десетична фракция- разнообразие дроби, което има „кръгло“ число в знаменателя: 10, 100, 1000 и т.н., например фракция 5/10 има десетичен запис 0,5. Въз основа на този принцип, фракциямогат да бъдат представени в формадесетичен знак дроби.
Инструкции
Да кажем, че трябва да си представим формадесетичен знак фракция 18/25.
Първо трябва да се уверите, че едно от „кръглите“ числа се появява в знаменателя: 100, 1000 и т.н. За да направите това, трябва да умножите знаменателя по 4. Но ще трябва да умножите и числителя, и знаменателя по 4.
Умножение на числителя и знаменателя дроби 18/25 на 4, получава се 72/100. Това е записано фракцияв десетичен знак форматака че: 0,72.
В математиката дробта е рационално число, равно на една или повече части, на които е разделена единицата. В този случай записът на дробта трябва да съдържа индикация на две числа: едното от тях показва точно на колко дяла е разделена единицата при създаването на тази дроб, а другото показва колко от тези дялове включва дробта. Ако тези две числа са записани като числител и знаменател, разделени с линия, тогава този формат на запис се нарича „обикновена“ дроб. Има обаче друг формат за запис на дроби, наречен "десетичен".
Триетажната форма на писане на числа, при която знаменателят е разположен над числителя, а между тях има и разделителна линия, не винаги е удобна. Това неудобство особено започна да се проявява с масовото разпространение на персонални компютри. Десетичната форма за представяне на дроби няма този недостатък - не изисква посочване на числителя, тъй като по дефиниция той винаги е равен на десет на отрицателна степен. Следователно дробно число може да бъде написано на един ред, въпреки че дължината му в повечето случаи ще бъде много по-голяма от дължината на съответната обикновена дроб.
Друго предимство на записването на числа като десетични знаци е, че те са много по-лесни за сравнение. Тъй като знаменателят на всяка цифра от две такива числа е еднакъв, достатъчно е да се сравнят само две цифри от съответните цифри, докато при сравняване на обикновени дроби е необходимо да се вземат предвид както числителят, така и знаменателят на всяка от тях. Това предимство е важно не само за хората, но и за компютрите - сравняването на числа в десетичен формат е доста лесно за програмиране.
Има вековни правила за събиране, умножение и други математически операции, които ви позволяват да правите изчисления на хартия или наум с числа в десетичен формат. Това е още едно предимство на този формат пред обикновените дроби. Въпреки че с развитието на компютърните технологии, когато дори часовниците имат калкулатор, това става все по-малко забележимо.
Описаните предимства на десетичния формат за запис на дробни числа показват, че основната му цел е да опрости работата с математически величини. Този формат има и недостатъци - например, за да запишете периодични дроби в десетична дроб, трябва да добавите и число в скоби, а нерационалните числа в десетичен формат винаги имат приблизителна стойност. Въпреки това, при сегашното ниво на развитие на хората и техните технологии, той е много по-удобен за използване от обичайния формат за писане на дроби.
В тази статия ще разгледаме как преобразуване на дроби в десетични знаци, а също така разгледайте обратния процес - преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще очертаем правилата за преобразуване на дроби и ще предоставим подробни решения на типични примери.
Навигация в страницата.
Преобразуване на дроби в десетични знаци
Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на дроби в десетични знаци.
Първо, ще разгледаме как да представим дроби със знаменатели 10, 100, 1000, ... като десетични знаци. Това се обяснява с факта, че десетичните дроби по същество са компактна форма на запис на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....
След това ще продължим и ще покажем как да напишем всяка обикновена дроб (не само тези със знаменатели 10, 100, ...) като десетична дроб. Когато обикновените дроби се третират по този начин, се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.
Сега нека поговорим за всичко по ред.
Преобразуване на дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични знаци
Някои правилни дроби изискват "предварителна подготовка", преди да бъдат преобразувани в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не се нуждае от подготовка.
„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .
След като подготвите подходяща дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична.
Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:
- напишете 0;
- след него поставяме десетична точка;
- Записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).
Нека разгледаме приложението на това правило при решаване на примери.
Пример.
Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.
Решение.
Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули. Числителят съдържа числото 37, неговото обозначение има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.
Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя и получаваме десетичната дроб 0,37.
Отговор:
0,37 .
За да затвърдим уменията за преобразуване на правилни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.
Пример.
Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.
Решение.
Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме.
Всичко, което остава, е да се създаде необходимата десетична дроб. За да направите това, първо, пишем 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107, в резултат на което имаме десетична дроб 0,0000107.
Отговор:
0,0000107 .
Неправилните дроби не изискват никаква подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични знаци:
- запишете числото от числителя;
- Използваме десетична точка, за да отделим толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната дроб.
Нека да разгледаме приложението на това правило при решаване на пример.
Пример.
Преобразувайте неправилната дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична запетая.
Решение.
Първо, записваме числото от числителя 56888038009 и второ, разделяме 5-те цифри вдясно с десетична запетая, тъй като знаменателят на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетичната дроб 568880.38009.
Отговор:
568 880,38009 .
За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб и след това да преобразувате получената дроб в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа с дробен знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:
- ако е необходимо, извършваме „предварителна подготовка“ на дробната част от първоначалното смесено число, като добавяме необходимия брой нули отляво в числителя;
- запишете цялата част от първоначалното смесено число;
- поставете десетична точка;
- Записваме числото от числителя заедно с добавените нули.
Нека да разгледаме пример, в който изпълняваме всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.
Пример.
Преобразувайте смесеното число в десетичен знак.
Решение.
Знаменателят на дробната част има 4 нули, но числителят съдържа числото 17, състоящо се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на цифрите там да стане равен на броя на нули в знаменателя. След като направите това, числителят ще бъде 0017.
Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, и получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.
Нека запишем накратко цялото решение: 
.
Разбира се, беше възможно първо да се представи смесеното число като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така: .
Отговор:
23,0017 .
Преобразуване на дроби в крайни и безкрайни периодични десетични знаци
Можете да преобразувате не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетична дроб, но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.
В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (вижте привеждане на обикновена дроб към нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дробта 4/10, която според правила, обсъдени в предишния параграф, лесно се преобразува в десетична дроб 0, 4 .
В други случаи трябва да използвате друг метод за преобразуване на обикновена дроб в десетична, който сега ще разгледаме.
За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин, както делението на колона от естествени числа, като в частното се поставя десетична точка, когато разделянето на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.
Пример.
Преобразувайте дробта 621/4 в десетична.
Решение.
Нека представим числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавим десетична запетая и няколко нули след нея. Първо, нека добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.
Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от разделянето на естествени числа на колона, след което стигаме до следната картина: 
Така стигаме до десетичната запетая в дивидента, а остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме да делим в колона, без да обръщаме внимание на запетаите: 
Това завършва делението и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.
Отговор:
155,25 .
За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.
Пример.
Преобразувайте дробта 21/800 в десетична.
Решение.
За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, разделяме с колона от десетичната дроб 21 000... на 800. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението: 
Накрая получихме остатъка 0, това завършва преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетична дроб и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.
Отговор:
0,02625 .
Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб пак да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи безкрайно дълго. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично и числата в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната дроб се преобразува в безкрайно периодична десетична дроб. Нека покажем това с пример.
Пример.
Запишете дробта 19/44 като десетичен знак.
Решение.
За да преобразувате обикновена дроб в десетична, извършете деление по колона: 
Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното се повтарят числата 1 и 8. Така първоначалната обикновена дроб 19/44 се преобразува в периодична десетична дроб 0,43181818...=0,43(18).
Отговор:
0,43(18) .
За да завършим тази точка, ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.
Нека имаме несъкратима обикновена дроб пред нас (ако дробта е съкратима, тогава първо намаляваме дробта) и трябва да разберем в коя десетична дроб може да се превърне - крайна или периодична.
Ясно е, че ако една обикновена дроб може да се сведе до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да се преобразува в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. Не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чийто знаменател е поне едно от числата 10, 100, .... И кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, ... ще ни позволят да отговорим на този въпрос и те са както следва: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... От това следва, че делителите са 10, 100, 1000 и т.н. Може да има само числа, чието разлагане на прости множители съдържа само числата 2 и (или) 5.
Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични:
- ако при разлагането на знаменателя на прости множители присъстват само числата 2 и (или) 5, тогава тази дроб може да се преобразува в крайна десетична дроб;
- ако в допълнение към двойки и петици има други прости числа в разширението на знаменателя, тогава тази дроб се преобразува в безкрайна десетична периодична дроб.
Пример.
Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми кои от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб и кои могат да бъдат преобразувани само в периодична дроб.
Решение.
Знаменателят на дробта 47/20 се разлага на прости множители като 20=2·2·5. В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.
Разлагането на знаменателя на дробта 7/12 на прости множители има формата 12=2·2·3. Тъй като съдържа прост множител 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като краен десетичен знак, но може да бъде преобразуван в периодичен десетичен дроб.
Фракция 21/56 – контрактилен, след контракция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8 и следователно равната дроб 21/56 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб.
И накрая, разширяването на знаменателя на самата дроб 31/17 е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.
Отговор:
47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб, но 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодична дроб.
Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни непериодични десетични знаци
Информацията в предишния абзац поражда въпроса: „Може ли разделянето на числителя на дроб на знаменателя да доведе до безкрайна непериодична дроб?“
Отговор: не. При преобразуване на обикновена дроб резултатът може да бъде или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.
От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, тоест ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава остатъкът може да бъде само едно от числата 0, 1, 2 , ..., q−1. Следва, че след като колоната завърши разделянето на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, в не повече от q стъпки ще възникне една от следните две ситуации:
- или ще получим остатък от 0, това ще приключи делението и ще получим крайната десетична дроб;
- или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), това ще доведе до безкрайна периодична десетична дроб.
Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.
От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.
Преобразуване на десетични числа в дроби
Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена дроб. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични дроби в обикновени дроби. След това ще разгледаме метод за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.
Преобразуване на крайните десетични знаци в дроби
Получаването на дроб, която е записана като краен десетичен знак, е доста лесно. Правилото за преобразуване на последна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:
- първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
- второ, запишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
- трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.
Нека разгледаме решенията на примерите.
Пример.
Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в дроб.
Решение.
Ако премахнем десетичната запетая от оригиналната десетична дроб, получаваме числото 3025. Отляво няма нули, които бихме изхвърлили. И така, записваме 3,025 в числителя на желаната дроб.
Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната точка.
Получаваме обикновената дроб 3025/1000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме 
.
Отговор:
.
Пример.
Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в дроб.
Решение.
Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.
Записваме едно с четири нули в знаменателя, тъй като оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.
В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена дроб е завършено.
Отговор:
.
Когато цялата част от оригиналната последна десетична дроб е различна от нула, тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на крайна десетична дроб в смесено число:
- числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
- в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на първоначалната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво;
- в знаменателя на дробната част трябва да запишете числото 1, към което добавете толкова нули вдясно, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
- ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.
Нека да разгледаме пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.
Пример.
Изразете десетичната дроб 152,06005 като смесено число
Десетична дроб е дроб, в която знаменателят е естествена степен на 10. Това например е дробта. Тази дроб може да се запише в следната форма: запишете цифрите на числителя на един ред и отделете колкото се може повече от ги със запетая вдясно, тъй като в знаменателя има нули, а именно:
При такъв запис числата отляво на десетичната запетая образуват цялата част, а числата отдясно на десетичната запетая - дробната част на дадената десетична дроб.
Нека p/q е някакво положително рационално число. От аритметиката процесът на деление е добре известен, което ви позволява да представите число като десетична дроб. Същността на процеса на деление е първо да се намери най-голямото цяло число пъти, когато q се съдържа в p; ако p е кратно на q, това е мястото, където процесът на деление завършва. В противен случай се появява остатък. След това те намират колко десети от q съдържа този остатък и на тази стъпка процесът може да приключи или ще се появи нов остатък. В последния случай намерете колко стотни от q съдържа и т.н.
Ако знаменателят q няма други прости множители освен 2 или 5, тогава след краен брой стъпки остатъкът ще бъде равен на нула, процесът на деление ще приключи и дадената обикновена дроб ще се превърне в последна десетична дроб. Всъщност в този случай винаги е възможно да се избере цяло число, така че след умножаване на числителя и знаменателя на дадена дроб по него да се получи еднаква дроб, в която знаменателят ще представлява естествена степен на десет. Например, това е фракцията
което може да бъде представено така:
Въпреки това, без да прави тези трансформации, разделяйки числителя на знаменателя, читателят ще получи същия резултат:
Ако знаменателят на несъкратима дроб има поне един прост делител, различен от 2 или 5, тогава процесът на деление на q никога няма да приключи (нито един от следващите остатъци няма да стигне до нула).
След извършване на разделението намираме
За да напишете резултата, получен в този пример, периодично повтарящите се числа 0 и 6 се ограждат в скоби и се записват:
В този пример и други подобни случаи действието деление не води до краен резултат като десетичен знак. Възможно е, обобщавайки концепцията за десетична дроб, все пак да кажем, че частното 965/132 е представено от безкрайна периодична дроб.Повтарящите се числа 06 се наричат период на тази дроб, а техният брой, равен в нашия пример, е продължителността на периода.
За да разберем причината за явлението периодичност на дроб, нека разгледаме например процеса на деление на 7. Ако делението не е извършено напълно, тогава се появява остатък, който може да има само една от следните стойности: 1, 2, 3, 4, 5, 6. И на всяка от следващите стъпки остатъкът отново ще има една от тези шест стойности. Следователно, не по-късно от седмата стъпка, ние неизбежно ще се сблъскаме с една от стойностите на остатъците, които вече са се появили преди.Започвайки от тази точка, процесът на разделяне ще стане периодичен. Както стойностите на балансите, така и числата на коефициента ще се повтарят периодично. Същото разсъждение важи и за всеки друг делител.
Така всяка обикновена дроб се представя като крайна или безкрайна периодична десетична дроб. Забележително е, че обратно, всяка периодична десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Нека покажем как се изпълнява това действие. В този случай се използва формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия (клауза 92).
може да се разбира така:
тук членовете от дясната страна, започвайки от втория, образуват безкрайна геометрична прогресия със знаменателя и първия член
Използвайки формула (92.2):
Ясно е, че същият процес ще позволи всяка дадена безкрайна периодична дроб да бъде представена под формата на обикновена дроб (и, както може да се покаже, точно тази, от която в процеса на разделяне дадената безкрайна периодична дроб в се получава ред). Тук обаче има едно изключение. Помислете за фракцията
и приложете процеса на преобразуването му в обикновена дроб:
Стигнахме до числото 1/2, което изглежда като крайна десетична дроб
Подобен резултат ще се получи винаги, когато периодът на дадена безкрайна дроб има формата (9). Следователно ние идентифицираме двойки числа, като например
Понякога е полезно да разрешите и записи на формуляра
формално представяне на крайни десетични дроби като безкрайни с период (0).
Всичко, което беше казано за превръщането на обикновена дроб в периодична десетична дроб и обратно, се отнасяше за положителните рационални числа. В случай на отрицателно число можете да го направите по два начина.
1) Вземете положителното число срещу даденото отрицателно число, преобразувайте го в десетичен знак и след това поставете знак минус пред него. Например за - 5/3 получаваме
2) Представете дадено отрицателно рационално число като сбор от неговата цяла част (отрицателна) и неговата дробна част (неотрицателна) и след това преобразувайте само тази дробна част от числото в десетична дроб. Например:
За записване на числа, представени като сбор от тяхната отрицателна цяла част и крайна или безкрайна десетична дроб, се приема следната нотация (изкуствена форма на записване на отрицателно число):
Тук знакът минус се поставя не пред цялата дроб, а над цялата й част, за да се подчертае, че само цялата част е отрицателна, а дробната част след десетичната запетая е положителна.
Тази нотация създава еднаквост в нотацията на положителните и отрицателните десетични дроби и ще се използва в бъдеще в теорията на десетичните логаритми (раздел 28). За практика каним читателя да провери прехода от един запис към друг в примерите:
Сега можем да формулираме окончателното заключение: всяко рационално число може да бъде представено от безкрайна десетична периодична дроб и, обратно, всяка такава дроб определя рационално число. Крайната десетична дроб също позволява две форми на запис под формата на безкрайна десетична дроб: с точка (0) и с точка (9).
