Лема за граничната точка на редица. Гранични точки на линията с пореден номер Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши

Теорема на Болцано-Вайерщрас

Теорема на Болцано-Вайерщрас, или Лема на Болцано-Вайерщрас върху граничната точка- предложение за анализ, една от формулировките на което гласи: от всяка ограничена последователност от точки в пространството може да се избере конвергентна подпоследователност. Теоремата на Болцано-Вайерщрас, особено случаят на числова последователност ( н= 1), е включен във всеки курс за анализ. Използва се в доказателството на много твърдения в анализа, например теоремата за функция, която е непрекъсната в интервал, постигайки точните си горна и долна граница. Теоремата носи имената на чешкия математик Болцано и немския математик Вайерщрас, които независимо я формулират и доказват.

Формулировки

Известни са няколко формулировки на теоремата на Болцано-Вайерщрас.

Първа формулировка

Нека бъде предложена последователност от точки в пространството:

и нека тази последователност е ограничена, т.е

Където ° С> 0 - някакво число.

Тогава от тази последователност можем да извлечем подпоследователност

който се събира в някаква точка на пространството.

Теоремата на Болцано-Вайерщрас в тази формулировка понякога се нарича принципът на компактност на ограничена последователност.

Разширена версия на първата формулировка

Теоремата на Болцано-Вайерщрас често се допълва със следното изречение.

Ако последователност от точки в пространството е неограничена, тогава от нея е възможно да се избере последователност, която има граница.

За случая н= 1, тази формулировка може да бъде прецизирана: от всяка неограничена числова последователност може да се избере подпоследователност, чиято граница е безкрайност от определен знак ( или ).

По този начин всяка числова последователност съдържа подпоследователност, която има ограничение в разширения набор от реални числа.

Втора формулировка

Следното предложение е алтернативна формулировка на теоремата на Болцано-Вайерщрас.

Всяко ограничено безкрайно подмножество дпространството има поне една гранична точка при .

По-подробно, това означава, че има точка, която съдържа всеки квартал безкраен бройточки от комплекта д .

Доказателство за еквивалентността на две формулировки на теоремата на Болцано-Вайерщрас

Позволявам д- ограничено безкрайно подмножество от пространство. Да вземем дпоследователност от различни точки

Тъй като тази последователност е ограничена, по силата на първата формулировка на теоремата на Болцано-Вайерщрас, можем да изолираме подпоследователност от нея

сближаване до някаква точка. След това всеки квартал на точка х 0 съдържа безкраен брой точки от множеството д .

Множество значения дна дадена последователност е ограничен, но може да бъде безкраен или краен. Ако дразбира се, тогава една от стойностите се повтаря в последователността безкраен брой пъти. Тогава тези членове образуват стационарна подпоследователност, събираща се към точката а .

Ако са много де безкраен, тогава по силата на втората формулировка на теоремата на Болцано-Вайерщрас, съществува точка във всяка околност, на която има безкрайно много различни членове на последователността.

Избираме последователно за точки , при спазване на условието за нарастващи числа:

Доказателство

Теоремата на Болцано-Вайерщрас се извежда от свойството за пълнота на набора от реални числа. Най-известната версия на доказателството използва свойството за пълнота под формата на принципа на вложен сегмент.

Едномерен случай

Нека докажем, че от всяка ограничена числова последователност може да се избере конвергентна подпоследователност. Извиква се следният метод за доказване Метод Болцано, или метод на разполовяване.

Нека е дадена ограничена числова последователност

От ограничеността на редицата следва, че всички нейни членове лежат на определен сегмент от числовата линия, който обозначаваме [ а 0 ,b 0 ] .

Разделете сегмента [ а 0 ,b 0 ] наполовина на два равни сегмента. Поне един от получените сегменти съдържа безкраен брой членове на последователността. Нека го обозначим [ а 1 ,b 1 ] .

В следващата стъпка ще повторим процедурата с сегмента [ а 1 ,b 1 ]: разделете го на два равни сегмента и изберете от тях този, върху който лежат безкраен брой членове на редицата. Нека го обозначим [ а 2 ,b 2 ] .

Продължавайки процеса, получаваме последователност от вложени сегменти

в която всеки следващ е половината от предишния и съдържа безкраен брой членове на последователността ( х к } .

Дължините на отсечките клонят към нула:

По силата на принципа на Коши-Кантор за вложени сегменти, има една точка ξ, която принадлежи на всички сегменти:

По конструкция на всеки сегмент [а м ,b м ] има безкраен брой членове на редицата. Да изберем последователно

при спазване на условието за нарастващи числа:

Тогава подпоследователността се събира към точката ξ. Това следва от факта, че разстоянието от до ξ не надвишава дължината на отсечката, която ги съдържа [а м ,b м ] , където

Разширение към случая на пространство с произволна размерност

Теоремата на Болцано-Вайерщрас лесно се обобщава за случай на пространство с произволна размерност.

Нека е дадена поредица от точки в пространството:

(долният индекс е номерът на члена на последователността, горният индекс е координатният номер). Ако последователността от точки в пространството е ограничена, тогава всяка числови последователностикоординати:

също ограничено ( - координатно число).

По силата на едномерната версия на теоремата на Болцано-Вайрщрас от последователността ( х к) можем да изберем подпоследователност от точки, чиито първи координати образуват конвергентна последователност. От получената подпоследователност отново избираме подпоследователност, която се събира по втората координата. В този случай конвергенцията по първата координата ще се запази поради факта, че всяка подпоследователност от конвергентна последователност също се сближава. И така нататък.

След нполучаваме определена последователност от стъпки

което е подпоследователност от , и се събира по всяка от координатите. От това следва, че тази подпоследователност се събира.

История

Теорема на Болцано-Вайерщрас (за случая н= 1) е доказано за първи път от чешкия математик Болцано през 1817 г. В работата на Болцано тя действа като лема в доказателството на теоремата за междинните стойности на непрекъсната функция, сега известна като теоремата на Болцано-Коши. Въпреки това, тези и други резултати, доказани от Болцано много преди Коши и Вайерщрас, остават незабелязани.

Само половин век по-късно Вайерщрас, независимо от Болцано, преоткрива и доказва тази теорема. Първоначално наречена теорема на Вайерщрас, преди работата на Болцано да стане известна и приета.

Днес тази теорема носи имената на Болцано и Вайерщрас. Тази теорема често се нарича Лема на Болцано-Вайерщрас, и понякога лема за гранична точка.

Теоремата на Болцано-Вайерщрас и концепцията за компактност

Теоремата на Болцано-Вайерщрас гласи следното интересен имотограничено множество: произволна последователност от точки Мсъдържа конвергентна подпоследователност.

Когато доказват различни твърдения в анализа, те често прибягват до следната техника: те определят последователност от точки, която има някакво желано свойство, и след това избират подпоследователност от нея, която също го притежава, но вече е конвергентна. Например, по този начин се доказва теоремата на Вайерщрас, че функция, непрекъсната на интервал, е ограничена и приема своите най-големи и най-малки стойности.

Ефективността на такава техника като цяло, както и желанието да се разшири теоремата на Вайерщрас до произволни метрични пространства, подтикнаха френския математик Морис Фреше да въведе концепцията през 1906 г. компактност. Свойството на ограничените множества в , установено от теоремата на Болцано-Вайерщрас, е, образно казано, че точките на множеството са разположени доста „близо“ или „компактно“: след като сме направили безкраен брой стъпки по това множество, ще със сигурност се приближаваме колкото ни се иска до някаква точка в пространството.

Фреше въвежда следното определение: набор МНаречен компактен, или компактен, ако всяка последователност от неговите точки съдържа подпоследователност, сходна към някаква точка от това множество. Предполага се, че на снимачната площадка Мметриката е дефинирана, т.е

Спомнете си, че нарекохме околност на точка интервала, съдържащ тази точка; -околност на точка х - интервал

Определение 4. Точка се нарича гранична точка на множество, ако всяка околност на тази точка съдържа безкрайно подмножество на множеството X.

Това условие очевидно е еквивалентно на факта, че във всяка околност на точка има поне една точка от множеството X, която не съвпада с нея (Проверете!)

Нека дадем няколко примера.

Ако тогава граничната точка за X е само точката .

За интервал всяка точка от отсечката е гранична точка и в този случай няма други гранични точки.

За много рационални числаВсяка точка E е ограничаваща, тъй като, както знаем, във всеки интервал от реални числа има рационални числа.

Лема (Болцано-Вайерщрасе). Всеки безкраен ограничен набор от числа има поне една гранична точка.

Нека X е дадено подмножество на E. От определението за ограниченост на множество X следва, че X се съдържа в определен сегмент. Нека покажем, че поне една от точките на отсечката I е гранична точка за X.

Ако това не беше така, тогава всяка точка би имала околност, в която или изобщо няма точки от множеството X, или има краен брой от тях. Наборът от такива околности, конструирани за всяка точка, образува покритие на сегмента I с интервали, от които, използвайки лемата за крайното покритие, можем да извлечем крайна система от интервали, покриващи сегмента I. Но тъй като същата тази система покрива целия множество X. Във всеки интервал обаче има само краен брой точки от множеството X, което означава, че в тяхното обединение също има краен брой точки X, т.е. X е крайно множество. Полученото противоречие допълва доказателството.

Определение т.7. Точка x € R на числовата права се нарича гранична точка на последователност (xn), ако за всяка околност U (x) и всяко естествено число N е възможно да се намери елемент xn, принадлежащ на тази околност, с число, по-голямо от LG, т.е. x 6 R - гранична точка ако. С други думи, точка x ще бъде гранична точка за (xn), ако някоя от нейните околности съдържа елементи от тази последователност с произволно големи числа, въпреки че може би не всички елементи с числа n > N. Следователно, следното твърдение е съвсем очевидно . Изявление б.б. Ако lim(xn) = 6 6 R, тогава b е единствената гранична точка на редицата (xn). Действително, по силата на дефиниция 6.3 на границата на последователност, всички нейни елементи, започвайки от определено число, попадат във всяка произволно малка околност на точка 6 и следователно елементи с произволно големи числа не могат да попаднат в околността на друга точка . Следователно, условието на дефиниция 6.7 е изпълнено само за една точка 6. Въпреки това, не всяка гранична точка (понякога наричана тънка съкратена точка) на последователност е нейната граница. Така редицата (b.b) няма ограничение (вижте пример 6.5), но има две гранични точки x = 1 и x = - 1. Последователността ((-1)pp) има две безкрайни точки +oo и като гранични точки - с разширената числова линия, чието обединение се означава с един символ oo. Ето защо можем да приемем, че безкрайните гранични точки съвпадат, а безкрайната точка оо, съгласно (6.29), е границата на тази редица. Гранични точки на линията на поредния номер Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши. Нека е дадена последователността (jn) и нека числата k образуват нарастваща последователност от положителни цели числа. Тогава последователността (Vnb, където yn = xkn> се нарича подпоследователност на оригиналната последователност. Очевидно, ако (i„) има числото 6 като граница, тогава всяка от нейните подпоследователности има същата граница, тъй като започва от определено число всички елементи както на оригиналната последователност, така и на всяка от нейните подпоследователности попадат във всяка избрана околност на точка 6. В същото време всяка гранична точка на подпоследователност е също гранична точка за последователността.Теорема 9. От всяка последователност, която има a гранична точка, човек може да избере подпоследователност, която има тази гранична точка като своя граница. Нека b е граничната точка на последователността (xn), тогава, съгласно Дефиниция 6. 7 гранична точка, за всяко n има елемент, принадлежащ към околността U (6, 1/n) на точка b с радиус 1/n. Подпоследователността, съставена от точки ijtj, ...1 ..., където zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, има граница в точка 6. Наистина, за произволно e > 0, може да се избере N такова, че. Тогава всички елементи на подпоследователността, започвайки с числото km, ще попаднат в ^-окръжността U(6, e) на точка 6, което отговаря на условие 6.3 от дефиницията на границата на редицата. Обратната теорема също е вярна. Гранични точки на линията на поредния номер Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши. Теорема 8.10. Ако някаква последователност има подпоследователност с граница 6, тогава b е граничната точка на тази последователност. От дефиниция 6.3 на границата на последователност следва, че започвайки от определено число, всички елементи на подпоследователността с граница b попадат в съседство U(b, ​​​​e) с произволен радиус e. Тъй като елементите на подпоследователността са едновременно елементи на редицата (xn)> елементите xn попадат в тази околност с толкова произволно големи числа и това, по силата на Определение 6.7, означава, че b е граничната точка на редицата (n). Забележка 0.2. Теореми 6.9 и 6.10 са валидни и в случая, когато граничната точка е безкрайна, ако при доказване на мерто околността на U(6, 1 /n) разгледаме околността (или околностите). Условието, при което конвергентна подпоследователност може да бъде изолиран от редица се установява от следната теорема. Теорема 6.11 (Болцано - Вайерщрас). Всяка ограничена редица съдържа подпоследователност, сходна към краен предел. Нека всички елементи на редицата (an) са между числата a и 6 xn € [a, b] Vn € N. Разделете сегмента [a, b] наполовина, тогава поне една от неговите половини ще съдържа безкраен брой елементи от редицата, тъй като в противен случай целият сегмент [a, b] ще съдържа краен брой от тях, което е невъзможно. Нека ] е тази от половините на сегмента [a , 6], който съдържа безкраен набор от елементи на редицата (zn) (или ако и двете половини са такива , след това който и да е от тях).По същия начин от сегмента, съдържащ безкраен набор от елементи на редицата и т.н. Продължавайки този процес, ще конструираме система от вложени сегменти с bn - an = (6- a)/2P. Съгласно принципа на вложените сегменти, има точка x, която принадлежи на всички тези сегменти. Тази точка ще бъде граничната точка за последователността (xn) - Всъщност за всяко е-съседство U(x, e) = (xx + e) ​​​​точка x има сегмент C U(x, e) (това е достатъчно просто да изберете n от неравенството (, съдържащо безкраен брой елементи от редицата (sn). Съгласно дефиниция 6.7, x е граничната точка на тази последователност. Тогава, съгласно теорема 6.9, има подпоследователност, сходна към точката x. Методът на разсъждение, използван в доказателството на тази теорема (понякога се нарича лема на Болцано-Вайер-Щрас) и свързан с последователното разполовяване на разглежданите сегменти, е известен като метод на Болцано. Тази теорема значително опростява доказателството на много сложни теореми. Тя ви позволява да докажете редица ключови теореми по различен (понякога по-прост) начин. Приложение 6.2. Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши Първо доказваме твърдение 6.1 (тест на Вайерщрас за сходимостта на ограничена монотонна последователност). Да приемем, че последователността (jn) е ненамаляваща. Тогава множеството от неговите стойности е ограничено отгоре и според теорема 2.1 има супремум, който обозначаваме със sup(xn) е R. Поради свойствата на супремума (виж 2.7) Граничните точки на последователността са числото линия Доказателство за теста на Вайерщрас и критерия на Коши. Съгласно дефиниция 6.1 за ненамаляваща редица имаме или Тогава > Ny и като вземем предвид (6.34) получаваме, че съответства на дефиниция 6.3 на границата на редицата, т.е. 31im(sn) и lim(xn) = 66R. Ако последователността (xn) е ненарастваща, тогава ходът на доказателството е подобен. Сега нека преминем към доказване на достатъчността на критерия на Кочиа за сходимост на последователност (виж твърдение 6.3), тъй като необходимостта от критериалното условие следва от теорема 6.7. Нека последователността (jn) е фундаментална. Съгласно дефиниция 6.4, при дадено произволно € > 0, може да се намери число N(s), такова че m^N и n^N предполагат. Тогава, като вземем m - N, за Vn > N получаваме € £ Тъй като разглежданата последователност има краен брой елементи с числа, които не надвишават N, от (6.35) следва, че фундаменталната последователност е ограничена (за сравнение вижте доказателство на теорема 6.2 за ограничеността на конвергентна последователност). За набор от стойности на ограничена последователност има долна и върховна граници (виж теорема 2.1). За набор от стойности на елементи за n > N, ние означаваме тези лица съответно an = inf xn и bjy = sup xn. С увеличаването на N точният инфимум не намалява, а точният супремум не се увеличава, т.е. . Получавам ли климатична система? сегменти Според принципа на вложените сегменти има обща точка, която принадлежи на всички сегменти. Нека го означим с b. Така, с От сравнение (6. 36) и (6.37) като резултат получаваме, че съответства на дефиниция 6.3 на границата на редицата, т.е. 31im(x„) и lim(sn) = 6 6 R. Болцано започва да изучава фундаментални последователности. Но той нямаше строга теория за реалните числа и следователно не успя да докаже конвергенцията на фундаменталната последователност. Коши прави това, приемайки за даденост принципа на вложените сегменти, който Кантор по-късно обосновава. Не само, че критерият за конвергенция на последователност е наречен Коши, но основната последователност често се нарича последователност на Коши, а принципът на вложените сегменти е кръстен на Кантор. Въпроси и задачи 8.1. Докажете, че: 6.2. Дайте примери за неконвергентни последователности с елементи, принадлежащи на множествата Q и R\Q. 0,3. При какви условия членовете на аритметичната и геометричната прогресия образуват намаляващи и нарастващи последователности? 6.4. Докажете връзките, които следват от табл. 6.1. 6.5. Конструирайте примери за последователности, клонящи към безкрайните точки +oo, -oo, oo, и пример за последователност, събираща се към точката 6 € R. c.v. Може ли неограничена последователност да не бъде b.b.? Ако да, тогава дайте пример. на 7. Конструирайте пример за дивергентна последователност, състояща се от положителни елементи, която няма нито крайна, нито безкрайна граница. 6.8. Докажете сходимостта на редицата (jn), дадена с рекурентната формула sn+i = sin(xn/2) при условието „1 = 1. 6.9. Докажете, че lim(xn)=09, ако sn+i/xn-»g€)