Не харесвате математика? Просто не знаете как да го използвате! Това всъщност е завладяваща наука. И нашата селекция от необичайни методи за умножение потвърждава това.

Умножете на пръстите си като търговец

Този метод ви позволява да умножавате числа от 6 до 9. За начало свийте двете си ръце в юмруци. След това на лявата си ръка огънете толкова пръсти, колкото първият фактор е по-голям от числото 5. На дясната ръка направете същото за втория фактор. Пребройте броя на протегнатите пръсти и умножете сумата по десет. Сега умножете сумата от свитите пръсти на лявата и дясната ръка. Събирайки двете суми, получавате резултата.

Пример.Нека умножим 6 по 7. Шест е повече от пет по едно, което означава, че свиваме един пръст на лявата си ръка. И седем е две, което означава, че има два пръста отдясно. Общата сума е три и след умножаване по 10 е 30. Сега нека умножим четирите свити пръста на лявата ръка и три на дясната. Получаваме 12. Сумата от 30 и 12 дава 42.

Всъщност тук ние говорим заза проста таблица за умножение, която би било добре да знаете наизуст. Но този метод е добър за самопроверка, а също така е полезно да разтегнете пръстите си.

Умножете като Ферол

Този метод е кръстен на немския инженер, който го е използвал. Метод ви позволява бързо да умножавате числа от 10 до 20. Ако практикувате, можете да го направите дори в главата си.

Въпросът е прост. Резултатът винаги ще бъде трицифрено число. Така че първо броим единици, след това десетици, след това стотици.

Пример.Нека умножим 17 по 16. За да получим единици, умножете 7 по 6, десетки - добавете произведението от 1 и 6 с произведението от 7 и 1, стотици - умножете 1 по 1. В резултат на това получаваме 42, 13 и 1 , За улеснение ги напишете в колона и да ги сумираме Това е резултатът!

Размножавайте се като японец

Този графичен метод, който се използва от японските ученици, улеснява умножаването на двуцифрени и дори трицифрени числа.За да го изпробвате, пригответе хартия и химикал.

Пример.Нека умножим 32 по 143. За да направите това, нарисувайте решетка: отразете първото число с три и две линии с хоризонтален отстъп, а второто с една, четири и три линии вертикално. Поставете точки там, където линиите се пресичат. В резултат на това трябва да получим четирицифрено число, така че условно ще разделим таблицата на 4 сектора. И нека преброим точките, които попадат във всяка от тях. Получаваме 3, 14, 17 и 6. За да получите отговора, добавете допълнителните от 14 и 17 към предишното число. Получаваме 4, 5 и 76 - 4576.

Умножете като италианец

Друг интересен графичен метод се използва в Италия. Може би е по-просто от японското: определено няма да се объркате, когато прехвърляте десетки. За да умножите големи числа с него, трябва да начертаете решетка. Записваме първия множител хоризонтално отгоре, а втория множител вертикално вдясно. В този случай трябва да има една клетка за всяко число.

Сега нека умножим числата във всеки ред по числата във всяка колона. Резултатът записваме в клетка (разделена на две) в пресечната им точка. Ако получите едноцифрено число, напишете 0 в горната част на клетката, а получения резултат в долната част.

Остава само да съберете всички числа в диагоналните ивици. Започваме от долната дясна клетка. В този случай добавяме десетици към единиците в съседната колона.

Ето как умножихме 639 по 12.

Забавно, нали? Забавлявайте се с математиката! И не забравяйте, че в ИТ са необходими и хуманитарни специалисти!

Крестников Василий

Темата на работата „Необичайни методи на изчисление“ е интересна и актуална, тъй като учениците непрекъснато извършват аритметични операции с числа, а способността за бързо изчисляване повишава академичния успех и развива умствената гъвкавост.

Василий успя ясно да посочи причините за своя подход към тази тема и правилно формулира целта и целите на работата. След като проучих различни източници на информация, открих интересни и необичайни начини за умножение и се научих да ги прилагам на практика. Студентът разгледа плюсовете и минусите на всеки метод и направи правилното заключение. Надеждността на заключението се потвърждава от новия метод на умножение. В същото време студентът умело използва специална терминология и знания навън училищна програмаматематика. Темата на работата съответства на съдържанието, материалът е поднесен ясно и достъпно.

Резултатите от работата имат практическо значениеи може да представлява интерес за широк кръг от хора.

Изтегли:

Преглед:

Общинска образователна институция „Куровская средна общообразователно училище№ 6"

РЕЗЮМЕ ПО МАТЕМАТИКА ПО ТЕМАТА:

"НЕОБИЧАЙНИ НАЧИНИ ЗА УМНОЖЕНИЕ".

Попълнено от ученик от 6 “б” клас

Крестников Василий.

Ръководител:

Смирнова Татяна Владимировна.

2011 г

1. Въведение…………………………………………………………………………………...2
2. Главна част. Необичайни начини за умножение………………………...3

2.1. Малко история………………………………………………………………..3

2.2. Умножение на пръсти………………………………………………………...4

2.3. Умножение по 9……………………………………………………………………………………5

2.4. Индийски начин на умножение…………………………………………….6

2.5. Умножение с помощта на " Малък замък»…………………………………7

2.6. Умножение по метода „Ревност“………………………………………...8

2.7. Селски метод на умножение………………………………………….....9

2.8 Нов начин……………………………………………………………………………………..10

1. Заключение…………………………………………………………………………………...11
2. Препратки……………………………………………………………….12

Въведение.

Лицето в Ежедневиетоневъзможно е да се направи без изчисления. Следователно в уроците по математика преди всичко ни учат да извършваме операции с числа, тоест да броим. Ние умножаваме, делим, събираме и изваждаме по обичайните начини, които се изучават в училище.

Един ден случайно попаднах на книга на С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапов „Стари занимателни проблеми“. Прелиствайки тази книга, вниманието ми беше привлечено от страница, наречена „Умножение на пръсти“. Оказа се, че можете да умножавате не само както ни се предлага в учебниците по математика. Чудех се дали има други методи за изчисление. В крайна сметка способността за бързо извършване на изчисления е откровено изненадваща.

Постоянно използване на модерни компютърна технологияводи до факта, че на учениците им е трудно да правят изчисления, без да разполагат с таблици или изчислителна машина. Познаването на опростени техники за изчисление дава възможност не само за бързо извършване на прости изчисления в ума, но и за контрол, оценка, намиране и коригиране на грешки в резултат на механизирани изчисления. В допълнение, овладяването на изчислителните умения развива паметта, повишава нивото на математическата култура на мислене и помага за пълното овладяване на предметите от физико-математическия цикъл.

Цел на работата:

Покажете необичайни начини за умножение.

Задачи:

1. Намерете колкото се може повече необичайни методи за изчисление.
2. Научете се да ги използвате.
3. Изберете за себе си най-интересните или по-лесни от предлаганите в училище и ги използвайте, когато броите.

II. Главна част. Необичайни начини за умножение.

2.1. Малко история.

Методите за изчисление, които използваме сега, не винаги са били толкова прости и удобни. В старите времена са били използвани по-тромави и по-бавни техники. И ако един ученик от 21-ви век можеше да се върне пет века назад, той би удивил нашите предци с бързината и точността на изчисленията си. Слуховете за него щяха да се разпространят из околните училища и манастири, засенчвайки славата на най-квалифицираните сметачи от онази епоха, и хора щяха да идват отвсякъде, за да учат при новия велик учител.

Операциите умножение и деление са били особено трудни в старите времена. Тогава нямаше един метод, разработен от практиката за всяко действие. Напротив, имаше почти дузина различни методи за умножение и деление, използвани едновременно - техники, една от друга по-сложни, които човек със средни способности не можеше да запомни. Всеки учител по броене се придържаше към любимата си техника, всеки „майстор на разделяне“ (имаше такива специалисти) похвали собствения си начин за извършване на това действие.

В книгата на В. Белустин „Как хората постепенно стигнаха до истинската аритметика“ са очертани 27 метода на умножение и авторът отбелязва: „много е възможно да има други методи, скрити в нишите на книгохранилищата, разпръснати в многобройни, главно ръкописни колекции.”

И всички тези методи на умножение - „шах или орган“, „сгъване“, „кръст“, „решетка“, „отзад напред“, „диамант“ и други се състезаваха помежду си и бяха научени с голяма трудност.

Нека да разгледаме най-интересните и прости начини за умножение.

2.2. Умножение на пръсти.

Староруският метод за умножение на пръстите е един от най-често използваните методи, който успешно се използва от руските търговци в продължение на много векове. Те се научиха да умножават на пръстите си едноцифрени числа от 6 до 9. В този случай беше достатъчно да имат основни умения за броене на пръсти „единици“, „двойки“, „тройки“, „четворки“, „петици“ и „десетки“. Пръстите тук служеха като помощно изчислително устройство.

За да направят това, на едната ръка те протегнаха толкова пръсти, колкото първият фактор надвишава числото 5, а на втората направиха същото за втория фактор. Останалите пръсти бяха огънати. След това броят (общо) на протегнатите пръсти се взема и се умножава по 10, след което числата се умножават, показвайки колко пръста са свити, и резултатите се сумират.

Например, нека умножим 7 по 8. В разглеждания пример 2 и 3 пръста ще бъдат огънати. Ако съберете броя на свитите пръсти (2+3=5) и умножите броя на несвитите (2 3=6), ще получите съответно числата десетици и единици на търсеното произведение 56. По този начин можете да изчислите произведението на всяко едноцифрено число, по-голямо от 5.

2.3. Умножете по 9.

Умножение за числото 9- 9·1, 9·2 ... 9·10 - по-лесно се забравя от паметта и е по-трудно да се преизчисли ръчно чрез метода на добавяне, но специално за числото 9 умножението лесно се възпроизвежда „на пръсти“. Разтворете пръстите на двете си ръце и завъртете ръцете си с длани, обърнати от вас. Мислено задайте числа от 1 до 10 на пръстите си, като започнете с малкия пръст на лявата си ръка и завършите с малкия пръст на дясната си ръка (това е показано на фигурата).

Да кажем, че искаме да умножим 9 по 6. Огъваме пръста с числото, равно на числото, по което ще умножим девет. В нашия пример трябва да огънем пръста с номер 6. Броят на пръстите вляво от свития пръст ни показва броя на десетиците в отговора, броят на пръстите вдясно показва броя на единиците. Отляво имаме 5 несвити пръста, отдясно - 4 пръста. Така 9·6=54. Фигурата по-долу показва подробно целия принцип на „изчисление“.

Друг пример: трябва да изчислите 9·8=?. По пътя нека кажем, че пръстите не могат непременно да действат като „изчислителна машина“. Вземете например 10 клетки в една тетрадка. Зачеркнете 8-та клетка. Остават 7 клетки отляво, 2 клетки отдясно. Така че 9·8=72. Всичко е много просто.

7 клетки 2 клетки.

2.4. Индийски начин на умножение.

Най-ценният принос в съкровищницата на математическите знания е направен в Индия. Индусите предложиха метода, който използваме за записване на числа с помощта на десет знака: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основата на този метод е идеята, че една и съща цифра представлява единици, десетки, стотици или хиляди, в зависимост от това къде заема цифрата. Заеманото място, при липса на цифри, се определя от нулите, присвоени на числата.

Индианците били страхотни в броенето. Те измислиха много прост начин за умножение. Те извършиха умножение, започвайки от най-значимата цифра, и записаха непълни продукти точно над умножаващото, малко по малко. В този случай най-значимата цифра от пълния продукт беше незабавно видима и в допълнение пропускът на всяка цифра беше елиминиран. Знакът за умножение все още не беше известен, така че оставиха малко разстояние между множителите. Например, нека ги умножим по метода 537 по 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. Умножение по метода “МАЛЪК ЗАМЪК”.

Умножението на числата вече се изучава в първи клас на училище. Но през Средновековието много малко са усвоили изкуството на умножението. Беше рядък аристократ, който можеше да се похвали, че знае таблицата за умножение, дори и да е завършил европейски университет.

През хилядолетията на развитие на математиката са изобретени много начини за умножаване на числа. Италианският математик Лука Пачоли в своя трактат „Сумата на аритметиката, съотношенията и пропорционалността“ (1494) дава осем различни метода на умножение. Първият от тях се нарича „Малък замък“, а вторият е не по-малко романтично наречен „Ревност или решетъчно умножение“.

Предимството на метода на умножение „Little Castle“ е, че водещите цифри се определят от самото начало и това може да бъде важно, ако трябва бързо да оцените стойност.

Цифрите на горното число, като се започне от най-значимата цифра, се умножават на свой ред по долното число и се записват в колона с необходимия брой нули. След това резултатите се сумират.

2.6. Умножаване на числа по метода на „ревността“.

Вторият метод има романтичното име „ревност“ или „решетъчно умножение“.

Първо се начертава правоъгълник, разделен на квадрати, като размерите на страните на правоъгълника съответстват на броя на десетичните знаци на множителя и множителя. След това квадратните клетки се разделят диагонално и „... резултатът е картина, подобна на решетъчни щори“, пише Пачиоли. „Такива щори бяха окачени на прозорците на венециански къщи, за да не позволят на минувачите да видят дамите и монахините, седнали на прозорците.“

Нека умножим по този начин 347 по 29. Нека начертаем таблица, над нея да напишем числото 347, а отдясно числото 29.

Във всеки ред ще напишем произведението на числата над тази клетка и вдясно от нея, докато цифрата на десетиците на произведението ще напишем над наклонената черта, а цифрата на единиците под нея. Сега добавяме числата във всяка наклонена лента, изпълнявайки тази операция отдясно наляво. Ако сумата е по-малка от 10, тогава я записваме под долния номер на лентата. Ако се окаже, че е по-голямо от 10, тогава записваме само цифрата на единиците на сумата и добавяме цифрата на десетиците към следващата сума. В резултат на това получаваме желания продукт 10063.

3 4 7

10 0 6 3

2.7. Селски метод на умножение.

Най-много, по мое мнение, „роден“ и лесният начинумножението е метод, използван от руските селяни. Тази техника изобщо не изисква познаване на таблицата за умножение отвъд числото 2. Същността й е, че умножението на произволни две числа се свежда до поредица от последователни деления на едно число наполовина, като едновременно с това се удвоява другото число. Деленето наполовина продължава, докато частното достигне 1, като същевременно се удвоява другото число. Последното удвоено число дава желания резултат.

Ако числото е нечетно, премахнете едно и разделете остатъка наполовина; но към последното число от дясната колона ще трябва да добавите всички онези числа от тази колона, които стоят срещу нечетните числа от лявата колона: сумата ще бъде търсеният продукт

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

Продуктът на всички двойки съответстващи числа е еднакъв, така че

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

В случай, че едно от числата е нечетно или и двете числа са нечетни, процедирайте по следния начин:

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. Нов начин за умножаване.

Наскоро беше съобщено за интересен нов метод на умножение. Изобретателят на новата система за умствено броене, кандидатът на философските науки Василий Оконешников, твърди, че човек е в състояние да запомни огромно количество информация, основното е как да подреди тази информация. Според самия учен най-изгодна в това отношение е деветкратната система - всички данни просто се поставят в девет клетки, разположени като бутони на калкулатор.

Много е лесно да се изчисли с помощта на такава таблица. Например, нека умножим числото 15647 по 5. В частта от таблицата, съответстваща на пет, изберете числата, съответстващи на цифрите на числото в ред: едно, пет, шест, четири и седем. Получаваме: 05 25 30 20 35

Оставяме лявата цифра (нула в нашия пример) непроменена и събираме следните числа по двойки: пет с две, пет с тройка, нула с две, нула с тройка. Последната цифра също е непроменена.

В резултат на това получаваме: 078235. Числото 78235 е резултат от умножение.

Ако при добавяне на две цифри се получи число, по-голямо от девет, тогава първата му цифра се добавя към предишната цифра на резултата, а втората се записва на нейното „собствено“ място.

III. Заключение.

От всички необичайни методи за броене, които открих, методът „решетъчно умножение или ревност“ изглеждаше по-интересен. Показах го на мои съученици и те много го харесаха.

Най-простият метод ми се стори „удвояване и разделяне“, който се използва от руските селяни. Не го използвам много, когато умножавам. големи числа(много е удобно да се използва при умножаване на двуцифрени числа).

Интересувах се от новия метод на умножение, защото ми позволява да „разхвърлям“ огромни числа в ума си.

Мисля, че нашият метод за умножение по колона не е съвършен и можем да измислим още по-бързи и надеждни методи.

1. Литература.

1. Депман И. „Истории за математика“. – Ленинград: Образование, 1954. – 140 с.
2. Корнеев А.А. Феноменът на руското умножение. История. http://numbernautics.ru/
3. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. „Стари забавни проблеми“. – М.: Наука. Главна редакция на физико-математическата литература, 1985. – 160 с.
4. Перелман Я.И. Бързо броене. Тридесет прости техники за мислено броене. Л., 1941 г. - 12 с.
5. Перелман Я.И. Интересна аритметика. М. Русанова, 1994--205 с. https://accounts.google.com
   

   Надписи на слайдове:

   Работата е извършена от Василий Крестников, ученик от 6-ти „Б” клас. Ръководител: Татяна Владимировна Смирнова Необичайни методи за умножение

   Цел на работата: Покажете необичайни начини за умножение. Цели: Намерете необичайни начини за умножение. Научете се да ги използвате. Изберете най-интересните или по-лесни за себе си и ги използвайте при броенето.

   Умножение на пръсти.

   Умножете по 9

   Италианският математик Лука Пачоли е роден през 1445 г.

   Умножение по метода "Малък замък".

   Умножение по метода „Ревност“.

   Умножение по метода на решетката. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29=10063

   Руски селски метод 37 32 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184………1 37 32=1184

   Благодаря за вниманието

публикувани 20.04.2012
Посвещава се на Елена Петровна Каринская ,
на моя учител по математика и класен ръководител в училище
Алмати, РОФМШ, 1984–1987
„Науката достига съвършенство само когато успее да използва математиката“. Карл Хайнрих Маркс
тези думи бяха изписани над черната дъска в нашата стая по математика ;-)
Уроци по информатика(лекционни материали и семинари)

Какво е умножение?
Това е действието на добавяне.
Но не прекалено приятно
Защото много пъти...
Тим Собакин

Нека се опитаме да направим това действие
приятно и вълнуващо ;-)

МЕТОДИ НА УМНОЖЕНИЕ БЕЗ ТАБЛИЦИ ЗА УМНОЖЕНИЕ (гимнастика за ума)

Предлагам на читателите на зелените страници два метода за умножение, които не използват таблица за умножение;-) Надявам се, че учителите по информатика ще харесат този материал, който могат да използват при провеждане на извънкласни часове.

Този метод е често срещан сред руските селяни и е наследен от тях от древни времена. Същността му е, че умножението на произволни две числа се свежда до поредица от последователни деления на едно число наполовина, като едновременно с това се удвоява другото число, В този случай няма нужда от таблица за умножение :-)

Деленето наполовина продължава, докато частното се окаже 1, като в същото време другото число се удвоява. Последното удвоено число дава желания резултат(снимка 1). Не е трудно да се разбере на какво се основава този метод: продуктът не се променя, ако единият фактор се намали наполовина, а другият се удвои. Следователно е ясно, че в резултат на многократно повторение на тази операция се получава желаният продукт.

Но какво трябва да направите, ако се наложи наполовина нечетно число? В този случай от нечетно числоизхвърляме едното и разделяме остатъка наполовина, докато към последното число от дясната колона ще трябва да добавим всички онези числа от тази колона, които стоят срещу нечетните числа от лявата колона - сумата ще бъде търсеният продукт (снимки : 2, 3).
С други думи, задраскваме всички редове с четни леви числа; оставете и след това добавете номерата не са задрасканидясна колона.

За фигура 2: 192 + 48 + 12 = 252
Правилността на приемането ще стане ясна, ако вземем предвид, че:
5× 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Ясно е, че числата 48 , 12 , загубени при разделянето на нечетно число наполовина, трябва да се добавят към резултата от последното умножение, за да се получи произведението.
Руският метод на умножение е едновременно елегантен и екстравагантен ;-)

§ Логически пъзелО Змея Горинич и известни руски героина зелената страница „Кой от героите победи змията Горинич?“
решаване на логически проблеми с помощта на логическа алгебра
За тези, които обичат да учат!За тези, които са щастливи гимнастика за ума ;-)
§ Решаване на логически задачи по табличен метод

Да продължим разговора :-)

Китайски??? Чертежен метод на умножение

Синът ми ме запозна с този метод на умножение, като ми предостави няколко листа от тетрадка с готови решения под формата на сложни рисунки. Процесът на дешифриране на алгоритъма започна да кипи чертежен начин на умножение :-)За по-голяма яснота реших да прибягна до помощта на цветни моливи и...ледът беше разчупен господа жури :-)
Предлагам на вашето внимание три примера в цветни снимки (в горния десен ъгъл чек пост).

Пример #1: 12 × 321 = 3852
Да рисуваме първо числоотгоре надолу, отляво надясно: една зелена пръчка ( 1 ); две портокалови пръчки ( 2 ). 12 нарисува :-)
Да рисуваме второ числоотдолу нагоре, отляво надясно: три малки сини пръчици ( 3 ); две червени ( 2 ); един люляк един ( 1 ). 321 нарисува :-)

Сега, използвайки обикновен молив, ще преминем през чертежа, ще разделим пресечните точки на числата на пръчките на части и ще започнем да броим точките. Придвижване от дясно на ляво (по часовниковата стрелка): 2 , 5 , 8 , 3 . Номер на резултатаще „съберем“ отляво надясно (обратно на часовниковата стрелка) и... готово, получихме 3852 :-)

Пример #2: 24 × 34 = 816
В този пример има нюанси;-) При преброяването на точките в първата част се оказа 16 . Изпращаме една и я добавяме към точките на втората част ( 20 + 1 )…

Пример #3: 215 × 741 = 159315
Без коментари:-)

Първоначално ми се стори някак претенциозно, но в същото време интригуващо и изненадващо хармонично. В петия пример се хванах, че си мисля, че умножението започва да се развива :-) и работи в режим на автопилот: рисуване, броене на точки, Не помним таблицата за умножение, все едно изобщо не я знаем :-)))

Честно казано, при проверка рисуване метод на умножениеи се обърнах към умножението по колони и повече от веднъж или два пъти, за мой срам, забелязах известно забавяне, което показва, че таблицата ми за умножение е ръждясала на някои места: - (и не бива да го забравяте. Когато работите с по-„сериозни“ числа рисуване метод на умножениестана твърде обемист и умножение по колонабеше радост.

Таблица за умножение(скица на гърба на тетрадката)

P.S.: Слава и хвала на родната съветска колона!
По отношение на конструкцията методът е непретенциозен и компактен, много бърз, Тренира паметта ви - не ви позволява да забравите таблицата за умножение :-)И затова силно препоръчвам вие и себе си, ако е възможно, да забравите за калкулаторите на телефони и компютри ;-) и периодично да се отдадете на умножение. В противен случай сюжетът от филма „Възходът на машините” ще се развива не на киноекрана, а в нашата кухня или поляната до къщата ни...
Три пъти през лявото рамо..., да чукна на дърво... :-))) ...и най-важното Не забравяйте за умствената гимнастика!

За любопитните: Умножениеобозначено с [×] или [·]
Знакът [×] е въведен от английски математик Уилям Оутредпрез 1631г.
Знакът [ · ] е въведен от немски учен Готфрид Вилхелм Лайбницпрез 1698 г.
IN буквено обозначениетези признаци се пропускат и вместо а × bили а · bпишете аб.

Към касичката на уеб администратора: Някои математически символи в HTML

Минчева Анна, ученичка от 6 клас на СОУ № 37 на МАОУ, Улан-Уде

Постоянното използване на съвременни компютърни технологии води до факта, че учениците трудно могат да правят изчисления, без да разполагат с таблици или изчислителна машина. Уместност на тематаИзследването е, че познаването на опростени техники за изчисление дава възможност не само за бързо извършване на прости изчисления в ума, но и за контрол, оценка, намиране и коригиране на грешки в резултат на механизирани изчисления. В допълнение, овладяването на изчислителните умения развива паметта, повишава нивото на математическата култура на мислене и помага за пълното овладяване на предметите от физико-математическия цикъл.

Изтегли:

Преглед:

МАОУ "Средно училище № 37"

Научно-практическа конференция „Обикновено чудо“

Раздел: Аритметика

„Различни методи на умножение: от древността до нашето време“

Изпълнено:

Минчева Анна,

Ученик в 6 клас

Ръководител:

Конева Галина Михайловна,

учител по математика,

„Превъзходство в образованието на Руската федерация“

Победител в конкурса за най-добри учители на Русия (2009 г.)

Улан-Уде

2017

Преглед.

Смятам, че студентът се справи чудесно и този доклад ще бъде интересен за студенти, интересуващи се от математика и бъдещи икономисти.

Учител от най-висока категория: Конева Г.М.

Планирайте.

1. Въведение

2. Основна част. Начини за умножение на естествени числа

2.1. Приемане на кръстосано умножение при работа с двуцифрени числа

2.2. Умножение по метода „Ревност или решетъчно умножение“.

2.3. Умножение по метода „Малък замък“.

2.4. Селски метод на умножение

2.5. Индийски начин на умножение

2.6.Геометричен метод на умножение

2.7.Оригиналния начин да умножите по 9 на пръстите си

2.8. Метод на Оконешников

3. Заключение

„Математиката е толкова сериозна,
какво е полезно да не пропускате възможности да правите
малко е забавно." Б. Паскал

1. Въведение.

Невъзможно е човек да се справи без изчисления в ежедневието. Следователно в уроците по математика ни учат да извършваме операции с числа, тоест да броим. Ние умножаваме, делим, събираме и изваждаме по обичайните начини, които се изучават в училище.

В един от уроците учителят по математика показа как можете да умножите например числото 23 по 11. За да направите това, трябва мислено да раздалечите числата 2 и 3 и на това място да поставите числото 5, което е сборът от числата 2 и 3. Резултатът беше числото 253. Станах Чудя се дали има други методи за изчисление. В крайна сметка способността за бързо извършване на изчисления е откровено изненадваща.

Постоянното използване на съвременни компютърни технологии води до факта, че учениците трудно могат да правят изчисления, без да разполагат с таблици или изчислителна машина.Уместност на тематаИзследването е, че познаването на опростени техники за изчисление дава възможност не само за бързо извършване на прости изчисления в ума, но и за контрол, оценка, намиране и коригиране на грешки в резултат на механизирани изчисления. В допълнение, овладяването на изчислителните умения развива паметта, повишава нивото на математическата култура на мислене и помага за пълното овладяване на предметите от физико-математическия цикъл.

Цел на работата:

Разгледайте и научете необичайни начини за умножение.

Цели на изследването:

1. Намерете колкото се може повече необичайни методи за изчисление.

2. Научете се да ги прилагате.

3. Изберете за себе си най-интересните или по-лесни от предлаганите в училище и ги използвайте при броенето.

4.Научете съучениците си на различни методи за умножение, организирайте състезание - математическа битка в извънкласни дейности.

Изследователски методи:

Метод за търсене с помощта на научни и учебна литература, Интернет;

Изследователски метод при определяне на методи за умножение;

Практически метод за решаване на примери.

II. Из историята на изчислителната практика

Методите за изчисление, които използваме сега, не винаги са били толкова прости и удобни. В старите времена са били използвани по-тромави и по-бавни техники. И ако един ученик от 21-ви век можеше да се върне пет века назад, той би удивил нашите предци с бързината и точността на изчисленията си.

Операциите умножение и деление са били особено трудни в старите времена. Тогава нямаше един метод, разработен от практиката за всяко действие. Напротив, имаше почти дузина различни методи за умножение и деление, използвани едновременно - техники, една от друга по-сложни, които човек със средни способности не можеше да запомни. Всеки учител по броене се придържаше към любимата си техника, всеки „майстор на деленето“ хвалеше собствения си начин за извършване на тази операция.

В книгата на В. Белустин „Как хората постепенно стигнаха до истинската аритметика“ са очертани 27 метода на умножение и авторът отбелязва: „много е възможно да има други методи, скрити в нишите на книгохранилищата, разпръснати в многобройни, главно ръкописни колекции.”

И всички тези методи на умножение - „шах или орган“, „сгъване“, „кръст“, „решетка“, „отзад напред“, „диамант“ и други се състезаваха помежду си и бяха научени с голяма трудност.

Започнах да изучавам и проучвам някои от тези методи и избрах най-интересните.

III. Различни начини за умножение.

3.1.Метод на кръстосано умножение при работа с двуцифрени числа

Древните гърци и индусите в древността са наричали техниката на кръстосано умножение „метод на мълния“ или „умножение с кръст“.

Пример: 52 x 23 = 1173 5 1

Последователно извършваме следните действия:

1. 1 x 3 = 3 е последната цифра от резултата.

2. 5 x 3 = 15; 1x 2 = 2; 15 + 2 = 17.

7 е предпоследната цифра в отговора, запомнете едно.

3. 5 x 2 = 10, 10 + 1 = 11 са първите числа в отговора.

Отговор: 1173.

3.2. Древният метод на Лука Пачоли: „Ревност, или решетъчно умножение“

През хилядолетията на развитие на математиката са изобретени много методи за умножение. Освен таблиците за умножение, всички те са тромави, сложни и трудни за запомняне. Смятало се, че овладяването на изкуството на бързото умножение изисква специален природен талант. На обикновените хораЗа тези, които нямат особена математическа дарба, това изкуство е недостъпно.

Нека умножим числото 987 по числото 1998.

Начертайте правоъгълник, разделете го на квадрати, разделете квадратите по диагонал. Резултатът е картина, подобна на решетъчните щори на венецианските къщи. От тук идва и името на метода.

Най-отгоре в таблицата записваме числото 987, а отляво, отдолу нагоре, 1998 (фиг. 1).

Във всеки квадрат въвеждаме произведението на числата, разположени в един ред и една колона с този квадрат. Десетките са разположени в долния триъгълник, а единиците са разположени в горния триъгълник. Числата се събират по всеки диагонал. Резултатите се изписват отдясно и отляво на таблицата .

Ориз. 1 „Ревност, или решетъчно умножение.“

Отговор: 1972026.

3.3. Друг метод от Лука Пачоли: „Малък замък“

Едното число се записва под другото, както при умножение в колона (фиг. 2). След това цифрите на горното число се умножават една по една по долното число, като се започне с най-високата цифра и всеки път се добавя необходимия брой нули.

Получените числа се сумират.

Ориз. 2 "Малкият замък"

Отговор: 1972026.

Заключение:

Нека сравним резултатите, получени чрез умножаване на числата 987 и 1998, използвайки тези два метода. Отговорите са 1972026.

Очевидно тези древни методи на умножение наистина са много сложни и изискват познаване на таблицата за умножение.

3.4. Руски селски метод на умножение

В Русия сред селяните беше разпространен метод, който не изискваше познаване на цялата таблица за умножение. Всичко, от което се нуждаете, е способността да умножавате и делите числа на 2.

Да напишем едно число отляво и друго отдясно на един ред (фиг. 3). Ще разделим лявото число на 2, ще умножим дясното число по 2 и ще запишем резултатите в колона.

Ако по време на деленето възникне остатък, той се изхвърля. Умножението и делението с 2 продължават, докато остане 1 отляво.

След това задраскваме онези редове от колоната, в които вляво има четни числа. Сега съберете останалите числа в дясната колона.

Ориз. 3 „Руски селски начин“

Отговор: 1972026.

Заключение: Този метод на умножение е много по-прост от предишните обсъдени методи на умножение от Лука Пачиоли. Но е и много обемист.

3.5. Индийски начин на умножение

Най-ценният принос в съкровищницата на математическите знания е направен в Индия. Индусите предложиха метода, който използваме за записване на числа с помощта на десет знака: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основата на този метод е идеята, че една и съща цифра представлява единици, десетки, стотици или хиляди, в зависимост от това къде заема цифрата. Заеманото място, при липса на цифри, се определя от нулите, присвоени на числата.

Индианците били страхотни в броенето. Те измислиха много прост начин за умножение. Те извършиха умножение, започвайки от най-значимата цифра, и записаха непълни продукти точно над умножаващото, малко по малко. В този случай най-значимата цифра от пълния продукт беше незабавно видима и в допълнение пропускът на всяка цифра беше елиминиран. Знакът за умножение все още не беше известен, така че оставиха малко разстояние между множителите. Например, нека ги умножим по метода 537 по 6:

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222. Отговор: 3222

3.6. Геометричен метод на умножение

Този метод използва геометрична фигура- кръг.

Нека първо разгледаме този метод с пример. Да умножим например числото 13 по 24.

1) Начертайте кръгове. Тъй като първият фактор е двуцифрено число, тогава има два реда; вторият фактор също е двуцифрено число, тогава има две колони. Така че броят на десетиците в първия фактор е 1, след това в първия ред рисуваме кръг по кръг, тоест не променяме нищо. Тъй като броят на единиците на първия фактор е 3, тогава във втория ред рисуваме три кръга. (фиг. 4).

Ориз. 4

2) Вторият фактор е числото 24, тогава кръговете, които са в първата колона, са разделени на две части, а кръговете, които са във втората колона, са разделени на четири части

(фиг. 5).

Ориз. 5

3) Начертайте прави линии и пребройте точки (фиг. 6).

Ориз. 6 Фиг. 7

Отговорът е написан по следния начин (фиг. 7), погледнете отдолу нагоре, броят на точките е 12, 2 е последната цифра на резултата, една в ума, броят на точките във втората област е 10 и +1, след това 11, 1 е написано и едно на ум, броят на точките в третата област 2 и +1, общо 3. Отговор: 312.

Реших много примери по този начин. След това обобщих конкретни примери инаправи заключение - правило:

1. Начертайте кръгове. Броят на цифрите в първия множител означава броя на редовете, а броят на цифрите във втория множител означава броя на колоните.

Ако числото съдържа 0, нарисувайте кръг, обозначаващ нула с пунктирана линия. Това е въображаема линия; на нея няма точки.

2. Първата цифра на първия множител означава броя на концентричните кръгове в първия ред, втората цифра на първия множител означава броя на кръговете във втория ред

3. Числата на втория множител означават на колко части трябва да се разделят кръговете: първото число е за първата колона, второто число е за втората и т.н.

4. Получаваме кръгове, разделени на части. Във всяка част поставяме точка.

6. Записваме отговора според принципа, разгледан в примера.

3.6. Оригинален начин да умножите по 9 на пръстите си

Умножение за числото 9- 9·1, 9·2 ... 9·10 - по-лесно се забравя от паметта и е по-трудно да се преизчисли ръчно чрез метода на добавяне, но специално за числото 9 умножението лесно се възпроизвежда „на пръсти“. Разтворете пръстите на двете си ръце и завъртете ръцете си с длани, обърнати от вас. Мислено задайте числа от 1 до 10 на пръстите си, като започнете с малкия пръст на лявата си ръка и завършите с малкия пръст на дясната си ръка (това е показано на фигурата).

Да кажем, че искаме да умножим 9 по 6. Огъваме пръста с число, равно на числото, по което ще умножим девет. В нашия пример трябва да огънем пръста с номер 6. Броят на пръстите вляво от свития пръст ни показва броя на десетиците в отговора, броят на пръстите вдясно показва броя на единиците. Отляво имаме 5 несвити пръста, отдясно - 4 пръста. Така 9·6=54. Фигурата по-долу показва подробно целия принцип на „изчисление“.

3.7.Модерен метод Оконешников

интересно нов метод на умножение, за който наскоро беше съобщено. Изобретателят на новата система за умствено броене, кандидатът на философските науки Василий Оконешников, твърди, че човек е в състояние да запомни огромно количество информация, основното е как да подреди тази информация. Според самия учен най-изгодна в това отношение е деветкратната система - всички данни просто се поставят в девет клетки, разположени като бутони на калкулатор.

Много е лесно да се изчисли с помощта на такава таблица. Например, нека умножим числото 15647 по 5. В частта от таблицата, съответстваща на пет, изберете числата, съответстващи на цифрите на числото в ред: едно, пет, шест, четири и седем. Получаваме: 05 25 30 20 35

Оставяме лявата цифра (нула в нашия пример) непроменена и събираме следните числа по двойки: пет с две, пет с тройка, нула с две, нула с тройка. Последната цифра също е непроменена.

В резултат на това получаваме: 078235. Числото 78235 е резултат от умножение.

Ако при добавяне на две цифри се получи число, по-голямо от девет, тогава първата му цифра се добавя към предишната цифра на резултата, а втората се записва на нейното „собствено“ място.

III. Заключение.

От всички необичайни методи за броене, които открих, методът „решетъчно умножение или ревност“ изглеждаше по-интересен. Показах го на мои съученици и те много го харесаха.

Най-простият метод ми се стори „удвояване и разделяне“, който се използва от руските селяни. Използвам го, когато умножавам не твърде големи числа (много е удобно да го използвам, когато умножавам двуцифрени числа).

Интересувах се от новия метод на умножение, защото ми позволява да „разхвърлям“ огромни числа в ума си.

Мисля, че нашият метод за умножение по колона не е съвършен и можем да измислим още по-бързи и надеждни методи.

Литература.

Литература.

Депман И. „Истории за математика“. – Ленинград: Образование, 1954. – 140 с.

Корнеев А.А. Феноменът на руското умножение. История. http://numbernautics.ru/

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. „Стари забавни проблеми“. – М.: Наука. Главна редакция на физико-математическата литература, 1985. – 160 с.

Перелман Я.И. Бързо броене. Тридесет прости техники за мислено броене. Л., 1941 г. - 12 с.

Перелман Я.И. Интересна аритметика. М. Русанова, 1994-205 с.

Енциклопедия „Изследвам света. Математика“. – М.: Астрел Ермак, 2004.

Енциклопедия за деца. „Математика“. – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.

втори начин на умножение:

В Русия селяните не използваха таблици за умножение, но перфектно изчисляваха произведението на многоцифрени числа.

В Русия, започвайки от древни времена и почти до осемнадесетивекове руските хора в своите изчисления са правили без умножение иразделение. Те са използвали само две аритметични действия - събиране иизваждане. Освен това, така наречените „удвояване“ и „бифуркация“. Нонуждите на търговията и други дейности изискват производствотоумножение на доста големи числа, както двуцифрени, така и трицифрени.За тази цел имаше специален начин за умножаване на такива числа.

Същността на стария руски метод на умножение е товаумножението на произволни две числа беше сведено до поредица от последователни деленияедно число наполовина (последователна бифуркация) с едновременноудвояване на друго число.

Например, ако в произведението 24 ∙ 5 множителят 24 се намали с двепъти (double), а умноженото се удвоява (double), т.е. предприемепродуктът е 12 ∙ 10, тогава продуктът остава равен на числото 120. Тованашите далечни предци са забелязали качеството на работата и са се научилиприлагайте го, когато умножавате числа на вашия специален стар руски езикначин на умножение.

Нека умножим по този начин 32 ∙ 17..
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 Отговор: 32 ∙ 17 = 544.

В анализирания пример се получава разделяне на две - "бифуркация".без следа. Но какво ще стане, ако множителят не се дели на две без остатък? Итова изглеждаше във възможностите на древните калкулатори. В този случай направихме следното:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Отговор: 357.

От примера става ясно, че ако умноженото не се дели на две, то от негопърво извадихме едно, след това удвоихме получения резултат” и т.н5 остават. След това всички редове с четни множители бяха задраскани (2-ри, 4-ти,6-ти и т.н.), и всички десни части от останалите редове бяха добавени и полученижеланата работа.

Как са разсъждавали древните калкулатори, обосновавайки своя метод?изчисления? Ето как: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Числото 17 се помни, а продуктът 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (раздвояваме -двойно) и го запишете. Продукт 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (раздвояваме –двойно) и задраскайте допълнителния продукт 10∙34. От 5 * 34= 4 ∙ 68 + 68, тогава се запомня числото 68, т.е. третият ред не е зачеркнат, но4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (удвояваме - удвояваме), с четвъртияредът, съдържащ, така да се каже, допълнителен продукт 2 ∙ 136, е зачеркнат ичислото 272 се помни. Така се оказва, че за да умножим 21 по 17,трябва да съберете числата 17, 68 и 272 - това са точно равни части от редоветеа именно с нечетни множители.
Руският метод на умножение е едновременно елегантен и екстравагантен

Предлагам на вашето внимание три примера в цветни снимки (в горния десен ъгъл чек пост).

Пример #1: 12 × 321 = 3852
Да рисуваме първо числоотгоре надолу, отляво надясно: една зелена пръчка ( 1 ); две портокалови пръчки ( 2 ). 12 нарисува.
Да рисуваме второ числоотдолу нагоре, отляво надясно: три малки сини пръчици ( 3 ); две червени ( 2 ); един люляк един ( 1 ). 321 нарисува.

Сега, използвайки обикновен молив, ще преминем през чертежа, ще разделим пресечните точки на числата на пръчките на части и ще започнем да броим точките. Придвижване от дясно на ляво (по часовниковата стрелка): 2 , 5 , 8 , 3 . Номер на резултатаще „съберем“ отляво надясно (обратно на часовниковата стрелка) и... готово, получихме 3852

Пример #2: 24 × 34 = 816
В този пример има нюанси. При броенето на точките в първата част се получи 16 . Изпращаме една и я добавяме към точките на втората част ( 20 + 1 )…

Пример #3: 215 × 741 = 159315
Без коментари

Първоначално ми се стори някак претенциозно, но в същото време интригуващо и изненадващо хармонично. В петия пример се хванах на мисълта, че умножението започва да работи в режим на автопилот: рисуване, броене на точки, Не помним таблицата за умножение, сякаш изобщо не я знаем.

Честно казано, при проверка рисуване метод на умножениеи обръщайки се към умножението по колони, повече от веднъж или два пъти, за мой срам, забелязах известно забавяне, което показва, че таблицата ми за умножение е ръждясала на някои места и не бива да я забравям. При работа с по-сериозни числа рисуване метод на умножениестана твърде обемист и умножение по колонабеше радост.

P.S.: Слава и хвала на родната рубрика!
По отношение на конструкцията методът е непретенциозен и компактен, много бърз, Той тренира паметта ви и ви предпазва от забравяне на таблицата за умножение.

И затова силно препоръчвам вие и себе си, ако е възможно, да забравите за калкулаторите на телефони и компютри; и периодично се поглезете с умножение по колона. В противен случай сюжетът от филма „Възходът на машините” ще се развива не на киноекрана, а в нашата кухня или поляната до къщата ни...


Три пъти през лявото рамо..., да чукна на дърво... ...и най-важното Не забравяйте за умствената гимнастика!

НАУЧАНЕ НА ТАБЛИЦАТА ЗА УМНОЖЕНИЕ!!!