Момент на сила

Ротационният ефект на една сила се определя от нейния момент. Моментът на сила около всяка точка се нарича векторно произведение

Радиус вектор, начертан от точка до точка на прилагане на сила (фиг. 2.12). Мерна единица за момент на сила.

Фигура 2.12

Големината на момента на силата

или можете да пишете

където е рамото на силата (най-късото разстояние от точката до линията на действие на силата).

Посоката на вектора се определя от правилото за векторно произведение или от правилото за "десния винт" (векторите и паралелната транслация се комбинират в точка O, посоката на вектора се определя така, че от края му да се вижда въртенето от вектор k обратно на часовниковата стрелка - на фиг. 2.12 векторът е насочен перпендикулярно на чертежа на равнината „от нас“ (подобно на правилото на гимлета - транслационното движение съответства на посоката на вектора, ротационното движение съответства на въртенето от до)).

Моментът на силата около всяка точка е равен на нула, ако линията на действие на силата минава през тази точка.

Проекцията на вектор върху която и да е ос, например оста z, се нарича момент на сила около тази ос. За да определите момента на сила около ос, първо проектирайте силата върху равнина, перпендикулярна на оста (фиг. 2.13), и след това намерете момента на тази проекция спрямо точката на пресичане на оста с равнината, перпендикулярна на то. Ако линията на действие на силата е успоредна на оста или я пресича, тогава моментът на силата около тази ос е равен на нула.

Фигура 2.13

Импулс

Momentumulse материална точка маса, движеща се със скорост спрямо всяка референтна точка, се нарича векторно произведение

Радиус-векторът на материална точка (фиг. 2.14) е нейният импулс.

Фигура 2.14

Големината на ъгловия импулс на материална точка

където е най-късото разстояние от векторната линия до точката.

Посоката на импулсния момент се определя подобно на посоката на момента на силата.

Ако умножим израза за L 0 и разделим на l, получаваме:

Къде е инерционният момент на материална точка - аналог на маса при въртеливо движение.

Ъглова скорост.

Инерционен момент на твърдо тяло

Вижда се, че получените формули са много подобни на изразите за импулс и съответно на втория закон на Нютон, само че вместо линейна скорост и ускорение се използват ъглова скорост и ускорение, а вместо маса се използва величината I=mR 2, т.нар инерционен момент на материална точка .

Ако едно тяло не може да се счита за материална точка, но може да се счита за абсолютно твърдо, тогава неговият инерционен момент може да се счита за сумата от инерционните моменти на неговите безкрайно малки части, тъй като ъгловите скорости на въртене на тези части са еднакви (фиг. 2.16). Сумата от безкрайно малки е интегралът:

За всяко тяло има оси, минаващи през неговия център на инерция, които имат следното свойство: когато тялото се върти около такива оси при липса на външни влияния, осите на въртене не променят позицията си. Такива оси се наричат свободни телесни оси . Може да се докаже, че за тяло с произволна форма и с произволно разпределение на плътността има три взаимно перпендикулярни свободни оси, т.нар. главни инерционни оси тела. Инерционните моменти на тялото спрямо главните оси се наричат основни (присъщи) инерционни моменти тела.

Основните инерционни моменти на някои тела са дадени в таблицата:

Теорема на Хюйгенс-Щайнер.

Този израз се нарича Теорема на Хюйгенс-Щайнер : инерционният момент на тялото спрямо произволна ос е равен на сумата от инерционния момент на тялото спрямо ос, успоредна на дадената и минаваща през центъра на масата на тялото, и произведението на телесната маса на квадрата на разстоянието между осите.

Основно уравнение за динамиката на въртеливото движение

Основният закон на динамиката на въртеливото движение може да бъде получен от втория закон на Нютон за транслационното движение на твърдо тяло

Където Е– сила, приложена към тялото от маса м; А– линейно ускорение на тялото.

Ако към твърдо тяло с маса мв точка А (фиг. 2.15) приложете сила Е, тогава в резултат на твърда връзка между всички материални точки на тялото, всички те ще получат ъглово ускорение ε и съответните линейни ускорения, сякаш сила F 1 ...F n действа върху всяка точка. За всяка материална точка можем да запишем:

Къде следователно

Където m i- тегло аз-ти точки; ε – ъглово ускорение; r i– разстоянието му до оста на въртене.

Умножавайки лявата и дясната страна на уравнението по r i, получаваме

Където - моментът на сила е произведението на силата и нейното рамо.

Ориз. 2.15. Твърдо тяло, което се върти под въздействието на сила Еотносно оста "OO"

- момент на инерция азта материална точка (аналог на масата при въртеливо движение).

Изразът може да бъде написан така:

Нека сумираме лявата и дясната част по всички точки на тялото:

Уравнението е основният закон на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло. Големината е геометричната сума на всички моменти на сила, т.е. моментът на сила Е, придавайки ускорение ε на всички точки на тялото. – алгебрична сума от инерционните моменти на всички точки на тялото. Законът е формулиран по следния начин: „Моментът на силата, действащ върху въртящо се тяло, е равен на произведението на инерционния момент на тялото и ъгловото ускорение.“

От друга страна

На свой ред - промяна в ъгловия момент на тялото.

Тогава основният закон на динамиката на ротационното движение може да бъде пренаписан като:

Или - импулсът на момента на силата, действащ върху въртящо се тяло, е равен на изменението на неговия ъглов момент.

Закон за запазване на ъгловия момент

Подобно на ZSI.

Съгласно основното уравнение на динамиката на въртеливото движение моментът на сила спрямо оста Z: . Следователно в затворена система и следователно общият ъглов момент спрямо оста Z на всички тела, включени в затворената система, е постоянна величина. Това изразява закон за запазване на ъгловия момент . Този закон действа само в инерционни референтни системи.

Нека направим аналогия между характеристиките на транслационното и ротационното движение.

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА № 107

Проверка на основното уравнение на динамиката

въртеливо движение

Цел на работата:Експериментална проверка на основния закон на динамиката на въртеливото движение с помощта на махало на Обербек.

Уреди и аксесоари: Махало на Обербек с милисекунден часовник FPM – 15, шублер.

Теоретично въведение

При разглеждане на въртенето на твърдо тяло от динамична гледна точка, наред с понятието сили се въвежда понятието моменти на силите, а заедно с понятието маса, понятието инерционен момент.

Нека материална точка с маса Tпод въздействието на външна сила се движи криволинейно спрямо неподвижна точка О. Върху материална точка действа момент на сила и точката има ъглов момент. Позицията на движеща се материална точка се определя от радиус вектора, начертан към нея от точка O (фиг. 1). Моментът на сила спрямо фиксирана точка O е векторно количество, равно на векторното произведение на вектора на силата на радиус вектора

Векторът е насочен перпендикулярно на равнината на векторите и посоката му съответства на правилото на десния винт. Модулът на момента на силата е равен на

Където а - ъгъл между векторите и , h=rsin а - рамото на силата, равно на най-късото разстояние от точка О до линията на действие (по която действа силата) на силата.

Ъгловият импулс спрямо точка O е векторно количество, равно на векторното произведение на радиуса на вектора и вектора на импулса, т.е.

Векторът е насочен перпендикулярно на равнината на векторите и (фиг. 2). Модулът на ъгловия момент е равен на

Където b - ъгълът между посоката на векторите и .

Основен закон на динамиката на въртеливото движение

Нека механична система, състояща се от нматериални точки под въздействието на външни сили, резултантната на които извършва криволинейно движение спрямо неподвижната точка О, т.е.

където е радиус векторът, начертан от точка O до аз-та материална точка, е векторът на действащата сила аз-та материална точка.

Можете също така да намерите ъгловия момент на системата

където е ъгловият момент аз-та материална точка.

Инерцията зависи от времето T, тъй като скоростта е функция на времето. Вземане на времевата производна на ъгловия момент на системата T, получаваме

Формула (7) е математически израз на основния закон на динамиката на въртеливото движение на система, според който скоростта на промяна на ъгловия момент на системата във времето е равна на резултантния момент на външните сили, действащи върху системата.

Закон (7) е валиден и за твърдо тяло, т.к твърдото тяло може да се разглежда като колекция от материални точки.

Нека в частен случай твърдо тяло се върти около неподвижна ос, минаваща през центъра на масата под действието на външна сила. Разделяме твърдото тяло на материални точки. За материална точка с маса м i ще бъде написано уравнението на движението

Импулс за аз– о материална точка е равна на

Тъй като по време на въртеливо движениеb = 90 0 , тогава линейната скорост е свързана с ъгловата скорост по формулата Тогава (9) може да се запише във формата

Количеството представлява инерционния момент на материалната точка спрямо оста Z. Тогава (10) ще приеме формата

Като се вземе предвид (11), основният закон на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо фиксирана ос ще бъде написан

където е инерционният момент на твърдото тяло спрямо оста Z.

При

където е ъгловото ускорение. Според основното уравнение динамика на въртеливото движение (12), резултантният момент на външната сила, действаща върху тялото, е равен на произведението на инерционния момент J на ​​тялото и неговото ъглово ускорение.

От уравнение (12) следва, че когато J = констъглово ускорение на тялото

право пропорционална на момента на външните сили спрямо оста на въртене, т.е.

При M = constъгловото ускорение е обратно пропорционално на инерционния момент на тялото, т.е.

Целта на тази работа е да се проверят съотношенията (13) и (14) и, следователно, основното уравнение на динамиката на въртеливото движение (12), от което те са следствие.

Описание на работната настройка и метода на измерване

За проверка на съотношения (13) и (14) се използва махало на Обербек, което представлява инерционно колело във формата на кръст. На четири взаимно перпендикулярни пръта 1 има четири еднакви цилиндрични тежести 2, които могат да се движат по прътите и да се закрепят на определено разстояние от оста. Товарите са закрепени симетрично, т.е. така че техният масов център да съвпада с оста на въртене. По хоризонталната ос на кръста има двустепенен диск 3, върху който е навита нишката. Единият край на нишката е прикрепен към диска, а от втория край на нишката е окачена тежест 4, под въздействието на която устройството се върти. Общият изглед на махалото на Обербек FРМ-06 е показан на фиг. 3. Спирачен електромагнит се използва за задържане на напречната система заедно с товарите в покой. За да се измери височината на падане на товарите, върху колоната е нанесена милиметрова скала 5. Времето на падане на товара 4 се измерва с милисекунден часовник FPM-15, към който са свързани фотоелектрически сензори № 1 ( 6) и № 2 (7) са свързани. Фотоелектричен сензор № 2(7) генерира електрически импулс в края на измерванията на времето и включва спирачния електромагнит.

Ако позволите на товара 4 да се движи, тогава това движение ще се случи с ускорение а.

Където T- време на движение на товара от височина ч. В този случай макарата с прътите и товарите върху тях ще се въртят с ъглово ускорениед .

Където r- радиус на ролката.

Въртящият момент на силата, приложена към напречната част и придаваща ъгловото ускорение на въртящата се част на устройството, се намира по формулата

Където T- сила на опън на шнура. Съгласно втория закон на Нютон за товар 4 имаме

където

Където ж- ускорение на гравитацията.

От формули (12), (15), (16), (17) и (19) имаме

Редът на работа и обработка на резултатите от измерванията

1. С помощта на дебеломер измерете радиуса на голямата и малката макара r 1 и r 2 .

2. Определете масата на товара 4 чрез претегляне на технически везни с точност± 0,1 гр.

3. Проверете съотношението (13). За това:

- фиксирайте цилиндрични подвижни тежести върху прътите на най-близкото разстояние от оста на въртене, така че кръстът да е в положение на безразлично равновесие;

- навийте конеца на макара с голям радиус r 1 и измерване на времето на движение на товара Tот високо чмилисекунда часовник, защо

- свържете захранващия кабел на измервателния уред към захранването;

- натиснете бутона „МРЕЖА” и проверете дали всички индикатори на измервателния уред показват нула и дали всички индикатори на двата фотоелектрични сензора са включени;

- преместете тежестта в горна позиция и проверете дали веригата е в покой;

- натиснете бутона “СТАРТ” и използвайте милисекунден часовник, за да измерите времето на движение на товара;

- натиснете бутона “RESET” и проверете дали показанията на измервателния уред са нулирани и заключването от електромагнита е освободено;

- преместете товара в горна позиция, натиснете бутона „СТАРТ“ и проверете дали веригата е блокирана отново;

- повторете експеримента 5 пъти. Височина чНе се препоръчва да се променя по време на цялата работа;

- като използвате формули (15), (16), (20) изчислете стойностите а 1 , д 1 , М 1 ;

- без да променяте местоположението на движещите се товари и по този начин да оставите инерционния момент на системата непроменен, повторете експеримента, като навиете нишката с товара върху малка макара с радиус r 2;

- като използвате формули (15), (16), (20) изчислете стойностите а 2 , д 2 , М 2 ;

- проверете валидността на следствието от основния закон на динамиката на ротационното движение:

, при

- Въведете данните от резултатите от измерването и изчислението в таблици 1 и 2.

4. Проверете съотношението (1 4 ). За това:

- натиснете подвижните тежести до ограничителите в краищата на прътите, но така, че кръстът отново да е в положение на безразлично равновесие;

- за малък скрипец r 2 определяне на времето на движение на товара T/ според 5 експеримента;

- като използвате формули (15), (20), (21) определете стойностите а / , д / , J 1;

- при проверка на съотношението когато можете да използвате стойностите от предишния опит, като поставите и ;

- използвайки формула (21), определете стойността Дж 2 ;

- изчислете стойностите на и .

- Въведете резултатите от измерванията и изчисленията в таблица 3.

маса 1

таблица 2

Таблица 3

Въпроси за разрешение за работа

1. Каква е целта на работата?

2. Формулирайте основния закон на динамиката на въртеливото движение. Обяснете физическото значение на количествата, включени в този закон, посочете техните мерни единици в SI.

3. Опишете работната настройка.

Въпроси за защита на вашата работа

1. Дайте дефиниции на момент на сила, ъглов импулс на материална точка спрямо фиксирана точка O.

2. Формулирайте основния закон на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо фиксирана точка O и фиксирана ос Z.

3. Дайте дефиницията на инерционния момент на материална точка и твърдо тяло.

4. Изведете работни формули.

5. Изведете връзката at и at

6. Има ли критики към тази работа?

Момент на сила спрямо фиксирана точкаО е векторна физическа величина, дефинирана от векторния продукт на радиус вектора изтеглена от точкатаО точноА прилагане на сила, сила (фиг.1.4.1):

(1.4.1)

Тук – псевдовектор, посоката му съвпада с посоката на движение на дясното витло, когато се върти от Да се .

Модул на момент на сила

Където
– ъгъл между И ,
– най-късото разстояние между линията на действие на силата и точката ОТНОСНО–сила на раменете.

Силов момент около неподвижна ос z
, равна на проекцията върху тази ос на вектора момент на сила, определен спрямо произволна точкаО дадена осz (фиг. 1.4.1).

Работата, извършена при въртене на тялото, е равна на произведението на момента на действащата сила и ъгъла на въртене:

.

От друга страна, тази работа върви към увеличаване на неговата кинетична енергия:

, Но

, Ето защо

, или
.

Като се има предвид това
, получаваме

. (1.4.2)

Има основното уравнение за динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо неподвижна ос: моментът на външните сили, действащи върху тялото, е равен на произведението на инерционния момент на тялото и ъгловото ускорение.

Може да се покаже, че ако оста на въртене съвпада с главната инерционна ос, минаваща през центъра на масата, тогава е валидно векторното равенство:

,

Където аз– главен инерционен момент на тялото (инерционен момент спрямо главната ос).

1.5 Ъгловият момент и законът за неговото запазване

момент на импулс материална точкаА спрямо фиксирана точка ОТНОСНО е векторна физическа величина, дефинирана от векторния продукт:

(1.5.1)

Където – радиус вектор, изтеглен от точката ОТНОСНОточно А;
– импулс на материална точка (фиг. 1.5.1).
– псевдовектор, посоката му съвпада с посоката на постъпателното движение на дясното витло, когато се върти от Да се .

,

Където
– ъгъл между векторите И ,– векторно рамо спрямо точката ОТНОСНО.

Импулс на импулса спрямо фиксирана ос z наречена скаларна величина
, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точкаОТНОСНО тази ос.Стойност на импулса
не зависи от позицията на точката ОТНОСНОпо оста z.

Когато абсолютно твърдо тяло се върти около фиксирана ос z всяка отделна точка от тялото се движи в окръжност с постоянен радиус с някаква скорост . Скорост и инерция
перпендикулярно на този радиус, т.е. радиус е рамото на вектора
. Следователно можем да напишем, че ъгловият импулс на отделна частица

и е насочен по оста в посоката, определена от правилото на десния винт.

Импулс на твърдо тялоспрямо оста е сумата от ъгловия момент на отделните частици:

.

Използване на формула
, получаваме

, т.е.
. (1.5.2)

По този начин ъгловият момент на твърдо тяло спрямо ос е равен на произведението на инерционния момент на тялото спрямо същата ос и ъгловата скорост.

Нека диференцираме уравнение (1.5.2) по отношение на времето:

, т.е.
. (1.5.3)

Този израз е друга форма основното уравнение (закон) на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо неподвижна ос: производната по време на момента на импулса на механична система (твърдо тяло) спрямо оста е равна на главния момент на всички външни сили, действащи върху тази система спрямо същата ос.

Може да се покаже, че има векторно равенство
.

В затворена система моментът на външните сили
И
, където

. (1.5.4)

Изразът (1.5.4) е закон за запазване на ъгловия момент : Ъгловият момент на системата със затворен контур се запазва.

Нека сравним основните величини и уравнения, които определят въртенето на тяло около фиксирана ос и неговото транслационно движение (Таблица 1.5.1).

Таблица 1.5.1

Лабораторна работа №15

ИЗУЧАВАНЕ НА ДВИЖЕНИЕТО НА ЖИРОСКОП

Цел на работата:изучаване на законите на въртеливото движение, изучаване на движението (прецесия) на жироскоп под въздействието на въртящ момент.

Теория на действието

Основни понятия. Основен закон на въртеливото движение

Импулс на материална точкаЛ спрямо точка Ое векторното произведение на радиус вектора на тази точка и вектора на нейния импулс стр:

Където r– радиус вектор, начертан от точка O до точка A, местоположението на материалната точка, стр=m v– импулс на материална точка. Модул на вектора на ъгловия момент:

където a е ъгълът между векторите rИ стр, l – рамо на вектор p спрямо точка O. Вектор л,според определението за векторно произведение, той е перпендикулярен на равнината, в която лежат векторите rИ стр(или v), посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на дясното витло, докато се върти от r към p по най-късото разстояние, както е показано на фигурата.

Импулс спрямо остае скаларна величина, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точка на тази ос.

Момент на силаМ материална точка спрямо точка Ое векторна величина, определена от векторния продукт на радиус вектора r, изтеглен от точка O до точката на прилагане на сила и сила Е:

. Модул на вектора на момента на силата:

където a е ъгълът между векторите rИ Е, d = r*sina – рамо на сила – най-късото разстояние между линията на действие на силата и точка O. Вектор М(както и Л) - псевдовектор , тя е перпендикулярна на равнината, в която лежат векторите rИ Е, посоката му съвпада с посоката на постъпателно движение на дясното витло, докато се върти от rДа се Епо най-късото разстояние, както е показано на фигурата. Векторна стойност и посока Мможе да се изчисли и математически, като се използва определението за кръстосано произведение.

Силов момент около останаречено скаларно количество, равно на проекцията върху тази ос на вектора на момента на силата Мопределена спрямо произволна точка на тази ос.

Основен закон на динамиката на въртеливото движение

За да изясните целта на горните понятия, разгледайте система от две материални точки (частици) и след това обобщете резултата до система от произволен брой частици (т.е. до твърдо тяло.)

Нека върху частици с маси m 1, m 2 действат вътрешни е 12, е 21и външни сили F 1И Е 2.

Нека напишем втория закон на Нютон за всяка от частиците, както и връзката между вътрешните сили, произтичаща от третия закон на Нютон:

Векторно умножете уравнение (1) по r 1 и уравнение (2) по r 2 и добавете получените изрази:

Нека трансформираме лявата страна на уравнение (4), като вземем предвид това

И тогава векторите и са успоредни и тяхното векторно произведение е равно на нула

(5 )

Първите два члена вдясно в (4) са равни на нула, тъй като вътрешните сили е 12, е 21еднакви по размер и противоположно насочени (вектор r 1-r 2насочена по същата права линия като вектора е 12).