар два пъти подред, да получите 5. Това са две независими събития, вероятността за всяко от които е 1/6. Така вероятността и за двете събития е 1/6 x 1/6 = 1/36, тоест 0,027 или 2,7%.

      • Пример 1. Две карти се изтеглят от тестето на случаен принцип, една след друга. Каква е вероятността и двете карти да са от трефа?Вероятността за първото събитие е 13/52. Вероятността за второто събитие е 12/51. Намираме общата вероятност: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, тоест 0,058 или 5,8%.
      • Пример 2. Кутията съдържа 4 сини, 5 червени и 11 бели топки. Ако три топки се изтеглят произволно от една кутия една след друга, каква е вероятността първата да е червена, втората да е синя и третата да е бяла?Вероятността за първото събитие е 5/20. Вероятността за второто събитие е 4/19. Вероятността за третото събитие е 11/18. Така че общата вероятност е 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, или 3,2%.

вероятност- число между 0 и 1, което отразява шансовете за настъпване на случайно събитие, където 0 е пълната липса на вероятност събитието да се случи, а 1 означава, че въпросното събитие определено ще се случи.

Вероятността за събитие E е число от до 1.
Сумата от вероятностите за взаимно изключващи се събития е равна на 1.

емпирична вероятност- вероятност, която се изчислява като относителната честота на събитие в миналото, извлечена от анализа на исторически данни.

Вероятността от много редки събития не може да бъде изчислена емпирично.

субективна вероятност- вероятност, основана на лична субективна оценка на дадено събитие без оглед на исторически данни. Инвеститорите, които вземат решения за покупка и продажба на акции, често действат въз основа на съображения за субективна вероятност.

предварителна вероятност -

Шансът е 1 в... (коефициенти), че дадено събитие ще се случи чрез концепцията за вероятност. Вероятността за възникване на събитие се изразява чрез вероятност, както следва: P/(1-P).

Например, ако вероятността за събитие е 0,5, тогава шансът за събитието е 1 от 2, защото 0,5/(1-0,5).

Шансът събитието да не се случи се изчислява по формулата (1-P)/P

Непоследователна вероятност- например цената на акциите на компания А отчита възможно събитие Е с 85%, а цената на акциите на компания Б взема предвид само 50%. Това се нарича непоследователна вероятност. Според холандската теорема за залагания, непоследователната вероятност създава възможности за печалба.

Безусловна вероятносте отговорът на въпроса „Каква е вероятността събитието да се случи?“

Условна вероятност- това е отговорът на въпроса: "Каква е вероятността за събитие А, ако събитие Б се случи." Условната вероятност се означава като P(A|B).

Съвместна вероятност- вероятността събития А и Б да се случат едновременно. Означава се като P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило за сумиране на вероятностите:

Вероятността събитие А или събитие Б да се случи е

P (A или B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ако събития A и B са взаимно изключващи се, тогава

P (A или B) = P(A) + P(B)

Независими събития- събития A и B са независими ако

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Тоест, това е поредица от резултати, където стойността на вероятността е постоянна от едно събитие до следващо.
Хвърлянето на монета е пример за такова събитие - резултатът от всяко следващо хвърляне не зависи от резултата от предишното.

Зависими събития- това са събития, при които вероятността за настъпване на едно зависи от вероятността за настъпване на друго.

Правилото за умножаване на вероятностите за независими събития:
Ако събития A и B са независими, тогава

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило за пълна вероятност:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S и S" са взаимно изключващи се събития

очаквана стойностслучайна променлива е средната стойност на възможните резултати от случайна променлива. За събитие X, очакването се означава като E(X).

Да кажем, че имаме 5 стойности на взаимно изключващи се събития с определена вероятност (например доходът на компанията е бил такава и такава сума с такава вероятност). Очакваната стойност е сумата от всички резултати, умножена по тяхната вероятност:

Дисперсията на случайна променлива е очакването на квадратни отклонения на случайна променлива от нейното очакване:

s 2 = E( 2 ) (6)

Условна очаквана стойност е очакваната стойност на случайна променлива X, при условие че събитието S вече е настъпило.