Призмата се нарича паралелепипед, ако основите му са успоредници. См. Фиг. 1.
Свойства на паралелепипед:
Противоположните лица на паралелепипед са успоредни (т.е. лежат в успоредни равнини) и равни.
Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Съседни лица на паралелепипед– две лица, които имат общ ръб.
Противоположни лица на паралелепипед– лица, които нямат общи ръбове.
Срещуположни върхове на паралелепипед– два върха, които не принадлежат на едно и също лице.
Диагонал на паралелепипед– отсечка, която свързва противоположни върхове.
Ако страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основите, тогава паралелепипедът се нарича директен.
Нарича се прав паралелепипед, чиито основи са правоъгълници правоъгълен. Нарича се призма, чиито лица са квадрати куб.
паралелепипед- призма, чиито основи са успоредници.
Прав паралелепипед- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата.
Правоъгълен паралелепипеде прав паралелепипед, чиито основи са правоъгълници.
куб– правоъгълен паралелепипед с равни ръбове.
паралелепипеднаречена призма, чиято основа е успоредник; Така един паралелепипед има шест лица и всички те са успоредници.
Противоположните лица са по двойки равни и успоредни. Паралелепипедът има четири диагонала; всички те се пресичат в една точка и се разделят наполовина в нея. За основа може да се вземе всяко лице; обемът е равен на произведението на площта на основата и височината: V = Sh.
Паралелепипед, чиито четири странични стени са правоъгълници, се нарича прав паралелепипед.
Прав паралелепипед, чиито шест лица са правоъгълници, се нарича правоъгълен. См. Фиг.2.
Обемът (V) на прав паралелепипед е равен на произведението на основната площ (S) и височината (h): V = Ш .
Освен това за правоъгълен паралелепипед е валидна формулата V=abc, където a,b,c са ръбове.
Диагоналът (d) на правоъгълен паралелепипед е свързан с неговите ръбове по отношение d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
Правоъгълен паралелепипед- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основите, а основите са правоъгълници.
Свойства на правоъгълен паралелепипед:
В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сбора от квадратите на трите му измерения (дължините на три ръба с общ връх).
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Правоъгълен паралелепипед, чиито лица са квадрати, се нарича куб. Всички ръбове на куба са равни; обемът (V) на куб се изразява с формулата V=a 3, където a е ръбът на куба.
В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Прав паралелепипед
И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:
Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:
защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Определение
Многостенще наричаме затворена повърхност, съставена от многоъгълници и ограничаваща определена част от пространството.
Сегментите, които са страните на тези многоъгълници, се наричат ребраполиедър, а самите многоъгълници са ръбове. Върховете на многоъгълниците се наричат върхове на многостени.
Ще разгледаме само изпъкнали полиедри (това е многостен, който е разположен от едната страна на всяка равнина, съдържаща лицето му).
Многоъгълниците, които изграждат полиедър, образуват неговата повърхност. Частта от пространството, която е ограничена от даден полиедър, се нарича негова вътрешност.
Определение: призма
Разгледайте два равни многоъгълника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\), разположени в успоредни равнини, така че сегментите \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)паралелен. Многостен, образуван от многоъгълниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\), както и от успоредници \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), се нарича (\(n\)-гонал) призма.
Многоъгълниците \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) се наричат основи на призми, успоредници \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– странични лица, сегменти \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- странични ребра.
По този начин страничните ръбове на призмата са успоредни и равни един на друг.
Да разгледаме един пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), в чиято основа лежи изпъкнал петоъгълник.
Височинапризмите са перпендикуляр, пуснат от всяка точка на една основа към равнината на друга основа.
Ако страничните ръбове не са перпендикулярни на основата, тогава се нарича такава призма наклонен(фиг. 1), в противен случай – прав. В права призма страничните ръбове са височини, а страничните стени са равни правоъгълници.
Ако правилен многоъгълник лежи в основата на права призма, тогава призмата се нарича правилно.
Определение: понятие за обем
Единицата за измерване на обем е единичен куб (куб, измерващ \(1\times1\times1\) единици\(^3\), където единица е определена мерна единица).
Можем да кажем, че обемът на полиедър е количеството пространство, което този полиедър ограничава. В противен случай: това е количество, чиято числена стойност показва колко пъти единичен куб и неговите части се вписват в даден полиедър.
Обемът има същите свойства като площта:
1. Обемите на еднакви фигури са равни.
2. Ако полиедърът е съставен от няколко непресичащи се многостени, тогава обемът му е равен на сумата от обемите на тези полиедри.
3. Обемът е неотрицателна величина.
4. Обемът се измерва в cm\(^3\) (кубични сантиметри), m\(^3\) (кубични метри) и т.н.
Теорема
1. Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.
Площта на страничната повърхност е сумата от площите на страничните стени на призмата.
2. Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината на призмата: \
Определение: паралелепипед
паралелепипеде призма с успоредник в основата си.
Всички лица на паралелепипеда (има \(6\) : \(4\) странични лица и \(2\) основи) са успоредници, а срещуположните лица (успоредни една на друга) са равни успоредници (фиг. 2) .
Диагонал на паралелепипеде сегмент, свързващ два върха на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице (има \(8\) от тях: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)и т.н.).
Правоъгълен паралелепипеде прав паралелепипед с правоъгълник в основата си.
защото Тъй като това е прав паралелепипед, страничните стени са правоъгълници. Това означава, че като цяло всички лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
Всички диагонали на правоъгълен паралелепипед са равни (това следва от равенството на триъгълниците \(\триъгълник ACC_1=\триъгълник AA_1C=\триъгълник BDD_1=\триъгълник BB_1D\)и т.н.).
Коментирайте
По този начин паралелепипедът има всички свойства на призмата.
Теорема
Площта на страничната повърхност на правоъгълен паралелепипед е \
Общата повърхност на правоъгълен паралелепипед е \
Теорема
Обемът на кубоид е равен на произведението от трите му ръба, излизащи от един връх (три измерения на кубоида): \
Доказателство
защото В правоъгълен паралелепипед страничните ръбове са перпендикулярни на основата, тогава те са и неговите височини, т.е. \(h=AA_1=c\) Тъй като тогава основата е правоъгълник \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ето откъде идва тази формула.
Теорема
Диагоналът \(d\) на правоъгълен паралелепипед се намира с помощта на формулата (където \(a,b,c\) са размерите на паралелепипеда) \
Доказателство
Нека разгледаме фиг. 3. Защото основата е правоъгълник, тогава \(\триъгълник ABD\) е правоъгълен, следователно, съгласно Питагоровата теорема \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
защото тогава всички странични ръбове са перпендикулярни на основите \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)перпендикулярна на всяка права линия в тази равнина, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Това означава, че \(\триъгълник BB_1D\) е правоъгълен. Тогава по Питагоровата теорема \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Определение: куб
кубе правоъгълен паралелепипед, чиито лица са равни квадрати.
Така трите измерения са равни едно на друго: \(a=b=c\) . Така че следните са верни
Теореми
1. Обемът на куб с ръб \(a\) е равен на \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. Диагоналът на куба се намира по формулата \(d=a\sqrt3\) .
3. Обща повърхност на куб \(S_(\текст(пълен куб))=6a^2\).
Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълен паралелепипед е прав паралелепипед, чиито лица са правоъгълници.
Достатъчно е да се огледаме около нас и ще видим, че обектите около нас имат форма, подобна на паралелепипед. Те могат да бъдат разграничени по цвят, имат много допълнителни детайли, но ако тези тънкости се изхвърлят, тогава можем да кажем, че например шкаф, кутия и т.н., имат приблизително еднаква форма.
С концепцията за правоъгълен паралелепипед се сблъскваме почти всеки ден! Огледайте се и ми кажете къде виждате правоъгълен паралелепипед? Погледнете книгата, тя е точно същата форма! Тухла, кибритена кутийка, блокче дърво имат еднаква форма и дори в момента се намирате в правоъгълен паралелепипед, защото класната стая е най-ярката интерпретация на тази геометрична фигура.
Упражнение:Какви примери за паралелепипед можете да посочите?
Нека разгледаме по-отблизо кубоида. И какво виждаме?
Първо, виждаме, че тази фигура е образувана от шест правоъгълника, които са лицата на кубоид;
Второ, кубоидът има осем върха и дванадесет ръба. Ръбовете на кубоида са страните на неговите лица, а върховете на кубоида са върховете на лицата.
Упражнение:
1. Как се нарича всяко от лицата на правоъгълен паралелепипед? 2. Благодарение на какви параметри може да се измери успоредник? 3. Определете противоположни лица.
Видове паралелепипеди
Но паралелепипедите са не само правоъгълни, но могат да бъдат и прави и наклонени, а правите линии се делят на правоъгълни, неправоъгълни и кубчета.
Задание: Погледнете картината и кажете какви паралелепипеди са показани на нея. Как се различава правоъгълният паралелепипед от куба?
Свойства на правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има редица важни свойства:
Първо, квадратът на диагонала на тази геометрична фигура е равен на сумата от квадратите на трите й основни параметъра: височина, ширина и дължина.
Второ, и четирите му диагонала са абсолютно еднакви.
Трето, ако и трите параметъра на паралелепипед са еднакви, тоест дължината, ширината и височината са равни, тогава такъв паралелепипед се нарича куб и всичките му лица ще бъдат равни на един и същ квадрат.
Упражнение
1. Правоъгълният паралелепипед има ли равни страни? Ако има такива, покажете ги на фигурата. 2. От какви геометрични фигури се състоят лицата на правоъгълен паралелепипед? 3. Какво е разположението на еднакви ръбове един спрямо друг? 4. Назовете броя на двойките равни лица на тази фигура. 5. Намерете ръбовете в правоъгълен паралелепипед, които показват неговата дължина, ширина, височина. Колко преброихте?
Задача
За да украси красиво подарък за рождения ден на майка си, Таня взе кутия с формата на правоъгълен паралелепипед. Размерът на тази кутия е 25см*35см*45см. За да направи тази опаковка красива, Таня реши да я покрие с красива хартия, чиято цена е 3 гривни за 1 dm2. Колко пари трябва да похарчите за опаковъчна хартия?
Знаете ли, че известният илюзионист Дейвид Блейн е прекарал 44 дни в стъклен паралелепипед, окачен над Темза като част от експеримент. За тези 44 дни той не се храни, а само пие вода. В доброволния си затвор Дейвид взе само материали за писане, възглавница и матрак и носни кърпички.
или (еквивалентно) многостен с шест лица, които са успоредници. Шестоъгълник.
Успоредниците, които изграждат паралелепипеда, са ръбовена този паралелепипед, страните на тези успоредници са ръбове на паралелепипед, и върховете на успоредниците са върхове паралелепипед. В паралелепипед всяко лице е успоредник.
По правило всеки 2 противоположни лица се идентифицират и извикват основи на паралелепипеда, а останалите лица - странични лица на паралелепипеда. Ръбовете на паралелепипеда, които не принадлежат към основите, са странични ребра.
2 лица на паралелепипед, които имат общ ръб са съседен, и тези, които нямат общи ръбове - противоположност.
Сегмент, който свързва 2 върха, които не принадлежат на 1-вото лице, е диагонал на паралелепипед.
Дължините на ръбовете на правоъгълен паралелепипед, които не са успоредни, са линейни размери (измервания) паралелепипед. Правоъгълният паралелепипед има 3 линейни измерения.
Видове паралелепипед.
Има няколко вида паралелепипеди:
Директене паралелепипед с ръб, перпендикулярен на равнината на основата.
Правоъгълен паралелепипед, в който всичките 3 измерения са равни, е куб. Всяка от страните на куба е еднаква квадрати .
Всеки паралелепипед.Обемът и съотношенията в наклонен паралелепипед се определят главно с помощта на векторна алгебра. Обемът на паралелепипеда е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на 3 вектора, които се определят от 3-те страни на паралелепипеда (които произхождат от един и същи връх). Връзката между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях показва твърдението, че детерминантата на Грам на дадените 3 вектора е равна на квадрата на тяхното смесено произведение.
Свойства на паралелепипед.
- Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.
- Всеки сегмент с краища, които принадлежат на повърхността на паралелепипед и който минава през средата на неговия диагонал, се разделя от него на две равни части. Всички диагонали на паралелепипеда се пресичат в 1-ва точка и се делят от нея на две равни части.
- Противоположните страни на паралелепипеда са успоредни и имат равни размери.
- Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на
