Ако две прави в пространството имат обща точка, тогава се казва, че тези две прави се пресичат. На следващата фигура правите a и b се пресичат в точка A. Правите a и c не се пресичат.

Всякакви две прави имат или само една обща точка, или нямат общи точки.

Паралелни линии

Две прави в пространството се наричат ​​успоредни, ако лежат в една равнина и не се пресичат. За да обозначите успоредни прави, използвайте специална икона - ||.

Означението a||b означава, че права a е успоредна на права b. На фигурата, представена по-горе, правите a и c са успоредни.

Теорема за успоредни прави

През всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава права, успоредна на дадената и при това само една.

Пресичане на линии

Две прави, които лежат в една и съща равнина, могат да се пресичат или да са успоредни. Но в пространството две прави линии не принадлежат непременно на тази равнина. Те могат да бъдат разположени в две различни равнини.

Очевидно е, че линиите, разположени в различни равнини, не се пресичат и не са успоредни прави. Две прави, които не лежат в една равнина, се наричат пресичане на прави линии.

Следващата фигура показва две пресичащи се прави a и b, които лежат в различни равнини.

Тест и теорема за коси прави

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

Теорема за косите прави: през всяка от двете пресичащи се прави минава равнина, успоредна на другата права, и освен това само една.

Така че разгледахме всички възможни случаи относителна позицияправи линии в пространството. Те са само три.

1. Линиите се пресичат. (Тоест те имат само една обща точка.)

2. Правите са успоредни. (Тоест те нямат общи точки и лежат в една равнина.)

3. Правите линии се пресичат. (Тоест те са разположени в различни равнини.)

Правите l1 и l2 се наричат ​​коси, ако не лежат в една и съща равнина. Нека a и b са насочващите вектори на тези прави и нека точките M1 и M2 принадлежат съответно на правите l1 и l2

Тогава векторите a, b, M1M2> не са компланарни и следователно тяхното смесено произведение не е равно на нула, т.е. (a, b, M1M2>) =/= 0. Обратното твърдение също е вярно: ако (a, b , M1M2> ) =/= 0, тогава векторите a, b, M1M2> не са копланарни и следователно правите l1 и l2 не лежат в една и съща равнина, тоест се пресичат. Така две прави се пресичат ако и само ако условие(a, b, M1M2>) =/= 0, където a и b са насочващите вектори на правите, а M1 и M2 са точките, принадлежащи съответно на тези прави. Условието (a, b, M1M2>) = 0 е необходимо и достатъчно условие за това, че правите лежат в една равнина. Ако линиите са дадени от техните канонични уравнения

тогава a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) и условие (2) се записва по следния начин:

Разстояние между пресичащите се линии

това е разстоянието между една от пресичащите се прави и равнина, успоредна на нея, минаваща през друга права Разстоянието между пресичащите се прави е разстоянието от някаква точка на една от пресичащите се прави до равнина, минаваща през друга права, успоредна на първата линия.

26. Дефиниция на елипса, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти.

Елипса се нарича локусточки на равнината, за които сумата от разстоянията до две фокусирани точки F1 и F2 на тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност.В този случай не е изключено съвпадението на фокусите на елипсата.Ако фокусите съвпадат , тогава елипсата е кръг. За всяка елипса можете да намерите декартова координатна система, така че елипсата да бъде описана от уравнението (каноничното уравнение на елипсата):

Описва елипса с център в началото, чиито оси съвпадат с координатните оси.

Ако от дясната страна има единица със знак минус, тогава полученото уравнение е:

описва въображаема елипса. Невъзможно е да се изобрази такава елипса в реалната равнина.Нека означим фокусите с F1 и F2, а разстоянието между тях с 2c, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите с 2a

За да изведем уравнението на елипсата, избираме координатната система Oxy така, че фокусите F1 и F2 да лежат на оста Ox, а началото да съвпада със средата на сегмента F1F2. Тогава фокусите ще имат следните координати: и Нека M(x;y) е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.

Това по същество е уравнението на елипса.

27. Дефиниция на хипербола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти

Хиперболата е геометрично място на точки в равнина, за която абсолютната стойност на разликата в разстоянието до две фиксирани точки F1 и F2 от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност. Нека M(x;y) е произволно точка на хиперболата. Тогава, според дефиницията на хиперболата |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Дефиниция на парабола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти. Парабола е HMT на равнина, за която разстоянието до някаква фиксирана точка F на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия, също разположена в разглежданата равнина. F – фокусът на параболата; неподвижната линия е директрисата на параболата. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; г 2 =2px;

Имоти: 1. Параболата има ос на симетрия (ос на парабола); 2. Всички

параболата е разположена в дясната полуравнина на равнината Oxy при p>0, а в лявата

ако p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

Относителното положение на две прави в пространството.

Относителното разположение на две линии в пространството се характеризира със следните три възможности.

Правите лежат в една равнина и нямат общи точки - успоредни прави.

Правите лежат в една равнина и имат една обща точка - правите се пресичат.

В пространството две прави могат да бъдат разположени и така, че да не лежат в никоя равнина. Такива линии се наричат ​​коси (те не се пресичат или са успоредни).

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 Триъгълник ABC лежи в равнина, a

На фиг. 26 права a лежи в равнината, а права c се пресича в точка N. Правите a и c се пресичат.

Теорема.През всяка от двете пресичащи се прави минава само една равнина, успоредна на другата права.

На фиг. 26 прави a и b се пресичат. Начертана е права линия и е начертана равнина (алфа) || b (в равнина B (бета) е посочена правата a1 || b).

Теорема 3.2.

Две прави, успоредни на трета, са успоредни.

Това свойство се нарича преходностуспоредност на линиите.

Доказателство

Нека правите a и b са едновременно успоредни на правата c. Да приемем, че a не е успоредна на b, тогава права a пресича права b в някаква точка A, която не лежи на права c по условие. Следователно имаме две прави a и b, минаващи през точка A, която не лежи на дадена права c и в същото време е успоредна на нея. Това противоречи на аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Теорема 3.3.

През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара една и само една права, успоредна на дадената.

Доказателство

Нека (AB) е дадена права, C точка, която не лежи на нея. Правата AC разделя равнината на две полуравнини. Точка B лежи в една от тях. В съответствие с аксиома 3.2 е възможно да се постави ъгъл (ACD) от лъча C A, равен на ъгъла (CAB), в друга полуравнина. ACD и CAB са равни вътрешни напречно лежащи с правите AB и CD и секущата (AC). Тогава, съгласно теорема 3.1 (AB) || (CD). Като се има предвид аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Свойството на успоредните прави се дава от следната теорема, обратна на теорема 3.1.

Теорема 3.4.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни.

Доказателство

Нека (AB) || (CD). Да приемем, че ACD ≠ BAC. През точка A прекарваме права AE, така че EAC = ACD. Но тогава, по Теорема 3.1 (AE ) || (CD ), а по условие – (AB ) || (CD). В съответствие с теорема 3.2 (AE ) || (AB). Това противоречи на теорема 3.3, според която през точка A, която не лежи на правата CD, може да се начертае единствена права, успоредна на нея. Теоремата е доказана.

Въз основа на тази теорема следните свойства могат лесно да бъдат обосновани.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Ако две успоредни прави се пресичат от трета права, тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Следствие 3.2.

Ако една права е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Концепцията за паралелизъм ни позволява да въведем следната нова концепция, която ще бъде необходима по-късно в глава 11.

Двата лъча се наричат еднакво насочени, ако има права, така че, първо, те са перпендикулярни на тази права, и второ, лъчите лежат в една и съща полуравнина спрямо тази права.

Двата лъча се наричат противоположно насочени, ако всеки от тях е еднакво насочен с допълнителен към другия лъч.

Ще означим еднакво насочени лъчи AB и CD: и противоположно насочени лъчи AB и CD -

Знак за пресичане на линии.

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

Случаи на взаимно разположение на прави в пространството.

1. Има четири различни случая на разположение на две линии в пространството:

   
   

   – право пресичане, т.е. не лежат в една равнина;

   – пресичат се прави, т.е. лежат в една равнина и имат една обща точка;

   – успоредни прави, т.е. лежат в една равнина и не се пресичат;

   - линиите съвпадат.

   
   

   Нека получим характеристиките на тези случаи на относителната позиция на линиите, дадени от каноничните уравнения

   
   
   Където — точки, принадлежащи на правиИ съответно, а— насочващи вектори (фиг. 4.34). Нека означим свектор, свързващ дадени точки.
   
   

   Следните характеристики съответстват на случаите на относителна позиция на линиите, изброени по-горе:

   
   

   – прави и пресичащи се вектори не са компланарни;

   
   

   – правите и пресичащите се вектори са компланарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – директните и успоредните вектори са колинеарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – прави и съвпадащи вектори са колинеарни.

   
   

   Тези условия могат да бъдат записани, като се използват свойствата на смесени и векторни продукти. Спомнете си, че смесеното произведение на векторите в дясната правоъгълна координатна система се намира по формулата:

   
   
   и детерминантата intersects е нула, а нейният втори и трети ред не са пропорционални, т.е.
   

   – прави и успоредни втори и трети ред на определителя са пропорционални, т.е. и първите два реда не са пропорционални, т.е.

   
   

   – прави и всички прави от детерминантата съвпадат и са пропорционални, т.е.

Доказателство

Нека a принадлежи на α, b пресича α = A, A не принадлежи на a (Чертеж 2.1.2). Да приемем, че правите a и b не се пресичат, т.е. се пресичат. Тогава съществува равнина β, на която принадлежат правите a и b. В тази равнина β лежат права a и точка A. Тъй като правата a и точката A извън нея определят една равнина, то β = α. Но b задвижва β и b не принадлежи на α, следователно равенството β = α е невъзможно.