Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник, като знаете страните. Правоъгълен триъгълник

Имот: 1.Във всеки правоъгълен триъгълник надморската височина, взета от правия ъгъл (от хипотенузата), разделя правоъгълния триъгълник на три подобни триъгълника.

Имот: 2.Височината на правоъгълен триъгълник, спусната до хипотенузата, е равна на средното геометрично на проекциите на краката върху хипотенузата (или средното геометрично на онези сегменти, на които височината разделя хипотенузата).

Имот: 3.Кратът е равен на средното геометрично на хипотенузата и проекцията на този катет върху хипотенузата.

Имот: 4.Крат срещу ъгъл от 30 градуса е равен на половината от хипотенузата.

Формула 1.

Формула 2., където е хипотенузата; , крака.

Имот: 5.В правоъгълен триъгълник медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от нея и е равна на радиуса на описаната окръжност.

Свойство: 6. Връзка между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник:

44. Теорема за косинусите. Следствия: връзка между диагонали и страни на успоредник; определяне вида на триъгълника; формула за изчисляване на дължината на медианата на триъгълник; Изчисляване на косинус на ъгъл на триъгълник.

Край на работата -

Тази тема принадлежи към раздела:

Клас. Програма за колоквиум по основи на планиметрията

Свойство на съседни ъгли.. определение на два ъгъла, които са съседни, ако едната им страна е обща, а другите два образуват права линия..

Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „истинското“ определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли катет, който е срещу ъгъла, тоест противоположен (за ъгъл) катет? Разбира се, че има! Това е крак!

Какво ще кажете за ъгъла? Гледай внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, кракът. Това означава, че за ъгъла кракът е съседен и

Сега, обърнете внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е готино:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да запиша това с думи сега? Какъв е катетът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. Ами кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво имаме?

Вижте как числителят и знаменателят са разменили местата си?

И сега отново ъглите и направиха размяна:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат?

Правилно, .

Какво ще кажете за по-малка площ?

Разбира се,.

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им.

Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. От две страни

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници?

Разгледайте темата “и обърнете внимание, че за равенство на “обикновените” триъгълници трябва да са равни три техни елемента: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни.

Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. По остър ъгъл

II. От две страни

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

защо е така

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Така че нека започнем с това „освен...“.

Нека да разгледаме и.

Но всички подобни триъгълници имат равни ъгли!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всяка задача с правоъгълен триъгълник!

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна.

Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• от две страни:
• по катет и хипотенуза: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на два крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна: .

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката:

Правоъгълен триъгълник- това е триъгълник, в който един от ъглите е прав, тоест равен на 90 градуса.

• Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза (на фигурата е посочена като ° Сили AB)
• Страната, съседна на правия ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два крака (на фигурата те са обозначени като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

(вижте снимката по-горе)

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълник

С- квадрат

ч- височина, спусната от върха на прав ъгъл до хипотенузата

m a аот срещуположния ъгъл ( α )

m b- медиана, изтеглена настрани bот срещуположния ъгъл ( β )

m c- медиана, изтеглена настрани ° Сот срещуположния ъгъл ( γ )

IN правоъгълен триъгълник някой от катетите е по-малък от хипотенузата(Формула 1 и 2). Това свойство е следствие от Питагоровата теорема.

Косинус на който и да е от острите ъглипо-малко от едно (Формула 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по-малък от хипотенузата, съотношението на катета към хипотенузата винаги е по-малко от едно.

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите (теорема на Питагор). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сума от медианите на квадраткъм катетите е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата от хипотенузата, делено на четири (Формула 7). В допълнение към горното има Още 5 формули, затова се препоръчва да прочетете и урока „Медиана на правоъгълен триъгълник“, който описва свойствата на медианата по-подробно.

Височинана правоъгълен триъгълник е равно на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (Формула 8)

Квадратите на краката са обратно пропорционални на квадрата на височината, спусната до хипотенузата (Формула 9). Това тъждество също е едно от следствията на Питагоровата теорема.

Дължина на хипотенузатаравен на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност. Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиус V правоъгълен триъгълник кръгможе да се намери като половината от израза, включващ сумата от катетите на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведението на краката, разделено на сбора от всички страни (периметър) на даден триъгълник. (Формула 11)
Синус от ъгъл отношение към противоположнототози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на проблеми. Познавайки размерите на страните, можете да намерите ъгъла, който образуват.

Косинусът на ъгъл A (α, алфа) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на поведение съседентози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)

(ABC)и неговите свойства, които са представени на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл.

Съвет 1: Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. На снимката са показани страните AD, DC и BD, DC- крака и страни ACИ NE- хипотенуза.

Теорема 1. В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° противоположният на този ъгъл катет ще прекъсне половината от хипотенузата.

hC

AB- хипотенуза;

ADИ DВ

Триъгълник
Има една теорема:
система за коментари КАКАЛд

Решение: 1) Диагоналите на всеки правоъгълник са равни Вярно 2) Ако триъгълникът има един остър ъгъл, то този триъгълник е остроъгълник. Не е вярно. Видове триъгълници. Триъгълникът се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, т.е. по-малки от 90° 3) Ако точката лежи върху.

Или в друг запис,

Според Питагоровата теорема

Каква е формулата за височината на правоъгълен триъгълник?

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, може да бъде намерена по един или друг начин в зависимост от данните в постановката на задачата.

Или в друг запис,

Където BK и KC са проекциите на краката върху хипотенузата (отсечките, на които височината разделя хипотенузата).

Надморската височина до хипотенузата може да се намери чрез площта на правоъгълен триъгълник. Ако приложим формулата, за да намерим площта на триъгълник

(половината от произведението на страна и височината, прекарана към тази страна) към хипотенузата и височината, прекарана към хипотенузата, получаваме:

От тук можем да намерим височината като съотношение на удвоената площ на триъгълника към дължината на хипотенузата:

Тъй като площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката:

Тоест дължината на височината, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на краката към хипотенузата. Ако означим дължините на катетите с a и b, дължината на хипотенузата с c, формулата може да бъде пренаписана като

Тъй като радиусът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник е равен на половината от хипотенузата, дължината на надморската височина може да се изрази чрез катетите и радиуса на описаната окръжност:

Тъй като височината, прекарана към хипотенузата, образува още два правоъгълни триъгълника, нейната дължина може да се намери чрез отношенията в правоъгълния триъгълник.

От правоъгълен триъгълник ABK

От правоъгълен триъгълник ACK

Дължината на височината на правоъгълен триъгълник може да бъде изразена чрез дължините на катетите. защото

Според Питагоровата теорема

Ако повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Можете да получите друга формула за свързване на височината на правоъгълен триъгълник с неговите катети:

Каква е формулата за височината на правоъгълен триъгълник?

Правоъгълен триъгълник. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или Единния държавен изпит?

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малка площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека да го съберем сега.

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Забелязали ли сте едно много удобно нещо? Погледнете внимателно знака.

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да И в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Разгледайте темата "Триъгълник" и обърнете внимание, че за равенство на "обикновените" триъгълници трябва да са равни три техни елемента: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точката, в която диагоналите се пресичат. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

Пресечната точка на диагоналите е разделена наполовина.Диагоналите са равни.

И какво следва от това?

Така се оказа, че

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Нека започнем с това „освен това“. "

Но всички подобни триъгълници имат равни ъгли!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Имат еднакви остри ъгли!

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - Две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме Първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Как да вземем втори?

Сега нека приложим сходството на триъгълници и.

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна. Нека ги запишем отново

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всяка задача с правоъгълен триъгълник!

Коментари

Разпространението на материали без одобрение е допустимо, ако има dofollow връзка към страницата източник.

Политика за поверителност

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития. От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения. Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.

Свойство на височината на правоъгълен триъгълник, паднала до хипотенузата

Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели. В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Благодаря ви за съобщението!

Вашият коментар беше приет и след модериране ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да разберете какво се крие под кройката и да получите ексклузивни материали за подготовка за Единния държавен изпит и Единния държавен изпит? Оставете имейла си

Свойства на правоъгълен триъгълник

Да разгледаме правоъгълен триъгълник (ABC)и неговите свойства, които са представени на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза - страната, която лежи срещу правия ъгъл. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. На снимката са показани страните AD, DC и BD, DC- крака и страни ACИ NE- хипотенуза.

Признаци за равенство на правоъгълен триъгълник:

Теорема 1. Ако хипотенузата и катетът на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и катетът на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 2. Ако два катета на правоъгълен триъгълник са равни на два катета на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 3. Ако хипотенузата и острия ъгъл на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и острия ъгъл на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 4. Ако катет и прилежащ (срещу него) остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са равни на катет и прилежащ (срещу него) остър ъгъл на друг триъгълник, то тези триъгълници са еднакви.

Свойства на катет срещу ъгъл от 30°:

Теорема 1.

Височина в правоъгълен триъгълник

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° катетът срещу този ъгъл ще прекъсне половината от хипотенузата.

Теорема 2. Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът срещу него е 30°.

Ако надморската височина се изтегли от върха на правия ъгъл към хипотенузата, тогава такъв триъгълник се разделя на два по-малки, подобни на изходящия и подобни един на друг. От това следват следните изводи:

1. Височината е средно геометрично (средно пропорционално) на двата сегмента на хипотенузата.
2. Всеки катет на триъгълника е средната пропорционална на хипотенузата и съседните сегменти.

В правоъгълен триъгълник краката действат като надморска височина. Ортоцентърът е точката, в която се пресичат височините на триъгълника. Той съвпада с върха на правия ъгъл на фигурата.

hC- височината, излизаща от правия ъгъл на триъгълника;

AB- хипотенуза;

ADИ DВ- сегменти, които възникват при разделяне на хипотенузата по височина.

Връщане към преглед на информация за дисциплината "Геометрия"

Триъгълнике геометрична фигура, състояща се от три точки (върхове), които не са на една права линия и три отсечки, свързващи тези точки. Правоъгълният триъгълник е триъгълник, чийто ъгъл е 90° (прав ъгъл).
Има една теорема:сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90°.
система за коментари КАКАЛд

Ключови думи:триъгълник, прав ъгъл, катет, хипотенуза, питагорова теорема, окръжност

Триъгълникът се нарича правоъгъленако има прав ъгъл.
Правоъгълният триъгълник има две взаимно перпендикулярни страни, т.нар крака; третата му страна се нарича хипотенуза.

• Според свойствата на перпендикуляра и наклонения, хипотенузата е по-дълга от всеки от краката (но по-малка от тяхната сума).
• Сборът от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равен на прав ъгъл.
• Две височини на правоъгълен триъгълник съвпадат с неговите катети. Следователно една от четирите забележителни точки попада във върховете на правия ъгъл на триъгълника.
• Центърът на описаната около него правоъгълен триъгълник лежи в средата на хипотенузата.
• Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл към хипотенузата, е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.

Да разгледаме произволен правоъгълен триъгълник ABC и да начертаем височината CD = hc от върха C на неговия прав ъгъл.

Той ще раздели дадения триъгълник на два правоъгълни триъгълника ACD и BCD; всеки от тези триъгълници има общ остър ъгъл с триъгълник ABC и следователно е подобен на триъгълник ABC.

И трите триъгълника ABC, ACD и BCD са подобни един на друг.

От подобието на триъгълниците се определят следните отношения:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Питагорова теоремаедна от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Геометрична формулировка.В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Алгебрична формулировка.В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
Това означава, че дължината на хипотенузата на триъгълника се обозначава с c, а дължините на катетите с a и b:
a2 + b2 = c2

Обратна теорема на Питагор.

Височина на правоъгълен триъгълник

За всяка тройка от положителни числа a, b и c такава, че
a2 + b2 = c2,
Има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• по крака и хипотенузата;
• на два крака;
• по крака и остър ъгъл;
• по хипотенузата и острия ъгъл.

Вижте също:
Площ на триъгълник, равнобедрен триъгълник, равностранен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. опция 1 .

AD : CD = CD : Б.Д. Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват:

AD : AC = AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ от н.е. Те казват:

BD : пр.н.е : AB. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

1.

а) 70 см; б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; Д) 53 см.

2. Височината на правоъгълен триъгълник, начертан към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36.

Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; б) 19; ° С) 9; Д) 12; Д) 18.

4.

а) 30,25; б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; Д) 32,25.

5.

а) 25; б) 24; ° С) 27; Д) 26; Д) 21.

6.

а) 8; б) 7; ° С) 6; Д) 5; Д) 4.

7.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30.

Как да намерим височината в правоъгълен триъгълник?

Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; б) 16; ° С) 15; Д) 14; Д) 12.

10.

а) 15; б) 18; ° С) 20; Д) 16; Д) 12.

а) 80; б) 72; ° С) 64; Д) 81; Д) 75.

12.

а) 7,5; б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; Д) 7.

Проверете отговорите!

G8.04.1. Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. опция 1 .

В Δ ABC ∠ACV = 90°. AC и BC катети, AB хипотенуза.

CD е надморската височина на триъгълника, начертан към хипотенузата.

AD проекция на крака AC върху хипотенузата,

BD проекция на катета BC върху хипотенузата.

Надморската височина CD разделя триъгълника ABC на два триъгълника, подобни на него (и един на друг): Δ ADC и Δ CDB.

От пропорционалността на страните на подобни Δ ADC и Δ CDB следва:

AD : CD = CD : Б.Д.

Свойство на височината на правоъгълен триъгълник, паднала до хипотенузата.

Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват: надморска височина на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата,е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата.

От сходството на Δ ADC и Δ ACB следва:

AD : AC = AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ от н.е. Те казват: всеки катет е средната пропорционална стойност между цялата хипотенуза и проекцията на този катет върху хипотенузата.

По същия начин, от сходството на Δ CDB и Δ ACB следва:

BD : пр.н.е : AB. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

1. Намерете височината на правоъгълен триъгълник, начертан към хипотенузата, ако той разделя хипотенузата на отсечки 25 cm и 81 cm.

а) 70 см; б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; Д) 53 см.

2. Надморската височина на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36. Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; б) 19; ° С) 9; Д) 12; Д) 18.

4. Височината на правоъгълен триъгълник, прекарана към хипотенузата, е 22, проекцията на единия катет е 16. Намерете проекцията на другия катет.

а) 30,25; б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; Д) 32,25.

5. Катетът на правоъгълен триъгълник е 18, а проекцията му спрямо хипотенузата е 12. Намерете хипотенузата.

а) 25; б) 24; ° С) 27; Д) 26; Д) 21.

6. Хипотенузата е равна на 32. Намерете страната, чиято проекция върху хипотенузата е равна на 2.

а) 8; б) 7; ° С) 6; Д) 5; Д) 4.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 45. Намерете страната, чиято проекция върху хипотенузата е 9.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30. Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; б) 16; ° С) 15; Д) 14; Д) 12.

10. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 41, а проекцията на един от катетите е 16. Намерете дължината на надморската височина, прекарана от върха на правия ъгъл към хипотенузата.

а) 15; б) 18; ° С) 20; Д) 16; Д) 12.

а) 80; б) 72; ° С) 64; Д) 81; Д) 75.

12. Разликата в проекциите на катетите върху хипотенузата е 15, а разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата е 4. Намерете радиуса на описаната окръжност.

а) 7,5; б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; Д) 7.

Триъгълници.

Основни понятия.

Триъгълнике фигура, състояща се от три отсечки и три точки, които не лежат на една права линия.

Сегментите се наричат партии, а точките са върхове.

Сума от ъглитриъгълник е 180º.

Височина на триъгълника.

Височина на триъгълник- това е перпендикуляр, изтеглен от върха към противоположната страна.

В остроъгълен триъгълник височината се съдържа в триъгълника (фиг. 1).

В правоъгълен триъгълник катетите са височините на триъгълника (фиг. 2).

В тъп триъгълник надморската височина се простира извън триъгълника (фиг. 3).

Свойства на надморската височина на триъгълник:

Симетрала на триъгълник.

Симетрала на триъгълник- това е сегмент, който разделя ъгъла на върха наполовина и свързва върха с точка от противоположната страна (фиг. 5).

Свойства на ъглополовящата:

Медиана на триъгълник.

Медиана на триъгълник- това е сегмент, свързващ върха със средата на противоположната страна (фиг. 9а).

Средната линия на триъгълника.

Средна линия на триъгълника- това е сегмент, свързващ средите на двете му страни (фиг. 10).

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и равна на половината от нея

Външен ъгъл на триъгълник.

Външен ъгълна триъгълник е равна на сбора от два несъседни вътрешни ъгъла (фиг. 11).

Външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки несъседен ъгъл.

Правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълнике триъгълник, който има прав ъгъл (фиг. 12).

Страната на правоъгълен триъгълник срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза.

Другите две страни се наричат крака.

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник.

1) В правоъгълен триъгълник надморската височина, изтеглена от прав ъгъл, образува три подобни триъгълника: ABC, ACH и HCB (фиг. 14a). Съответно ъглите, образувани от височината, са равни на ъгли A и B.

Фиг.14а

Равнобедрен триъгълник.

Равнобедрен триъгълнике триъгълник, чиито две страни са равни (фиг. 13).

Тези равни страни се наричат страни, а третият - базатриъгълник.

В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни. (В нашия триъгълник ъгъл A е равен на ъгъл C).

В равнобедрен триъгълник медианата, начертана към основата, е както ъглополовящата, така и надморската височина на триъгълника.

Равностранен триъгълник.

Равностранен триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни (фиг. 14).

Свойства на равностранен триъгълник:

Забележителни свойства на триъгълниците.

Триъгълниците имат уникални свойства, които ще ви помогнат успешно да решавате проблеми, включващи тези форми. Някои от тези свойства са посочени по-горе. Но ние ги повтаряме отново, добавяйки към тях няколко други прекрасни функции:

Признаци за равенство на триъгълници.

Първи знак за равенство: ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Втори знак за равенство: ако страна и прилежащите й ъгли на един триъгълник са равни на страната и прилежащите й ъгли на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Трети знак за равенство: Ако три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Неравенство на триъгълник.

Във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сумата на другите две страни.

Питагорова теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите:

° С 2 = а 2 + b 2 .

Площ на триъгълник.

1) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата страна и надморската височина, начертана към тази страна:

ах
С = ——
2

2) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на всеки две от страните му и синуса на ъгъла между тях:

1
С = — AB · A.C. · грях А
2

Триъгълник, описан около окръжност.

Окръжност се нарича вписана в триъгълник, ако докосва всичките му страни (фиг. 16 А).

Триъгълник, вписан в окръжност.

Триъгълникът се нарича вписан в окръжност, ако я докосва с всичките си върхове (фиг. 17 а).

Синус, косинус, тангенс, котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник (фиг. 18).

синуситеостър ъгъл х противоположносткатет към хипотенуза.
Означава се по следния начин: гряхх.

Косинусостър ъгъл хна правоъгълен триъгълник е отношението съседенкатет към хипотенуза.
Означава се както следва: cos х.

Допирателнаостър ъгъл х- това е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Означава се както следва: tgх.

Котангенсостър ъгъл х- това е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Означава се както следва: ctgх.

правила:

Крак срещу ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и sin х:

b = cгрях х

Крак в съседство с ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и cos х:

a = c cos х

Крак срещу ъгъла х, е равно на произведението на втория крак по tg х:

b = a tg х

Крак в съседство с ъгъла х, е равно на произведението на второто краче по ctg х:

a = b· ctg х.

За всеки остър ъгъл х:

грях (90° - х) = cos х

cos (90° - х) = грях х