Изкривяване и ексцес на разпределението на случайна променлива. Коефициентът на асиметрия на случайна променлива Коефициентът на асиметрия на нормалния закон на разпределение е равен на

Изкривяване и ексцес на разпределението на случайна променлива.

090309-matmetody.txt

Характеристики на асиметрията.

Основната мярка за асиметрия е коефициентът на асиметрия. Тоест степента, до която графиката на честотното разпределение се отклонява от симетрична форма спрямо средната стойност. Означава се с буквата А с индекс s и се изчислява по формулата (фиг. 8). Коефициентът на асиметрия варира от минус безкрайност до плюс безкрайност. Асиметрията е лявостранна (положителна), когато коефициентът е по-голям от нула - As>0 и дясна (отрицателна) - As<0. При левосторонней ассиметрии чаще встречаются значения ниже среднего арифметического. При правой, соответственно чаще всего встречаются значения, превосходящие среднее арифметическое. Для симметричных распределений коэффициент ассиметрии равен нулю, а мода, медиана и среднее арифметическое значение совпадают между собой.

Характеристики на ексцес.

Характеризира неговия коефициент на ексцес (или пиковост) - изчислен по формулата.

Пиковото разпределение се характеризира с положителен ексцес, плоското пиково разпределение се характеризира с отрицателен ексцес, а средното пиково разпределение има нулев ексцес.

първо, второ,

Ако ти-(обикновено интервал).

Графичен метод(Q- Q Парцели, R-RПарцели).

Където Н-размер на извадката.

Свойства на нормалното разпределение на случайна величина.

090309-matmetody.txt

Нормална дистрибуция.

Нормалното разпределение се характеризира с факта, че екстремните стойности на характеристиките са сравнително редки, а тези, близки до средната аритметична, са сравнително чести. Нормалната крива на разпределение има камбановидна форма. Това е унимодално разпределение, чиито стойности на медианата, модата и средната аритметична стойност съвпадат една с друга, коефициентите на изкривяване и ексцес са в диапазона от нула до две (приемливо), но в идеалния случай са равни на нула.

От втората половина на 19 век измервателните и изчислителните методи в психологията се развиват въз основа на следния принцип. Ако индивизуалната променливост на определено свойство е следствие от действието на много причини, след това честотното разпределение за цялото разнообразие от проявитова свойство в общата съвкупност съответства на нормалната криваразпределения.Това е законът за нормалното разпределение.

Законът за нормалното разпределение има редица много важни следствия, на които ще се позоваваме повече от веднъж. Сега нека отбележим, че ако при изследване на определено свойство го измерихме върху извадка от субекти и получихме разпределение, което се различава от нормалното, това означава, че или извадката не е представителна за генералната популация, или измерванията са не са направени по скала от равни интервали.

ДА СЕ
Всяко психологическо (или по-широко, биологично) свойство съответства на неговото разпределение в общата популация. Най-често е нормално и се характеризира със своите параметри: среден (М)и стандартно отклонение (o). Само тези две стойности разграничават една от друга безкраен набор от нормални криви с еднаква форма, дадени от уравнение (5.1). Средната стойност определя позицията на кривата върху числовата ос и действа като някакъв начален стандартна стойност на измерване.Стандартното отклонение задава ширината на тази крива, зависи от мерните единици и действа като скала за измерване(фиг. 5.3).

Фигура 5.3. Семейство от нормални криви, първото разпределение се различава от второто със стандартно отклонение (σ 1< σ 2), 2-е от 3-го средним арифметическим (M 2 < M 3)

Цялото разнообразие от нормални разпределения може да се сведе до една крива, ако приложим ^-трансформацията (съгласно формула 4.8) към всички възможни измервания на свойства. Тогава всяко свойство ще има средна стойност 0 и стандартно отклонение 1. На фиг. 5.4 е начертана графика на нормалното разпределение М= 0 и a = 1. Това е, което еединица нормално разпределение, СЗО-рояк се използва като стандарт - стандарт. Нека го разгледаме важни свойства.

Мерната единица за единично нормално разпределение е стандартното отклонение.

Кривата се доближава асимптотично до оста Z в краищата - никога не я докосва.

Кривата е симетрична около M=0. Неговата асиметрия и ексцес са нулеви.

Кривата има характерен завой: инфлексната точка лежи точно на разстояние един σ от М.

Площта между кривата и оста Z е 1.

Последното свойство обяснява името единиченнормално разпределение и е изключително важно. Благодарение на този имот площта под кривата се интерпретира като вероятност или относителначестота.Всъщност цялата площ под кривата съответства на вероятността характеристиката да приеме произволна стойност от целия диапазон на нейната променливост (от -oo до +oo). Площта под единична нормална крива отляво или отдясно на нулевата точка е 0,5. Това съответства на факта, че половината от общата популация има характерна стойност по-голяма от 0, а половината - по-малка от 0. Относителната честота на поява в общата популация на характерни стойности в диапазона от З\ преди Зи равна на площта под кривата, разположена между съответните точки. Нека отбележим отново, че всяко нормално разпределение може да бъде намалено до единично нормално разпределение чрез z- трансформации.

И така, най-важното общо свойство на различните криви на нормално разпределение е същата пропорция на площта под кривата между същите две стойности на атрибута, изразени в единици стандартно отклонение.

Полезно е да запомните, че за всяко нормално разпределение има следните съответствия между диапазоните от стойности и площта под кривата:

Единичното нормално разпределение установява ясна връзка между стандартното отклонение и относителния брой случаи в популацията за всяко нормално разпределение. Например, знаейки свойствата на единично нормално разпределение, можем да отговорим на следните въпроси. Каква част от общата съвкупност има израз на собственост от - \Одо +1o? Или каква е вероятността произволно избран представител на общата съвкупност да има интензитет на свойствата, който е по-голям от средната стойност? В първия случай отговорът ще бъде 68,26% от цялата популация, тъй като от - 1 до +1 има 0,6826 от площта на единица нормално разпределение. Във втория случай отговорът е: (100-99,72)/2 = 0,14%.

Има специална таблица, която ви позволява да определите площта под кривата вдясно от всеки положителен z (Приложение 1). Използвайки го, можете да определите вероятността за възникване на стойности на атрибути от всеки диапазон. Това се използва широко при интерпретиране на тестови данни.

Въпреки първоначалния постулат, че имотите в популацията имат нормално разпределение, действителните данни, получени от извадка, рядко са нормално разпределени. Освен това са разработени много методи, които позволяват да се анализират данни без никакви предположения за естеството на тяхното разпределение, както в извадката, така и в популацията. Тези обстоятелства понякога водят до погрешното убеждение, че нормалното разпределение е празна математическа абстракция, която няма връзка с психологията. Въпреки това, както ще видим по-късно, има поне три важни аспекта на приложението на нормалното разпределение:

Разработване на тестови скали.

Проверка на нормалността на разпределението на пробите за вземане на решение
решения за това в каква скала се измерва атрибутът - метрична или конвенционална
частен

Статистическа проверка на хипотези, по-специално при определяне на риска
вземане на грешно решение.

Стандартно нормално разпределение. Стандартизация на дистрибуции.

(За целия въпрос № 12 + относно стандартизацията вижте по-долу)

091208-matmetody.txt

Стандартизация психодиагностични методи (повече за това във въпрос № 17)

Популация и извадка.

091208-matmetody.txt

Общи популации.

Всяка психодиагностична техника е предназначена за изследване на определена голяма категория лица. Това множество се нарича съвкупност.

За да определите степента на изразяване на определено свойство в един конкретен човек, трябва да знаете как това качество се разпределя в цялото население. Почти невъзможно е да се изследва общото население, така че те прибягват до извличане на извадка от общото население, тоест някаква представителна част от общото население. Именно тази представителност (иначе се нарича „представителност”) е основното изискване към извадката. Невъзможно е да се осигури абсолютно точно съответствие на това изискване. Можете да се доближите до идеала само с определени методи. Основните са 1) случайност и 2) моделиране.

1) Случайната извадка предполага, че субектите ще бъдат включени в нея на случаен принцип. Вземат се мерки да не се появяват модели.

2) При моделиране първо се избират тези свойства, които могат да повлияят на резултатите от теста. Обикновено това са демографски характеристики, в рамките на които се разграничават градации: възрастови интервали, нива на образование и др. Въз основа на тези данни се изгражда матричен модел на генералната популация.

Обикновено методите се стандартизират върху извадка от 200 до 800 души.

Стандартизацията на психодиагностичните методи е процедурата за получаване на скала, която ви позволява да сравните индивидуален резултат от теста с резултатите от голяма група.

Изследването обикновено започва с някакво предположение, което изисква проверка с помощта на факти. Това предположение - хипотеза - се формулира във връзка с връзката на явления или свойства в определен набор от обекти.

За да се тестват такива предположения срещу факти, е необходимо да се измерят съответните свойства на техните носители. Но е невъзможно да се измери тревожността при всички жени и мъже, както е невъзможно да се измери агресивността при всички юноши. Следователно, когато се провежда изследване, то се ограничава само до относително малка група от представители на съответните популации от хора.

Население- това е цялата съвкупност от обекти, по отношение на които се формулира изследователска хипотеза.

В първия пример такива общи популации са всички мъже и всички жени. Във втория - всички тийнейджъри, които гледат телевизионни програми, съдържащи сцени на насилие. Общите популации, по отношение на които изследователят ще направи заключения въз основа на резултатите от изследването, може да са по-скромни по размер.

По този начин общата популация е, макар и не безкраен брой хора, но като правило набор от потенциални субекти, недостъпни за непрекъснато изследване.

проба- това е ограничена по брой група обекти (в психологията - субекти, респонденти), специално избрани от генералната съвкупност за изследване на нейните свойства. Съответно се нарича изследването на свойствата на генералната съвкупност с помощта на извадка проучване за вземане на проби.Почти всички психологически изследвания са селективни и техните заключения обхващат общото население.

По този начин, след като е формулирана хипотеза и са идентифицирани съответните популации, изследователят е изправен пред проблема с организирането на извадка. Извадката трябва да бъде такава, че обобщаването на изводите от извадковото изследване да е оправдано - обобщаване, разширяване на обхвата на генералната съвкупност. Основните критерии за определяневалидност на резултатите от изследването- това е представителността на извадката и настатистическа достоверност на (емпиричните) резултати.

Представителност на извадката- с други думи, неговата представителност е способността на извадката да представя доста пълно изследваните явления от гледна точка на тяхната променливост в генералната съвкупност.

Разбира се, само общата популация може да даде пълна картина на изучаваното явление, в целия му диапазон и нюанси на променливост. Следователно представителността винаги е ограничена до степента, в която извадката е ограничена. И именно представителността на извадката е основният критерий при определяне на границите на обобщаване на резултатите от изследването. Въпреки това има техники, които позволяват да се получи представителна извадка, която е достатъчна за изследователя. (Въпрос №15 е продължение на този въпрос)

Основни методи за вземане на проби.

с. 13 (20) (Въпрос #14 е прелюдия към този въпрос)

Първата и основна техника е просто случаен (рандомизиран)селекция.Това включва осигуряване на такива условия, че всеки член на популацията да има равни шансове с останалите да бъде включен в извадката. Случайният подбор гарантира, че в извадката могат да бъдат включени различни представители на общата популация. В този случай се вземат специални мерки, за да се предотврати появата на какъвто и да е модел по време на селекцията. И това ни позволява да се надяваме, че в крайна сметка в извадката изследваното свойство ще бъде представено, ако не в цялото, то в максимално възможното му разнообразие.

Вторият начин за осигуряване на представителност е стратифициран произволен подбор,или подбор въз основа на свойствата на популацията. Това включва предварително определяне на онези качества, които могат да повлияят на променливостта на изследваното свойство (това може да бъде пол, ниво на доход или образование и т.н.). След това се определя процентното съотношение на броя на групите (стратите), които се различават по тези качества в генералната съвкупност и се осигурява еднакво процентно съотношение на съответните групи в извадката. След това субектите се избират във всяка подгрупа на извадката според принципа на обикновен случаен подбор.

статистическа надеждност,или статистическа значимост, резултатите от едно изследване се определят с помощта на методи за статистически изводи. Ще разгледаме подробно тези методи във втората част на тази книга. Сега просто отбелязваме, че те имат определени изисквания за броя, или размер на извадката.

За съжаление няма строги указания за предварително определяне на необходимия размер на извадката. Освен това изследователят обикновено получава отговор на въпроса за необходимия и достатъчен брой твърде късно - едва след като анализира данните от вече изследвана извадка. Могат обаче да се формулират най-общите препоръки:

□ При разработване на диагностична техника е необходим най-голям размер на извадката - от 200 до 1000-2500 души.

Ако е необходимо да се сравнят 2 проби, общият им брой трябва да бъде
да са минимум 50 човека; броят на сравнените проби трябва
да бъдат приблизително еднакви.

P Ако се изследва връзката между някакви свойства, тогава размерът на извадката трябва да бъде поне 30-35 души.

□ Колкото повече променливостсвойство, което се изучава, толкова по-голямо трябва да бъде
размер на извадката. Следователно променливостта може да бъде намалена чрез увеличаване
хомогенност на извадката, например по пол, възраст и др. В същото време,
Естествено се намаляват възможностите за обобщаващи изводи.

Зависими и независими проби.Често срещана изследователска ситуация е, когато свойство, представляващо интерес за изследователя, се изследва върху две или повече проби с цел по-нататъшно сравнение. Тези проби могат да бъдат в различни пропорции, в зависимост от процедурата за организирането им. Независимвалидни пробисе характеризират с факта, че вероятността за избор на който и да е субект в една извадка не зависи от избора на някой от субектите в друга извадка. против, зависими пробисе характеризират с факта, че всеки субект от една извадка е съпоставен по определен критерий от субект от друга извадка.

Като цяло зависимите проби включват подбор по двойки на субекти в сравнявани проби, а независимите проби предполагат независим избор на субекти.

Трябва да се отбележи, че случаите на „частично зависими“ (или „частично независими“) проби са неприемливи: това непредсказуемо нарушава тяхната представителност.

В заключение ще отбележим, че могат да се разграничат две парадигми на психологическото изследване. Т.нар Р-методологиявключва изследване на променливостта на определено свойство (психологическо) под влияние на определено влияние, фактор или друго свойство. Пробата е мулти- брой субекти . Друг подход Q-методология,включва изследване на променливостта на субект (индивид) под влияние на различни стимули (условия, ситуации и т.н.). Съответства на ситуацията, когато пробата е има много стимули .

Проверка на пробата за аномални стойности.

За тестване на нормалността се използват различни процедури, за да се определи дали извадковото разпределение на измерена променлива се различава от нормалното. Необходимостта от такова сравнение възниква, когато се съмняваме в каква скала е представен атрибутът - ординална или метрична. И такива съмнения възникват много често, тъй като ние, като правило, не знаем предварително в какъв мащаб ще бъде възможно да се измери изследваното имущество (с изключение, разбира се, случаите на ясно номинативно измерване).

Значението на определянето на каква скала се измерва дадена черта не може да бъде надценено поради най-малко две причини. Зависи от, първо,пълнота на отчитане на първоначалната емпирична информация (по-специално за индивидуалните различия), второ,наличие на много методи за анализ на данни. Ако изследователят реши да измерва по порядъчна скала, тогава неизбежното последващо класиране води до загуба на част от първоначалната информация за разликите между субектите, изследваните групи, връзките между характеристиките и т.н. В допълнение, метричните данни позволяват използването на значително по-широк спектър от методи за анализ и в резултат на това правят изследователските изводи по-дълбоки и по-смислени.

Най-убедителният аргумент в полза на това, че характеристиката се измерва в метрична скала, е съответствието на извадковото разпределение с нормалното. Това е следствие от закона за нормалното разпределение. Ако ти-разпределението на Борох не се различава от нормалното, това означава, чеизмереното свойство беше отразено в метричната скала(обикновено интервал).

Има много различни начини за тестване за нормалност, от които ще опишем накратко само няколко, като приемем, че читателят ще извърши тези тестове с помощта на компютърни програми.

Графичен метод(Q- Q Парцели, R-RПарцели). Те изграждат или квантилни графики, или графики на натрупаните честоти. Квантилни графики (Q- Q Парцели) са изградени по следния начин. Първо се определят емпиричните стойности на изследваната характеристика, съответстващи на 5-ти, 10-ти, ..., 95-ти персентил. Z-резултатите (теоретични) след това се определят от таблицата за нормално разпределение за всеки от тези процентили. Двете получени серии от числа уточняват координатите на точките на графиката: емпиричните стойности на атрибута са нанесени на абсцисната ос, а съответните теоретични стойности са нанесени на ординатната ос. За нормално разпределение всички точки ще бъдатнатиснете върху или близо до същия ред. Колкото по-голямо е разстоянието от точките до правата линия, толкова по-малко разпределението съответства на нормалното. Графики на натрупаните честоти (PPПарцели) са построени по подобен начин. Стойностите на натрупаните относителни честоти се нанасят върху абсцисната ос на равни интервали, например 0,05; 0,1; ...; 0,95. След това се определят емпиричните стойности на изследваната характеристика, съответстващи на всяка стойност на натрупаната честота, които се преобразуват в z-резултати. оттаблицата за нормално разпределение определя теоретичното натрупванеизмерени честоти (площ под кривата)за всяка от изчислените r-стойности, които се нанасят върху ординатата. Ако разпределението есъответства на нормалното, получените точки на графиката лежат на същотоправ.

Критерии за изкривяване и ексцес.Тези критерии определят допустимата степен на отклонение на емпиричните стойности на изкривяване и ексцес от нулеви стойности, съответстващи на нормалното разпределение. Приемливата степен на отклонение е тази, която ни позволява да считаме, че тези статистики не се различават значително от нормалните параметри. Размерът на допустимите отклонения се определя от така наречените стандартни грешки на асиметрията и ексцеса. За формулата за асиметрия (4.10) стандартната грешка се определя по формулата:

Където Н-размер на извадката.

Примерните стойности на изкривяване и ексцес са значително различни от нула, ако не надвишават своите стандартни грешки. Това може да се счита за знак, че разпределението на пробите съответства на нормалния закон. Трябва да се отбележи, че компютърните програми изчисляват показатели за асиметрия, ексцес и съответните стандартни грешки, използвайки други, по-сложни формули.

Тест за статистическа нормалност на Колмогоров-Смирновсе счита за най-подходящ за определяне на степента на съответствие на емпиричното разпределение с нормалното. Тя ви позволява да оцените вероятността дадена извадка да принадлежи към популация с нормално разпределение. Ако тази вероятност Р< 0,05, тогава това емпирично разпределение се различава значително от нормалното и ако Р> 0,05, тогава те заключават, че това емпирично разпределение приблизително съответства на нормалното.

Причини за отклонение от нормалното.Общата причина за отклонението на формата на извадковото разпределение на характеристика от нормалната форма най-често е характеристика на процедурата за измерване: използваната скала може да има неравномерна чувствителност към измереното свойство в различни части от диапазона на неговата променливост .

ПРИМЕРДа предположим, че тежестта на определена способност се определя от броя на изпълнените задачи за определеното време. Ако задачите са прости или времето е твърде дълго, тогава тази измервателна процедура ще има достатъчна чувствителност само за част от субектите, за които тези задачи са доста трудни. И твърде голяма част от предметите ще решат всички или почти всички задачи. В резултат на това ще получим разпределение с изразена дясностранна асиметрия. Разбира се, възможно е впоследствие да се подобри качеството на измерването чрез емпирична нормализация чрез добавяне на по-сложни задачи или намаляване на времето, необходимо за изпълнение на даден набор от задачи. Ако прекомерно усложним процедурата за измерване, тогава ще възникне обратната ситуация, когато повечето от субектите ще решат малък брой задачи и емпиричното разпределение ще придобие лявостранна асиметрия.

По този начин, отклонения от нормалната форма, като дясна или лява асиметрия или твърде голям ексцес (по-голям от 0), са свързани с относително ниската чувствителност на измервателната процедура в областта на режима (горната част на графиката на честотното разпределение ).

Последици от отклонениетоот нормалност.Трябва да се отбележи, че задачата за получаване на емпирично разпределение, което стриктно съответства на нормалния закон, не се среща често в изследователската практика. Обикновено такива случаи са ограничени до разработването на нова процедура за измерване или тестова скала, когато се използва емпирична или нелинейна нормализация за „коригиране“ на емпиричното разпределение. В мнозинствотослучаи на съответствие или несъответствие с нормалността е естеството насвойството на измерваната характеристика, което изследователят трябва да вземе предвид, когатоизбор на статистически процедури за анализ на данни.

Като цяло, ако има значително отклонение на емпиричното разпределение от нормалното, трябва да се изостави предположението, че характеристиката се измерва в метрична скала. Но остава открит въпросът: каква е мярката за значимостта на това отклонение? В допълнение, различните методи за анализ на данни имат различна чувствителност към отклонения от нормалното. Обикновено, когато се обосновават перспективите на този проблем, се цитира принципът на Р. Фишер, един от „бащите-основатели” на съвременната статистика: „Отклонения от нормалнотоот този тип, освен ако не са твърде забележими, могат да бъдат открити само от големинови мостри; сами по себе си те правят малка разлика в статистическата критикаria и други въпроси."Например, при малки, но типични извадки за психологически изследвания (до 50 души), критерият Колмогоров-Смирнов не е достатъчно чувствителен при определяне дори на много забележими отклонения „на око“ от нормалното. В същото време някои процедури за анализ на метрични данни напълно позволяват отклонения от нормалното разпределение (някои в по-голяма степен, други в по-малка степен). В бъдеще, когато представяме материала, ако е необходимо, ще посочим степента на твърдост на изискването за нормалност.

Основни правила за стандартизиране на психодиагностични техники.

091208-matmetody.txt

Стандартизация психодиагностични методие процедурата за получаване на скала, която ви позволява да сравните индивидуален резултат от теста с резултатите от голяма група.

Тестовите скали са разработени, за да се оцени индивидуален резултат от теста чрез сравняването му с тестови норми, получени от стандартизираща проба. Стандартизационна извадкае специално създаден за разработване на тестова скала - тя трябва да бъде представителна за генералната популация, за която се планира да се използва този тест. Впоследствие при тестването се приема, че и лицето, което се тества, и стандартизиращата проба принадлежат към една и съща обща популация.

Изходният принцип при разработването на тестова скала е допускането, че измерваното свойство е разпределено в генералната съвкупност в съответствие с нормалния закон. Съответно, измерването на това свойство в тестовата скала на стандартизационната извадка също трябва да осигури нормално разпределение. Ако е така, тогава тестовата скала е метрична - по-точно равни интервали. Ако това не е така, тогава собствеността може да бъде отразена в най-добрия случай в скалата на поръчката. Естествено, повечето стандартни тестови скали са метрични, което ви позволява да интерпретирате резултатите от теста по-подробно - като вземете предвид свойствата на нормалното разпределение - и правилно да прилагате всякакви методи за статистически анализ. По този начин основният проблем на стандартатест тест е да се разработи скала, в която разпределениетоНамаляването на тестовите показатели върху извадката за стандартизация би съответствалонормална дистрибуция.

Първоначалните резултати от теста са броят отговори на определени въпроси от теста, времето или броят на решените задачи и т.н. Те се наричат ​​още първични или „сурови“ резултати. Резултатът от стандартизацията са тестови норми - таблица за преобразуване на „сурови“ оценки в стандартни тестови скали.

Съществуват множество стандартни тестови скали, чиято основна цел е да представят индивидуалните резултати от теста в удобна за интерпретация форма. Някои от тези скали са представени на фиг. 5.5. Общото между тях е съответствието с нормалното разпределение, а се различават само по два показателя: средната стойност и скалата (стандартно отклонение - o), която определя грануларността на скалата.

Обща последователност на стандартизация(разработване на тестови стандарти - таблици за преобразуване на "сурови" резултати в стандартни тестови резултати) е както следва:

определя се генералната съвкупност, за която се разработва
методология и се формира представителна извадка за стандартизация;

Въз основа на резултатите от прилагането на основната версия на теста, разпределение
определяне на "сурови" оценки;

проверете съответствието на полученото разпределение с нормално
кон;

ако разпределението на „суровите“ оценки съответства на нормалното, про-
тормозен линейна стандартизация;

ако разпределението на „суровите“ оценки не съответства на нормалното, тогава
възможни са два варианта:

преди линейната стандартизация се произвежда емпиричен стандарт -
лизация;

извършване на нелинейна нормализация.

Разпределението на „суровите“ оценки се проверява за съответствие с нормалния закон, като се използват специални критерии, които ще разгледаме по-късно в тази глава.

Линейна стандартизациясе крие във факта, че се определят границите на интервалите на „суровите“ оценки, съответстващи на стандартните тестови показатели. Тези граници се изчисляват чрез добавяне към средните „сурови“ резултати (или изваждане от тях) дяловете на стандартните отклонения, съответстващи на тестовата скала.

Тестови норми - таблица за преобразуване на „сурови“ точки в стени

Използвайки тази таблица с тестови норми, индивидуалният резултат („суров“ резултат) се преобразува в стенна скала, което позволява да се интерпретира тежестта на измерваното свойство.

Емпирична нормализацияизползва се, когато разпределението на „суровите“ резултати се различава от нормалното. Състои се в промяна на съдържанието на тестовите задачи. Например, ако „суровият“ резултат е броят задачи, решени от участниците в теста за определеното време, и се получи разпределение с дясностранна асиметрия, тогава това означава, че твърде голяма част от участниците в теста решават повече повече от половината задачи. В този случай е необходимо или да добавите по-трудни задачи, или да намалите времето за решаване.

Нелинейна нормализациясе използва, ако емпиричната нормализация е невъзможна или нежелателна, например от гледна точка на време и ресурси. В този случай преобразуването на „суровите“ оценки в стандартни се извършва чрез намиране на процентилните граници на групите в първоначалното разпределение, съответстващи на процентилните граници на групите в нормалното разпределение на стандартната скала. Всеки интервал от стандартната скала е свързан с интервал от „суровата“ скала за оценка, който съдържа същия процент от стандартизиращата извадка. Стойностите на дяловете се определят от площта под единичната нормална крива, затворена между r-оценките, съответстващи на даден интервал от стандартната скала.

Например, за да определите какъв „суров“ резултат трябва да съответства на долната граница на стената 10, първо трябва да разберете на каква r-стойност съответства тази граница (z = 2). След това, използвайки таблицата на нормалното разпределение (Приложение 1), е необходимо да се определи каква част от площта под нормалната крива е вдясно от тази стойност (0,023). След това се определя коя стойност отрязва 2,3% от най-високите стойности на „суровите“ резултати на стандартизиращата извадка. Намерената стойност ще съответства на границата на 9-та и 10-та стена.

Посочените основи на психодиагностиката ни позволяват да формулираме математически обосновани изисквания към теста. Процедурата за изпитване трябва да отговарязадръжте:

описание на образеца за стандартизация;

характеристики на разпределението на „суровите“ резултати, показващи средната и
стандартно отклонение;

наименование, характеристики на стандартната скала;

тестови норми - таблици за преобразуване на "сурови" резултати в оценки по скалата.

Z-скорова скала. (???)

091208-matmetody.txt

Стандартизираното (или стандартно) отклонение обикновено се означава с буквата Z. (фиг. 1 в тетрадката) се получават Z-резултати.

Особено място сред нормалните разпределения заема така нареченото стандартно или единично нормално разпределение. Това разпределение се получава при условие, че средноаритметичното е нула и стандартното отклонение е 1. Нормалното разпределение е удобно, защото всяко разпределение може да бъде сведено до него чрез стандартизация.

Операцията по стандартизация е следната: средноаритметичната стойност се изважда от всяка отделна стойност на параметъра. Тази операция се нарича центриране. И получената разлика се разделя на стандартното отклонение. Тази операция се нарича нормализация.

с. 47 (54) (вижте снимката с везни там)

мониторинг2.htm

По този начин, ако извадим резултата на определен предмет от средната стойност и разделим разликата на стандартното отклонение, можем да изразим индивидуалния резултат като част от стандартното отклонение. Получените по този начин диагностични дялове се наричат ​​Z-резултати. Z – резултатът е в основата на всяка стандартна скала. Най-привлекателното свойство на z-резултатите е, че те характеризират относителната позиция на резултата на субекта сред всички резултати на групата, независимо от средната стойност и стандартното отклонение. В допълнение, z-резултатите са без единици. Благодарение на тези две свойства на z-резултатите, те могат да се използват за сравняване на резултатите, получени по различни начини и върху различни аспекти на извадката за поведение.

Станинова скала
Стенен кантар
Т-скала
IQ скала

Скали, получени от скалата Z-score.

мониторинг2.htm (има и добро начало относно стандартизацията и стандартното отклонение)

Недостатъкът на z-резултата е, че трябва да работите с дробни и отрицателни стойности. Поради това обикновено се преобразува в така наречените стандартни везни, които са по-удобни за използване. Традиционно и по-често от другите в диагностиката се използват следните скали:

Станинова скала
Стенен кантар
Т-скала
IQ скала

с. 47 (54) (вижте снимката с везни там)

0028.htm 7. Стандартизиране на психологически въпросник

Нормализиране на тестовите показатели.

За да може психологическият въпросник да се използва практически, т.е. За да се направи прогноза за поведението му в нови ситуации въз основа на попълването му от произволно избран субект (използвайки критериите за валидност на този въпросник), е необходимо да се нормализират показателите върху нормативна извадка. Само използването на статистически стандарти позволява да се прецени увеличаването или намаляването на тежестта на определено психологическо качество в даден субект. Въпреки че нормите са важни за приложната психология, за психологическите изследвания е най-лесно да използват сурови мерки директно.

Успеваемостта по конкретен предмет трябва да се сравнява с успеваемостта на адекватна нормативна група. Това се постига чрез някаква трансформация, която разкрива статуса на този индивид спрямо групата.

Линейни и нелинейни трансформации на необработени мащабни стойности. Стандартните индикатори могат да бъдат получени както чрез линейна, така и чрез нелинейна трансформация на първични индикатори. Линейните трансформации се получават чрез изваждане на константа от първичния индикатор и по-нататъшно разделяне на друга константа, следователно всички отношения, характерни за първичните индикатори, се отнасят и за линейните. Най-често използваният е z-резултатът (Формула 3).

Но поради факта, че често разпределението на крайните резултати по една или друга скала не е нормално, от тези стандартизирани показатели не могат да се изведат процентили, т.е. преценете колко процента от субектите са получили същия показател като дадения субект.

Ако перцентилната нормализация с преобразуване към стени и линейната нормализация с преобразуване към стени дават едни и същи стойности на стените, тогава разпределението се счита за нормално до стандартна десетка.

За да се постигне сравнимост на резултатите, принадлежащи на разпределения с различни форми, може да се приложи нелинейна трансформация.

Нормализираните стандартни резултати, получени с помощта на нелинейна трансформация, са стандартни резултати, съответстващи на разпределение, което е трансформирано, така че да стане нормално. За изчисляването им се създават специални таблици за преобразуване на необработени точки в стандартни. Те дават процента на случаите на различни степени на отклонение (в единици σ от средната стойност). По този начин средната стойност, която съответства на постигането на 50% от резултатите на групата, може да бъде приравнена на 0. Средната стойност минус стандартното отклонение може да бъде приравнена на -1, тази нова стойност ще се наблюдава в около 16% от извадката и стойността +1 - в около 84%.

работа „Работа на логопедичните групи”; 2. „Спазване на... санитарните норми в училищните столове”; 3. „О работаадминистрация на воеводското специално (поправително) училище...

Изкривеността се изчислява от функцията SKES. Неговият аргумент е интервалът от клетки с данни, например =SKES(A1:A100), ако данните се съдържат в интервала от клетки от A1 до A100.

Ексцесът се изчислява от функцията KURTESS, чийто аргумент са числови данни, обикновено посочени като интервал от клетки, например: =KURTESS(A1:A100).

§2.3. Инструмент за анализ Описателна статистика

IN Excelвъзможно е да се изчислят всички точкови характеристики на проба наведнъж с помощта на инструмента за анализ Описателна статистика, който се съдържа в Пакет за анализ.

Описателна статистикасъздава таблица с основни статистически характеристики за набора от данни. Тази таблица ще съдържа следните характеристики: средна стойност, стандартна грешка, дисперсия, стандартно отклонение, режим, медиана, обхват на вариране на интервала, максимални и минимални стойности, асиметрия, ексцес, обем на популацията, сума от всички елементи на популацията, доверителен интервал (ниво на надеждност ). Инструмент Описателна статистиказначително опростява статистическия анализ, тъй като няма нужда да се извиква всяка функция за изчисляване на статистически характеристики поотделно.

За да се обадите Описателна статистика, следва:

1) в менюто Обслужванеизберете отбор Анализ на данни;

2) в списъка Инструменти за анализдиалогов прозорец Анализ на данниизберете инструмент Описателна статистикаи натиснете ДОБРЕ.

В прозореца Описателна статистиканеобходимо:

· в група Входни даннив полето Интервал на въвежданезадайте диапазона от клетки, съдържащи данни;

· ако първият ред във входния диапазон съдържа заглавка на колона, тогава Поле за етикети в първия редтрябва да се провери;

· в група Изходни опцииактивирайте превключвателя (поставете отметка в квадратчето) Обобщена статистика, ако имате нужда от пълен списък с характеристики;

· активирайте превключвателя Ниво на надеждности посочете надеждността в %, ако трябва да изчислите доверителен интервал (надеждността по подразбиране е 95%). Кликнете ДОБРЕ.

В резултат на това ще се появи таблица с изчислените стойности на горните статистически характеристики. Веднага, без да премахвате избора на тази таблица, изпълнете командата формат® Колона® Автоматичен избор на ширина.

Изглед на диалогов прозорец Описателна статистика:

Практически задачи

2.1. Изчисляване на статистика на основните точки с помощта на стандартни функции Excel

Същият волтметър измерва напрежението на участък от веригата 25 пъти. В резултат на експериментите бяха получени следните стойности на напрежението във волтове:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Намерете средната стойност, извадката и коригираната дисперсия, стандартното отклонение, диапазона на вариацията, модата, медианата. Тествайте отклонението от нормалното разпределение чрез изчисляване на изкривяване и ексцес.

За да изпълните тази задача, изпълнете следните стъпки.

1. Въведете резултатите от експеримента в колона A.

2. В клетка B1 въведете „Средно“, в B2 – „Дисперсия на извадката“, в B3 – „Стандартно отклонение“, в B4 – „Коригирана дисперсия“, в B5 – „Коригирано стандартно отклонение“, в B6 – „Максимум“, в B7 – „Минимум“, в B8 – „Размах на вариация“, в B9 – „Режим“, в B10 – „Медиана“, в B11 – „Асиметрия“, в B12 – „Куртоза“.

3. Регулирайте ширината на тази колона, като използвате Автоматичен изборширина.

4. Изберете клетка C1 и щракнете върху бутона със знака “=” в лентата с формули. Като се използва Помощници за функциив категория Статистическинамерете функцията AVERAGE, след това маркирайте диапазона от клетки с данни и щракнете ДОБРЕ.

5. Изберете клетка C2 и щракнете върху знака = в лентата с формули. Като се използва Помощници за функциив категория Статистическинамерете функцията VAR, след това маркирайте диапазона от клетки с данни и щракнете ДОБРЕ.

6. Направете сами същите стъпки, за да изчислите останалите характеристики.

7. За да изчислите диапазона на вариация в клетка C8, въведете формулата: =C6-C7.

8. Добавете един ред пред вашата таблица, в който въведете заглавията на съответните колони: „Име на характеристиките” и „Числени стойности”.

2.6 Изкривяване и ексцес

В математическата статистика, за да се определи геометричната форма на плътността на вероятността на случайна променлива, се използват две числови характеристики, свързани с централните моменти от трети и четвърти ред.

Определение 2.22 Коефициент на асиметрия на извадкатах 1 , х 2 , …, х не число, равно на отношението на централния извадков момент от трети ред към куба на стандартното отклонение С:

От , тогава коефициентът на асиметрия се изразява чрез централните моменти по следната формула:

От това получаваме формула, изразяваща коефициента на асиметрия чрез началните моменти:

, което улеснява практическите изчисления.

Съответната теоретична характеристика се въвежда с помощта на теоретични точки.

Определение 2.23 Коефициент на асиметрия на случайна променливахизвикан номерравно на съотношението на централния момент от трети редкъм куба на стандартното отклонение:

Ако случайна променлива X има симетрично разпределение спрямо математическото очакване μ, тогава нейният теоретичен коефициент на асиметрия е равен на 0, но ако разпределението на вероятностите е асиметрично, тогава коефициентът на асиметрия е различен от нула. Положителната стойност на коефициента на асиметрия показва, че повечето от стойностите на случайната променлива са разположени вдясно от математическото очакване, т.е. десният клон на кривата на плътност на вероятността е по-дълъг от левия. Отрицателна стойност за коефициента на асиметрия показва, че по-дългата част на кривата е разположена вляво. Това твърдение е илюстрирано от следната фигура.

Фигура 2.1 – Положителна и отрицателна асиметрия

разпределения

Пример 2.29Нека намерим примерния коефициент на асиметрия въз основа на данните от изследването на стресови ситуации от пример 2.28.

Използвайки предварително изчислените стойности на централните извадкови моменти, получаваме

.

Закръглете нагоре = 0,07. Установената ненулева стойност на коефициента на асиметрия показва асиметрията на разпределението спрямо средната стойност. Положителна стойност показва, че по-дългият клон на кривата на плътността на вероятността е вдясно.

Следната константа характеризира разпределението на стойностите на случайна променлива около нейната модална стойност X режими.

Определение 2.24 Куртоза на пробатах 1 , х 2 , …, х низвикан номер , равен

,

Където– селективен централен момент от четвърти ред,

С 4 – четвърта степен на стандартотклоненияС.

Теоретичната концепция за ексцес е аналог на извадката.

Определение 2.25 Ексцес на случайна променливахизвикан номер д,равен

,

Където– теоретичен централен момент от четвърти ред,

–четвърта степен на стандартно отклонение.

Стойност на ексцес дхарактеризира относителната стръмност на върха на кривата на плътността на разпределението около максималната точка. Ако ексцесът е положително число, тогава съответната крива на разпределение има по-остър пик. Разпределение с отрицателен ексцес има по-гладък и плосък връх. Следващата фигура илюстрира възможни случаи.

Фигура 2.2 – Разпределения с положителни, нулеви и отрицателни ексцеси

За да се получи приблизителна представа за формата на разпределението на случайна променлива, се начертава графика на нейните серии на разпределение (многоъгълник и хистограма), функция или плътност на разпределение. В практиката на статистическите изследвания се срещат много различни разпределения. Хомогенните популации се характеризират, като правило, с едновърхови разпределения. Multivertex показва хетерогенността на изследваната популация. В този случай е необходимо да се прегрупират данните, за да се идентифицират по-хомогенни групи.

Определянето на общия характер на разпределението на случайна променлива включва оценка на степента на нейната хомогенност, както и изчисляване на показателите за асиметрия и ексцес. При симетрично разпределение, при което математическото очакване е равно на медианата, т.е. , може да се счита, че няма асиметрия. Но колкото по-забележима е асиметрията, толкова по-голямо е отклонението между характеристиките на разпределителния център - математическото очакване и медианата.

Най-простият коефициент на асиметрия на разпределението на случайна променлива може да се разглежда, където е математическото очакване, е медианата и е стандартното отклонение на случайната променлива.

В случай на дясностранна асиметрия, лявостранна асиметрия. Ако , асиметрията се счита за ниска, ако - средна, а при - висока. Геометрична илюстрация на дясната и лявата асиметрия е показана на фигурата по-долу. Той показва графики на плътността на разпределението на съответните типове непрекъснати случайни променливи.

рисуване. Илюстрация на дясна и лява асиметрия в диаграми на плътност на разпределения на непрекъснати случайни променливи.

Има и друг коефициент на асиметрия на разпределението на случайна променлива. Може да се докаже, че ненулев централен момент от нечетен ред показва асиметрия в разпределението на случайната променлива. В предишния индикатор използвахме израз, подобен на момента на първия ред. Но обикновено в този друг коефициент на асиметрия се използва централният момент от трети ред , а за да стане този коефициент безразмерен, той се разделя на куба на стандартното отклонение. Полученият коефициент на асиметрия е: . За този коефициент на асиметрия, както и за първия в случай на дясностранна асиметрия, лявостранна - .

Ексцес на случайна променлива

Ексцесът на разпределението на случайна променлива характеризира степента на концентрация на нейните стойности близо до центъра на разпределението: колкото по-висока е концентрацията, толкова по-висока и по-тясна ще бъде графиката на плътността на нейното разпределение. Показателят ексцес (острота) се изчислява по формулата: , където е централният момент от 4-ти ред и е стандартното отклонение, повдигнато на 4-та степен. Тъй като степените на числителя и знаменателя са еднакви, ексцесът е безразмерна величина. В този случай се приема като стандарт за липса на ексцес, нулев ексцес, да се приеме нормалното разпределение. Но може да се докаже, че за нормално разпределение . Следователно във формулата за изчисляване на ексцеса числото 3 се изважда от тази дроб.

Така за нормално разпределение ексцесът е нула: . Ако ексцесът е по-голям от нула, т.е. , тогава разпределението е по-пиково от нормалното. Ако ексцесът е по-малък от нула, т.е. , тогава разпределението е по-малко пиково от нормалното. Ограничителната стойност на отрицателния ексцес е стойността на ; величината на положителния ексцес може да бъде безкрайно голяма. Как изглеждат графиките на гъстотите на разпределение на случайни променливи с връхни и плоски връхчета в сравнение с нормално разпределение е показано на фигурата.

рисуване. Илюстрация на разпределения на плътност с връх и плосък връх на случайни променливи в сравнение с нормалното разпределение.

Асиметрията и ексцесът на разпределението на една случайна променлива показват колко тя се отклонява от нормалния закон. За големи асиметрии и ексцес не трябва да се използват изчислителни формули за нормално разпределение. Какво е нивото на допустимост на асиметрията и ексцеса за използване на формули за нормално разпределение при анализа на данни за конкретна случайна променлива, трябва да се определи от изследователя въз основа на неговите знания и опит.

Коефициент на асиметрияпоказва "изкривяването" на серията на разпределение спрямо центъра:

къде е централният момент от трети ред;

– куб стандартно отклонение.

За този метод на изчисление: ако , разпределението е дясно (положителна асиметрия), ако , разпределението е ляво (отрицателна асиметрия)

В допълнение към централния момент, асиметрията може да се изчисли с помощта на режима или медианата:

или , (6.69)

За този метод на изчисление: ако , разпределението е дясно (положителна асиметрия), ако , разпределението е ляво (отрицателна асиметрия) (фиг. 4).

Ориз. 4. Асиметрични разпределения

Извиква се стойността, показваща "стръмността" на разпределението коефициент на ексцес:

Ако , в разпределението има заостреност – ексцесът е положителен, ако , се наблюдава в разпределението плоскост – ексцесът е отрицателен (фиг. 5).

Ориз. 5. Разпределителни ексцесии

Пример 5.Има данни за броя на овцете във фермите в региона (табл. 9).

1. Среден брой овце във ферма.

3. Медиана.

4. Индикатори за вариация

· дисперсия;

· стандартно отклонение;

· коефициентът на вариация.

5. Индикатори за асиметрия и ексцес.

Решение.

1. Тъй като стойността на опциите в съвкупността се повтаря няколко пъти, с определена честота за изчисляване на средната стойност използваме формулата за среднопретеглена аритметична стойност:

2. Тази серия е дискретна, така че режимът ще бъде опцията с най-висока честота - .

3. Тази серия е четна, в този случай медианата за дискретна серия се намира по формулата:

Тоест половината от фермите в изследваната популация имат до 4,75 хил. глави овце. и половината са над това число.

4. За да изчислим индикаторите за вариация, ще съставим таблица 10, в която ще изчислим отклоненията, квадратите на тези отклонения, изчислението може да се извърши с помощта на прости и претеглени формули за изчисление (в примера използваме проста едно):

Таблица 10

Нека изчислим дисперсията:

Нека изчислим стандартното отклонение:

Нека изчислим коефициента на вариация:

5. За да изчислим показателите за асиметрия и ексцес, ще изградим таблица 11, в която ще изчислим , ,

Таблица 11

Асимметрията на разпределението е:

Тоест се наблюдава лявостранна асиметрия, тъй като , което се потвърждава при изчисляване по формулата:

В този случай, което за тази формула също показва лявостранна асиметрия

Ексцесът на разпределението е равен на:

В нашия случай ексцесът е отрицателен, тоест се наблюдава равнинност.

Пример 6. Данните за заплатите на работниците са представени за домакинството (Таблица 12)

Решение.

За серия от интервални вариации режимът се изчислява по формулата:

Където модален интервал – интервал с най-висока честота, в нашия случай 3600-3800, с честота

Минимално ограничение на модалния интервал (3600);

Стойност на модалния интервал (200);

Интервална честота, предхождаща модалния интервал (25);

Честота след модален интервал (29);

Модална интервална честота (68).

Таблица 12

За серия от интервални вариации медианата се изчислява по формулата:

Където среден интервал това е интервал, чиято кумулативна (натрупана) честота е равна или по-голяма от половината от сбора на честотите, в нашия пример е 3600-3800.

Минимална граница на медианния интервал (3600);

Средна стойност на интервала (200);

Сума от честотите на серията (154);

Сума от натрупаните честоти, всички интервали, предхождащи медианата (57);

– честота на медианния интервал (68).

Пример 7.За три ферми в един район има информация за капиталоемкостта на производството (сумата на разходите за основен капитал за 1 рубла произведена продукция): I - 1,29 рубли, II - 1,32 рубли, III - 1,27 рубли. Необходимо е да се изчисли средната капиталова интензивност.

Решение. Тъй като капиталоемкостта е обратен индикатор на оборота на капитала, ние използваме простата формула за хармонична средна стойност.

Пример 8.За три стопанства от една област има данни за брутна реколта от зърно и среден добив (табл. 13).

Решение. Изчисляването на средния добив с помощта на средноаритметичното е невъзможно, тъй като няма информация за броя на засетите площи, затова използваме формулата за среднопретеглена хармонична стойност:

Пример 9.Има данни за средния добив на картофи в отделните райони и броя на хълмовете (Таблица 14)

Таблица 14

Нека групираме данните (Таблица 15):

Таблица 15

Групиране на площи въз основа на броя на плевелите

1. Изчислете общата дисперсия на извадката (Таблица 16).