Научете повече за степените и степенуването. Степен на число: дефиниции, запис, примери Повишаване на отрицателно число на степен

трета степен на числото

Геометрично тяло

Геометрична фигура

Съд за дестилиране и варене на течности

Математическо трио

Обемен квадрат

Правилен многостен

Растението, от което се извлича вана боя

Трета степен (математика)

Шестоъгълник

Специален случай на призма

Мярка за обем

Форма на труп

Хексаедър

Правилен шестоъгълник

Трапезната сол и цинковият сулфид кристализират във формата на тази геометрична фигура.

Този правилен многостен има 6 лица

Този правилен многостен има 8 върха

Каква геометрична фигура има древното светилище на Кааба?

Тялото е квадратно от всички страни

Геометрично тяло, чиито три проекции са квадрати

Число, умножено три пъти

Единица, в която се измерва насеченият дървен материал

Една от формите за покриване на дървени къщи

Трета степен (мат.)

Хексаедър по прост начин

3D квадрат

Правилен хексаедър

Прави двойка осмица

Десен шестоъгълник

Многостен

Мярка за отсечен дървен материал

Формата на светилището Кааба

Трета степен за математик

Многостен с 8 върха

Форма на кристал от сол

Всички негови проекции са квадрати

Мярка за обем на трупи

Комбиниране на 6 квадрата

Притежател на шест ребра

Трета степен по математика

Притежател на дванадесет ребра

Дестилация...

Правилен шестоъгълник

Геометрично тяло, правилен многостен

Съд за дестилиране и варене на течности

Правилен многостен с шест лица

М. съд за дестилация, аламбик, снаряд за дестилация на течности, есп. вино Кубът може да бъде стъклен, глинен, меден и др., с различни размери и вид; захлупва се плътно с капачка, а дестилационната течност отива по двойки в гърлото, шията и оттам в хладилника и се влива в приемника. геометрия. правоъгълно, равностранно тяло, ограничено от шест равни квадрата: зар или сандък, който има четири страни, капак и дъно с една мярка, представлява куб. аритметика продукт, от умножаване на всяко число два пъти по себе си: куб от 4. Кръвосмучещ куб, лечебен снаряд, за разрязване на кожата; банки. Кубче мазнина, камч. тюленова кожа, пълна с тлъстина от морски животни и зашита отвсякъде; Кутир. растение. куб, Индиго, от който се извлича кубична боя. Кубът ще намалее. обикновено единица кубична мярка; сред багери, кубичен фатом. Извадете земните кубчета. растение. Picris hieracioides, горска гъска. Кубичен, принадлежащ на куб, свързан. Кубика, котелно желязо, дебели ламарини. Ванова боя, синя растителна боя, направена от растения. куб, индиго. Кубовик новг. Платно син сарафан, иначе боядисан или дъбен, се нарича работен сарафан, верхник, дубеник, сандалник. Кубичен, с форма, образуващ куб, в геометрия. и аритметика значение Кубична кутия, номер; корен, число, от което, когато се умножи два пъти по себе си, се образува куб; ще бъде кубичен корен от 8. Кубична мярка, дебелина, мярка за дебелина: разширението от точка до точка се измерва с линейна мярка, линейна; равнина, повърхност с мярка от линия до линия, от ръб до ръб, с плоска, квадратна мярка; и всеки поток или капацитет между две равнини е мярка за дебелина, кубична, дебела. Кубовидна, блокчеста, кубовидна, с форма, почти кубична, близка до куба на вид, гръдна. Накълцайте нещо, разделете, натрошете на кубчета, кубчета. Захарта се нарязва на кубчета и се изсипва на кубчета. Кубирайте земята, разбийте я на кубчета с рисунка; правете кубични изчисления. Планинската сол се нарязва на кубчета, разделя се, раздробява се на кубчета. Кубатура f. куб, равен по дебелина на дадено тяло, например. топка

Каква геометрична форма има древното светилище на Кааба?

може да се намери чрез умножение. Например: 5+5+5+5+5+5=5x6. За такъв израз се казва, че сборът от равни членове се сгъва в произведение. И обратното, ако прочетем това равенство отдясно наляво, откриваме, че сме разширили сбора от равни членове. По същия начин можете да свиете произведението на няколко равни множителя 5x5x5x5x5x5=5 6.

Тоест, вместо да умножат шест еднакви множителя 5x5x5x5x5x5, те пишат 5 6 и казват „пет на шеста степен”.

Изразът 5 6 е степен на число, където:

5 - степен база;

6 - експонент.

Наричат ​​се действия, чрез които произведението на равни множители се свежда до степен издигане на степен.

По принцип степен с основа „a“ и показател „n“ се записва по следния начин

Повишаването на числото a на степен n означава намиране на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a

Ако основата на степента "а" е равна на 1, тогава стойността на степента за всяко естествено число n ще бъде равна на 1. Например 1 5 =1, 1 256 =1

Ако увеличите числото „а“ до първа степен, тогава получаваме самото число a: a 1 = a

Ако повишите произволно число до нулева степен, тогава в резултат на изчисленията получаваме едно. а 0 = 1

Втората и третата степен на число се считат за специални. Те измислиха имена за тях: втората степен се нарича квадрат на числото, трето - кубтози номер.

Всяко число може да бъде повдигнато на степен - положителна, отрицателна или нула. В този случай не се прилагат следните правила:

При намиране на степента на положително число резултатът е положително число.

Когато изчисляваме нула към естествената степен, получаваме нула.

x m · x n = x m + n

например: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Да се разделят степени с еднакви основиНе променяме основата, а изваждаме степените:

x m / x n = x m - n , Където, m > n,

например: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При изчисляване издигане на степен на степенНе променяме основата, а умножаваме степенните степени един по друг.

(при м ) н = y m н

например: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(Х · y) n = x n · y m ,

например:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

При извършване на изчисления съгл повишаване на дроб на степенповдигаме числителя и знаменателя на дробта на дадена степен

(x/y)n = x n / y n

например: (2/5) 3 = (2/5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Последователността на изчисленията при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления на изрази без скоби, но съдържащи степени, те първо извършват степенуване, след това умножение и деление и едва след това операции събиране и изваждане.

Ако трябва да изчислите израз, съдържащ скоби, първо направете изчисленията в скобите в реда, посочен по-горе, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления се използват готови таблици на мощностите за опростяване на изчисленията.

Степен на

И така, нека разберем какво е степен на число. За да запишете произведението на число само по себе си, съкратеният запис се използва няколко пъти. И така, вместо произведението на шест еднакви фактора 4. 4 . 4 . 4 . 4 . 4 се пише 4 6 и се произнася „четири на шеста степен“.
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6

Изразът 4 6 се нарича степен на число, където:
. 4 - базова степен;
. 6 е показателят.

По принцип степен с основа „a“ и показател „n“ се записва с помощта на израза:

• Степен на число "a" с естествен показател "n" по-голям от 1 е произведението на "n" еднакви множители, всеки от които е равен на числото "a".

Записът a n се чете така: „a на степен n“ или „n-та степен на a“.

Изключенията са следните записи:
. a 2 - може да се произнесе като "а на квадрат";
. a 3 - може да се произнесе като "куб."

• Степента на числото "a" с показател n = 1 е самото това число:
• a 1 = a
• Всяко число на нулева степен е равно на едно.
• а 0 = 1
• Нула към всяка естествена степен е равна на нула.
• 0 n = 0
• Едно на произволна степен е равно на 1.
• 1 n = 1

Изразът 0 0 (нула на степен нула) се счита за безсмислен.
. (-32) 0 = 1
. 0 234 = 0
. 1 4 = 1
Когато решавате примери, трябва да запомните, че повдигането на степен означава намиране на стойността на степен.

Пример. Издигане на степен.
. 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
. 2.5 2 = 2.5 . 2.5 = 6.25
. (3 ) 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
4 4 4 4 4 256

Повдигане на отрицателно число на степен
Основата (числото, което се повдига на степен) може да бъде всяко число - положително, отрицателно или нула.

• Повишаването на положително число на степен дава положително число.

Когато нулата се повдигне на естествена степен, резултатът е нула.
Когато отрицателно число се повдигне на степен, резултатът може да бъде или положително число, или отрицателно число. Зависи дали показателят е четно или нечетно число.

Нека да разгледаме примери за повдигане на отрицателни числа на степени.


От разгледаните примери става ясно, че ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава се получава отрицателно число. Тъй като произведението на нечетен брой отрицателни фактори е отрицателно.

Ако отрицателно число се повиши на четна степен, то става положително число. Тъй като произведението на четен брой отрицателни фактори е положително.

Отрицателно число, повишено на четна степен, е положително число.

• Отрицателно число, повишено на нечетна степен, е отрицателно число.
• Квадратът на всяко число е положително число или нула, тоест:
• a 2 ≥ 0 за всяко a.

2 . (- 3) 2 = 2 . (- 3) . (- 3) = 2 . 9 = 18
. - 5 . (- 2) 3 = - 5 . (- 8) = 40

Забележка!
При решаването на примери за степенуване често се допускат грешки, забравяйки, че обозначенията (- 5) 4 и -5 4 са различни изрази. Резултатите от повдигането на тези изрази на степени ще бъдат различни.

Изчислете (- 5) 4 означава да намерите стойността на четвъртата степен на отрицателно число.
(- 5) 4 = (- 5) . (- 5) . (- 5) . (- 5) = 625

Докато намирането на -5 4 означава, че примерът трябва да бъде решен в 2 стъпки:
1. Повдигнете положителното число 5 на четвърта степен.
5 4 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
2. Поставете знак минус пред получения резултат (т.е. извършете действие за изваждане).
-5 4 = - 625
Пример. Пресметнете: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37

1. 6 2 = 6 . 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

Процедура в примери със степени
Изчисляването на стойност се нарича действие на степенуване. Това е трето етапно действие.

• В изрази със степени, които не съдържат скоби, първо се извършва степенуване, след това умножение и деление и накрая събиране и изваждане.
• Ако изразът съдържа скоби, тогава първо изпълнете действията в скобите в посочения по-горе ред и след това изпълнете останалите действия в същия ред отляво надясно.

Пример. Изчисли:

Свойства на степен

Степен с естествен показател има няколко важни свойства, които ни позволяват да опростим изчисленията в примери със степени.
Имот No1
Продукт на мощности

• При умножаване на степени с еднакви основи основата остава непроменена, а показателите на степените се добавят.
• a m. a n = a m+n , където a е произволно число, а m, n са произволни естествени числа.

Това свойство на степените се отнася и за произведението на три или повече степени.
Примери.
. Опростете израза.
b. b 2 . б 3. b 4. b 5 = b 1+2+3+4+5 = b 15

6 15 . 36 = 6 15 . 6 2 = 6 15+2 = 6 17

Представете го като степен.
(0,8) 3 . (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

• Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство говорихме само за умножение на степени с еднакви бази. Не се отнася за добавянето им.
• Не можете да замените сбора (3 3 + 3 2) с 3 3. Това е разбираемо, ако преброите 3 3 = 27 и 3 2 = 9; 27 + 9 = 36 и 3 5 = 243

Имот No2
Частични степени

• При деление на степени с еднакви основи основата остава непроменена, а показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.
• a m. a n = a m-n, където a е всяко число, което не е равно на нула, и m, n са всякакви естествени числа, такива че m > n.

Примери.
. Запишете частното като степен
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

Пример. Решете уравнението. Използваме свойството частни степени.
3 8: t = 3 4

t = 3 8: 3 4

t = 3 8-4

t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.
. Пример. Опростете израза.
4 5m+6 . 4 m+2: 4 4m+3 = 4 5m+6+m+2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Моля, обърнете внимание, че в Свойство 2 говорихме само за разделяне на степени с еднакви основи.
Не можете да замените разликата (4 3 - 4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако преброите 4 3 = 64 и 4 2 = 16; 64 - 16 = 48 и 4 1 = 4
Бъди внимателен!

Имот No3
Повишаване на степен на степен

• При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.
• (a n) m = a n. m, където a е произволно число, а m, n са произволни естествени числа.

Пример.
(a 4) 6 = a 4 . 6 = 24
. Пример. Изразете 3 20 като степен с основа 32.
По свойството за издигане на степен на степен Известно е, че когато се повдигнат на степен, експонентите се умножават, което означава:

Свойства 4
Мощност на продукта

• Когато една степен се повишава до степен на произведение, всеки фактор се повишава до тази степен и резултатите се умножават.
• (a. b) n = a n. b n , където a, b са произволни рационални числа; n - всяко естествено число.

Пример 1.

(6 . a 2 . b 3 . c) 2 = 6 2 . a 2 . 2. б 3. 2. от 1 . 2 = 36 a 4 . b 6. от 2

Пример 2.

(- x 2 . y) 6 = ((- 1) 6 . x 2 . 6 . y 1 . 6) = x 12 . y 6

Моля, обърнете внимание, че свойство № 4, подобно на други свойства на степените, също се прилага в обратен ред.
(a n . b n)= (a . b) n

Тоест, за да умножите степени с еднакви показатели, можете да умножите основите, но да оставите степента непроменена.
. Пример. Изчисли.

2 4 . 5 4 = (2 . 5) 4 = 10 4 = 10 000

Пример. Изчисли.

0,5 16 . 2 16 = (0,5 . 2) 16 = 1

В по-сложни примери може да има случаи, при които умножението и делението трябва да се извършват върху степени с различни основи и различни степени. В този случай ви съветваме да направите следното.
Например 4 5. 3 2 = 4 3. 4 2. 3 2 = 4 3. (4 . 3) 2 = 64 . 12 2 = 64. 144 = 9216

Пример за повдигане на десетична запетая на степен.
4 21 . (-0,25) 20 = 4 . 4 20 . (-0,25) 20 = 4 . (4 . (-0,25)) 20 = 4 . (- 1) 20 = 4 . 1 = 4

Свойства 5
Степен на частно (фракция)

• За да повдигнете частно на степен, можете да повдигнете дивидента и делителя поотделно на тази степен и да разделите първия резултат на втория.
• (a: b) n = a n: b n, където a, b са произволни рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.

Пример. Представете израза като частно на степените.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Повишаване на дроб на степен

• Когато повишавате дроб на степен, трябва да повдигнете и числителя, и знаменателя на степен.

Примери за повдигане на дроби в степени.

Как да повдигнем смесено число на степен
За да повдигнем смесено число на степен, първо се отърваваме от цялата част, превръщайки смесеното число в неправилна дроб. След това повдигаме и числителя, и знаменателя на степен.
Пример.

Формулата за повдигане на дроб на степен се използва както от ляво на дясно, така и от дясно на ляво, тоест, за да разделите степените една на друга с едни и същи показатели, можете да разделите една основа на друга и да оставите степента непроменен.

Пример. Намерете смисъла на израза по рационален начин.

Свойства на степените

Степента също се обобщава до случва сепроизволен (рационален илиирационален, както и комплексен) показател.

Голям енциклопедичен речник. 2000 .

Вижте какво е "DEGREE" в други речници:

Степени, множествено число степени, степени, жени. 1. Сравнителен размер, сравнително количество, сравнителен размер, сравнително качество на какво n. Степен на култура. Висока степен на умение. Степен на родство (брой раждания, свързващи... ... Обяснителен речник на Ушаков

Жени стъпка, ред, ранг, ред, от дела според качество, достойнство; мястото и самата среща на хомогенното, равнопоставено във всичко, където се установява стълбовиден ред, възходящ и низходящ. Царството на вкаменелостите, растенията и животните, това са три степени... ... Обяснителен речник на Дал

Етап, ранг, ред, етап, фаза, височина, точка, степен, ниво, обикновен, достойнство, ранг, ранг. Последователност на степените стълба, йерархия. Образователен и имотен ценз. Въпросът навлезе в нова фаза. Консумация в последна степен... Речник на синонимите

СТЕПЕН и мн.ч. и за нея съпруги. 1. Мярка, сравнителна стойност на нещо. В. подготвеност. C. замърсяване. 2. Същото като ранг (в 1 стойност), както и (остаряло) ранг, ранг. Учен с. Доктор на науките Достигнете високи нива. 3. обикновено в ред. номер...... Обяснителен речник на Ожегов

степен- степен на дисоциация, степен на окисление, степен на абсорбция... Химически термини

- (степен) Индикатор, показващ определен брой умножения на число само по себе си, n-тата степен на x означава x; умножено по себе си n пъти; n е показател. Степените могат да бъдат положителни или отрицателни: x n означава, че... Икономически речник

МОЩНОСТ, в математиката, резултат от умножаване на число или ПРОМЕНЛИВА сама по себе си определен брой пъти. Така a2 (= a 3 a) е втората степен на a; а3 трета степен; а4 четвърти и т.н. Числото, което се умножава (а в този пример) се нарича основа... ... Научно-технически енциклопедичен речник

степен- степен, мн.ч степен, пол градуси (грешни градуси) ... Речник на трудностите на произношението и ударението в съвременния руски език

СТЕПЕН- (1) дисоциацията е стойност, характеризираща състоянието на равновесие на реакция (виж) в хомогенни (газообразни и течни) системи; се изразява чрез съотношението на броя на молекулите, които са се разпаднали (дисоциирали) на разменени компоненти (атоми, молекули, никакви) към... ... Голяма политехническа енциклопедия

Терминът „степен“ може да означава: В математиката Степенна декартова степен n-ти корен Степен на множество Степен на полином Степен на диференциално уравнение Степен на преобразуване Степен на точка в геометрията Степени на хиляда... ... Wikipedia

Книги

• Степен на доверие, Владимир Войнович, „Степен на доверие” е първият исторически разказ на В. Войнович. Посветена е на забележителната революционерка от Народния вълк Вера Николаевна Фигнер. Авторът акцентира върху ключовите моменти... Поредица: Огнени революционери Издател: Издателство за политическа литература,
• Степента на готовност на система за управление на бизнес процеси за внедряване на информационни технологии (методология за оценка), А. В. Костров, Статията поставя задачата да оцени степента на готовност на система за управление на бизнес процеси за информатизация. Предлага се да се показват словесни описания на етапите на зрялост чрез различни частни... Серия: Приложна информатика. Научни статииИздател: