Ако за всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .
Така, числова последователност— функция на естествен аргумент.
Номер а 1 Наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти членпоследователности , и естествено число н — номера му .
От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 Наречен последващи (към a n ), А a n — предишен (към a n +1 ).
За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.
Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.
Например,
последователност от положителни нечетни числаможе да се даде по формулата
a n= 2н- 1,
и последователността на редуване 1 И -1 - формула
bн = (-1)н +1 . ◄
Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.
Например,
Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5
а 1 = 1,
а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:
а 1 = 1,
а 2 = 1,
а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,
а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,
а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,
а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,
а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последователностите могат да бъдат финал И безкраен .
Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.
Например,
поредица от двуцифрени естествени числа:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
финал.
Последователност от прости числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
безкраен. ◄
Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.
Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.
Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . — нарастваща последователност;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . — намаляваща последователност. ◄
Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .
Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.
Аритметична прогресия
Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .
е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:
a n +1 = a n + д,
Където д - определено число.
По този начин разликата между последващите и предишните термини на дадено аритметична прогресиявинаги постоянен:
а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.
Номер д Наречен разлика в аритметичната прогресия.
За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.
Например,
Ако а 1 = 3, д = 4 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:
а 1 =3,
а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,
а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,
а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,
а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄
За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н
a n = а 1 + (н- 1)д.
Например,
намерете тридесетия член на аритметичната прогресия
1, 4, 7, 10, . . .
а 1 =1, д = 3,
а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = а 1 + (н- 2)д,
a n= а 1 + (н- 1)д,
a n +1 = а 1 + nd,
тогава очевидно
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.
числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.
Например,
a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.
Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:
a n = 2н- 7,
n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.
следователно
| a n+1 + a n-1
| =
| 2н- 5 + 2н- 9
| = 2н- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Забележи, че н Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k
a n = a k + (н- к)д.
Например,
За а 5 може да се запише
а 5 = а 1 + 4д,
а 5 = а 2 + 3д,
а 5 = а 3 + 2д,
а 5 = а 4 + д. ◄
a n = един н-к + kd,
a n = a n+k - kd,
тогава очевидно
| a n=
| а н-к
+a n+k
|
| 2
|
всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.
В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Например,
в аритметична прогресия
1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;
2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото
а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:
От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията
a k, a k +1 , . . . , a n,
тогава предишната формула запазва своята структура:
Например,
в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, нИС н свързани с две формули:
Следователно, ако значения на триот тези количества са дадени, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:
- Ако д > 0 , след това се увеличава;
- Ако д < 0 , тогава намалява;
- Ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.
Геометрична прогресия
Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:
b n +1 = b n · р,
Където р ≠ 0 - определено число.
Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.
Номер р Наречен знаменател на геометричната прогресия.
За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.
Например,
Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:
b 1 = 1,
б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,
б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,
b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 и знаменател р нея н Терминът може да се намери с помощта на формулата:
b n = b 1 · qn -1 .
Например,
намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, р = 2,
b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
тогава очевидно
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.
Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:
числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.
Например,
Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:
b n= -3 2 н,
b n -1 = -3 2 н -1 ,
b n +1 = -3 2 н +1 .
следователно
b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) · (-3 · 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
което доказва желаното твърдение. ◄
Забележи, че н Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата
b n = b k · qn - к.
Например,
За b 5 може да се запише
б 5 = b 1 · р 4 ,
б 5 = б 2 · р 3,
б 5 = б 3 · р 2,
б 5 = b 4 · р. ◄
b n = b k · qn - к,
b n = b n - к · q k,
тогава очевидно
b n 2 = b n - к· b n + к
квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.
Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:
b m· b n= b k· b l,
м+ н= к+ л.
Например,
в геометрична прогресия
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:
И когато р = 1 - по формулата
S n= nb 1
Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията
b k, b k +1 , . . . , b n,
тогава се използва формулата:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
к +1
| . |
| 1 - р
|
Например,
в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, нИ S n свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :
- прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:
b 1 > 0 И р> 1;
b 1 < 0 И 0 < р< 1;
- Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:
b 1 > 0 И 0 < р< 1;
b 1 < 0 И р> 1.
Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.
Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:
Пн= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .
Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , това е
|р| < 1 .
Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая
1 < р< 0 .
При такъв знаменател последователността е променлива. Например,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено н членове на прогресия с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата
| С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - р
|
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Връзка между аритметична и геометрична прогресия
Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , Че
б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .
Например,
1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Че
дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник ар .
Например,
2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄
Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.
Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.
Разлика в прогресията: определение
Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметика прогресията, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.
d = a(j) – a(j-1).
Акцент:
- Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Прогресия на разликата и нейните произволни елементи
Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Разлика в прогресията и нейния първи член
Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.
Прогресивна разлика и нейната сума
Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите j елемента, използвайте подходящата формула:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Сума от аритметична прогресия.
Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От основно до доста солидно.
Първо, нека разберем значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мучене. За да намерите сумата на аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много, или много... добавянето е досадно.) В този случай формулата идва на помощ.
Формулата за сумата е проста:
Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много нещата.
S n - сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всекичленове, с първиот последно.Важно е. Събират се точно всичкочленове подред, без прескачане или прескачане. И по-точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сбора от третия и осмия член или сбора от петия до двадесетия член, директното прилагане на формулата ще ви разочарова.)
а 1 - първичлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.
a n- последночлен на прогресията. Последният номер от поредицата. Не много познато име, но когато се приложи към сумата, е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.
н - номер на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.
Нека дефинираме понятието последночлен a n. Труден въпрос: кой член ще бъде последниятако е дадено безкраенаритметична прогресия?)
За да отговорите уверено, трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и... прочетете внимателно задачата!)
В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе крайна, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение дали е дадена прогресията: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: поредица от числа или формула за n-тия член.
Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В една задача цялата тази ценна информация често е криптирана, да... Но няма значение, в примерите по-долу разкриваме тези тайни.)
Примери за задачи върху сумата от аритметична прогресия.
Преди всичко, полезна информация:
Основната трудност при задачите, включващи сумата от аритметична прогресия, се състои в правилното определяне на елементите на формулата.
Авторите на задачите криптират тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.
1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.
Добра работа. Лесно.) За да определим количеството с помощта на формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния член н.
Къде мога да получа номера на последния член? н? Да, точно там, при условие! Казва: намерете сумата първите 10 членове.Е, с кой номер ще е? последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nЩе заместим във формулата а 10, а вместо това н- десет. Повтарям, номерът на последния член съвпада с броя на членовете.
Остава да се определи а 1И а 10. Това лесно се изчислява с помощта на формулата за n-тия член, която е дадена в формулировката на задачата. Не знаете как да направите това? Посетете предишния урок, без това няма как.
а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
а 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Открихме значението на всички елементи от формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава само да ги замените и да преброите:
Това е. Отговор: 75.
Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:
2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 =2,3. Намерете сумата на първите 15 члена.
Веднага записваме формулата за сумата:
Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки термин по неговия номер. Търсим проста замяна:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Остава да замените всички елементи във формулата за сумата на аритметичната прогресия и да изчислите отговора:
Отговор: 423.
Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nПросто заместваме формулата за n-тия член и получаваме:
Нека представим подобни и да получим нова формула за сумата от членовете на аритметичната прогресия:
 |
Както можете да видите, тук не е задължително n-ти член a n. При някои проблеми тази формула помага много, да... Можете да я запомните тази формула. Или можете просто да го покажете в точното време, като тук. В крайна сметка винаги трябва да помните формулата за сбора и формулата за n-тия член.)
Сега задачата под формата на кратко криптиране):
3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.
Еха! Нито първият член, нито последният, нито прогресията изобщо... Как да живееш!?
Ще трябва да помислите с главата си и да извадите всички елементи от сумата на аритметичната прогресия от условието. Знаем какво представляват двуцифрените числа. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще бъде първи? 10, вероятно.) А последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...
Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да запишете серия според условията на проблема:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Със сигурност! Всеки термин се различава от предишния със строго три. Ако добавите 2 или 4 към термин, да речем, резултатът, т.е. новото число вече не се дели на 3. Можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d = 3.Ще бъде полезно!)
Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:
Какъв ще е номерът? нпоследен член? Който мисли, че 99, греши фатално... Числата винаги вървят подред, но нашите членове надскачат три. Те не съвпадат.
Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да запишете прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако приложим формулата към нашия проблем, ще открием, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.
Нека да разгледаме формулата за сумата на аритметична прогресия:
Гледаме и се радваме.) Извадихме от формулировката на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:
а 1= 12.
а 30= 99.
S n = S 30.
Остава само елементарна аритметика. Заместваме числата във формулата и изчисляваме:
Отговор: 1665
Друг вид популярен пъзел:
4. Като се има предвид аритметична прогресия:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четири.
Гледаме формулата за сумата и... се разстройваме.) Формулата, напомням, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.
Можете, разбира се, да напишете цялата прогресия в серия и да добавите членове от 20 до 34. Но... някак си е глупаво и отнема много време, нали?)
Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще бъде от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - от двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го съберем със сумата от членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
От това можем да видим, че намираме сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Вземат се предвид и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Да започваме?
Извличаме параметрите на прогресията от изявлението на проблема:
d = 1,5.
а 1= -21,5.
За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Изчисляваме ги с помощта на формулата за n-тия член, както в задача 2:
а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Нищо не остана. От сбора на 34 члена извадете сбора на 19 члена:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Отговор: 262,5
Една важна забележка! Има един много полезен трик за решаването на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме нещо, което изглежда не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляне на ненужното от пълния резултат. Този вид „финт с ушите“ често ви спестява от зли проблеми.)
В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)
Когато решавате всяка задача, включваща сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.
Формула за n-тия член:
Тези формули веднага ще ви подскажат какво да търсите и в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.
А сега задачите за самостоятелно решаване.
5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.
Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.
6. Аритметичната прогресия е дадена от условието: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.
Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива проблеми често се срещат в Държавната академия на науките.
7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на любимия си човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и всеки следващ ден похарчете с 50 рубли повече от предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?
Трудно ли е?) Ще помогне допълнителната формула от задача 2.
Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават училищен курсалгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.
Що за прогресия е това?
Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.
Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:
Тук i е поредният номер на елемента от ред a i. По този начин, знаейки само едно нещо семенен номер, можете лесно да възстановите целия ред. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.
Лесно може да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.
Каква е сумата на аритметична прогресия: формула
Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате прост специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Струва си да се има предвид едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. Наистина ли:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.
Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и последния a n, както и общ брой n условия.
Смята се, че Гаус е първият, който се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на дадена задача. учител в училищезадача: сумирайте първите 100 цели числа.
Сума от елементи от m до n: формула
Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направим?
Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата на членовете от m-то до n-то. За да решите задачата, трябва да представите дадения сегмент от m до n на прогресията под формата на нова числова серия. В този изглед месечен срок a m ще бъде първо и a n ще бъде номерирано с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Пример за използване на формули
Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.
По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата от нейните членове, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:
Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки кои числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втората от първата сума.
