Диференциално смятане на няколко функции. Диференциално смятане на функции на няколко променливи Диференциално смятане на функции на няколко променливи tpr 2

Министерство на образованието на Република Беларус

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

ДЪРЖАВНА ИНСТИТУЦИЯ

ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

БЕЛОРУСКО-РУСКИ УНИВЕРСИТЕТ

Катедра Висша математика

Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи.

Насоки и задачи за тест No2

за задочници

всички специалности

комисия на методическия съвет

Беларуско-руски университет

Утвърден от катедра „Висша математика” „_____”____________2004 г.,

протокол №

Съставител: Червякова Т.И., Ромская О.И., Плешкова С.Ф.

Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи. Методически указания и задания за контролна работа № 2 за задочни студенти. Работата съдържа методически препоръки, тестови задачи и примери за решаване на задачи в раздела „Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи“. Задачите са предназначени за студенти от всички специалности на дистанционно обучение.

Учебно издание

Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи

Технически редактор A.A. Подошевко

Компютърно оформление Н.П. Полевничая

Рецензенти L.A. Новик

Отговорен за освобождаването на L.V. Плетньов

Подписано за печат. Формат 60х84 1/16. Офсетова хартия. Ситопечат. Условно фурна л. . Академично изд. л. . Тираж Поръчка Номер._________

Издателство и печатница:

Държавна институция за професионално образование

"Беларуско-руски университет"

Лиценз ЛВ № 243 от 03/11/2003 г., Лиценз ЛП № 165 от 01/08/2003 г.

212005, Могилев, пр. Мира, 43

© GUVPO „Беларуско-руски

университет”, 2004г

Въведение

Тези указания съдържат материал за изучаване на раздела „Диференциално смятане на функции на една и няколко променливи“.

Тестът се провежда в отделна тетрадка, на чиято корица студентът трябва четливо да напише номера, наименованието на дисциплината, да посочи своята група, фамилия, инициали и номер на книжката.

Номерът на опцията съответства на последната цифра от книжката с оценки. Ако последната цифра в бележника е 0, номерът на опцията е 10.

Решаването на задачи трябва да се извърши в последователността, посочена в теста. В този случай условията на всеки проблем се пренаписват изцяло преди решаването му. Не забравяйте да оставите полета в бележника си.

Решението на всяка задача трябва да бъде представено подробно, заедно с решението трябва да се дадат необходимите обяснения с позоваване на използваните формули и изчисленията да се извършват в строг ред. Решението на всяка задача се довежда до отговора, изискван от условието. В края на теста посочете литературата, използвана при попълването на теста.

ввъпроси за самоподготовка

    Производна на функция: определение, обозначение, геометрични и механични значения. Уравнение на допирателна и нормала към равнинна крива.

    Непрекъснатост на диференцируема функция.

    Правила за диференциране на функция на една променлива.

    Производни на комплексни и обратни функции.

    Производни на основни елементарни функции. Таблица на производните.

    Диференциране на параметрично и неявно зададени функции. Логаритмично диференциране.

    Диференциал на функция: определение, запис, връзка с производната, свойства, инвариантност на формата, геометричен смисъл, приложение при приближени изчисления на стойностите на функцията.

    Производни и диференциали от по-високи разряди.

    Теореми на Ферма, Рол, Лагранж, Коши.

    Правилото на Бернули-Л'Хопитал, приложението му за изчисляване на лимити.

    Монотонност и екстремуми на функция на една променлива.

    Изпъкналост и инфлексии на графиката на функция на една променлива.

    Асимптоти на графиката на функция.

    Пълно изследване и графично изобразяване на функция на една променлива.

    Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

    Концепцията за функция на няколко променливи.

    Граница и непрекъснатост на FNP.

    Частични производни на FNP.

    Диференцируемост и пълен диференциал на FNP.

    Диференциация на сложни и имплицитно определени FNP.

    Частни производни и тотални диференциали от по-високи разряди на FNP.

    Крайности (локални, условни, глобални) на FNP.

    Производна по посока и градиент.

    Допирателна равнина и нормала към повърхността.

Типично решение

Задача 1.Намерете производни на функции:

б)
;

V)
;

G)

д)

Решение.При решаване на задачи а)-в) прилагаме следните правила за диференциране:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) ако, т.е.
тогава е сложна функция
.

Въз основа на дефиницията на правилата за производна и диференциране е съставена таблица с производни на основни елементарни функции.

1
,

8
,

2
,

9
,

3
,

10
,

4
,

11
,

5
,

12
,

6
,

13
.

7
,

Използвайки правилата за диференциране и таблицата с производни, намираме производните на тези функции:

Отговор:

Отговор:

Отговор:

Тази функция е експоненциална. Нека приложим метода на логаритмичното диференциране. Нека логаритмуваме функцията:

.

Нека приложим свойството на логаритмите:
. Тогава
.

Различаваме двете страни на равенството по отношение на :

;

;

;

.

Функцията е посочена имплицитно във формуляра
. Разграничаваме двете страни на това уравнение, като вземем предвид функция от:

Нека изразим от уравнението :

.

Функцията се задава параметрично
Производната на такава функция се намира по формулата:
.

Отговор:

Задача 2.Намерете диференциала от четвърти ред на функцията
.

Решение.Диференциал
се нарича диференциал от първи ред.

Диференциал
се нарича диференциал от втори ред.

Диференциалът от n-ти ред се определя по формулата:
, където n=1,2,…

Нека намерим производните последователно.

Задача 3.В кои точки от графиката на функцията
нейната допирателна е успоредна на правата
? Направете рисунка.

Решение.По условие допирателните към графиката и дадената права са успоредни, следователно ъгловите коефициенти на тези прави са равни един на друг.

Директен наклон
.

Наклон на допирателна към крива в дадена точка намираме от геометричния смисъл на производната:

, където  е ъгълът на наклона на допирателната към графиката на функцията
в точка .

.

За да намерим ъгловите коефициенти на желаните прави линии, създаваме уравнението

.

След като го решим, намираме абсцисата на двете точки на допиране:
И
.

От уравнението на кривата определяме ординатите на допирателните точки:
И
.

Да направим рисунка.

Отговор: (-1;-6) и
.

Коментирайте : уравнение на допирателната към крива в точка
има формата:

уравнението на нормалата към кривата в точка има формата:

.

Задача 4.Проведете пълно изследване на функцията и начертайте нейната графика:

.

Решение.За пълно изследване на функцията и изграждане на нейната графика се използва следната приблизителна диаграма:

    намерете областта на дефиниция на функция;

    изследва функцията за непрекъснатост и определя характера на точките на прекъсване;

    изследва функцията за четност и нечетност, периодичност;

    намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси;

    изследва функцията за монотонност и екстремум;

    намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост, точки на инфлексия;

    намерете асимптотите на графиката на функцията;

    За да се изясни графиката, понякога е препоръчително да се намерят допълнителни точки;

    Използвайки получените данни, изградете графика на функцията.

Нека приложим горната схема, за да изучим тази функция.

Функцията не е нито четна, нито нечетна. Функцията не е периодична.

Точка
- точка на пресичане с оста Ox.

С оста Oy:
.

Точка (0;-1) – пресечната точка на графиката с оста Oy.

    Намиране на производната.

при
и не съществува кога
.

Критични точки:
И
.

Нека изучим знака на производната на функцията върху интервали.

Функцията намалява на интервали
; нараства – през интервала
.


    Намиране на втората производна.

при
и не съществува за .

Критични точки от втори вид: и
.

Функцията е изпъкнала на интервала
, функцията е вдлъбната на интервалите
.

Инфлексна точка
.


Нека докажем това, като изследваме поведението на функцията близо до точката.

Нека намерим наклонените асимптоти

Тогава
- хоризонтална асимптота

    Нека намерим допълнителни точки:

    Въз основа на получените данни изграждаме графика на функцията.

Задача 5.Нека формулираме правилото на Бернули-Л'Хопитал като теорема.

Теорема: ако две функции
И
:


.

Намерете границите, като използвате правилото на Бернули-Л'Хопитал:

а)
; б)
; V)
.

Решение.А) ;

V)
.

Нека приложим идентичността
. Тогава

Задача 6.Дадена функция
. намирам , ,
.

Решение.Нека намерим частните производни.

Пълна диференциална функция
изчислено по формулата:

.

Отговор:
,
,
.

Проблем 7Разграничете:

Решение. а)Производната на сложна функция се намира по формулата:

;
;

Отговор:

б) Ако функцията е дадена неявно от уравнението
, тогава неговите частни производни се намират по формулите:

,
.

,
,
.

;
.

Отговор:
,
.

Проблем 8Намерете локални, условни или глобални екстремуми на функция:

Решение. а)Нека намерим критичните точки на функцията, като решим системата от уравнения:




- критична точка.

Нека приложим достатъчни условия за екстремума.

Нека намерим вторите частични производни:

;
;
.

Съставяме детерминанта (дискриминант):

защото
, то в точка M 0 (4; -2) функцията има максимум.

Отговор: Z max =13.

б)
, при условие че
.

За да съставим функцията на Лагранж, прилагаме формулата

- тази функция,

Комуникационно уравнение. може да се съкрати. Тогава. Граници за лява и дясна ръка. Теореми... Документ

... ДИФЕРЕНЦИАЛСЧИТАНИЯФУНКЦИИЕДНОПРОМЕНЛИВА 6 § 1. ФУНКЦИЯЕДНОПРОМЕНЛИВА, ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ 6 1.Дефиниция функцииединпроменлива 6 2. Методи на задание функции 6 3. Сложни и обратни функции 7 4.Елементарно функции 8 § 2. ГРАНИЦА ФУНКЦИИ ...

  • Математика част 4 диференциално смятане на функции на няколко променливи серии диференциални уравнения

    Урок

    Математика. част 4. Диференциалсмятанефункцииняколкопроменливи. Диференциалуравнения Редове: Образователен...математически анализ", " Диференциалсмятанефункцииединпроменлива"и „Интеграл смятанефункцииединпроменлива". ЦЕЛИ И...

    • Диференциалното смятане е клон на математическия анализ, който изучава производни, диференциали и тяхното използване при изследване на функции.

    История на появата

    Диференциалното смятане става самостоятелна дисциплина през втората половина на 17 век, благодарение на трудовете на Нютон и Лайбниц, които формулират основните принципи в диференциалното смятане и забелязват връзките между интегриране и диференциране. От този момент нататък дисциплината се развива заедно с смятането на интегралите, като по този начин формира основата на математическия анализ. Появата на тези изчисления откри нов модерен период в математическия свят и предизвика появата на нови дисциплини в науката. Той също така разшири възможността за използване на математическите науки в науката и технологиите.

    Основни понятия

    Диференциалното смятане се основава на фундаментални концепции на математиката. Те са: непрекъснатост, функция и граница. С течение на времето те придобиха съвременната си форма, благодарение на интегралното и диференциалното смятане.

    Процес на създаване

    Формирането на диференциалното смятане под формата на приложен и след това научен метод се случи преди появата на философската теория, създадена от Николай Кузански. Неговите трудове се считат за еволюционно развитие от преценките на древната наука. Въпреки факта, че самият философ не е бил математик, неговият принос за развитието на математическата наука е неоспорим. Кузански е един от първите, които се отдалечават от разглеждането на аритметиката като най-прецизната област на науката, поставяйки под съмнение математиката от онова време.

    Древните математици са имали универсален критерий за единство, докато философът е предложил безкрайността като нова мярка вместо точно число. В това отношение представянето на точността в математическата наука е обърнато. Научното знание според него се разделя на рационално и интелектуално. Второто е по-точно, според учения, тъй като първото дава само приблизителен резултат.

    Идея

    Основната идея и концепция в диференциалното смятане е свързана с функцията в малки околности на определени точки. За целта е необходимо да се създаде математически апарат за изследване на функция, чието поведение в малък квартал от установени точки е близко до поведението на полиномна или линейна функция. Това се основава на определението за производна и диференциал.

    Появата е причинена от голям брой проблеми от природните науки и математиката, които доведоха до намиране на стойности на граници от един тип.

    Една от основните задачи, които се дават като пример, започвайки от гимназията, е да се определи скоростта на точка, движеща се по права линия и да се построи допирателна към тази крива. Диференциалът е свързан с това, защото е възможно да се апроксимира функцията в малък квартал на въпросната линейна функционална точка.

    В сравнение с концепцията за производна на функция на реална променлива, дефиницията на диференциалите просто преминава към функция от общ характер, по-специално към образа на едно евклидово пространство към друго.

    Производна

    Нека точката се движи по посока на оста Oy, нека вземем x за време, което се брои от определено начало на момента. Такова движение може да се опише с помощта на функцията y=f(x), която се присвоява на всеки момент от време x от координатите на точката, която се премества. В механиката тази функция се нарича закон на движението. Основната характеристика на движението, особено на неравномерното движение, е, когато дадена точка се движи по оста Oy съгласно закона на механиката, тогава в произволен момент от време x тя придобива координатата f(x). В момента x + Δx, където Δx означава увеличението на времето, неговата координата ще бъде f(x + Δx). Така се образува формулата Δy = f(x + Δx) - f(x), която се нарича нарастване на функцията. Той представлява пътя, изминат от точка във времето от x до x + Δx.

    Във връзка с възникването на тази скорост в момента се въвежда производна. В произволна функция производната във фиксирана точка се нарича граница (при условие, че съществува). Може да бъде обозначено с определени символи:

    f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

    Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциране.

    Диференциално смятане на функция на няколко променливи

    Този метод на смятане се използва, когато се изучава функция с няколко променливи. Като са дадени две променливи x и y, частната производна по отношение на x в точка A се нарича производна на тази функция по отношение на x с фиксирано y.

    Може да се обозначава със следните символи:

    f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x.

    Необходими умения

    За да научите успешно и да можете да решавате дифузии, са необходими умения за интеграция и диференциация. За да улесните разбирането на диференциалните уравнения, трябва да имате добро разбиране на темата за производните и също така няма да навреди да научите как да търсите производната на имплицитно дадена функция. Това се дължи на факта, че в процеса на обучение често ще трябва да използвате интеграли и диференциране.

    Видове диференциални уравнения

    В почти всички тестове, свързани с има 3 вида уравнения: хомогенни, с разделими променливи, линейни нехомогенни.

    Има и по-редки видове уравнения: с пълни диференциали, уравнения на Бернули и др.

    Основи на решението

    Първо, трябва да запомните алгебричните уравнения от училищния курс. Те съдържат променливи и числа. За да решите обикновено уравнение, трябва да намерите набор от числа, които отговарят на дадено условие. По правило такива уравнения имат само един корен и за да се провери коректността е необходимо само да се замени тази стойност на мястото на неизвестното.

    Диференциалното уравнение е подобно на това. Като цяло такова уравнение от първи ред включва:

    • Независима променлива.
    • Производна на първата функция.
    • Функция или зависима променлива.

    В някои случаи едно от неизвестните, x или y, може да липсва, но това не е толкова важно, тъй като наличието на първа производна, без производни от по-висок ред, е необходимо, за да бъдат решението и диференциалното смятане правилни.

    Решаването на диференциално уравнение означава намиране на множеството от всички функции, които отговарят на даден израз. Такъв набор от функции често се нарича общо решение на DE.

    Интегрално смятане

    Интегралното смятане е един от клоновете на математическия анализ, който изучава понятието интеграл, свойствата и методите за неговото изчисляване.

    Често изчисляването на интеграла се случва при изчисляване на площта на криволинейна фигура. Тази област означава границата, към която площта на многоъгълник, вписан в дадена фигура, се стреми с постепенно увеличаване на страните му, докато тези страни могат да бъдат направени по-малки от всяка предварително определена произволна малка стойност.

    Основната идея при изчисляването на площта на произволна геометрична фигура е да се изчисли площта на правоъгълник, тоест да се докаже, че неговата площ е равна на произведението на дължината и ширината. Що се отнася до геометрията, всички конструкции се правят с помощта на линийка и компас и тогава съотношението дължина към ширина е рационална стойност. Когато изчислявате площта на правоъгълен триъгълник, можете да определите, че ако поставите един и същ триъгълник един до друг, ще се образува правоъгълник. В успоредник площта се изчислява по подобен, но малко по-сложен метод, като се използват правоъгълник и триъгълник. При полигоните площта се изчислява чрез триъгълниците, включени в нея.

    При определяне на площта на произволна крива този метод няма да работи. Ако го разделите на единични квадратчета, тогава ще има незапълнени пространства. В този случай те се опитват да използват две покрития, с правоъгълници отгоре и отдолу, в резултат на което включват графиката на функцията и не го правят. Тук важен е методът на разделяне на тези правоъгълници. Освен това, ако вземем все по-малки деления, тогава площта отгоре и отдолу трябва да се сближава при определена стойност.

    Трябва да се върнете към метода на разделяне на правоъгълници. Има два популярни метода.

    Риман формализира дефиницията на интеграл, създаден от Лайбниц и Нютон като площ на подграф. В този случай разгледахме фигури, състоящи се от определен брой вертикални правоъгълници и получени чрез разделяне на сегмент. Когато при намаляване на дяла има граница, до която се намалява площта на подобна фигура, тази граница се нарича интеграл на Риман на функция върху даден сегмент.

    Вторият метод е конструирането на интеграла на Лебег, който се състои от разделяне на дефинираната област на части от интегранд и след това съставяне на интегралната сума от получените стойности в тези части, разделяне на диапазона от стойности на интервали и след което го сумираме със съответните мерки на обратните образи на тези интеграли.

    Съвременни предимства

    Едно от основните ръководства за изучаване на диференциално и интегрално смятане е написано от Фихтенхолц - „Курс по диференциално и интегрално смятане“. Неговият учебник е основно ръководство за изучаване на математическия анализ, което е преминало през много издания и преводи на други езици. Създаден за студенти и отдавна се използва в много учебни заведения като едно от основните учебни помагала. Предоставя теоретични данни и практически умения. Публикуван за първи път през 1948 г.

    Алгоритъм за изследване на функцията

    За да изучавате функция с помощта на методи на диференциално смятане, трябва да следвате вече дефиниран алгоритъм:

    1. Намерете областта на дефиниция на функцията.
    2. Намерете корените на даденото уравнение.
    3. Изчислете екстремуми. За да направите това, трябва да изчислите производната и точките, в които тя е равна на нула.
    4. Заместваме получената стойност в уравнението.

    Видове диференциални уравнения

    DE от първи ред (в противен случай диференциално смятане на една променлива) и техните видове:

    • Разделимо уравнение: f(y)dy=g(x)dx.
    • Най-простите уравнения или диференциално смятане на функция на една променлива, имащи формулата: y"=f(x).
    • Линейна нехомогенна DE от първи ред: y"+P(x)y=Q(x).
    • Диференциално уравнение на Бернули: y"+P(x)y=Q(x)y a.
    • Уравнение с общи диференциали: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

    Диференциални уравнения от втори ред и техните видове:

    • Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни стойности на коефициента: y n +py"+qy=0 p, q принадлежи на R.
    • Линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти: y n +py"+qy=f(x).
    • Линейно хомогенно диференциално уравнение: y n +p(x)y"+q(x)y=0 и нехомогенно уравнение от втори ред: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

    Диференциални уравнения от по-висок ред и техните видове:

    • Диференциално уравнение, позволяващо намаляване на реда: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
    • Линейно уравнение от по-висок ред е хомогенно: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, и нехомогенни: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

    Етапи на решаване на задача с диференциално уравнение

    С помощта на дистанционно управление се решават не само математически или физически въпроси, но и различни задачи от биологията, икономиката, социологията и други неща. Въпреки голямото разнообразие от теми, при решаването на такива проблеми трябва да се придържате към една логическа последователност:

    1. Съставяне на DU. Един от най-трудните етапи, който изисква максимална точност, тъй като всяка грешка ще доведе до напълно неправилни резултати. Трябва да се вземат предвид всички фактори, влияещи върху процеса, и да се определят началните условия. Вие също трябва да се основавате на факти и логични заключения.
    2. Решение на съставеното уравнение. Този процес е по-прост от първата точка, тъй като изисква само строги математически изчисления.
    3. Анализ и оценка на получените резултати. Полученото решение трябва да бъде оценено, за да се установи практическата и теоретичната стойност на резултата.

    Пример за използване на диференциални уравнения в медицината

    Използването на DE в областта на медицината възниква при конструирането на епидемиологичен математически модел. В същото време не трябва да забравяме, че тези уравнения се срещат и в биологията и химията, които са близки до медицината, тъй като изучаването на различни биологични популации и химични процеси в човешкото тяло играе важна роля в това.

    В горния пример за епидемия можем да разгледаме разпространението на инфекцията в изолирано общество. Жителите се делят на три типа:

    • Заразени, брой x(t), състоящи се от индивиди, носители на инфекцията, всеки от които е заразен (инкубационният период е кратък).
    • Вторият тип включва чувствителни индивиди y(t), способни да се заразят при контакт със заразени индивиди.
    • Третият тип включва невъзприемчиви индивиди z(t), които са имунизирани или са починали поради заболяване.

    Броят на индивидите е постоянен, ражданията, естествената смърт и миграцията не се вземат предвид. Ще има две основни хипотези.

    Процентът на заболеваемост в определен момент от време е равен на x(t)y(t) (предположението се основава на теорията, че броят на случаите е пропорционален на броя на пресичанията между болните и възприемчивите представители, които в първия приближението ще бъде пропорционално на x(t)y(t)), в Следователно броят на болните хора се увеличава, а броят на податливите хора намалява със скорост, която се изчислява по формулата ax(t)y(t) ( а > 0).

    Броят на имунизираните индивиди, които са придобили имунитет или са починали, се увеличава със скорост, която е пропорционална на броя на случаите, bx(t) (b > 0).

    В резултат на това можете да създадете система от уравнения, като вземете предвид и трите показателя и да направите изводи въз основа на нея.

    Пример за използване в икономиката

    Диференциалното смятане често се използва в икономическия анализ. Основната задача в икономическия анализ е изследването на величини от икономиката, които са записани под формата на функция. Това се използва при решаване на проблеми като промени в доходите веднага след увеличаване на данъците, въвеждане на мита, промени в приходите на компанията, когато цената на продуктите се промени, в каква пропорция е възможно да се заменят пенсионирани служители с ново оборудване. За да се решат такива въпроси, е необходимо да се конструира функция за свързване от входните променливи, които след това се изучават с помощта на диференциално смятане.

    В икономическата сфера често е необходимо да се намерят най-оптималните показатели: максимална производителност на труда, най-висок доход, най-ниски разходи и др. Всеки такъв индикатор е функция на един или повече аргументи. Например, производството може да се разглежда като функция на вложения труд и капитал. В това отношение намирането на подходяща стойност може да се сведе до намиране на максимума или минимума на функция на една или повече променливи.

    Проблеми от този вид създават клас екстремални проблеми в икономическата област, чието решаване изисква диференциално смятане. Когато един икономически индикатор трябва да бъде минимизиран или максимизиран като функция на друг индикатор, тогава в максималната точка съотношението на увеличението на функцията към аргументите ще клони към нула, ако увеличението на аргумента клони към нула. В противен случай, когато такова отношение клони към някаква положителна или отрицателна стойност, посочената точка не е подходяща, тъй като чрез увеличаване или намаляване на аргумента зависимата стойност може да се промени в желаната посока. В терминологията на диференциалното смятане това ще означава, че изискваното условие за максимума на функция е нулевата стойност на нейната производна.

    В икономиката често има проблеми с намирането на екстремума на функция с няколко променливи, тъй като икономическите показатели са съставени от много фактори. Подобни въпроси са добре проучени в теорията на функциите на няколко променливи, като се използват методи за диференциално изчисление. Такива проблеми включват не само функции, които трябва да бъдат максимизирани и минимизирани, но и ограничения. Подобни въпроси се отнасят до математическото програмиране и се решават с помощта на специално разработени методи, също базирани на този клон на науката.

    Сред методите на диференциалното смятане, използвани в икономиката, важен раздел е граничният анализ. В икономическата сфера този термин означава набор от техники за изследване на променливи показатели и резултати при промяна на обема на създаване и потребление, въз основа на анализа на техните ограничаващи показатели. Ограничаващият индикатор е производната или частните производни с няколко променливи.

    Диференциалното смятане на няколко променливи е важна тема в областта на математическия анализ. За подробно изучаване можете да използвате различни учебници за висши учебни заведения. Един от най-известните е създаден от Фихтенхолц - „Курс по диференциално и интегрално смятане“. Както подсказва името, уменията за работа с интеграли са от голямо значение за решаването на диференциални уравнения. Когато има диференциално смятане на функция на една променлива, решението става по-просто. Въпреки че, трябва да се отбележи, той се подчинява на същите основни правила. За да изучавате функция в диференциалното смятане на практика, е достатъчно да следвате вече съществуващ алгоритъм, който се дава в гимназията и е само леко усложнен, когато се въвеждат нови променливи.

    Лухов Ю.П. Записки от лекции по висша математика. 6

    Лекция 22

    ТЕМА: Диференциално смятане на функции на няколко променливи y x

    Планирайте.

    1. Диференциране на сложни функции. Инвариантност на формата на диференциала.
    2. Неявни функции, условия за тяхното съществуване. Диференциране на неявни функции.
    3. Частни производни и диференциали от по-високи разряди, техните свойства.*
    4. Допирателна равнина и нормала към повърхността. Геометрично значение на диференциала. Формула на Тейлър за функция на няколко променливи.*
    5. Производна на функция по посока. Градиент и неговите свойства.

    Разграничаване на сложни функции

    Нека аргументите на функцията z = f (x, y) u и v: x = x (u, v), y = y (u, v). Тогава функцията f има и функция от u и v. Нека разберем как да намерим неговите частни производни по отношение на аргументите u и v, без да правите директна замяна z = f(x(u, v), y(u, v)). В този случай ще приемем, че всички разглеждани функции имат частни производни по отношение на всичките си аргументи.

    Нека зададем аргумента u увеличение Δ u, без да променя аргумента v. Тогава

    . (16. 1 )

    Ако зададете нарастването само на аргумента v, получаваме:

    . (16. 2 )

    Нека разделим двете страни на равенството (16. 1) върху Δ u и равенства (16.2) върху Δ v и се преместете до границата, съответно, при Δ u → 0 и Δv → 0. Нека вземем предвид, че поради непрекъснатостта на функциите x и y. следователно

    (16. 3 )

    Нека разгледаме някои специални случаи.

    Нека x = x(t), y = y(t). Тогава функцията f(x, y) всъщност е функция на една променлива T и можете да използвате формулите ( 43 ) и замяна на частните производни в тях x и y от u и v към обикновени производни по отношение на T (разбира се, при условие че функциите са диференцируеми x(t) и y(t) ), вземете израз за:

    (16. 4 )

    Нека сега приемем, че as T действа като променлива x, тоест x и y свързани с релацията y = y (x). В този случай, както и в предишния случай, функцията f x. Използвайки формула (16.4) с t = x и предвид това, получаваме това

    . (16. 5 )

    Нека обърнем внимание на факта, че тази формула съдържа две производни на функцията f по аргумент x : отляво е т.нартотална производна, за разлика от частния вдясно.

    Примери.

    1. Нека z = xy, където x = u² + v, y = uv ². Да намерим и. За да направим това, първо изчисляваме частичните производни на трите дадени функции за всеки от техните аргументи:

    Тогава от формула (16.3) получаваме:

    (В крайния резултат заместваме изрази за x и y като функции на u и v).

    1. Нека намерим пълната производна на функцията z = sin (x + y²), където y = cos x.

    Инвариантност на диференциалната форма

    Използвайки формули (15.8) и (16. 3 ), изразяваме пълния диференциал на функцията

    z = f (x, y), където x = x (u, v), y = y (u, v), чрез диференциали на променливи u и v:

    (16. 6 )

    Следователно диференциалната форма се запазва за аргументи u и v същото като за функциите на тези аргументи x и y , тоест еинвариантни (неизменни).

    Неявни функции, условия за тяхното съществуване

    Определение. Функция y от x , определени от уравнението

    F (x, y) = 0, (16.7)

    Наречен неявна функция.

    Разбира се, не всяко уравнение от формата ( 16.7) определя y като уникална (и освен това непрекъсната) функция нах . Например уравнението на елипсата

    комплекти y като двузначна функция наХ : За

    Условията за съществуването на уникална и непрекъсната неявна функция се определят от следната теорема:

    Теорема 1 (няма доказателство). Нека бъде:

    1. функция F(x, y) дефиниран и непрекъснат в определен правоъгълник с център в точката ( x 0, y 0);
    2. F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
    3. при константа x F (x, y) монотонно нараства (или намалява) с увеличаване y .

    Тогава

    а) в някаква околност на точката ( x 0, y 0) уравнение (16.7) определя y като еднозначна функция на x: y = f(x);

    б) при x = x 0 тази функция приема стойността y 0: f (x 0) = y 0;

    в) функцията f (x) е непрекъсната.

    Нека намерим, ако посочените условия са изпълнени, производната на функцията y = f(x) в x.

    Теорема 2. Нека y е функция на x се дава имплицитно от уравнението ( 16.7), където функцията F (x, y) удовлетворява условията на теорема 1. Нека в допълнение- непрекъснати функции в дадена областд съдържаща точка(x,y), чиито координати удовлетворяват уравнението ( 16.7 ), и в този момент
    . Тогава функцията y от x има производна

    (16.8 )

    Доказателство.

    Нека изберем някаква стойностх и съответното му значение y . Нека зададем увеличение на x Δ x, тогава функцията y = f (x) ще получи увеличение Δ y . В този случай F (x, y) = 0, F (x + Δ x, y + Δ y) = 0, следователно F (x + Δ x, y + Δ y) F (x, y) = 0. Отляво в това равенство е пълното нарастване на функцията F(x, y), което може да бъде представено като ( 15.5 ):

    Разделяне на двете страни на полученото равенство на Δх , нека изразим от него: .

    В лимита при
    , предвид това И
    , получаваме: . Теоремата е доказана.

    Пример. Ще го намерим, ако. Да намерим.

    Тогава от формулата ( 16.8) получаваме: .

    Производни и диференциали от по-високи разряди

    Функции с частни производни z = f (x, y) са от своя страна функции на променливи x и y . Следователно могат да се намерят техните частни производни по отношение на тези променливи. Нека ги обозначим така:

    Така се получават четири частни производни от 2-ри ред. Всеки от тях може да бъде разграничен отново според x и y и получаваме осем частични производни от 3-ти ред и т.н. Нека дефинираме производни от по-високи разряди, както следва:

    Определение . Частична производна n-ти ред функция на няколко променливи се нарича първа производна на производната ( n 1)ти ред.

    Частичните производни имат важно свойство: резултатът от диференциацията не зависи от реда на диференциация (например,).

    Нека докажем това твърдение.

    Теорема 3. Ако функцията z = f (x, y) и неговите частични производни
    определени и непрекъснати в точка M(x,y) и в някои от неговите околности, тогава в тази точка

    (16.9 )

    Доказателство.

    Нека разгледаме израза и въведем спомагателна функция. Тогава

    От условията на теоремата следва, че тя е диференцируема на интервала [ x, x + Δ x ], така че теоремата на Лагранж може да се приложи към него: където

    [ x , x + Δ x ]. Но тъй като в близост до точкатаМ дефиниран, диференцируем на интервала [ y, y + Δy ], следователно теоремата на Лагранж може отново да се приложи към получената разлика: , където Тогава

    Нека променим реда на членовете в израза за A:

    И въвеждаме друга спомагателна функция, след което извършвайки същите трансформации като за, получаваме това where. следователно

    Поради приемственост и. Следователно, преминавайки към границата при получаваме това, както се изисква да се докаже.

    Последица. Това свойство е вярно за производни от всякакъв ред и за функции на произволен брой променливи.

    Диференциали от по-висок порядък

    Определение . Диференциал от втори редсе извиква функция u = f (x, y, z).

    По подобен начин можем да дефинираме диференциали от 3-ти и по-високи разряди:

    Определение . Разлика в поръчкатак се нарича общ диференциал на диференциала на порядъка ( k 1): d k u = d (d k - 1 u).

    Свойства на диференциали от по-високи разряди

    1. к Титият диференциал е хомогенен целочислен полином от степенк по отношение на диференциали на независими променливи, чиито коефициенти са частни производник ти ред, умножени по целочислени константи (същите като при обикновеното степенуване):
    1. Диференциалите от порядък по-висок от първия не са инвариантни по отношение на избора на променливи.

    Допирателна равнина и нормала към повърхността. Геометрично значение на диференциала

    Нека функцията z = f (x, y) е диференцируема в околност на точката M (x 0, y 0) . Тогава неговите частични производни са ъгловите коефициенти на допирателните към линиите на пресичане на повърхността z = f (x, y) с равнини y = y 0 и x = x 0 , която ще бъде допирателна към самата повърхност z = f(x, y). Нека съставим уравнение за равнината, минаваща през тези прави. Векторите на допирателната посока имат формата (1; 0; ) и (0; 1; ), така че нормалата към равнината може да бъде представена като тяхното векторно произведение:н = (-,-, 1). Следователно уравнението на равнината може да бъде написано, както следва:

    , (16.10 )

    където z 0 = .

    Определение. Равнината, определена от уравнението ( 16.10 ), се нарича допирателна равнина към графиката на функцията z = f (x, y) в точка с координати(x 0, y 0, z 0).

    От формула (15.6 ) за случая на две променливи следва, че нарастването на функцията f в близост до точкаМ може да се представи като:

    Или

    (16.11 )

    Следователно разликата между приложенията на графиката на функция и допирателната равнина е безкрайно малка от по-висок порядък отρ, за ρ→ 0.

    В този случай диференциалът на функцията f има формата:

    което съответства на нарастването на апликацията на допирателната равнина към графиката на функцията. Това е геометричното значение на диференциала.

    Определение. Ненулев вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в точка M (x 0, y 0) повърхност z = f (x, y) , се нарича нормала към повърхността в тази точка.

    Удобно е да вземете вектора -- n = (,-1).

    z = f(x,y)

    M 0 (x 0, y 0, z 0)

    M (x 0, y 0)

    Пример.

    Нека създадем уравнение за допирателната равнина към повърхността z = xy в точка M (1; 1). Когато x 0 = y 0 = 1 z 0 = 1; . Следователно допирателната равнина се дава от уравнението: z = 1 + (x 1) + (y 1) или x + y z 1 = 0. В този случай нормалният вектор в дадена точка на повърхността има формата: n = (1; 1; -1).

    Нека намерим нарастването на приложението на графиката на функцията и допирателната равнина при движение от точката M до точка N (1,01; 1,01).

    Δ z = 1,01² - 1 = 0,0201; Δ z cas = (1,01 + 1,01 1) (1 + 1 1) = 0,02. следователно

    dz = Δ z cas = 0,02. В този случай Δ z dz = 0,0001.

    Формула на Тейлър за функция на няколко променливи

    Както е известно, функцията F(t) предмет на съществуването на неговите производни на редан +1 може да се разшири с помощта на формулата на Тейлър с остатъчен член във форма на Лагранж (виж формули (21), (2 5 )). Нека запишем тази формула в диференциална форма:

    (16.1 2 )

    Където

    В тази форма формулата на Тейлър може да бъде разширена до случай на функция на няколко променливи.

    Да разгледаме функция на две променливи f(x, y) , имащи точки в квартала ( x 0, y 0 ) непрекъснати производни по отношение на (н + 1)та поръчка включително. Нека зададем аргументите x и y някои увеличения Δ x и Δy и разгледайте нова независима променлива T:

    (0 ≤ t ≤ 1). Тези формули определят сегмент от права линия, свързващ точките ( x 0, y 0) и (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y ). Тогава вместо увеличение Δ f (x 0, y 0) може да се помисли за увеличаване на спомагателната функция

    F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3)

    равно на Δ F (0) = F (1) F (0). Но F(t) е функция на една променлива T , следователно формула (16.1) е приложима към него 2). Получаваме:

    Имайте предвид, че за линейни При промени на променливи диференциалите от по-високи порядки имат свойството инвариантност, т.е

    Замествайки тези изрази в (16.1 2), получаваме Формула на Тейлър за функция на две променливи:

    , (16.1 4 )

    където 0< θ <1.

    Коментирайте.В диференциална форма формулата на Тейлър за случая на няколко променливи изглежда доста проста, но в разширена форма е много тромава. Например, дори за функция от две променливи, нейните първи членове изглеждат така:

    Производна по посока. Градиент

    Нека функциятаu = f (х, г, z) непрекъснато в даден регионди има непрекъснати частни производни в тази област. Нека изберем точка в разглежданата областМ(х, г, z) и начертайте вектор от негоС, посока косинуси на коитоcosα, cosβ, cosγ. На вектораСна разстояние Δсот началото му ще намерим точкаМ1 (x+Δ x, y+Δ y,z+ Δ z), Където

    Нека си представим пълното увеличение на функциятаfкато:

    Където

    След разделяне на Δсполучаваме:

    .

    Тъй като предишното равенство може да се пренапише като:

    (16.15 )

    Определение.Границата на съотношението при се наричапроизводна на функцияu = f (х, г, z) по посока на вектораСи е обозначен.

    Освен това от (16.1 5 ) получаваме:

    (16.1 6 )

    Бележка 1. Частичните производни са специален случай на производна по посока. Например, когато получим:

    .

    Бележка 2.По-горе геометричното значение на частичните производни на функция на две променливи беше дефинирано като ъгловите коефициенти на допирателните към линиите на пресичане на повърхността, която е графиката на функцията, с равниних = х0 Иy = y0 . По подобен начин можем да разгледаме производната на тази функция по посокалв точкатаM(x0 , г0 ) като ъглов коефициент на пресечната линия на дадена повърхност и равнина, минаваща през точкаМуспоредна на остаОzи правл.

    Определение. Вектор, чиито координати във всяка точка от дадена област са частни производни на функциятаu = f (х, г, z) в този момент се наричаградиентфункцииu = f (х, г, z).

    Обозначаване:градu = .

    Градиентни свойства

    1. Производна по отношение на посоката на някакъв векторСе равно на проекцията на вектораградuкъм векторС.

    Доказателство. Единичен вектор на посокатаСизглежда катодС ={ cosα, cosβ, cosγ), следователно дясната страна на формула (16.16 ) е скаларното произведение на векторитеградuИдс, тоест посочената проекция.

    1. Производна в дадена точка по посока на вектораСима най-голяма стойност, равна на |градu|, ако тази посока съвпада с посоката на градиента. Доказателство. Нека означим ъгъла между векторитеСИградuпрез φ. Тогава от свойство 1 следва, че

    | градu|∙ cosφ, (16.1 7 )

    следователно максималната му стойност се постига при φ=0 и е равна на |градu|.

    1. Производна по посока на вектор, перпендикулярен на вектораградu, е равно на нула.

    Доказателство.В този случай във формула (16.17)

    1. Акоz = f (х, г) тогава функция на две променливиградf= насочен перпендикулярно на линията на нивотоf (х, г) = ° С, преминавайки през тази точка.

    Катедра по информатика и висша математика KSPU

    Препис

    1 PA Velmisov YuV Pokladova Диференциално смятане на функциите на няколко променливи Учебник Ulyanovsk UlSTU

    2 UDC (7 BBK ya7 V 8 Рецензенти: Катедра по приложна математика на Уляновския държавен университет (ръководител на катедрата, доктор на физико-математическите науки, професор A A Бутов; доктор на физико-математическите науки, професор на Уляновския държавен университет A S Андреев Одобрен от редакционно-издателския съвет на университета като учебни наръчници Velmisov P A V 8 Диференциално смятане на функциите на няколко променливи: учебник / P A Velmisov Yu V Pokladova Ulyanovsk: Ulyanovsk State Technical University с ISBN Ръководството е предназначено за бакалаври от всички специалности, изучаващи раздел „Диференциално смятане на функциите на няколко променливи” Ръководството съдържа кратък теоретичен материал теоретични въпроси самостоятелни задачи примери за решаване на задачи и е предназначено да осигури самостоятелна работа на студентите при усвояване на раздела Работата е извършена в катедра „Висша математика” на Уляновския държавен технически университет Публикувано в авторското издание UDC (7 BBK ya7 Velmisov P A Pokladova Yu V ISBN Design UlSTU

    3 СЪДЪРЖАНИЕ Въведение Теоретични въпроси Теоретичен материал и примери за решаване на задачи Област на функция на няколко променливи Пример за решаване на задача Частични производни Пример за решаване на задача 8 Производни на сложна функция 8 Пример за решаване на задача 9 Производни на неявна функция Пример за решаване проблемът Диференциал Пример за решаване на проблема Приложение на диференциала при приблизителни изчисления на стойностите на функцията 7 Пример за решение на проблем 7 7 Формули на Тейлър и Маклорен 8 Пример за решение на проблем Допирателна равнина и нормала към повърхност 9 Пример за решение на проблем Градиент и направление производна Пример за решение на задача 9 Екстремум на функция от няколко променливи Пример за решение на задача Пример за решение на задача Условен екстремум на функция от няколко променливи Пример за решение на задача 7 Най-малката и най-голямата стойност на функция от две променливи в областта 9 Пример за решаване на задача 9 Метод на най-малките квадрати Пример за решаване на задача Пример за решаване на задача Пример за решаване на задача 8 Изчислителни задачи 9 Литература

    4 ВЪВЕДЕНИЕ Активната самостоятелна работа на студентите е важен фактор за овладяването на математиката и овладяването на нейните методи.Системата от стандартни изчисления активира самостоятелната работа на студентите и допринася за по-задълбочено изучаване на курса на висшата математика.Това ръководство е предназначено за бакалаври от всички специалности, изучаващи раздела „Диференциално смятане на функциите на няколко променливи" Насочено е към развиване на уменията на студентите за решаване на стандартни задачи. Ръководството съдържа кратък теоретичен материал, теоретични въпроси, индивидуални задачи, примери за решаване на задачи и има за цел да осигури самостоятелно решаване на задачи работа на студентите при усвояване на раздела Теоретичните въпроси са общи за всички студенти; всяка от задачите, включени в това ръководство, е представена с 8 варианта.За всяка тема е изложена накратко основната теоретична информация, дадени са решения на типични примери.Решенията предоставят основните формули за правилата за позоваване на теорията

    5 Теоретични въпроси Дефиниция на функция на две променливи от нейната област на дефиниране Геометрична интерпретация на тези понятия Концепцията за функция на три променливи Концепцията за границата на функциите на две и три променливи в точка Концепцията за непрекъсната функция на няколко променливи Частични производни на функции на две и три променливи Дефиниция на диференцируема функция в точка Диференциал от първи ред на функции на две и три променливи три променливи Уравнения на допирателна равнина и нормала към повърхност Частични производни на комплексна функция на няколко независими променливи Обща производна 7 Диференциране на имплицитни функции на една и няколко независими променливи 8 Определяне на частни производни от по-високи порядъци Диференциал от втори ред на функции на две и три променливи 9 Формула на Тейлър и формула на Маклорен за функция на две променливи Градиент и посока производна Концепцията за точката на екстремума на функции на две и три променливи Необходими и достатъчни условия за екстремума на функция на две променливи Необходими и достатъчни условия за екстремума на функция на три променливи Концепцията за условна точка на екстремум на функция на две променливи Необходими и достатъчни условия за условния екстремум на функция на две променливи Метод на умножителите на Лагранж Намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция на две променливи в затворена ограничена област 7 Метод на най-малките квадрати

    6 Теоретичен материал и примери за решаване на проблеми Област на дефиниране на функция от няколко променливи Нека D е набор от двойки стойности на независими променливи и Определение Ако всяка двойка D е свързана с определена стойност на променлива, тогава те кажете, че това е функция на две независими променливи и дефинирана върху множеството D (означено с: f Наборът D, за елементите на който има стойности, се нарича област на дефиниране на функцията f (Дефиниция Ако всеки набор от стойности на независими променливи от определено множество D R съответства на определена стойност на променливата u, тогава те казват, че u е функция на променливи, дефинирани в множеството D (u f Пример за решаване на проблема Намерете и изобразете областта на дефиницията функции = (Решение: Логаритмичната функция е дефинирана само когато аргументът е положителен, следователно > или< Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

    7 Означава се с u f или u k k k f k Ако е необходимо, посочете променливите, от които зависи функцията, например f k За функция f от две променливи по дефиниция имаме f f f f lm - частна производна по отношение на f f f f lm - частна производна по отношение на. Използват се и обозначения, в които простото число не се поставя отгоре, например f f f k Забележка В съответствие с дефиницията, частната производна по отношение на променливата k k се изчислява съгласно обичайните правила и формули за диференциране, валидни за функция на една променлива (в този случай всички променливи с изключение на k се считат за константи. Например, когато се изчислява частната производна по отношение на променлива от функцията f, променливата се счита за константа и обратно. Определение Чрез частни производни на функцията от ти ред u f се наричат ​​частни производни на неговите частни производни от първи ред Съгласно дефиницията производните от втори ред се обозначават и намират, както следва: u u u - производна от втори ред по отношение на променливата k k k k k u u u - смесена производна от втори ред по отношение на k k k променливи k и f: По-специално, за функции на две променливи Простите числа отгоре могат да бъдат пропуснати По подобен начин се дефинират и обозначават частни производни от порядък по-висок от втория Забележка Резултатът от многократно диференциране на функция по отношение на различни променливи не зависи от реда на диференциране, при условие че получените смесени частни производни са непрекъснати 7

    8 Пример за решаване на задача Дадена функция s Покажете, че Решение Намерете частните производни os ; операционна система ; os os s ; os s; os os s Замествайки намерените частични производни в лявата страна на това уравнение, получаваме идентичността os s, както се изисква за доказване на os s s Производни на комплексна функция Нека u f ( е диференцируема функция на променливи, които сами по себе си са диференцируеми функции на независими променлива t: (t (t (t) Тогава производната на сложна функция u f ((t (t) по отношение на променлива t се изчислява по формулата: du u d u d u d (dt dt dt dt Ако u f (t където (t (t ( t тогава производната на функцията u по отношение на t (нарича се обща производна е равна на du u u d u d u d (dt t dt dt dt Нека u f (където (t t t m (t t t m (t t t m и t t t са независими променливи)). Частични m производни на функцията u по отношение на променливите t t t се изразяват както следва: u u u u t t t t 8

    9 u t k u t u u u t t (u u u u tm t m t m t m Ако u f (t t m където (t t t m тогава f f l t l t k m k l k) Пример за решаване на задачата Намерете производната du dt на сложна функция u t t ost Решение Тъй като функцията u е функция на една независима du променлива t, тогава е необходимо за изчисляване на обикновената производна dt du u d u d u d Използваме формулата (: dt dt dt dt Намерете производните, включени в тази формула: u u u d d d t s t dt t dt dt Нека ги заместим във формулата (du t (s t dt t Нека изразим променливите чрез t du t os t t t os t t t t dt t t os t t ost 8(t ost (t t s t t os t s t Намерете частните производни u osv l(v w w e v e u u на сложна функция 9)

    10 Решение Функцията u е функция на две променливи v и w Променливите v и w от своя страна са функции на две независими променливи и Нека намерим частните производни: w w v e v e u v u w e e s v v v w w v w u u Намираме производните с помощта на формулите (: u u v u w v sv v w v w s(e (e (e (e e e w v w (e ( e s(e e ; (e (e (e u u v u w v w s v e e v w v w v w) (e (e (e e e) Производните на неявната функция, дадена с F се изчисляват с помощта на формулите u F (u k F k u (u k) (при условие, че F (u Частични производни на неявната функция u f с помощта на уравнението u u По-специално, производната на неявна функция (дадена от уравнение F (може да се изчисли по формулата: d F (d F при условие, че F ; частни производни) на неявната функция (посочена от уравнение F (намира се както следва): F F (F F при условие, че F производната по отношение на променливата k на функцията u f, дадена от уравнението F u може да бъде

    11 също беше намерено чрез диференциране на това уравнение по отношение на k; в този случай е необходимо да се вземе предвид зависимостта на u от k. По-специално, производната на неявната функция (дадена с помощта на уравнението F (може да бъде намерена) чрез диференциране на уравнението F (по отношение на променливата x; в този случай е необходимо да се вземе предвид зависимостта от x) Забележка Производните от по-високи порядъци се изчисляват въз основа на формулите (((или чрез диференциране на уравненията F u F (F (подходящия брой пъти) Пример за решаване на проблема Намерете производната от първи ред на неявна функция (дадена от уравнението l tg Метод на решение: Производна на неявна функция (дадена от уравнението d F F ( може да бъде изчислено по формулата (: d F (F F os (os (Намерете производната на имплицитната функция: d F os (os (d F os (os) (В този случай F l tg метод: Диференцирайте двете страни на уравнението l tg) променлива x, като се има предвид функцията y на x: l (tg (os Изразете: os (os (по Намерете частичните производни от първи ред на неявната функция (дадена от уравнението

    12 Метод на решение: Производни на неявната функция (дадени с помощта на F от уравнението F (може да се изчисли по формулата (: F F F В този случай F(F F) Намерете частните производни на неявната функция: F F F F F метод: Диференцирайте двете страни на уравнението по отношение на променливата x, считайки го за функция на: ((Изразяваме: По същия начин, диференцираме двете страни на уравнението по отношение на променливата, считайки го за функция на: ((Изразяваме: Намерете втория ред производна на неявната функция (дадена от уравнението l Метод на решение: Производната на неявната функция (дадена от уравнението d F F (може да се изчисли по формулата (: d F В този случай d Намерете производната: d F(l) F F

    13 F F d d Намираме втората производна по правилото за диференциране на сложна функция, като вземем предвид, че y зависи от x (((d d d d d d d d d d d d d d Замествайки d d в получения израз, намираме: (d d метод: Нека диференцираме двете страни на уравнение l по отношение на променливата x, считайки y за функция на x: ((l ; (Нека отново разграничим двете страни на уравнението по отношение на променливата x, като разглеждаме y като функция на x: (Изразете ((Заместете в резултатен израз: (Намерете частичните производни от втори ред на неявната функция (посочена от уравнението) Метод на решение: Производни на неявната функция (посочена по уравнението (F може да се изчисли с помощта на формулата (: F F F F

    14 В този случай (F F F F Намираме частните производни на неявната функция: F F F F Намираме втората производна според правилото за диференциране на сложна функция, като я считаме за функция на: Замествайки в получените изрази намираме: 9-ти метод: Ние диференцираме двете страни на уравнението по отношение на променливата x, като я разглеждаме като функция на: (Изразете: Ние диференцираме допълнително пъти, когато двете страни на уравнението се считат за функция на променливата: Ние изразяваме

    15 Нека заместим в получения израз: Производните се намират по подобен начин 9 За да го намерим, е необходимо оригиналното уравнение да се диференцира два пъти по отношение на функцията на За да се намери смесеното производно, първоначалното уравнение се диференцира първо по отношение на и тогава по отношение на (или обратно Диференциално определение Пълното нарастване на функцията u f M е разликата u f f Определение Функция u f в точка M в точка със съответните нараствания на аргументите се нарича диференцируема, ако в някаква близост на тази точка общото нарастване на функцията може да бъде представена като u A A A o((където A A A са числа, независими от Определение Диференциалът от първи ред du на функцията u f в точката M е главната част от общото нарастване на тази функция в разглежданата точка е линейна с по отношение на: du A A A За диференциала на функцията u f е валидна следната формула: u u u du d d d (където d d d По-специално, за функцията f на две променливи имаме

    16 Диференциал чрез символна формула d d d (функцията от k-ти ред u f се изразява с k d u d d d u (По-специално, за du формулата (и d u се намира, както следва u d u dk d (m k m km) Например, в случай на функция f от две променливи, формулите са валидни за диференциали от ти и ти ред d d dd d d d d dd d (k (7 Пример за решаване на задачата Намерете диференциал от трети ред d u на функция u e l Решение Намерете всички частни производни до трети ред включително : u e u e l u e u e l u e u e u e u e l Намерете диференциал от трети ред на функция u от две променливи с помощта на формулите ((7: u u u u d u d d d dd d e d e d d e dd e l d Намерете диференциал от втори ред d u на функция u Решение За да намерите диференциал от втори ред на функция от три променливи, използваме формулите ((:

    17 d u d d d u u u u u u u d d d dd dd dd Нека намерим всички частични производни до втори ред включително: u u u u u u u u u u Нека намерим диференциала от втори ред на функция u от три променливи: d u d d d dd dd dd Приложение на диференциала в приблизителните изчисления на стойностите на функцията За достатъчно малка стойност, съгласно формулата (за диференцируема функция u f, приблизителното равенство u du или f f df, където df се определя от формулата (По-специално, за функция f от две променливи за достатъчно малки, има приблизително равенство d или f f f (f ((Пишем формулата (в точка (: f f f f (((Въвеждайки формулата (пренаписваме я във формата f f f (( f ((Имайки стойностите на функцията f и нейните) частични производни в точка, използвайки формулата (можете да изчислите стойността на функцията f в точка, разположена достатъчно близо до точката. Пример за решаване на задачата Изчислете приблизителната стойност на функцията (в точка A(9; Решение Приблизителна стойност на функцията (в точката Нека изчислим по формулата (: 7

    18 ((((Имаме 9 ; нека поставим Изчислете стойността на функцията в точката с координати: Тъй като ((тогава (Заместете във формулата: 9; (9 (9 (7 Формули на Тейлър и Маклорен) За функция f от две променливи в точка, формулата на Тейлър има формата df (d f (d f (f (f (R (7!!! където R o( е остатъчният член). По-специално, до членове от втори ред по отношение на Формулата на Тейлър може да бъде представена като f (f (f ((f ((! 8 f ((f (((f ((R! В специалния случай с формула (7) се нарича формула на Маклорен) Пример за решение на задача 7 Разширяване функцията (e в околност на точката M(ограничена до членове от втори ред включително Решение В този случай формулата на Тейлър (7) приема формата df (d f (f (f (R където R е остатъчният член!! на Формула на Тейлър Нека намерим стойностите на всички частични производни на функцията до втория ред включително в точка M: (e ((e (((e ((e 9 (9 (e ( (Нека съставим диференциалите на) функцията до втори ред включително d((d (d d d

    19 d ((d (dd (d d dd 9d) Като се има предвид, че d d получаваме: (((9(e ((R 8 Допирателна равнина и нормала към повърхността) Определение Допирателна равнина към повърхността в нейната точка M (точката на допирателна е равнината, съдържаща всички допирателни към криви, начертани на повърхността през тази точка Определение Нормалата към повърхността в нейната точка M е правата, перпендикулярна на допирателната равнина в тази точка и минаваща през точката на допирателна M Ако уравнението на повърхността е дадено в изрична форма f, тогава уравнението на допирателната равнина в точка M (има формата f (f (((8 Нормални уравнения (f (f ((8 Ако уравнението на повърхността е дадено в неявната форма F (тогава уравнението) на допирателната равнина в точка M (има формата F (F((F((8 (Нормални уравнения) (8 F (F(F (Пример за решение на задача 8 8) Създайте уравнение на допирателната равнина и уравнението на нормално към повърхността в точка M (7 Решение Ако уравнението на повърхността е дадено в изрична форма f, тогава уравнението на допирателната равнина в точка M (има формата (8 f (f (( и нормалните уравнения са на форма (8 f ((f (9

    20 Да намерим стойностите на частичните производни f f в точка M: f f f (f (Замествайки намерените стойности в уравненията на допирателната равнина и нормалата, получаваме: 7 ((или - уравнението на допирателната 7 - уравненията на нормалата 8 Съставете уравнението на допирателната равнина и уравнението на нормалата към повърхността 7 в точка M (Решение Ако уравнението на повърхността е дадено в неявна форма F (тогава уравнението на допирателна равнина в точка M (има формата (8 F (F((F((Нормалата се определя от уравненията (8 F(F(F) (Нека намерим стойностите на частните производни F F F в точка M) : F F F F (F (F (Замествайки намерените стойности в уравненията на допирателната равнина и нормалата, получаваме: (или - уравнение на допирателната равнина; - уравнения на нормалата 9 Градиент и производна по посока Нека функцията f бъде дефинирана в околността на точката и нека е векторът, произтичащ от тази точка. На вектора вземете точка M (Определение на производната по посока на функция f в точка M (наречена граница (ако съществува f (f ( f (M f (M (M lm lm M M M където MM M Концепцията за производна по посока е обобщение на концепцията за частични производни. Производната по посока в точка M характеризира промяната във функцията в тази точка в посоката на вектора , Ако функцията f е диференцируема в точка M (тогава в тази точка

    21 os os където os os са насочващите косинуси на вектора Определение Градиентът на функция f в точка M (вектор, чиито проекции са стойностите на частните производни на функцията в тази точка, се наричат ​​grd j (9 Забележка Производната по посока и градиентът на функция от променливи са дефинирани по подобен начин. Градиентът и производната по посока са свързани помежду си чрез връзката (grd (9 тези производни по посока са равни на скаларното произведение на градиента и единичния вектор Пример на решение на задача 9 Дадено е: функция (rs точка A и вектор Намерете: grd в точка A; производна в точка A по посока на вектора Решение Нека намерим grd в точка A за това изчисляваме и в точка A Имаме: (A (A Така grd (A j) За да намерим производната на функцията f (по посока на вектора, използваме формулата (9 За да направим това, намираме единичния вектор, след което (A grd (A 7)

    22 Екстремум на функция на няколко променливи Нека функцията u f на точка M бъде дефинирана в определена околност Определение Функцията u f на точка има максимум (минимум в M ​​ако съществува околност на точка M, в която за всички точки M (M M е изпълнено неравенството f M f M (съответно f M f M Максимумът или минимумът на функция се нарича неин екстремум, а точките, в които функцията има екстремум, се наричат ​​точки на екстремум (максимум или минимум Необходимо условие) за екстремум Ако функция u f има екстремум в точка M, тогава в тази точка f (M Точките, в които са изпълнени тези условия, се наричат ​​стационарни u f точки на функцията Достатъчно условие за екстремум Нека M е стационарна точка на функцията u f и тази функция е два пъти диференцируема в някои околности на точката M и всички нейни втори частични производни са непрекъснати в точката M Тогава: ако d u d u за всякакви стойности, които не са едновременно равни на нула, тогава функцията u f има минимум в точката M ( максимум; ако d u приема стойности с различни знаци в зависимост от тогава няма екстремум в точка М; ако d u за набор от стойности, които не са равни на нула в същото време, тогава е необходимо допълнително изследване Разгледайте случая на функция на две променливи Определение Функция f (има максимум (минимум) в точка M (ако има околност на точка M, в която за всички точки M (различни от M неравенството f ( f (f (f (Необходимо условие за екстремума на функция на две променливи) Ако диференцируемата функция f (достига екстремум в точката

    23 M (тогава в тази точка частните производни от първи ред са равни на нула f f (((Достатъчно условие за екстремума на функция на две променливи. Нека въведем обозначението: A f B f C f D AB C (( (Нека M (е стационарна точка на функцията f (и нека в околността на точката M функцията има непрекъснати частични производни от втори ред. Тогава: ако D тогава функцията f (има в точката M (екстремум) , а именно максимум в A B и минимум в A B; ако D тогава има екстремум в точката M (липсва; ако D тогава допълнителни изследвания. Разгледайте случая на функция u f (три променливи Критерий на Силвестър За да може неравенството d u да важат за всякакви стойности на d d d, които не са равни на нула, е едновременно необходимо и достатъчно, че: u u u u u u u u u u u u u u За да се запази неравенството d u за всякакви стойности на d d d, които не са равни на нула, едновременно е необходимо и достатъчно, че: u u u u u u u u u u u u u Трябва да се помни, че всички производни се изчисляват в точка M (Примерно решение на задача 8 Намерете екстремуми на функция на две променливи (Решение) Ако диференцируема функция f (достигне екстремум в точка M (тогава, според необходимото условие за екстремум в тази точка, частните производни от първи ред са равни на нула 8 Намерете стационарни точки функции (:

    24 8 Решавайки тази система, получаваме две стационарни точки M (- M (-- Нека използваме достатъчното условие за екстремума на функция от две променливи Намерете A f B f C f (((D AB C Да разгледаме точката M ( -: A B C Тъй като D 8 тогава точката M (- е точка на екстремум, а именно минимум, тъй като A Да намерим минимума на функцията: m 7 Да разгледаме точка M (--: A B C Тъй като D 8 тогава в точка M ( -- няма екстремум Пример за решаване на задача Намерете екстремуми на функция от три променливи u Решение Нека намерим стационарна точка на дадена функция u За да направим това, ние създаваме система от уравнения: u u u решавайки която получаваме; ; Нека намерете частичните производни от втори ред: u u u u u u Нека изчислим техните стойности в стационарната точка M (;; : u u u u u u Намерете диференциала от втори ред на функцията u в стационарната точка M (;; : d u d d d dd dd Да използваме критерия на Силвестър В този проблем:

    25 u u u u u u 8 u u u u u u u Съгласно критерия на Силвестър d u Така че точката M (;; е минималната точка на функцията u според достатъчното условие за екстремума Стойността на функцията в минималната точка u m Условен екстремум Разгледайте задачата за намиране екстремума на функцията u f, при условие че те са свързани с уравненията k k m; m (Уравнения (наречени уравнения на връзката) Определение Функцията u f има условен максимум (условен минимум в точка M, ако има околност на точка M, в която за всички точки M (M M, удовлетворяващи уравненията на връзката неравенството f M f M (съответно f M f M) Проблемът за намиране на условния екстремум се свежда до изследване до обичайния екстремум на функцията на Лагранж m L m f kk k където константите k m k се наричат ​​множители на Лагранж Необходимо условие за условен екстремум Ако функция u f има условен екстремум в точка M, тогава в тази точка L (M L (M k m) За да намерим точката, в която е възможен условен екстремум, ще имаме система m уравнения: L (k k m k

    26, от които се намират неизвестните m Достатъчно условие за условния екстремум Нека решението на системата (Функция u f има в точката m M условен максимум, ако d L и условен минимум, ако d L за всякакви стойности, които m m d d d са не е равно на нула в същото време и такова k d d k m k Условен екстремум на функцията на две променливи B случай на функция f на две променливи в уравнението на връзката (функцията на Лагранж ще приеме формата L f (Система (ще бъде записана в форма L (f ((L (f ((((Нека е решението на тази система и (L (L (((L ((L (Тогава, ако f в точка M (условен максимум; ако условен минимум, тогава функция Можете също да приложите критерия на Силвестър за функцията на Лагранж Критерий на Силвестър: d L (функцията има условен минимум тогава и само ако L L L L L и d L (функцията има условен максимум тогава и само когато L L L L L

    27 за всякакви стойности d d d d, които не са равни на нула в същото време и такива, че Пример за решаване на проблема Намерете условния екстремум на функция на две променливи, ако уравнението на свързване има формата Решение Съставете функцията на Лагранж: L(f ( ost) Намерете точките, в които е възможен условен екстремум За да направите това, съставете система от уравнения (: L L От първото и второто уравнения на системата намираме и приравняваме получените изрази: или от тук Разгледайте два случая: тогава Заместете в уравнението на връзката: ; намерете два корена след това Стойностите не са решения на ценностната система - нейните решения при 9 след това Заместете в уравнението на връзката: ((или 8, което е невярно. Няма решения. Така че системата има уникално решение 9 Метод Нека използваме достатъчното условие за условен екстремум Намерете частичните производни: L L L и съставете детерминанта: ((9 9 (((9 L L (((9 L L Заключение: функцията има в точка M (условен максимум) на функцията в точката на условен максимум 7 m

    28 Метод: L L L Нека намерим диференциала от втори ред на функцията L в точка M (при: 9 d L(L (d L (dd L (d d) Да използваме критерия на Силвестър: 9 dd d So d L за всякакви стойности на d d не е равно на нула в същото време. Така функцията има в точка M (условен максимум) Стойността на функцията в точката на условния максимум е m Пример за решаване на задачата Намерете условния екстремум на функция 8 с уравнението за връзка Решение Метод Нека съставим функцията на Лагранж: L(f (8 ost) Намерете точките, в които е възможен условен екстремум За да направим това, съставяме система от уравнения: L L и я решаваме От първото уравнение изразяваме от второто уравнение изразяваме Приравняване на третото уравнение Така системата има уникално решение Намерете d L(L (d L (dd L (d d d 8) Диференцирайки уравнението на връзката, получаваме d d от където d d Замествайки d в израза за d L, получаваме: 8

    29 d L d d d Така че функцията има условен максимум при Стойността на функцията в точката на условния максимум е m Метод В този случай променливата се изразява лесно чрез уравнението на връзката: Замествайки функцията в уравнението, ние получаваме функция на една променлива: 8 8 Изследвайки функцията на една променлива при 8 получаваме екстремума : - точка на локален максимум - максимална стойност на функцията в тази точка Най-голямата и най-малката стойност на функция на две променливи в домейнът Ако функцията f (е диференцируема в ограничена затворена област D, тогава тя достига своята най-голяма (най-малка стойност или в стационарна, или в гранична точка на област D. За да се намерят най-голямата и най-малката стойност на диференцируема функция в ограничена затворена зона, трябва да: намерите стационарни точки, разположени в тази област, и да изчислите стойностите на функцията в тези точки; намерете най-големите и най-малките стойности на функцията на линиите, образуващи границата на област; изберете най-голямата и най-малката от всички намерени стойности Примерни решения на задачата Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция в ограничена затворена област D от дадена система от неравенства Решение Област D е триъгълник, ограничен по координатни оси и права линия 9

    30 Нека намерим стационарните точки на функцията вътре в областта D. В тези точки частните производни са равни на нула: Решавайки тази система, получаваме точката K. Тази точка не принадлежи към областта D 8 8 следователно няма стационарни точки в областта D. Изследваме функцията на границата на областта Тъй като границата се състои от три секции, описани с три различни уравнения, тогава ще изследваме функцията на всяка секция поотделно: На тази секция (Тъй като - е нарастваща функция на променливата в тогава на сегмента най-малката стойност на функцията ще бъде в точката (: (и най-голямата в точката (: (В този раздел (Нека намерим производната От уравнението получаваме. По този начин най-голямата и най-малката стойност ​​на функцията на границата са сред нейните стойности в точки ((Нека намерим тези стойности: ((или (В този раздел 7 Решаване на уравнение 8 7 получаваме 7 следователно 8 7 Стойността на функцията в тази точка е (и в краищата на сегмента функциите на стойностите, намерени по-горе Сравнявайки получените стойности (((((заключваме, че най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област D са равни, съответно, (максимум и (максимум Пример за решаване на проблема Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция в затворена област D, дадена от неравенството Решение Област D е центърът в началото е кръг с радиус c

    31 Нека намерим стационарните точки на функцията вътре в областта D. В тези точки частните производни са равни на нула: Следователно няма стационарни точки. Изследваме функцията на границата на областта. Съставяме функцията на Лагранж L (Използвайки необходимите условия за съществуването на екстремум, получаваме система от уравнения L L. Решаваме получената система. От първото уравнение изразяваме от второто уравнение изразяваме Уравнявайки, получаваме Заместваме в третото уравнение Така , имаме две точки M M Намерете стойностите на функцията в получените точки: M (M (По този начин най-голямата стойност на функцията е равна на максималната (M ; най-малката стойност на функцията е равна на минималната (M Метод на най-малките квадрати В различни изследвания, базирани на експеримент, се изисква да се установи аналитична връзка f (между две променливи и) Широко използван метод за решаване на този проблем е методът на най-малките квадрати. Нека експериментът доведе до стойности на функцията при съответните стойности на аргумента Резултатите са обобщени в таблицата x y

    32 Първо се установява типът на апроксимиращата функция (или от теоретични съображения, или въз основа на естеството на местоположението на точките в равнината O, съответстващи на експерименталните стойности. След това, с избраната форма на функцията, е необходимо да се изберете параметрите, включени в него, така че да отразява най-добре разглежданата зависимост.Методът на най-малките квадрати е както следва.Разгледайте сбора на квадратите на разликите между стойностите, получени в резултат на експеримента, и също така тези, намерени в резултат за изчисляване на стойностите на функцията (в съответните точки: S (((Нека изберем параметрите така, че тази сума да има най-малката стойност. По този начин проблемът е сведен до изследването на функцията (S до екстремум От необходимото условие за екстремума на функция от няколко променливи следва, че тези стойности отговарят на системата от уравнения S S S или в разширена форма (В случай на линейно приближение на формата, функцията (S приема формата S ((Това е функция с две променливи и ние я изследваме за екстремум. Записваме необходимите условия за екстремум: ((S S

    33 От тук получаваме следната система от уравнения за неизвестните и (Може да се покаже, че системата (има уникално решение за намерените стойности и функцията (S има минимум) В случай на квадратично приближение на форма, функцията (има формата S ((Системата от уравнения (приема формата (((или в разширена форма (Получихме система от три линейни уравнения за определяне на три неизвестни). Ако трябва да намерите функция на форма, тогава функцията (ще бъде записана във формата S (Системата от уравнения (за определяне на неизвестни параметри приема формата

    34 или в разширена форма (Пример за решаване на задача. Експериментално са получени пет стойности на функцията (f за пет стойности на аргумента, които са записани в таблицата. Използвайки метода на най-малките квадрати, намерете функция на формата, която приблизително изразява функцията (f) Направете чертеж, върху който в декартова правоъгълна координатна система построете експериментални точки и графика на апроксимиращите функции Решение Ще търсим функцията (f) под формата на линейна функция Система ( приема формата: Като се има предвид това

    35 7 ще имаме 7 Решавайки тази система намираме: 7 Уравнението на желаната права има формата: 7 Изграждаме графика на y x Пример за решаване на задачата Шест стойности на функцията f бяха експериментално получени (за шест стойности на аргумента, които са записани в таблица 7 Използвайки метода на най-малките квадрати, намерете функция от формата, която приблизително изразява функцията f (Направете чертеж, върху който да построите експериментални точки и графика на апроксимиращата функция в декартова система правоъгълна координатна система. Решение. Ще търсим функцията f (под формата на квадратична функция. Системата (приема формата: Като се има предвид, че

    36 ще имаме Решавайки тази система намираме: Уравнението на търсената функция има формата: Изграждаме графика Експериментално са получени пет стойности на функцията f (за пет стойности на аргумента, които са записани в таблицата Използвайки метода на най-малките квадрати, намерете функция от формата, която приблизително изразява функцията f (Направете чертеж, на който

    37 в декартова правоъгълна координатна система, построете експериментални точки и графика на апроксимиращата функция Решение Ще търсим функцията f (под формата на функция Система (приема формата: Като се има предвид, че ще имаме Решаване на тази система намираме: 7 87 Уравнението на търсената функция има вида: 7 87 Построяваме графика 7

    38 Пример за решаване на задача От правоъгълен лист калай с ширина a направете улей с призматична форма, така че напречното му сечение да има най-голяма площ Решение Нека ABCD лист калай = AD Нека означим =AE, тогава FD = EF = (фиг. Улей с напречно сечение ADFE е направен от лист калай (фиг. тогава долната основа на улука е равна на EF = страната е равна на FD = A E B F D - Фиг. Лист от калай C A G D α α E F Фиг. Напречно сечение на улука Напречното сечение на улука е равнобедрен трапец, намерете неговата горна основа и височина Нека означим със стойността на ъгъла: ADF От точка F спускаме перпендикуляра FG към страната AD от триъгълника GDF намираме GD os и височината на трапеца GF s от тук AD EF GD os - горната основа на трапеца Нека означим с площта на трапеца ADFE Тогава s s s os Имаме функция от две променливи Трябва да намерим най-голямата стойност на функцията в областта Нека създадем система за намиране на стационарни точки на функцията: s s s os os os os Според условията на задачата s, следователно, системата от уравнения приема формата os os os os Решаване на системата, която намираме : os Съгласно условията на този проблем максимумът на функцията съществува, следователно максималната стойност на функцията ще бъде при 8

    39 Изчислителни задачи Задача Намерете и изобразете областите на дефиниране на следните функции: ((= + =l(+ +l l (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+) l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l)) (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s) Задача) Проверете дали функцията f (уравнение f (уравнение l e 9) е дадено

    40 f (уравнение s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e)

    41 f (уравнение l 7 8 s os ros Задача Намерете производни на комплексна функция u (производни u l u du? d du u rs s t os t? dt u v w w v u u? w v u t t t du? dt v w u u u w s v os? w v t du u r tg e lt? dt 7 u e l u du ? d 8 u v w l(v w w e v e u u? 9 u t t t du? dt u e u u v os w w s v? w v u os u du? d

    42 u(производни u tg t t es t e os t du? dt v u u u w w v os? w e e u du u l? d u rtg t e t du? dt u e u u v os w ws v? w v u du 7 u tg? d du 8 u t t s t? dt rsv 7 u u 9 u w v l w 7? u u u e lw w s v? w v u du u e? d du u ros s t os t? dt w u u u tg lw v? v w v v w 7 u u u w v os? w u du u l e e? d du u rtg os t s t? dt u u 7 u r tg lw v wv? w v du 8 u lt t t? dt

    43 Задача Намерете първата производна на неявна функция функция функция s tg os l e 7 e l 7 8 os os os rtg l 9 7 e e 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os l l 8 Задача Намерете диференциали от ти порядък (- независими променливи d u на следните функции u e os 7 u l l u 8 u e u 9 u s u e u u s(os(u l os u l(u e)

    44 Задача Изчислете приблизителната стойност на функцията ((координати на точка A (в точка A координатите на точка A (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l (8; 7 rtg (; 9 ()) ; 9 8 os (99 ; 7 (9; 9 (; 9 u os u s u u u u u u l(7 u l s u es 8 u u os e 9 u l l 7 u u e 8 u) (98; (97; 98 (; 9 (; 98 7 s 8 l (;) 98 (98; 9 () 9; (9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97 (; 97 (; 9 7 l e e)) (98; rs (; 9 8 (97;)

    45 Задача 7 Разгънете функцията (съгласно формулата на Тейлър в точка M, ограничена до членове от втори ред включително (M (M s os e (e (- 7 s s (8 l l ((9 ((s s s s трети ред включително) (( (e os s l(e l) Разгънете функцията (според формулата на Тейлър в точка M (M (M (- (- (- (- (7 ((- 8 ((7 os s e s 8 os l(e os os 9 e)) os l

    46 Задача 8 Създайте уравнения за допирателната равнина и нормалата към посочената повърхност в точка А повърхност A (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (; ; () -; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; ; 7 (; ; 8 (; ; 9 (; ; 9 e (; -/;) l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7

    47 повърхност A (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Задача 9) Дадена е функция (точка A(и вектор (Намерете: grd в точка A; производна в точка A по посока на вектора (A a rtg) ((- (- ((l ((- (- (- ((- l ((- 7 ((8 e ((9 ((- rtg ((- (- - ((- (- (rs ((-) s (( - (- (- ((- 7

    48 (A a 7 e ((8 8 l 9 ((((((rtg (((- rs ((- l ((- 7 ((- ((e ((- l (- (7 8 s (-) (- Задача Намерете екстремуми на функция на две променливи (((l 8l 8 l l 9 (> l l 7 9 9)

    49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Задача Намерете екстремумите на функция на три променливи u (u (u (8 9 l 88l 7l (9)

    50 u (u (((7 8 Задача Намерете условния екстремум на функцията (уравнение на връзката (уравнение на връзката 9 l l за зададеното

    51 (уравнение на връзката l l l 7 l

    52 Задача Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията (в затворена област D по дадена система от неравенства (област D

    53 (област D Проблем Експериментално са получени пет стойности на функцията f (за пет стойности на аргумента, които са записани в таблицата. Използвайки метода на най-малките квадрати, намерете функция под формата Y X, изразяваща приблизително ( апроксимираща функция f (Направете чертеж, на който в декартовата правоъгълна координатна система изобразете експерименталните точки и графиката на апроксимиращата функция Y X x

    54 x Задача Стойностите на функцията f (които са записани в таблицата) са получени експериментално Използвайки метода на най-малките квадрати, намерете функция от вида Y X X (за нечетни опции и Y (за четни опции X X, приближението функция f (Направете чертеж, на който в декартова правоъгълна координатна система изобразете експериментални точки и графика на апроксимиращите функции x x

    55 Задача Решете приложни задачи за най-големите и най-малките стойности Намерете размерите на цилиндър с най-голям обем, направен от детайл във формата на топка с радиус R Покривът на къщата има напречно сечение във формата на равнобедрен триъгълник Какви трябва да бъдат размерите на напречното сечение на правоъгълна стая, построена в тавана, така че обемът на стаята да е най-голям Намерете размерите на детайл с най-голям периметър във формата на правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е дадена Направете правоъгълна кутия от калай (без капак за даден контейнер V с най-малко количество материал) Впишете правоъгълен паралелепипед с най-голям обем в топка с диаметър d Намерете размерите на цилиндричен съд с най-голям капацитет с повърхност S 7 Има правоъгълен лист желязо с определени размери. Изрежете еднакви квадрати в ъглите му с такъв размер, че обемът на получения контейнер при сгъване на ръбовете да е най-голям 8. Повърхността на правоъгълен паралелепипед е равна на Q Намерете размерите на паралелепипед с най-голям обем 9 Сборът от ръбовете на правоъгълен паралелепипед е равен на Намерете размерите на паралелепипед с най-голям обем Намерете правоъгълен паралелепипед с най-голям обем, при условие че неговата дължина по диагонал е равна на d Намерете конус на въртене на обем V с най-малка обща повърхност. Впишете цилиндър с най-малка обща повърхност в топка с диаметър d. От всички правоъгълни паралелепипеди с обща повърхност S намерете този, който има най-голям обем. Определете размерите на конуса на най-голям обем, при условие че страничната му повърхност е равна на S. От всички правоъгълни триъгълници с площ S намерете чиято хипотенуза е с най-малка стойност.От всички триъгълници, вписани в окръжност, намерете този, чиято площ е най-голяма. 7 От всички триъгълници с периметър p намерете най-големия по площ 8 От всички правоъгълници с дадена площ S намерете периметъра на който има най-малка стойност 9 От всички правоъгълни паралелепипеди с обем V намерете този, чиято обща повърхност е най-малкото Представете числото като произведение на четири положителни фактора, така че сборът им да е най-малък.

    56 Намерете триъгълник с даден периметър p, който при завъртане около една от страните си образува тяло с най-голям обем Определете външните размери на отворена правоъгълна кутия с дадена дебелина на стената d и капацитет V, така че най-малкото количество от материал се изразходва за производството му.От всички триъгълници с еднаква основа и една и с еднакъв ъгъл при върха намерете най-големия по площ.Впишете правоъгълен паралелепипед с най-голям обем в топка с радиус R.Впишете правоъгълен паралелепипед от най-големия обем в даден десен кръгъл конус.При какви размери на отворена правоъгълна кутия с даден обем V нейната повърхност ще бъде най-малка? 7 Необходимо е да се изреже сектор от кръг, така че да може да се направи конусообразен филтър с максимален обем 8 Даден е обемът на отворен цилиндричен съд. Какви трябва да бъдат размерите му, така че дължината на заварките е минимална? (Заготовки: лист във формата на кръг основа правоъгълен лист странична повърхност ЛИТЕРАТУРА Висша математика Методически указания и тестови задачи (с програма / Под редакцията на Ю. С. Арутюнов М: Висше училище 98 Данко П. Е. Попов А. Г. Кожевникова Т. Ю. Висша математика в упражнения и задачи Ч М Висше училище 98 Диференциално смятане на функциите на няколко променливи: Указания за попълване на теста / Съставител: NYa Goryacheva YA Reshetnikov Ulyanovsk 999 s Диференциално смятане на функциите на няколко променливи: стандартно изчисление във висшата математика / Съставител: AV Ankilov NYa Goryacheva TB Rasputko Уляновск: Уляновски държавен технически университет с Пискунов Н. С. Диференциално и интегрално смятане T M: Integral-Press с писмено DT Лекции по висша математика: в гл Ch M: Iris-press 88 с 7 Сборник задачи по математика Ch: Учебник за колежи / ред. от A V Efimova A S Pospelova - M: FIZMATLIT - стр. 8 Fikhtengolts GM Курс по диференциално и интегрално смятане T M: FIZMATLIT 8 p.

    57 Учебно електронно издание ВЕЛМИСОВ Петр Александрович ПОКЛАДОВА Юлия Валериевна ДИФЕРЕНЦИАЛНО СЧИСЛЯВАНЕ НА ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ Учебник Усл печ л Обем данни Mb EI Печатно издание LR от 97 г. Подписано за печат Формат 8/ Усл печ л Тираж на екземпляр Поръчка Печатница Уляновск ул. Уляновск 7 г .ev Venets d Уляновски държавен технически университет 7 Ulyanovsk Sev Venets улица Тел: (E-ml:


    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "УЛЯНОВСК ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Уляновски държавен технически университет ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ ТИПИЧНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ В КОМПИЛАТОРИТЕ ЗА ВИСША МАТЕМАТИКА:

    Федерална агенция по образованието МОСКОВСКИЯ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО ГЕОДЕЗИЯ И КАРТОГРАФИЯ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНИК ЗА СТУДЕНТИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО ИЗУЧАВАНЕ НА РАЗДЕЛА

    Функции на няколко променливи В много въпроси на геометрията, природните науки и други дисциплини трябва да се работи с функции на две три или повече променливи Примери: Площ на триъгълник S a h, където a е основата

    Диференциране на имплицитно дадена функция Да разгледаме функцията (,) = C (C = const) Това уравнение дефинира неявната функция () Да предположим, че решихме това уравнение и намерихме експлицитния израз = () Сега можем

    Съставител VPBelkin 1 Лекция 1 Функция на няколко променливи 1 Основни понятия Зависимост = f (1, n) на променлива от променливи 1, n се нарича функция от n аргумента 1, n По-нататък ще разгледаме

    Практически урок ДИФЕРЕНЦИРАНЕ НА КОМПЛЕКСНИ И НЕЯВНИ ФУНКЦИИ Диференциране на сложни функции Диференциране на неявни функции, зададени с едно уравнение Системи от неявни и параметрично определени

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ GOU VPO "СИБИРСКА ДЪРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧЕСКА АКАДЕМИЯ" OG Pavlovskaya ES Plyusnina МАТЕМАТИКА Част Функции на няколко променливи Указания

    Диференциално смятане на функциите на няколко променливи Функции на няколко променливи Величината се нарича функция на променливите величини n, ако всяка точка M n, принадлежаща на определено множество X, е присвоена

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование "Кургански държавен университет" Катедра "Приложна математика"

    ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ Функциите на една независима променлива не покриват всички зависимости, които съществуват в природата. Ето защо е естествено да се разшири добре познатата концепция за функционална зависимост и да се въведе

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Сибирски държавен индустриален университет"

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Московски държавен университет по геодезия и картография О. В. Исакова, Л. А. Сайкова Диференциално смятане на функциите на няколко променливи Препоръчва се

    Федерална агенция за железопътен транспорт Уралски държавен транспортен университет E E Popovsky P P Skachkov ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ Типично изчисление Екатеринбург 1 Федерален

    Въведение Методическите указания са посветени на изучаването и практическото приложение на теорията на функциите на две променливи.Всеки параграф съответства на един практически урок по тази тема.Цел на инструкциите

    МИНИСТЕРСТВО НА ТРАНСПОРТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ УЛЯНОВСКО ВИСШЕ АВИАЦИОННО УЧИЛИЩЕ НА ИНСТИТУТ ЗА ГРАЖДАНСКА АВИАЦИЯ

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА МОСКОВСКИЯ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ "МАМИ" Катедра "Висша математика" М. А. Бодунов, С. И. Бородина, В. В. Показеев, Б. Е. Теуш О. И. Ткаченко, ДИФЕРЕНЦИАЛНО СЧИТАНЕ

    ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ В резултат на изучаването на тази тема ученикът трябва: да може да прилага таблицата с производни и правилата за диференциране, за да изчислява производни на елементарни функции намира производни

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование „Московски авиационен институт (национално изследване

    Тема 8 ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ Лекция 8.1. Функции на няколко променливи. Частични производни План 1. Концепцията за функция на две и няколко променливи. Граница и непрекъснатост

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Сибирски държавен индустриален университет"

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Новгородски държавен университет им.

    5 Точката, в която F F F или поне една от тези производни не съществува, се нарича особена точка на повърхността В такава точка повърхността може да няма допирателна равнина Определение Нормална към повърхността

    Лекции 9 Локални екстремуми на функция на много променливи Дефиниция Нека функция на много променливи f f (дадена на (някое множество D и (някоя точка от това множество) Точката се нарича точка на локално

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "УЛЯНОВСК ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

    Практически урок 5 Екстремум на функция от много променливи 5 Дефиниция и необходими условия за екстремум 5 Малко информация за квадратни форми 53 Достатъчни условия за екстремум 5 Дефиниция и необходими

    I стандартна версия „Интегрално смятане на функции на една променлива“ Задача Изчислете неопределения интеграл I cos d 9 Нека представим този интеграл I като сума от интеграли: d I cos d d d 9 Използвайки

    Практика: „Формула на Тейлър“ Ако функцията f () има производни до (n +)-ти ред включително в интервала (0, 0), 0, тогава за всички x от този интервал формулата на Тейлър (от порядък n) ( ) f е валиден

    Функции на няколко променливи Функции на няколко променливи Повърхнини от втори ред. Дефиниция на функция от x променливи. Геометрична интерпретация. Частични увеличения на функция. Частични производни.

    Лекция 8 Диференциране на комплексна функция Да разгледаме комплексна функция t t t f където ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t t Теорема Нека функциите са диференцируеми в дадена точка N t t t и функцията f е диференцируема

    Поздравления за началото на новата учебна година. Желая ви успех в изучаването на функции на много променливи и диференциални уравнения Уеб страница на катедрата http://kvm.gubkin.ru 1 Функции на много променливи 2 Определение

    I Дефиниция на функция на няколко променливи Област на дефиниция Когато изучаваме много явления, човек трябва да се занимава с функции на две или повече независими променливи.Например телесната температура в даден момент

    Функции на няколко променливи Функции на няколко променливи Екстремум на функция на няколко променливи. Намиране на максималните и минималните стойности на функция в затворена област Условен екстремум Комплекс

    Глава Екстремуми на функция на две променливи Екстремуми на функция на две променливи При решаването на много икономически проблеми е необходимо да се изчислят най-големите и най-малките стойности. Като пример, разгледайте проблема

    ДЪРЖАВНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ "БЕЛОРУСКО-РУСКИ УНИВЕРСИТЕТ" Катедра "Висша математика" ВИСША МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ Методически препоръки

    Министерство на образованието на Руската федерация МАТИ - РУСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНОЛОГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ на името на К Е ЦИОЛКОВСКИ Катедра по висша математика N D ВИСОКИ ЛЕКЦИОННИ БЕЛЕЖКИ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА Част

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА УКРАЙНА НАЦИОНАЛНА МЕТАЛУРГИЧНА АКАДЕМИЯ НА УКРАЙНА МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ за решаване на задачи по дисциплината Висша математика и варианти за практически тестове

    ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ Московски държавен университет по приборостроене и информатика Катедра за висше образование

    ЛЕКЦИЯ Екстремум на функция на няколко променливи Екстремум на функция на няколко променливи Необходими и достатъчни условия за съществуването на екстремум Точка M, 0) се нарича точка на минимум максимум) на функцията

    Министерство на образованието на Република Беларус Образователна институция "Беларуски държавен педагогически университет на името на Максим Танк" ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ, АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

    ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ НА МНОГО ПРОМЕНЛИВИ 3 Функция на две променливи, област на дефиниране, методи на дефиниране и геометрично значение. Определение: z f се нарича функция на две променливи, ако всяка двойка стойности,

    Пензенски държавен университет О.Г.Никитина ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ ДИФЕРЕНЦИАЛНО СЧИСЛЯВАНЕ Учебник Пенза UDC 5755 Никитина О.Г. Функции на няколко променливи Диференциално смятане:

    Федерална агенция по земеделие Федерална държавна образователна институция за висше професионално образование Мичурински държавен аграрен университет Факултет по математика

    II ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Диференциални уравнения от първи ред Определение Отношенията, в които неизвестните променливи и техните функции са под производна или диференциален знак, се наричат

    ЛЕКЦИЯ N. Скаларно поле. Производна по посока. Градиент. Допирателна равнина и нормала към повърхността. Екстремуми на функция на няколко променливи. Условен екстремум Скаларно поле. Производна по отношение на

    Лекции Глава Функции на няколко променливи Основни понятия Някои функции на няколко променливи са добре известни Нека дадем няколко примера За да изчислим площта на триъгълник, е известна формулата на Heron S

    Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше образование "НИЖНИ НОВГОРОДСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ IM R E

    Насоки и варианти за изследователска работа по темата Функция на няколко променливи за студенти от специалност Дизайн. Ако количеството е уникално определено чрез указване на стойностите на количествата и независимо едно от друго,

    П0 Производна Нека разгледаме някаква функция f (), в зависимост от аргумента. Нека тази функция е дефинирана в точка 0 и някои от нейните околности и е непрекъсната в тази точка и нейните околности. Нека разгледаме малка

    БЕЛОРУСКИ ДЪРЖАВЕН ИКОНОМИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ КАТЕДРА ПО ИКОНОМИЧЕСКА ИНФОРМАЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКА ИКОНОМИКА Функции на много променливи Бележки от лекции и семинар за

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ОБРАЗОВАНИЕ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН ИНДУСТРИАЛЕН УНИВЕРСИТЕТ

    Теория на повърхнините в диференциалната геометрия Елементарна повърхнина Дефиниция Регион в равнина се нарича елементарен регион, ако е образ на отворен кръг при хомеоморфизъм,

    Лекция 11. УСЛОВЕН ЕКСТРЕМУМ 1. Концепцията за условен екстремум.. Методи за намиране на условен екстремум.. Най-голямата и най-малката стойност на функция на две променливи в затворена област. 1. Понятието условно

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ СИБИРСКА ДЪРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧЕСКА АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костина, Г.П. Мартинов ВИСША МАТЕМАТИКА Диференциално смятане на функции на няколко променливи,

    Въведение Домашните контролни работи по математически анализ са една от основните форми на текущо наблюдение на самостоятелната работа на учениците. Приблизителното време, необходимо за завършване на DCR е

    Основната форма на обучение за задочници е самостоятелна работа върху учебен материал, състоящ се от следните компоненти: изучаване на материал от учебници, решаване на задачи, самопроверка

    1. Конструирайте областта на дефиниране на следните функции. а) Тъй като функцията е дефинирана в, областта на дефиниране на функцията е множество - полуравнина. б) Тъй като домейнът на функция е

    ФУНКЦИИ НА МНОГО ПРОМЕНЛИВИ 1. Основни понятия. Ако на всяка двойка променливи, независими една от друга от определено множество D, се присвои стойност на променлива, тогава тя се нарича функция от две

    МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РЕПУБЛИКА БЕЛАРУС Беларуски национален технически университет Катедра "Висша математика 1" Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартиненко ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ Методологични

    Въпроси за изпита по математика. II семестър.

    Когато отговаряте на въпрос, трябва да дефинирате всички използвани термини.

    Алгебра.

    1. Групи, пръстени, полета. Изоморфизъм на групите.

    2. Дефиниция на линейно пространство. Теорема за линейно зависими и независими системи от вектори.

    3. Теоремата за линейната зависимост на система от k вектора, всеки от които е линейна комбинация от някаква система от m вектора (k>m).

    4. Основа на линейното пространство. Теорема за инвариантността на броя на елементите на основата. Теорема за броя на елементите на линейно независима система (Т. 1.3, Т. 1.4).

    5. Векторни координати. Теореми за векторни координати (T.1.5 и T.1.7).

    6. Определение и свойства на скаларното произведение. Ъгъл между векторите.

    7. Интервали и .

    8. Подпространство на линейното пространство. Линейна обвивка на система от вектори.

    9. Матрици: определение; събиране и умножение с число. Размерност и базис на пространството на матрици с еднакъв размер.

    10. Матрично умножение. Имоти.

    11. Обратни и транспонирани матрици.

    12. Умножение на матрици, разделени на блокове.

    13. Ортогонални матрици.

    14. Детерминанта на матрицата: дефиниция, разширение в първа колона. Детерминанта на горни и долни триъгълни матрици. Връзка между детерминанти и .

    15. Пренареждания.

    16. Теоремата за изразяване на детерминанта чрез сумата от членове, всеки от които съдържа произведението на матрични елементи (по един от всеки ред и всяка колона), подписани по определено правило.

    17. Свойства на детерминантите: пермутация на редове (колони), разширение в произволна колона (ред), сума от произведенията на елементи от i-тия ред чрез алгебрични допълнения на съответните елементи от j-тия ред.

    18. Линейност на детерминантата върху елементите на ред или колона. Детерминанта на матрица, чиито редове (колони) са линейно зависими. Детерминанта на матрица, към някакъв ред от която се добавя друг ред, умножен по число.

    19. Детерминанта на блоковата матрица. Детерминанта на произведението на матрици.

    20. Обратна матрица. Следствия за триъгълните матрици.

    21. Матрици на елементарни преобразувания.

    22. Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения в случай, че системите са несъгласувани или имат единствено решение.

    23. Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения в случай, че системите имат безкрайно много решения. Структура на общото решение на системите.

    24. Хомогенни системи линейни уравнения.

    25. Теорема на Крамър.

    26. Хоризонтални и вертикални рангове на матрицата. Класиране от непълнолетни. Тяхното съвпадение за трапецовидна матрица.

    27. Инвариантност на ранга на матрица при умножение по неединична. Теорема за равенство на ранговете за произволна матрица.

    28. Теорема на Кронекер-Капели.

    29. Собствени стойности и вектори на матрица. Съвпадение на характеристични полиноми за подобни матрици. Линейна независимост на собствените вектори, съответстващи на различни собствени стойности.

    30. Връзка между линейната зависимост на система от вектори и съответната система от координатни колони. Връзка между координатни колони на един вектор в различни бази.

    31. Линейно картографиране на линейни пространства. Матрица за картографиране в някои бази. Използването му за изчисляване на изображението на вектор. Връзка между картографиращи матрици в различни бази.

    32. Ядро и изображение на дисплея. Рангът на картографирането, връзката му с ранга на матрицата за картографиране.

    33. Собствени стойности и собствени вектори на оператора. Операторна матрица в базис от собствени вектори.

    34. Линейна независимост на собствените вектори, съответстващи на различни собствени стойности на оператора. Собствени подпространства, техните размери. Последствия.

    35. Евклидови и унитарни пространства. Процес на ортогонализиране на Грам-Шмид.

    36. Теорема за собствените стойности и собствените вектори на реална симетрична матрица.

    37. Теорема за ортогоналното подобие на реална симетрична матрица на определена диагонална матрица. Последствия.

    38. Дефиниция на билинейни и квадратични форми. Матрица на билинейна форма в някакъв базис, нейното използване за изчисляване на билинейна форма. Връзка между матрици от една и съща билинейна форма в различни бази.

    39. Теорема за съществуването на ортогонална трансформация на базиса, привеждаща квадратичната форма в каноничната форма. Практически метод за редуциране на квадратична форма до канонична форма с помощта на ортогонална базисна трансформация (метод на собствения вектор). Начертаване на крива

    40. Теорема за необходимото и достатъчно условие за положителната (отрицателната) определеност на квадратна форма.

    41. Теорема за съществуването на триъгълна трансформация на базиса, привеждаща квадратичната форма в каноничната форма. Критерий на Силвестър.

    Математически анализ.

    Диференциално смятане на функции на няколко променливи.

    42. Последователност от точки в .Теорема за координатна сходимост.

    43. Функционална граница Рпроменливи. Непрекъснатост на функцията Рпроменливи. Теорема на Вайерщрас.

    44. Диференцируемост на функция Рпроменливи. Диференцируемост на сумата и произведението на диференцируеми функции.

    45. Функции с частни производни Рпроменливи. Връзката между диференцируемостта на функция и съществуването на частни производни. Пример за функция, която има частични производни в точка А, но не е диференцируема в тази точка.

    46. ​​​​Диференцируемост на функция при съществуване и непрекъснатост на частни производни.

    47. Производна на сложна функция. Частни производни на сложна функция. Инвариантност на формата на първия диференциал.

    48. Частни производни от по-високи разряди. Теорема за равенството на смесените производни.

    49. Диференциали от по-високи разряди. Липса на инвариантност на формата за диференциали от порядък по-висок от първия.

    50. Формула на Тейлър за функция на p променливи.

    51. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявно дадена функция на една променлива. Изчисляване на първа и втора производна на функция y(x), дадено имплицитно от уравнението

    52. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявно зададени функции на p променливи, зададени от система от функционални уравнения. Техники за изчисляване на производни. Изчисляване на първа и втора производна на функция z(x,y), дадено имплицитно от уравнението

    .

    Изчисляване на първи производни на функции y(x), z(x), u(x),даден имплицитно от системата

    .

    53. Определяне на точки на екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за съществуване на точки на екстремум.

    54. Определяне на условни точки на екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за съществуване на условни точки на екстремум. Пример: намерете условните точки на екстремум на функцията при условието .

    Когато отговаряте на оценка 3, трябва да знаете всички дефиниции и формулировки от въпроси 1 – 54, както и доказателства на теореми от въпроси 25, 29, 33, 40, 46, 49. Не можете да използвате бележки (и шпаргалки).

    Подобни материали

    Стихотворения за деца за енергийна сигурност, гатанки, тестове Как е възникнал животът
    Химия

    Стихотворения за деца за енергийна сигурност, гатанки, тестове Как е възникнал животът

    Прием в Държавния академичен университет по хуманитарни науки (Gaugn) Академия на науките
    Химия

    Прием в Държавния академичен университет по хуманитарни науки (Gaugn) Академия на науките

    Смоленский медицински университет: факултети, рецензии на студенти
    Химия

    Смоленский медицински университет: факултети, рецензии на студенти