Каква е същността на формулите за намаляване? Формули за намаляване

Има две правила за използване на формули за намаляване.

1. Ако ъгълът може да бъде представен като (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), тогава промени в името на функцията sin към cos, cos към sin, tg към ctg, ctg към tg. Ако ъгълът може да бъде представен във формата (π ±a) или (2*π ±a), тогава Името на функцията остава непроменено.

Вижте снимката по-долу, тя показва схематично кога трябва да смените знака и кога не.

2. Правилото „какъвто си бил, такъв си оставаш“.

Знакът на намалената функция остава същият. Ако първоначалната функция е имала знак плюс, тогава намалената функция също има знак плюс. Ако първоначалната функция е имала знак минус, тогава намалената функция също има знак минус.

Фигурата по-долу показва знаците на основните тригонометрични функции в зависимост от тримесечието.

Изчислете Sin(150˚)

Нека използваме формулите за намаляване:

Sin(150˚) е във втората четвърт; от фигурата виждаме, че знакът на sin в тази четвърт е равен на +. Това означава, че дадената функция също ще има знак плюс. Приложихме второто правило.

Сега 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ е π/2. Тоест, имаме работа със случая π/2+60, следователно, според първото правило, променяме функцията от sin на cos. В резултат на това получаваме Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Ако желаете, всички формули за намаляване могат да бъдат обобщени в една таблица. Но все пак е по-лесно да запомните тези две правила и да ги използвате.

Нуждаете се от помощ с обучението си?

Как да запомните формули за намаляване на тригонометричните функции? Лесно е, ако използвате асоциация. Тази асоциация не е измислена от мен. Както вече споменахме, добрата асоциация трябва да „хване“, тоест да предизвиква ярки емоции. Не мога да нарека емоциите, предизвикани от тази асоциация, положителни. Но дава резултат - позволява ви да запомните формули за намаляване, което означава, че има право да съществува. В крайна сметка, ако не ви харесва, не е нужно да го използвате, нали?

Редукционните формули имат вида: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запомнете, че +α дава движение обратно на часовниковата стрелка, - α дава движение по посока на часовниковата стрелка.

За да работите с формули за намаляване, имате нужда от две точки:

1) поставете знака, който има първоначалната функция (в учебниците те пишат: редуцируема. Но за да не се объркате, е по-добре да я наречете първоначална), ако считаме, че α е ъгълът на първата четвърт, т.е. , малък.

2) Хоризонтален диаметър - π±α, 2π±α, 3π±α... - общо взето, когато няма дроб името на функцията не се променя. Вертикални π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - когато има дроб, името на функцията се променя: синус - на косинус, косинус - на синус, тангенс - на котангенс и cotangent - към допирателната.

Сега всъщност асоциацията:

вертикален диаметър (има дроб) -

стои пиян. Какво ще стане с него рано?

или е твърде късно? Точно така, ще падне.

Името на функцията ще се промени.

Ако диаметърът е хоризонтален, пияният вече е легнал. Сигурно спи. Нищо няма да му стане, той вече е заел хоризонтално положение. Съответно името на функцията не се променя.

Тоест sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) и т.н. даде ±cosα,

и sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.

Вече знаем как.

Как работи? Нека да разгледаме примерите.

1) cos(π/2+α)=?

Ставаме π/2. Тъй като +α означава, че вървим напред, обратно на часовниковата стрелка. Намираме се във втората четвърт, където косинусът има знак „-“. Името на функцията се променя („пиян човек стои“, което означава, че ще падне). Така,

cos(π/2+α)=-sin α.

Нека стигнем до 2π. Тъй като -α - се връщаме назад, тоест по часовниковата стрелка. Попадаме в IV квартал, където тангентата е със знак „-“. Името на функцията не се променя (диаметърът е хоризонтален, „пияният вече лежи“). Така tan(2π-α)=- tanα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Примери, в които функция е повдигната на четна степен, са още по-лесни за решаване. Четната степен "-" го премахва, т.е. просто трябва да разберете дали името на функцията се променя или остава. Диаметърът е вертикален (има фракция, „стои пиян“, ще падне), името на функцията се променя. Получаваме: ctg²(3π/2-α)= tan²α.

Те принадлежат към тригонометричния раздел на математиката. Тяхната същност е да намалят тригонометричните функции на ъглите до „проста“ форма. Много може да се пише за важността на познаването им. Вече има 32 от тези формули!

Не се тревожете, не е необходимо да ги учите, както много други формули в курса по математика. Няма нужда да пълните главата си с ненужна информация, трябва да запомните „ключовете“ или законите и запомнянето или извеждането на необходимата формула няма да бъде проблем. Между другото, когато пиша в статии "... трябва да научите!!!" - това означава, че наистина трябва да се научи.

Ако не сте запознати с формулите за намаляване, тогава простотата на тяхното извеждане ще ви изненада приятно - има „закон“, с помощта на който това може лесно да се направи. И можете да напишете всяка от 32-те формули за 5 секунди.

Ще изброя само някои от задачите, които ще бъдат на Единния държавен изпит по математика, където без познаване на тези формули има Голям шанспровал в решение. Например:

– задачи за решаване на правоъгълен триъгълник, където говорим за външен ъгъл, а също и задачи върху вътрешни ъглинякои от тези формули също са необходими.

– задачи за пресмятане на стойности тригонометрични изрази; преобразуване на числени тригонометрични изрази; преобразуване на буквални тригонометрични изрази.

– задачи по допирателни и геометричен смисълтангенс, е необходима редукционна формула за тангенс, както и други проблеми.

– стереометрични задачи, при решаването на които често е необходимо да се определи синус или косинус на ъгъл, който се намира в диапазона от 90 до 180 градуса.

И това са само онези точки, които се отнасят до Единния държавен изпит. И в самия курс по алгебра има много проблеми, чието решение просто не може да се направи без познаване на формулите за редукция.

И така, до какво води това и как посочените формули ни улесняват при решаването на задачи?

Например, трябва да определите синуса, косинуса, тангенса или котангенса на всеки ъгъл от 0 до 450 градуса:

алфа ъгълът варира от 0 до 90 градуса

* * *

Така че е необходимо да разберете „закона“, който работи тук:

1. Определете знака на функцията в съответния квадрант.

Нека ви напомня:

2. Запомнете следното:

функцията се променя на кофункция

функцията не се променя на кофункция

Какво означава понятието - функция се променя на кофункция?

Отговор: синус се променя в косинус или обратно, тангенс в котангенс или обратно.

Това е всичко!

Сега, според представения закон, ние сами ще запишем няколко формули за намаляване:

Този ъгъл лежи в третата четвърт, косинусът в третата четвърт е отрицателен. Ние не променяме функцията на кофункция, тъй като имаме 180 градуса, което означава:

Ъгълът лежи в първата четвърт, синусът в първата четвърт е положителен. Ние не променяме функцията на кофункция, тъй като имаме 360 градуса, което означава:

Ето малко допълнително потвърждение, че синусите съседни ъглиса равни:

Ъгълът лежи във втората четвърт, синусът във втората четвърт е положителен. Ние не променяме функцията на кофункция, тъй като имаме 180 градуса, което означава:

Преработете всяка формула мислено или писмено и ще се убедите, че няма нищо сложно.

***

В статията за решението беше отбелязан следният факт - синусът на един остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике равен на косинуса на другия остър ъгъл в него.

И още една задача Б11 по същата тема - от истинския Единен държавен изпит по математика.

Задача. Намерете значението на израза:

В този кратък видео урок ще научим как да кандидатстваме формули за намаляванеза решаване на реални задачи B11 от Единния държавен изпит по математика. Както можете да видите, имаме два тригонометрични израза, всеки от които съдържа синуси и косинуси, както и някои доста брутални числени аргументи.

Преди да решим тези задачи, нека си припомним какво представляват формулите за редукция. Така че, ако имаме изрази като:

Тогава можем да се отървем от първия член (от формата k · π/2) съгласно специални правила. Нека начертаем тригонометрична окръжност и върху нея да отбележим основните точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. След това разглеждаме първия член под знака на тригонометричната функция. Ние имаме:

1. Ако членът, който ни интересува, лежи на вертикалната ос на тригонометричната окръжност (например: 3π/2; π/2 и т.н.), тогава първоначалната функция се заменя с кофункция: синусът се заменя с косинус, и косинус, напротив, по синус.
2. Ако нашият член лежи на хоризонталната ос, тогава оригиналната функция не се променя. Просто премахваме първия член в израза и това е всичко.

Така получаваме тригонометрична функция, която не съдържа членове от вида k · π/2. Работата с редукционните формули обаче не свършва дотук. Факт е, че преди нашия нова функция, получен след „изхвърляне“ на първия член, може да има знак плюс или минус. Как да разпознаем този знак? Сега ще разберем.

Нека си представим, че ъгълът α, оставащ вътре в тригонометричната функция след трансформации, има много малка градусна мярка. Но какво означава „малка мярка“? Да речем α ∈ (0; 30°) – това е напълно достатъчно. Да вземем пример за функцията:

След това, следвайки нашите допускания, че α ∈ (0; 30°), заключаваме, че ъгълът 3π/2 − α лежи в третата координатна четвърт, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Нека си спомним знака на оригиналната функция, т.е. y = sin x на този интервал. Очевидно синусът в третата координатна четвърт е отрицателен, тъй като по дефиниция синусът е ординатата на края на движещия се радиус (накратко, синусът е y координатата). Е, координатата у в долната полуравнина винаги приема отрицателни стойности. Това означава, че през третото тримесечие y също е отрицателно.

Въз основа на тези отражения можем да запишем крайния израз:

Задача B11 ​​- Вариант 1

Същите тези техники са доста подходящи за решаване на задача B11 ​​от Единния държавен изпит по математика. Единствената разлика е, че в много реални задачи B11 се използва вместо мярката в радиан (т.е. числа π, π/2, 2π и т.н.) степенна мярка(т.е. 90°, 180°, 270° и т.н.). Нека разгледаме първата задача:

Нека първо да разгледаме числителя. cos 41° е нетаблична стойност, така че не можем да направим нищо с нея. Нека го оставим така за сега.

Сега нека да разгледаме знаменателя:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно това е редукционна формула, така че синусът се заменя с косинус. Освен това ъгълът 41° лежи върху сегмента (0°; 90°), т.е. в първия координатен квадрант - точно колкото е необходимо за прилагане на формулите за редукция. Но тогава 90° + 41° е втората координатна четвърт. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, така че поставихме знак плюс пред косинуса на последната стъпка (с други думи, не поставихме нищо).

Остава да се справим с последния елемент:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Тук виждаме, че 180° е хоризонталната ос. Следователно самата функция няма да се промени: имаше косинус - и косинусът също ще остане. Но отново възниква въпросът: плюс или минус ще се появи пред получения израз cos 60°? Имайте предвид, че 180° е третата координатна четвърт. Косинусът там е отрицателен, следователно косинусът в крайна сметка ще има знак минус пред себе си. Общо получаваме конструкцията −cos 60° = −0,5 - това е таблична стойност, така че всичко е лесно за изчисляване.

Сега заместваме получените числа в оригиналната формула и получаваме:

Както можете да видите, числото cos 41° в числителя и знаменателя на дробта лесно се намалява и остава обичайният израз, който е равен на −10. В този случай минусът може или да бъде изваден и поставен пред знака за дроб, или да се „задържи“ до втория фактор до последната стъпка от изчисленията. Във всеки случай отговорът ще бъде −10. Това е всичко, проблем B11 е решен!

Задача B14 - вариант 2

Да преминем към втората задача. Пред нас отново е фракция:

Е, 27° се намира в първата координатна четвърт, така че няма да променяме нищо тук. Но грях 117° трябва да се напише (засега без квадрат):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно отново пред нас формула за намаляване: 90° е вертикалната ос, следователно синусът ще се промени в косинус. Освен това ъгълът α = 117° = 90° + 27° лежи във втория координатен квадрант. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, следователно след всички трансформации все още има знак плюс пред косинуса. С други думи, там не се добавя нищо - оставяме го така: cos 27°.

Връщаме се към оригиналния израз, който трябва да бъде изчислен:

Както виждаме, в знаменателя след трансформациите основният тригонометрична идентичност: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Общо −4: 1 = −4 - така намерихме отговора на втората задача B11.

Както можете да видите, с помощта на формули за редукция такива задачи от Единния държавен изпит по математика се решават буквално в няколко реда. Няма синус от сумата и косинус от разликата. Всичко, което трябва да запомним, е само тригонометричната окръжност.

Формулите за редукция са отношения, които ви позволяват да преминете от синус, косинус, тангенс и котангенс с ъгли `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` към същите функции на ъгъла `\alpha`, който се намира в първата четвърт на единичната окръжност. По този начин формулите за намаляване ни „водят“ до работа с ъгли в диапазона от 0 до 90 градуса, което е много удобно.

Общо има 32 формули за намаляване. Те несъмнено ще бъдат полезни по време на Единния държавен изпит, изпити и тестове. Но нека веднага ви предупредим, че няма нужда да ги запаметявате! Трябва да отделите малко време и да разберете алгоритъма за тяхното прилагане, тогава няма да ви е трудно да извлечете необходимото равенство в точното време.

Първо, нека запишем всички формули за намаляване:

За ъгъл (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

За ъгъл (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

За ъгъл (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

За ъгъл (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Често можете да намерите формули за намаляване под формата на таблица, където ъглите са написани в радиани:

За да го използваме, трябва да изберем реда с нужната ни функция и колоната с желания аргумент. Например, за да разберете с помощта на таблица на какво ще бъде равно ` sin(\pi + \alpha)`, е достатъчно да намерите отговора в пресечната точка на реда ` sin \beta` и колоната ` \pi + \alpha`. Получаваме ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И втората, подобна таблица, където ъглите са записани в градуси:

Мнемонично правило за формули за редукция или как да ги запомните

Както вече споменахме, няма нужда да запаметявате всички горепосочени връзки. Ако сте ги разгледали внимателно, вероятно сте забелязали някои модели. Те ни позволяват да формулираме мнемонично правило (mnemonic - запомни), с помощта на което можем лесно да получим всяка формула за редукция.

Нека незабавно да отбележим, че за да приложите това правило, трябва да сте добри в идентифицирането (или запомнянето) на знаците на тригонометричните функции в различни четвърти от единичната окръжност.
Самата ваксина включва 3 етапа:

1. 1. Аргументът на функцията трябва да бъде представен като `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, а `\alpha` е задължително остър ъгъл (от 0 до 90 градуса).
   2. За аргументи `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` тригонометрична функцияизразът, който се преобразува, се променя в кофункция, тоест обратното (синус в косинус, тангенс в котангенс и обратно). За аргументи `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функцията не се променя.
   3. Определя се знакът на първоначалната функция. Получената функция от дясната страна ще има същия знак.

За да видим как това правило може да се приложи на практика, нека трансформираме няколко израза:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Функцията не е обърната. Ъгълът `\pi + \alpha` е в третата четвърт, косинусът в тази четвърт има знак "-", така че трансформираната функция също ще има знак "-".

Отговор: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Според мнемоничното правило функцията ще бъде обърната. Ъгълът `\frac (3\pi)2 - \alpha` е в третата четвърт, синусът тук има знак "-", така че резултатът също ще има знак "-".

Отговор: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alpha))`. Нека представим `3\pi` като `2\pi+\pi`. „2\pi“ е периодът на функцията.

Важно: Функциите `cos \alpha` и `sin \alpha` имат период `2\pi` или `360^\circ`, техните стойности няма да се променят, ако аргументът се увеличи или намали с тези стойности.

Въз основа на това нашият израз може да бъде записан по следния начин: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Прилагайки два пъти мнемоничното правило, получаваме: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Отговор: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Правило на коня

Втората точка от мнемоничното правило, описано по-горе, се нарича още правилото на коня на формулите за редукция. Чудя се защо коне?

И така, имаме функции с аргументи `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, точките `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` са ключови, те са разположени върху координатните оси. „\pi“ и „2\pi“ са по хоризонталната ос x, а „\frac (\pi)2“ и „\frac (3\pi)2“ са по вертикалната ордината.

Задаваме си въпроса: „Променя ли се една функция в кофункция?“ За да отговорите на този въпрос, трябва да преместите главата си по оста, на която се намира ключовата точка.

Тоест, за аргументи с ключови точки, разположени на хоризонталната ос, ние отговаряме с „не“, като клатим глава настрани. А за ъгли с ключови точки, разположени по вертикалната ос, отговаряме с „да“, като кимаме с глава отгоре надолу, като кон :)

Препоръчваме да гледате видео урок, в който авторът обяснява подробно как да запомните формули за редукция, без да ги запаметявате.

Практически примери за използване на формули за редукция

Използването на формули за редукция започва в 9 и 10 клас. Много проблеми с тях бяха представени на Единния държавен изпит. Ето някои от проблемите, при които ще трябва да приложите тези формули:

• задачи за решаване на правоъгълен триъгълник;
• преобразуване на числови и буквени тригонометрични изрази, изчисляване на техните стойности;
• стереометрични задачи.

Пример 1. Изчислете с помощта на формули за редукция a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Решение: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Пример 2. След като изразите косинус чрез синус с формули за редукция, сравнете числата: 1) `sin \frac (9\pi)8` и `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` и `cos \frac (3\pi)10`.

Решение: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Нека първо докажем две формули за синуса и косинуса на аргумента `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` и ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Останалите са извлечени от тях.

Нека вземем единична окръжност и точка А върху нея с координати (1,0). Нека след като се обърна към ъгъл `\alpha` ще отиде до точка `A_1(x, y)`, а след завъртане под ъгъл `\frac (\pi)2 + \alpha` до точка `A_2(-y, x)`. Пускайки перпендикулярите от тези точки към правата OX, виждаме, че триъгълниците `OA_1H_1` и `OA_2H_2` са равни, тъй като хипотенузите и прилежащите им ъгли са равни. След това, въз основа на дефинициите на синус и косинус, можем да напишем `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Къде можем да запишем, че ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, което доказва редукцията формули за синусови и косинусови ъгли `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Идвайки от определението за тангенс и котангенс, получаваме ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, което доказва формули за намаляване на тангенса и котангенса на ъгъла `\frac (\pi)2 + \alpha`.

За да докажете формули с аргумента `\frac (\pi)2 - \alpha`, е достатъчно да го представите като `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` и да следвате същия път като по-горе. Например, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Ъглите `\pi + \alpha` и `\pi - \alpha` могат да бъдат представени като `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` и `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` съответно.

И `\frac (3\pi)2 + \alpha` и `\frac (3\pi)2 - \alpha` като `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` и `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.