Статията говори за трансформацията рационални изрази. Нека разгледаме видовете рационални изрази, техните трансформации, групиране и поставяне в скоби на общия множител. Нека се научим да представяме дробни рационални изрази под формата на рационални дроби.
Определение и примери за рационални изрази
Определение 1Изрази, които са съставени от числа, променливи, скоби, степени с операциите събиране, изваждане, умножение, деление с наличието на дробна черта се наричат рационални изрази.
Например, имаме това 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Тоест, това са изрази, които не са разделени на изрази с променливи. Изучаването на рационалните изрази започва в 8 клас, където те се наричат дробни рационални изрази.Особено внимание се обръща на дробите в числителя, които се преобразуват по правилата за преобразуване.
Това ни позволява да преминем към преобразуване на рационални дроби с произволна форма. Такъв израз може да се разглежда като израз с наличието на рационални дроби и цели числа със знаци за действие.
Основни видове преобразувания на рационални изрази
Рационалните изрази се използват за извършване на идентични трансформации, групиране, привеждане на подобни и извършване на други операции с числа. Целта на такива изрази е опростяване.
Пример 1
Преобразувайте рационалния израз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Решение
Може да се види, че такъв рационален израз е разликата между 3 x x y - 1 и 2 x x y - 1. Забелязваме, че техният знаменател е идентичен. Това означава, че намаляването на подобни термини ще приеме формата
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Отговор: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2
Преобразувайте 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Решение
Първоначално изпълняваме действията в скоби 3 · x − x = 2 · x. Ние представяме този израз във формата 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Стигаме до израз, който съдържа операции с една стъпка, тоест има събиране и изваждане.
Отърваваме се от скобите, като използваме свойството за деление. Тогава получаваме, че 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.
Групираме числови фактори с променливата x, след което можем да извършваме операции със степени. Разбираме това
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Отговор: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Пример 3
Преобразувайте израз от формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Решение
Първо трансформираме числителя и знаменателя. След това получаваме израз от формата (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 и действията в скобите се извършват първи. В числителя се извършват операции и се групират факторите. Тогава получаваме израз във формата x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Преобразуваме формулата за разликата на квадратите в числителя, след което получаваме това
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Отговор: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Рационално представяне на дроби
Алгебричните дроби най-често се опростяват, когато се решават. Всяко рационално се свежда до това различни начини. Необходимо е да се извършат всички необходими операции с полиноми, за да може рационалният израз в крайна сметка да даде рационална дроб.
Пример 4
Представете като рационална дроб a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Решение
Този израз може да бъде представен като 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Умножението се извършва предимно според правилата.
Трябва да започнем с умножение, тогава получаваме това
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Представяме получения резултат с оригиналния. Разбираме това
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Сега нека направим изваждането:
а + 5 а · а - 3 - а - 5 а + 3 · а = а + 5 · а + 3 а · (а - 3) · (а + 3) - (а - 5) · (а - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9
След което е очевидно, че оригиналният израз ще приеме формата 16 a 2 - 9.
Отговор: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5
Изразете x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x като рационална дроб.
Решение
Даденият израз е записан като дроб, в числителя на която има x x + 1 + 1, а в знаменателя 2 x - 1 1 + x. Необходимо е да се направят трансформации x x + 1 + 1 . За да направите това, трябва да съберете дроб и число. Получаваме, че x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
От това следва, че x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Получената дроб може да се запише като 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
След разделянето стигаме до рационална част от формата
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Можете да разрешите това по различен начин.
Вместо да делим на 2 x - 1 1 + x, ние умножаваме по обратното му 1 + x 2 x - 1. Нека приложим разпределителното свойство и да намерим това
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Отговор: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Преобразуване на рационални изрази
В този урок ще работим с рационални изрази. Използвайки конкретни примери, ще разгледаме методи за решаване на проблеми, включващи трансформации на рационални изрази и доказване на идентичностите, свързани с тях.
Рационален израз е алгебричен израз, съставен от числа, азбучни променливи, аритметични операции, повдигане на естествена степен и символи за последователността на тези операции (скоби). Заедно с фразата „рационален израз“ в алгебрата понякога се използват термините „цяло число“ или „дроб“.
Например изрази
са едновременно рационални и цялостни.
Изрази
са едновременно рационални и дробни, т.к знаменателят съдържа израз с променлива.
Не трябва да забравяме, че една дроб става безсмислена, ако знаменателят стане нула.
Основната цел на урока ще бъде придобиване на опит в решаването на задачи за опростяване на рационални изрази.
Опростяването на рационални изрази е използването на трансформации на идентичност, за да се опрости писането на израз (да го направи по-кратък и по-удобен за по-нататъшна работа).
За да преобразуваме рационални изрази, имаме нужда от правила за събиране (изваждане), умножение, деление и степенуване на алгебрични дроби; всички тези действия се извършват по същите правила като действията с обикновени дроби:
А също и съкратени формули за умножение:
При решаване на примери за преобразуване на рационални изрази трябва да се спазва следният ред на действията: първо се изпълняват действията в скобите, след това произведение/деление (или степенуване) и след това действията събиране/изваждане.
Така че нека да разгледаме пример 1:
необходимо е да се опрости израза
Първо изпълняваме действията в скоби.
Намаляваме алгебричните дроби до общ знаменатели събираме (изваждаме) дроби с еднакви знаменатели по правилата, написани по-горе.
Използвайки съкратената формула (а именно квадрата на разликата), полученият израз приема формата:
Второ, според правилата за умножение на алгебрични дроби, ние умножаваме отделно числителите и знаменателите:
И след това намаляваме получения израз:
В резултат на извършените трансформации получаваме прост израз
Нека разгледаме по-сложен пример 2 за преобразуване на рационални изрази: необходимо е да се докаже идентичността:
Да се докаже идентичност означава да се установи, че за всички допустими стойности на променливите нейната лява и дясна страна са равни.
Доказателство:
За да се докаже тази идентичност, е необходимо да се трансформира изразът от лявата страна. За да направите това, трябва да следвате процедурата, описана по-горе: първо изпълнете действията в скоби, след това умножете и след това съберете.
И така, действие 1:
извършва събиране/изваждане на израз в скоба.
За да направите това, разложете изразите в знаменателите на дробите и приведете тези дроби към общ знаменател.
И така, в знаменателя на първата дроб поставяме 3 извън скоби, в знаменателя на втората поставяме знака минус и използвайки съкратената формула за умножение, го разлагаме на два множителя, а в знаменателя на третата дроб поставяме x извън скоби.
Общият знаменател на тези три дроби е изразът
Действие 2:
умножете дроб
За да направите това, първо трябва да разложите числителя на първата дроб и да повдигнете тази дроб на степен 2.
И когато умножавате дроби, извършете съответното съкращаване.
Действие 3:
Сумираме първата дроб от първоначалния израз и получената дроб
За да направите това, първо размножете числителя и знаменателя на първата дроб и намалете:
Сега остава само да съберем получените алгебрични дроби с различни знаменатели:
Така в резултат на 3 действия и опростяване на лявата страна на тъждеството получихме израз от дясната му страна и следователно доказахме това тъждество. Припомнете си обаче, че идентичността е валидна само за допустими стойности на променливата x. В този пример това са всякакви стойности на x, с изключение на тези, които правят знаменателите на дробите нула. Това означава, че всички стойности на x са приемливи, с изключение на тези, за които е изпълнено поне едно от равенствата:
Следните стойности ще бъдат невалидни:
И така, използвайки конкретни примери, разгледахме решаването на проблеми, включващи трансформации на рационални изрази и доказване на идентичностите, свързани с тях.
Списък на използваната литература:
- Мордкович А.Г. "Алгебра" 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за общ образователни институции/ А.Г. Мордкович. – 9-то изд., преработено. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
- Мордкович А.Г. "Алгебра" 8 клас. В 14 ч. Част 2. Проблемна книга за образователни институции/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тулчинская.. – 8 изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239 с.
- Алгебра. 8 клас. Тестови работиза студенти от образователни институции в L.A. Александров, изд. А.Г. Мордкович 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина 2009. - 40 с.
- Алгебра. 8 клас. Самостоятелна работаза студенти от образователни институции: към учебника на A.G. Мордкович, Л.А. Александров, изд. А.Г. Мордкович. 9-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина 2013. - 112 с.
Рационалните изрази и дроби са крайъгълният камък на целия курс по алгебра. Тези, които се научат да работят с такива изрази, да ги опростят и разложат на множители, по същество ще могат да решат всеки проблем, тъй като трансформирането на изрази е неразделна част от всяко сериозно уравнение, неравенство или дори проблем с думи.
В този видео урок ще разгледаме как правилно да използваме формули за съкратено умножение, за да опростим рационални изрази и дроби. Нека се научим да виждаме тези формули там, където на пръв поглед няма нищо. В същото време ще повторим такава проста техника като факторизиране на квадратен трином чрез дискриминант.
Както вероятно вече се досещате от формулите зад мен, днес ще изучаваме формули за съкратено умножение или по-точно не самите формули, а използването им за опростяване и намаляване на сложни рационални изрази. Но преди да преминем към решаване на примери, нека разгледаме по-отблизо тези формули или да ги запомним:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разлика на квадратите;
- $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ е квадрат на сумата;
- $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — разлика на квадрат;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ е сборът от кубове;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ е разликата на кубовете.
Бих искал също да отбележа, че нашата училищна образователна система е устроена по такъв начин, че с изучаването на тази тема, т.е. рационални изрази, както и корени, модули, всички ученици имат един и същ проблем, който сега ще обясня.
Факт е, че в самото начало на изучаването на формули за съкратено умножение и съответно действия за намаляване на дроби (това е някъде в 8-ми клас), учителите казват нещо подобно: „Ако нещо не ви е ясно, тогава не безпокой се, ние ще ти помогнем.” Ще се връщаме към тази тема повече от веднъж, със сигурност в гимназията. Ще разгледаме това по-късно." Е, тогава, в края на 9-10 клас, същите учители обясняват на същите ученици, които все още не знаят как да решават рационални дроби, нещо подобно: „Къде беше предходните две години? Това се учеше по алгебра в 8 клас! Какво неясно може да има тук? Толкова е очевидно!“
Подобни обяснения обаче не улесняват обикновените ученици: те все още имаха бъркотия в главите си, така че точно сега ще анализираме две прости примери, въз основа на които ще видим как да изолираме тези изрази в реални задачи, което ще ни доведе до формули за съкратено умножение и как след това да приложим това за трансформиране на сложни рационални изрази.
Редуциране на прости рационални дроби
Задача No1
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]
Първото нещо, което трябва да научим, е да избираме точни квадрати и повече в оригиналните изрази високи градуси, въз основа на които след това можем да приложим формули. Нека да разгледаме:
Нека пренапишем нашия израз, като вземем предвид тези факти:
\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]
Отговор: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.
Проблем No2
Да преминем към втората задача:
\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]
Тук няма какво да опростявам, защото числителят съдържа константа, но аз предложих тази задача точно за да се научите как да разлагате на множители полиноми, съдържащи две променливи. Ако вместо това имахме полинома по-долу, как бихме го разширили?
\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]
Нека решим уравнението и намерим $x$, който можем да поставим на мястото на точките:
\[((x)^(2))+5x-6=0\]
\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]
\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]
Можем да пренапишем тринома, както следва:
\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\наляво(x-1 \вдясно)\наляво(x+6 \вдясно)\]
Научихме как да работим с квадратен тричлен - затова трябваше да запишем този видео урок. Но какво ще стане, ако освен $x$ и константа има и $y$? Нека ги разглеждаме като друг елемент от коефициентите, т.е. Нека пренапишем нашия израз, както следва:
\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]
\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]
\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]
Нека напишем разширението на нашата квадратна конструкция:
\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]
Така че, ако се върнем към оригиналния израз и го пренапишем, като вземем предвид промените, получаваме следното:
\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]
Какво ни дава такъв рекорд? Нищо, защото не може да се намали, не се умножава или дели по нищо. Въпреки това, веднага щом тази фракция се окаже интегрална частпо-сложен израз, такова разширение ще бъде полезно. Ето защо, веднага щом видите квадратен тричлен (няма значение дали е обременен с допълнителни параметри или не), винаги се опитвайте да го факторизирате.
Нюанси на решението
Запомнете основните правила за преобразуване на рационални изрази:
- Всички знаменатели и числители трябва да бъдат разложени или чрез формули за съкратено умножение, или чрез дискриминант.
- Трябва да работите по следния алгоритъм: когато търсим и се опитваме да изолираме формулата за съкратено умножение, тогава първо се опитваме да преобразуваме всичко във възможно най-високата степен. След това изваждаме общата степен от скобата.
- Много често ще срещнете изрази с параметър: други променливи ще се появят като коефициенти. Намираме ги с помощта на формулата за квадратично разширение.
И така, след като видите рационални дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да разделите числителя и знаменателя на линейни изрази, като използвате формулите за съкратено умножение или дискриминант.
Нека да разгледаме няколко от тези рационални изрази и да се опитаме да ги разделим на множители.
Решаване на по-сложни примери
Задача No1
\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]
Пренаписваме и се опитваме да разложим всеки термин:
Нека пренапишем целия си рационален израз, като вземем предвид тези факти:
\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]
\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]
Отговор: $-1$.
Проблем No2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Нека да разгледаме всички фракции.
\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\ляво(x-2 \дясно))^(2))\]
Нека пренапишем цялата структура, като вземем предвид промените:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \ляво(x-2 \дясно))\]
Отговор: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.
Нюанси на решението
И така, какво научихме току-що:
- Не всеки квадратен трином може да бъде разложен на множители; по-специално, това се отнася за непълния квадрат на сбора или разликата, които много често се намират като части от кубове сбор или разлика.
- Константи, т.е. обикновените числа, които нямат променливи, също могат да действат като активни елементи в процеса на разширяване. Първо, те могат да бъдат извадени от скоби, и второ, самите константи могат да бъдат представени под формата на степени.
- Много често след разлагането на всички елементи възникват противоположни конструкции. Тези дроби трябва да се редуцират изключително внимателно, защото при зачертаването им отгоре или отдолу се появява допълнителен множител $-1$ - това е именно следствие от това, че са противоположни.
Решаване на сложни проблеми
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
Първа дроб:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
Можем да пренапишем целия числител на втората дроб, както следва:
\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]
Сега нека да разгледаме знаменателя:
\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]
Нека пренапишем целия рационален израз, като вземем предвид горните факти:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Отговор: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.
Нюанси на решението
Както видяхме още веднъж, непълните квадрати на сумата или непълните квадрати на разликата, които често се срещат в реални рационални изрази, обаче, не се плашете от тях, защото след трансформиране на всеки елемент те почти винаги се анулират. Освен това в никакъв случай не трябва да се страхувате от големи конструкции в крайния отговор - напълно възможно е това да не е вашата грешка (особено ако всичко е факторизирано), но авторът е имал предвид такъв отговор.
В заключение бих искал да обсъдя още един сложен пример, което вече не е пряко свързано с рационални дроби, но съдържа всичко, което ви очаква на реални контролни и изпити, а именно: разлагане на множители, привеждане към общ знаменател, привеждане на подобни членове. Точно това ще направим сега.
Решаване на сложен проблем за опростяване и трансформиране на рационални изрази
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Първо, нека разгледаме и отворим първата скоба: в нея виждаме три отделни дроби с различни знаменатели, така че първото нещо, което трябва да направим, е да приведем и трите дроби към общ знаменател, а за да направим това, всяка от тях трябва да бъде факторизиран:
\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]
\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно)\]
Нека пренапишем цялата ни конструкция, както следва:
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \дясно))=\]
\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Това е резултатът от изчисленията от първата скоба.
Нека се заемем с втората скоба:
\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(x+2 \ надясно)\]
Нека пренапишем втората скоба, като вземем предвид промените:
\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Сега нека запишем цялата оригинална конструкция:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Отговор: $\frac(1)(x+2)$.
Нюанси на решението
Както виждате, отговорът се оказа съвсем разумен. Обърнете внимание обаче: много често по време на такива мащабни изчисления, когато единствената променлива се появява само в знаменателя, учениците забравят, че това е знаменателят и трябва да е в долната част на дробта и записват този израз в числителя - това е груба грешка.
Освен това бих искал да обърна специално внимание на това как се формализират такива задачи. При всякакви сложни изчисления всички стъпки се изпълняват една по една: първо броим отделно първата скоба, след това втората отделно и едва накрая комбинираме всички части и изчисляваме резултата. По този начин се застраховаме срещу глупави грешки, ние внимателно записваме всички изчисления и в същото време не губим допълнително време, както може да изглежда на пръв поглед.
Аритметичната операция, която се изпълнява последна при изчисляване на стойността на израз, е „главната“ операция.
Тоест, ако замените някои (които и да е) числа вместо букви и се опитате да изчислите стойността на израза, тогава ако последното действие е умножение, тогава имаме продукт (изразът е факторизиран).
Ако последното действие е събиране или изваждане, това означава, че изразът не е факторизиран (и следователно не може да бъде намален).
За да подсилите това, решете сами няколко примера:
Примери:
Решения:
1. Надявам се, че не се втурнахте веднага да отрежете и? Все още не беше достатъчно да се „намалят“ единици по този начин:
Първата стъпка трябва да бъде факторизиране:
4. Събиране и изваждане на дроби. Привеждане на дроби към общ знаменател.
Събирането и изваждането на обикновени дроби е позната операция: търсим общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите.
Да си припомним:
Отговори:
1. Знаменателите и са относително прости, т.е. нямат общи множители. Следователно LCM на тези числа е равен на техния продукт. Това ще бъде общият знаменател:
2. Тук общият знаменател е:
3. Тук, на първо място, преобразуваме смесените дроби в неправилни, а след това според обичайната схема:
Съвсем друг е въпросът, ако дробите съдържат букви, например:
Да започнем с нещо просто:
а) Знаменателите не съдържат букви
Тук всичко е както при обикновените числови дроби: намираме общия знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите:
Сега в числителя можете да дадете подобни, ако има такива, и да ги разложите:
Опитайте сами:
Отговори:
б) Знаменателите съдържат букви
Нека си припомним принципа за намиране на общ знаменател без букви:
· на първо място определяме общите фактори;
· след това изписваме всички общи множители един по един;
· и ги умножете по всички други необичайни множители.
За да определим общите множители на знаменателите, първо ги разделяме на прости множители:
Нека подчертаем общите фактори:
Сега нека напишем общите фактори един по един и добавим към тях всички необичайни (неподчертани) фактори:
Това е общият знаменател.
Да се върнем на писмата. Знаменателите са дадени по абсолютно същия начин:
· множете знаменателите на множители;
· определяне на общи (еднакви) фактори;
· изпишете всички общи множители веднъж;
· умножете ги по всички други необичайни множители.
И така, по ред:
1) факторирайте знаменателите:
2) определяне на общи (идентични) фактори:
3) запишете всички общи множители веднъж и ги умножете по всички други (неподчертани) множители:
Така че тук има общ знаменател. Първата дроб трябва да се умножи по, втората - по:
Между другото, има един трик:
Например: .
Виждаме същите фактори в знаменателите, само всички с различни показатели. Общият знаменател ще бъде:
до известна степен
до известна степен
до известна степен
до известна степен.
Нека усложним задачата:
Как да накарам дробите да имат еднакъв знаменател?
Нека си припомним основното свойство на дробта:
Никъде не се казва, че едно и също число може да се извади (или добави) от числителя и знаменателя на дроб. Защото не е истина!
Вижте сами: вземете произволна дроб, например, и добавете някакво число към числителя и знаменателя, например, . Какво научи?
И така, още едно непоклатимо правило:
Когато привеждате дроби към общ знаменател, използвайте само операцията умножение!
Но по какво трябва да умножите, за да получите?
Така че умножете по. И умножете по:
Ще наричаме изрази, които не могат да бъдат факторизирани, „елементарни фактори“.
Например, - това е елементарен фактор. - Един и същ. Но не: може да се факторизира.
Какво ще кажете за израза? Елементарно ли е?
Не, защото може да се разложи на фактори:
(вече прочетохте за факторизацията в темата “”).
И така, елементарните множители, в които разширявате израза с букви, са аналог основни фактори, на които разлагате числата. И ние ще се справим с тях по същия начин.
Виждаме, че и двата знаменателя имат множител. Ще отиде при общия знаменател на степен (помнете защо?).
Факторът е елементарен и те нямат общ фактор, което означава, че първата дроб просто ще трябва да бъде умножена по него:
Друг пример:
Решение:
Преди да умножите тези знаменатели в паника, трябва да помислите как да ги разложите? И двамата представляват:
Страхотен! Тогава:
Друг пример:
Решение:
Както обикновено, нека разложим знаменателите на множители. В първия знаменател просто го поставяме извън скоби; във втория - разликата на квадратите:
Изглежда, че няма общи фактори. Но ако се вгледате внимателно, те си приличат... И е вярно:
Така че нека напишем:
Тоест, получи се така: вътре в скобата сменихме условията и в същото време знакът пред дробта се промени на противоположния. Обърнете внимание, ще трябва да правите това често.
Сега нека го приведем към общ знаменател:
Схванах го? Нека да го проверим сега.
Задачи за самостоятелно решаване:
Отговори:
Тук трябва да запомним още нещо - разликата на кубчетата:
Моля, обърнете внимание, че знаменателят на втората дроб не съдържа формулата „квадрат на сумата“! Квадратът на сумата би изглеждал така: .
А е така нареченият непълен квадрат на сбора: вторият член в него е произведението на първия и последния, а не техният двоен продукт. Частичният квадрат на сумата е един от факторите в разширяването на разликата на кубовете:
Какво да направите, ако вече има три фракции?
Да, същата работа! Първо, нека се уверим, че максимална сумафакторите в знаменателите бяха същите:
Моля, обърнете внимание: ако промените знаците в една скоба, знакът пред дробта се променя на противоположния. Когато променим знаците във втората скоба, знакът пред дробта отново се променя на противоположния. В резултат на това той (знакът пред дробта) не се е променил.
Записваме целия първи знаменател в общия знаменател и след това добавяме към него всички фактори, които все още не са записани, от втория, а след това от третия (и така нататък, ако има повече дроби). Тоест, оказва се така:
Хм... Ясно е какво се прави с дробите. Но какво да кажем за двамата?
Просто е: знаете как да събирате дроби, нали? И така, трябва да накараме две да станат дроб! Нека си припомним: дробта е операция за деление (числителят се дели на знаменателя, ако сте забравили). И няма нищо по-лесно от това да разделите число на. В този случай самото число няма да се промени, а ще се превърне в дроб:
Точно това, което е необходимо!
5. Умножение и деление на дроби.
Е, най-трудното вече свърши. И пред нас е най-простото, но в същото време и най-важното:
Процедура
Каква е процедурата за преброяване? числено изражение? Запомнете, като изчислите значението на този израз:
броихте ли
Би трябвало да работи.
И така, нека ви напомня.
Първата стъпка е да се изчисли степента.
Второто е умножение и деление. Ако има няколко умножения и деления едновременно, те могат да се извършват в произволен ред.
И накрая, извършваме събиране и изваждане. Отново в произволен ред.
Но: изразът в скоби се оценява извънредно!
Ако няколко скоби се умножат или разделят една на друга, първо изчисляваме израза във всяка от скобите и след това ги умножаваме или разделяме.
Ами ако има повече скоби вътре в скобите? Добре, нека помислим: в скобите е записан някакъв израз. Когато изчислявате израз, какво трябва да направите първо? Точно така, изчислете скобите. Е, разбрахме го: първо изчисляваме вътрешните скоби, след това всичко останало.
И така, процедурата за израза по-горе е следната (текущото действие е маркирано в червено, т.е. действието, което извършвам в момента):
Добре, всичко е просто.
Но това не е същото като израз с букви?
Не, същото е! Само вместо аритметични операции, трябва да извършвате алгебрични, тоест действията, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, събиране на дроби, съкращаване на дроби и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на факторизиране на полиномите (често използваме това, когато работим с дроби). Най-често, за да разложите на множители, трябва да използвате I или просто да поставите общия множител извън скоби.
Обикновено нашата цел е да представим израза като произведение или частно.
Например:
Нека опростим израза.
1) Първо опростяваме израза в скоби. Там имаме разлика от дроби и нашата цел е да я представим като произведение или частно. И така, привеждаме дробите към общ знаменател и добавяме:
Невъзможно е да се опрости повече този израз; всички фактори тук са елементарни (все още помните ли какво означава това?).
2) Получаваме:
Умножаване на дроби: какво може да бъде по-просто.
3) Сега можете да съкратите:
Добре, всичко свърши. Нищо сложно, нали?
Друг пример:
Опростете израза.
Първо се опитайте да го решите сами и едва след това погледнете решението.
Решение:
Първо, нека определим реда на действията.
Първо, нека съберем дробите в скобите, така че вместо две дроби да получим една.
След това ще направим деление на дроби. Добре, нека съберем резултата с последната дроб.
Ще номерирам стъпките схематично:
Сега ще ви покажа процеса, оцветявайки текущото действие в червено:
1. Ако има подобни, трябва да се донесат веднага. В който и момент да възникнат подобни у нас, препоръчително е веднага да се повдигнат.
2. Същото важи и за редуцирането на дроби: веднага щом се появи възможност за редуциране, трябва да се възползвате от него. Изключението е за дроби, които добавяте или изваждате: ако те сега имат еднакви знаменатели, тогава намаляването трябва да се остави за по-късно.
Ето някои задачи, които можете да решите сами:
И какво беше обещано в самото начало:
Отговори:
Решения (накратко):
Ако сте се справили поне с първите три примера, значи сте усвоили темата.
Сега към ученето!
ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗИ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Основни операции за опростяване:
- Привеждане на подобни: за да добавите (намалите) подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да зададете буквената част.
- Факторизация:извеждане на общия множител извън скоби, прилагането му и т.н.
- Намаляване на дроб: Числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също ненулево число, което не променя стойността на дробта.
1) числител и знаменател факторизирам
2) ако числителят и знаменателят имат общи множители, те могат да бъдат задраскани.ВАЖНО: могат да се намаляват само множителите!
- Събиране и изваждане на дроби:
; - Умножение и деление на дроби:
;
