Истинският живот се оказва не толкова прост и еднозначен. Резултатите от много явления не могат да бъдат предвидени предварително, колкото и пълна информация да имаме за тях. Невъзможно е например да се каже със сигурност от коя страна ще падне хвърлена монета, кога ще падне първият сняг през следващата година или колко хора в града ще искат да проведат телефонен разговор в рамките на следващия час. Такива непредсказуеми явления се наричат ​​случайни. Случайността обаче има и свои закони, които започват да се проявяват, когато случайните явления се повтарят многократно. Именно тези закономерности се изучават в специален раздел на математиката - Теория на вероятностите.

Като наука теорията на вероятностите възниква през 17 век. Появата на концепцията за вероятността е свързана както с нуждите на застраховането, които станаха широко разпространени в онази епоха, когато търговските отношения и морските пътувания се разраснаха значително, така и във връзка с изискванията на хазарта. Думата „възбуда“, която обикновено означава силна страст, плам, е транскрипция на френската дума hazard, която буквално означава „случай“, „риск“.

Хазартните игри са тези игри, в които печалбите зависят главно не от уменията на играча, а от случайността. Схемата на хазарта беше много проста и можеше да бъде подложена на цялостен логически анализ. Първите опити от този вид са свързани с имената на известни учени, алгебраист Джероламо Кардан () и Галилео Галилей (). Но честта да открият тази теория, която не само прави възможно сравняването на случайни променливи, но и да извършва определени математически операции с тях, принадлежи на двама изключителни учени Блез Паскал () и Пиер Ферма.

Още в древни времена е забелязано, че има явления, които имат особеност: при малък брой наблюдения не се наблюдава коректност върху тях, но с увеличаването на броя на наблюденията определена закономерност става все по-ясна. Всичко започна с игра на зарове.

Възникването на теорията на вероятностите като наука датира от Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (флейк, зарове, рулетка). Първоначално неговите основни понятия нямаха строго математическа форма, те можеха да се третират като някакви емпирични факти, като свойства на реални събития и бяха формулирани във визуални изображения. Най-ранните трудове на учени в областта на теорията на вероятностите датират от 17 век. Докато изучаваха прогнозирането на печалбите в хазарта, Блез Паскал и Пиер Ферма откриха първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове.

Якоб Бернули направи важен принос към теорията на вероятностите: той даде доказателство за закона за големите числа в най-простия случай на независими опити. През първата половина на 19 век теорията на вероятностите започва да се прилага за анализ на грешките при наблюдение; Лаплас и Поасон доказаха първите гранични теореми. През втората половина на 19 век основният принос е на руските учени П. Л. Чебишев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. По това време са доказани законът за големите числа и централната гранична теорема и е разработена теорията на веригите на Марков. Теорията на вероятностите получи своята съвременна форма благодарение на аксиоматизацията, предложена от Андрей Николаевич Колмогоров. В резултат на това теорията на вероятностите придобива строга математическа форма и най-накрая започва да се възприема като един от клоновете на математиката Законът на Якоб Бернули за големи числа от 19 век Лаплас-Поасон от 19 век П. Л. Чебишева А. А. Марков А. М. Ляпунов Закон за големи числа Централна гранична теорема Маркова верига Аксиоматизация от Андрей Николаевич Колмогоров раздели на математиката

Статията разглежда основните проблеми, при които се използват различни методи на теорията на вероятностите.

• Анализ на времеви редове (на примера на пчеларската индустрия)
• Приложение на теорията на вероятностите и математическата статистика в застрахователната дейност
• Самоанализът като начален етап в овладяването на технологиите за самоуправление
• Средства за стохастично обучение на студенти на базата на информационни технологии

Теорията на вероятностите е наука, която изучава използването на специфични методи за решаване на проблеми, които възникват при разглеждане на случайни променливи. Той разкрива модели, които се отнасят до масови явления. Тези методи не могат да предскажат резултата от случайно събитие, но могат да предскажат цялостния резултат. Следователно, ако изучаваме законите, които управляват случайни събития, можем да променим хода на тези събития, ако е необходимо. на свой ред математическа статистикае дял от математиката, който изучава методите за събиране, систематизиране, обработка и използване на статистически данни за получаване на научно обосновани заключения и вземане на решения въз основа на тях.

Защо е необходима цяла наука за обработка на прости масиви от данни? Защото тези данни, колкото и да се опитваме, никога не са точни и съдържат случайни грешки. Това могат да бъдат грешки на измервателните уреди и човешки грешки, както и разнородност на данните или, разбира се, тяхната недостатъчност.

Обикновено изследователят повтаря опита си много пъти, получавайки голямо количество от същия тип данни, които трябва да бъдат обработени и да бъдат направени важни заключения, които ще му позволят не само да напредне по-дълбоко в изучаването на темата, но и да направи изводи , прогнози, вземане на важни икономически решения и др.

Математическата статистика е тази, която предоставя методи за обработка на данни, алгоритми за проверка на статистически хипотези, критерии за адекватност и значимост на избрания модел или закон, разумни граници на точност за параметрите на разпределение, които можем да получим въз основа на нашите данни и др.

Има една интересна история, която предполага, че теорията на вероятностите дължи появата си на хазарта. За основател на теорията на вероятностите се смята френският учен Блез Паскал, работил в области като физика, математика и философия. Всъщност обаче Паскал в своите произведения обобщава опита на своя приятел, известния по онова време Шевалие дьо Мере. Дьо Мер беше комарджия; той започна да се интересува от изчисляването колко пъти трябва да се хвърлят заровете, така че желаните две шестици да се появят в повече от половината случаи. Тези на пръв поглед не много сериозни изчисления принуждават Шевалие да проучи по-задълбочено въпроса за вероятността и по-късно предизвикват интереса на Паскал.

В Русия най-големият интерес към теорията на вероятностите възниква през първата половина на 19 век. Руските учени имат значителен принос в развитието на науката за теорията на вероятностите: P.L. Чебишев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Теорията на вероятностите получи своята съвременна форма благодарение на аксиоматизацията, предложена от Андрей Николаевич Колмогоров. В резултат на това теорията на вероятностите придоби строга математическа форма и най-накрая започна да се възприема като един от клоновете на математиката.

Практическото приложение на теорията на вероятностите е голямо. В много сфери и области на живота се използват методи на теорията на вероятностите. Нека разгледаме някои от тях, като използваме конкретни примери.

1. В случаен експеримент децата хвърлят симетрична монета три пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно два пъти.

Първа стъпка - изпишете всички възможни комбинации за 3 хвърляния! Това ще бъдат: LLC, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR. Има само още едно хвърляне, но вече има n=8 възможни комбинации.

Сега от този списък трябва да оставим само онези комбинации, където O се среща 2 пъти, тоест: OOR, ORO, ROO, ще има m=3 от тях. Тогава вероятността за събитието е P=m/n=3/8=0,375P=m/n=3/8=0,375.

2. За предене баба смесила равни части черен и боядисан памук. Каква е вероятността сред 1200 единици да има повече от половината черен памук.

Решение. Общият брой опции за събития е 1200. Сега определяме общия брой благоприятни опции. Благоприятни опции ще бъдат в случай, че броят на черните единици е повече от половината, тоест 601, 602 и така нататък до 1200. Тоест 599 благоприятни опции. По този начин вероятността за благоприятен изход ще бъде
599 / 1200 = 0,499 .

3. Дете има 5 кубчета с буквите в ръцете си: A, K, K, L, U. Каква е вероятността детето да сглоби думата „кукла“ от кубчетата?

Решение: Използваме класическата вероятностна формула: P=m/n, където n е броят на всички еднакво възможни елементарни резултати, m е броят на елементарните резултати, благоприятни за събитието. Броят на различните пермутации на буквите A, K, K, L, U е n=5!1!2!1!1!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=60, от които само една отговаря към думата „кукла“ (m=1), следователно, според класическата дефиниция на вероятността, вероятността детето да сглоби думата „кукла“ от кубчета е P=1/60.

4. Човек произволно постави два топа на шахматна дъска. Каква е вероятността да не се победят?

Решение: Използваме класическата дефиниция на вероятността: P=m/n, където m е броят на резултатите, благоприятни за събитието, а n е броят на всички еднакво възможни елементарни резултати. Броят на всички начини за поставяне на топове е n=64⋅63=4032 (поставяме първия топ на всяка от 64 клетки, а втория на която и да е от останалите 63 клетки). Броят начини за поставяне на топовете, така че да не се атакуват един друг, е равен на m=64⋅(64−15)=64⋅49=3136 (поставяме първия топ на която и да е от 64-те клетки, задраскваме клетки, които са в същата колона и ред като този топ, след това поставете втория топ върху което и да е от 49-те квадратчета, останали след зачеркването).

Тогава желаната вероятност е P=3136/4032=49/63=7/9=0,778.

Отговор: 7/9.

5. Ученик дойде на теста, знаейки само 40 въпроса от 60. Каква е вероятността да премине теста, ако след отказ да отговори на въпрос учителят зададе друг?

Решение: Вероятността учителят да зададе на ученика въпрос, на който той не знае отговора (събитие A) е равна на P(A) = . Нека намерим вероятността ученикът да знае отговора на втория въпрос на учителя (събитие B), при условие че ученикът не е знаел отговора на първия въпрос. Това е условна вероятност, тъй като събитие А вече се е случило. Следователно R A (B) = 40/59. Ние определяме необходимата вероятност, като използваме теоремата за умножение на вероятностите на зависими събития. P(A и B) = P(A)* PA (B) = 40/59*20/60 = 0,23.

Следователно животът ни без прилагането на теорията на вероятностите е невъзможен.

Библиография

1. Анасова, Т.А., Теория на вероятностите [Електронен ресурс]: курс от лекции за студенти в бакалавърските и магистърските програми на висшето образование. институции / Т. А. Анасова, Е. Ф. Сагадеева; М-во седна. домакинства на Руската федерация, Башкирски държавен аграрен университет. - Уфа: [БашГАУ], 2014. - 68 с.
2. Gizetdinova, A. I., Приложение на актюерските изчисления в застраховането [Текст] / A. I. Gizetdinova, E. F. Sagadeeva // Тенденции и перспективи за развитие на статистическата наука и информационните технологии: сборник от научни статии, посветени на годишнината на професора от катедрата на статистиката и информационните системи в икономиката Рафикова Н. Т. / Башкирски държавен аграрен университет. - Уфа, 2013. - стр. 192-194.
3. Кабашова, Е.В. Математическа икономика. Модул 1. Обобщени модели на икономиката [Електронен ресурс]: учеб. помощ / E.V. Кабашова, Е.Ф. Сагадеева. – Уфа: Башкирски държавен аграрен университет, 2013. – 68 с.
4. Кабашова, Е.В. Математическа икономика. Модул 2. Глобални икономически модели [Електронен ресурс]: учеб. помощ / E.V. Кабашова, Е.Ф. Сагадеева. – Уфа: Башкирски държавен аграрен университет, 2013. – 64 с.
5. Научна основа за развитието на селското стопанство в Република Башкортостан [Текст] / К. Б. Магафуров; Башкирски държавен аграрен университет. - Уфа: Издателство на BSAU, 2003. - 112 с.
6. Сагадеева, Е. Ф., Опит от надзорна работа в Башкирския държавен аграрен университет [Текст] / Е. Ф. Сагадеева // Проблеми на подобряването на качеството на образователната и методическата работа в университета: опит и иновации: сборник от научни статии / Руски кооперационен университет, Башкир Кооперативен институт (филиал). - Уфа, 2009. - бр. 11. - стр. 128-131.
7. Сагадеева, Е. Ф., Извършване на актюерски изчисления с помощта на комутационни числа с помощта на компютър [Текст] / Е. Ф. Сагадеева, Р. Р. Бакирова // Потребителска кооперация и икономически сектори на Башкортостан: иновативни аспекти на развитие: сборник от научни трудове / Руски университет за сътрудничество, Башкирски кооперативен институт (клон). - Уфа, 2008. - [Брой 10]. - стр. 132-138.

Текстът на работата е публикуван без изображения и формули.
Пълната версия на произведението е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

Въведение

Теорията на вероятностите е математическа наука, която изучава математически модели на случайни явления и изчислява вероятностите за настъпване на определени събития.

Основите на теорията на вероятностите се преподават в учебната програма по математика във всяко училище. В допълнение, задачите по тази дисциплина са задължителна част от OGE в 9 и 11 клас.

Една от най-важните области на приложение на теорията на вероятностите е икономиката. Понастоящем е невъзможно да си представим изучаването и прогнозирането на икономически явления без използването на икономическо моделиране, регресионен анализ, трендови и изглаждащи модели и други методи, базирани на модели, които се изучават в курсовете по теория на вероятностите и математическа статистика.

Също така теорията на вероятностите се използва широко в области като прогнозиране на времето за определен период. Ето защо има желание да се провери практически дали тази наука ще помогне за цели, чието решение е необходимо в ежедневието.

Целта на тази работа е даизучаване на характеристиките на приложението на теорията на вероятностите в живота и анализиране на данни, получени по време на практически експеримент;

Цели на изследването:

Проучете и анализирайте необходимата литература по темата на изследването;

Решете редица задачи за класическото определяне на вероятността.

Експериментално проверете използването на вероятността в ежедневието.

Тази работа се състои от две части: „Глава 1. Теоретична част“, ​​„Глава 2. Експериментална част“, ​​всяка от които е разделена на отделни параграфи.

Обект на изследване:приложение на теорията на вероятностите в живота;

Предмет на изследване:основи на теорията на вероятностите;

Вероятностните идеи днес стимулират развитието на целия комплекс от знания, от науките за неживата природа до науките за обществото. Прогресът на съвременната естествена наука е неделим от използването и развитието на вероятностните идеи и методи. В днешно време е трудно да се назове област на изследване, където не се използват вероятностни методи.

Изследователска хипотеза:задълбоченото изучаване на тази тема ще ни позволи да бъдем компетентни на изпитите от 9 и 11 клас;

Практическо значение:Разгледаният по време на обучението материал обогатява житейския опит с методи за решаване на стандартни и нестандартни задачи от теорията на вероятностите.

Глава 1 Теоретична част 1.1 История на възникването на теорията на вероятностите

Един френски благородник, някой си г-н дьо Мер, бил комарджия на зарове и страстно искал да забогатее. Той прекара много време в откриване на тайната на заровете. Той измислял различни варианти за игра, като предполагал, че по този начин ще придобие голямо състояние. Така например той предложи да се хвърли един зар 4 пъти подред и убеди партньора си, че поне веднъж ще излезе шестица. Ако шестица не излезе в 4 хвърляния, тогава противникът спечели.

По това време клонът на математиката, който днес наричаме теория на вероятностите, все още не съществува и затова, за да се увери дали предположенията му са верни, г-н Мере се обърна към своя приятел, известния математик и философ Б. Паскал, с молба да проучи два известни въпроса, първият от които се опита да разреши сам. Въпросите бяха:

Колко пъти трябва да се хвърлят два зара, така че броят на хвърлянията на две шестици наведнъж да е повече от половината от общия брой хвърляния?

Как да разделим справедливо парите, заложени от двама играчи, ако по някаква причина са спрели играта преждевременно?

Паскал не само се интересува от това, но и пише писмо до известния математик П. Ферма, което го провокира да изучава общите закони на заровете и вероятността за печалба.

Така вълнението и жаждата за забогатяване дадоха тласък на появата на нова изключително значима математическа дисциплина: теорията на вероятностите. Математици от такъв калибър като Паскал и Ферма, Хюйгенс (1629–1695), който е написал трактата „За изчисленията в хазарта“, Якоб Бернули (1654–1705), Моавър (1667–1754), Лаплас (1749-1827), Гаус (1777-1855) и Поасон (1781-1840). Днес теорията на вероятностите се използва в почти всички области на знанието: статистика, прогнози (прогноза за времето), биология, икономика, технологии, строителство и др.

1.2 Концепцията на теорията на вероятностите

Теория на вероятноститее наука за моделите на случайни събития. В теорията на вероятностите случайно събитие се разбира като всяко явление, което може или не може да се случи (случайно), когато са изпълнени определен набор от условия. Всяко такова изпълнение се нарича тест, опит или експеримент.

Събитията могат да бъдат разделени на надеждни, невъзможни и случайни.

НадежденИзвиква се събитие, което със сигурност ще се случи по време на тест. НевъзможенИзвиква се събитие, за което е известно, че не се случва по време на тестване. Случаене събитие, което в резултат на експеримент може да се случи или да не се случи (в зависимост от случайни обстоятелства).

Предмет на теорията на вероятноститеса моделите на масови случайни събития, където под маса имаме предвид многократно повторение.

Нека да разгледаме няколко събития:

появата на герба при хвърляне на монета;

появата на три герба при трикратно хвърляне на монета;

поразяване на целта при изстрел;

печалби от билет за парична лотария.

Очевидно всяко от тези събития има известна степен на вероятност. За да сравните количествено събитията едно с друго според степента на вероятност, трябва да свържете определено число с всяко събитие.

Вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие. Вероятността за надеждно събитие се приема като единица за измерване на вероятността. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Вероятността за всяко случайно събитие се обозначава с P и варира от нула до единица: 0 ≤ P ≤ 1.

Вероятността за случайно събитие е съотношението на броя n на несъвместими еднакво вероятни елементарни събития, които съставляват събитието, към броя на всички възможни елементарни събития N:

Възникването на теорията на вероятностите като наука датира от Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (хвърляне, зарове). Първоначално неговите основни понятия нямаха строго математическа форма, те можеха да се третират като някакви емпирични факти, като свойства на реални събития и бяха формулирани във визуални изображения.

1.3 Приложение на теорията на вероятностите в живота

Всички ние използваме теорията на вероятностите в една или друга степен, базирана на анализа на събития, които са се случили в живота ни. Знаем, че смъртта от автомобилна катастрофа е по-вероятна, отколкото от удар от мълния, защото първото, за съжаление, се случва толкова често. По един или друг начин обръщаме внимание на вероятността от нещата, за да предвидим нашето поведение. Но за съжаление човек не винаги може точно да определи вероятността от определени събития.

Например, без да знаят статистиката, повечето хора са склонни да мислят, че шансът да умрат в самолетна катастрофа е по-голям, отколкото при автомобилна катастрофа. Сега знаем, след като проучихме фактите (за които, мисля, мнозина са чували), че това изобщо не е така. Факт е, че нашето житейско „око“ понякога се проваля, защото въздушният транспорт изглежда много по-страшен за хората, които са свикнали да вървят здраво стъпили на земята. И повечето хора не използват много често този вид транспорт. Дори и да можем да оценим правилно вероятността от дадено събитие, то най-вероятно е изключително неточно, което няма да има смисъл, да речем, в космическото инженерство, където частите на милион решават много. А когато имаме нужда от точност, към кого да се обърнем? Разбира се, към математиката.

Има много примери за реално използване на теорията на вероятностите в живота. На него се основава почти цялата съвременна икономика. Когато пуска определен продукт на пазара, компетентен предприемач със сигурност ще вземе предвид рисковете, както и вероятността за покупка на определен пазар, държава и т. Брокерите на световните пазари практически не могат да си представят живота си без теория на вероятностите. Прогнозирането на паричния обменен курс (което определено не може да се направи без теорията на вероятностите) на паричните опции или известния Форекс пазар прави възможно печеленето на сериозни пари от тази теория.

Теорията на вероятността е важна в началото на почти всяка дейност, както и нейното регулиране. Оценявайки шансовете за конкретна неизправност (например космически кораб), ние знаем какви усилия трябва да положим, какво точно да проверим, какво да очакваме като цяло на хиляди километри от Земята. Възможностите за терористична атака в метрото, икономическа криза или ядрена война - всичко това може да се изрази в проценти. И най-важното, предприемете подходящи противодействия въз основа на получените данни. Всяка дейност във всяка сфера може да бъде анализирана с помощта на статистика, изчислена с помощта на теория на вероятностите и значително подобрена.

Глава 2 Практическа част 2.1 Койн в теорията на вероятностите.

От гледна точка на теорията на вероятностите монетата има само две страни, едната от които се нарича "глави", а другата се нарича "опашки". Монета се хвърля и пада с едната страна нагоре. Никакви други свойства не са присъщи на математическата монета.

Нека проведем експеримент. Като начало нека вземем монета в ръцете си, хвърлим я и последователно запишем резултата. В нашия случай хвърлянето на монета е тест, а получаването на глави или опашки е събитие, тоест възможен резултат от нашия тест (вижте Приложение 2).

След извършване на 100 теста паднаха глави - 55, опашки - 45. Вероятността за падане на глави в този случай е 0,55; опашки - 0,45. По този начин ние показахме, че теорията на вероятността е валидна в този случай.

2.2 Решаване на задачи по теория на вероятностите в OGE

Първото приложение на теорията на вероятностите, за което се сетих, беше решаването на задачи по тази тема, включени в предстоящия изпит по математика за 9-ти клас. Най-подходящо е да разгледаме ключовите проблеми в теорията на вероятностите, които са номер 9 в OGE.

Формули, използвани за решаване на проблеми:

П = , където m е броят на благоприятните резултати, n е общият брой резултати.

Задача No1.Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите една „глава“ и една „опашка“?

Решение:При хвърляне на една монета са възможни два резултата - „глави” или „опашки”. При хвърляне на две монети има 4 изхода (2*2=4): „глави“ - „опашки“ „опашки“ - „опашки“ „опашки“ - „глави“ „глави“ - „глави“ Една „глава“ и една “опашка” ще се появи в два от четири случая. P(A)=2:4=0,5. Отговор: 0,5.

Задача No2.Монетата се хвърля три пъти. Каква е вероятността да получите две глави и една опашка?

Решение:При хвърляне на три монети са възможни 8 резултата (2*2*2=8): „глави“ - „опашки“ - „опашки“ „опашки“ - „опашки“ - „опашки“ „опашки“ - „глави“ - „ опашки” "глави" - "глави" - "опашки" "опашки" - "опашки" - "глави" "опашки" - "глави" - "глави" "глави" - "опашки" - "глави" "глави" - "heads" - "Heads" Две "глави" и една "опашка" ще се появят в три случая от осем. P(A)=3:8=0.375. Отговор: 0,375.

Задача No3.При произволен експеримент симетрична монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността изобщо да не получите глави.

Решение:При хвърляне на четири монети са възможни 16 резултата: (2*2*2*2=16): Благоприятни резултати - 1 (ще се появят четири глави). P(A)=1:16=0,0625. Отговор: 0,0625.

Задача No4.Определете вероятността при хвърляне на зар да получите повече от три точки.

Решение:Общо възможните резултати са 6. Големи числа 3 - 4, 5, 6. P(A)= 3:6=0,5. Отговор: 0,5.

Задача No5.Хвърля се зар. Намерете вероятността да получите четен брой точки.

Решение:Общите възможни резултати са 6. 1, 3, 5 са ​​нечетни числа; 2, 4, 6 са четни числа. Вероятността да получите четен брой точки е 3:6=0,5. Отговор: 0,5.

Задача No6.При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сборът да бъде 8 точки. Закръглете резултата до стотни.

Решение:Това действие – хвърляне на два зара – има общо 36 възможни резултата, тъй като 6² = 36. Благоприятни резултати: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Вероятността да получите осем точки е 5:36 ≈ 0,14. Отговор: 0,14.

Задача No7.Заровете се хвърлят два пъти. Бяха хвърлени общо 6 точки. Намерете вероятността едно от хвърлянията да доведе до 5.

Решение:Общ резултат от 6 точки - 5: 2 и 4; 4 и 2; 3 и 3; 1 и 5; 5 и 1. Благоприятни резултати - 2. P(A)=2:5=0,4. Отговор: 0,4.

Задача No8.На изпита има 50 билета, Тимофей не научи 5 от тях. Намерете вероятността той да попадне на научения билет.

Решение:Тимофей научи 45 билета. P(A)=45:50=0,9. Отговор: 0,9.

Задача No9.В първенството по гимнастика участват 20 състезатели: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на изпълнение се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай.

Решение:Резултатите са общо 20. Благоприятните резултати са 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0,25. Отговор: 0,25.

Задача No10.В състезанието по хвърляне се включиха 4 атлети от Франция, 5 от Англия и 3 от Италия. Редът на изпълненията се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава пети, да е от Италия.

Решение:Броят на всички възможни резултати е 12 (4 + 5 + 3 = 12). Броят на благоприятните резултати е 3. P(A)=3:12=0,25. Отговор: 0,25 .

2.3 Практическо приложение на теорията на вероятностите. Определяне на температурата на въздуха.

Със сигурност можем да кажем, че всеки от нас се интересува от прогнозата за времето поне веднъж на ден. Не всеки обаче знае, че зад скромните цифри на температурата и скоростта на вятъра се крият сложни математически изчисления. Метеорологията като цяло и прогнозната метеорология в частност са един вид идеална област на несигурност.

Експеримент №1.

20 дни измервахме температурата на въздуха навън. Да се ​​изчисли вероятността на 21 септември температурата на външния въздух да бъде над +15 0 C (вижте Приложение 1).

Заключение:След като извършихме изчисленията, заключаваме, че тъй като вероятността е по-малка от 0,5, тогава най-вероятно на 21 септември температурата на въздуха навън ще бъде под 15 0. Което практически се потвърждава. Температура на въздуха на 21 септември +13 0.

Експеримент №2.

15 дни измервахме температурата на въздуха навън. Да се ​​изчисли вероятността на 7 октомври температурата на външния въздух да бъде под +10 0 C (вижте Приложение 3).

Заключение:След като извършихме изчисленията, заключаваме, че тъй като вероятността е по-голяма от 0,8, тогава най-вероятно на 7 октомври температурата на въздуха навън ще бъде под +10 0. Което практически се потвърждава. Температура на въздуха на 7 октомври +7 0 .

Заключение

В хода на работата беше изучена основна информация за приложението на теорията на вероятностите в живота. Способността за решаване на проблеми в теорията на вероятностите е необходима на всеки човек, тъй като способността да се предвиди това или онова събитие ни позволява да успеем в много области на нашата дейност.

В резултат на работата беше разкрито:

Теорията на вероятностите е огромен клон на науката математика и обхватът на нейното приложение е много разнообразен. Преминавайки през много факти от живота и провеждайки експерименти, използвайки теорията на вероятностите, можете да предвидите събития, случващи се в различни сфери на живота;

Теорията на вероятностите е цяла наука, в която, изглежда, няма място за математика - какви закони има в царството на случайността? Но и тук науката е открила интересни закономерности. Ако хвърлите монета, не можете да кажете със сигурност коя страна ще бъде обърната нагоре - гербът или числото. Но след тестване се оказва, че когато експериментът се повтаря многократно, честотата на събитието приема стойности близки до 0,5.

Теорията на вероятностите има широко приложение: за прогнозиране на времето, за закупуване на изправни автомобили, също и за закупуване на изправни крушки и разни други неща. Проведохме два експеримента, за да предвидим времето на определена дата и час. Теорията на вероятностите наистина се използва не само за учебници, но може да намери приложение и в ежедневието.

Въз основа на примера на тази работа могат да се направят по-общи изводи: стойте далеч от всякакви лотарии, казина, карти и хазарт като цяло. Винаги трябва да мислите, да оценявате степента на риск, да избирате най-добрия възможен вариант - това ще бъде полезно в по-късен живот. Така поставената цел в работата е изпълнена, поставените задачи са решени и са направени съответните изводи.

Библиография

1. Бородин A.L. Начален курс по теория на вероятностите и математическа статистика / A.L. Бородин. - Санкт Петербург: Lan, 2004.

2. Клентак Л.С. Елементи на теорията на вероятностите и математическата статистика / L.S. Клентак. - Самара: Издателство SSAU, 2013.

3. Мордович А.Г. събития. Вероятности. Статистическа обработка на данни / А. Г. Мордович, П. В. Семенов. - М .: Мнемозина, 2004.

4. Отворена банка със задачи по математика OGE [Електронен ресурс] // URL:

http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=5277E3049BBFA50A46567B64CE413F29&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 (достъп на 10.09.2018 г.).

5. Фадеева Л.Н. Теория на вероятностите и математическа статистика / L.N. Фадеева, А.В. Лебедев; редактиран от Фадеева. - 2-ро изд. - М.: Ексмо, 2010. - 496 с.

Приложения Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3

Теоретична част

Глава I. Теория на вероятностите - какво е това?………………..………………......................... .........…3

1. История на възникването и развитието на теорията на вероятностите …………………………..…..3

   Основни понятия на теорията на вероятностите…………………………………………….…….3

   Теория на вероятността в живота………………………………………………………………..6 Практическа част

Глава II. Единен държавен изпит като пример за използване на теорията на вероятностите за живот……….…......... 7

2.1. Единен държавен изпит ………………. 7

Експериментална част………………………………………………………………………………………………..9

Въпросник…………………………………………………………………………………..…9

Експеримент………………………………………..…………………………………………………………9

Заключение……………………………………………………………………………………………………… 10

Литература……………………………………………………………………………………………………11

Приложение…………………………………………………………..………………… 12

Най-висшата цел на математиката...е да

да намерим скрития ред в хаоса, който ни заобикаля.

Н. Винер

Въведение

Неведнъж сме чували или казвали „това е възможно“, „това не е възможно“, това със сигурност ще се случи“, „това е малко вероятно“. Такива изрази обикновено се използват, когато се говори за възможността за възникване на събитие, което при същите условия може или не може да се случи.

Мишена моите изследвания: идентифициране на вероятността за успешно полагане на изпита от ученици от 11 класчрез отгатване на правилния отговор с помощта на теория на вероятностите.

За да постигна целите си, си поставямзадачи :

1) събира, изучава и систематизира материал по теория на вероятностите,Vизползване на различни източници на информация;

2) стрразгледайте използването на теорията на вероятностите в различни сфери на живота;

3) стрПроведете проучване, за да определите вероятността да получите положителна оценка при полагане на Единния държавен изпит, като познаете верния отговор.

Аз номинираххипотеза: Използвайки теорията на вероятностите, можем да предвидим с висока степен на увереност събитията, случващи се в живота ни.

Обект на изследване - теория на вероятностите.

Предмет на изследване: практическо приложение на теорията на вероятностите.

Изследователски методи : 1) анализ, 2) синтез, 3) събиране на информация, 4) работа с печатни материали, 5) анкетиране, 6) експеримент.

Вярвам, че въпросът, изследван в работата ми, ерелевантнипо няколко причини:

Случайност, случайност – срещаме ги всеки ден.Изглежда, как може да се „предвиди“ настъпването на случайно събитие? Все пак може да стане, а може и да не се сбъдне!Но математиката е намерила начини да оцени вероятността от възникване на случайни събития. Те позволяват на човек да се чувства уверен, когато се натъква на случайни събития.

Сериозна стъпка в живота на всеки възпитаник е Единният държавен изпит. Аз също трябва да се явя на изпити догодина. Въпрос на случайност ли е успешното му завършване?

Глава 1. Теория на вероятностите.

1. История

Корените на теорията на вероятностите датират от векове. Известно е, че в древните държави на Китай, Индия, Египет, Гърция някои елементи на вероятностните разсъждения вече са били използвани за преброяването на населението и дори за определяне на числеността на вражеските войски.

Първите работи по теория на вероятностите, принадлежащи на френските учени Б. Паскал и П. Ферма, холандския учен Х. Хюйгенс, се появяват във връзка с изчислениеторазлични вероятности в хазарта. Голямуспехът на теорията на вероятностите е свързан с иметошвейцарският математик Й. Бернули(1654-1705). Той откри известния закон на големите числа: той направи възможно установяването на връзка между вероятността за всяко случайно събитие и честотата на неговото възникване, наблюдавана директно от опита. СЪСследващият период в историята на теорията на вероятностите (XVIIIV. и началотохазхв.) се свързва с имената на А. Моавър, П. Лаплас, К. Гаус и С. Поасон. През този период теорията на вероятностите намира редица приложения в природните науки и технологиите..

Третият период в историята на теорията на вероятностите, ( второполовинатаXIXв.) се свързва главно с имената на руските математици П. Л. Чебишев и А. М. Ляпунов.Най-разпространената в момента логическа схема за изграждане на основите на теорията на вероятностите е разработена през 1933 г. от математика А. Н. Колмогоров.

1. Определение и основни формули

И така, колко полезна е тази теория при прогнозирането и колко точна е тя? Кои са основните му тези? Какви полезни наблюдения могат да бъдат извлечени от текущата теория на вероятностите?

Основната концепция на теорията на вероятностите евероятност . Тази дума се използва доста често в ежедневието. Мисля, че всеки е запознат с фразите: „Утре вероятно ще вали сняг“ или „Вероятно ще изляза на открито този уикенд“.В речника на S.I. Ozhegov думата вероятност се тълкува като „възможност нещо да се случи“. И тук концепцията за теория на вероятностите се определя като „отрасъл от математиката, който изучава модели, базирани на взаимодействието на голям брой случайни явления“.

В учебника „Алгебра и началото на анализа” за 10-11 клас, под редакцията на Ш. А. Алимов, е дадено следното определение: tтеория на вероятностите - клон на математиката, който "се занимава с изучаване на модели в масови явления."

Когато изучаваме явления, провеждаме експерименти, по време на които се случват различни събития, сред които различаваме: надеждни, случайни, невъзможни, еднакво вероятни.

Събитие U наречен надежден Uопределено ще се случи. Например, появата на едно от шест числа 1,2,3,4,5,6 с едно хвърляне на зара ще бъде надеждно.Събитието се нарича случайно във връзка с някакъв тест, ако по време на този тест това може или не може да се случи. Например при еднократно хвърляне на зар числото 1 може да се появи или да не се появи, т.е. дадено събитие е случайно, защото може или не може да се случи. Събитие V наречено невъзможно във връзка с някакъв тест, ако по време на този тест събитиетоVняма да стане. Например, невъзможно е да получите числото 7 при хвърляне на зар.Еднакво вероятни събития - това са събития, които при дадени условия имат еднакъв шанс да се случат.

Как да изчислим вероятността от случайно събитие? В крайна сметка, ако е случаен, това означава, че не се подчинява на закони или алгоритми. Оказва се, че в света на случайността се прилагат определени закони, които позволяват да се изчислят вероятностите.

Приета вероятност за събитиеА обозначавамбуква P(A), тогава формулата за изчисляване на вероятността се записва, както следва:

P(A)=, къдетом ≤ н(1)

Вероятност P(A) за събитие A в тест с еднакво възможни елементарни резултати се нарича отношението на броя на резултатитем, благоприятен за събитие А, за броя на резултатитенвсички резултати от теста. От формула (1) следва, че

0≤ P(A)≤ 1.

Това определение обикновено се наричакласическо определение на вероятността . Използва се, когато теоретично е възможно да се идентифицират всички еднакво възможни резултати от тест и да се определят резултатите, благоприятни за изследвания тест. На практика обаче често има тестове, при които броят на възможните резултати е много голям. Например, без многократно хвърляне на бутон, е трудно да се определи дали има еднаква вероятност да падне „на равнината“ или на „ръба“. Следователно се използва и статистическата дефиниция на вероятността.Статистическа вероятност назовете числото, около което се колебае относителната честота на дадено събитие (У ( А ) – съотношението на броя опити M, в които е настъпило това събитие, към броя на всички извършени опитин) с голям брой тестове.

Запознах се и с формулата на Бернули- това е формулата в , което позволява да се намери вероятността за възникване на събитие А по време на независими опити. Носи името на изключителния швейцарски математик , който изведе формулата:

P(m)=

За да се намерят шансовете събитие А да се случи в дадена ситуация, е необходимо:

намерете общия брой резултати от тази ситуация;

намерете броя на възможните резултати, при които възниква събитие А;

намерете каква част от възможните резултати са от общия брой резултати.

1. 1. Теорията на вероятността в живота.

В развитието на теорията на вероятностите проблемите, свързани с хазарта, предимно със зарове, изиграха много важна роля.

Игри със зарове

Средствата за играта са кубчета (зарове) в размер от едно до пет, в зависимост от вида на играта. Същността на играта е да се хвърлят зарове и след това да се броят точките, чийто брой определя победителя. Основният принцип на заровете е, че всеки играч се редува да хвърля определен брой зарове (от едно до пет), след което резултатът от хвърлянето (сумата от хвърлените точки; в някои версии точките от всеки зар се използват отделно ) се използва за определяне на победителя или губещия.

Лотария

Лотарията е организирана игра, при която разпределението на печалбите и загубите зависи от произволното теглене на конкретен билет или число (лот, лот).

Игри на карти

Игра с карти е игра с използване на карти за игра, характеризираща се с произволно първоначално състояние, за да се определи кой комплект (колоде) се използва.

Важен принцип на почти всички игри с карти е произволността на реда на картите в тестето.

Игрални автомати

Известно е, че при игралните автомати скоростта на въртене на барабаните зависи от работата на микропроцесора, който не може да бъде повлиян. Но можете да изчислите вероятността да спечелите на слот машина, в зависимост от броя на символите в нея, броя на барабаните и други условия. Това знание обаче едва ли ще ви помогне да спечелите. В наши дни науката за случайността е много важна. Използва се в селекцията при отглеждане на ценни сортове растения, при приемане на промишлени продукти, при изчисляване на графика за разтоварване на автомобили и др.

Глава II. Единен държавен изпит като пример за използване на теорията на вероятностите за живот

2.1. Единен държавен изпит

Аз съм 10 клас и догодина имам изпити.

Сред невнимателните студенти възникна въпрос: „Възможно ли е да изберете произволен отговор и пак да получите положителна оценка за изпита?“ Проведох анкета сред учениците: възможно ли е практически да познаете 7 задачи, т.е. преминават Единния държавен изпит по математика без подготовка. Резултатите са следните: 50% от студентите смятат, че могат да издържат изпита по горния метод.

Реших да проверя дали са прави? На този въпрос може да се отговори с помощта на елементи от теорията на вероятностите. Искам да проверя това на примера на предметите, необходими за полагане на изпити: математика и руски език и на примера на най-предпочитаните предмети в 11 клас. По данни от 2016 г. 75% от възпитаниците на Кружилинската гимназия са избрали обществени науки.

А) Руски език. По този предмет тестът включва 24 задачи, от които 19 са с избираем отговор. За да преминете прага на изпита през 2016 г. е достатъчно да решите правилно 16 задачи. Всяка задача има няколко варианта за отговор, един от които е верен. Можете да определите вероятността да получите положителна оценка на изпит, като използвате формулата на Бернули:

Схемата на Бернули описва експерименти със случаен резултат, които са както следва. Провеждат се N последователни независими идентични експеримента, във всеки от които се идентифицира едно и също събитие А, което може или не може да се случи по време на експеримента. Тъй като тестовете са идентични, тогава във всеки от тях събитие А се случва с еднаква вероятност. Нека го обозначим p = P(A). Означаваме вероятността от допълнително събитие с q. Тогава q = P(Ā) = 1-p

Нека събитие А е правилно избраният отговор от четири предложени в една задача от първата част. Вероятността за събитие А се определя като съотношението на броя на случаите, благоприятни за това събитие (т.е. правилно познат отговор и има 1 такъв случай) към броя на всички случаи (4 такива случая). Тогаваp=P(A)= и q=P(Ā)=1-p=.

119759850

0,00163*100%0,163%

По този начин вероятността за успешен резултат е приблизително 0,163%!

Използвайки демо версията на теста за Единен държавен изпит за 2016 г. като пример, поканих ученици от 11 клас да избират отговори чрез отгатване. И това е, което получих. Средният резултат за класа е 7. Най-много точки събра Яна Софина - 15, а най-малко Данил Зиков (3 точки). 1 ученик е получил 16 точки, което е 12,5 % (Приложение I)

Социология

Първата част на демонстрационната версия на Единния държавен изпит по обществени науки за 2016 г. съдържа 20 задачи с избираем отговор, от които само една е правилна. Нека да определим вероятността да получим положителна оценка. Rosobrnadzor е установил минимален първичен резултат по социални науки от 19.

Вероятност за получаване на положителна оценка:

15504

0,000003*100%=0,0003%

По този начин вероятността за успешен резултат е приблизително 0,0003%!

Помолих ученици от 11 клас да познаят отговорите по обществени науки. Средният резултат беше 4,2 точки. Най-високата оценка е 7, най-ниската е 1. Така нито един ученик не успя да събере необходимия брой точки по обществени науки. (Приложение I)

Математика

През 2016 г. демо версията на Единния държавен изпит KIM по МАТЕМАТИКА съдържа 20 задачи. За успешно полагане на изпита беше необходимо да се решат поне 7 задачи. Нека приложим формулата на Бернули.

(8)=* *; ==9; (8)=9**=0,000102996;

0,0001*100%=0,01%

Заключение: вероятността да получите положителна оценка е 0,01%.

Експеримент, проведен сред мои съученици, показа, че най-големият брой съвпадения е 3, средният резултат е 1,7 точки.

експериментална част

Въпросник

Анкетата е проведена сред ученици от 9-11 клас. Те бяха помолени да отговорят на следния въпрос:

1.Възможно ли е да се положат изпити без подготовка с познаване на отговора в задачите?

Резултатите от проучването са отразени в диаграмите. (Приложение II)

Експериментирайте

1. Сред ученици от 11 клас, използвайки примера на демонстрационна версия на тестовите и измервателни материали на Единния държавен изпит-2016, проведох експеримент с отгатване на отговора по руски език и социални науки. Резултатите са показани в Таблица 1 (Приложение I).

2. Поканих моите съученици да познаят отговора в демонстрационния вариант по математика за 2016 г., резултатите също са представени в Приложение I.

В резултат на експеримента и използвайки формулата на Бернули доказах, че е невъзможно да се издържат изпити, като се познае отговорът. Само систематичното, обмислено и съвестно обучение в училище ще позволи на възпитаника да бъде добре подготвен за участие в Единния държавен изпит и успешно да реши съдбоносния проблем при преминаване към по-високо ниво на обучение в университет.

Заключение

В резултат на свършената работа постигнах изпълнението на задачите, които си поставих:

Първо , разбрах, че теорията на вероятностите е огромен клон на науката математика и е невъзможно да се изучава наведнъж;

Второ , След като сортирах много факти от живота и проведох експерименти, разбрах, че с помощта на теорията на вероятностите наистина е възможно да се предскажат събития, случващи се в различни сфери на живота;

на трето място , след като изследвах вероятността учениците да положат успешно Единния държавен изпит по математика за 11 клас, азстигна до заключение, какво тСамо систематичното, обмислено и съвестно обучение в училище ще позволи на завършилия да бъде добре подготвен за участие в Единния държавен изпит. Така хипотезата, която изложих, беше потвърдена; с помощта на теорията на вероятностите доказах, че трябва да се подготвите за изпити, а не да разчитате само на случайността.

Използвайки примера на моята работа, могат да се направят по-общи изводи: стойте далеч от всякакви лотарии, казина, карти и хазарта като цяло. Винаги трябва да мислите, да преценявате степента на риск, да избирате най-добрия възможен вариант - това, мисля, ще ми бъде полезно в по-късен живот.

Литература

1. Алимов Ш. А. Алгебра и началото на математическия анализ 10-11 клас: учебник за общообразователни институции: основно ниво. М.: Образование, 2010.

2. Бродски Я.С. "Статистика. Вероятност. Комбинаторика" -М.: Оникс; Мир и образование,2008 г

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Указания за темата "Статистически изследвания" // Математика в училище.- 2003. - № 3.

4. Гусев В.А. Извънкласна работа по математика в 6-8 клас - М.: Образование, 1984.

Лютикас В.С. Избираем курс по математика: Теория на вероятностите.-М.: Образование 1990г.

Макаричев Ю.Н. Алгебра: елементи на статистиката и теория на вероятностите: учебник. помагало за ученици 7-9 клас. общо образование институции - М.: Образование, 2007.

Ожегов С.И. Речник на руския език: М.: Руски език, 1989.

Федосеев В. Н. Елементи на теорията на вероятностите за VII-IX клас на средното училище. // Математика в училище. - 2002. - № 4,5.

Какво стана. Кой е това: В 3 т. Т.1 – 4 изд. преработено и допълнително - М.: Педагогика-Прес, 1997.

ресурси:

15924 15165 13933

Учудва ли ви нещо?
Изумява ме. Данните са стабилни от година на година.
Отзад 7 години варират от 14 до 19 хиляди мъртви.

Помислете за това, пожарът е случайно събитие. Но е възможно да се предскаже с голяма точност колко хора ще загинат в пожар през следващата година (~ 14-19 хиляди).

Ако погледнете статистиката за престъпността в Русия, някои показатели също ще варират в определен диапазон.

Регистрирани престъпления- Обща сума	1839,5	2755,7	2952,4	2968,3	2526,3	2756,4	2893,8	3554,7	3855,4	3582,5	3209,9
убийство и опит за убийство	15,6	31,7	31,8	33,6	32,3	31,6	31,6	30,8	27,5	22,2	20,1
умишлено причиняване тежка телесна повреда	41,0	61,7	49,8	55,7	58,5	57,1	57,4	57,9	51,4	47,3	45,4
изнасилване и опит за убийство изнасилване	15,0	12,5
обир	83,3	140,6	132,4	148,8	167,3	198,0	251,4	344,4	357,3	295,1	244,0
обир	16,5	37,7	39,4	44,8	47,1	48,7	55,4	63,7	59,8	45,3	35,4
кражба	913,1	1367,9	1310,1	1273,2	926,8	1150,8	1276,9	1573,0	1677	1567	1326,3
престъпления, свързани с незаконен трафик лекарства	16,3	79,9	243,6	241,6	189,6	181,7	150,1	175,2	212,0	231,2	232,6
пътни нарушения движение и работа Превозно средство	96,3	50,0	52,7	54,5	56,8	53,6	26,5	26,6	26,3	25,6	24,3
от които произтичат смърт по небрежност лице, две или повече лица	15,9	14,4	15,4	15,5	16,1	17,6	16,0	15,7	15,8	15,5	13,6
корупционни практики									11,1	11,6	12,5

В една стабилна система вероятността от възникване на събития се поддържа от година на година. Тоест, от гледна точка на човек, с него се е случило случайно събитие. И от гледна точка на системата беше предопределено.

Разумният човек трябва да се стреми да мисли въз основа на законите на вероятността (статистиката). Но в живота малко хора мислят за вероятността. Решенията се вземат емоционално.

Хората се страхуват да летят със самолет. Междувременно най-опасното нещо при летенето със самолет е пътят до летището с кола. Но опитайте се да обясните на някой, че колата е по-опасна от самолета.

Според изследване: в САЩ през първите 3 месеца след терористичните атаки от 11 септември 2001 г. са загинали още хиляда души... косвено.ОТНОСНО Без да се страхуват, те спряха да летят със самолет и започнаха да се движат из страната с автомобили. И тъй като е по-опасно, броят на смъртните случаи се увеличи.

По телевизията ги плашат: птичи и свински грип, тероризъм..., но вероятността от тези събития е нищожна в сравнение с реалните заплахи. По-опасно е да пресичаш пътя на зебра, отколкото да летиш със самолет. Падащи кокосови орехи убиват ~150 души годишно. Това е десет пъти повече, отколкото от ухапване от акула. Но филмът "Кокосов орех" все още не е заснет.

Светът се управлява от вероятността и ние трябва да помним това.

Препоръчвам книгите на Насим Талеб:
Излъган случайно
Черният лебед

Те ще ви помогнат да видите света от случайна гледна точка..

P.S.
Анекдот по темата.
Професорите по математика питат:
- Ще отидете ли да гласувате на изборите?
- Не
- Защо, професоре?
- Според теорията на вероятностите гласът ми няма да повлияе на нищо
- Но професоре, ами ако всички се окажат еднакво „умни“?
- Според същата теория на вероятностите няма да се окаже, че всеки е умен...


Най-добри пожелания,
Владимир Никонов,автор на сайта:
koob.ru - електронна библиотека
b17.ru - психолози
- статии и програми за саморазвитие
mindmachine.ru - магазин за устройства за тренировка на мозъка