Нарича се полином. Полиноми

§ 13. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решаване на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа 165

13.1. Основни определения 165

13.2. Основни свойства на целочислените полиноми 166

13.3. Основни свойства на корените на алгебрично уравнение 169

13.4. Решаване на основни алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа 173

13.5. Упражнения за самостоятелна работа 176

Въпроси за самопроверка 178

Речник 178

1. Основни определения

Цяла алгебрична функция или алгебричен полином (полином )аргумент хнаречена функция от следния тип

Тук н–степен на полином (естествено число или 0), х – променлива (реална или комплексна), а 0 , а 1 , …, а н –полиномни коефициенти (реални или комплексни числа), а 0  0.

Например,

;
;
,
– квадратен тричлен;

,
;.

Номер х 0 такива, че П н (х 0)0, наречено нулева функция П н (х) или корен на уравнението
.

Например,

неговите корени
,
,
.

защото
И
.

Забележка (за дефиницията на нули на цяла алгебрична функция)

В литературата функционалните нули често са
се наричат ​​неговите корени. Например числа
И
се наричат ​​корени на квадратната функция
.

1. Основни свойства на целочислените полиноми

 Идентичността (3) е валидна за  х 
(или х  ), следователно е валиден за
; заместване
, получаваме А н = b н. Нека взаимно отменим условията в (3) А нИ b ни разделете двете части на х:

Това тъждество е вярно и за  х, включително когато х= 0, ако приемем х= 0, получаваме А н – 1 = b н – 1 .

Нека взаимно отменим условията в (3") А н– 1 и b н– 1 и разделете двете страни на х, като резултат получаваме

Продължавайки разсъжденията по подобен начин, получаваме това А н – 2 = b н –2 , …, А 0 = b 0 .

По този начин е доказано, че от идентичното равенство на два целочислени полинома следва, че техните коефициенти съвпадат за еднакви степени х.

Обратното твърдение е доста очевидно, тоест, ако два полинома имат еднакви всички коефициенти, тогава те са едни и същи функции, дефинирани в множеството
, следователно техните стойности съвпадат за всички стойности на аргумента
, което означава тяхното идентично равенство. Свойство 1 е напълно доказано.

Пример (идентично равенство на полиноми)

.

 Нека напишем формулата за деление с остатък: П н (х) = (х – х 0)∙Q н – 1 (х) + А,

Където Q н – 1 (х) - полином от степен ( н – 1), А- остатъкът, който е число, дължащо се на добре известния алгоритъм за разделяне на полином на бином "в колона".

Това равенство е вярно за  х, включително когато х = х 0 ; вярвайки
, получаваме

П н (х 0) = (х 0 – х 0)Q н – 1 (х 0) + А  А = П н (х 0) 

Следствие от доказаното свойство е твърдение за разделянето без остатък на полином на бином, известно като теорема на Безу.

 Доказателството на теоремата на Безу може да се извърши без да се използва доказаното преди това свойство за деление на целочислен полином
по бином
. Наистина, нека напишем формулата за деление на многочлена
по бином
с остатък A=0:

Сега нека вземем това предвид е нулата на полинома
, и напишете последното равенство за
:

Примери (факторизиране на полином с помощта на т.нар. Безут)

1) защото П 3 (1)0;

2) защото П 4 (–2)0;

3) защото П 2 (–1/2)0.

Доказателството на тази теорема е извън обхвата на нашия курс. Следователно приемаме теоремата без доказателство.

Нека поработим върху тази теорема и теоремата на Безу с полинома П н (х):

след н-многократно прилагане на тези теореми получаваме това

Където а 0 е коефициентът при х нв полиномен запис П н (х).

Ако в равенството (6) кчисла от комплекта х 1 ,х 2 , …х нсъвпадат помежду си и с числото , тогава в произведението вдясно получаваме фактора ( х–) к. След това числото х= се извиква k-кратен корен на полинома П н (х ) , или корен на кратност k . Ако к= 1, след това числото
Наречен прост корен на полином П н (х ) .

Примери (полиномна линейна факторизация)

1) П 4 (х) = (х – 2)(х – 4) 3  х 1 = 2 - прост корен, х 2 = 4 - троен корен;

2) П 4 (х) = (х – аз) 4  х = аз- корен от кратност 4.

- полиноми. В тази статия ще очертаем цялата първоначална и необходима информация за полиномите. Те включват, първо, дефиницията на полином със съпътстващи дефиниции на членовете на полинома, по-специално свободния член и подобни термини. Второ, ще се спрем на полиномите на стандартната форма, ще дадем подходящото определение и ще дадем примери за тях. Накрая ще въведем дефиницията на степента на полинома, ще разберем как да го намерим и ще говорим за коефициентите на членовете на полинома.

Навигация в страницата.

Полином и неговите термини - определения и примери

В 7 клас полиномите се изучават веднага след мономи, това е разбираемо, тъй като дефиниция на полиномсе дава чрез мономи. Нека дадем това определение, за да обясним какво е полином.

Определение.

Полиноме сумата от мономи; Мономът се счита за специален случай на полином.

Писмената дефиниция ви позволява да дадете колкото искате примери за полиноми. Всеки от мономите 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 и т.н. е полином. Също така, по дефиниция, 1+x, a 2 +b 2 и са полиноми.

За удобство при описване на полиноми е въведена дефиниция на термин на полином.

Определение.

Полиномиални терминиса съставните мономи на полином.

Например полиномът 3 x 4 −2 x y+3−y 3 се състои от четири члена: 3 x 4 , −2 x y , 3 и −y 3 . Моном се счита за полином, състоящ се от един член.

Определение.

Полиномите, които се състоят от два и три члена, имат специални имена - биномИ тричленсъответно.

Така че x+y е бином, а 2 x 3 q−q x x x+7 b е тричлен.

В училище най-често трябва да работим с линеен бином a x+b, където a и b са някои числа, а x е променлива, както и c квадратен тричлен a·x 2 +b·x+c, където a, b и c са някои числа, а x е променлива. Ето примери за линейни биноми: x+1, x 7,2−4 и ето примери за квадратни триноми: x 2 +3 x−5 и .

Полиномите в тяхното обозначение могат да имат подобни членове. Например, в полинома 1+5 x−3+y+2 x подобните членове са 1 и −3, както и 5 x и 2 x. Те имат свое специално име - подобни членове на полином.

Определение.

Подобни членове на полиномподобни членове в полином се наричат.

В предишния пример 1 и −3, както и двойката 5 x и 2 x, са подобни членове на полинома. В полиноми, които имат подобни членове, можете да намалите подобни членове, за да опростите формата им.

Полином със стандартна форма

За полиномите, както и за мономите, има така наречената стандартна форма. Нека изразим съответното определение.

Въз основа на това определение можем да дадем примери за полиноми от стандартната форма. Така че полиномите 3 x 2 −x y+1 и написани в стандартна форма. А изразите 5+3 x 2 −x 2 +2 x z и x+x y 3 x z 2 +3 z не са полиноми от стандартната форма, тъй като първият от тях съдържа подобни членове 3 x 2 и −x 2 , а в вторият – моном x·y 3 ·x·z 2 , чиято форма е различна от стандартната.

Имайте предвид, че ако е необходимо, винаги можете да намалите полинома до стандартна форма.

Друга концепция, свързана с полиномите от стандартната форма, е концепцията за свободен член на полином.

Определение.

Свободен член на полиноме член на полином със стандартна форма без буквена част.

С други думи, ако полином със стандартна форма съдържа число, тогава той се нарича свободен член. Например, 5 е свободният член на полинома x 2 z+5, но полиномът 7 a+4 a b+b 3 няма свободен член.

Степен на полином - как да го намерим?

Друго важно свързано определение е определението за степен на полином. Първо, ние определяме степента на полином от стандартната форма; тази дефиниция се основава на степените на мономите, които са в неговия състав.

Определение.

Степен на полином от стандартна формае най-голямата от степените на мономите, включени в неговото обозначение.

Да дадем примери. Степента на полинома 5 x 3 −4 е равна на 3, тъй като включените в него мономи 5 x 3 и −4 имат степени съответно 3 и 0, най-голямото от тези числа е 3, което е степента на полинома по дефиниция. И степента на полинома 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xравно на най-голямото от числата 2+3=5, 4+1=5 и 1, тоест 5.

Сега нека разберем как да намерим степента на полином от всякаква форма.

Определение.

Степента на полином от произволна форманаричаме степента на съответния полином от стандартна форма.

Така че, ако полиномът не е написан в стандартна форма и трябва да намерите степента му, тогава трябва да намалите първоначалния полином до стандартна форма и да намерите степента на получения полином - това ще бъде търсеният. Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намерете степента на полинома 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Решение.

Първо трябва да представите полинома в стандартна форма:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Полученият полином със стандартна форма включва два монома −2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Нека намерим степените им: 2+2+2=6 и 2+2=4. Очевидно най-голямата от тези степени е 6, което по дефиниция е степента на полином от стандартната форма −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, и следователно степента на първоначалния полином., 3 x и 7 от полинома 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

След като изучаваме мономи, преминаваме към полиноми. Тази статия ще ви разкаже за цялата необходима информация, необходима за извършване на действия върху тях. Ще дефинираме полином със съпътстващи дефиниции на член на полином, тоест свободен и подобен, ще разгледаме полином със стандартна форма, ще въведем степен и ще се научим как да я намираме и ще работим с нейните коефициенти.

Полином и неговите термини - определения и примери

Дефиницията на полином е дадена в 7 клас след изучаване на мономи. Нека да разгледаме пълното му определение.

Определение 1

ПолиномИзчислява се сумата от мономи, а самият моном е частен случай на полином.

От определението следва, че примерите за полиноми могат да бъдат различни: 5 , 0 , − 1 , х, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и т.н. От дефиницията имаме това 1+x, a 2 + b 2 и изразът x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x са полиноми.

Нека да разгледаме още някои определения.

Определение 2

Членове на полиномасъставните му мономи се наричат.

Да разгледаме пример, при който имаме полином 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, състоящ се от 4 члена: 3 x 4, − 2 x y, 3 и − y 3. Такъв моном може да се счита за полином, който се състои от един член.

Определение 3

Полиномите, които съдържат 2, 3 тринома, имат съответното име - биномИ тричлен.

От това следва, че израз на формата x+y– е бином, а изразът 2 x 3 q − q x x x + 7 b е тричлен.

Според училищната програма работихме с линеен бином от вида a · x + b, където a и b са някои числа, а x е променлива. Нека разгледаме примери за линейни биноми от вида: x + 1, x · 7, 2 − 4 с примери за квадратни триноми x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

За трансформиране и решаване е необходимо да се намерят и въведат подобни термини. Например полином от формата 1 + 5 x − 3 + y + 2 x има подобни членове 1 и - 3, 5 x и 2 x. Те са разделени на специална група, наречена подобни членове на полинома.

Определение 4

Подобни членове на полиномса подобни термини, открити в полином.

В примера по-горе имаме, че 1 и - 3, 5 x и 2 x са подобни членове на полинома или подобни членове. За да опростите израза, намерете и редуцирайте подобни членове.

Полином със стандартна форма

Всички мономи и полиноми имат свои специфични имена.

Определение 5

Полином със стандартна формае полином, в който всеки член, включен в него, има моном със стандартна форма и не съдържа подобни членове.

От дефиницията става ясно, че е възможно да се редуцират полиноми от стандартната форма, например 3 x 2 − x y + 1 и __формула__, а записът е в стандартна форма. Изразите 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z не са полиноми от стандартна форма, тъй като първият от тях има подобни членове в форма 3 · x 2 и − x 2, а вторият съдържа моном от формата x · y 3 · x · z 2, който се различава от стандартния полином.

Ако обстоятелствата го изискват, понякога полиномът се редуцира до стандартна форма. Концепцията за свободен член на полином също се счита за полином със стандартна форма.

Определение 6

Свободен член на полиноме полином със стандартна форма, който няма буквална част.

С други думи, когато полином в стандартна форма има число, той се нарича свободен член. Тогава числото 5 е свободен член на многочлена x 2 z + 5, а полиномът 7 a + 4 a b + b 3 няма свободен член.

Степен на полином - как да го намерим?

Самата дефиниция на степента на полином се основава на дефиницията на полином със стандартна форма и на степените на мономите, които са негови компоненти.

Определение 7

Степен на полином от стандартна формасе нарича най-голямата от степените, включени в неговата нотация.

Нека разгледаме един пример. Степента на многочлена 5 x 3 − 4 е равна на 3, тъй като мономите, включени в неговия състав, имат степени 3 и 0, а по-големият от тях е съответно 3. Дефиницията на степента от полинома 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x е равна на най-голямото от числата, тоест 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 и 1, което означава 5 .

Необходимо е да се разбере как се намира самата степен.

Определение 8

Степен на полином от произволно числое степента на съответния полином в стандартна форма.

Когато полиномът не е записан в стандартна форма, но трябва да намерите степента му, трябва да го намалите до стандартната форма и след това да намерите необходимата степен.

Пример 1

Намерете степента на полином 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Решение

Първо, нека представим полинома в стандартна форма. Получаваме израз на формата:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · в) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получаване на полином със стандартна форма откриваме, че два от тях се открояват ясно - 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . За да намерим градусите, преброяваме и откриваме, че 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4. Вижда се, че най-големият от тях е 6. От дефиницията следва, че 6 е степента на полинома − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 и следователно първоначалната стойност.

Отговор: 6 .

Коефициенти на полиномни членове

Когато всички членове на полином са мономи от стандартната форма, тогава в този случай те имат името коефициенти на полиномни членове.С други думи, те могат да бъдат наречени коефициенти на полинома.

При разглеждане на примера е ясно, че полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 съдържа 4 полинома: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x и 7 със съответните им коефициенти 2, − 0, 5, 3 и 7. Това означава, че 2, − 0, 5, 3 и 7 се считат за коефициенти на членовете на даден полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Когато конвертирате, е важно да обърнете внимание на коефициентите пред променливите.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Странно е, че се прави равенство между многочлен и многочлен. Макар че доколкото си спомням това са различни неща. Полином е това, за което пишат тук. Полиномът е отношението на 2 полинома. Потърсих английския превод на думата polynomial в речника и видях, че е преведена като polynomial, от което бях доста изненадан... Оказва се, че те дори не виждат разликата. Относно първия пример... Всичко това е добре, но има ли начин за директно преобразуване без въвеждане на неизвестни коефициенти? Този метод е твърде претенциозен... За полиномите може да се говори много. Това далеч надхвърля обхвата на училището. Проучванията все още продължават! Тези. Темата за полиномите не е завършена. Мога да отговоря на въпроса за корените в радикалите. Като цяло е доказано, че полиноми от степен над 4 нямат решения в радикали. И изобщо не могат да бъдат решени аналитично. Въпреки че някои видове са доста разрешими. Но не всички... Уравнението от 3-та степен има решение на Cardano. Уравнение от 4-та степен има 2 вида формули. Те са доста сложни и като цяло не е ясно предварително дали има валидни решения, всички могат да бъдат сложни. Полином с нечетна степен винаги има поне 1 реален корен. На теория формулите за решаване на уравнения дори от 3-та или 4-та степен не са особено разпространени поради тяхната сложност. И възниква въпросът кои корени да вземем предвид. В крайна сметка уравнение от n-та степен има точно n корена, като се вземе предвид тяхната кратност. Например, можете да решите уравнение числено, като използвате метода на Нютон. Там всичко е просто. Пише се итерационна формула и няма проблеми. Линейна апроксимация. Правата се пресича с оста OX само в 1-ва точка. Може да не се пресичат, тогава коренът е сложен. Но и 1-ви. Е, ясно е, че ако полином с реални коефициенти има комплексен корен, тогава той също има комплексно спрегнат. Въпреки това, вече при квадратичното приближение (този метод се нарича метод на парабола и други варианти на този метод на Мюлер, базирани на 2-те предходни точки и т.н.) възникват проблеми. Първо, има 2 корена (MB, ако дискриминантът > 0) кой да избера? Въпреки че уравнението е квадратно. Можете да отидете по-далеч, да вземете кубичното приближение (4-тия член в редицата на Тейлър, за q вземаме 3) и дори приближението на 4-та степен, като вземете 5 члена от редицата на Тейлър. Конвергенцията ще бъде супер бърза. Всичко може да се реши аналитично! Но никога не съм виждал такива методи никъде в математическата литература. Като правило те използват метода на Нютон, защото е безпроблемен! И където и да се срещат кубични уравнения или уравнения от четвърта степен на теория, това се случва. Ако искате, опитайте сами! Не мисля, че ще се зарадваш. Въпреки че повтарям, всичко се решава аналитично. Просто формулите ще бъдат много сложни. Но не това е важното. Възникват много други проблеми, които не са свързани със сложността.