Средната линия на триъгълник е отсечка, свързваща средните точки на двете му страни. Съответно всеки триъгълник има три средни линии. Познавайки качеството на средната линия, както и дължините на страните на триъгълника и неговите ъгли, можете да определите дължината на средната линия.

Ще имаш нужда

• Страни на триъгълник, ъгли на триъгълник

Инструкции

1. Нека в триъгълник ABC MN е средната линия, свързваща средите на страните AB (точка M) и AC (точка N). По свойство средната линия на триъгълник, свързваща средите на 2 страни, е успоредна на третата страна и е равна на половината от то. Това означава, че средната линия MN ще бъде успоредна на страната BC и равна на BC / 2. Следователно, за да се определи дължината на средната линия на триъгълника, е достатъчно да се знае дължината на страната на тази конкретна трета страна.

2. Нека вече са известни страните, чиито среди са свързани със средната линия MN, тоест AB и AC, както и ъгълът BAC между тях. Тъй като MN е средната линия, тогава AM = AB/2 и AN = AC/2. Тогава, съгласно косинусовата теорема, обективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Следователно MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Ако страните AB и AC са известни, тогава средната линия MN може да се намери, като се знае ъгълът ABC или ACB. Да кажем, че ъгълът ABC е известен. Тъй като според свойството на средната линия MN е успоредна на BC, то ъглите ABC и AMN са съответни и, следователно, ABC = AMN. Тогава, съгласно косинусовата теорема: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следователно, страната MN може да бъде открита от квадратно уравнение(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Съвет 2: Как да намерите страната на квадратен триъгълник

Квадратният триъгълник е по-правилно да се нарича правоъгълен триъгълник. Отношенията между страните и ъглите на това геометрична фигурасе разглеждат подробно в математическата дисциплина тригонометрия.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химилка;
• – Маси Bradis;
• - калкулатор.

Инструкции

1. Открийте странаправоъгълен триъгълникс подкрепата на Питагоровата теорема. Според тази теорема квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: c2 = a2+b2, където c е хипотенузата триъгълник, a и b са неговите крака. За да приложите това уравнение, трябва да знаете дължината на всеки 2 страни на правоъгълник триъгълник .

2. Ако условията определят размерите на краката, намерете дължината на хипотенузата. За да направите това, с поддръжка на калкулатор, извлечете Корен квадратенот сбора на катетите, всеки от които трябва предварително да бъде повдигнат на квадрат.

3. Изчислете дължината на единия катет, ако знаете размерите на хипотенузата и другия катет. С помощта на калкулатор извадете корен квадратен от разликата между хипотенузата на квадрат и водещия катет също на квадрат.

4. Ако задачата уточнява хипотенузата и един от острите ъгли, съседни на нея, използвайте таблици на Брадис. Те показват стойностите тригонометрични функцииЗа голямо числоъгли Използвайте калкулатор с функции за синус и косинус, както и тригонометрични теореми, които описват връзките между страните и ъглите на правоъгълник триъгълник .

5. Намерете катетите с помощта на основни тригонометрични функции: a = c*sin?, b = c*cos?, където a е катетът срещу ъгъла?, b е катетът, съседен на ъгъла?. Изчислете размера на страните по същия начин триъгълник, ако са дадени хипотенузата и друг остър ъгъл: b = c*sin?, a = c*cos?, където b е катетът, противоположен на ъгъла?, а катетът е съседен на ъгъла?.

6. В случай, че вземем катет a и прилежащия към него остър ъгъл?, не забравяйте, че в правоъгълен триъгълник сборът от острите ъгли винаги е равен на 90°: ? + ? = 90°. Намерете стойността на ъгъла срещу крака a: ? = 90° – ?. Или използвайте тригонометрични формулихвърля: грях ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Ако имаме катет a и противоположен на него остър ъгъл?, използвайки таблици на Брадис, калкулатор и тригонометрични функции, изчислете хипотенузата по формулата: c=a*sin?, катет: b=a*tg?.

Видео по темата

Преди да преминете към намирането на средната линия на триъгълник, трябва да запомните втория знак за сходство на триъгълниците и свойствата на успоредността на правите линии.

Как да намерим средната линия на триъгълник - вторият знак за сходство на триъгълниците

Фигура 1 показва два триъгълника. Триъгълник ABC е подобен на триъгълник A1B1C1. И съседните страни са пропорционални, тоест AB е спрямо A1B1, както AC е спрямо A1C1. От тези две условия следва подобието на триъгълниците.

Как да намерите средната линия на триъгълник - знак за успоредност на линиите

Фигура 2 показва прави a и b, секуща c. Това създава 8 ъгъла. Ъгли 1 и 5 са ​​съответни, ако правите са успоредни, то съответните ъгли са равни и обратно.

Как да намерите средната линия на триъгълник

На фигура 3 M е средата на AB, а N е средата на AC, BC е основата. Отсечката MN се нарича средна линия на триъгълника. Самата теорема гласи: Средната линия на триъгълник е успоредна на основата и равна на нейната половина.

За да докажем, че MN е средната линия на триъгълник, се нуждаем от втория тест за подобие на триъгълници и теста за успоредност на правите.

Триъгълник AMN е подобен на триъгълник ABC, според втория критерий. В подобни триъгълници съответните ъгли са равни, ъгъл 1 равен на ъгъл 2, и тези ъгли са съответни, когато две прави се пресичат с напречна, следователно, правите са успоредни, MN е успоредна на BC. Ъгъл A е общ, AM/AB = AN/AC = ½

Коефициентът на подобие на тези триъгълници е ½, от което следва, че ½ = MN/BC, MN = ½ BC



Така че намерихме средната линия на триъгълника и доказахме теоремата за средната линия на триъгълника, ако все още не разбирате как да намерите средната линия, гледайте видеоклипа по-долу.

\[(\Large(\text(Сходство на триъгълници)))\]

Дефиниции

Два триъгълника се наричат ​​подобни, ако ъглите им са съответно равни и страните на единия триъгълник са пропорционални на еднаквите страни на другия
(страните се наричат ​​подобни, ако лежат срещу еднакви ъгли).

Коефициентът на подобие на (подобни) триъгълници е число, равно на съотношението на еднаквите страни на тези триъгълници.

Определение

Периметърът на триъгълник е сумата от дължините на всичките му страни.

Теорема

Отношението на периметрите на два подобни триъгълника е равно на коефициента на подобие.

Доказателство

Разгледайте триъгълници \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) със страни \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) съответно (вижте фигурата по-горе).

Тогава \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Теорема

Отношението на площите на два подобни триъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобие.

Доказателство

Нека триъгълниците \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) са подобни и \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Нека означим съответно с буквите \(S\) и \(S_1\) площите на тези триъгълници.

Тъй като \(\ъгъл A = \ъгъл A_1\) , тогава \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(по теоремата за съотношението на площите на триъгълници с равни ъгли).

защото \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Че \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), което трябваше да се докаже.

\[(\Large(\text(Признаци за подобие на триъгълници)))\]

Теорема (първият признак за подобие на триъгълници)

Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.

Доказателство

Нека \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) са триъгълници, така че \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . След това, по теоремата за сумата от ъглите на триъгълник \(\ъгъл C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), тоест ъглите на триъгълника \(ABC\) са съответно равни на ъглите на триъгълника \(A_1B_1C_1\) .

Тъй като \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\) , тогава \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)И \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

От тези равенства следва, че \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

По същия начин е доказано, че \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(използвайки равенства \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).

В резултат на това страните на триъгълника \(ABC\) са пропорционални на подобните страни на триъгълника \(A_1B_1C_1\), което трябваше да се докаже.

Теорема (втори критерий за подобие на триъгълници)

Ако две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъглите между тези страни са равни, тогава триъгълниците са подобни.

Доказателство

Помислете за два триъгълника \(ABC\) и \(A"B"C"\), така че \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\ъгъл BAC = \ъгъл A"\) Нека докажем, че триъгълниците \(ABC\) и \(A"B"C"\) са подобни. Като вземем предвид първия знак за подобие на триъгълници, достатъчно е да покажем, че \(\ъгъл B = \ъгъл B"\) .

Да разгледаме триъгълник \(ABC""\) с \(\ъгъл 1 = \ъгъл A"\) , \(\ъгъл 2 = \ъгъл B"\) . Триъгълниците \(ABC""\) и \(A"B"C"\) са подобни според първия критерий за сходство на триъгълниците, тогава \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

От друга страна, по условие \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). От последните две равенства следва, че \(AC = AC""\) .

Триъгълниците \(ABC\) и \(ABC""\) са равни по две страни и ъгъл между тях, следователно, \(\ъгъл B = \ъгъл 2 = \ъгъл B"\).

Теорема (трети знак за подобие на триъгълници)

Ако три страни на един триъгълник са пропорционални на три страни на друг триъгълник, тогава триъгълниците са подобни.

Доказателство

Нека страните на триъгълниците \(ABC\) и \(A"B"C"\) са пропорционални: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Нека докажем, че триъгълниците \(ABC\) и \(A"B"C"\) са подобни.

За да направите това, като вземете предвид втория критерий за подобие на триъгълниците, е достатъчно да докажете, че \(\angle BAC = \angle A"\) .

Да разгледаме триъгълник \(ABC""\) с \(\ъгъл 1 = \ъгъл A"\) , \(\ъгъл 2 = \ъгъл B"\) .

Триъгълниците \(ABC""\) и \(A"B"C"\) са подобни според първия критерий за сходство на триъгълници, следователно, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

От последната верига от равенства и условия \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)следва, че \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

Триъгълниците \(ABC\) и \(ABC""\) са равни по три страни, следователно, \(\ъгъл BAC = \ъгъл 1 = \ъгъл A"\).

\[(\Large(\text(Теорема на Талес)))\]

Теорема

Ако маркирате равни сегменти от едната страна на ъгъл и начертаете успоредни прави линии през техните краища, тогава тези прави линии също ще отрежат равни сегменти от другата страна.

Доказателство

Нека първо докажем лема:Ако в \(\триъгълник OBB_1\) права линия \(a\паралел BB_1\) е начертана през средата \(A\) на страната \(OB\), тогава тя също ще пресича страната \(OB_1\) в средата.

През точката \(B_1\) начертаваме \(l\паралелен OB\) . Нека \(l\cap a=K\) . Тогава \(ABB_1K\) е успоредник, следователно \(B_1K=AB=OA\) и \(\ъгъл A_1KB_1=\ъгъл ABB_1=\ъгъл OAA_1\); \(\ъгъл AA_1O=\ъгъл KA_1B_1\)като вертикално. И така, според втория знак \(\триъгълник OAA_1=\триъгълник B_1KA_1 \Дясна стрелка OA_1=A_1B_1\). Лемата е доказана.

Да преминем към доказателството на теоремата. Нека \(OA=AB=BC\) , \(a\паралел b\паралел c\) и трябва да докажем, че \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Така, съгласно тази лема \(OA_1=A_1B_1\) . Нека докажем, че \(A_1B_1=B_1C_1\) . Нека начертаем права \(d\паралел OC\) през точката \(B_1\) и нека \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Тогава \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) са успоредници, следователно \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . По този начин, \(\ъгъл A_1B_1D_1=\ъгъл C_1B_1D_2\)като вертикално \(\ъгъл A_1D_1B_1=\ъгъл C_1D_2B_1\)лежащи като кръстове и, следователно, според втория знак \(\триъгълник A_1B_1D_1=\триъгълник C_1B_1D_2 \Дясна стрелка A_1B_1=B_1C_1\).

Теорема на Талес

Успоредните линии отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъл.

Доказателство

Нека успоредни прави \(p\паралелен q\паралелен r\паралелен s\)раздели една от линиите на сегменти \(a, b, c, d\) . След това втората права линия трябва да бъде разделена съответно на сегменти \(ka, kb, kc, kd\), където \(k\) е определено число, същият коефициент на пропорционалност на сегментите.

Нека начертаем през точката \(A_1\) права \(p\паралелен OD\) (\(ABB_2A_1\) е успоредник, следователно \(AB=A_1B_2\) ). Тогава \(\триъгълник OAA_1 \sim \триъгълник A_1B_1B_2\)на два ъгъла. следователно \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).

По същия начин начертаваме права линия през \(B_1\) \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\)и т.н.

\[(\Large(\text(Средна линия на триъгълника)))\]

Определение

Средната линия на триъгълник е отсечка, свързваща средните точки на произволни две страни на триъгълника.

Теорема

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и равна на половината от нея.

Доказателство

1) Успоредността на средната линия спрямо основата следва от доказаното по-горе леми.

2) Нека докажем, че \(MN=\dfrac12 AC\) .

През точката \(N\) начертаваме права, успоредна на \(AB\) . Нека тази права пресича страната \(AC\) в точката \(K\) . Тогава \(AMNK\) е успоредник ( \(AM\паралел NK, MN\паралел AK\)съгласно предходната точка). И така, \(MN=AK\) .

защото \(NK\паралел AB\) и \(N\) са средната точка на \(BC\), тогава според теоремата на Талес \(K\) е средната точка на \(AC\) . Следователно \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Последица

Средната линия на триъгълника отсича от него триъгълник, подобен на дадения с коефициент \(\frac12\) .

Трапеце четириъгълник, който има две успоредни страни, които са основите, и две неуспоредни страни, които са страните.

Срещат се и имена като напр равнобедренили равностранен.

е трапец, чиито странични ъгли са прави.

Трапецовидни елементи

а, б - трапецовидни основи(а успоредно на b),

м, н - странитрапец,

d 1 , d 2 — диагоналитрапец,

ч - височинатрапец (сегмент, свързващ основите и в същото време перпендикулярен на тях),

MN - средна линия(сегмент, свързващ средните точки на страните).

Площ на трапец

1. Чрез полусумата на основите a, b и височината h: S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. През централната линия MN и височина h: S = MN\cdot h
3. През диагоналите d 1, d 2 и ъгъла (\sin \varphi) между тях: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Свойства на трапец

Средна линия на трапец

средна линияуспореден на основите, равен на тяхната полусума и разделя всеки сегмент с краища, разположени на прави линии, които съдържат основите (например височината на фигурата) наполовина:

MN || a, MN || б, MN = \frac(a + b)(2)

Сума от ъглите на трапец

Сума от ъглите на трапец, съседна на всяка страна, е равно на 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Трапецовидни триъгълници с еднаква площ

Еднакви по големина, тоест с равни площи, са диагоналните отсечки и триъгълниците AOB и DOC, образувани от страничните страни.

Сходството на образуваните трапецовидни триъгълници

Подобни триъгълнициса AOD и COB, които се образуват от техните основи и диагонални сегменти.

\триъгълник AOD \sim \триъгълник COB

Коефициент на подобие k се намира по формулата:

k = \frac(AD)(BC)

Освен това съотношението на площите на тези триъгълници е равно на k^(2) .

Съотношение на дължините на отсечките и основите

Всеки сегмент, свързващ основите и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, се разделя на тази точка в съотношението:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Това ще важи и за височината със самите диагонали.

Понякога темите, които се обясняват в училище, не винаги са ясни от първия път. Това важи особено за предмет като математиката. Но всичко става много по-сложно, когато тази наука започне да се разделя на две части: алгебра и геометрия.

Всеки ученик може да има способности в една от двете посоки, но особено в начално училищеВажно е да разберете основата както на алгебрата, така и на геометрията. В геометрията една от основните теми се счита за раздела за триъгълниците.

Как да намерим средната линия на триъгълник? Нека да го разберем.

Основни понятия

Като начало, за да разберете как да намерите средната линия на триъгълник, е важно да разберете какво е това.

Няма ограничения за изчертаване на средната линия: триъгълникът може да бъде всякакъв (равнобедрен, равностранен, правоъгълен). И всички свойства, които се отнасят до средната линия, ще бъдат в сила.

Средната линия на триъгълник е отсечка, свързваща средните точки на двете му страни. Следователно всеки триъгълник може да има 3 такива линии.

Имоти

За да знаете как да намерите средната линия на триъгълник, нека обозначим неговите свойства, които трябва да се запомнят, в противен случай без тях ще бъде невъзможно да се решат проблеми с необходимостта да се посочи дължината на средната линия, тъй като всички получени данни трябва да бъдат обосновани и се аргументира с теореми, аксиоми или свойства.

По този начин, за да отговорите на въпроса: „Как да намерите средната линия на триъгълник ABC?“, Достатъчно е да знаете една от страните на триъгълника.

Да дадем пример

Разгледайте снимката. Показва триъгълник ABC със средна линия DE. Обърнете внимание, че тя е успоредна на основата AC в триъгълника. Следователно, каквато и да е стойността на AC, средната линия DE ще бъде наполовина по-голяма. Например AC=20 означава DE=10 и т.н.

По тези прости начини можете да разберете как да намерите средната линия на триъгълник. Запомнете неговите основни свойства и дефиниция и тогава никога няма да имате проблеми с намирането на значението му.