Разглежданото свойство на дискретни разпределения създава значителни трудности при таблично изготвяне и използване на такива разпределения, тъй като е невъзможно да се поддържат точно типичните числени стойности на характеристиките на разпределението. По-специално, това е вярно за критичните стойности и нивата на значимост на непараметричните статистически тестове (вижте по-долу), тъй като разпределенията на статистиките на тези тестове са дискретни.

Квантилният ред е от голямо значение в статистиката Р= S. Нарича се медиана (случайна променлива хили неговите разпределителни функции F(x))и е обозначен Аз (X).В геометрията има понятието "медиана" - права линия, минаваща през върха на триъгълник и разделяща противоположната му страна наполовина. В математическата статистика медианата дели наполовина не страната на триъгълника, а разпределението на случайна променлива: равенство F(x 0,5)= 0,5 означава, че вероятността да стигнете наляво х 0,5и вероятността да стигнете надясно х 0,5(или директно към х 0,5) са равни помежду си и са равни на S, т.е.

П(х < х 0,5) = П(х > х 0,5) = S.

Медианата показва "центъра" на разпределението. От гледна точка на една от съвременните концепции - теорията за устойчивите статистически процедури - медианата е по-добра характеристика на случайна величина от математическото очакване. Когато се обработват резултатите от измерването по порядъчна скала (вижте главата за теорията на измерването), медианата може да се използва, но математическото очакване не може.

Характеристика на случайна променлива като режим има ясно значение - стойността (или стойностите) на случайна променлива, съответстващи на локалния максимум на плътността на вероятността за непрекъсната случайна променлива или локалния максимум на вероятността за дискретна случайна променлива .

Ако х 0– режим на случайна величина с плътност f(x),тогава, както е известно от диференциалното смятане, .

Една случайна променлива може да има много режими. И така, за равномерно разпределение (1) всяка точка хтакова, че а< x < b , е мода. Това обаче е изключение. Повечето случайни променливи, използвани във вероятностните статистически методи за вземане на решения и други приложни изследвания, имат един режим. Случайни величини, плътности, разпределения, които имат един режим, се наричат ​​унимодални.

Математическото очакване за дискретни случайни променливи с краен брой стойности е разгледано в главата „Събития и вероятности“. За непрекъсната случайна променлива хочаквана стойност M(X)удовлетворява равенството

което е аналог на формула (5) от твърдение 2 на глава “Събития и вероятности”.

Пример 5.Очакване за равномерно разпределена случайна променлива хравно на

За случайните променливи, разгледани в тази глава, всички онези свойства на математическите очаквания и дисперсии, които бяха разгледани по-рано за дискретни случайни променливи с краен брой стойности, са верни. Ние обаче не предоставяме доказателства за тези свойства, тъй като те изискват задълбочаване в математическите тънкости, което не е необходимо за разбиране и квалифицирано прилагане на вероятностно-статистически методи за вземане на решения.

Коментирайте.В този учебник съзнателно се избягват математическите тънкости, свързани по-специално с концепциите за измерими множества и измерими функции, алгебра на събитията и др. Тези, които желаят да овладеят тези понятия, трябва да се обърнат към специализирана литература, по-специално към енциклопедията.

Всяка от трите характеристики – математическо очакване, медиана, мода – описва „центъра“ на вероятностното разпределение. Понятието „център“ може да се дефинира по различни начини – оттук и три различни характеристики. Въпреки това, за един важен клас разпределения - симетрични унимодални - и трите характеристики съвпадат.

Плътност на разпространение f(x)– плътност на симетрично разпределение, ако има число х 0такова, че

. (3)

Равенство (3) означава, че графиката на функцията y = f(x)симетричен спрямо вертикална линия, минаваща през центъра на симетрия х = х 0 . От (3) следва, че симетричната функция на разпределение удовлетворява съотношението

(4)

За симетрично разпределение с един режим математическото очакване, медианата и модата съвпадат и са равни х 0.

Най-важният случай е симетрия около 0, т.е. х 0= 0. Тогава (3) и (4) стават равенства

(6)

съответно. Горните отношения показват, че няма нужда да се представят в таблица симетрични разпределения за всички х, достатъчно е да има маси на х > х 0.

Нека отбележим още едно свойство на симетричните разпределения, което постоянно се използва във вероятностно-статистическите методи за вземане на решения и други приложни изследвания. За непрекъсната функция на разпределение

P(|X| < a) = P(-a < х < а) = F(a) – F(-a),

Където Е– функция на разпределение на случайна величина х. Ако функцията на разпределение Ее симетричен около 0, т.е. тогава за него е валидна формула (6).

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Често се използва и друга формулировка на въпросното твърдение: ако

.

Ако и са квантили от ред и съответно (виж (2)) на функция на разпределение, симетрична около 0, тогава от (6) следва, че

От характеристиките на позицията - математическо очакване, медиана, мода - да преминем към характеристиките на разпространението на случайната променлива х: дисперсия, стандартно отклонение и коефициент на вариация v. Дефиницията и свойствата на дисперсията за дискретни случайни променливи бяха обсъдени в предишната глава. За непрекъснати случайни променливи

Стандартното отклонение е неотрицателната стойност на корен квадратен от дисперсията:

Коефициентът на вариация е отношението на стандартното отклонение към математическото очакване:

Коефициентът на вариация се прилага, когато M(X)> 0. Той измерва разпространението в относителни единици, докато стандартното отклонение е в абсолютни единици.

Пример 6.За равномерно разпределена случайна променлива хНека намерим дисперсията, стандартното отклонение и коефициента на вариация. Разликата е:

Промяната на променливата прави възможно записването:

Където ° С = (b – а)/ 2. Следователно стандартното отклонение е равно на и коефициентът на вариация е:

За всяка случайна променлива хопределете още три величини - центрирани Y, нормализиран Vи дадено U. Центрирана случайна променлива Yе разликата между дадена случайна променлива хи неговото математическо очакване M(X),тези. Y = X – M(X).Очакване на центрирана случайна променлива Yе равно на 0, а дисперсията е дисперсията на дадена случайна променлива: М(Y) = 0, д(Y) = д(х). Разпределителна функция F Y(х) центрирана случайна променлива Yсвързани с разпределителната функция Е(х) оригинална случайна променлива хсъотношение:

F Y(х) = Е(х + М(х)).

Плътностите на тези случайни променливи удовлетворяват равенството

f Y(х) = f(х + М(х)).

Нормализирана случайна променлива Vе отношението на дадена случайна променлива хдо неговото стандартно отклонение, т.е. . Очакване и дисперсия на нормализирана случайна променлива Vизразени чрез характеристики хТака:

,

Където v– коефициент на вариация на първоначалната случайна променлива х. За разпределителната функция F V(х) и плътност е V(х) нормализирана случайна променлива Vние имаме:

Където Е(х) – функция на разпределение на оригиналната случайна променлива х, А f(х) – неговата плътност на вероятността.

Намалена случайна променлива Uе центрирана и нормализирана случайна променлива:

.

За дадената случайна променлива

Нормализирани, центрирани и редуцирани случайни променливи постоянно се използват както в теоретични изследвания, така и в алгоритми, софтуерни продукти, нормативна, техническа и инструктивна документация. По-специално, защото равенствата правят възможно опростяването на обосновката на методите, формулирането на теореми и формули за изчисление.

Използват се трансформации на случайни величини и по-общи такива. Така че, ако Y = aX + b, Където аИ b– тогава малко числа

Пример 7.Ако тогава Yе редуцирана случайна променлива и формули (8) се трансформират във формули (7).

С всяка случайна променлива хможете да свържете много случайни променливи Y, дадено по формулата Y = aX + bпри различни а> 0 и b. Този набор се нарича семейство с изместване на мащаба, генерирани от случайната променлива х. Функции на разпределение F Y(х) съставляват семейство от разпределения с изместване на мащаба, генерирани от функцията на разпределение Е(х). Вместо Y = aX + bчесто използвайте запис

Номер ссе нарича параметър на смяна, а числото д- параметър на мащаба. Формула (9) показва това х– резултатът от измерването на определена величина – влиза в U– резултатът от измерването на същото количество, ако началото на измерването се премести към точката си след това използвайте новата мерна единица, in дпъти по-голям от стария.

За фамилията мащабно изместване (9) разпределението на X се нарича стандартно. Във вероятностните статистически методи за вземане на решения и други приложни изследвания се използват стандартното нормално разпределение, стандартното разпределение на Weibull-Gnedenko, стандартното гама разпределение и др. (виж по-долу).

Използват се и други трансформации на случайни променливи. Например за положителна случайна променлива хобмислят Y= дневник х, където lg х– десетичен логаритъм на число х. Верига от равенства

F Y (x) = P( lg х< x) = P(X < 10x) = F( 10х)

свързва разпределителните функции хИ Y.

При обработката на данни се използват следните характеристики на случайна променлива хкато моменти на ред р, т.е. математически очаквания на случайна променлива Xq, р= 1, 2, ... Следователно самото математическо очакване е момент от ред 1. За дискретна случайна променлива моментът от ред рможе да се изчисли като

За непрекъсната случайна променлива

Моменти на ред рнаричани още начални моменти на ред р, за разлика от свързани характеристики - централни моменти на ред р, дадено от формулата

И така, дисперсията е централен момент от ред 2.

Нормално разпределение и централна гранична теорема.При вероятностно-статистическите методи за вземане на решения често говорим за нормално разпределение. Понякога се опитват да го използват за моделиране на разпределението на първоначалните данни (тези опити не винаги са оправдани - вижте по-долу). По-важното е, че много методи за обработка на данни се основават на факта, че изчислените стойности имат разпределения, близки до нормалните.

Позволявам х 1 , х 2 ,…, Xn М(X i) = ми вариации д(X i) = , аз= 1, 2,…, н,... Както следва от резултатите от предишната глава,

Помислете за намалената случайна променлива U nза сумата , а именно

Както следва от формули (7), М(U n) = 0, д(U n) = 1.

(за еднакво разпределени термини). Позволявам х 1 , х 2 ,…, Xn, … – независими еднакво разпределени случайни променливи с математически очаквания М(X i) = ми вариации д(X i) = , аз= 1, 2,…, н,... Тогава за всяко x има ограничение

Където F(x)– функция на стандартно нормално разпределение.

Повече за функцията F(x) –по-долу (прочетете „fi от x“, защото Е- главна гръцка буква "фи").

Централната гранична теорема (CLT) получава името си, защото е централният, най-често използван математически резултат от теорията на вероятностите и математическата статистика. Историята на CLT отнема около 200 години - от 1730 г., когато английският математик A. Moivre (1667-1754) публикува първия резултат, свързан с CLT (вижте по-долу за теоремата на Moivre-Laplace), до двадесетте и тридесетте години на н. двадесети век, когато Фин Дж. Линдеберг, французинът Пол Леви (1886-1971), югославян В. Фелер (1906-1970), руснакът А.Я. Хинчин (1894-1959) и други учени получават необходимите и достатъчни условия за валидността на класическата централна гранична теорема.

Развитието на разглежданата тема не спря дотук - те изучаваха случайни променливи, които нямат дисперсия, т.е. тези, за които

(акад. Б. В. Гнеденко и др.), ситуация, когато се сумират случайни променливи (по-точно случайни елементи) с по-сложен характер от числата (акад. Ю. В. Прохоров, А. А. Боровков и техните сътрудници) и др.

Разпределителна функция F(x)се дава от равенството

,

където е плътността на стандартното нормално разпределение, което има доста сложен израз:

.

Тук =3,1415925... е число, известно в геометрията, равно на отношението на обиколката към диаметъра, д= 2,718281828... - основата на естествените логаритми (за да запомните това число, моля, имайте предвид, че 1828 е годината на раждане на писателя Л.Н. Толстой). Както е известно от математическия анализ,

При обработката на резултатите от наблюдението функцията на нормалното разпределение не се изчислява по дадените формули, а се намира с помощта на специални таблици или компютърни програми. Най-добрите „Таблици на математическата статистика“ на руски език са съставени от членове-кореспонденти на Академията на науките на СССР Л.Н. Болшев и Н. В. Смирнов.

Формата на плътността на стандартното нормално разпределение следва от математическата теория, която не можем да разгледаме тук, както и доказателството на CLT.

За илюстрация предоставяме малки таблици на функцията на разпределение F(x)(Таблица 2) и неговите квантили (Таблица 3). функция F(x)симетричен около 0, което е отразено в таблица 2-3.

Таблица 2.

Стандартна функция за нормално разпределение.

Ако случайната променлива хима разпределителна функция F(x),Че M(X) = 0, д(х) = 1. Това твърдение е доказано в теорията на вероятностите въз основа на формата на плътността на вероятностите. Това е в съответствие с подобно твърдение за характеристиките на намалената случайна променлива U n, което е съвсем естествено, тъй като CLT гласи, че при неограничено увеличаване на броя на термините функцията на разпределение U nклони към стандартната нормална функция на разпределение F(x),и за всякакви х.

Таблица 3.

Квантили на стандартното нормално разпределение.

Нека въведем концепцията за семейство от нормални разпределения. По дефиниция нормалното разпределение е разпределението на случайна променлива х, за които разпределението на редуцираната случайна променлива е F(x).Както следва от общите свойства на семействата разпределения с мащабно изместване (виж по-горе), нормалното разпределение е разпределение на случайна променлива

Където х– случайна величина с разпределение F(X),и м = М(Y), = д(Y). Нормално разпределение с параметри на смяна ми мащабът обикновено се посочва н(м, ) (понякога се използва нотацията н(м, ) ).

Както следва от (8), плътността на вероятността на нормалното разпределение н(м, ) Има

Нормалните разпределения образуват семейство с изместване на мащаба. В този случай параметърът на мащаба е д= 1/ и параметъра за смяна ° С = - м/ .

За централните моменти от трети и четвърти ред на нормалното разпределение са валидни следните равенства:

Тези равенства формират основата на класическите методи за проверка, че наблюденията следват нормално разпределение. В наши дни обикновено се препоръчва да се тества нормалността с помощта на критерия УШапиро - Вилка. Проблемът с тестването за нормалност е разгледан по-долу.

Ако случайни променливи X 1И X 2имат разпределителни функции н(м 1 , 1 ) И н(м 2 , 2 ) съответно тогава X 1+ X 2има разпределение Следователно, ако случайни променливи х 1 , х 2 ,…, Xn н(м, ) , тогава тяхното средно аритметично

има разпределение н(м, ) . Тези свойства на нормалното разпределение се използват постоянно в различни вероятностни и статистически методи за вземане на решения, по-специално в статистическото регулиране на технологичните процеси и в статистическия приемен контрол въз основа на количествени критерии.

С помощта на нормалното разпределение се дефинират три разпределения, които сега често се използват в статистическата обработка на данни.

Разпределение (хи - квадрат) – разпределение на случайна променлива

къде са случайните променливи х 1 , х 2 ,…, Xnнезависими и имат еднакво разпределение н(0,1). В този случай броят на термините, т.е. н, се нарича „брой степени на свобода“ на разпределението хи-квадрат.

Разпределение T t на Стюдънт е разпределението на случайна променлива

къде са случайните променливи UИ хнезависим, Uима стандартно нормално разпределение н(0,1) и х– чи разпределение – квадрат c нстепени на свобода. При което нсе нарича „брой степени на свобода“ на разпределението на Стюдънт. Това разпределение е въведено през 1908 г. от английския статистик У. Госет, който работи във фабрика за бира. В тази фабрика са използвани вероятностни и статистически методи за вземане на икономически и технически решения, така че нейното ръководство забранява на В. Госет да публикува научни статии под собственото си име. По този начин бяха защитени търговски тайни и „ноу-хау“ под формата на вероятностни и статистически методи, разработени от V. Gosset. Той обаче имаше възможност да публикува под псевдонима „Студент“. Историята на Gosset-Student показва, че още сто години мениджърите във Великобритания са били наясно с по-голямата икономическа ефективност на вероятностно-статистическите методи за вземане на решения.

Разпределението на Фишер е разпределението на случайна променлива

къде са случайните променливи X 1И X 2са независими и имат хи-квадрат разпределение с броя на степените на свобода к 1 И к 2 съответно. В същото време двойката (к 1 , к 2 ) – двойка „степени на свобода“ от разпределението на Фишер, а именно, к 1 е броят на степените на свобода на числителя, и к 2 – брой степени на свобода на знаменателя. Разпределението на случайната променлива F е кръстено на великия английски статистик Р. Фишер (1890-1962), който активно го използва в трудовете си.

Изрази за хи-квадрат, функциите на разпределение на Студент и Фишер, техните плътности и характеристики, както и таблици могат да бъдат намерени в специализираната литература (вижте например).

Както вече беше отбелязано, нормалните разпределения сега често се използват във вероятностни модели в различни приложни области. Каква е причината това двупараметрично семейство от разпределения да е толкова широко разпространено? Това се изяснява от следната теорема.

Централна гранична теорема(за различно разпределени термини). Позволявам х 1 , х 2 ,…, Xn,… - независими случайни променливи с математически очаквания М(х 1 ), M(х 2 ),…, M(х n), ... и вариации д(х 1 ), д(х 2 ),…, д(х n), ... съответно. Позволявам

След това, ако са верни определени условия, които гарантират малкия принос на който и да е от термините в U n,

за всеки х.

Тук няма да формулираме въпросните условия. Те могат да бъдат намерени в специализирана литература (вижте например). „Изясняването на условията, при които работи CPT, е заслуга на изключителните руски учени А. А. Марков (1857-1922) и по-специално на А. М. Ляпунов (1857-1918).“

Централната гранична теорема показва, че в случай, когато резултатът от измерване (наблюдение) се формира под въздействието на много причини, всяка от които има само малък принос, и общият резултат се определя адитивно, т.е. чрез добавяне, тогава разпределението на резултата от измерването (наблюдението) е близко до нормалното.

Понякога се смята, че за да бъде разпределението нормално, е достатъчно резултатът от измерването (наблюдението) хсе формира под влияние на много причини, всяка от които има малко влияние. Това е грешно. Важното е как действат тези причини. Ако е добавка, тогава хима приблизително нормално разпределение. Ако мултипликативно(т.е. действията на отделните причини се умножават и не се добавят), след това разпределението хблизки не до нормалното, а до т.нар. логаритмично нормална, т.е. Не х, а log X има приблизително нормално разпределение. Ако няма причина да се смята, че един от тези два механизма за формиране на крайния резултат работи (или някакъв друг добре дефиниран механизъм), тогава относно разпределението хнищо определено не може да се каже.

От горното следва, че в конкретен приложен проблем нормалността на резултатите от измерванията (наблюденията) като правило не може да се установи от общи съображения; трябва да се провери с помощта на статистически критерии. Или използвайте непараметрични статистически методи, които не се основават на предположения за принадлежността на функциите на разпределение на резултатите от измерване (наблюдения) към едно или друго параметрично семейство.

Непрекъснати разпределения, използвани във вероятностните и статистически методи за вземане на решения.В допълнение към фамилията нормални разпределения с мащабно изместване, широко се използват редица други фамилии разпределения - логнормални, експоненциални, Weibull-Gnedenko, гама разпределения. Нека да разгледаме тези семейства.

Случайна стойност хима логнормално разпределение, ако случайната променлива Y= дневник хима нормално разпределение. Тогава З= дневник х = 2,3026…Yсъщо има нормално разпределение н(а 1 ,σ 1), където ln х- натурален логаритъм х. Плътността на логнормалното разпределение е:

От централната гранична теорема следва, че произведението х = х 1 х 2 … Xnнезависими положителни случайни променливи X i, аз = 1, 2,…, н, на свобода нможе да се апроксимира чрез логнормално разпределение. По-конкретно, мултипликативният модел на формиране на заплатите или доходите води до препоръката разпределението на заплатите и доходите да се сближи с логаритмично нормални закони. За Русия тази препоръка се оказа оправдана - статистическите данни го потвърждават.

Има и други вероятностни модели, които водят до логнормалния закон. Класически пример за такъв модел е даден от А. Н. Колмогоров, който от физически базирана система от постулати стига до извода, че размерите на частиците при раздробяване на парчета руда, въглища и др. в топковите мелници имат логнормално разпределение.

Нека да преминем към друго семейство разпределения, широко използвани в различни вероятностно-статистически методи за вземане на решения и други приложни изследвания - семейството на експоненциалните разпределения. Нека започнем с вероятностен модел, който води до такива разпределения. За да направите това, помислете за „потока от събития“, т.е. поредица от събития, случващи се едно след друго в определени моменти от време. Примерите включват: поток на повикване в телефонна централа; поток от повреди на оборудването в технологичната верига; поток от повреди на продукта по време на тестването на продукта; поток от клиентски заявки към банковия клон; поток от купувачи, кандидатстващи за стоки и услуги и др. В теорията на потоците от събития е валидна теорема, подобна на централната гранична теорема, но не става дума за сумиране на случайни променливи, а за сумиране на потоци от събития. Ние разглеждаме общ поток, съставен от голям брой независими потоци, нито един от които няма преобладаващо влияние върху общия поток. Например потокът от повиквания, влизащ в телефонна централа, е съставен от голям брой независими потоци от повиквания, произхождащи от отделни абонати. Доказано е, че в случаите, когато характеристиките на потоците не зависят от времето, общият поток се описва напълно с едно число - интензивността на потока. За общия поток вземете предвид случайната променлива х- продължителността на интервала от време между последователни събития. Разпределителната му функция има формата

(10)

Това разпределение се нарича експоненциално разпределение, защото формула (10) включва експоненциалната функция д -λ х. Стойността 1/λ е мащабен параметър. Понякога се въвежда и параметър за смяна с, разпределението на случайна променлива се нарича експоненциално X + s, където разпределението хсе дава с формула (10).

Експоненциалните разпределения са частен случай на т.нар. Разпределения на Уейбул - Гнеденко. Те са кръстени на имената на инженера V. Weibull, който въвежда тези разпределения в практиката на анализиране на резултатите от тестовете за умора, и математика B. V. Gnedenko (1912-1995), който получава такива разпределения като граници при изследване на максимума на резултатите от теста. Позволявам х- случайна променлива, характеризираща продължителността на работа на продукт, сложна система, елемент (т.е. ресурс, време на работа до пределно състояние и т.н.), продължителност на работа на предприятие или живот на живо същество и др. Интензивността на повредата играе важна роля

(11)

Където Е(х) И f(х) - функция на разпределение и плътност на случайна величина х.

Нека опишем типичното поведение на степента на отказ. Целият интервал от време може да бъде разделен на три периода. На първия от тях функцията λ(x)има високи стойности и ясна тенденция към намаляване (най-често намалява монотонно). Това може да се обясни с наличието в партидата на въпросните продуктови единици с явни и скрити дефекти, които водят до относително бърза повреда на тези продуктови единици. Първият период се нарича „период на взлом“ (или „взлом“). Това е, което обикновено покрива гаранционният период.

След това идва период на нормална работа, характеризиращ се с приблизително постоянен и относително нисък процент на отказ. Характерът на отказите през този период е внезапен (аварии, грешки на оперативния персонал и др.) и не зависи от продължителността на работа на продуктовата единица.

И накрая, последният период на експлоатация е периодът на стареене и износване. Естеството на повредите през този период е в необратими физико-механични и химични промени в материалите, водещи до прогресивно влошаване на качеството на продуктовата единица и нейния окончателен отказ.

Всеки период има свой собствен вид функция λ(x). Нека разгледаме класа на мощностните зависимости

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

Където λ 0 > 0 и b> 0 - някои числови параметри. Стойности b < 1, b= 0 и b> 1 съответстват на вида на степента на повреда през периодите съответно на разработка, нормална работа и стареене.

Връзка (11) при дадена честота на отказ λ(x)- диференциално уравнение за функция Е(х). От теорията на диференциалните уравнения следва, че

(13)

Замествайки (12) в (13), получаваме това

(14)

Разпределението, дадено с формула (14), се нарича разпределение на Weibull - Gnedenko. Тъй като

то от формула (14) следва, че количеството А, дадено с формула (15), е мащабен параметър. Понякога се въвежда и параметър за смяна, т.е. Функциите на разпределение на Вейбул-Гнеденко се наричат Е(х - ° С), Където Е(х) се дава с формула (14) за някои λ 0 и b.

Плътността на разпределение на Уейбул-Гнеденко има формата

(16)

Където а> 0 - параметър на мащаба, b> 0 - параметър на формата, с- параметър за смяна. В този случай параметърът Аот формула (16) се свързва с параметъра λ 0 от формула (14) чрез връзката, посочена във формула (15).

Експоненциалното разпределение е много специален случай на разпределението на Weibull-Gnedenko, съответстващо на стойността на параметъра на формата b = 1.

Разпределението на Weibull-Gnedenko се използва и при конструирането на вероятностни модели на ситуации, в които поведението на даден обект се определя от „най-слабото звено“. Има аналогия с верига, чиято безопасност се определя от връзката, която има най-малка здравина. С други думи, нека х 1 , х 2 ,…, Xn- независими еднакво разпределени случайни променливи,

X (1)=мин( X 1, X 2,…, X n), X(n)=макс( X 1, X 2,…, X n).

В редица приложни проблеми те играят важна роля х(1) И х(н) , по-специално, когато се изучават максималните възможни стойности ("записи") на определени стойности, например застрахователни плащания или загуби поради търговски рискове, когато се изучават границите на еластичност и издръжливост на стоманата, редица характеристики на надеждност и др. . Показано е, че за големи n разпределенията х(1) И х(н) , като правило, са добре описани от разпределенията на Weibull-Gnedenko. Фундаментален принос в изследването на разпределенията х(1) И х(н) принос от съветския математик Б. В. Гнеденко. Трудовете на V. Weibull, E. Gumbel, V.B. са посветени на използването на получените резултати в икономиката, управлението, технологиите и други области. Невзорова, Е.М. Кудлаев и много други специалисти.

Нека преминем към семейството на гама разпределенията. Те намират широко приложение в икономиката и управлението, теорията и практиката на надеждността и изпитването, в различни области на техниката, метеорологията и др. По-специално, в много ситуации гама-разпределението зависи от такива величини като общия експлоатационен живот на продукта, дължината на веригата от проводящи прахови частици, времето, през което продуктът достига граничното състояние по време на корозия, времето за работа до к-ти отказ, к= 1, 2, … и т.н. Продължителността на живота на пациентите с хронични заболявания и времето за постигане на определен ефект по време на лечението в някои случаи имат гама разпределение. Това разпределение е най-адекватно за описание на търсенето в икономически и математически модели на управление на запасите (логистика).

Плътността на гама разпределение има формата

(17)

Плътността на вероятността във формула (17) се определя от три параметъра а, b, ° С, Където а>0, b>0. При което ае параметър на формата, b- параметър на мащаба и с- параметър за смяна. Фактор 1/Γ(а)се нормализира, беше въведено в

Тук Γ(a)- една от специалните функции, използвани в математиката, така наречената "гама функция", след която е кръстено разпределението, дадено с формула (17),

На фиксирана Аформула (17) определя семейство разпределения с изместване на мащаба, генерирано от разпределение с плътност

(18)

Разпределение от формата (18) се нарича стандартно гама разпределение. Получава се от формула (17) при b= 1 и с= 0.

Специален случай на гама разпределения за А= 1 са експоненциални разпределения (с λ = 1/b). С естествени АИ с=0 гама разпределенията се наричат ​​разпределения на Ерланг. От трудовете на датския учен К. А. Ерланг (1878-1929), служител на Копенхагенската телефонна компания, който учи през 1908-1922 г. функционирането на телефонните мрежи започва развитието на теорията за масовото обслужване. Тази теория се занимава с вероятностно и статистическо моделиране на системи, в които се обслужва поток от заявки, за да се вземат оптимални решения. Разпределенията Erlang се използват в същите области на приложение, в които се използват експоненциалните разпределения. Това се основава на следния математически факт: сумата от k независими случайни променливи, експоненциално разпределени със същите параметри λ и с, има гама разпределение с параметър на формата а =к, мащабен параметър b= 1/λ и параметър на отместване kc. При с= 0 получаваме разпределението на Ерланг.

Ако случайната променлива хима гама разпределение с параметър на формата Атакова, че д = 2 а- цяло число, b= 1 и с= 0, след това 2 хима разпределение хи-квадрат с дстепени на свобода.

Случайна променлива X с разпределение gvmma има следните характеристики:

Очаквана стойност M(X) =аб + ° С,

Дисперсия д(х) = σ 2 = аб 2 ,

Коефициентът на вариация

Асиметрия

Излишък

Нормалното разпределение е краен случай на гама разпределението. По-точно, нека Z е случайна променлива със стандартно гама разпределение, дадено от формула (18). Тогава

за всяко реално число х, Където F(x)- стандартна нормална функция на разпределение н(0,1).

В приложните изследвания се използват и други параметрични семейства от разпределения, от които най-известни са системата от криви на Пиърсън, сериите на Еджуърт и Шарлие. Те не се разглеждат тук.

Отделен разпределения, използвани във вероятностните и статистически методи за вземане на решения.Най-често се използват три семейства дискретни разпределения – биномиално, хипергеометрично и Поасоново, както и някои други семейства – геометрично, отрицателно биномно, многочленно, отрицателно хипергеометрично и др.

Както вече беше споменато, биномното разпределение се среща в независими опити, във всяко от които с вероятност Рсе появява събитие А. Ако общият брой опити ндаден, след това броят на тестовете Y, в който се появи събитието А, има биномиално разпределение. За биномно разпределение вероятността да бъде прието като случайна променлива е Yстойности гсе определя по формулата

Брой комбинации от нелементи от г, познат от комбинаториката. За всички г, с изключение на 0, 1, 2, …, н, ние имаме П(Y= г)= 0. Биномиално разпределение с фиксиран размер на извадката нсе определя от параметъра стр, т.е. биномиалните разпределения образуват еднопараметърно семейство. Те се използват при анализа на данни от извадкови проучвания, по-специално при изследване на потребителските предпочитания, селективен контрол на качеството на продуктите според едноетапни планове за контрол, при тестване на популации от индивиди в демографията, социологията, медицината, биологията и др. .

Ако Y 1 И Y 2 - независими биномни случайни променливи с един и същи параметър стр 0 , определени от проби с об н 1 И н 2 съответно тогава Y 1 + Y 2 - биномна случайна променлива с разпределение (19). Р = стр 0 И н= н 1 + н 2 . Тази забележка разширява приложимостта на биномното разпределение, като позволява резултатите от няколко групи тестове да бъдат комбинирани, когато има причина да се смята, че един и същ параметър съответства на всички тези групи.

Характеристиките на биномното разпределение бяха изчислени по-рано:

М(Y) = н.п., д(Y) = н.п.( 1- стр).

В раздела "Събития и вероятности" законът за големите числа е доказан за биномна случайна променлива:

за всеки . Използвайки централната гранична теорема, законът за големите числа може да бъде прецизиран, като се посочи колко Y/ нсе различава от Р.

Теорема на Моавр-Лаплас.За всякакви числа a и b, а< b, ние имаме

Където Е(х) е функция на стандартно нормално разпределение с математическо очакване 0 и дисперсия 1.

За да го докажете, достатъчно е да използвате представянето Yпод формата на сума от независими случайни променливи, съответстващи на резултатите от отделните тестове, формули за М(Y) И д(Y) и централната гранична теорема.

Тази теорема е за случая Р= ½ е доказано от английския математик А. Моавър (1667-1754) през 1730 г. В горната формулировка е доказано през 1810 г. от френския математик Пиер Симон Лаплас (1749 - 1827).

Хипергеометричното разпределение възниква по време на селективно управление на краен набор от обекти с обем N според алтернативен критерий. Всеки контролиран обект се класифицира като притежаващ атрибута А, или като нямащи тази характеристика. Хипергеометричното разпределение има случайна променлива Y, равен на броя на обектите, които имат атрибута Ав произволна извадка от обем н, Където н< н. Например число Yдефектни единици продукт в произволна проба от обем нот партидния обем нима хипергеометрично разпределение ако н< н. Друг пример е лотарията. Нека знакът Абилетът е знак за „да си победител“. Нека общият брой на билетите н, и някакво лице придоби нот тях. Тогава броят на печелившите билети за този човек има хипергеометрично разпределение.

За хипергеометрично разпределение вероятността случайна променлива Y да приеме стойността y има формата

(20)

Където д– броя на обектите, които имат атрибута А, в разглеждания набор от обем н. При което гприема стойности от max(0, н - (н - д)) до min( н, д), други неща гвероятността във формула (20) е равна на 0. По този начин хипергеометричното разпределение се определя от три параметъра - обемът на популацията н, брой обекти дв него, притежаващи въпросната характеристика Аи размер на извадката н.

Обикновено произволно вземане на проби нот общия обем не извадка, получена в резултат на случаен подбор, при който някой от наборите от нобектите имат еднаква вероятност да бъдат избрани. Методите за произволен подбор на проби от респонденти (интервюирани) или единици стоки на парче са разгледани в инструктивните, методическите и нормативните документи. Един от методите за избор е следният: обектите се избират един от друг и на всяка стъпка всеки от останалите обекти в набора има еднакъв шанс да бъде избран. В литературата термините „случайна извадка“ и „случайна извадка без връщане“ също се използват за вида на разглежданите проби.

Тъй като обемите на населението (партида) ни проби нобикновено са известни, тогава параметърът на хипергеометричното разпределение, който трябва да се оцени, е д. В статистическите методи за управление на качеството на продуктите д– обикновено броят на дефектните единици в партида. Характеристиката на разпределението също представлява интерес д/ н– ниво на дефекти.

За хипергеометрично разпределение

Последният фактор в израза за дисперсия е близък до 1 ако н>10 н. Ако направите замяна стр = д/ н, тогава изразите за математическото очакване и дисперсията на хипергеометричното разпределение ще се превърнат в изрази за математическото очакване и дисперсията на биномното разпределение. Това не е случайно. Може да се покаже, че

при н>10 н, Където стр = д/ н. Ограничаващото съотношение е валидно

и тази ограничаваща връзка може да се използва, когато н>10 н.

Третото широко използвано дискретно разпределение е разпределението на Поасон. Случайната променлива Y има разпределение на Поасон, ако

,

където λ е параметърът на разпределението на Поасон и П(Y= г)= 0 за всички останали г(за y=0 се означава 0! =1). За разпределението на Поасон

М(Y) = λ, д(Y) = λ.

Това разпределение е кръстено на френския математик С. Д. Поасон (1781-1840), който за първи път го получава през 1837 г. Разпределението на Поасон е граничният случай на биномиалното разпределение, когато вероятността Ризпълнението на събитието е малко, но броят на тестовете нстрахотно и н.п.= λ. По-точно граничното отношение е валидно

Следователно разпределението на Поасон (в старата терминология „закон за разпределение“) често се нарича също „закон за редките събития“.

Разпределението на Поасон произхожда от теорията на потока на събитията (виж по-горе). Доказано е, че за най-простия поток с постоянен интензитет Λ, броят на събитията (повиквания), настъпили през времето T, има Поасоново разпределение с параметър λ = Λ T. Следователно вероятността през времето Tняма да се случи събитие, равно на д - Λ T, т.е. функцията на разпределение на дължината на интервала между събитията е експоненциална.

Разпределението на Поасон се използва при анализиране на резултатите от примерни маркетингови проучвания на потребителите, изчисляване на оперативните характеристики на плановете за контрол на статистическото приемане в случай на малки стойности на нивото на приемане на дефекти, за да се опише броят на повреди на статистически контролиран технологичен процес за единица време, броят на „изискванията за обслужване“, получени за единица време в системата за масово обслужване, статистически модели на злополуки и редки заболявания и др.

В литературата се разглеждат описания на други параметрични семейства на дискретни разпределения и възможностите за тяхното практическо използване.

В някои случаи, например, когато се изучават цените, обемите на продукцията или общото време между отказите при проблеми с надеждността, функциите на разпределението са постоянни за някои интервали, в които стойностите на изследваните случайни променливи не могат да попаднат.