Как изглежда хиперболата? Разбиране на магията на хиперболата

Хипербола е геометричното място на точки в равнина, модулът на разликата в разстоянията от всяка от тях до две дадени точки е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между тези дадени точки (фиг. 3.40, а). Това геометрично определение изразява фокусно свойство на хипербола.

Фокално свойство на хипербола

Точките се наричат фокуси на хиперболата, разстоянието между тях е фокусното разстояние, средата на сегмента е центърът на хиперболата, числото е дължината на реалната ос на хиперболата (съответно реалната полу- оста на хиперболата). Отсечките, свързващи произволна точка от хипербола с нейните фокуси, се наричат фокални радиуси на точката. Отсечката, свързваща две точки на хипербола, се нарича хорда на хипербола.

Отношение къде , Наречен ексцентричност на хиперболата. От определението следва, че.

Геометрично определение на хипербола , изразяваща нейното фокусно свойство, е еквивалентна на нейната аналитична дефиниция - линията, дадена от уравнението на каноничната хипербола:

Наистина, нека въведем правоъгълна координатна система (фиг. 3.40, b). Вземаме центъра на хиперболата за начало на координатната система; Приемаме правата линия, минаваща през фокусите (фокалната ос), като абсцисната ос (положителната посока върху нея от точка до точка); Нека вземем за ординатна ос права линия, перпендикулярна на абсцисната ос и минаваща през центъра на хиперболата (посоката на ординатната ос е избрана така, че правоъгълната координатна система да изглежда права).

Нека създадем уравнение за хипербола, използвайки геометрична дефиниция, изразяваща фокалното свойство. В избраната координатна система определяме координатите на фокусите и. За произволна точка, принадлежаща на хипербола, имаме:

Записвайки това уравнение в координатна форма, получаваме:

Извършвайки трансформации, подобни на тези, използвани при извеждането на уравнението на елипсата (т.е. освобождавайки се от ирационалността), стигаме до каноничното уравнение на хипербола:

Където , т.е. избраната координатна система е канонична.

Извършвайки разсъжденията в обратен ред, може да се покаже, че всички точки, чиито координати отговарят на уравнение (3.50), и само те, принадлежат към геометричното място на точките, наречено хипербола. По този начин аналитичната дефиниция на хипербола е еквивалентна на нейната геометрична дефиниция.

Директорско свойство на хипербола

Директрисите на хипербола са две прави линии, минаващи успоредно на ординатната ос на каноничната координатна система на същото разстояние от нея (фиг. 3.41а). Когато, когато хиперболата се изроди в двойка пресичащи се линии, директрисите съвпадат.

Хипербола с ексцентричност може да се дефинира като геометрично място на точки в равнина, за всяка от които отношението на разстоянието до дадена точка (фокус) към разстоянието до дадена права линия (директриса), която не минава през дадена точка, е постоянен и равен на ексцентрицитета ( директорско свойство на хипербола). Тук u е един от фокусите на хиперболата и една от нейните директриси, разположени от едната страна на ординатната ос на каноничната координатна система.

Всъщност, например, за фокуса и директрисата (фиг. 3.41, а) условието може да бъде написано в координатна форма:

Отърваване от ирационалността и замяна , достигаме до уравнението на каноничната хипербола (3.50). Подобно разсъждение може да се извърши за фокуса и директрисата:

Уравнение на хипербола в полярна координатна система

Уравнението на десния клон на хиперболата в полярната координатна система (фиг. 3.41, b) има формата

, Където - фокусен параметър на хипербола.

Всъщност нека изберем правилния фокус на хиперболата като полюс на полярната координатна система, а лъча с начало в точка, принадлежаща на правата линия, но несъдържаща точката, като полярна ос (фиг. 3.41). , б). Тогава за произволна точка, принадлежаща на десния клон на хиперболата, според геометричната дефиниция (фокално свойство) на хиперболата, имаме. Изразяваме разстоянието между точките (вижте параграф 2 от коментари 2.8):

Следователно в координатна форма уравнението на хиперболата има

Изолираме радикала, повдигаме на квадрат двете страни на уравнението, разделяме на 4 и представяме подобни членове:

Изразяване на полярния радиус и извършване на замествания :

Q.E.D. Имайте предвид, че в полярните координати уравненията на хипербола и елипса съвпадат, но описват различни линии, тъй като се различават по ексцентритетите (за хипербола, за елипса).

Геометричен смисъл на коефициентите в уравнението на хиперболата

Да намерим точките на пресичане на хиперболата (фиг. 3.42, а) с абсцисната ос (върховете на хиперболата). Замествайки в уравнението, намираме абсцисата на пресечните точки:. Следователно върховете имат координати . Дължината на отсечката, свързваща върховете, е равна. Този сегмент се нарича реална ос на хиперболата, а числото се нарича реална полуос на хиперболата. Замествайки, получаваме. Дължина на сегмента на оста y, свързващ точките , е равно. Този сегмент се нарича въображаема ос на хиперболата, а числото се нарича въображаема полуос на хиперболата. Хиперболата пресича правата, съдържаща реалната ос, но не пресича правата, съдържаща въображаемата ос.

Бележки 3.10.

1. Правите линии ограничават основния правоъгълник на координатната равнина, извън който има хипербола (фиг. 3.42, а).

2. Правите линии, съдържащи диагоналите на главния правоъгълник, се наричат асимптоти на хиперболата (фиг. 3.42, а).

За равностранна хиперболаописан от уравнението (т.е. когато), главният правоъгълник е квадрат, чиито диагонали са перпендикулярни. Следователно асимптотите на равностранна хипербола също са перпендикулярни и могат да се приемат като координатни оси на правоъгълна координатна система (фиг. 3.42, b). В тази координатна система уравнението на хиперболата има формата (хиперболата съвпада с графиката на елементарна функция, изразяваща обратно пропорционална зависимост).

Всъщност нека завъртим каноничната координатна система под ъгъл (фиг. 3.42, b). В този случай координатите на точката в старата и новата координатна система са свързани с равенствата

Замествайки тези изрази в уравнението на равностранна хипербола и привеждайки подобни членове, получаваме

3. Координатните оси (на каноничната координатна система) са осите на симетрия на хиперболата (наричани главни оси на хиперболата), а нейният център е центърът на симетрия. Наистина, ако точката принадлежи на хипербола. тогава точките, симетрични на точката спрямо координатните оси, също принадлежат на същата хипербола.

Оста на симетрия, върху която са разположени фокусите на хиперболата, е фокалната ос.

4. От уравнението на хиперболата в полярни координати (виж фиг. 3.41, б) геометричното значение на фокалния параметър е изяснено - това е половината от дължината на хордата на хиперболата, минаваща през нейния фокус, перпендикулярен на фокалната ос (в).

5. Ексцентричността характеризира формата на хипербола. Колкото повече, толкова по-широки са клоните на хиперболата и колкото по-близо до единството, толкова по-тесни са клоните на хиперболата (фиг. 3.43, а).

Наистина, големината на ъгъла между асимптотите на хиперболата, съдържаща нейния клон, се определя от съотношението на страните на главния правоъгълник:. Като вземем предвид това и получаваме

Колкото по-голямо е числото, толкова по-голям е ъгълът. За равностранна хипербола имаме. За ъгъла е тъп, а за ъгъла е остър (фиг. 3.43, а).

6 . Две хиперболи, определени в една и съща координатна система от уравненията и са наречени свързани помежду си. Конюгираните хиперболи имат еднакви асимптоти (фиг. 3.43b). Уравнение на спрегнатата хипербола се редуцира до каноничен чрез преименуване на координатните оси (3.38). 7. Уравнението определя хипербола с център в точка, чиито оси са успоредни на координатните оси (фиг. 3.43, c). Това уравнение се редуцира до каноничното с помощта на паралелен превод (3.36). Уравнението дефинира спрегнатата хипербола с център в точка.

Параметрично уравнение на хипербола

Параметричното уравнение на хипербола в каноничната координатна система има формата

Където - хиперболичен косинус, a хиперболичен синус.

Наистина, замествайки координатните изрази в уравнение (3.50), стигаме до основното хиперболично тъждество.

Пример 3.21.Начертайте хипербола в каноничната координатна система. Намерете полуосите, фокусното разстояние, ексцентрицитета, фокусния параметър, уравненията на асимптотите и директрисите.

Решение. Сравнявайки даденото уравнение с каноничното, определяме полуосите: - реална полуос, - въображаема полуос на хиперболата. Построяваме основен правоъгълник със страни и център в началото (фиг. 3.44). Чертаем асимптоти, като удължаваме диагоналите на основния правоъгълник. Изграждаме хипербола, като вземем предвид нейната симетрия по отношение на координатните оси. Ако е необходимо, определете координатите на някои точки от хиперболата. Например, замествайки хиперболи в уравнението, получаваме

Следователно точките с координати и принадлежат на хипербола. Изчисляване на фокусното разстояние

ексцентричност ; фокусен параметър . Съставяме уравненията на асимптотите, тоест уравненията на директрисите: .

Парабола и нейното канонично уравнение

Определение.Параболата е геометричното място на точките, за всяка от които разстоянието до някаква фиксирана точка на равнината, наречена фокус, е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия, която не минава през фокуса и се нарича директриса.

Определение.Разстоянието от фокуса на парабола до нейната директриса се нарича параметър на параболата. Ексцентричността на параболата се приема за равна на единица.

Нека спуснем перпендикуляра от фокуса върху директрисата и означим с буква пресечната точка на този перпендикуляр с директрисата на параболата. Нека въведем DPSC в равнината, като поставим началото на координатите в центъра на сегмента, като вземем за ос права линия с положителна посока (вижте Фиг. 176).

Разстоянието от фокуса до директрисата обозначаваме с буква (това е параметър на параболата). В избраната координатна система фокусът има координатите . Уравнение на директриса.

Позволявам - произволна точка на равнината. Нека означим с разстоянието от точката до фокуса на параболата и с разстоянието от точката до директрисата на тази парабола.

Точка лежи на дадената парабола тогава и

само когато . защото ,

А , тогава уравнението на параболата има формата:

. Това уравнение е еквивалентно на следното уравнение: .

Или: (1)

Определение.Уравнение (1) се нарича уравнение на каноничната парабола.

Определение 1

Хипербола в математиката е набор от всички точки на равнината, за всяка от които абсолютната разлика в разстоянието между две точки $F_1$ и $F_2$, наречени фокуси, винаги е равна на една и съща стойност и е равна на $2a $.

Фигура 1. Как изглежда хипербола: пример за хипербола

Свойства на хипербола

Ако точките $F_1$ и $F_2$ са фокуси на хипербола, тогава допирателната, прекарана през всяка точка $A$, принадлежаща на кривата, е ъглополовяща на ъгъла $F_1AF_2$;
Съотношението на разстоянията от точка на хипербола до фокуса и от същата точка до директрисата е константа, наречена ексцентричност $ε$;
Хиперболата се характеризира с огледална симетрия по отношение на реалната и въображаемата ос, както и с ротационна симетрия към центъра при завъртане на 180°;
Допирателната отсечка, прекарана през точката $M$, ограничена от реалните оси, се разполовява от точката $M$;
Всяка хипербола има спрегната хипербола, която се намира в незаетите четвъртини на графиката.

Основни определения

Клоните на хипербола са две непресичащи се криви;
Върховете на хипербола са двете най-близки точки на различни клонове на хиперболата;
Формулата за определяне на разстоянието между върховете на хипербола изглежда като $2\cdot a$;
Голямата реална ос е правата линия, прекарана през двете най-близки точки на хиперболата. На половината от това разстояние е центърът на хиперболата;
Полуосите на хипербола са половината от разстоянието между върховете на хиперболата, формулата за определянето му е $2\cdot a/2 = a$;
Въображаемата ос е права линия, положена през центъра на хиперболата и перпендикулярна на реалната ос;
Геометричната конструкция на хипербола се извършва с помощта на дадени върхове и фокуси с помощта на компас.

Уравнение на хипербола

Общата формула на хипербола и функцията хипербола се описват със следното уравнение: $\frac(x^2)(a^2) - \frac(y^2)(b^2) = 1$, където $a , b$ са положителни реални числа.

Уравнението на изродена хипербола изглежда като уравнение на две асимптоти към хиперболата: $\frac(x)(a) - \frac(y)(b) = 0$

Уравнение на хипербола с изместен център $\frac((x - x_0)^2)(a^2) - \frac((y - y_0)^2)(b^2) = 1$, където $x_0, y_0$ - координати на центъра на хиперболата.

За да намерите уравнението на изместена хипербола от графика, първо определете изместването на центъра спрямо координатната ос; то е равно на координатите на центъра. Тогава стойностите на $a$ и $b$ се определят от асимптотите.

Здравейте, скъпи читатели на сайта на блога. Всеки от нас в живота си е казвал или чувал поне веднъж (а някои и повече от веднъж) подобни изрази: ВИНАГИ ЗАКЪСНЯВАШ или НЕ СИ ВИДЯЛ ОТ СТО ГОДИНИ.

И малко хора смятаха, че тези фрази са лишени от здрав разум. Така че човек просто не може „винаги да закъснява“. И е невъзможно някой да не се вижда "сто години", дори само защото хората рядко живеят толкова дълго.

Такива преувеличения на руски се наричат хиперболи и те ще бъдат обсъдени в тази публикация.

Хиперболата е красиво преувеличение

Самата дума е гръцка - "хипербола" и означава "излишък, излишък, преувеличение".

Хиперболата е едно от средствата засилване на емоционалната оценка, което се състои в прекомерно преувеличаване на всякакви явления, качества, свойства или процеси. Това създава по-впечатляващ образ.

Освен това преувеличението често достига до напълно неразбираеми понятия, понякога дори. Всеки чужденец, ако се преведе буквално, очевидно ще бъде озадачен. Ние отдавна сме свикнали с тях и ги възприемаме като напълно нормални.

Ето примери за най-често използваните хиперболи в ежедневието:

ИЗПЛАШЕНИЕ ДО СМЪРТ
ХИЛЯДИ ИЗВИНЕНИЯ
ПОНЕ ПОЛЕТИ
РЕКИ ОТ КРЪВ
ПЛАНИНИ ОТ ТРУПОВЕ
ЧАКАХ ВЕЧНОСТ
МИНЕТЕ НАД ХИЛЯДА КИЛОМЕТРА
СТОЯЛА ЦЯЛ ДЕН
МНОГО ПАРИ
ПРАЗНИК ЗА ЦЕЛИЯ СВЯТ
МОРЕ ОТ СЪЛЗИ
НЕ ВИЖДАНО ОТ 100 ГОДИНИ
ОКЕАН ОТ СТРАСТИ
ТЕЖИ СТО ФУНДА
Задуши в ръцете си
УПЛАШЕН ДО СМЪРТ

Всички изброени изрази използваме постояннов разговорната реч. И в името на експеримента, просто се опитайте да ги анализирате дословно и вижте колко смешни и понякога абсурдни са някои от тях.

Е, например, „поне се напълнете“ - това трябва да е такова количество течност, че да е достатъчно за цял басейн, в който можете да се потопите стремглаво. Въпреки че всъщност с този израз просто искаме да кажем, че имаме много напитки - дори повече от необходимото.

Или фразата „много пари“ всъщност означава само добро финансово състояние, а не че човек е събрал всичките си спестявания и нека ги събере на една купчина.

И ние не използваме израза „да изминеш хиляда километра“, когато говорим за реално разстояние, например от Москва до Волгоград или Ростов на Дон. Но просто в смисъла на „далеч“, въпреки че всъщност в реални числа разстоянието до там може да е само няколко километра.

И по този начин можете да "развенчаете" абсолютно всяка хипербола. Но не бива да правиш това. Те не трябва да означават абсолютната истина, тяхната задача е да характеризират конкретна ситуация или мисъл по най-живописния начин, засилване на нейното емоционално оцветяване.

Примери за хипербола в художествената литература

Всъщност подобни преувеличения са много стар литературен похват. Използван е и това е било преди почти хиляда години. С помощта на хиперболи силата на героите и техните противници многократно се укрепваше.

Героичният сън продължи 12 ДЕНА (е, човек не може да спи почти две седмици)
Безброй сили застанаха на пътя на героя - ВЪЛК НЯМА ДА ГИ ИЗБЕЖДА ЗА ДЕН, РЕЙВ НЯМА ДА ПОЛЕТИ ОТ ТЯХ ЗА ДЕН (колко врагове трябва да има - милион?)
Героят маха с ръка - УЛИЦАТА Е СРЕД ВРАГОВЕ, маха с друга - АЛЕЯ (тоест с един удар героят убива няколко десетки наведнъж)
Иля Муромец взе клуб с тегло от СТО ПАУДА (тук трябва да разберете, че сто фунта е един и половина тона)
Славеят разбойник свири - ГОРАТА СЕ СПИРА ДО ЗЕМЯТА, А ХОРАТА ПАДАТ МЪРТВИ (е, това е нещо от приказките)

Получават се абсолютно същите хиперболи в „Словото за похода на Игор“. Например:

„Руснаците блокираха широки полета с алени щитове, търсейки чест за себе си и слава за княза“ или „Армията е такава, че можете да пръснете Волга с гребла и да загребете Дон с шлемове“.

Сред писателите Николай Василиевич има най-много хиперболи Гогол. Има преувеличения в почти всяко негово известно произведение. Например, той описва река Днепър:

Рядка птица ще лети до средата на Днепър.
Днепър е като път без край по дължина и без мярка по ширина.

Или използва преувеличения в думите си, влагайки ги в устата на героите:

Бих ви унищожил всички на брашно! (Губернатор)
Само тридесет и пет хиляди куриери... Самият Държавен съвет се страхува от мен. (Хлестаков)

И в „Мъртви души” има тези думи: „Човешките страсти са безброй като пясъка на морето”.

Почти всеки писател или поет използва хипербола. С тяхна помощ те, например, по-колоритно описват характера на героите от творбите или показват отношението на техния автор към тях.

Освен това писателите често не използват вече установени изрази, а се опитват да измислят нещо свое.

Ето още една примери за хипербола в литературата:

И планина от кървави тела попречи на гюлетата да летят (Лермонтов)
Залезът грееше със сто и четиридесет слънца (Маяковски)
Милион мъки (Грибоедов)
Достоен човек е готов да избяга в далечни страни за вас (Достоевски)
И борът стига до звездите (Манделщам)
В съня портиерът стана тежък като скрин (Илф и Петров)

Примери за хипербола в рекламата

Разбира се, без такава интересна техника, която позволява подобряват истинското значение на думите, рекламодателите също не можаха да преминат. Много слогани са базирани на този принцип. В края на краищата задачата е да привлечете вниманието на клиента, като същевременно обещавате „златни планини“ и по всякакъв възможен начин подчертавате уникалността на продукта:

Вкус на ръба на възможното (дъвка "Stimorol")
Контрол върху елементите (маратонки Adidas)
Кралят на салатите (майонеза Oliviez)

Принципът на хипербола също често се използва при създаването на рекламни видеоклипове. Например, поредица от известни видеоклипове за Snickers барове със слогана „Вие не сте вие, когато сте гладни“. Където различни герои се превръщат в напълно различни хора и започват да правят всякакви глупави неща и само един бонбон може да ги върне към нормалното.

Тези реклами явно преувеличават (силно преувеличават) чувството за глад и „чудодейната“ сила на самия Snickers.

добре най-простият примерХиперболата, която се използва в рекламата, е изрази като „най-доброто“, „най-стилното“, „най-удобното“ и т.н., но за цените, напротив, те казват „най-ниските“.

Вместо заключение

Можете да добавите по-голяма изразителност и емоционално оцветяване на всеки израз не само с помощта на хипербола. В руския език има техника, която е нейната пълна противоположност. Той не преувеличава, а напротив, намалява значението.

Преди да успеете да мигнете, годините вече са отлетели.

Тази техника се нарича "". Това ще бъде обсъдено подробно в следващата ни статия.

Късмет! Ще се видим скоро на страниците на сайта на блога

Може да се интересувате

Какво е инсинуация: значение на думата, характеристики, примери Полисемантичните думи са примери за различни аспекти на руския език Синекдохата е пример за метонимия на руски език Познаване: значение на думата, примери Ругатните са невежеството на миряните, които го смятат за способно да обиди нещо, което е недостъпно за тяхното разбиране. Какво е риторичен въпрос и за какво се използва? Евфемизмът е смокинов лист на руския език Алюзиите са нещо ново с привкус на старото. Асонансът е единството на гласните Диалектизмите са думи с местен привкус Litotes е подценяване и омекотяване за създаване на образ

Хиперболае плоска крива, за всяка точка от която модулът на разликата в разстоянията до две дадени точки ( трикове с хипербола ) е константа. Разстоянието между фокусите на хипербола се нарича фокусно разстояние и се означава с $2c$. Средата на сегмента, свързващ огнищата, се нарича център. Хиперболата има две оси на симетрия: фокална или реална ос, минаваща през фокусите, и въображаема ос, перпендикулярна на нея, минаваща през центъра. Реалната ос пресича клоновете на хиперболата в точки, наречени върхове. Сегментът, свързващ центъра на хиперболата с върха, се нарича реална полуос и се означава с $a$. Въображаема полуос означен със символа $b$. Уравнение на канонична хипербола написана във формуляра
$\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize - \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ нормален размер = 1$.

Модулът на разликата в разстоянията от всяка точка на хиперболата до нейните фокуси е постоянна стойност:
$\left| ((r_1) - (r_2)) \right| = 2a$,
където $(r_1)$, $(r_2)$ са разстоянията от произволна точка $P\left((x,y) \right)$ на хиперболата до фокусите $(F_1) $ и $ (F_2)$, $a$ е реалната полуос на хиперболата.

Уравнения на асимптоти на хипербола
$y = \pm \large\frac(b)(a)\normalsize x$

Връзката между полуосите на хиперболата и фокусното разстояние
$(c^2) = (a^2) + (b^2)$,
където $c$ е половината от фокусното разстояние, $a$ е реалната полуос на хиперболата, $b$ е въображаемата полуос.

Ексцентричност хиперболи
$e = \large\frac(c)(a)\normalsize > 1$

Уравнения на директриси на хипербола
Директрисата на хипербола е права линия, перпендикулярна на нейната реална ос и пресичаща я на разстояние $\large\frac(a)(e)\normalsize$ от центъра. Хиперболата има две директриси, разположени от противоположните страни на центъра. Директрисните уравнения имат формата
$x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize$.

Уравнение на десния клон на хипербола в параметрична форма
$\left\( \begin(aligned) x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
където \(a$, $b$ са полуосите на хиперболата, $t$ е параметърът.

Общо уравнение на хипербола
където $B^2 - 4AC > 0$.

Общо уравнение на хипербола, чиито полуоси са успоредни на координатните оси
$A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0$,
където \(AC

Равностранна хипербола
Хипербола се нарича равностранен , ако неговите полуоси са еднакви: $a = b$. За такава хипербола асимптотите са взаимно перпендикулярни. Ако асимптотите са хоризонталната и вертикалната координатна ос (съответно $y = 0$ и $x = 0$), тогава уравнението на равностранна хипербола има формата
$xy = \large\frac(((e^2)))(4)\normalsize$ или $y = \large\frac(k)(x)\normalsize$, където $k = \ голям\frac(e^2)(4)\normalsize .$

Параболасе нарича равнинна крива, във всяка точка от която е валидно следното свойство: разстоянието до дадена точка ( фокус на парабола ) е равно на разстоянието до дадена права линия ( директриси на парабола ). Разстоянието от фокуса до директрисата се нарича параболичен параметър и се означава с $p$. Параболата има една ос на симетрия, която пресича параболата в нейната точка Горна част . Уравнение на канонична парабола изглежда като
$y = 2px$.

Уравнение на директриса
$x = - \large\frac(p)(2)\normalsize$,

Координати на фокуса
$F \left((\large\frac(p)(2)\normalsize, 0) \right)$

Координати на върха
$M \вляво((0,0) \вдясно)$

Общо уравнение на парабола
$A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0$,
където $B^2 - 4AC = 0$.

Уравнение на парабола, чиято ос на симетрия е успоредна на оста $Oy$
$A(x^2) + Dx + Ey + F = 0\;\наляво((A \ne 0, E \ne 0) \вдясно) $,
или в еквивалентна форма
$y = a(x^2) + bx + c,\;\;p = \large\frac(1)(2a)\normalsize$

Уравнение на директриса
$y = (y_0) - \large\frac(p)(2)\normalsize$,
където $p$ е параметърът на параболата.

Координати на фокуса
$F\left(((x_0),(y_0) + \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)$

Координати на върха
$(x_0) = - \large\frac(b)((2a))\normalsize,\;\;(y_0) = ax_0^2 + b(x_0) + c = \large\frac((4ac - ( b^2)))((4a))\normalsize$

Уравнение на парабола с връх в началото и ос на симетрия, успоредна на оста $Oy$
$y = a(x^2),\;\;p = \large\frac(1)((2a))\normalsize$

Уравнение на директриса
$y = - \large\frac(p)(2)\normalsize$,
където $p$ е параметърът на параболата.

Координати на фокуса
$F \left((0, \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)$

Координати на върха
$M \вляво((0,0) \вдясно)$

Чрез изучаване на хиперболата с помощта на конструкции, подобни на тези, използвани за изследване на елипсата, ще открием, че хиперболата има свойства, подобни на тези на елипсата.

Нека разсечем прав кръгов конус с равнина b, пресичаща двете му равнини, т.е. успоредно на двата си генератора. Напречното сечение ще доведе до хипербола. Нека начертаем равнина ASB през оста ST на конуса, перпендикулярна на равнина b.

Нека впишем две топки в конуса - едната в едната му кухина, другата в другата, така че всяка от тях да докосва коничната повърхност и секущата. Нека първата топка докосне равнината b в точка F 1 и докосне коничната повърхност по окръжността UґVґ. Нека втората топка докосне равнината b в точка F 2 и докосне коничната повърхност по окръжността UV.

Нека на хиперболата изберем произволна точка M. Начертайте през нея образуваща на конуса MS и отбележете точките d и D, в които той се допира до първата и втората топка. Нека свържем точка M с точките F 1, F 2, които ще наричаме фокуси на хиперболата. Тогава MF 1 =Md, тъй като и двете отсечки са допирателни към първата топка, изтеглена от точката M. По същия начин MF 2 =MD. Изваждайки второто равенство член по член от първото, намираме

MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,

където dD е постоянна стойност (като генератор на конус с основи UґVґ и UV), независима от избора на точка M върху хиперболата. Нека означим с P и Q точките, в които правата F 1 F 2 пресича хиперболата. Тези точки P и Q се наричат върхове на хиперболата. Отсечката PQ се нарича реална ос на хиперболата. В курса по елементарна геометрия е доказано, че dD=PQ. Следователно MF 1 -MF 2 =PQ.

Ако точка M е разположена на клона на хиперболата, близо до която е разположен фокусът F 1, тогава MF 2 -MF 1 = PQ. Тогава най-накрая получаваме MF 1 -MF 2 =PQ.

Модулът на разликата между разстоянията на произволна точка M на хипербола от нейните фокуси F 1 и F 2 е постоянна стойност, равна на дължината на реалната ос на хиперболата.

Уравнение на хипербола

Нека приемем основното свойство на хиперболата като нейна дефиниция: Хиперболата е геометричното място на точки в равнина, за която модулът на разликата в разстоянията до две фиксирани точки F 1 и F 2 от тази равнина, наречени фокуси, е a постоянна стойност, равна на дължината на реалната му ос.

Нека дължината на сегмента F 1 F 2 = 2c, а дължината на реалната ос е равна на 2a. За да изведем уравнението на каноничната хипербола, избираме началото O на декартовата координатна система в средата на сегмента F 1 F 2 и насочваме осите Ox и Oy, както е показано на фигура 5. След това в избраната координатна система точките F 1 (c, 0) и F 2 (-s, 0). Очевидно 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2a (5) е необходимо и достатъчно условие за разположението на точката M (x, y) върху дадена хипербола. Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме

r 1 =, r 2 =. Да се върнем към равенството (5):

Нека повдигнем на квадрат двете страни на равенството

(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2

Намалявайки, получаваме:

2 xc=4a 2 ±4a-2 xc

±4a=4a 2 -4 xc

a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)

Забележете, че с 2 -a 2 >0. Нека означим c 2 -a 2 =b 2 . Уравнение (6) ще изглежда така: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Нека извършим трансформация, която привежда уравнението на хиперболата в канонична форма, а именно, разделяме двете страни на уравнението на a 2 b 2: (7) - каноничното уравнение на хипербола, величините a и b са съответно реалната и имагинерната полуос на хиперболата.

Трябва да се уверим, че уравнение (7), получено чрез алгебрични трансформации на уравнение (5*), не е придобило нови корени. За да направите това, достатъчно е да докажете, че за всяка точка M, чиито координати x и y отговарят на уравнение (7), стойностите r 1 и r 2 отговарят на отношение (5). Извършвайки аргументи, подобни на тези, направени при извеждането на формулата на елипсата, намираме следните изрази за r 1 и r 2: