– със сигурност ще има задачи по тригонометрия. Тригонометрията често не се харесва поради необходимостта да се натъпчат огромен брой трудни формули, гъмжащи от синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Сайтът вече веднъж даде съвет как да запомните забравена формула, използвайки примера на формулите на Ойлер и Пийл.
И в тази статия ще се опитаме да покажем, че е достатъчно да знаете твърдо само пет прости тригонометрични формули и да знаете за останалите Главна идеяи ги извадете, докато вървите. Това е като с ДНК: молекулата не съхранява пълните чертежи на завършено живо същество. По-скоро съдържа инструкции за сглобяването му от наличните аминокиселини. Така че в тригонометрията, знаейки някои основни принципи, ще получим всички необходими формули от малък набор от тези, които трябва да се имат предвид.
Ще разчитаме на следните формули:
От формулите за синусови и косинусови суми, знаейки за паритета на косинусовата функция и нечетността на синусовата функция, замествайки -b вместо b, получаваме формули за разликите:
- Синус от разликата: грях(a-b) = гряхаcos(-б)+cosагрях(-б) = гряхаcosb-cosагряхb
- Косинус на разликата: cos(a-b) = cosаcos(-б)-гряхагрях(-б) = cosаcosb+гряхагряхb
Като поставим a = b в същите формули, получаваме формулите за синус и косинус на двойни ъгли:
- Синус на двоен ъгъл: грях2а = грях(а+а) = гряхаcosа+cosагряха = 2гряхаcosа
- Косинус на двоен ъгъл: cos2а = cos(а+а) = cosаcosа-гряхагряха = cos2 а-грях2 а
Формулите за други множество ъгли се получават по подобен начин:
- Синус на троен ъгъл: грях3а = грях(2a+a) = грях2аcosа+cos2агряха = (2гряхаcosа)cosа+(cos2 а-грях2 а)гряха = 2гряхаcos2 а+гряхаcos2 а-грях 3 а = 3 гряхаcos2 а-грях 3 а = 3 гряха(1-грях2 а)-грях 3 а = 3 гряха-4грях 3а
- Косинус на троен ъгъл: cos3а = cos(2a+a) = cos2аcosа-грях2агряха = (cos2 а-грях2 а)cosа-(2гряхаcosа)гряха = cos 3 а- грях2 аcosа-2грях2 аcosа = cos 3 а-3 грях2 аcosа = cos 3 a-3 (1- cos2 а)cosа = 4cos 3 а-3 cosа
Преди да продължим, нека разгледаме един проблем.
Дадено: ъгълът е остър.
Намерете неговия косинус, ако
Решение, дадено от един ученик:
защото , Че гряха= 3,а cosа = 4.
(От математическия хумор)
И така, определението за тангенс свързва тази функция както със синус, така и с косинус. Но можете да получите формула, която свързва тангенса само с косинуса. За да го извлечем, нека вземем основното тригонометрична идентичност: грях 2 а+cos 2 а= 1 и го разделете на cos 2 а. Получаваме:
Така че решението на този проблем би било:
(Тъй като ъгълът е остър, при извличане на корена се взема знакът +)
Формулата за тангенс на сума е друга, която е трудна за запомняне. Нека го изведем така:
Веднага се показва и
От формулата за косинус за двоен ъгъл можете да получите формулите за синус и косинус за половин ъгъл. За да направите това, от лявата страна на формулата за двоен ъглов косинус:
cos2
а = cos 2
а-грях 2
а
добавяме единица, а вдясно - тригонометрична единица, т.е. сумата от квадратите на синус и косинус.
cos2а+1 = cos2 а-грях2 а+cos2 а+грях2 а
2cos 2
а = cos2
а+1
Изразяване cosапрез cos2
аи извършвайки промяна на променливи, получаваме:
Знакът се взема в зависимост от квадранта.
По същия начин, като извадим единица от лявата страна на равенството и сумата от квадратите на синуса и косинуса от дясната, получаваме:
cos2а-1 = cos2 а-грях2 а-cos2 а-грях2 а
2грях 2
а = 1-cos2
а
И накрая, за преобразуване на сумата тригонометрични функциив работата използваме следната техника. Да кажем, че трябва да представим сумата от синуси като продукт гряха+гряхb. Нека въведем променливи x и y, така че a = x+y, b+x-y. Тогава
гряха+гряхb = грях(x+y)+ грях(x-y) = гряхх cos y+ cosх грях y+ гряхх cosд- cosх грях y=2 гряхх cosг. Нека сега изразим x и y чрез a и b.
Тъй като a = x+y, b = x-y, тогава . Ето защо
Можете да оттеглите веднага
- Формула за разделяне произведения на синус и косинус V количество: гряхаcosb = 0.5(грях(a+b)+грях(а-б))
Препоръчваме ви да практикувате и да извеждате сами формули за превръщане на разликата от синуси и сбора и разликата от косинусите в произведение, както и за разделяне на произведенията от синуси и косинус в сбора. След като завършите тези упражнения, вие ще овладеете напълно умението за извеждане на тригонометрични формули и няма да се изгубите дори в най-трудния тест, олимпиада или тестване.
Най-често задавани въпроси
Възможно ли е да се направи печат върху документ по предоставен образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка на нашия имейл адрес добро качество, а ние ще направим необходимия дубликат.
Какви видове плащане приемате?
Отговор Можете да платите за документа при получаване от куриера, след проверка на правилността на попълване и качеството на изпълнение на дипломата. Това може да стане и в офис на пощенски компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел „Плащане и доставка“. Също така сме готови да изслушаме вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.
Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? Отговор В областта на дипломната продукция имаме достатъчно дълъг опитработа. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни точки на страната, изработвайки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да преминат към по-високоплатена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си, когато я получите в ръцете си, няма предплащане.
Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и извън нея. различни годинииздаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.
Какво да направите, ако намерите печатни грешки и грешки в документ?
Отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установяване на печатна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите недостатъци лично на куриера или писмено, като изпратите писмо до електронна поща.
Ние ще коригираме документа възможно най-скоро и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, правим и допълнителни снимки и видеозаписи (включително в ултравиолетова светлина), за да имате ясна представа какво ще получите накрая.
Какво трябва да направя, за да поръчам диплома от вашата компания?
Отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академична справка и др.), трябва да попълните формата за онлайн поръчка на нашия уебсайт или да предоставите имейла си, за да можем да ви изпратим формуляр за кандидатстване, който трябва да попълните и изпратите обратно за нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое от полетата на формата за поръчка/въпросника, оставете ги празни. Затова ще уточним цялата липсваща информация по телефона.
Последни отзиви
Ториуайлд:
Реших да купя диплома от вашата компания, когато се преместих в друг град и не можах да намеря дипломата си сред нещата си. Без него нямаше да ме наемат на добра и добре платена работа. Вашият консултант ме увери, че тази информация не се разкрива и никой няма да различи документа от оригинала. Нямаше съмнения, но трябваше да рискувам. Хареса ми, че не се изисква предплащане. Общо взето си взех дипломата навреме и не съм се излъгала. Благодаря ти!
Оксана Ивановна:
Когато ми откраднаха дипломата, бях ужасно разстроен. Все пак ме уволниха точно по това време, но сега ги намирам Добра работабез диплома висше образованиепочти невъзможно. За щастие един съсед предложи да се свържете с вашата организация. В началото бях скептичен, но реших да рискувам. Обадих се на управителя на компанията и му обясних ситуацията. И аз съм късметлия! Направиха всичко бързо и най-важното обещаха да не разкриват тайната ми. Притеснявах се да не излезе по-късно това, че съм си купил дипломата.
Маша Кутенкова:
Благодаря за труда! Поръчах си диплома от 1991г. Когато започнаха да събират документите, се оказа, че има малък опит и им трябваше и документ, потвърждаващ образованието им. Нямах такъв и шефът знаеше това и самата тя препоръча вашата компания (очевидно не съм нищо като служител). На документа тя ми посочи подробности - като например, в кои години използват мастило или мастило, дебелината на подписа и т.н. Благодаря за прецизността и качеството!
LenOK:
След като прочетох истории за срамни уволнения на служители, чиито дипломи са отпечатани на цветен принтер, отидох да кандидатствам в университета. Уви, няма бюджет, няма пари за обучение и няма пари за плащане на сесии, така че трябваше да рискувам. Въпреки че много се радвам, че срещнах вашата компания. Въпреки че не ме наеха с вашата диплома поради провал на практическия блок, вината не е ваша. Веднага щом намеря ново място, ще дойда направо при вас, без забавяне!
Джери Тери:
Гледайки с какъв срам моят колега беше изхвърлен от работа заради фалшива диплома, беше страшно да последвам примера му. Ако не беше кумата, която поръча при вас, нямаше да рискувам. Тя увери, че тук всичко е гладко и името ми ще бъде навсякъде, където е необходимо. Имах 4 дни да направя всичко. Благодарим ви за бързината - завършихме го за 3, а също така успяхме да проучим щателно методите за подправяне на документи, но вашият формуляр не се квалифицира като фалшив, което означава, че ще мине за оригинал.
Андрей:
Никога не бих си помислил, че ще трябва да си купувам диплома. След училище дъщеря ми отиде да работи в Полша; когато се върна след 5 години, искаше да си намери работа като дизайнер на дрехи в местна модна къща. Без диплома никой не искаше да я вземе на работа. Той разбра, че ако не получи тази работа, ще напусне отново. Прекарах вечерта в сърфиране в интернет, а на сутринта вече бях в офиса с документите на дъщеря ми. Седмица по-късно той взе дипломата й и тя най-накрая остана да работи в града си на желаната позиция. Нямаш представа колко съм ти благодарна!
Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!
Формулите за двоен ъгъл позволяват да се изразят тригонометричните функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) на ъгъла `2\alpha` чрез същите тези функции на ъгъла `\alpha`.
Списъкът по-долу е основните формули за двоен ъгъл, които най-често се използват в тригонометрията. За косинус има три от тях, всички те са еквивалентни и еднакво важни.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \алфа-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`
Следните идентичности изразяват всички тригонометрични функции на ъгъла `2\alpha` чрез функциите тангенс и котангенс на ъгъл `\alpha`.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \\alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Формулите за косинус и синус на двоен ъгъл работят за всеки ъгъл „\alpha“. Формулите за тангенса на двоен ъгъл са валидни за тези `\alpha`, за които е дефинирано `tg\2\alpha`, тоест за ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \n \в Z`. По същия начин, за котангенса те се появяват за онези `\alpha`, за които `ctg \2\alpha` е дефинирано, т.е. за ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z`.
Доказателство на формули за двоен ъгъл
Всички формули за двоен ъгъл са получени от формулите за сумата и разликата на ъглите на тригонометричните функции.
Нека вземем две формули за сумата от ъглите на синуса и косинуса:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Вземете `\beta=\alpha`, след това `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha`, подобно на `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, което доказва формули за двоен ъгъл за синус и косинус.
Две други равенства за косинуса ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha ` и ` cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` се свеждат до това, което вече е доказано, ако заместваме 1 в тях на `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Така че `1-2 \sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` и ` 2 \cos^2 \alpha-1=` `2 \cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
За да докажем формулите за тангенс на двоен ъгъл и котангенс, ще използваме определението на тези функции. Нека запишем `tg \ 2\alpha` и `ctg \ 2\alpha` като `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` и `ctg \ 2\alpha= \frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Прилагайки вече доказаните формули за двоен ъгъл за синус и косинус, получаваме `tg\2\alpha=\frac (sin\2\alpha)(cos\2\alpha)=\frac (2\sin\\alpha\cos\ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` и `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)`.
В случай на тангенс, ние разделяме числителя и знаменателя на крайната дроб на `cos^2 \alpha`, а за котангенса, от своя страна, на `sin^2 \alpha`.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ алфа)=` \frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac ( 2\tg\\alpha)(1-tg^2 \alpha)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)`.
Предлагаме също да гледате видеоклипа, за да консолидирате по-добре теоретичния материал:
Примери за използване на формули за решаване на задачи
За преобразуване най-често се използват формули за двоен ъгъл тригонометрични изрази. Нека да разгледаме някои от случаите и как те могат да бъдат приложени на практика при решаване на конкретни проблеми.
Пример 1. Проверете валидността на двойните ъглови идентичности за `\alpha=30^\circ`.
Решение. Нашите формули използват два ъгъла „\alpha“ и „2\alpha“. Стойността на първия ъгъл е посочена в условието, вторият съответно ще бъде `2\alpha=60^\circ`. Ние също знаем числените стойности за всички тригонометрични функции на тези ъгли. Нека ги запишем:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` и
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
Тогава ще имаме
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
Което доказва валидността на равенствата за посочения в условието ъгъл.
Пример 2. Изразете `sin \frac (2\alpha)3` чрез тригонометрични функции на ъгъла `\frac (\alpha)6`.
Решение. Нека запишем ъгъла синус по следния начин: ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. След това, като приложим два пъти формулата за двоен ъгъл, можем да решим нашия проблем.
Първо ще използваме равенството на синуса на двойния ъгъл: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, сега отново ще приложим нашите формули съответно за синус и косинус. В резултат получаваме:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Отговор. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Формули за троен ъгъл
Тези формули, подобно на предишните, позволяват да се изразят функциите на ъгъла `3\alpha` чрез същите тези функции на ъгъла `\alpha`.
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Те могат да бъдат доказани с помощта на равенства на суми и ъглови разлики, както и формулите за двоен ъгъл, които са ни добре познати.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
В получената формула заменете `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` с `1-sin^2\alpha` и получете `sin \ 3 \alpha=3 \sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.
Също така за косинуса на троен ъгъл:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Заменяйки `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` в крайното равенство с `1-cos^2\alpha`, получаваме `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos \ \alpha`.
Използвайки доказаните идентичности за синус и косинус, можем да докажем за тангенс и котангенс:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ алфа)(1-3tg^2 \алфа)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
За да докажете формулите за ъгъла ` 4\alpha`, можете да го представите като ` 2 \cdot 2\alpha` и да опитате формулите за двоен ъгъл два пъти.
За да изведете подобни равенства за ъгъла ` 5\alpha`, можете да го напишете като ` 3\alpha + 2\alpha` и да приложите идентичностите на сбора и разликата на ъгли и двойни и тройни ъгли.
Всички формули за други множество ъгли се извеждат по подобен начин, но те рядко са необходими на практика.
Формулите за двоен ъгъл се използват за изразяване на синуси, косинуси, тангенси, котангенси на ъгъл със стойност 2 α, като се използват тригонометрични функции на ъгъл α. Тази статия ще представи всички формули за двоен ъгъл с доказателства. Ще бъдат разгледани примери за прилагане на формули. В заключителната част ще бъдат показани формулите за троен и четворен ъгъл.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Списък с формули за двоен ъгъл
За да конвертирате формули за двоен ъгъл, трябва да запомните, че ъглите в тригонометрията имат формата n α, където n е естествено число, стойността на израза се записва без скоби. По този начин се счита, че обозначението sin n α има същото значение като sin (n α) . Когато означаваме sin n α, имаме подобно означение (sin α) n. Използването на нотация е приложимо за всички тригонометрични функции със степени n.
По-долу са формулите за двоен ъгъл:
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α
Имайте предвид, че тези формули sin и cos са приложими за всяка стойност на ъгъла α. Формулата за тангенс на двоен ъгъл е валидна за всяка стойност на α, където t g 2 α има смисъл, т.е. α ≠ π 4 + π 2 · z, z е всяко цяло число. Котангенсът на двоен ъгъл съществува за всяко α, където c t g 2 α е дефинирано при α ≠ π 2 z.
Косинусът на двоен ъгъл има тройната нотация на двоен ъгъл. Всички те са приложими.
Доказателство на формули за двоен ъгъл
Доказателството на формулите започва от формулите за добавяне. Нека приложим формулите за синус на сумата:
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинус от сумата cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Да приемем, че β = α, тогава получаваме това
sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α
Така се доказват формулите за синуса и косинуса на двойния ъгъл sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.
Останалите формули cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 водят до вида cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, при замяна на 1 с сумата от квадратите на основната идентичност sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаваме, че sin 2 α + cos 2 α = 1. Така че 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α и 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.
За да докажем формулите за двойния ъгъл на тангенс и котангенс, прилагаме равенствата t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. След трансформацията получаваме, че t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделете израза на cos 2 α, където cos 2 α ≠ 0 с произволна стойност на α, когато е дефинирано t g α. Разделяме друг израз на sin 2 α, където sin 2 α ≠ 0 с всякакви стойности на α, когато c t g 2 α има смисъл. За да докажем формулата за двоен ъгъл за тангенс и котангенс, заместваме и получаваме:
