1. Ако променливата y е пропорционална на променливата x, тогава тази зависимост се изразява с формулата, където е коефициентът на пропорционалност. Разгледахме графиката на тази функция в § 2.
2. Ако променливата y е обратно пропорционална на променливата x, тогава тази зависимост се изразява с формулата, където е коефициентът на обратна пропорционалност.
3. Домейнът на функция е множеството от всички числа, различни от нула, т.е.
4. Графиката на обратната пропорционалност е крива, състояща се от два клона, симетрични спрямо началото. Такава крива се нарича хипербола (фиг. 35). Ако тогава клоновете на хиперболата са разположени в I и III координатни четвърти; ако, тогава във II и IV координатни тримесечия.
5. Обърнете внимание, че хиперболата няма общи точки с координатните оси, а само ги приближава произволно близо (обяснете защо).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯ
Графика на функцията:
Решение. 1) За да начертаем графика на тази функция, която често се среща в практиката, първо установяваме някои от нейните свойства.
а) Функцията е дефинирана за всички реални стойности В функцията не е дефинирана (не можете да разделите на нула!). По този начин областта на дефиниране на функция се състои от два интервала:
b) Функцията е нечетна, тъй като Следователно нейната графика е симетрична по отношение на произхода. Следователно е достатъчно да разгледаме тази функция само за
в) Когато функцията намалява. Наистина, нека тогава
Функцията е изобразена на фигура 35. Тази крива се нарича хипербола. Състои се от два клона, разположени в I и III координатни квартали.
Линейна функциянаречена функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа. Тук к– наклон (реално число), b – свободен срок (реално число), х- независима променлива.
В специалния случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точката с координати (0; b).
Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, кое е пряка пропорционалност.
b – дължина на сегмента, която се пресича от права линия по оста Oy, считано от началото.
Геометричен смисъл на коефициента к – ъгъл на наклоннаправо в положителната посока на оста Ox, считано обратно на часовниковата стрелка.
Свойства на линейна функция:
1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;
2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос. Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото b;
3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите кИ b.
а) b ≠ 0, k = 0,следователно, y = b – четно;
б) b = 0, k ≠ 0,следователно y = kx – нечетно;
° С) b ≠ 0, k ≠ 0,следователно y = kx + b – функция от общ вид;
д) b = 0, k = 0,следователно y = 0 – както четни, така и нечетни функции.
4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;
5) Пресечни точки с координатни оси:
Вол: y = kx + b = 0, x = -b/k, следователно (-b/k; 0)– пресечна точка с абсцисната ос.
ой: y = 0k + b = b, следователно (0; b)– пресечна точка с ординатната ос.
Забележка: Ако b = 0И k = 0, след това функцията y = 0отива на нула за всяка стойност на променливата х. Ако b ≠ 0И k = 0, след това функцията y = bне изчезва за никоя стойност на променливата х.
6) Интервалите на постоянство на знака зависят от коефициента k.
а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b– положителен кога хот (-b/k; +∞),
y = kx + b– отрицателен кога хот (-∞; -b/k).
б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b– положителен кога хот (-∞; -b/k),
y = kx + b– отрицателен кога хот (-b/k; +∞).
° С) k = 0, b > 0; y = kx + bположителен в целия диапазон на дефиниция,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицателен в целия диапазон на дефиниция.
7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента к.
k > 0, следователно y = kx + bнараства в цялата област на дефиниция,
к< 0 , следователно y = kx + bнамалява в цялата област на дефиниция.
8) Графиката на линейна функция е права линия. За да построите права линия, е достатъчно да знаете две точки. Позиция на линията на координатна равниназависи от стойностите на коефициентите кИ b. По-долу има таблица, която ясно илюстрира това.
Урок по алгебра. 8 клас.
Тема на урока: “Функция y=k/x, нейните свойства и графика.”
Цели на урока:
Образователна цел:научи как да изгради графика на функцията y=k/x, изследва свойствата на функцията, формира ясна представа за разликите в свойствата и местоположението на графиката на функцията при k 0 и k 0, разширете разбирането на учениците за функцията.
Цел за развитие:продължете развитието на познавателния интерес към изучаването на алгебра, развийте способността да анализирате, наблюдавате, сравнявате, мислите логично, развивате умения за взаимен контрол и самоконтрол.
Образователна цел:култивиране на комуникативни умения в работата, умение да слушате и чувате другите, уважение към мнението на приятел, култивиране на морални качества на учениците като постоянство, точност, инициативност, точност, навик за систематична работа, независимост и активност.
Оборудване: компютър, мултимедийно устройство, листовки, презентация на урока.
Структура на урока:
- Поставяне на целта на урока. (2 минути)
- Актуализация основни познанияи умения на учениците. (8 минути)
- Подготовка за активно усвояване на нов материал. (9 минути)
- Усвояване на нови знания. (16 минути)
- Затвърдяване на придобитите знания. (5 минути)
- Отражение. (3 минути)
- Поставяне на домашна работа. (2 минути)
- Резервни работни места.
По време на часовете.
- Организиране на времето. (слайд1) Темата на урока и целта на урока са формулирани. Днес продължаваме да се запознаваме с функциите и да разгледаме функцията y=k/x нейните свойства и графика, какво ни показва тази функция и каква роля играе в живота на всеки човек.
- Актуализиране на основните знания и умения на учениците.
- Двама ученици идват до дъската и попълват таблиците, които са подготвени на дъската.
1/x |
1/x |
2. В това Времето течефронтална работа с останалата част от класа.
Дайте дефиниция: каква е областта на дефиниция на функция. (домейнът на функция е множеството от всички стойности, които нейният аргумент може да приеме)
Посочете обхвата за дефиниране на следните функции (на екрана слайд 2):
Y=x²+8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2/x
Коя фигура от таблицата (слайд 3) показва графиката:
1) графика на линейна функция, напишете формулата,
2) пряка пропорционалност, дайте примери за пряка пропорционалност от живота,
4) какъв е знакът на коефициента на квадратичната функция, който съответства на графиките на фигури 9 и 10.
След това всички заедно проверяваме правилно ли са попълнени таблиците. Обръщаме специално внимание на мястото, където x=0.
- Подготовка за активно усвояване на нов материал.
Знаем, че всяка от тези функции описва някои процеси, протичащи в света около нас. Нека се обърнем към физиката и да използваме нейния пример, за да разгледаме един от физични явления, които мнозина са срещали в живота. Момчетата гледат слайд 4, който показва физически модел и физическо явление. Какво физическо явление възниква (налягане твърдона повърхността, отколкото по-голяма площ, толкова по-ниско е налягането). Напишете формула и обяснете този слайд с помощта на формулата.
Как мислите, че можем да наречем такава зависимост на променливите? (обратна пропорционалност). (слайд 5)
В математиката такава зависимост се записва с формулата y=k/x, а графиката на такава функция е хипербола. Ще разберем как изглежда тя по-късно. Знам, че сте срещали понятието хипербола в литературата. И Катя Веденеева ще ни разкаже за това. (ученик чете доклад)
- Усвояване на нови знания.
Сега е дошъл моментът, когато трябва да се научим как да чертаем функцията y=k/x и да изследваме нейните свойства. Сега ще работите по двойки. Пред вас има листове с координатна равнина и е написано коя функция трябва да се построи. (Приложение 1) Какво е необходимо, за да се начертае графика на функция? (попълнете таблицата) . Кажете ми, може би вече е попълнено? (да, на дъската). Момчетата изграждат точки върху готовата координатна равнина и след това ги проверяват заедно с учителя. (слайд 6,7).
Как да се свържете правилно? Моля, вижте как ще се случи това на екрана. Линиите, които се образуват при свързване на точки, не трябва да се сливат с координатните оси, така че след крайните точки е по-добре да ги удължите с още 2 милиметра.Линиите, които получихме, се наричат клонове на хипербола. Свържете вашите точки (слайд 8,9)
Отговор на въпроса: как зависи местоположението на графиката на функцията y=k/x от знака на коефициента k? Студентите са убедени, че ако k>0, тогава графиката се намира в 1-ва и 3-та координатна четвърт, а ако k
След координатната равнина сте написали свойства, които трябва да се добавят. Две глави са добри, но четири са по-добри. Затова се обединяваме в групи от по четирима души. Разглеждате графиката на функцията във вашата група и добавяте свойства директно върху този лист хартия. Следва групова дискусия, след която всяко свойство се показва на екрана. Самият учител показва само едно свойство и обяснява, че ние разбираме непрекъснатостта на функцията като плътна линия, която може да се начертае, без да се вдига моливът от листа. Следователно учителката сама обяснява свойство 5. Функцията е непрекъсната в интервала от (-∞;0) и (0;+∞) и претърпява прекъсване в точката x=0.
Свършихте добра работа и за следващи уроци ви давам основно резюме на тази тема, което ще поставите. (слайд 10).(Приложение 2)
Уморени сме, нека да си починем малко. Предлагам ви да разгледате интересни слайдове, на които ще видите как поговорките могат да бъдат изобразени с помощта на нашата функция y=k/x. (слайд 11,12,13,14).
- Затвърдяване на придобитите знания.
Починахме си, нека се върнем към нашите поддържащи бележки. Не бях внимателен и направих грешка, когато ги написах. Моля, погледнете и намерете грешката в тях. Моля, поправете тази грешка. (слайд 15)
- Отражение:
Какво ново научихте в урока?
Какво използвахте, за да откриете нови знания?
Какви трудности срещнахте?
- Домашна работа(слайд 17)
- §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4,
Измислете примери от различни области на човешката дейност, които са описани с помощта на обратно пропорционална връзка между количествата и изразете тази връзка като функция y=k/x, направете скица.
- резерв:
Работа в групи.
Задача:
Цената на даден продукт се намалява - количеството на закупените стоки се увеличава. И обратно. Измислете задача. Напишете формулата и направете скица.
Надписи на слайдове:
Функция y=k/x, нейните свойства и графика.
Посочете обхвата за дефиниране на следните функции
xЄ(-∞;∞)
xЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
xЄ(-∞;∞)
xЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
1. Коя фигура от таблицата показва графиката на линейна функция? Напишете формула?
2. Коя фигура от таблицата показва графика на правата пропорционалност?
3. Дайте примери за пряка пропорционалност от живота?
4. Коя фигура от таблицата показва графиката на квадратична функция?
5. Какъв е знакът на коефициента на квадратичната функция, който съответства на графиките на фигури 9 и 10?
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,
y=kx+b
9,10
Функции в света на физиката
Физически модел
Примери за физически явления
Обратна пропорционалност
Математически моделобратна пропорционалност: y = k/x, където k е коефициентът на пропорционалност
Графиката на тази функция се нарича хипербола
при
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция y=1/x
при
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция y=-1/x
при
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция y=1/x
при
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция y=-1/x
y = k / x, k>0
2. y>0 при x>
най велик
най-малко
Област на дефиниция на функцията x(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при x 0
5. Функцията има точка на прекъсване x = 0
6. Обхват на функция y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - не съществува y - не съществува
най велик
най-малко
y = k / x, k „Да се покажеш от млада възраст и да умреш от глад в напреднала възраст“
Богатство, дрехи, храна
възраст
„Доживяхме до точката, в която не остана нищо“
време
богатство
"Богатият яде сладко и спи зле"
мечта
Богат живот
„Говори по-малко, чувай повече“
У Брой изслушани
X Брой разговори
y = k / x, k>0
Област на дефиниция на функцията x(-∞;0) (0;+∞)
2. y>0, когато x>0; y 3. Намаляваща функция на интервала (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функцията има точка на прекъсване x = 0
6. Обхват на функция y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - не съществува y - не съществува
най велик
най-малко
Област на дефиниция на функцията x(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при x 0
3. Нарастваща функция на интервала (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функцията има точка на прекъсване x = 0
6. Обхват на функция y (-∞;0) (0;+∞)
4. y - не съществува y - не съществува
най велик
най-малко
y = k / x, k Домашна работа: §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4, намерете примери от различни области на човешката дейност, които са описани с помощта на обратно пропорционална връзка между количествата и изразете тази връзка като функция y=k /x, направете скица.
Благодаря ти за урока
