В предишната статия говорихме за това как да изчисляваме правилно лимитите елементарни функции. Ако вземем повече сложни функции, тогава ще имаме изрази с недефинирана стойност в нашите изчисления. Те се наричат ​​несигурности.

Разграничават се следните основни видове несигурности:

1. Разделете 0 на 0 0 0 ;
2. Разделяне на една безкрайност на друга ∞ ∞;

0 повдигнат на нулева степен 0 0 ;

3. безкрайност, повдигната на нулева степен ∞ 0 .

Изброихме всички основни несигурности. Други изрази в различни условиямогат да приемат крайни или безкрайни стойности, следователно не могат да се считат за несигурност.

Разкриване на несигурности

Несигурността може да бъде разрешена чрез:

1. Чрез опростяване на вида на функцията (използване на формули за съкратено умножение, тригонометрични формули, допълнително умножение чрез спрегнати изрази и последваща редукция и др.);

С помощта на прекрасни граници;

Използване на правилото на L'Hopital;

Чрез замяна на един безкрайно малък израз с еквивалентен израз (обикновено това действие се извършва с помощта на таблица с безкрайно малки изрази).

Цялата информация, представена по-горе, може да бъде ясно представена под формата на таблица. От лявата страна показва вида на несигурността, отдясно - подходящ метод за разкриването й (намиране на границата). Тази таблица е много удобна за използване при изчисления, свързани с намиране на граници.

Нека да разгледаме няколко проблема. Тези примери са доста прости: в тях отговорът се получава веднага след заместването на стойностите и няма несигурност.

Пример 1

Изчислете границата lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Решение

Извършваме заместване на стойност и получаваме отговора.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Отговор: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Пример 2

Изчислете границата lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Решение

Имаме експоненциална степенна функция, в основата на която трябва да заместим x = 0.

(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5

Това означава, че можем да трансформираме границата в следния израз:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2

Сега нека да разгледаме индикатора - степенната функция 1 x 2 = x - 2. Нека да разгледаме таблицата с лимити за мощностни функциис показател по-малък от нула и получаваме следното: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Така можем да запишем, че lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.

Сега вземете таблицата с границите експоненциални функциис основи по-големи от 0 и получаваме:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞

Отговор: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

Пример 3

Изчислете границата lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Решение

Извършваме заместване на стойност.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

В резултат на това се оказахме в несигурност. Използвайте таблицата по-горе, за да изберете метод на решение. Това показва, че трябва да опростите израза.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0

Както виждаме, опростяването е довело до разкриването на несигурност.

Отговор: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Пример 4

Изчислете границата lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Решение

Заменяме стойността и получаваме следния запис.

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Стигнахме до необходимостта да разделим нула на нула, което е несигурност. Да видим желан методрешенията в таблицата са опростявания и трансформации на израза. Нека допълнително да умножим числителя и знаменателя по спрегнатия израз 12 - x + 6 + x:

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Знаменателят се умножава, така че след това да можете да използвате съкратената формула за умножение (разлика на квадратите), за да извършите редукцията.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Както виждаме, в резултат на тези действия успяхме да се освободим от несигурността.

Отговор: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Важно е да се отбележи, че подходът на умножение се използва много често при решаване на задачи като тази, така че ви съветваме да запомните как точно се прави това.

Пример 5

Изчислете границата lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Решение

Извършваме замяната.

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

В резултат на това се оказахме в несигурност. Препоръчителният начин за решаване на проблема в този случай е опростяване на израза. Тъй като когато х е равно на едно, числителят и знаменателят стават 0, можем да ги разделим на множители и след това да ги намалим с х - 1, и тогава несигурността ще изчезне.

Разлагаме числителя на множители:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1

Сега правим същото със знаменателя:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Имаме лимит от следната форма:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Както виждаме, по време на трансформацията успяхме да се отървем от несигурността.

Отговор: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

След това трябва да разгледаме случаите на граници в безкрайност от степенни изрази. Ако показателите на тези изрази са по-големи от 0, тогава границата в безкрайността също ще бъде безкрайна. В този случай най-голямата степен е от първостепенно значение, а останалите могат да бъдат пренебрегнати.

Например, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.

Ако под граничния знак имаме дроб със степенни изрази в числителя и знаменателя, тогава при x → ∞ имаме несигурност от вида ∞ ∞. За да се отървем от тази несигурност, трябва да разделим числителя и знаменателя на дробта на x m a x (m, n). Нека дадем пример за решаване на такъв проблем.

Пример 6

Изчислете границата lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Решение

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Степените на числителя и знаменателя са равни на 7. Разделете ги на х 7 и получете:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Отговор: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Пример 7

Изчислете границата lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Решение

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Числителят е със степен 8 3, а знаменателят е със степен 2. Нека разделим числителя и знаменателя на x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Отговор: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Пример 8

Изчислете границата lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Имаме числител на степен 3 и знаменател на степен 10 3 . Това означава, че трябва да разделим числителя и знаменателя на x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Отговор: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

заключения

В случай на ограничение на съотношението има три основни опции:

Ако степента на числителя е равна на степента на знаменателя, тогава границата ще бъде равна на съотношението на коефициентите на по-високите степени.

Ако степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, тогава границата ще бъде равна на безкрайност.

Ако степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя, тогава границата ще бъде нула.

Ще обсъдим други методи за разкриване на несигурности в отделни статии.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Разбрахме основните елементарни функции.

При преминаване към функции повече сложен типсъс сигурност ще се сблъскаме с появата на изрази, чийто смисъл не е дефиниран. Такива изрази се наричат несигурности.

Нека изброим всичко основни видове несигурност: нула делено на нула (0 на 0), безкрайност делено на безкрайност, нула умножена по безкрайност, безкрайност минус безкрайност, едно на степен безкрайност, нула на степен нула, безкрайност на степен нула.

ВСИЧКИ ДРУГИ ИЗРАЖЕНИЯ НА НЕСИГУРНОСТ НЕ СА И ПРИЕМАТ НАПЪЛНО СПЕЦИФИЧНА КРАЙНА ИЛИ БЕЗКРАЙНА СТОЙНОСТ.

Разкрийте несигурносттапозволява:

• опростяване на вида на функцията (преобразуване на изрази с помощта на формули за съкратено умножение, тригонометрични формули, умножение с конюгирани изрази, последвано от редукция и др.);
• използване на забележителни граници;
• прилагане на правилото на L'Hopital;
• използвайки замяната на безкрайно малък израз с негов еквивалент (използвайки таблица с еквивалентни безкрайно малки).

Нека групираме несигурностите в таблица на неопределеността. За всеки вид несигурност свързваме метод за нейното разкриване (метод за намиране на границата).

Тази таблица, заедно с таблицата с граници на основни елементарни функции, ще бъдат вашите основни инструменти за намиране на всякакви граници.

Нека дадем няколко примера, когато всичко работи веднага след заместването на стойността и не възниква несигурност.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

И веднага получихме отговор.

Отговор:

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместваме стойността x=0 в основата на нашата експоненциална степенна функция:

Тоест ограничението може да бъде пренаписано като

Сега нека да разгледаме индикатора. Това е степенна функция. Нека се обърнем към таблицата с граници за степенни функции с отрицателен показател. От там имаме И , следователно можем да пишем .

Въз основа на това нашият лимит ще бъде записан като:

Обръщаме се отново към таблицата на границите, но за експоненциални функции с основа, по-голяма от единица, от която имаме:

Отговор:

Нека да разгледаме примери с подробни решения Разкриване на несигурности чрез трансформиране на изрази.

Много често изразът под знака за граница трябва да бъде леко трансформиран, за да се отърве от несигурността.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

Стигнахме до несигурност. Разглеждаме таблицата на несигурността, за да изберем метод за решение. Нека се опитаме да опростим израза.

Отговор:

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

Стигнахме до несигурност (0 на 0). Разглеждаме таблицата на несигурността, за да изберем метод на решение и се опитваме да опростим израза. Нека умножим и числителя, и знаменателя по израза, спрегнат към знаменателя.

За знаменателя спрегнатият израз ще бъде

Умножихме знаменателя, за да можем да приложим формулата за съкратено умножение - разлика на квадрати и след това намалихме получения израз.

След поредица от трансформации несигурността изчезна.

Отговор:

КОМЕНТАР:За граници от този тип методът на умножение с спрегнати изрази е типичен, така че не се колебайте да го използвате.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

Стигнахме до несигурност. Разглеждаме таблицата на несигурността, за да изберем метод на решение и се опитваме да опростим израза. Тъй като и числителят, и знаменателят изчезват при x = 1, тогава ако тези изрази могат да бъдат намалени (x-1) и несигурността ще изчезне.

Нека разложим числителя на множители:

Нека разложим знаменателя на множители:

Нашият лимит ще приеме формата:

След трансформацията несигурността беше разкрита.

Отговор:

Нека разгледаме граници в безкрайност от изрази за степен. Ако показателите на степенния израз са положителни, тогава границата в безкрайността е безкрайна. Освен това най-голямата степен е от първостепенно значение; останалите могат да бъдат изхвърлени.

Пример.

Пример.

Ако изразът под знака за граница е дроб и числителят и знаменателят са дроб мощни изрази(m е степента на числителя, а n е степента на знаменателя), тогава когато възникне несигурност във формата от безкрайност до безкрайност, в този случай разкрива се несигурностразделяне на числителя и знаменателя на

Пример.

Изчислете лимита

Обикновено втората забележителна граница е написана в следната форма:

\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)

Числото $e$, посочено от дясната страна на равенството (1), е ирационално. Приблизителната стойност на това число е: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ако направим замяната $t=\frac(1)(x)$, тогава формула (1) може да бъде пренаписана като следната форма:

\begin(equation) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(equation)

Що се отнася до първото забележително ограничение, няма значение кой израз стои на мястото на променливата $x$ във формула (1) или вместо променливата $t$ във формула (2). Основното нещо е да изпълните две условия:

1. Основата на степента (т.е. изразът в скоби на формули (1) и (2)) трябва да клони към единица;
2. Показателят (т.е. $x$ във формула (1) или $\frac(1)(t)$ във формула (2)) трябва да клони към безкрайност.

Твърди се, че втората забележителна граница разкрива несигурността на $1^\infty$. Моля, обърнете внимание, че във формула (1) не уточняваме за коя безкрайност ($+\infty$ или $-\infty$) говорим. Във всеки от тези случаи формула (1) е правилна. Във формула (2) променливата $t$ може да клони към нула както отляво, така и отдясно.

Отбелязвам, че има и няколко полезни следствия от втората забележителна граница. Примери за използването на втората забележителна граница, както и последствията от нея, са много популярни сред съставителите на стандартни стандартни изчисления и тестове.

Пример №1

Изчислете ограничението $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Нека веднага да отбележим, че основата на степента (т.е. $\frac(3x+1)(3x-5)$) клони към единица:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

В този случай експонентата (израз $4x+7$) клони към безкрайност, т.е. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Основата на степента клони към единица, показателят клони към безкрайност, т.е. имаме работа с несигурност $1^\infty$. Нека приложим формула, за да разкрием тази несигурност. В основата на степента на формулата е изразът $1+\frac(1)(x)$, а в примера, който разглеждаме, основата на степента е: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Следователно първото действие ще бъде формална корекция на израза $\frac(3x+1)(3x-5)$ до формата $1+\frac(1)(x)$. Първо добавете и извадете едно:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Моля, обърнете внимание, че не можете просто да добавите единица. Ако сме принудени да добавим едно, тогава трябва също да го извадим, за да не променим стойността на целия израз. За да продължим решението, вземаме предвид това

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Тъй като $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, тогава:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ляво(1+\frac(6)(3x-5)\дясно)^(4x+7) $$

Да продължим корекцията. В израза $1+\frac(1)(x)$ на формулата числителят на дробта е 1, а в нашия израз $1+\frac(6)(3x-5)$ числителят е $6$. За да получите $1$ в числителя, пуснете $6$ в знаменателя, като използвате следното преобразуване:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

По този начин,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

И така, основата на степента, т.е. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, коригирано до формата $1+\frac(1)(x)$, изисквана във формулата. Сега нека започнем да работим с експонентата. Обърнете внимание, че във формулата изразите в експонентите и в знаменателя са еднакви:

Това означава, че в нашия пример степенният показател и знаменателят трябва да бъдат приведени в една и съща форма. За да получим израза $\frac(3x-5)(6)$ в степента, ние просто умножаваме степента по тази дроб. Естествено, за да компенсирате такова умножение, ще трябва незабавно да умножите по реципрочна дроб, т.е. от $\frac(6)(3x-5)$. Така че имаме:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Нека разгледаме отделно границата на фракцията $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, разположена в степента:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Отговор: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Пример №4

Намерете границата $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Тъй като за $x>0$ имаме $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, тогава:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ляво(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Развивайки дробта $\frac(x+1)(x)$ в сумата от дроби $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$, получаваме:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Пример №5

Намерете границата $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Тъй като $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, тогава имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$. Подробни обяснения са дадени в пример No2, но тук ще се ограничим кратко решение. Правейки замяната $t=x-2$, получаваме:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Можете да решите този пример по различен начин, като използвате замяната: $t=\frac(1)(x-2)$. Разбира се, отговорът ще бъде същият:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(подравнено)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(aligned)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Отговор: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Пример №6

Намерете границата $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Нека разберем към какво клони изразът $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ при условие $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

По този начин, в дадена граница имаме работа с несигурност от формата $1^\infty$, която ще разкрием с помощта на втората забележителна граница:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Отговор: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Методи за решаване на граници. Несигурности.
Редът на нарастване на функцията. Метод на замяна

Пример 4

Намерете границата

Това е по-прост пример за независимо решение. В предложения пример отново несигурност (още висок редвисочина от корена).

Ако "x" клони към "минус безкрайност"

Призракът на „минус безкрайността“ витае в тази статия от дълго време. Нека разгледаме граници с полиноми, в които . Принципите и методите на решение ще бъдат абсолютно същите като в първата част на урока, с изключение на редица нюанси.

Нека разгледаме 4 чипа, които ще бъдат необходими за решаване практически задачи:

1) Изчислете границата

Стойността на лимита зависи само от термина, тъй като той има най-висок ред на нарастване. Ако , тогава безкрайно голям по модул отрицателно числона ЧЕТНА степен, В в такъв случай– в четвъртата, равна на „плюс безкрайност”: . Постоянно („две“) положителен, Ето защо:

2) Изчислете границата

Ето я отново висшата степен дори, Ето защо: . Но пред него има „минус“ ( отрицателенконстанта –1), следователно:

3) Изчислете границата

Граничната стойност зависи само от. Както си спомняте от училище, „минусът“ „изскача“ изпод нечетната степен, така че безкрайно голям по модулотрицателно число на НЕЧЕТНА степене равно на „минус безкрайност“, в този случай: .
Постоянно ("четири") положителен, означава:

4) Изчислете границата

Първият момък в селото отново има странностепен, освен това, в пазвата отрицателенконстанта, което означава: Така:
.

Пример 5

Намерете границата

Използвайки горните точки, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят и знаменателят са от един и същи ред на растеж, което означава, че в границата ще бъде крайно число. Нека разберем отговора, като изхвърлим цялото пържене:

Решението е тривиално:

Пример 6

Намерете границата

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

И сега, може би, най-фините случаи:

Пример 7

Намерете границата

Имайки предвид водещите термини, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят е от по-висок порядък на нарастване от знаменателя, така че веднага можем да кажем, че границата е равна на безкрайност. Но каква безкрайност, „плюс“ или „минус“? Техниката е същата - нека се отървем от малките неща в числителя и знаменателя:

Ние решаваме:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 15

Намерете границата

Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна проба на окончателния дизайн в края на урока.

Още няколко интересни примера по темата за замяна на променливи:

Пример 16

Намерете границата

При заместване на единица в границата се получава несигурност. Промяната на променливата вече се предполага, но първо преобразуваме тангентата с помощта на формулата. Наистина, защо се нуждаем от допирателна?

Забележете, че следователно. Ако не е съвсем ясно, погледнете синусовите стойности в тригонометрична таблица. Така веднага се отърваваме от множителя, освен това получаваме по-познатата несигурност от 0:0. Би било хубаво, ако нашата граница клонеше към нула.

Да заменим:

Ако , тогава

Под косинуса имаме “x”, което също трябва да бъде изразено чрез “te”.
От замяната изразяваме: .

Завършваме решението:

(1) Извършваме замяната

(2) Отворете скобите под косинуса.

(4) Да организира първата прекрасна граница, изкуствено умножете числителя по и реципрочното число.

Задача за самостоятелно решение:

Пример 17

Намерете границата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Това бяха прости задачи в техния клас, на практика всичко може да бъде по-лошо и в допълнение формули за намаляване, трябва да използвате различни тригонометрични формули, както и други трикове. В статията Комплексни граници разгледах няколко реални примера =)

В навечерието на празника най-накрая ще изясним ситуацията с друга често срещана неизвестност:

Елиминиране на несигурността „едно на степен на безкрайност“

Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с експонентите ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на „фалшиви“ граници, в които ИЗГЛЕЖДА, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.

Недостатъкът на двете работещи формули за втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към „плюс безкрайност“ или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?

На помощ идва универсална формула (която всъщност е следствие от второто забележително ограничение):

Несигурността може да се елиминира с помощта на формулата:

Някъде мисля, че вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Те обикновено се използват за по-ясно подчертаване на математическата нотация.

Нека подчертаем основните точки на формулата:

1) Става въпрос за само за несигурността и нищо друго.

2) Аргументът „x“ може да има тенденция произволна стойност(а не само до нула или), по-специално до „минус безкрайност“ или до всекикрайно число.

С помощта на тази формула можете да решите всички примери в урока. Прекрасни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:

В такъв случай , и по формулата :

Вярно е, че не препоръчвам да правите това; традицията е все още да се използва „обичайният“ дизайн на решението, ако може да се приложи. въпреки това с помощта на формулата е много удобно да се провери"класически" примери до 2-ра забележителна граница.

УРОК 20

20.1 РАЗКРИВАНЕ НА НЕСИГУРНОСТТА НА ВИДОВЕТЕ

Пример 1

Ограничение за решаване Първо, нека се опитаме да заместим -1 в дробта: В този случай се получава така наречената неопределеност.

Общо правило:ако числителят и знаменателят съдържат полиноми и има несигурност на формата, тогава да го разкриете трябва да разделите числителя и знаменателя на множители.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и/или да използвате формули за съкратено умножение.

Нека разложим числителя на множители.

Пример 2

Изчислете лимита

Нека разложим числителя и знаменателя на множители.

Числител знаменател: ,

Метод за умножение на числителя и знаменателя по спрегнатия израз

Продължаваме да разглеждаме несигурността на формата

Следващият тип ограничения е подобен на предишния тип. Единственото нещо, в допълнение към полиномите, ще добавим корени.

Пример 3

Намерете границата

Умножете числителя и знаменателя по спрегнатия израз.

20.2 РАЗКРИВАНЕ НА НЕСИГУРНОСТТА ЗА ВИДОВЕТЕ

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми

Пример 4

Изчислете лимита

Според нашето правило ще се опитаме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Може да се мисли, че отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и е необходимо да се приложи някаква техника за решаване, която сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност: Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен: Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за разкриване на несигурносттрябва да разделите числителя и знаменателя нав старшата степен.

Разделете числителя и знаменателя на

Ето го отговорът, а не безкрайността.

Какво е фундаментално важно при проектирането на решение?

Първо, посочваме несигурност, ако има такава.

Второ, препоръчително е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знака, той няма математическо значение, а означава, че решението се прекъсва за междинно обяснение.

Трето, в лимита е препоръчително да маркирате какво къде отива. Когато работата се съставя на ръка, е по-удобно да се направи по този начин: По-добре е да използвате обикновен молив за бележки.

Разбира се, не е нужно да правите нищо от това, но тогава може би учителят ще посочи недостатъци в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси относно задачата. трябва ли ти

Пример 5

Намерете границата Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен: Максимална степен в числителя: 3 Максимална степен в знаменателя: 4 Изберете най великстойност, в този случай четири. Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на. Цялата задача може да изглежда така:

Пример 6

Намерете границата Максимална степен на “X” в числителя: 2 Максимална степен на “X” в знаменателя: 1 (може да се запише като) За да разкриете несигурност, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на. Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Нотацията не означава деление на нула (не можете да делите на нула), а деление на безкрайно малко число.

По този начин, като разкрием несигурността на видовете, може да успеем крайно число, нула или безкрайност.

ПРАКТИКУМ 20

ЗАДАЧА № 1

Решение:Ако вместо променливата поставим стойността 7, към която тя клони, тогава получаваме несигурност на формата

ЗАДАЧА № 2Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

Решение:Ако вместо променлива поставим стойността 0, към която тя клони, тогава получаваме несигурност на формата

ЗАДАЧА N 3Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

Решение:Ако вместо променливата поставим стойността 6, към която тя клони, тогава получаваме несигурност от вида

ЗАДАЧА N 4

Решение:защото И

ЗАДАЧА № 5Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

Решение:защото И тогава има несигурност на формата.За да го разкриете, трябва да разделите всеки член на числителя и знаменателя на. Тогава, знаейки какво получаваме:

САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА 20

ЗАДАЧА № 1Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

ЗАДАЧА № 2Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

ЗАДАЧА N 3Тема: Разкриване на несигурност от типа „нула към нула”.

ЗАДАЧА N 4Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"

ЗАДАЧА № 5Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"Ограничение на функцията равен...

ЗАДАЧА N 6Тема: Разкриване на неопределеността на формата "безкрайност до безкрайност"